Где ошибка?

PDF

      ОТ РЕДАКТОРА
      Книга немецкого популяризатора В. Литцмана «Где ошибка?» отчасти известна советскому читателю по переводу, осуществленному (под тем же названием) в 1932 г. (В. Литцман и Ф. Трир, Где ошибка?, ГТТИ, Москва — Ленинград). Эта небольшая книжечка уже стала библиографической редкостью, и давно назрел вопрос о ее переиздании. Отсутствие нового издания отчасти компенсировалось появлением небольшой книги Я. С. Дубнова «Ошибки в геометрических доказательствах» (Гостехиздат, Популярные лекции по математике, выпуск 11), последнее, третье, издание которой вышло в 1961 г. Тем временем В. Литцман опубликовал новое, значительно расширенное издание книги, историю создания которого автор подробно излагает в своем введении. Это издание и было взято для перевода.
      Автор собрал в своей книге весьма обширный материал, включающий не только древние и новейшие софизмы, но также наиболее интересные и типичные ошибки школьников и студентов, обманы зрения, психологические ошибки при оценке размеров величин и т. д. Следует отметить, что подобранные автором примеры весьма разнообразны и неоднородны (что вполне естественно в книге такого рода), причем наряду с очень красивыми и поучительными примерами имеются в немалом количестве и значительно менее удачные. Однако производить сокращение объема книги за счет «менее удачных» примеров мы сочли нецелесообразным, поскольку, во-первых, польза и привлекательность того или иного приема, оцениваются каждым читателем по-своему, а во-вторых, при-веденные примеры совершенно самостоятельны, и те из них, которые читателю покажутся менее интересными, могут быть пропущены при чтении.
      В. Г. Болтянский
     
