|
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ I
Планиметрия
ДЛЯ 6-8 КЛАССОВ СЕМИЛЕТНЕЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Под редакцией Д. И. ПЕРЕПЁЛКИНА
Утверждено Министерством просвещения РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва 1954
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящая книга отличается от написанных до сих пор учебников геометрии следующими особенностями.
Изменена по сравнению с прежними учебниками научная трактовка основных вопросов курса. Так, значительно полнее, чем в прежних учебниках, изложены вопросы симметрии — осевой и центральной. Они выделены в особые подразделения в главах, снабжены отдельными упражнениями и в дальнейшем используются при доказательстве теорем.
По-новому изложен вопрос об измерении отрезков и о несоизмеримых величинах, причём опущен алгоритм Евклида нахождения общей меры двух отрезков как устаревший и не имеющий в настоящее время ни теоретического, ни практического значения. По той же причине опущена геометрическая теория пропорций. Вопрос об измерении длин отрезков, как и все вопросы измерения, изложен в соответствии с современными научными взглядами на измерение геометрических величин. Подобие фигур изложено как некоторое геометрическое преобразование, изменяющее размер фигуры без изменения её формы. Такое изложение соответствует истинному содержанию понятия о подобных фигурах и является более современным, чем сохранившееся со времён Евклида определение подобия фигур как некоторой формальной зависимости между их элементами.
По-новому изложен вопрос об измерении площадей. Вся теория измерения площадей строится на современной научной основе в постановке, данной Гильбертом и Шуром.
В методическом отношении приняты следующие установки: значительно усилена роль геометрических построений, которые вводятся с самого начала курса и сопровождают всё изложение предмета от начала до конца. До главы о равенстве треугольников построения выполняются при помощи трёх инструментов — циркуля, линейки и треугольника. При этом доказательства правильности производимых построений излагаются петитом, так как они могут на первых порах вызвать затруднения у учащихся, а в то же время могут быть опущены без ущерба для общего развития учащихся ввиду простоты самих построений. Теоремы о равенстве треугольников дают возможность освободиться от чертёжного треугольника, и с этого места курса все построения выполняются лишь с помощью циркуля и линейки.
Далее, несколько изменён порядок изложения отдельных глав.
Так, теория параллельных прямых изложена раньше свойств треугольников, как это уже делалось в некоторых прежних учебниках (Герхер, А. Н. Глаголев и др.). Это придаёт изложению большую стройность и освобождает от необходимости давать отдельные доказательства ряду теорем о треугольниках (теорема о внешнем угле, некоторые теоремы о равенстве треугольников и др.).
В книге помещено свыше 700 задач (не считая решённых в тексте). В целях наилучшего их использования при прохождении курса эти задачи помещаются не только в конце каждой главы, но в больших главах и по отдельным разделам этих глав.
По содержанию задачи разделяются на четыре группы: 1) задачи на доказательство, 2) на нахождение геометрических мест, 3) на построение и 4) на вычисление.
Особенно увеличено по сравнению с прежними учебниками число задач первой и третьей групп, как наиболее развивающих геометрическое мышление учащихся. Такое большое число задач, как мне кажется, даёт возможность начать работу по новому учебнику, не дожидаясь издания к нему отдельного задачника. Из общего числа свыше 700 задач около 70 заимствовано автором из книг:
1. A. Salomon, Legons de Geometrie.
2. Emile Воге1, Geometrie.
3. Е. Неisund F. Eschweiler, Lehrbuch der Geometrie.
4. A. H. Глаголев, Элементарная геометрия.
У этих задач поставлены отметки [1], [2J, [3], [4], указывающие их источник, причём если задача помещена в нескольких книгах, то отметка указывает более ранний источник. Остальные задачи или составлены самим автором, или общеизвестны, или являются простыми вариантами общеизвестных задач и потому не нуждаются в указании источника.
Я. Глаголев.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Второе, посмертное издание учебника (автор скончался в 1945 г.) не отличается сколько-нибудь существенно от первого.
Текст первого издания был тщательно просмотрен, исправлены замеченные погрешности, в некоторых местах внесены редакционные изменения. Те места учебника, которые были изложены, на наш взгляд, слишком кратко, снабжены дополнениями. Несколько чертежей заменены новыми.
Д. Перепёлкин.
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.
Настоящее (третье) издание печатается без изменений со второго издания.
