ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книжка имеет двоякое назначение: она предназначена для математических кружков и может быть использована учителем в школьном преподавании.
Книжка, главным образом, посвящена геометрии линейки, которой отведены три главы, тогда как геометрии циркуля посвящена только одна глава.
Геометрия линейки подготавливает учащихся к проективной геометрии и имеет несравненно ббль-шую ценность, чем геометрия циркуля, сохранившая в наше время, главным образом, историческое значение.
В первой части рассмотрены задачи на построение, решаемые одной линейкой (проведением лишь прямых линий), когда в плоскости чертежа дана неподвижная вспомогательная фигура.
В первой главе такой вспомогательной фигурой является: в одних задачах окружность, центр которой не предполагается известным, в других —отрезок с данной серединой, в третьих — параллелограм, квадрат. Заканчивается первая глава задачами об отыскании центра окружности одной линейкой при данной вспомогательной фигуре; такой фигурой является параллелограм, равнобедренная трапеция, правильный многоугольник, равносторонний треугольник при некотором дополнительном условии и т. д.
В задачах второй главы вспомогательной фигурой является окружность с данным центром. В десятой и одиннадцатой темах второй главы доказана возможность решения задач второй степени (задач, решаемых циркулем и линейкой) одной линейкой при данном круге с известным центром. В двенадцатой теме рассматривается построение линейкой и циркулем при постоянном растворе. В тринадцатой теме рассматриваются построения с помощью линейки и эталона длины. В этой теме показано, что не всякая задача второй степени может быть решена с помощью линейки и эталона длины.
Вторая часть книжки состоит из одной главы, посвященной геометрии циркуля. Возникновение построений, производимых одним циркулем для решения задач второй степени, объясняется, главным образом, тем, что циркуль является более совершенным инструментом, чем линейка. Потребности технического черчения (особенно при тонкой резьбе на металлических пластинках) способствовали появлению интереса к построению одним циркулем. Известное доказательство положения, что всякая задача второй степени может быть решена одним циркулем, дано в последней теме третьей главы.
Третья часть книжки состоит из одной главы и заключает материал, дополняющий первую часть. Здесь подробно рассматриваются свойства гармонических четверок и дается применение гармонических четверок к решению задач одной линейкой. Заканчивается глава рассмотрением полюса и поляры относительно круга. Последняя часть, таким образом, содержит элементы проективной геометрии. Понятие гармонизма дано метрически. Автору не удалось дать современного изложения элементов проективной геометрии, доступного для учащихся VIII класса, на которых, главным образом, рассчитана эта книга.
Каждая часть книжки может быть изучена отдельно от двух других. Третья часть несколько труднее первых двух и рассчитана на более сильных учащихся, но может быть изучена совершенно отдельно от двух других частей. Внутри каждой части темы связаны между собой и должны изучаться последовательно.
Таково содержание рассматриваемой книжки. В ней собрано 140 задач на построение. Большинство задач приводится с решениями. Часто дается только построение, читатель должен сам произвести анализ, доказательство и исследование. Отсюда видно, что приводимые решения задач не освобождают читателя от самостоятельной работы.
Приведем некоторые задачи геометрии линейки и геометрии циркуля, которые могут найти место на уроках геометрии. Например, после изучения теоремы о точке пересечения высот треугольника следует показать учащимся, что эта теорема позволяет при помощи одной линейки опустить перпендикуляр на диаметр круга, центр которого не дан. Учитель, показав решение этой задачи для точки, лежащей вне или внутри круга, может предложить учащимся решить эту же задачу для точки, лежащей на окружности. Теорема о средней линии треугольника позволяет решить одной линейкой ряд интересных задач (тема II ). Часть этих задач может быть рассмотрена на уроках, часть дана для домашней работы. Пользуясь подобием треугольников, учащиеся могут легко решить одной линейкой следующую интересную задачу: даны три параллельные прямые и три точки, не лежащие на этих прямых; построить треугольник так, чтобы его вершины лежали на данных параллельных прямых, а стороны или их продолжения проходили через данные точки. Эта задача подробно решается в прилагаемом введении.
