I. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ГЕОМЕТРИИ.
§ 1. Возникновение геометрии и „Начала" Евклида.
1. Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость повседневиого удовлетворения своих потребностей ставит человек! перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, о вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т. п. Слово „геометрия" означает „землемерие" и ясно указывает источник его происхождения.
Имеются вполне достоверные сведения о довольно значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за 2 ,тысячи лет до начала нашей эры.
Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом в древнем Египте ежегодно подвергалась затоплению, и каждый разлив реки смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью водворять каждое лицо на принадлежавший ему участок, ибо каждый квадратный метр плодородной земли ценился весьма высоко. Это повелительно требовало заняться вопросами измерения земельных участков, т. е. землемерием — геометрией. Помимо этого египтяне, ведя развитую торговлю, нуждались в умении измерять емкость сосудов; нуждались они также в астрономических сведениях, на которых основывалось искусство кораблевождения.
Выдающиеся постройки египтян — пирамиды, которые сохранились до настоящего времени, свидетельствуют, что их сооружения требовали большого знания пространственных форм.
Все это указывает _ на чисто опытное происхождение геометрии. Однако надо помнить, что не один только опыт содействовал развитию геометрии; размышления человека над отдельными явлениями, способность человека отвлечься от реального образа и мыслить абстрактно, создавать в своем воображении различные образы, воспроизводить их, размышлять над ними, сопоставлять результаты наблюдений над теми или другими образами, а также обобщать результаты накопленного и проверенного опыта в должной мере способствовали и способствуют развитию геометрии как науки.
Путем проб, через ряд ошибок и последующих их исправлений человек постепенно доходил До правильного решения геометрических проблем, настоятельно выдвигаемых жизненной необходимостью. Так, площадь равнобедренного треугольника в некоторых случаях первоначально оши-
бочно определяли как половину произведения боковой стороны и основания. Это ошибочное решение давало хорошее приближение, если углы при основании равнобедренного треугольника мало отличались от прямого угла.
Такое правило для измерения площадей передавалось из поколения в поколение; насколько живуче это правило, несмотря на его ошибочность, показывает тот факт, что и у нас, в глухих деревнях, еще до последнего времени пользовались им при обмере клиновидных полей.
По свидетельству Геродота, греческого историка, жившего за 25 столетий до нашего времени, „Сезострис, египетский царь, произвел деление земель, отмежевав каждому египтянину участок по жребию; сообразно этим участкам с их владельцев ежегодно взимали налоги.
Если Нил заливал чей-либо участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров (геометров); они измеряли, насколько уменьшился участок, и сообразно этому понижали налог. Вот откуда возникла геометрия и перешла из этой страны в Грецию".
Древнеегипетскую культуру в области математики продолжали греки, которые не только преемственно усвоили се весь опыт египетской геометрии, но и пошли гораздо дальше египтян; они сумели привести в систему накопленные геометрические знания и таким образом заложить -начало геометрии как науки.
Попытку создания такой системы геометрических знаний мы видим в Древней Греции на протяжении V и IV вв. до нашей эры.
2. Первое собрание решений наиболее простых геометрических задач и предложений под названием „Начали, о котором дошли до нас сведения, было
составлено Гиппократом (в V в. до нашей эры).
Дальнейшие успехи геометрии потребовали создания нового, более обширного сборника „Начал", составление которого приписывают Леону. Наконец, последними из „Начал", достигшими всеобщего признания и дошедшими до нас, были „Начала" Евклида, жившего в александрийский период греческой истории, в III в. до нашей эры.
Две тысячи лет этот замечательный документ человеческого знания считался непревзойденным образцом изложения систематического курса элементарной геометрии.
Спрашивается, в чем заключается основная особенность системы знаний, данной Евклидом в его „Началах"?
Все предложения Евклид доказывает чисто умозрительно, исходя из принятых им основных определений, постулатов и аксиом, без всякой ссылки на опыт, лишь с помощью цепи логических умозаключений, выводимых одно из другого.
Если проследить за доказательством любой теоремы евклидовых „Начал", то увидим, что оно опирается на предложение, доказанное в одной из предыдущих теорем; последнее, в свою очередь, основывается иа предложениях, доказанных еще ранее, и т. д., и так до тех пор, пока мы не дойдем до начальных предложений и определений, которые являются первым звеном в цепи логических умозаключений, истинность которых в математике доказать нельзя, ибо нет предложений еще более простых, на которые они могли бы опираться. Эти предложения выражают основные свойства пространственных образов „Начала".