ВВЕДЕНИЕ.
1. Предмет геометрии.
Наблюдая окружающие нас предметы, мы замечаем большое разнообразие их внешнего вида и их свойств.
Предметы отличаются один от другого своим видом, весом, свойствами вещества, из которого они состоят, и т. д. Но при всём этом разнообразии можно заметить свойство, присущее всем предметам без исключения, именно: каждый предмет имеет свою форму и свой размер. При изготовлении различных предметов им придают форму и размер, соответствующие их назначению.
Артиллерийскому снаряду придают форму, при которой он имеет нужную дальность полёта, кузову корабля — форму, которая даёт ему устойчивое положение на поверхности воды и позволяет легче рассекать волны морской стихии.
Далее, мы замечаем, что каждый предмет занимает определённое положение среди других предметов.
В практической жизни весьма важно уметь определять расстояние между предметами, размещать их должным образом на нужных расстояниях. Так. на заводах весьма важно правильно расставить станки. На поле боя важно правильно разместить дзоты и наблюдательные пункты, уметь определить местонахождение огневых точек врага, расстояние до его блиндажей и т. п.
Изучение форм и размеров предметов и их взаимного положения составляет отдельную область человеческого знания.
Наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение предметов, называется геометрией.
2. Происхождение геометрии.
Уже первобытные люди на самой начальной ступени своего развития должны были различать формы окружавших их предметов и замечать места их расположения. Так, они запоминали места охоты, места стоянок и селений. Они постепенно научились определять расстояния между отдельными предметами, размеры отдельных участков местности и т. п.
По мере развития общественной жизни людей изучение форм и размеров предметов и их взаимного расположения становилось всё более нужным и требовало от человека всё больших знаний. В древнем Египте весенние разливы огромной реки Нила смывали границы%между отдельными земельными участками. Нужно было ежегодно их восстанавливать, что было связано с большими измерительными работами на местности. Чтобы выполнять эти работы, надо было иметь удобные правила для вычисления длин линий, площадей, участков земли, для выполнения планировок местности и т. п. Эти правила были выработаны и записаны.
Греки, ведя торговлю с египтянами, познакомились с этими правилами, дополнили их и постепенно развили из них целую науку, которую и назвали геометрией, что значит искусство измерять землю.
Греческий учёный Евклид, живший в III в. до н. э., особенно подробно разработал эту науку и изложил её вместе с арифметикой в одиннадцати книгах, которые он назвал «Начала». По ним и изучали геометрию в последующие века. По образцу этих «Начал» составляются учебники геометрии и до нашего времени.
3. Основные геометрические понятия.
а) Геометрическое тело.
Когда изучается лишь форма и размер предмета, то этому предмету дают название «геометрическое тело», подчёркивая этим, что его физические свойства оставляются без внимания. Если взять два предмета одинаковой формы и одинакового размера, но сделанные из разных материалов, то они будут представлять собой одно и то же геометрическое тело, хотя физические их свойства будут различны.
Например, небольшой резиновый мяч и мыльный пузырь того же размера, совершенно различные по своим физическим свойствам, представляют собой одно и то же геометрическое тело.
Физическое тело при изменении его положения относительно других тел, например при переносе его из одной среды в другую, неизбежно, хотя бы и ничтожно мало, изменяет свои физические свойства и даже свой размер под влиянием среды. Геометрическое тело рассматривается независимо от физических свойств предмета. Поэтому ему приписывают следующее свойство: геометрическое тело может свободно перемещаться и изменять своё положение среди других тел, не изменяя при этом ни своего размера, ни формы, ни взаимного расположения своих частей.
б) Поверхность.
Всякое физическое тело отделяется от прилегающих к нему других тел, например от прилегающих частиц воздуха, поверхностью этого тела.
Поверхность тела можно представить себе отдельно от самого тела. Такой отдельной поверхности е действительности не сущест-
вует Мы лишь создаём её в своём воображении. В природе можно найти лишь грубое её изображение в виде, например, очень тонкого листа бумаги или плёнки мыльного пузыря. Геометрическую поверхность мы воображаем без всякой толщины.
в) Линия.
Иногда поверхности тел встречаются, или, как говорят, пересекаются Например,поверхность дымовой трубы пересекается с поверхностью крыши, боковая грань куба пересекается с его основанием и т. п. При таком пересечении поверхностей образуется линия.
