|
Любителям математики предлагается книга известного советского геометра и педагога, доктора физико-математических наук, профессора Залмана Алтеровича Скопеца (1917—1984). Книга составлена из отдельных очерков, написанных им в разное время. Часть этих очерков публикуется впервые.
Вначале несколько слов об авторе. 3. А. Скопец родился в г. Краславе (ныне Латвийская ССР). По окончании гимназии поступил в Рижский университет, который окончил в 1938 г. со званием магистра по специальности «математика». Свой трудовой путь 3. А. Скопёц начал учителем математики сельской школы Ярославской области. Затем с 1942 г. до конца своей жизни он работал в Ярославском государственном педагогическом институте им. К. Д. Ушинского. Здесь он прошел путь от лаборанта до заведующего кафедрой геометрии. В 1946 г. 3. А. Скопец защитил в МГУ им. М. В. Ломоносова кандидатскую диссертацию (о кремоновых преобразованиях), а в 1962 г. в МГПИ им. В. И. Ленина — докторскую диссертацию «Проективная и неевклидова циклография и ее применение к начертательной геометрии в евклидовом пространстве». 3. А. Скопец опубликовал более 200 работ. Под его редакцией вышло 15 томов ученых записок по геометрии.
Круг научных интересов Залмана Алтеровича был чрезвычайно широк и разнообразен — от работ по элементарной геометрии до исследований в области проективной, начертательной, неевклидовой и алгебраической геометрий. В Ярославле Залман Алтерович создал научную школу по конструктивной геометрии, в значительной мере продвинувшую и обогатившую новыми идеями эту классическую область математики, основоположниками которой были Г. Монж, Ж. В. Понселе, Я. Штейнер. Среди учеников 3. А. Скопеца есть много ярких ученых и педагогов.
Особо следует подчеркнуть роль 3. А. Скопеца в создании современных учебных и методических пособий по геометрии для школ и педагогических институтов. Педагогическая деятельность была его любимым делом и приносила ему много радости и глубокое удовлетворение.
3. А. Скопец обладал выдающимся талантом и тонким вкусом в решении и составлении задач. Эта грань его таланта нашла свое достаточно полное
отражение в разделе задач журнала «Математика в школе». Много лет он вел этот раздел, что способствовало существенному повышению культуры геометрических задач в нашей стране.
Мне посчастливилось сотрудничать и дружить с 3. А. Скопецом. Предлагаемая книга составлена мною из различных его статей и докладов, написанных в разное время. При подготовке этих очерков к печати-я старался в максимальной степени сохранить авторский текст. Некоторые очерки написаны 3. А. Скопецом в соавторстве со своими учениками: В. А. Жаровым («Две теоремы косинусов для четырехугольника»), Т. М. Кориковой («Об использовании единичного вектора при решении задач»), А. И. Чегодаевым («Применение движений к решению геометрических задач»), А. И. Кузнецовой («Метод подобия при решении планиметрических задач»), Г. Б. Кузнецовой («Применение метода координат к изучению свойств параболы»), Я. П. Понариным («Метод комплексных чисел в планиметрии». «Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел»), Э. Г. Готманом («Теорема Морлея»).
Содержащиеся в книге очерки представляют собой убедительный пример того, какой богатый простор дает пытливому мыслящему уму элементарная геометрия и насколько велик ее потенциал в деле математического развития человека.
В заключение выражаю сердечную признательность и благодарность Марии Борисовне Скопец, предоставившей материалы к этой книге и активно помогавшей мне в подготовке книги к печати, профессору Кировского пединститута Я. П. Понарину, кандидату педагогических наук В. В. Фирсову, г учителю М. JI. Галицкому, ассистенту Горьковского пединститута Г. Н. Никитиной, внимательно прочитавшим материалы и оказавшим помощь в отборе наиболее актуальных из них.
Профессор Г. Д. Глейзер
ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
К наиболее важным и замечательным теоремам элементарной евклидовой геометрии относиться теорема Пифагора. Геометрический факт, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов, был известен задолго до Пифагора. Так, египетские землемеры еще около 2000 лет до н. э. фактически пользовались обратной теоремой Пифагора, при построении прямых углов обращаясь к треугольнику со сторонами 3, 4, 5.
Значение этой теоремы выходит далеко за рамки элементарной геометрии. Вот почему в средней школе изучению теоремы Пифагора уделяется много внимания. Изучающему геометрию важно не только знать зависимость между отрезками, являющимися сторонами прямоугольного треугольника, но и обратно: знать аналитический критерий перпендикулярности двух отрезков (или двух прямых), когда эти отрезки (или прямые) произвольно лежат на плоскости или в пространстве.
Рассмотрим доказательства теоремы Пифагора и следствий из нее, а также некоторые связанные с нею задачи, основываясь на учении о подобии.
I
Теорема 1. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр. опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Теорема 2. В прямоугольном треугольнике каждый из катетов есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Доказательства этих теорем проводятся на основании признаков подобия.
Теорема 3 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Эту теорему можно доказать, опираясь на теорему 2.
Следствие из теоремы Пифагора.
1. Квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, больше суммы квадратов двух других его сторон.
Пусть в треугольнике ABC угол С тупой (рис. 1). Построим отрезок QD, равный СВ и перпендикулярный СА. По теореме Пифагора имеем CA2 + CD2=AD2. Но на основании теоремы о треугольниках, имеющих соответственно по две равные стороны и неравные углы, заключенные между ними, можно записать: AB>AD. Следовательно, АВ2>СА2 + CD2, или АВ2>АС2 + ВС2.
2. Квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, меньше суммы квадратов двух других его сторон.
Доказательство аналогично предыдущему.
Теорема 4 (обратная теорема Пифагора). Если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то треуголь-> ник прямоугольный и третья сторона является его гипотенузой.
Если предположить, что третья сторона лежит против тупого угла, то ее квадрат должен быть больше суммы квадратов двух других сторон (следствие 1), что противоречит условию.
Точно так же отвергается допущение, что угол, лежащий против третьей стороны, острый (следствие 2). Таким образом, угол, лежащий против третьей стороны, прямой, и теорема доказана.
Теорема 5. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону.
Доказательство опирается на теорему Пифагора, примененную дважды (рис. 2). Обратная теорема будет доказана ниже.
З’а дача на построение. На прямой даны две точки Л и В. Построить на этой прямой точку D так, чтобы разность квадратов ее расстояний до точек А и В была равна квадрату длины данного отрезка k.
Анализ. Предположим, что на прямой АВ построена такая точка D, что AD2 — BD2 = k2, где k — данный отрезок (рис. 3). Из последнего равенства следует, что AD2 = k2-BD2. Если на отрезках BD и k, как на катетах, построить прямоугольный треугольник, то его гипотенуза будет равна AD. Поэтому, восставив в точке В к прямой АВ перпендикуляр и отложив на нем-отрезок ВС, равный k, получим равнобедренный треугольник ADC. Точка D находится на пересечении прямой АВ и серединного перпендикуляра отрезка АС.
* Здесь и далее указан порядковый номер «Комментариев», помещенных в конце книги. KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