§ 2. Определения, аксиомы и теоремы.
Всякое предложение, раскрывающее содержание какого-либо понятия или сводящее сложное понятие к более простым и первоначальным, называется определением. Считается, что понятие определено правильно, если в определении указано ближайшее родовое понятие и перечислены существенные видовые отличия.
Определение основных понятий геометрии приписывают Платону 429—348 гг. до нашей эры); часть их вошла в число определений, которыми Евклид начинает первую книгу своих „Начал0.
Предложения, принимаемые без доказательства и служащие основой всей системы последующих доказательств, называются аксиомами. Все остальные предложения, которые доказываются с помощью аксиом, называются теоремами. Необходимо подчеркнуть, что аксиомы отражают основные свойства пространственных форм и в математике не могут быть доказаны.
Для доказательства справедливости аксиом, — такова мысль Энгельса, — мы должны выйти из сферы умозрения и обратиться к опыту; там мы найдем прямое подтверждение их истинности. Аксиомы, таким образом, доказаны многовековым опытом человечества. Система развития науки от аксиом к теоремам называется дедуктивной системой.
Всякое предложение в логическом курсе геометрии должно быть или поставлено как определение, или внесено в число аксиом, или доказано с помощью определений, аксиом и предшествующих теорем; всякое понятие должйо быть или поставлено в числе основных или определено с помощью их.
Основные понятия; точка, прямая и плоскость — понятия, отвлеченные от реальных объектов окружающей действительности; они являются абстрагированными, идеализированными пространственными образами.
Энгельс в своем „Анти-Дюринге“ говорит: „Понятие фигуры, как и понятие числа, заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло вовсе в голове из чистого мышления. Раньше, чем люди могли притти к понятию фигуры, должны были существовать вещи, имеющие форму и формы которых сравнивали. Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание** (Энгельс, Анти-Дюринг, изд. 5-е, 1931 г., стр. 33).
„Чтобы изучить пространственные формы и количественные отношения в их чистом виде,— говорит Энгельс,— следует оторвать их совершенно от их содержания, устранить его как нечто безразличное для дела“ (там же).
Именно благодаря своему абстрактному характеру геометрия обладает той общностью, которая позволяет применять ее к широкому кругу явлений.
Законы построения геометрических форм, несмотря на их абстрактный характер, можно применять к изучению форм реальных объектов именно потому, что они были первоначально получены путем абстракции из действительного мира.
Созданием абстрактных геометрических понятий мы диалектически отрицаем реальные формы, а потом, по закону отрицания отрицания,
вновь, обогащенные теорией, возвращаемся к практике и на практике поверяем сделанные ? теоретическом исследовании выводы.
„От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике— таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности",— говорит Ленин (Ленинский сборник, т. IX).
2. Преподаватель не может не знать, какое значение имеет определение в курсе геометрии и насколько правильная и четкая формулировка определения какого-либо понятия представляет весьма часто большие трудности для учащегося. Каждое определение должно быть: 1) ясным и законченным, 2) кратким по форме и в то же время полным по содержанию; в нем не должно быть ничего лишнего и в то же время должно быть все, что необходимо для понимания определяемого понятия. Сказанное относится в полной мере и к формулировкам аксиом, теорем, следствий из них и т. п.
Рассмотрим определение ромба: ромб есть равносторонний парал-лелограм. В данном случае параллелограм — более широкое, родовое понятие, слово же „равносторонний" — видовой признак, выделяющий ромб из числа всех неравносторонних параллелограмов, ромб — понятие, соподчиненное понятию параллелограма. Можно было бы исходить при определении ромба и из более широкого понятия, каковым является понятие „четырехугольник"; тогда определение будет таковым: ромб— равносторонний четырехугольник.
Заметим, что наиболее точным определением ромба было бы следующее: ромбом называется параллелограм, две смежные стороны которого равны, так как из этого определения в силу свойств параллелограма вытекает равенство всех сторон рассматриваемой фигуры — ромба.
Однако определение: ромб есть равносторонний параллелограм, хотя и содержит лишнее условие, на первых порах более приемлемо для учащихся, так как оно кратко по форме, а главное — не вызывает у учащихся представления о неравенстве двух других смежных или несмежных сторон, невольно возникающего при определении ромба как параллелограма, две смежные стороны которого равны.