Линию весьма часто представляют себе отдельно от геометрических поверхностей в виде тончайшей нити без всякой ширины.
Геометрических линий в природе не существует. Мы лишь создаём их в своём воображении.
г) Точка.
Две линии также могут встречаться, или пересекаться. При таком пересечении образуется точка, например два ребра куба встречаются в вершине куба. Вершины куба — точки.
Точку также часто представляют себе отдельно от линии, как мельчайшее зёрнышко или прокол тонкой иглы на листе бумаги. Точка не имеет никакого размера. Геометрической точки в природе не существует.
4. Образование линий и поверхностей движением.
Если точка будет как-либо перемещаться, то при своём движении она опишет линию. Так, например, если провести остриём карандаша по листу бумаги, то на бумаге образуется черта — след, оставляемый остриём. Эта черта даёт представление о линии, образуемой движением острия карандаша. Точно так же летящая искра, быстро перемещаясь, образует светящуюся линию. Так, интересно наблюдать, как от горящего ночью костра по ветру отлетает множество искр, образующих целый поток огненных линий. Для уточнения прицела зенитных орудий, при обстреле вражеских самолётов ночью, выпускаются обычно трассирующие пули, полётом которых образуются цветные огневые линии
Если линия будет перемещаться из одного положения в другое, то при таком перемещении она опишет поверхность. Образование поверхности движением линии можно, например, видеть, наблюдая вращение спиц велосипедного колеса. При быстром вращении они как бы сливаются в один сплошной диск.
5. Простейшие линии и поверхности.
а) Прямая линия.
Простейшая из всех линий — прямая. Представление о ней дает туго натянутая на двух опорных точках тонкая нить или луч света, выходящий из малого отверстия. Основное свойство
прямой следующее: через две любые точки можно провести прямую и притом только одну.
Этим свойством прямой постоянно пользуются на практике. Например, чтобы наметить на местности прямую линию, вбивают в землю деревянную веху и на некотором расстоянии от неё — вторую; эти вехи и определяют на местности прямую. Чтобы продолжить эту прямую, вбивают за второй вехой на некотором расстоянии третью так, чтобы она закрывала собой обе первые, если приблизить глаз к её концу и смотреть на концы двух первых вех. Так же можно ставить четвёртую, пятую вехи и т. д. Этим же свойством прямой пользуются пильщики, распиливая брёвна на доски. Натягивая нить между двумя точками на концах бревна, они намечают по ней линию распилки бревна.
б) Плоскость.
Простейшей поверхностью является плоскость. Представление о ней может дать поверхность жидкости в сосуде, находящейся в покое, или поверхность хорошо отполированной крышки стола, или поверхность хорошо отшлифованного зеркала. Но это представление лишь приближённое. Как бы хорошо ни был отполирован стол, на его поверхности всегда останутся мельчайшие шероховатости и неровности древесных волокон. Чтобы представить себе плоскость, нужно отвлечься от всех этих неровностей и вообразить, что поверхность стола абсолютно гладкая. Основное свойство плоскости следующее: если две любые точки плоскости соединить прямой линией, то все точки этой прямой окажутся лежащими на плоскости.
Этим свойством плоскости пользуются при отшлифовке гладких плит для проверки точности шлифовки. Именно, берут металлический брусок с точно выверенным прямолинейным ребром и этим ребром прикладывают его к данной поверхности. Если шлифовка достаточно точна, то брусок будет во всех своих точках одинаково плотно прилегать к поверхности, в каком бы направлении и в каком бы месте его ни прикладывали.
6. Геометрические фигуры.
Сочетание некоторого числа точек, линий и поверхностей, как-либо расположенных одни относительно других, называется геометрической фигурой.
Геометрические фигуры разделяются на плоские и пространственные.
Плоской фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт всякий рисунок, сделанный на гладком листе бумаги.
Фигура называется пространственной тогда, когда не все её точки лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт всякое геометрическое тело.
В первой части геометрии изучаются плоские фигуры. Эта часть геометрии называется планиметрией.
7. Способы изучения геометрических фигур.
Непосредственных измерений и опытов, применяемых обычно при изучении физических тел, бывает иногда недостаточно для изучения свойств и взаимного расположения геометрических тел. Так, например, непосредственное измерение длины или высоты предмета не всегда возможно. Нетрудно измерить длину стола или высоту комнаты, но значительно труднее измерить высоту растущего дерева или определить высоту летящего самолёта.
