Николай Александрович Рыбкин

Сборник задач по геометрии

Часть 1. Планиметрия для 6-8 классов

*** 1936 ***

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

Приблизительно распознанные фрагменты учебника:       § 9. Подобие треугольников и многоугольников       прямая, которая пересекает ВС в точке Е, а продолжение АВ — в точке F. Определить BE, если АВ=а, ВС=Ь и BF==c.       31. В треугольник вписан параллелограмм, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника; за-       разные задачи.       ключакицие этот угол, равны 20 см и 25 см, а параллельные им стороны параллелограмма относятся, как 6:5. Определить стороны параллелограмма.       32. В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится иа стороне ВС. Определить сторону ромба, если АВ — с и АС=Ь.       33. Прямая, проведённая через вершину ромба вне его, отсекает на продолжениях двух сторон отрезки р и Ц. Определить сторону ромба.       34. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы одна его сторона лежала на хорде, а концы противоположной стороны — на дуге.       35. Вписать квадрат в данный треугольник так, чтобы одна его сторона лежала на стороне треугольника, а вершины противолежащих углор — на двух других сторонах треугольника.       36. В треугольник с основанием а н высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — Набоковых сторожах. Вычислить сторону- квадрата.       37. В данный треугольник вписать прямоугольник, у которого стороны относились бы, как т:п.       38. В треугольник, основание которого равно 48 см, а высота 16 см, вписан прямоугольник с отношением сторон 5:9, причём ббльшая сторона лежит на основании треугольника. Определить стороны прямоугольника.       39. В треугольник, у которого основание равно 30 л, а высота 10 см, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Определить гипотенузу.       40. В треугольник вписан полукруг, у которого полу; окружность касается основания, а диаметр с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Определить радиус, если основание треугольника равно а, а высота А,       41. В треугольнике ABC у гол С — прямой; АС=&см, ВС~ = 12 см. На стороне ВС взята точка О так, что /А ОС — = 90° — /В. На какие части точка D делит сторону ВС?       42. В треугольнике ABC даны две стороны: ВС= 16 м s АС — 12 м и сумма соответствующих высот АО -j- BE — 14 м. Определить АО и BE.       43. Стороны параллелограмма равны 2м и 16 дм; расстон ние между большими сторонами равю 8 дм. Определить расстояние между меньшими сторонами.       44. Периметр параллелограмма равен 48 см, а его высот относятся, как 5; 7. Определить соответствующие нм стороны.       45. Определить длину хорды, если дан радиус г и расстояние а от одного конца хорды до касательной, проведенной через другой её конец.       46. Две окружности внешне касаются. Прямая, проведённая через точку касания, образует в окружностях хорды, которых одна равна другой. Определить радиусы, если расстояние между центрами равно 36 см.       47. ABC -г-данный треугольник; CD — биссектриса умл С; точка Е лежит на ВС, причём DE \\ АС. Определить ОЕ, если ВС — а и АС — Ь.       48. ABC — данный треугольник; BD — высота; АЕ — биссектриса угла A; EF — перпендикуляр на АС. Определ 11 . ЕЕ, если ВО — 30 см и АВ;АС — 7:8.       49. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Определить сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны I и т.       50. Четыре параллели, между которыми последовательные расстояния относятся, считая сверху, как 2:3:4, пересечены двумя сходящимися над ними прямыми. Из полученных четырёх параллельных отрезков крайние равны 60 дм и 96 дм. Определить средние отрезки.       51. В треугольнике ABC проведён от В А к ВС отрезок DE, параллельный АС. Дано: АВ — 24 м, ВС = 32 м, АС — =28 м и AD -j- СЕ — 16 м. Требуется определить ОЕ.       52. AD и BE — высоты треугольника ИДО, пересекающиеся в точке О. Дано: АО 4- BE — 3 о/дм, ЛО = 9 дм и ВО — 12 дм. Требуется определить ОЕ/ и OD.       53. В равнобедренный треугольник, у которого боковая стгфона равна 100 дм, а основание 60 дм, вписан круг.       Определить расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.       54. Радиус сектора равен г, а хорда его дуги равна а. Определить радиус круга, вписанного в этот сектор.       55. Стороны одного пятиугольника равны 35 см, 14 см, 28 с.и,21 см и 42 см; меньшая сторона подобного ему пятиугольника равна 12 см. Определить остальные стороны его.       56. Стороны одного четырёхугольника относятся между собой, как 1: у: : 2; периметр подобного ему четырёхугольника равен 75 м. Определить стороны второго четырёхугольника.       