Ясно, что учащиеся в начале своих занятий по геометрии не могут давать „строгих" формулировок определений, однако необходимо к этому постепенно их подводить и приучать. Научить учащихся давать строгие определения— прекрасная школа критического и серьезного отношения к каждому высказыванию; при этом надо помнить, что не всегда следует давать определения догматически, необходимо по возможности подводить учащихся к определениям путем всесторонней предварительной проработки вопроса. Так, к различным видам четырехугольников, а следовательно и к определениям их, следует подвести учащихся, используя шарнирную модель четырехугольника с раздвижными сторонами, при помощи которой четырехугольник произвольного вида может быть преобразован спзва в трапецию, затем в параллелограм, ромб, прямоугольник и, наконец, в квадрат.
Упражнения в формулировке определений должны составлять неотъемлемую часть преподавания. Одно и то же понятие может быть определено различно. Так: диаметр есть хорда, проходящая через центр окружности, или диаметр есть отрезок, проходящий через центр, и его концами служат две точки окружности, В первом определении исходным понятием служит хорда, во втором — более общее понятие „от-резок*. На подобном примере следует показать учащимся, что нецелесообразно исходить из более общего понятия, каким является понятие урезок", так как использование этого понятия ведет к более пространному определению, чем если использовать для определения диаметра понятие о хорде. Точно так же лучше определить квадрат как равносторонний прямоугольник, нежели как четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны. Последней формулировкой обычно пользуются в пропедевтическом курсе геометрии.
Относительно определения: квадрат—равносторонний прямоуголъ-ник — можно сделать то же замечание, какое было сделано выше при определении ромба. Строгое определение квадрата гласит: квадратом называется прямоугольник, смежные стороны которого равны.
Само собою разумеется, что при определении нового понятия еле- дует всегда исходить из понятия, уже осознанного учащимися. Этим объясняется, что определение понятия „параллелограма" базируется не на более близком понятии „трапеция", а на понятии „четырехугольника", между тем как определение: параллелограм—•трапеция, боковые стороны которой параллельны — более простое, чем обычное определение параллелограма.
Остановимся еще на разборе некоторых определений. Определение: вписанным называется четырехугольник, вершины которого лежат на окружности, наводит учащихся, как показывает опыт работы, на мысль о том, что наличие окружности обязательно, чтобы считать четырехугольник вписанным; необходимо поэтому разъяснить учащимся, что четырехугольник считает?! вписанным, если он удовлетворяет определенным условиям, и что наличие окружности не является обязательным. Так, известно, что четырехугольники, противолежащие углы которых пополнительны, т. е. в сумме дают 2d, — четырехугольники вписанные: через их вершины можно провести окружность; к числу таких четырехугольников относятся прямоугольник, квадрат и равнобедренная трапеция. Отсюда определение: вписанным называется четырехугольник, через все вершины которого можно провести окружность.
Определение: „параллелограм есть фигура, имеющая четыре стороны",— определение неверное: оно не содержит видового признака.
Определение: „ параллелограм — четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны и равны", страдает тем, что содержит лишние данные, так как равенство противолежащих сторон вытекает из условия, что противолежащие стороны четырехугольника попарно параллельны.
Преподаватель должен указать учащимся, что под четырехугольником следует всегда иметь в виду плоский четырехугольник, так как существует четырехугольник, который не помещается в одной плоскости (рис. 1), а потому следует дать такое определение четырехугольника: четырехугольником называется часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией, состоящей из четырех звеньев.
Определение: „равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны", хотя и верно, но может вызвать у учащихся сомнение, можно ли назвать равнобедренным треугольник, у которого три стороны равны, т. е. равносторонний треугольник, так как, согласно определению, равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны; поэтому целесообразно определить равнобедренный треугольник как треугольник, у которого по крайней мере две стороны равны. Следует указать, что определение: .равнобедренный треугольник это треугольник, у которого только две стороны равны", неверно.
Приучая учащихся к точным определениям, преподаватель должен помнить, что определение является средством для получения понятия. Определению понятия должна предшествовать пропедевтика, состоящая в рассмотрении ряда частных вопросов, постепенно и последовательно вскрывающих содержание понятия, а потому определение понятия следует давать лишь после того, как учащиеся отдадут себе ясный отчет в том, о чем идет речь.