Поэтому в геометрии не ограничиваются только одними измерениями, а прибегают и к рассуждениям. Именно: заметив какое-либо свойство изучаемого тела, по нему стараются правильными рассуждениями обнаружить новые свойства этого тела.
Так, например, мы отметили свойство прямой линии: через две точки можно провести прямую и притом только одну. Из этого утверждения можно сделать следующий вывод: две прямые линии не могут встречаться более, чем в одной точке. В самом деле, если бы две прямые линии встретились в двух точках, то через эти две точки стали бы проходить две прямые, а не одна. Таким образом, путём правильного рассуждения мы обнаружили новое свойство прямых линий: они могут пересекаться не более, чем в одной точке.
Подобного рода правильные рассуждения и являются главным средством изучения свойств геометрических фигур.
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое геометрическое тело?
2. Можно ли назвать геометрическим телом внутренность закрытой комнаты?
3. Если придавить снег ногой, в нём образуется углубление. Можно ли это углубление назвать геометрическим телом?
4. Могут ли через данную линию проходить несколько геометрических поверхностей?
5. Можно ли точку разделить на более мелкие части?
6. Что называется геометрической фигурой?
ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ 1. ПЛАНИМЕТРИЯ
УЧЕБНИК ДЛЯ 6 — 9 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЁРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Под редакцией А. А. ГЛАГОЛЕВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Книга Н. А. Глаголева Элементарная геометрия (планиметрия) переработана А. А. Глаголевым и Издаётся под названием Геометрия, ч. 1, в качестве пробного учебника для 6 — 9 классов средней школы.
Все отзывы и замечания о возможности использования ее в качестве стабильного учебника в средней школе просьба направлять в Учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР по адресу: Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, редакция математики.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга Н. А. Глаголева Элементарная геометрия выдержала три издания; она широко известна учителям и получила положительную оценку в печати.
С целью приспособления указанной книги к действующей ныне программе средней школы в четвёртом издании сделаны значительные изменения в изложении материала и некоторые дополнения.
При изложении вопросов принципиального характера (измерения отрезков, подобия фигур, измерения площади и др.) мной произведены значительные-изменения по существу, вследствие чего можно считать, что соответствующие разделы написаны заново.
В главе Измерение отрезков вводится отсутствующее в предыдущих изданиях понятие о наибольшей общей мере двух отрезков, и на этой основе приводится пример несоизмеримых отрезков, что даёт возможность наиболее естественным путём прийти к понятию иррационального числа.
Мне представляется, что пример несоизмеримых отрезков важен ещё и потому, что на этом примере мы показываем ценность чисто теоретических исследований, так как на практике убедиться в существовании несоизмеримых отрезков невозможно.
В шестой главе .Подобие фигур* дано современное строгое определение подобия как прямолинейных, так и криволинейных фигур.
Мне представляется, что принятое у нас определение подобньу^ фигур как фигур, имеющих различные размеры, но одинаковую форму, не является строгим математическим определением, ибо непонятно, как точно, а не на глаз определить, имеют ли две фигуры одинаковую форму или нет.
Например, если мы начертим два прямоугольника со сторонами 3 см и 7 см и соответственно 3 см и 7,01 см, то вследствие несовершенства наших органов зрения эти прямоугольники будут нам казаться не только имеющими одинаковую форму, но даже и равными.
Между тем на самом деле данные прямоугольники будут не только не равны, но даже и не подобны.
Так как определение подобных фигур, а также подобное преобразование фигур и, в частности, гомотетия не могут быть изложены без применения некоторых теорем о подобных треугольниках, то глава Подобие фигур в отличие от прежних изданий начинается с изложения теории подобных треугольников.
Кроме того, в настоящем издании гомотетия рассматривается как частный случай общего подобного преобразования фигур.
Раздел Измерение площадей изложен мной по-новому, а именно: при помощи понятия равновеликих фигур доказывается, что площадь прямоугольника с основанием а и высотой Ъ равна площади прямоугольника с основанием аЬ и высотой 1. Таким образом, при помощи элементарных построений вопрос об измерении площади прямоугольника сводится к вопросу об измерении отрезка, что представляет собой большие удобства.
В связи с новой программой средней школы мне пришлось ввести новые параграфы, например параграф об астролябии, об эккере, о съёмке местности и составлении плана местности, масштабе и пр.