57. Стороны одного четырёхугольника равны \0дм, 15 дйг, 20 дм и 25 дм; в подобном ему четырёхугольнике сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28 дм. Определить стороны второго уетырёхугольнйка.       58. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 л и 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Определить периметры.       59. Завод, изготовляющий цементные плитыдля пола, установил у себя нормальную форму (стандарт) для прямоуголь-ныхплит такую,чтобыполовина BCFE плиты была подобна целой плите ABCD. Найти отношение сторон таких плит (черт. 31).       60. В параллелограмме ABCD сторона АВ = а и ВС — Ь. 11рямая EF отсекает параллелограмм ABEF, подобный ABCD. Определить отрезок BE.       §10. Числовая зависимость между линейными элементами треугольников и некоторых четырёхугольников.       В прямоугольном треугольнике обозначают: а и Ь — катеты; с — гипотенуза; ас и 6С - проекции катетов а и Ь на гипотенузу; h — высота из вершины прямого угла. Предполагается, что отрезки измерены одной и той же единицей.             Подобные многоугольники.       4. По данной сумме двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки.       5. По данной разности двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки.       6. Доказать, что в прямоугольном треугольнике ab=ch.       7. Катеты относятся, как 5:6, а гипотенуза равна 122 см. Найти отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.       8. Катеты относятся, как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 ж больше другого. Определить гипотенузу.       9. Катеты относятся, как 3:7, а высота, проведённая на гипотенузу, равна 42 см. Определить отрезки гипотенузы.       10. Доказать, что диаметр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, есть средняя пропорциональная между параллельными сторонами трапеции.       И. Доказать, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций на гипотенузу.       Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.       1) В задаче 2 и во многих других случаях выгодно при вычислении разность квадратов заменять произведением суммы на разнос гь.       12. 1) Построить два отрезка, квадраты которых относятся, как /я: я.       2) Построить два отрезка, которые относились бы, как квадраты двух данных отрезков.       13. Узнать, какими тремя последовательными целыми числами могут выражаться стороны прямоугольного треугольника.       14. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый жёлоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы жёлоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землёй. Определить длину жбйоба.       15. 1) Точка внутри прямого угла удалена от его сторон на расстояния а и Ь. Найти её расстояние от вершины.       2) Стороны прямоугольника равны 60 см и 91 см. Чему оавна его диагональ?       16. Требуется выфрезовать квадратную головку со стороной 32 мм. Чему должен быть равен наименьший диаметр круглого железа, годного для этой цели?       17. 1) Сторона квадрата равна а. Чему равна его диагональ?       2) Определить сторову квадрата, если она меньше диагонали на 2 см       18. Диаметр бревна 12 см. Можно ли из этого бревна вытесать квадратный брус со стороной 10 см7       19. 1) Стороны прямоугольника равны а и д. Определить оадиус описанного круга.       2) В круг вписан прямоугольник, стороны которого относятся, как 8:15 Определить эти стороны, если радиус круга равен 34 см.       20. 1) Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм 11 18 см. Определить радиус описанного круга.       2) Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см к 12 см. Определить медиану гипотенузы.       21. 1) В равнобедренном треугольнике боковая сторона авна 17 см, а основание 16 см. Определить высоту.       2) Определить стороны равнобедренного треуюльника, если его высота равна 35 см, а основание относится к боковой стороне, как 48:25.       3) В равнобедренном треугольнике основание равно 4 см, « утл при нём равен 45°. Определить боковую сторону.       22. Стропильная ферма (черт. 32) имеет ноги АВ и СВ по 9 м и пролет АС в 15 м. Определить высоту фермы ВО.       23. 1) Биссектриса прямого угла делит шпотенузу прямоугольного треугольника на части, равные 2 у л/ и 2улг.       Определить кагеты.       2) Катеты ирямоуюльного треугольника равны 15 см и 20 см Из вершины прямого угла проведены высота и биссектриса. На какие отрезки разделилась гипотенуза?       В       24. 