      ВВЕДЕНИЕ
     
      В 1913 г. автор совместно с датским учителем Вигго Триром опубликовал в серии математическо-физической библиотеки брошюру) под названием «Где ошибка?». В нее вошли, с одной стороны, математические софизмы, собранные автором, с другой стороны — настоящие ученические ошибки, выбранные, большей частью из рукописного собрания, принадлежащего Триру, откуда он в течение ряда лет черпал материал для упражнений при обучении учителей.
      В 1916 г. Вигго Трир умер. Второе издание, вышедшее в свет в 1917 г., было подготовлено автором. По сравнению с первым изданием было увеличено количество софизмов; некоторые ученические ошибки, далекие от учебного материала немецкой школы, были заменены другими. Все это привело к тому, что количество материала, относящегося к обоим разделам, значительно увеличилось и превысило размеры брошюр физико-математической библиотеки, в частности к благодаря сотрудничеству читателей книги и работников «веселого уголка» математического и естественно-научного журнала, издаваемого автором. Пришлось произвести раздел: «Софизмы» вышли отдельной брошюрой, а в брошюре «Ошибочные заключения» к ученическим ошибкам были присоединены ошибки при оценке величин, зрительные ошибки, а также авторские ошибки.
      Теперь обе брошюры снова собраны вместе и к ним присоединена также третья часть. Среди софизмов имелись некоторые относящиеся к исчислению бесконечно малых. Ведь именно в этой области математического анализа так часты ошибочные заключения. Это навело на мысль расширить примеры из этой области. Конечно, при этом автор, не имел намерения выйти за пределы учебного материала высшей школы или, напротив, ограничиться только теми понятиями из анализа бесконечно малых, которые вводятся в старших классах общеобразовательной школы.
      Приводя ошибки школьников и софизмы, автор не указывает, где скрывается ошибка. Достоинство сборника заключается как раз в том, что он ставит читателя перед задачей самостоятельно найти ошибку. Автор не считает поучительным тот случай, когда читатель, не умея сразу в течение нескольких минут получить правильный ответ, обращает свой взор к тому месту книги, где он получит этот ответ без всякого труда. Ведь в математике дело обстоит так, что, обнаружив ложное утверждение и поняв, в чем заключается ошибка, получаешь уверенное, не требующее других подтверждений понятие о правильном ходе рассуждений. До тех пор, пока нет такой уверенности, наши знания не являются совершенными.
      В исчислении бесконечно малых величин автор отступил от этого принципа. Софизмы сформулированы им как примеры-предупреждения; имеются примеры, которые должны страховать нас от ложных, опрометчивых, хотя и очень напрашивающихся выводов. Для специалистов-математиков это, конечно, тривиальные вещи. Они хорошо представляют себе свойства вводимых понятий, а также знают, какие операции над этими понятиями являются допустимыми, а какие нет. Однако преподаватель не может предполагать у учащихся таких познаний, и поэтому он всегда должен иметь под рукой предупреждающие примеры, помогающие предотвратить ложные выводы. Помочь ему в этом — цель третьей части книги. Автор сознает, что этот раздел можно было значительно расширить. Много прекрасных предупреждающих примеров остаются либо совсем неизвестными, либо появляются иногда в лекциях того или иного лектора.
      В этой части, в отличие от первой и второй частей, под рубрикой «вывод» автор излагает мораль рассказа, что, конечно, для многих является излишним, но, по мнению автора, далеко не для всех. Как раз в тех случаях, когда встречаются поверхностные рассмотрения или опрометчивые суждения, не надо бояться излишней убедительности!
      Ошибки и софизмы всегда служили предметом занимательной математики; они появлялись во многих книгах, посвященных занимательной математике, кроме того, во многих журналах, а в последнее время также и в передачах радио.
      Часто они являются предметом шутки, иногда ими желают одурачить других, а некоторым доставляет удовольствие сознание ошибки, допущенной другими. Серьезное же значение изучения ошибок и софизмов для воспитания математического мышления, как кажется автору, еще недостаточно осознано.
      Не только учитель должен иметь дело с ошибками, которые делают его ученики; сами учащиеся зачастую научатся большему на примере разъясненной ошибки, чем даже при правильном выполнении по готовым образцам задач и упражнений. Я вспоминаю в этой связи слова Гёте: «Юноша, который заблуждается на собственном пути, мне приятней того, кто верно следует по чужому пути».
      Таким образом, для целей преподавания и воспитания весьма полезно даже простое собрание примеров, содержащих ошибки. Но еще важнее, чтобы преподаватель мог дать им методически хорошо продуманное употребление. Собственно говоря, можно было бы ожидать, что в методиках преподавания арифметики и математики должно содержаться основательное изложение проблемы ошибок. Однако поиски ваши будут тщетными; автору известен только один небольшой труд относительно арифметических ошибок. Обычно учитель исправляет при устном преподавании ошибки своих учащихся, подчеркивает ошибки в письменных работах учащихся и дает их исправлять, чаще всего не углубляясь, почему именно вот это — верно, а то — неверно. Автору кажется, что теория и практика изучения ошибок заслуживают основательного исследования.
      Все сказанное относится, конечно, не только к школе, но и к изложению математических дисциплин в лекциях, семинарах, книгах. Особенно удивительно, что совершенно тривиальные софизмы были впервые указаны только в «Парадоксах бесконечного» Больцано, опубликованных в 1851 году. В высокой науке также нельзя ограничиваться указанием, чтб является верным; необходимо указать, чтб ложно — особенно в случае, когда легко впасть в заблуждение. Не следует ограничиваться утверждением что данное положение ложно. Надо показать на предупреждающих примерах, почему оно ложно.
      Физик Вильгельм Вебер не допускал и мысли о существовании непрерывных функций, не имеющих производной. Простое ознакомление, например, с функцией Вейерштрасса в том виде, как она изложена в книге Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей», могло бы убедить его в противном. Только продираясь через густой кустарник заблуждений, удалось создать ясное определение понятия «дифференциал». В этом деле незабываемы заслуги Р. Роте. Строгое обоснование теории бесконечных рядов последовало после того, как Е. Ландау беспощадно раскрыл ошибки в изложении этого вопроса не только в книгах для средней школы, но и в книгах для высшей школы, в частности в лекциях Геттингенских курсов повышения квалификации учителей. Говорят, что математика, начиная с первых уроков арифметики и кончая самыми большими высотами научного исследования, является своеобразным «точилом» для ума. Автор думает, что это замечание справедливо и относительно разбора ошибок и софизмов, о которых и идет речь в этом сборнике. При этом безразлично, занимаются ли ими в устной беседе или в игре или же они являются предметом серьезного изучения.
     
     
      А. ОШИБКИ И ОШИБОЧНЫЕ ЗАКЛЮЧЕНИЯ
     
      I. Ошибки при оценке величин
     
      В этом разделе мы укажем ряд ошибок. Все эти ошибки объясняются тем, что, наблюдая различные явления, мы обыкновенно плохо представляем себе истинные соотношения между характеризующими их величинами. Лучший, чем это обычно наблюдается, навык в оценке величин сделал бы эти ошибки невозможными.
     
