Ошибки в геометрических доказательствах

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
      В основу этой книжки легли лекции-беседы, которые я несколько раз проводил со школьниками либо VII—VIII, либо IX—X классов в школьном математическом лектории при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Для той и для другой аудитории обычно устраивались две встречи, разделённые промежутком около месяца. Первые встречи соответствовали по содержанию главам I и III этой книжки, имелц характер лекций и содержали, кроме введения, изложение примеров ошибочных доказательств без комментариев; в конце лекции слушателям предлагалось выяснить сущность сделанных ошибок и быть готовыми при следующей встрече выступить со своими возражениями. Вторые встречи были уже в большей степени беседами: лектор напоминал вкратце содержание каждого примера и непосредственно вслед за тем приглашал желающих выступить. Таких всегда было несколько, к доске выходил один, наудачу выбранный; остальным предоставлялось делать реплики с мест, иногда также выходить к доске. Разбор каждого примера заканчивался краткими высказываниями лектора, содержащими дополнения, варианты и подведение итога.
      Трудно думать, что все школьники, активно участвовавшие в этой работе, готовились к ней без посторонней помощи. Но даже вразумительно изложить заимствованное опровержение софизма составляло далеко не всегда простую' задачу. К чести московских школьников, посещавших лекторий, надо признать, что они показали себя здесь с лучшей стороны; некоторые выступления были просто превосходны.
      Ободрённый этим опыом, я обращаюсь теперь к более широкой аудитории в надежде, что эта книжка пробудит у читателя не только любознательность, но и математическую активность. Последняя может проявиться в том, что читатель пройдёт путь, рекомендованный слушателям моих лекций-бесед: сначала будет знакомиться с примерами ошибочных рассуждений, изложенными в главах I (для школьников, начиная с VII класса средней школы), и III (для IX—X классов); затем в каждом случае попытается вскрыть ошибку собственными силами; наконец, прочитает главы II и IV, где найдёт разъяснения соответственно к главам I и III, а также некоторые дополнения.
      Мелкий шрифт и значительную часть подстрочных примечаний можно пропустить: они рассчитаны на читателей, наиболее подготовленных, а также на руководителей математических кружков.
      Я. Дубнов
     