1) В равностороннем треугольнике определить высот у по данной стороне а.       2) В равностороннем треугольнике определить сторон по данной высоте h.       3) В равностороннем треугольнике высота меньше стороны на т. Определить сторону.       4) В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30’, а больший катет равен 6 см. Определить две другие стороны этого треугольника.       25. I) Боковые стороны треугольника равны: а = 25 см и b = 30 см, а высота Ьс = 24 см. Определи гь основание с.       2) В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части в 20 см и 21 см. Определить ббльшую боковую сторону.       3) Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определить длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3:10.       26. 1) Диагонали ромба равны 24 см и 70 с.и- Определи 1ь сторону.       2) Определить диагонали ромба, если они относятся, как 3:4, а периметр равен 1 м.       27, 1) В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Определить высоту трапеции.       2) В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 41 см, высота равна 4 дм и средняя линия 45 см. Определить основание.       28. Параллельно прямой дороге, на расстоянии 500 м от неё, расположена цепь стрелков; расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули равна 2,8 км. Какой участок дороги находится под обстрелом этой цепи?       29. На чертеже 33 изображена заклёпка ОСТ 302 (ОСТ — общесоюзный стандарт) с потайной головкой. У гол а = 60°. Вычислить:       1) D, если = 16,5 мм и А = 7,5 мм;       Черт. 33. 2) d, если О = 30 мм и А — 9,5 лш;       3) А, если D — ЪЪ мм и d = 22 мм.       Написать формулу, связывающую между собой О, d, Л.       30. 1) В треугольнике ABC проведена высота АО. Доказать, что АВ* — АС? = ВОг — CD*.       2) Если М — некоторая точка высоты АО треугольника ABC, то АВ* — АС*=       — ВМ* — СМ*. Доказать.       31.1) Доказать, что в прямоугольной т рапецни разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.       2) В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна наклонной боковой стороне. Определить ббльшую диагональ, если наклонная боковая сторона равна а, а меньшее основание равно Ь.       32. Из листа железа требуется вы-штаммовать круглые шайбы диаметром в 28 мм. Найти расстояние между прямыми, на которых следует расположив центры шайб (черт. 34).       Черт. 34.       33. 1) Радиус круга равен 89 дм, хорда 16 м. Определить её расстояние от центра.       2)0 — центр; АСВ — хорда; OCD — радиус, перпендикулярный к ней, ОС = 9 см и CD=32 см. Определить хорду.       3) Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 см и 15 см, а общая хорда равна 24 см. Определить расстояние между центрами.       4) АВ и CD — две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра О окружности радиуса /?= 15 см. Хорда АВ=ЛЬ см, хорда CD — 24 см. Определить расстояние между хордами.       5) Две параллельные хорды АВ и CD расположены по одну сторону от центра О окружности радиуса /? = 30 см Хорда ЛВ=48 см, хорда       диаметра D;       2) вывести формулу, выражающую зависимость D от s н /.       35. В сегменте хорда равна а, а высота h. Определить радиус круга..       36. Радиус круга равен 25 см\ две параллельные хорды равны 14 см и 40 см. Определить расстояние между ними.       37. Расстояния от одного конца диаметра до концов параллельной ему хорды равны 13 см и 84 см. Определить радиус круга.       38. 1) К окружности радиуса, равного 36 см, проведена касательная из точки, удалённой от центра на 85 см. Определить длину касательной.       2) Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11 см, а сумма каса-       CD = 36cm. Определить расстояние между хордами.       34. Чтобы измерить диаметр большого шкива, установили штангенциркуль так, как показано на чертеже 35. Длина ножек штангенциркуля s = = 25 мм, расстояние между концами ножек / = = 200 мм.       1) определить длину       Черт. 35.       тельных равна 120 см. Определить расстояние от центра до исходной точки касательных.       3) К окружности радиуса, равного 7 см, проведены две касательные из одной точки, удалённой от центра на 25 см Определить расстояние между точками касания.       39. Два круга радиусов R и г внешне касаются. Из центра одного круга проведена касательная к другому кругу, а из полученной точки касания проведена касательная к первому кругу. Определить длину последней касатель-, ной.       40. 1) Два круга касаются извне. Определить длину их общей внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 см н 25 см.       2) Радиусы двух кругов равны 27 см и 13 см, а расстояние между центрами равно 50 см. Определить длину их общих касательных.       