На первых порах, особенно когда учащиеся только что приступили к изучению геометрии, следует ограничиваться одним пояснением нового понятия, отмечать характерные признаки понятия и давать полное определение понятия лишь после того, как учащимися оно впблне осознано. Так, прежде чем говорить о величине угла как о мере поворота луча вокруг его начальной точки, следует сперва дать определение угла: угол есть фигура, Образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Приводим пример недостаточно точной формулировки теоремы. Рассмотрим теорему о перпендикуляре и наклонных в формулировке, приведенной в .Элементах геометрии" Филиппса и Фишера (СПБ, 1913). Теорема гласит: „кода из данной точки проведены к одной прямой перпендикуляр и две наклонные, то они равны, если они одинаково удалены от основания перпендикуляра".
Формулировка теоремы неверна: в ней не указано, что точка, из которой проведены перпендикуляр и две наклонные, лежит вне прямой. На рисунке 2 дано пояснение приведенной формулировки: из точки М на прямой АВ проведейы к А В перпендикуляр MN и наклонные МК и ML, проходящие через точку М — основание перпендикуляра — и потому одинаково удаленные от основания М на расстояние, равное нулю; из этого ие следует, что эти наклонные равны, к тому же сравнить их между собою нельзя.
В геометрии Давидова (М., 1913, изд. 33-е) дана формулировка обратной теоремы: „если два равных угла АОВ и COD имеют общую вершину О и две стороны 053 и ОС на одной прямой линии, то и две другие стороны AQ и OD составляют одну прямую линию, и по-тому-углы АОВ и COD — противоположные".
В геометрии Ващенко-Захарченко (Киев, 1883) эта теорема формулирована так: „если два равных угла так расположены, что одна нз сторон первого есть продолжение стороны второго, то другая сторона первого будет продолжением другой стороны второго".
Иллюстрация этих формулировок дана на рисунке 3. Приводимый рисунок вскрывает неточность данных формулировок; так, углы АОВ и COD удовлетворяют условиям теоремы, однако они отнюдь не являются
противоположными.
Правильная формулировка этой теоремы приводится ниже, в разделе Треугольник.
Все это указывает на то, насколько серьезна должна быть подготовка преподавателя, насколько он сам прежде всего должен быть внимателен при даче определений и насколько он должен следить за каж- _4 дым произносимым им словом.
В тех случаях, когда во избежание громоздкости определения и формулировки теоремы и в целях лучшего запоминания определенного факта даются заведомо неполные, а следовательно и не вполне точные определения и формулировки, следует иа это всегда указывать учащимся. Так, краткая формулировка теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме кеадратов катетов. неточна; запоминать же ее в правильной и громоздкой формулировке необязательно. Важно, чтобы учащийся умел объяснить, в чем неточность формулировки, и при надобности сумел бы дать и полную формулировку, хотя бы „своими словами".
§ 3. Методы: аналогия, индукция и дедукция.
1. Различают три главных вида умозаключений:
Аналогия. дедукцию, индукцию и аналогию, которыми пользуются при доказательствах.
Дедуктивный метод доказательства заключается в том, что от общего переходят к частному; индукция — это переход от частного к общему, и, наконец, аналогия — переход от одного частного к другому частному — заключается в том, что вывод, сделанный из рассмотрения какого-либо одного факта, переносят на ему подобный; в отдельных случаях иногда довольно трудно провести резкую грань между аналогией и индукцией.
Остановимся на аналогии и рассмотрим несколько примеров умозаключений по аналогии. Если предложить учащимся провести окружность, вписанную или описанную по отношению к четырехугольнику, то для такого построения они по аналогий", естественно, прибегнут к методам, которыми строится окружность, вписанная или описанная по отношению к треугольнику. Однако опыт убедит их, что построение не всегда возможно, что для построения окружности, вписанной или описанной по отношению к четырехугольнику, требуется выполнение определенных условий, а именно: вписать окружность в четырехугольник можно лишь тогда, когда сумма двух противолежащих его сторон равна сумме двух других его сторон, описать же окружность около четырехугольника можно лишь тогда, когда сумма двух противолежащих его углов равна сумме двух других его углов.