      1. Начнем с ряда самых простых примеров, в которых разница между данной нами оценкой величин и их действительным значением, которое можно получить путем приближенного измерения или вычисления, в большинстве случаев поразительно велика.
      Читателю предлагается сначала, не проводя никаких измерений, ответить письменно на следующие вопросы, а затем записать рядом действительные значения величин. После этого предлагается найти абсолютную или относительную погрешность данной им оценки величин.
      а) Какова высота стола?
      Ь) Чему равна площадь сидения стула?
      с) Какова высота современного головного убора?
      d) Припомните какую-нибудь круглую башню, расположенную поблизости от вашего жилища. Как относится длина внешней окружности башни к ее высоте?
      е) Диаметр глобуса равен 1 м. Изобразим на нем выпукло рельеф земного шара. Какую высоту будет иметь на этом макете высочайшая гора Европы Монблан, высота которой равна 4800м?
      f) Какое количество людей может поместиться на круглой площади, радиус которой равен 1км?
      j) Какие размеры должна иметь квадратная площадь, на которой могут разместиться все жители Германии?
      h) Можно ли разместить всех жителей Земли на поверхности Боденского озера?
      i) Сколько мальчиков можно поместить в одном кубическом метре?
      k) Сколько горошин помещается в стакане обычного размера?
      l) Каков вес воздуха, заполняющего вашу комнату? (Литр воздуха весит 1,293 г.)
      m) Сколько весит пробковый шар, радиус которого равен 1м? (Удельный вес пробки равен 0,24)
      n) Сколько полных лун может поместиться на небе?
      o) Наконец, нечто совершенно удивительное. На карте Германии масштаба 1:1 000 000 должны, казалось бы, разместиться 66 человек из 66-миллионного населения Германии. Однако это при всем желании неосуществимо.
     
      2. Несколько вопросов, наглядно поясняющих соотношения между числовыми характеристиками земного шара.
      а) Какова высота свода, образованного озером шириною в 1 км, 4 км или 6 км по отношению к плоскости, соединяющей его берега; другими словами, как велико влияние кривизны земной поверхности на отклонение водного зеркала от плоскости?
      b) Какой высоты свод образует Каспийское море?
      с) Улица Фридрихштрассе в Берлине имеет длину около 3 км (точнее, 3240м) и простирается точно с севера на юг. Дома, стоящие на противоположных концах улицы, построены, как обычно, вертикально, т. е. их боковые ребра направлены к центру земли. Следовательно, боковые ребра этих домов образуют некоторый угол. Какова величина этого угла?
      d) Поскольку боковые ребра упомянутых выше домов на Фридрихштрассе не параллельны, расстояние между верхними концами ребер больше, чем между нижними. Насколько?
      е) Фридрихштрассе — горизонтальная улица. В силу сплющенности земного шара, которая достигает величины 1/300, северный конец улицы ближе к центру Земли, чем южный. Насколько?
      На эти вопросы, в силу того, что подсчет сопряжен с некоторыми трудностями, я приведу ответы:
      а) 2 см, 31 см и 71 см; обратите внимание на сильное возрастание величин!;
      b) 28 км;
      с) 1 3/4;
      d) около 1 см;
      е) северный конец на 10,6 м ближе к центру Земли, чем южный. Таким образом, нужно подняться почти на третий этаж, чтобы расстояние до центра Земли в северном конце равнялось расстоянию до центра Земли в южном конце.
     
      3. Предположим, что вокруг земного экватора решили натянуть веревку, но она оказалась слишком длинной, так что остался кусок около 10 м. Концы веревки все-таки соединили так, чтобы она окружила Землю на некотором от нее расстоянии. Для простоты допустим, что зазор между веревочным кругом и экватором имеет всюду одну и ту же величину. Чему равна эта величина? Может ли, например, муха проползти между веревкой и поверхностью Земли?
      Ответ гласит, что не только муха может проползти, но и не слишком высокий подросток может пройти, не сгибаясь. Представить себе это наглядно — довольно хитрая штука! Один математик уверял меня, что он совершенно не может себе это представить. Многие из нематематиков говорили мне, что они не верят в правильность решения, им оно кажется невероятным.
      Чтобы исправить это положение, можно несколько видоизменить формулировку задачи. Вместо истории с веревкой
      рассмотрим следующую аналогичную задачу: насколько путь, проделанный головой пешехода, длиннее пути, пройденного его ногами? Сразу же возникает «чувство», что разница должна быть небольшой.