41. Касательная и секущая, проведённые из общей точки к одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12 м, а внутренняя часть секущей равна 10 м. Определить радиус окружности.       42. АВ и CD — параллельные прямые. АС — секущая, Е и F — точки пересечения прямых АВ и CD с биссектрисами углов С и -4. Дано: АЕ — д6 см и СЕ= 110 см. Требуется определить АС.       43. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ЛВС основание ЛС=32 м, а боковая сторона 20 м. Из вершины В проведён перпендикуляр к боковой стороне до пересечения с основанием. На какие части ои делит основание?       44. Катет ЛС=15 см; кагет CS = 3 см. Из центра С радиусом СВ описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD, которую и требуется определить.       45. Дуга, описанная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника радиусом, равным меньшему Kaiery, делит гипотенузу на отрезки в 98 см и 527 см (начиная от меньшего катета). Определить катеты.       46. АВ — диаметр кру га; ВС — касательная; D — ючка пересечения прямой АС с окружностью. Дано: AD = 32 см u DC = 18 см. Требуетея определить радиус.       47. АВ — диамеф; ВС н CD А — касательная и секущая. Определить отношение CD:DA, если ВС равна радиусу.       48. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 7:9. В каком отношении (считая части в том же порядке) делит её высота?       49. Определить кат еты, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в 15 см и 20 см.       50. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет равен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла?       51. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки тип (т я). Определить другой катет и гипотенузу.       52. В прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 15 дм и 2 м, проведены: высота из вершины прямого угла И биссектрисы обоих углов, образуемых высотой с катетами. Определить отрезок гипотенузы, заключённый между биссектрисами.       53. В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС = 6 см и гипотенуза АВ= 10 см. Проведены биссектрисы угла ЛВС и угла с ним смежного, пересекающие катет АС и его продолжение в точках D и Е. Определить длину DE.       54. В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторон» АВ= 10 м и основание АС — 12 м. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке D. Требуется определить BD.       55. 1) В равнобедренном треугольнике основание ранне 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить ради) с вписанного круга.       2) В равнобедренном треугольнике центр вписанного кругл делит высоту в отношении 17:15. Основание равно 60 см. Найти радиус этого круга.       56. Из точки В проведены к данной прямой перпендикуляр ВС и наклонная В А На АС взята точка D, и прямая BD продолжена до пересечения в точке Е с прямой АЕ, перпендикулярной к АС. Определить АЕ, если ВА=53 дм, AD — 8 дм и DC — 20 дм.       57. 1)В равнобедренном треугольник» Основание равно 30 дм, а высота 20 дм. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.       2) В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 3 дм, а высота, опущенная на боковую       Высота и стороны в прямоугольном треугольнике, ромбе и трапеции.       3) Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм. Определить его высоту.       58. 1) Гипотенуза АВ — 5$ см\ катет ВС — 16 см. Определить длину перпендикуляра, восставленного к гипотенузе нз её середины до пересечения с катетом АС.       2) Радиус круга равен г. Определить длину хорды, проведённой из конца данного диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.       59. В прямоугольном треугольнике ABC катет АС — 16 дм и катет ВС — \2дм. Из центра В радиусом ВС описана окружность н к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе (причём касательная и треугольник лежат по разные стороны гипотенузы). Катет ВС продолжен до пересечения с проведённой касательной. Определить, на сколько продолжен катет.       60. Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156 дм, а расстояние между точками касания равно 120 дм. Определить радиус круга.       61. В прямоугольной трапеции основания равны 17 дм н 25 дм, а бблылая боковая сторона равна 10 дм. Из середины этой стороны проведён перпендикуляр к ней до встречи с продолжением другой боковой стороны. Определить длину этого перпендикуляра.       62. АС и СВ — катеты; СО — высота; DE\\BC. Определить отношение АЕ:ЕС, если АС:СВ=-- 4:5.       