KOHEЦ ФPAГMEHTA ПЕРВОЙ КНИГИ
КНИГА ВТОРАЯ
ОГЛАВЛЕНИЕ.
I. Некоторые вопросы общей методики стереометрии.
§ 1. Возникновение и развитие стереометрии
§ 2. Задача изучения стереометрии
§ 3. Наглядные пособия 7
§ 4. 06 изображении стереометрических фигур 11
§ 5. Задачи на построение в стереометрии 12
II. Первые уроки по стереометрии.
§ 6. Введение 15
§ 7. Прямая в пространстве 16
§ 8. Плоскость. Ее определение и основные теоремы 16
III. Перпендикулярные прямые и плоскости в пространстве.
§ 9. Введение 23
§ 10. Прямые, перпендикулярные к плоскости 24
§ 11. Прямые, перпендикулярные и наклонные к плоскости 29
§ 12. Угол прямой с плоскостью 31
IV. Параллельные прямые и плоскости.
§ 13. Параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве 41
§ 14. Прямая, параллельная плоскости 44
§ 15. Параллельные плоскости 45
§ 16. Скрещивающиеся прямые и основные их свойства 45
§ 17. Угол, образуемый скрещивающимися прямыми 47
V. Двугранные углы и перпендикулярные плоскости. Методика вопроса.
§ 18. Возникновение и определение двугранного угла 56
§ 19. Двугранный угол как величина 56
§ 20. Перпендикулярные плоскости 59
VI. Изображение тел и их сечений в связи с косоугольным проектированием на плоскость. Методика вопроса.
§ 21. Введение 65
§ 22. Система в проработке темы 66
§ 23. Примеры изображений. Построение простейших фигур 68
§ 24. Сечения геометрических тел и их изображение 70
§ 25. Метрические зависимости между элементами фигур и их проекциями. 77
§ 26. Трехгранный угол 81
§ 27. Плоские углы трехгранного угла 83
§ 28. Дополнительные трехгранные углы 87
§ 29. Выпуклый многогранный угол 89
§ 30. О конгруентных трехгранных углах 91
§ 31. Задачи и вопросы 93
§ 32. Метрическая зависимость между плоскими и двугранными углами трехгранного угла 100
VIII. Многогранники. Методика вопроса.
§ 33. Введение. Призма и ее возникновение 104
§ 34. Задачи на построение и вычисление, связанные с построением призм. 108
§ 35. Задачи на построение, связанные с сечением куба 121
§ 36. Конгруентность призм 130
§ 37. Подобие призм 132
§ 38. Пирамиды 134
§ 39. Задачи на построение и вычисление, связанные с правильной треугольной пирамидой 137
§ 40. Линии и углы в пирамиде 163
§ 41. Идея равенства и подобия пирамид 169
§ 42. Идея подобия многогранников 171
§ 43. Идея пространственной симметрии 173
§ 44. Симметричные многогранники 175
§ 45. Правильные многогранники 177
§ 46. Теорема Эйлера 182
§ 47. Построение изображений правильных многогранников 186
IX. Поверхности многогранников. Методика вопроса.
§ 48. Поверхность призм. Задачи 194
§ 49. Поверхность пирамиды. Задачи 200
§ 50. Поверхность усеченной пирамиды 203
§ 51. Поверхность правильных многогранников 205
X. Объемы многогранников. Методика вопроса.
§ 52. Объем призм 211
§ 53. Теорема Кавальери 223
§ 54. Объем пирамиды 227
§ 55. Объем усеченной пирамиды 233
§ 56. Объем правильных многогранников 239
§ 57. Призматоид 247
XI. Круглые тела. Методика вопроса.
§ 58. Цилиндр 254
§ 59. Конус 269
§ 60. Тела, получаемые при вращении прямолинейных фигур 280
§ 61. Шар 292
Литература 325
ЗАМЕЧЕННАЯ ОПЕЧАТКА
На стр. 128, строка 24 сверху напечатано: "спектроскоп", должно быть: "стереоскоп".
ГЛАВА I.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. Возникновение и развитие стереометрии.
1. Геометрия в пространстве, или стереометрия,— раздел геометрии, изучающий положение, форму и размеры пространственных фигур,
а также их свойства и зависимость между отдельными их элементами.
Стереометрия — греческое слово; оно произошло от слов зтереоу — тело и ретро; — мера.