      ВВЕДЕНИЕ
      Сорок лет назад известный тогда педагог-математик Н. А. Извольский в статье, посвящённой преподаванию геометрии, воспроизвёл характерный разговор, происшедший у него со знакомой школьницей. Девочка перешла из V в VI класс гимназии и один год обучалась геометрии; разговор происходил на каникулах, в непринуждённой обстановке. Педагог спросил свою собеседницу, что она запомнила из курса геометрии. Девочка долго думала, но увы — ничего вспомнить не могла. Тогда вопрос был изменён: «Что же вы делали весь год на уроках геометрии?». На это последовал очень скорый ответ: «Мы доказывали». Ответ — мало вразумительный, но отражающий в своей наивности те представления, которые складываются у многих школьников: в арифметике решают задачи, в алгебре, кроме того, решают уравнения и выводят формулы, а вот в геометрии — доказывают теоремы. Надо сказать, что такое представление о строении математики давно уже перестало отвечать состоянию этой науки. В математических исследованиях нашего времени, идёт ли там речь о числах или же о фигурах, заголовок «теорема» с последующим ее доказательством можно встретить одинаково часто. Во всех областях математики решают задачи, а в геометрии нередко прибеггают к решению уравнений. Иначе было 2000 лет назад, когда завершалось создание так называемой геометрии [Евклида, которая и поныне составляет основу школьного курса. С тех пор и вплоть до современных школьных [учебников, геометрия (именно она, а не другие математические предметы) излагается как цепь теорем (некоторые из них называются леммами или же следствиями), построенных по плану, настолько хорошо известному, что достаточно ограничиться кратким напоминанием. Каждая теорема содержит условие («дано...») и заключение («требуется доказать...»); при доказательстве можно ссылаться только на аксиомы или на ранее доказанные теоремы; нельзя опираться ни на «очевидность», которая иногда нас обманывает, ни на теоремы, хотя бы и верные, но ещё не доказанные (ведь последние могут в свою очередь опираться на доказываемую теорему, и тогда получается «логический круг»).
      Известно, какую роль играет в доказательстве чертёж: он делает наглядным не только содержание теоремы, но и ход доказательства. Иногда приходится для одной теоремы делать несколько чертежей, так как доказательство видоизменяется в зависимости от взаимного расположения частей фигуры (пример: теорема о вписанном угле, при доказательстве которой обычно рассматривают три возможности: центр круга лежит на стороне угла, внутри его или вне его). В таких случаях важно, чтобы были исчерпаны все возможные расположения частей фигуры; Пропуск одного какого-нибудь варианта, для которого прежние рассуждения не могут быть повторены, лишает, разумеется, силы всё доказательство — ведь как раз при этом варианте теорема может оказаться неверной.
      Не следует ни преувеличивать, ни преуменьшать роли чертежа. Преувеличением было бы считать чертёж необходимой составной частью доказательства. Теоретически говоря, любое геометрическое доказательство можно провести, не пользуясь никаким чертежом, и это даже имело бы ту положительную сторону, что устранило бы ссылки на «очевидность», которая иногда бывает кажущейся и служит источником ошибок. Однако практически отказ от чертежа привёл бы к таким же затруднениям, какие мы испытали бы, если бы, например, захотели действия над многозначными числами производить всегда «в уме» (или — чтобы взять пример из более далёкой области — играть в шахматы, «не глядя на доску») — опасность ошибиться при этом сильно возросла бы. Говоря о помощи, которую чертёж оказывает доказательству, я имею в виду, конечно, хороший чертёж, выполненный с достаточной тщательностью. Ученик иногда думает, что, заботясь о правильности чертежа, он делает только уступку требованиям учителя. На самом же деле плохим чертежом ученик наказывает прежде всего себя самого, так как вместо помощи он получает иной раз помеху.' И пусть этот ученик не обольщает себя тем, что в том или другом случае ему удавалось провести доказательство на плохом чертеже — так будет не всегда. В этой книжке читатель встретит наряду с правильными чертежами другие, несколько искажённые, но они сделаны такими сознательно. Дело в том, что наше внимание будет сосредоточено на ошибочных доказательствах, а для них нужны иногда неточные чертежи (подобно тому как к намеренно искажённым чертежам прибегают в доказательствах «от противного»).
      В дальнейшем, в главах I и III, будет приведён ряд примеров ошибочных геометрических доказательств. О типах ошибок предпочтём говорить позже, когда в нашем распоряжении будут эти примеры. Но уже сейчас следует предупредить читателя относительно характера доказываемых (ошибочно) здесь предложений.
      Среди этих предложений встретятся такие, ложность' которых будет для читателя сразу очевидной, например, «прямой угол равен тупому». В этих случаях наша задача — вскрыть ошибку в доказательстве. Подобные доказательства утверждений, заведомо неправильных, известны с древних времён под названием «софизмов».
      В других примерах читатель не будет заранее знать, верно ли доказываемое утверждение или ложно, если только оно этому читателю раньше не встречалось. Здесь наша задача усложняется: надо проверить как несостоятельность доказательства, так и ошибочность утверждения *).
     
      *) Не достаточно сделать только первое: ведь и верное утверждение можно обосновывать ошибочными доводами (например, из ошибочного равенства 3+5=12 можно сделать правильный вывод: 3+5 есть число чётное).
     