63. АС и СВ — катеты; СО — высота; DE _]_ АС и DF _]_ СВ. Определить DE и DF, если АС — 75 дм и ВС =100 дм.       64. В дву равнобедренных треугольниках боковые стороны имеют одинаковую длину, а сумма углов при вершинах равна 180°. Основания относятся, как 9:40, а длина боковой стороны равна 41 дм. Определить основания.       65. 1) В треугольнике основание равно 60 м, высота 12л и медиана основания 13 м. Определить боковые стороны.       2) В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота н медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40:41.             Смешанные задачи на прямоугольный треугольник.       66. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны: I) 6 дм и 5 дм;       2) 24 м и 13 м.       67. В прямоугольном треугольнике катеты равны 13д/г и 84 дм. Определить радиус вписанного круга.       68. Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65 дм; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63 дм, длина их общей внутренней касательной равна 25 дм. Определить радиусы окружностей.       69. Длины двух параллельных хорд равны 40 дм п 48 дм, расстояние между ними равно 22 дм. Определить радиус круга.       70. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, основания равны 36 см и 1 м. Определить радиус круга.       71. Около круга, радиус которого равен 12 см, описана равнобедренная трапеция с боковой стороной в 25 см. Определить основания этой трапеции.       72. Около круга радиуса г описана равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны относятся, как т:п. Определить стороны этой трапеции.       73. АВ и АС — касательные к одному кругу с центром О, М — точка пересечения прямой АО с окружностью; DME — отрезок касательной, проведённой через М между АВ и АС. Определить длину DE, если радиус круга равен 15 дм, а расстояние АО = 39 дм.       74. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 дм и 20 дм. Определить расстояние от центра вписанного кр>га до высоты, проведённой на гипотенузу.       75. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу, и на нём, как на диаметре, описана окружность, которая на катетах СА и СВ даёт внутренние отрезки тип. Определить катеты (т = 12; п =18).       76. В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 дм и 100 дм. На отрезках гипотенузы, образуемых высотой, построены полукруги по одну сторону с данным треугольником. Определить отрезки катетов, заключенные внуфй этих полукругов.       77. Если два круга имеют внешнее касание, то их общая внешняя касательная есть средняя пропорциональная между их диаметрами. Доказать.       78. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна к основаниям AD и ВС-, сумма острых углов А и С равна 90°. Основание AD — a н ВС — Ъ. Определить боковые стороны АВ и CD.       Косоугольный щения, которое желают разгородить до треугольник. линии АС. Ввиду препятствий, встречающнхся вдоль прямой АС, вместо веб Измерены: АВ — 50 м, ВС — 35 м н / ABC — 60°. Вычислить по от им данным длину АС.       80. На чертеже 37 изображён кран, у которого стойка а 10 м и плечо Ь — 13 м. Угол между а и Ъ равен 120°. Определить длину тяги с.       81. В треугольнике определить вторую боковую сторону, если следующими числами соответственно выражаются первая боковая сторона, основание и проекция второй баковой на основание: 1) 6; 5; 3,8; 2) 2; 3; 2; 3) 12; 8; Н; 4) 2; 2; 3.       82. Определить вид треугольника (относительно углов), если даны три стороны нлн отношения их: 1) 2; 3; 4; 2) 3; 4; 5; 3) 4; 5; 6; 4) 10; 15; 18; 5) 68; 119; 170.       83. В треугольнике ABC пусть будут: Ь — основание, а и с- — боковые стороны; р и q — их проекции на основание, А — высота. Определить р, q и А, если даны три стороны:       1) а — 13, А — 14, с=15; 2) а — 37, & — 3Q, с =13;       84. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 60° и соответственно равны:       J) 5 см я 8 см; 2) 8 см и 15 см; 3) 63 см и 80 см.       85. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 120° и соответственно равны: 1) 3 см и 5 см; 2) 7 см и 8 см; 3) 11 см и 24 см.       86. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 45° и соответственно равны: 1) 2 К 3; 2) /8 и 5; 3) /18 и 7.       87. Определить стороны треугольника, зная, что средняя по величине сторона отличается от каждой из двух других на единицу и что проекция большей стороны на среднюю равна 9 единицам.       88. Сторона треугольника равна 21 см, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся, как 3:8. Определить эти стороны.       89. В треугольнике боковая сторона равна 16 м и образует с основанием угол в 60°; другая боковая сторона равна 14 м. Определить основание.       90. Основание треугольника равно 13 см; угол при вершине равен 60°; сумма боковых сторон равна 22 см. Определить боковые стороны и высоту.       