Алексей Васильевич Погорелов
Геометрия
для 7-11 классов
*** 1993 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1). Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек. Геометрия широко применяется на практике. Ее надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем. Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени Евклида, создавшего руководство по математике под названием «Начала». В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости. 2. ТОЧКА И ПРЯМАЯ Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D, ... . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами На рисунке 3 вы видите точку А и прямую о. Прямая бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть прямой, но представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны. Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, b и точки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой о. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой о или что прямая о проходит через точки А и С. Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на прямой о. Точка С лежит и на прямой о, и на прямой Ь. Прямые о и Ъ пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых a vs. Ь. На рисунке 5 вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки А и В. Основными свойствами принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следующие свойства: I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую о на рисунке 4 можно обозначить АС, а прямую Ъ можно обозначить ВС. Задача (3). Могут ли две прямые иметь две точки Ч ) пересечения? Объясните ответ. Решение. Если бы две прямые имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести только одну прямую. Значит, две прямые не могут иметь две точки пересечения. 3. ОТРЕЗОК Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую о и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В. На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. Он является частью прямой АВ. Эта часть прямой выделена жирной линией. Точка X прямой лежит между точками А и В, поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка Y не лежит между точками А и В, поэтому она не принадлежит отрезку АВ. 1 Число в скобках указывает номер задачи в списке Задач, приведенных в конце параграфа. Основным свойством расположения точек на прямой мы будем называть следующее свойство: II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 4. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 8 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства: III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и. В. 5. ПОЛУПЛОСКОСТИ Посмотрите на рисунок 9. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую. На рисунке 9 точки А к В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекает прямую с. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок CD пересекает прямую о. Основным свойством расположения точек относительно прямой на плоскости мы будем называть следующее свойство: IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Задача (17). Даны прямая и три точки А, В, С, ие С лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пере-— секает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ. Решение. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 10). Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полуплоскости, что й точка А. Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В лежит в другой полуплоскости. Таким образом, точки В и С лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок ВС пересекает нашу прямую. 6. ПОЛУПРЯМАЯ Задача (20). Даны прямая о и точки А, X, Y, Z на этой прямой (рис. 11). Известно, что точки X и У лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ. Решение. Проведем через точку А какую-нибудь прямую Ь, отличную от а. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Одной из них принадлежит точка X. В той же полуплоскости лежат точки У и Zy потому что отрезки XY и XZ не пересекают прямую Ъ. Так как точки У и Z лежат в одной полуплоскости, то отрезок YZ не пересекает прямую Ь, а значит, не содержит точку А. То есть точки У и Z лежат по одну сторону от точки А. Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется щчалъной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнителъными. Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точками: начальной и еще какой-нибудь точкой, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, полупрямую, которая выделена жирной линией на рисунке 12, можно обозначить АВ. Задача (22). На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, С А и СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните Ответ. Решение (рис. 13). Данные полупрямые имеют начальной точкой либо точку А, либо точку С. Рассмотрим сначала полупрямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку АВ. Значит, точка А не лежит между точками В и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие. Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые СА и СВ). Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полупрямые СА и СВ дополнительные. 7. УГОЛ Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки,— сторон угла. На рисунке 14 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком Z.. Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами: LO, Z-(ob), ААОВ. В третьем способе обозначения угла буква, обозначающая вершину, ставится посередине. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. На рисунке 15 вы видите развернутый угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ. Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. На рисунке 16 луч с проходит между сторонами угла (ob), так как он исходит из вершины угла (ab) и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах. В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла. Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке 17 угол (ab) равен 120°. Полупрямая с проходит между сторонами угла (ab). Угол (ас) равен 90°, а угол (be) равен 30°. Угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ъс). Основными свойствами измерения углов мы будем называть следующие свойства: V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла (ab), то угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ъс). Задача (25). Может ли луч с проходить между сторо-(ГО нами угла (аЬ), если, Z(ос) = 30°, А(сЬ) = 80°, A(ab) = 50°? —f Решение. Если луч с проходит между сторонами угла (об), то по свойству измерения углов должно быть: А(ас)-- гL(bc)= A(ab). Но 30° + 80° =50°. Значит, луч с не может проходить между сторонами угла (ab). 8. ОТКЛАДЫВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полупрямой о с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см). Посмотрите на рисунок 19. Полупрямая о, продолженная за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой о в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°). Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства: VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. VII. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. Задача (30). На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АЗ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. Решение (рис. 20). Так как точки В vs. С лежат на одной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т. е. точка А не лежит между точками В и С. Может ли точка В лежать между точками А и С? Если бы она лежала между точками А и С, то было бы АВ+ВС=АС. Но это невозможно, так как по условию отрезок АС меньше отрезка АВ. Значит, точка В не лежит между точками А и С. Из трех точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому точка С лежит между точками А и В. 9. ТРЕУГОЛЬНИК Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами. На рисунке 21 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют знак Д. Например, треугольник на рисунке 21 обозначается так: ДАВС. Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С. Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками. Для обозначения равенства треугольников используется обычный знак равенства: =. Запись ААВС= ААВС читается так: «Треугольник ABC равен треугольнику АВС. При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство ААВС = аАВС означает, что АА — АА, АВ = АВи ... . А равенство ААВС— АВАС означает уже совсем другое: АА = АВи АВ= АА, ... . Задача (38). Треугольники ABC и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ. Решение. Так как треугольники ABC и PQR равны, то у них AB=PQ, АС = AR. Значит, PQ = 10 м, AR = 90°. 10. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ Пусть мы имеем треугольник ABC и луч а (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч о, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим А, В, С (рис. 23,6). Треугольник АВС( равен треугольнику ABC. Существование треугольника АВС, равного треугольнику ABC и расположенного указанным образом относительно заданного луча а, мы относим к числу основных свойств простейших фигур. Это свойство мы будем формулировать так: VIII. Какое бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. 11. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. На рисунке 24 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ъ, параллельную данной прямой о. Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. Запись а||Ь читается: «Прямая о параллельна прямой Ь». Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем: IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. Задача (41). Может ли прямая, пересекающая одну ( из двух параллельных прямых, не пересекать другую? —' Объясните ответ. Решение. Пусть a vs. b — параллельные прямые, и пусть прямая с пересекает прямую а в точке А (рис. 25). Если бы прямая с не пересекала прямую Ъ, то через точку А проходили бы две прямые, не пересекающие прямую Ь: прямая а и прямая с. Но по свойству параллельных прямых это невозможно. Значит, прямая с, пересекая прямую о, должна пересекать и параллельную ей прямую Ъ. 12. ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Приведем пример. Теорема 1.1. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон. Доказательство. Пусть прямая а не проходит ни через одну из вершин треугольника ABC и пересекает его сторону АВ (рис. 26). Прямая о разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекает прямую о. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей. Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекает прямую о, а отрезок ВС пересекает эту прямую (рис. 26, а). Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекает прямую о, а отрезок ВС не пересекает (рис. 26, б). В обоих случаях прямая о пересекает только один из отрезков АС иди ВС. Вот и все доказательство. Рис. 26 Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Условие теоремы 1.1 состоит в том, что п эяая ну; пррходит ни через одну вершину треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника. 13. АКСИОМЫ Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово аксиома происходит от греческого слова аксиос и означает утверждение, не вызывающее сомнений. При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя. При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее. В геометрии наряду с такими словами, как аксиома и теорема, используется также слово «определение». Дать определение чему-либо — значит объяснить, что это такое. Например, говорят: «Дайте определение треугольника». На это отвечают: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки». Другой пример: «Дайте определение параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые называются параллельными, если они не пересекаются». Вы уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов и равенства треугольников. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Приведите примеры геометрических фигур. 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. 3. Как обозначаются точки и прямые? 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых. 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках. 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой. 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков. 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками? 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости? 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости. 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными? 12. Как обозначаются полупрямые? 13. Какая фигура называется углом? 14. Как обозначается угол? 15. Какой угол называется развернутым? 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла». 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение. 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов. 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов. 20. Что такое треугольник? 21. Что такое угол треугольника при данной вершине? 22. Какие отрезки называются равными? 23. Какие углы называются равными? 24. Какие треугольники называются равными? 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы? 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному. 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых? 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых. 29. Приведите пример теоремы. KOHEЦ ФPAГMEHTA |