И. Тропфке в своей истории элементарной геометрии указывает, что слово „стереометрия" впервые встречается непосредственно после Платона (427—348 до н. э.) у Филиппа из Опуса, и упоминает, что Платон не знал этого слова, что у Аристотеля (384—322 до н. э.) слово „стереометрия" встречается только один раз, затем оно без изменения перешло в латинский язык и встречается у„.Б.о э ц и я (480—524).
2. Развитие стереометрии началось значительно позднее развития планиметрии. Стереометрия, как и планиметрия, развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека. Несомненно, что уже первобытный человек, сменив кочевье на оседлую жизнь, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в самых грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды.
Строитель даже самых древних примитивных построек должен был ьак-то учитывать материал, которым он располагал, и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки.
Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел: куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра и т. д.
Потребности земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние — к изучению свойств сферы и ее частей, а следовательно, и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве.
Правильность сказанного подтверждается древнейшими памятниками, материальными и письменными.
Египетские пирамиды, главнейшие из которых были сооружены за 2, 3 и 4 тысячи лет до н. э., поражают нас точностью сбоит метрических соотношений; несомненно, строители их уже знали многие стереометрические положения и расчеты.
Это подтверждает расшифрованный древнейший папирус Голенищева, хранящийся в Музее изящных искусств в Москье, а также папирус Райнда, написанный писцом Ахмесом и хранящийся, в Боитанском музее в Лондоне; оба папируса написаты в границах от 1700 до 2000 лет до н. э.
Оба эти папируса, как показали исследования, являются математическими руководствами, в которых приведено большое число задач с решениями. Что касается 1еэметрии,то в папирусе Райнда в соответствии с практическим характером египетской науки приведены задачи, относящиеся к вычислению площадей прямолинейных фигур: прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника и прямоугольной трапе тии, и криволинейной — круга, а также правила для вычисления объемов египетских хлебных амбаров с прямоугольными и круглыми основаниями.
Приводим эти правила в современном алгебраическом обозначении:
К сожалению, нет достаточных данных для решения вопроса об их правильности, так как до сих пор неизвестна форма самих амаров, объем которых вычисляется по приведенным формулам.
В папирусе Голенищва среди значительного числа разного рода практических задач приведено всего шесть с геометрическим содержанием; из них две на вычисление объема усеченной пирамиды и поверхности полусферы. Эти задачи приведены во второй части стабильно:о учебника по геометрии.
3. Греки, ученики египтян на первых порах своего исторического развития, использовали почерпнутые ими у последних первоначальные геометрические сведения для создания научной геометрии.
В период экономического и культурного расцвета Древней Греции и ее колоний геометрия достигла высокого теоретического развития. Следует упомянуть, что из числа выдающихся геометров Греции вопросами стереометрии интересовались Анаксагор, Демокрит, Гиппократ (V в. до н. э ). Гиппократ является в числе первых, занимавшихся решением знаменитой задачи древности— делийской задачи об удвоении куба.
Ко времени Платона, в школе которого уделялось большое внимание математике, в частности геометрии, вопросы стереометрии еще не были систематизированы. Платон ратовал за работу над вопросами стереометрии и в своих высказываниях сожалел о незнании своими соотечественниками стереометрии.
„Что касается измерения всего того, что имеет длину, ширину и глубину,— говорил он, — то греки обнаруживают смехотворное и скудное познание того, что от природы в них вложено, и мне стыдно не только за себя, но и за всех греков". В школе Платона проблемы стереометрии значительно продвинулись. Так, если пифагорейцы знали лишь о форме куба, тетраэдра и, быть может, о двенадцатиграннике, то Теетет, один из представителей пц олы Платона (369 до н. э.), рассмотрел восьмигранник и двадцатигранник и дал впервые теорию некоторых свойств пяти правильных многогранников. Этими работами, повидимому, воспользовался Евклид и изложил их в XIII книге своих „Начал".
Должно отметить А р х и т а из Тарента (430—365 до н.э.), который в должной мере знал основы стереометрии. Ои знал не только предложения, касающиеся взаимного пересечения плоскостей, но и отдавал себе ясный отчет об образовании цилиндра, конуса и тора и использовал получающиеся при взаимном пересечении этих тел кривые для решения проблемы об удвоении куба.