Параграф о построении корней квадратного уравнения как устаревший и не имеющий ни теоретического, ни практического значения заменен мной другим. Здесь я элементарным путём излагаю графический способ решения квадратного уравнения, предложенный в 1922 г. Соро в его обширном труде по номографии.
В заключение считаю своим долгом выразить глубокую признательность доценту Т. В. Солнцевой и редактору Учпедгиза Н. И. Лепёшкиной, оказавшим мне неоценимую помощь при подготовке четвёртого издания учебника Н. А. Глаголева.
20 мая 1958 г.
А. Глаголев
ВВЕДЕНИЕ
1. Предмет геометрии
Наблюдая окружающие нас предметы, мы замечаем большое разнообразие их внешнего вида и их свойств.
Предметы отличаются один от другого своим видом, весом, свойствами вещества, из которого они состоят, и т. д. Но при всём этом разнообразии можно заметить свойство, присущее вс$м предметам без исключения, а именно: каждый предмет имеет свою форму и свой размер.
При изготовлении различных предметов им придают форму и размер, соответствующие их назначению. Например, кузову легковой автомашины „Победа" придают обтекаемую форму с целью уменьшения сопротивления воздуха; кузову корабля — форму, которая даёт ему устойчивое положение на поверхности воды и позволяет легче рассекать волны морской стихии.
Далее, мы замечаем, что каждый предмет занимает определённое положение среди других предметов.
В практической жизни необходимо уметь определять расстояние между предметами, размещать их должным образом на нужных расстояниях. Так, на заводах важно правильно расставить станки, при постройке новых населённых пунктов необходимо правильно распланировать будущие улицы, точно разметить строительные площадки воздвигаемых зданий.
Изучение форм и размеров предметов и их взаимного положения составляет отдельную область знания. Наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение предметов, называется геометрией.
2. Происхождение геометрии
Уже первобытные люди на самой начальной ступени своего развития должны были различать формы окружавших их предметов и замечать места их расположения. Так, они запоминали места охоты, места стоянок и селений. Люди постепенно научились определять расстояния между отдельными предметами, размеры отдельных участков местности и т. п.
По мере развития общественной жизни людей изучение форм и размеров предметов и их взаимного расположения становилось всё более нужным и требовало от человека всё ббльших знаний. В древнем Египте весенние разливы огромной реки Нила смывали границы между отдельными земельными участками. Нужно было ежегодно их восстанавливать, что было связано с большими измерительными работами на местности. Чтобы выполнять эти работы, надо было иметь удобные правила для вычисления длин линий, площадей участков земли, для выполнения планировок местности и т. п. Эти правила были выработаны и записаны.
Греки, ведя торговлю с египтянами, ознакомились с этими правилами, дополнили их и постепенно развили из них целую науку, которую и назвали геометрией, что значит искусство измерять землю.
Греческий учёный Евклид, живший в III в. до н. э., особенно подробно разработал эту науку и изложил её вместе с арифметикой в одиннадцати книгах, которые он назвал „Начала". По ним и изучали геометрию в последующие века. По образцу этих „Начал" составляются учебники геометрии и до нашего времени.
3. Основные геометрические понятия
Геометрическое тело. Когда изучается лишь форма и размер предмета, то этому предмету дают название „геометрическое тело", подчёркивая этим самым, что его физические свойства просто не рассматриваются. Если взять два предмета одинаковой формы и одинакового размера, но сделанные из разных материалов, то они будут представлять собой два одинаковых геометрических тела, хотя физические их свойства будут различны.
Например, небольшой резиновый мяч и мыльный пузырь того же размера, совершенно различные по своим физическим свойствам, представляют собой два одинаковых геометрических тела, а именно шары.
Физическое тело при изменении его положения относительно других тел, например при переносе его из одной среды в другую, неизбежно, хотя бы и ничтожно мало, изменяет свои физические свойства и даже свой размер под влиянием среды. Геометрическое тело рассматривается независимо от физических свойств предмета. Поэтому ему приписывают следующее свойство: геометрическое тело может свободно перемещаться и изменять своё положение среди других тел, нетзменяя при этом ни своего размера, ни формы, ни взаимного расположения своих частей.
Поверхность. Всякое физическое тело отделяется от прилегающих к нему других тел, например от прилегающих частиц воздуха, поверхностью этого тела.