91. В треугольнике основание равно 12 см; один из углов при нём равен 120°; сторона против этого угла равна 28 см. Определить третью сторону.       92. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ продолжена на длину BD, равную ВС, и точка D соединена с С. Определить стороны треугольника ADC, если катет ВС — а.       93. Определить хорду половинной дуги, если хорда целой дуги равна а, радиус равен г {г — 25; а = 48).       94. 1) В прямоугольном треугольнике ABC катет АС — = 15 см и катет ВС — 20 см. На гипотенузе АВ отложена часть AD длиной в 4 см, и точка D соединена с С. Определить длину CD.       2) Треугольник ABC — прямоугольный при С. На продолжении гипотенузы АВ отложен отрезок BD, равный катету ВС, и точка D соединена с С. Определить длину CD, если ВС — 7 см и АС — 24 см.       95. В треугольнике ABC проведены высоты BD и СЕ, и точки D н Е соединены. Найти отношение площади Д ADE       к площади Д ЛВС: 1) если /А — 45°; 2) если /А — = 30°.       96. В треуюльнике ABC дана точка D на стороне АВ; определить длину CD, если известно, что а = 37, 6 = 15, с = 44 и AD = 14.       97. В тупоугольном треуюльнике бблыиая сторона равняется 16 см, а высоты, проведённые из обоих ее концов, отс 1 оят от вершины тупого угла на 2 см и на 3 см. Опре-де.нпь две меньшие стороны треугольника.       98. Стороны равнобедренного треугольника суть: ЛВ = = ВС= 50 см и ЛС= 60 см. Проведены высоты АЕ и CD, и точки D и Е соединены. Определить стороны треугольника DBE.       99. В треугольнике ABC из конца С стороны АС проведен перпендикуляр к ней до пересечения в точке D с продолжением стороны АВ. Определить BD и CD, если ЛВ=45, ВС = 39 и ЛС= 42.       100. В треугольнике ЛВС даны стороны: ЛВ = 15, ЛС= 14 н ВС= 13. Биссектриса угла В продолжена за его вершину до пересечения в точке Ё с перпендикуляром к АС, проведенным из точки С. Определить длину СЕ.       101. Данного круга касается два равных меньших круга: один изнутри, другой извне, причем дуга между точками касания содержит 60°. Радиусы меньших кругов равны г, радиус большего круга равен R. Определить расстояние между центрами меньших кругов       102. 1) Стороны параллелограмма равны 23 см и 11 см, а диагонали относятся, как 2:3. Определить диагонали.       2) Диагонали параллелограмма равны 17 ел и 19 см, а стороны относятся, как 2:3. Определить стороны.       103. 1) Диагонали параллелограмма равны 12 см н 14 см, а разность сторон равна 4 см. Определить стороны параллелограмма.       2) Определить стороны и диагонали параллелограмма, если бблыиая сторона равна меньшей диагонали, разность сторон равна 3 ел и разность диагоналей равна 2 ел.       104. 1) Стороны треугольника: 16, 18 и 26. Вычислить медиану большей стороны.             Параллелограмм и трапеция.       §11. Пропорциональные отрезки в круге       2) Две стороны треугольника 7 и 11; медиана к третьей стороне равна 6. Определить третью сторону.       3) Стороны треугольника а, b и с. Определить медианы.       105. Определить высоту параллелограмма, у которого основание равно 51 см, а диагонали 40 см и 74 см.       106. В равнобедренной трапеции определить длину диагоналей: 1) если основания равны 4 м и 6 м, a 6oKOBanv сторона равна 5 м\ 2) если одна сторона равна 5 см, а другие три равны каждая 4 см.       107. Определить высоту н диагонали трапеции, если основания а и с и боковые стороны bad выражаются следующими числами;       108. В треугольник вписан параллелограмм так, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а диагонали соответственно параллельны боковым сторонам треугольника. Основание треугольника равно 45 см, а боковые стороны 39 см и 48 см. Определить стороны параллелограмма.       109. Доказать, что в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату боковой стороны, сложенному с произведением оснований.       110. Доказать, что во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.       111. Доказать, что во всяком четырёхугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое более суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.       112. Определить острый угол ромба, в котором сторона есть средняя пропорциональная между диагоналями.       § 11. Пропорциональные отрезки в круге.       1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK=h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта /? = 8,5л. Вычислить длину АВ пролёта моста.       2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждая на одинаковом рассюянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.