РАБОЧАЯ БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ А. М. ВОРОНЦА
№ 10 Проф. Н. Н. ИОВЛЕВ
ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ГЕОМЕТРИЮ и ТРИГОНОМЕТРИЮ ЛОБАЧЕВСКОГО
Научно - педагогической секцией Государственного ученого совета
допущено для школ II ступени
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА - 1930 - ЛЕНИНГРАД
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Когда мы изучаем в школе геометрию, мы постепенно усваиваем одну теорему за другой, опираясь в доказательстве каждой последующей теоремы на предыдущие. Получается логическая цепь геометрических истин, которые в совокупности говорят нам о свойствах пространства. Мы при этом не задумываемся о том, что пространство может обладать иными свойствами, чем те, которые мы узнали из школьного курса геометрии. Например, мы знаем, что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам; мы не сомневаемся в том, что это бесспорная истина, так как она строго доказывается; нам не приходит в голову мысль, что в пространстве, как мы его понимаем, возможен треугольник, сумма углов которого не равна двум прямым.
Однако мы до сих пор не знаем, какими свойствами обладает пространство, не знаем, несмотря на то, что геометрия, как точная наука, существует более двух тысяч лет.
Первобытный. человек познавал простейшие геометрические истины из опытов и жизненных наблюдений, например, что кратчайшее расстояние есть прямая линия. По мере развития человеческой мысли, наблюдений и исследований, накапливались знания, служившие непосредственно для жизненных потребностей. Еще задолго до нашей эры люди умели вычислить достаточно точно длину окружности, измерив ее диаметр, умели вполне точно определить объем усеченной пирамиды и т. д., но все такие знания оставались разрозненными и не имели логического обоснования, пока этого не сделал греческий математик Евклид в третьем веке до нашей эры. Он изложил все накопленные к тому времени геометрические знания в строгой логической системе, именно так, как мы знаем геометрию по школьному курсу. Труд Евклида „Начала" и по настоящее время служит (конечно, в переводе) в некоторых английских школах учебником геометрии.
После Евклида геометрия обогатилась сравнительно немногими новыми истинами, система построения и изложения курса геометрии оставалась неизменною, и до XIX века нашей эры никто не сомневался в том, что геометрия Евклида единственно и абсолютно истинная, что она учит нас действительным свойствам мирового пространства.
В системе Евклида есть уязвимое место, замеченное еще греческими математиками, последователями Евклида. Именно, пятый постулат 1 Евклида, равносильный постулату, что через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой, — не представляет собой аксиомы. Между тем. означенный постулат является исходной точкой для теории параллельных прямых и всего последующего курса геометрии. Все попытки трактовать пятый постулат Евклида как теорему и, следовательно, дать его доказательство окончились неудачей.
1 Постулатом называется положение, само по себе не очевидное, но н не могущее быть доказанным.
Вопрос о значении постулатов в геометрии привлек к себе в первой половине прошлого столетия заостренное внимание математиков, и Лобачевскому удалось сделать одно из величайших в науке открытий. Лобачевский не пошел по старому пути попыток доказать пятый постулат Евклида, а заменил этот постулат ему противоположным и построил новую геометрию, логически безупречно стройную. Не предвидя практического значения новой геометрии, Лобачевский назвал ее „воображаемою". Это название по существу неправильно, так как геометрия Лобачевского столь же воображаемая, как геометрия Евклида или другие геометрии, которые возникли после трудов Лобачевского. Главная научная заслуга Лобачевского заключается в расширении и углублении понятия о пространстве и его свойствах. Лобачевский показал, что логически мыслимы пространства, обладающие другими свойствами, чем те, которые известны из геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника менее двух прямых.
Какими же свойствами обладает то пространство, в котором мы существуем, пока решить невозможно. Геометрия Евклида удовлетворяет всем нашим практическим потребностям и не находится в противоречии с астрономическими наблюдениями. Но наши опыты и наблюдения не могут охватить пространство в целом, мы копошимся, так сказать, в очень ограниченной части пространства. Ведь и кривая линия на очень малом ее протяжении обладает свойствами прямой; в самом деле, мы целимся из винтовки, на небольшом расстоянии, по прямой линии и попадаем в цель; между тем, пуля летит не по прямой линии, а по кривой линии-параболе, которая на короткой дистанции почти не отличается от прямой.
Таким образом, Лобачевский, не разрушая практического значения геометрии Евклида, поставил вопрос о свойствах пространства в полном его объёме и положил начало таким новым исследованиям математиков, коих не могло возникнуть, пока все думали, что геометрия Евклида единственно возможная.
Жизнь великого геометра Николая Ивановича Лобачевского очень бедна внешними событиями. Он родился в 1793 году, умер в 1856 году и всю свою жизнь провел в Казани, где был профессором и ректором университета, занимаясь исключительно наукою. Если бы Лобачевский не печатал своих трудов за границею, то они не были бы оценены своевременно. Русские математики, современники Лобачевского, не поняли значения воображаемой" геометрии и даже глумились над нею. Прошло не мало лет, пока геометрия Лобачевского не получила всеобщего признания и автор ее не был причислен к величайшим ученым всех времен и народов.
А. Воронец.
ВВЕДЕНИЕ
При систематическом изложении начал геометрии Евклида с целью школьного преподавания, рекомендуется в современных методиках геометрии не увлекаться "научной строгостью".
Но как только начинают систематически излагать геометрию Лобачевского для "самого первоначального" ознакомления с нею, так сейчас же считают долгом излагать подробный и тонкий анализ основных понятий геометрии и пяти групп аксиом Гильберта, как основу дальнейшего вполне строгого и научного изложения.
В результате получается настоящий гранитный монолит основ этой науки, о который и „ломает зубы" большинство интересующихся этой геометрией.
В настоящей статье дано такое изложение первых понятий и теорем геометрии и тригонометрии Лобачевского (по найденному автором методу), которое не
строже изложения учебников Давидова или Киселева и не труднее его.
В виду ограниченных размеров статьи, изложены только те понятия и теоремы геометрии Лобачевского, которые необходимы для вывода основных формул его, тригонометрии.
Поэтому автор здесь совсем не касается вопросов: о линии равных расстояний, об измерении площадей, об идеальных точках и пучках и т. д.
Интересующиеся всеми этими вопросами найдут их изложение в следующих книгах:
1) Проф. С, А. Богомолов. Эволюция геометрической мысли. Ленинград, 1928, Ц. 1 р. 75 коп.
2) Академик Я. В. Успенский. Введение в не-ЕвклиФ>ву геометрию Лобачевского — Больяи. Петроград, 1922.
3) Проф. Н. И. Иовлев. Главные методы обоснования геометрии Лобачевского. Самара, 1923. |