Поверхность тела можно представить себе отдельно от самого тела. Такой отдельной поверхности в действительности не суще-
ствует. Мы создаём её в своём воображении. В природе можно найти лишь грубое её изображение в виде, например, очень тонкого листа бумаги или плёнки мыльного пузыря. Геометри-чёскую поверхность мы воображаем не имеющей толщины.
Линия. Иногда поверхности тел пересекаются. Например, поверхность дымовой трубы пересекается с поверхностью крыши; боковая грань куба пересекается с его основанием и т. п. При таком пересечении поверхностей образуется линия.
Линию весьма часто представляют себе отдельно от геометрических поверхностей в виде тончайшей нити, не имеющей ширины.
Геометрических линий в природе не существует. Мы создаём их в своём воображении.
Точка. Две линии также могут пересекаться. При таком пересечении образуется точка. Например, два ребра куба пересекаются в вершине куба. Вершины куба — точки.
Точку также часто представляют себе отдельно от линии как мельчайшее зёрнышко или прокол тонкой иглы на листе бумаги. Точка не имеет никакого размера. Геометрической точки в природе не существует.
4. Образование линий и поверхностей движением
Если точка будет как-либо перемещаться, то при своём движении она опишет линию. Так, например, если провести остриём карандаша по листу бумаги, то на бумаге образуется черта — след, оставляемый остриём. Эта черта даёт представление о линии, образуемой движением острия карандаша. Точно так же летящая искра, быстро перемещаясь, образует светящуюся линию. Интересно наблюдать, как от горящего ночью костра по ветру отлетает множество искр, образующих целый поток огненных линий.
Если линия будет перемещаться из одного положения в другое, то при таком перемещении она опишет поверхность. Образование поверхности движением линии можно, например, видеть, наблюдая вращение спиц велосипедного колеса. При быстром вращении они как бы сливаются в один сплошной диск.
5. Простейшие линии и поверхности
Прямая линия. Простейшая из всех линий — прямая. Представление о ней даёт туго натянутая на двух опорных точках тонкая нить или луч света, выходящий из отверстия. Основное свойство прямой следующее: через две любые точки можно провести прямую и притом только одну.
Этим свойством прямой постоянно пользуются на практике. Например, чтобы наметить на местности прямую линию, вбивают в землю деревянную веху и на некотором расстоянии от неё — вторую; эти вехи определяют на местности прямую.
Плоскость. Простейшей поверхностью является плоскость. Представление о ней может дать поверхность жидкости в сосуде, находящейся в покое, или поверхность хорошо отполированной крышки стола, или поверхность хорошо отшлифованного зеркала. Но это представление лишь приближённое. Как бы хорошо ни был отполирован стол, на его поверхности всегда останутся мельчайшие шероховатости и неровности древесных волокон. Чтобы представить себе плоскость, нужно отвлечься от всех этих неровностей и вообразить, что поверхность стола абсолютно гладкая. В геометрии плоскость мыслится неограниченно простирающейся в пространстве.
Основное свойство плоскости следующее: если две любые точки плоскости соединить прямой линией, то все точки этой .прямой окажутся лежащими на плоскости.
Этим свойством плоскости пользуются при отшлифовке гладких плит для проверки точности шлифовки, а именно: берут металлический брусок с точно выверенным прямолинейным ребром и этим ребром прикладывают его к данной поверхности. Если шлифовка достаточно точна, то брусок будет во всех своих точках одинаково плотно прилегать к поверхности, в каком бы направлении и в каком бы месте его ни прикладывали.
6. Геометрические фигуры и способы их изучения
Любое сочетание точек, линий и поверхностей называется геометрической фигурой.
Геометрические фигуры разделяются на плоские и пространственные.
Плоской фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт всякий рисунок, сделанный на гладком листе бумаги.
Фигура называется пространственной тогда, когда не все её точки лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт всякое геометрическое тело.
В первой части геометрии изучаются плоские фигуры. Эта часть геометрии называется планиметрией.
Непосредственных измерений и опытов, применяемых при изучении физических тел, бывает иногда недостаточно для изучения свойств и взаимного расположения геометрических тел. Так, например, непосредственное измерение длины или высоты предмета не всегда возможно. Легко измерить длину стола или высоту комнаты, но значительно труднее измерить высоту растущего дерева или определить высоту летящего самолёта.