Хорошо решается задача: в треугольнике дана средняя линия; пользуясь одной линейкой, построить треугольник из медиан данного треугольника (задача № 7 темы третьей). Имея элементарные сведения о подобии треугольников, учащиеся могут
усвоить изящное построение ~ части отрезка при
наличии прямой, параллельной той прямой, на которой расположен отрезок. Полезно познакомить учащихся с делением отрезка на равные части линейкой и циркулем при постоянном растворе (тема двенадцатая). Интересна задача об отыскании центра круга одной линейкой при наличии дополнительных данных (тема пятая). В книжке имеется несколько задач, посвященных геометрическим преобразованиям (симметрия относительно оси, сжатие к оси, сдвиг относительно оси, родство). Для решения приведенных задач следует ознакомить учащихся с геометрическими преобразованиями. Лучше всего для этого использовать статью П. С. Моденова „Геометрические преобразования* („Математика в школе*, № 6 за 1948 год).
Переходим к решению задач одним циркулем. Просто решается задача, выясняющая возможность построения окружности около данного четырехугольника (задача № 4 темы четырнадцатой).
В задаче № 3 темы пятнадцатой приводится способ построения перпендикуляра к прямой. Этот способ имеет практическое значение при восставлении перпендикуляра в конце отрезка, когда отрезок не может быть продолжен за точку, в которой должен быть восставлен перпендикуляр. При изучении вопроса об относительном положении окружностей полезно решить задачи:
1) при помощи одного гциркуля узнать, проходит ли прямая, заданная двумя своими точками, через центр данной окружности (задача № 1 темы шестнадцатой);
2) найти точки пересечения прямой, заданной двумя своими точками, с заданной окружностью (задача № 2 той же темы);
3) при помощи циркуля (не пользуясь линейкой) найти точки касания касательных, проведенных из внешней точки данной окружности (задача № 6 той же темы).
Из этого, далеко неполного перечисления задач видно, что геометрия линейки и геометрия циркуля дают интересный материал для школьного преподавания.
Мы полагаем, что учитель может найти для многих теорем планиметрии интересные задачи геометрии линейки и геометрии циркуля. Решение таких задач способствует лучшему пониманию и усвоению курса. Эти задачи оживят преподавание геометрии и дадут интересный материал для домашней работы учащихся. Рассматриваемые задачи можно рекомендовать при повторении курса планиметрии.
Попутно обращаем внимание читателей на простой способ построения циркулем и линейкой геометрического места точек, разность квадратов расстояний которых до двух данных точек постоянна (это геометрическое место необходимо для обоснования построений одной линейкой). Обычно предлагаемые построения этого геометрического места сложнее построения, данного нами в теме одиннадцатой.
Учитывая, что в школьном курсе геометрии мало уделяется внимания таким понятиям, как „степень точки*, „радикальная ось*, мы несколько подробнее остановились на вопросе о радикальной оси.
В теме семнадцатой вводится понятие об инверсии, и в этой же теме инверсия применяется для отыскания центра круга при помощи циркуля.
Геометрия линейки и геометрия циркуля могут быть предметом факультативного курса в педвузах. Автор этих строк провел такой курс в Московском городском педагогическом институте им. В. Г. Потемкина.
Главное назначение книжки—дать материал для кружковой работы учеников VIII класса средней школы. Важность работы школьных матёматических кружков ясна каждому. Если для математических кружков IX и X классов можно указать интересную тематику (задачи на построение по стереометрии, введение в проективную геометрию, понятие о неевклидовой геометрии, элементы номографии), то для кружков VIII класса такая тематика почти отсутствует. Изучение в школьных кружках VIII класса геометрии линейки и геометрии циркуля вполне доступно учащимся и может их заинтересовать.
Руководя кружком, учитель, сообразуясь с силами докладчиков и участников кружка, может в некоторых темах исключить часть задач, оставив наиболее подходящие.