Упомянутый выше Демокрит высказал суждение, что объем пирамиды равен объема призмы, имеющей с пирамидой равновеликое основание
и одинаковую высоту; исчерпывающее доказательство этого суждения было затем дано Евдоксом.
Особо следует упомянуть о Менехме (IV в. до н. э.), ученике Платона, впервые давшем некоторую теорию конических сечений.
4. Что касается Евклида, то величайшая его заслуга состоит в том, что он собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал. Из 13 к.,иг его „Начал" стереометрии отведены XI—ХIII книги.
В XI книге изложены свойства прямых и плоскостей в пространстве и свойства параллелепипедов; в XII книге речь идет о пирамиде, конусе, цилиндре и шаре, в XIII книге — о правильных многоугольниках и многогранник/х; более подробно учение о правильных многогранниках развивается в XIV и XV книгах.
Следует указать, что в некоторых изданиях „Начал” Евклида имеется не 13, а 15 книг; исторические исследования показали, что последние две книги написаны не Евклидом; XIV книга приписывается Гипсиклу Александрийскому (II в. до н. э ), XV — Дамасцию (VI в) и др.
Собранные Евклидом сведения по стереометрии дополнил, углубил и расширил величайший математик древности Архимед (287 — 212). В своем трактате „О шаре и цилиндре", состоящем из двух книг, он доказывает, что поверхность шара вчетверо больше площади большого круга, что поверхность шарового сегмента равна площади круга, радиус которого равен прямой, соединяющей вершину сегмента с точкой окружности круга, служащего ему основанием, что объем и поверхность шара составляют объема и поверхности, соответственно, цилиндра,
описанного около шара. Стереометрия обязана Архимеду и другими исследованиями: он дал тринадцать полуправильных тел, каждое из которых ограничено правильными многоугольниками, но не одного и того же рода, и вычислил объемы многих тел вращения. Благодаря трудам Архимеда стереометрия достигла своего кульминационного пункта, и элементарная геометрия в современном ее понимании была окончательно установлена; действительно, в нее входило все содержание „Начал" Евклида, измерение круга и шара, а также свойства сферических фигур, которые изучались древними как составная часть астрономии.
Следует упомянуть Пап па (около IV в.), составившего „Математический сборник" в 8 кни ах, из которых первые две утеряны. В своем сборнике ГТапп приводит некоторые свои оригинальные исследования, большей же частью комментирует работы предшествовавших ему геометров; преимущественное значение работы Паппа состоит в том, что она дает возможность судить об отдельных работах, которые до нас не дошли. Нужно отметить, что Папп явтяется автором теоремы; объем тела, образуемого вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости вращаемой фигуры, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести площади фипры. Теорема эта впоследствии была названа именем Гюльдена (1577—1643), вновь открывшего ее.
5. После падения Греции наблюдается длительный застой в развитии математики и стереометрии в частности, длившийся тысячу лет.
Ни римляне, ни индусы, ни арабы почти ничего не прибавили к геометрической сокровищнице греков, и только с XVI—XVII вв., в период социального подьема, вызвавшего бурный рост в области науки, наблюдается оживление и математической мысли под давлением развивающейся техники.
Для развития стереометрии в новое время многое было сделано Кеплером (1571—1630). В своей „Новой стереометрии" — „стереометрии бочек" (1615)—он впервые употребил в геометрии бесконечю-малую величину. При вычислении объемов тел Кеплер избегает метода исчерпывания, введенного Евдоксом и Архимедом, и вводит бесконечно-малые величины. Так, он рассматривает шар „как бы" состоящим из бесконечно большого числа конусов, вершины которых лежат в центре, а основания— на поверхности шара, и таким путем находит его объем.
Кеплер применял свой метод для определения объемов тел, образуемых вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга, в частности объема тела, образуемого вращением кругового сегмента вокруг его хорды, называя их то „лимоном", то „яблоком". Необходимо упомянуть о Кавальери (1591—1647) и его трудах: „Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин" (1635) и „Шесть геометрических этюдов" (1647), в которых он главным образом сосредоточивает свое внимание на вычислении площадей, объемов и центров тяжести тел.
Открытие Ньютоном (1642—1727) и Лейбницем (1646—1716) интегрального исчисления окончательно разрешило проблему квадратуры и кубатуры.
§ 2. Задача изучения стереометрии.
1. Изучение стереометрии в средней школе ставит своей задачей развитие пространственных представлений учащихся, их пространственной интуиции, что достигается правильным прохождением первых "глав стереометрии— положения основных образов.