Поэтому в геометрии не ограничиваются только одними измерениями, а прибегают и к рассуждениям: заметив какое-либо свойство изучаемого тела, по нему стараются правильными рассуждениями обнаружить новые свойства этого тела.
Так, например, мы отметили свойство прямой линии: через две точки можно провести прямую и притом только одну. Из этого утверждения можно сделать следующий вывод: две прямые линии не могут пересекаться более чем в одной точке. В самом деле, если бы две прямые пересеклись в двух точках, то через эти две точки стали бы проходить две прямые, а не одна. Таким образом, путём правильного рассуждения мы обнаружили новое свойство прямых линий: они могут пересекаться не более чем в одной точке.
Точно так же путем правильного рассуждения можно показать, что для совмещения одной прямой с другой прямой достаточно совместить две какие-нибудь точки одной прямой с двумя точками другой прямой.
В самом деле, если две точки одной прямой совпадают с двумя точками другой прямой, то и данные прямые совпадают, так как в противном случае через две точки проходили бы две различные прямые, что невозможно.
Подобного рода правильные рассуждения и являются главным средством изучения свойств геометрических фигур.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ II
Стереометрия
ДЛЯ IX — X КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Издание второе
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Д. И. ПЕРЕПЁЛКИНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА 1948
Утверждено Министром просвещения РСФСР к переизданию 1 октября 1947 г., протокол М 321
ВВЕДЕНИЕ.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ.
§ 1. Общие замечания.
В стереометрии изучаются свойства таких геометрических фигур, не все точки которых лежат на одной плоскости. Они называются пространственными фигурами. Примерами их служат геометрические тела. Чтобы облегчить себе представление действительного вида пространственной фигуры, обычно пользуются рисунками, изготовленными так, чтобы они производили на глаз приблизительно такое же впечатление, как и сама фигура. Но так как пространственная фигура не может полностью быть помещена на плоскости, то этот рисунок содержит неизбежные искажения формы и размеров отдельных частей фигуры. Так, две точки, в действительности весьма далёкие одна от другой, на рисунке могут оказаться очень близкими. Учащиеся сами могут легко заметить это на различных картинах, фотоснимках и т. д. Такие рисунки вполне пригодны длх общего созерцания фигуры, но замечать на них геометрические свойства фигур весьма трудно. Поэтому рисунки, которыми пользуются при изучении пространственных фигур, выполняются по указанному ниже способу.
§ 2. Параллельное проектирование пространственных фигур.
Предположим, что мы имеем проволочный каркас куба. Поместив его перед доской, освещённой солнцем, мы заметим, что каркас даёт на доске тень. Эта тень может служить изображением куба на плоскости. Лучи солнца, ввиду дальности их источника, можно считать параллельными. А потому эта тень называется параллельной проекцией куба, а самый способ её получения — параллельным проектированием. Рассматривая полученное таким образом изображение, легко подметить следующее;
1. Параллельные и равные отрезки, например параллельные рёбра куба, изображаются параллельными и равными отрезками.
2. Если какой-либо отрезок, например ребро куба, разделить на две части в отношении т\щ то они изобразятся отрезками, также находящимися в отношении т:п.
Эти правила и соблюдают обычно при изображении пространственных фигур на плоскости. Полученные таким путём изображения соответствуют действительному виду фигуры, если смотреть на неё с очеиь большого расстояния.
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.
I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ О ВЗАИМНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
§ 3. Изображение плоскости на чертеже.
Многие предметы, поверхность которых близка к геометрической плоскости, имеют форму прямоугольника. Таковы, например, оконное стекло, поверхность письменного стола и т. п. При параллельном проектировании прямоугольника по способу, описанному выше (§ 2), на чертеже получается парал-лелограм. Поэтому обычно плоскость на чертеже изображают в виде паралле-лограма. Этот параллелограм обычно обозначается одной буквой, например „плоскость Ми (черт. 1). Иногда для большей наглядности одну из сторон параллелограма (или даже две) заменяют кривой линией.
§ 4. Основные свойства плоскости.
Аксиомы: 1. Через всякие три тонки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3. Если две тонки прямой линии лежат на плоскости, то и все точки этой прямой лежат на той же плоскости (короче, вся прямая лежит на той же плоскости).
Следствие 1. Через прямую и точку вне её можно провести плоскость, и притом только одну.