Мы полагаем, что учитель и участники кружка составят ряд новых задач, легко решаемых одной линейкой или одним циркулем.
С целью сделатькнижку подходящей для кружковой работы мы сгруппировали все задачи в двадцать четыре отдельных раздела (считая введение). Каждый раздел представляет тему одного доклада в кружке и, как нам кажется, вполне по силам среднему учащемуся VIII класса. Трудности, если могут возникнуть, то разве при изучении десятой и одиннадцатой тем и двух последних тем второй части. Учитель, руководя работами кружка, поможет докладчикам преодолеть трудности и этих тем. Для сильных учащихся не представят затруднения и темы третьей части.
Построение части задач каждой темы следует доводить до конца, используя одну линейку или один циркуль. Желательно применение цветных карандашей для выделения искомых величин. Для большинства задач каждой темы достаточно указать способ решения, не осуществляя ограниченными средствами (только линейкой или только циркулем) построение на бумаге до конца.
Изучение геометрии линейки вызовет у учащихся интерес к проективной геометрии. Решение задач на построение ограниченными средствами подготовит учащихся к решению интересных „стереометрических задач на проекционном чертеже".
В заключение приведем некоторые исторические справки, которые могут быть полезны учителю при изложении геометрии линейки и геометрии циркуля.
Построения одной линейкой и циркулем при постоянном растворе были известны в глубокой древности. Такие построения встречались у индусов и у арабов. Ими пользовался Леонардо да Винчи. Возможность решения задач второй степени одним циркулем была показана Маскерони в 1797 г. Новейшие исследования показали, что более чем за сто лет до Маскерони геометром Мором в 1672 г. было дано полное исследование вопроса о решении задач на построение одним циркулем. Математиком Штейнером в 1833 г. была доказана теорема, что при пользовании произвольно начерченным кругом (вместе с его центром) каждую задачу второй степени можно решить, проводя лишь одни прямые линии.
Современный советский математик проф. Д. Д. Мордухай-Болтовский показал, что наличие окружности в теореме Штейнера не является необходимым. Д. Д. Мордухай-Болтовский показал, что для решения задач второй степени одной линейкой достаточно иметь в плоскости чертежа сколь угодно малую дугу окружности (а не всю окружность) с данным центром. Н. В. Наумович продолжила работы Д. Д. Мордухая-Болтовского и показала, что дуга окружности может быть заменена сколь угодно малой дугой конического сечения вместе с его центром и одним из фокусов (для дуги параболы —вершина и фокус). Д. Д. Мордухай-Болтовский показал возможность 8
построений одной линейкой на сфере. Проф. С. О. Ша-туновский интересовался вопросами методологии геометрических построений. В введении к русскому переводу книги А. Адлера „Теория геометрических построений" и позже, в специальной книге под заглавием „Об измерении прямолинейных отрезков и построении циркулем и линейкой", С. О. Шатуновский ввел новые „постулаты", позволившие представить каждую задачу на построение как абстрактно геометрическую операцию.
Вопросам методологии геометрических построений посвящены работы проф. Н. Ф. Четверухина. В своей книге „Теория геометрических построений" проф. Четверухин выражает в абстрактной форме свойства инструментов, применяемых при построении. Далее им вводится понятие конструктивных элементов, т. е. таких точек прямых, окружностей, которые либо даны, либо данным инструментом могут быть построены. Введение этого понятия и выражение в абстрактной форме свойств инструментов вносят полную ясность в вопросы решения задач на построение при помощи разных инструментов (линейки, циркуля, угольника и т. д.). В статье „Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии" проф. Н. ФЧетверухин уточняет высказанные им ранее положения и дает принципы методики построения в пространстве.
Часть задач настоящего сборника является оригинальной. Значительное число задач заимствовано из журналов: „Вестник опытной физики и элементарной математики", „Математическое образование", „Математическое просвещение",„Математика в школе".
Автор приносит благодарность члену-корреспонденту АПН проф. Н. Ф. Четверухину и проф. В. А. Ефремовичу, давшим ряд ценных указаний при рецензировании книжки.
|