      Наконец, будут приведены примеры доказательств, ошибочность которых коренится в том, что доказываемое никак не может быть обосновано средствами, находящимися в распоряжении доказывающего. Как это может случиться, попытаюсь объяснить на примере, далёком от геометрии и вообще от науки.
      Известна шуточная задача:. «Пароход находится на 42°15' с. ш. и 17°32' з. д. (числа взяты наудачу; обычно добавляют ещё ряд данных, усложняющих условие). Сколько лет капитану?». Для наших целей изменим несколько вопрос задачи: «Верно ли утверждение, что капитану больше 45 лет?». Каждому ясно, что сделать такой вывод из данных, содержащихся в условии предложенной задачи, нельзя и что всякая попытка доказать формулированное утверждение о возрасте капитана обречена на неудачу. Более того, можно доказать, что доказательство этого утверждения невозможно. В самом деле, ведь пароходное управление (о котором из условия задачи мы ничего не знаем) может составить маршрут, проходящий через указанный географический пункт и назначить в рейс капитана того или другого возраста (предполагая, что управление располагает для подобных плаваний капитанами как молодыми, так и старыми).
      Иными словами, можно допустить, что капитан моложе 45 лет, и ни в какое противоречие с данными, касающимися широты и долготы, это, конечно, не вступит. Другое дело, если бы условие задачи содержало ещё иные данные, например название парохода и точную дату его прохождения через указанный пункт, тогда можно было бы надеяться, что по судовому журналу удастся установить личность капитана, а затем и его возраст.
      Итак, существуют утверждения, справедливость которых можно или нельзя доказать, в зависимости от того, какими средствами для доказательства мы располагаем.
      Возвращаясь ближе к нашему предмету, спросим: верно ли, что сумма углов любого треугольника равна 2d? Всякий школьник, изучивший главу о параллельных прямых, знает доказательство этой важной теоремы,. но немногим известна её 2000-летняя история. Доказателы ство основывается на свойствах углов, образуемых параллельными прямыми с секущей, а эти свойства в свою очередь опираются на так называемую «аксиому параллельности»: через точку, лежащую вне прямой, можно провести к этой прямой только одну, параллельную ей*).
     
      *) Обращаем внимание иа то, что аксиоматический характер этому предложению придаётся словом «только»: то, что одну параллельную всегда можно провести, доказывается раньше, хотя бы на основании теоремы «два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны».
     
      Со времён Евклида на протяжении более чем двух тысячелетий пытались сделать из этой аксиомы теорему, т. е. доказать её, опираясь только на те утверждения, которые у Евклида и в наших школьных учебниках предшествуют аксиоме параллельности. Тем самым запрещалось вводить вместо этой аксиомы какую-нибудь другую, сколь бы очевидным ни казалось её содержание. Все эти попытки были безуспешны и обнаружили только, что приведённую выше аксиому параллельности можно на много ладов заменять другими аксиомами. В частности, если одно из свойств углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей,-или же теорему- о сумме углов треугольника принять за аксиому, то прежняя аксиома параллельности станет теоремой. И только в 20-х годах прошлого века великому нашему соотечественнику, казанскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792—1856) удалось вскрыть источник неудачи всех попыток доказать аксиому параллельности. Он построил обширную и глубокую теорию, о которой я не пытаюсь здесь дать даже отдалённое представление. В этой теории содержалось, между прочим, в неявном виде доказательство невозможности доказать аксиому параллельности так, как это пытались сделать до Лобачевского (и при его жизни) многие учёные. Как ни сложна теория Лобачевского и как, с другой стороны, ни наивна задача о возрасте капитана, однако «доказательство невозможности доказательства» в обоих случаях — одинаковой природы: на конкретных примерах («моделях») обнаруживается, что с одними и теми исходными данными могут находиться в согласии как одно, так и другое из двух противоречащих друг другу суждений. В применении к нашей аксиоме это означает: из того, что в обычном курсе геометрии предшествует аксиоме параллельности, не вытекает ни справедливость, ни ошибочность утверждения, содержащегося в этой аксиоме.
      Теперь мы знаем, что любое доказательство аксиомы параллельности или какой-нибудь равносильной ей ошибочно, если оно ссылается только на предложения, предшествующие этой аксиоме. Ниже будет приведено несколько простейших примеров таких ошибочных доказательств.