В самом деле, какие-либо две точки данной прямой вместе с данной точкой составляют три точки, не лежащие на одной прямой. В силу аксиомы 1 через них проходит единственная плоскость, а в силу аксиомы 3 данная прямая лежит в этой плоскости.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
В самом деле, если взять на каждой из прямых по одной точке, отличной от точки пересечения прямых, то они вместе с этой точкой пересечения составят три точки, не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость, на которой лежат обе данные прямые (акс. 3).
Следствие 3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость (и только одну).
Действительно, параллельные прямые, по определению, лежат в одной плоскости; эта плоскость единственная, так как через одну из параллельных и какую-нибудь точку другой можно провести только одну плоскость (след. 1).
§ 5. Вращение плоскости вокруг прямой.
Через каждую прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей. В самом деле, пусть дана прямая а (черт. 2). Возьмём какую-нибудь точку А вне её. Через точку А и прямую а проходит единственная плоскость (§ 4). Назовём её плоскостью М. Возьмём новую точку В вне плоскости М. Через точку В и прямую а в свою очередь проходит плоскость. Назовём её плоскостью N. Она не может совпадать с Ж, так как в ней лежит точка Ву которая не принадлежит плоскости М. Мы можем далее взять ещё новую точку С вне плоскостей М и N. Через точку С и прямую а проходит новая плоскость. Назовём её Р. Она не совпадает ни с Ж, ни с N, так как в ней находится точка С, не принадлежащая ни плоскости Ж, ни плоскости N. Продолжая брать всё новые точки, мы будем таким путём получать всё новые плоскости, проходящие через данную прямую а. Таких плоскостей, очевидно, можно получить бесчисленное множество. Их можно рассматривать как различные положения одной и той же плоскости, которая вращается вокруг прямой а.
Мы можем, таким образом, отметить ещё одно свойство плоскости: плоскость может вращаться вокруг всякой прямой, лежащей на этой плоскости.
§ 6. Возможные взаимные положения прямых и плоскостей.
Из предыдущего следует, что две прямые линии могут:
1. Пересекаться, тогда они лежат в одной плоскости.
2. Быть параллельными, тогда они также лежат в одной плоскости.
3. Не пересекаться и не быть параллельными. Таковы, например, два неограниченно продолженные не параллельные ребра
куба, лежащие в разных гранях (АВ и ЕН, черт. 3).
Такие прямые называются скрещивающимися.
Прямая и плоскость могут иметь одну общую точку, тогда прямая пресекается с плоскостью. Прямая, не лежащая в плоскости, может пересекаться с нею не более чем в одной точке. Точка пересечения прямой с плоскостью называется следом этой прямой на плоскости.
Если прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки, то они называются параллельными. Возможность такого положения прямой и плоскости будет далее доказана (§ И). Две плоскости могут пересекаться по прямой, и тогда они не имеют других общих точек вне этой прямой (§ 4, акс. 1).
Если две плоскости вовсе не имеют общих точек, то они называются параллельными. Возможность такого положения двух плоскостей будет далее доказана (§ 14).
II. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР.
§ 7. Постановка задач на построение.
Все построения, которые делались в планиметрии, выполнялись в одной плоскости при помощи чертёжных инструментов.
Для построения пространственных фигур чертёжных инструментов становится уже недостаточно, так как вычерчивать пространственные фигуры на одной плоскости невозможно. Кроме того, при построениях пространственных фигур появляется ещё новый элемент — плоскость, построение которой нельзя выполнять столь простыми средствами.
Поэтому при построении пространственных фигур необходимо точно определить, что значит выполнить то или иное построение и, в частности, что значит построить плоскость.
Во всём дальнейшем мы будем считать, что:
1) плоскость построена, если найдены элементы, определяющие её положение (§ 4), т. е. что мы умеем построить плоскость, проходящую через три данные точки, через прямую и точку вне её, через две пересекающиеся или две параллельные прямые;
2) если даны две пересекающиеся плоскости, то дана и линия их пересечения;
3) если дана плоскость, то мы можем выполнять на ней все построения, которые делались в планиметрии.
В дальнейшем мы будем считать, что выполнить построение в пространстве — значит свести его к конечному числу трёх основных построений:
1) проведение плоскости через три данные точки;
2) нахождение линии пересечения двух плоскостей;
3) выполнение с помощью циркуля и линейки построений в данной или построенной плоскости.
Рассмотрим несколько примеров.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