Изучение стереометрии должно дать умение и навык отличать друг от друга формы различных основных тел, перечисляя их существенные признаки, знать образование отдельных тел, их свойства, соотношения между отдельными элементами тел, выполнять четкий чертеж несложного пространственного образа, разбираться в данном чертеже и вызывать в своем воображении по данному чертежу соответствующие геометрические образы, решать задачи на вычислений поверхностей и объемов тел и отдельных их частей, размеров отдельных их этементов, а также задачи на построение пространственных фигур. Изучение стереометрии, содействуя развитию пространственных представлений и пространственной интуиции, должно, в конечном счете, дать учащимся прочные навыки и знания, нужные им не только для дальнейшей учебной работы, но и для последующей практической работы в технике, в производстве, в строительстве.
2. Приступая с учащимися к изучению стереометрии, преподаватель должен помнить, что учащиеся за редкими исключениями обладают весьма слабыми пространственными предсявлениями, не умеют изобразить в должном виде трехмерный образ на двухмерной плоскости листа или доски, не умеют рассмотреть и тем самым представить себе изображенный в плоскости чертежа трехмерный геометрический образ. Чтобы преодолеть эти трудности, необходимо на первых порах широко пользоваться наглядными пособиями. Должны быть использованы всякого рода готовые модели тет, конструктивные ящики для выяснения учащимся в рассматриваемой простр шственной фигуре взаимоположений отдельных основных элементов фигуры: точек, прямых и плоскостей; наряду с этим сами учащиеся должны научиться строить изучаемую фигуру из какого-либо материала и изображать ее на плоскости.
Рассмотрение и подробный разбор вопроса на модели или построение модели как нельзя лучше помогает учащимся выяснить взаимное расположение элементов пространственной фшуры и приучает их воссоздавать в своем воображении требуемый геометрический образ в целом и видеть взаимное расположение отдельных его элементов.
В силу сказанного должны быть использованы при изучении стереометрии, в особенности первых ее глав, всякого рода наглядные пособия; основное стереометрическое пособие, состоящее из набора спиц, планок, пластинок, готовые модели тел, сплошные и разборные, таблицы и т. п.
Следует име:ь в виду, что приучение учащихся к геометрическому конструированию особенно ценно тем, что служит полезной подготовкой к работам по техническому конструированию. И школа, которая должна серьезно стави:ь дело изучения стереометрии, обязана найти пути и средства обеспечить занятия необходимыми учебными пособиями.
§ 3. Наглядные пособия.
1. Одним из полезных наглядных пособий по стереометрии является пособие С. П. Острейко.
В объяснительной записке к пособию, описание которого дано ниже, С. П. Ост. рейко говорит:
Меня давно занимала мысль иметь под руками при преподавании стереометрии такой материал, при помощи которого преподаватель и учащийся могли бы легко и без большой потери времени осуществлять любые несложные стереометрические построения. О громадном значении такого учебного пособия распространяться не приходится. Стереометрия затрудняет учащихся глэрным образом тем, что построение ее нужно „воображать", так как чертежи в ней являются условным изображением на плоскости того, что размещено в пространстве. Готовые модели, которыми обыкновенно пользуются при обучении стереометрии, не могут вполне заменить то, что я имею в виду. Прежде всего, этих моделей должно быть очень большое количество, если мы желаем, чтобы для есякой теоремы, задачи н вопроса, какие могут встретиться, у нас была готовая модель. Но это неудобство все-таки только практического характера, и с ним еще можно было бы мириться. Гораздо существеннее то, что учащийся, рассматривая готовую модель, пассивно воспринимает формы и свойства той фигуры, которую она изображает. Ближе и интимнее вникнет он в формы и соотношения частей фигуры, если он сам построит ее по данному заданию. Между прочим, только при существовании такого пособия учащийся может отчетливо уяснить себе ход построения стереометрической фигуры в том именно порядке, какой соответствует ходу доказательства или заданию задачи".
Составными частями прибора С. П. Оетрейко служат:
1) Набор цветных деревянных палочек и металлических скреплений к ним; эти скрепления позволяют легко строить из палочек по данным заданиям призмы и пирамиды. Скрепления сделаны из мягкого металла {меди), легко деформируются простым нажимом пальцев; это дает возможность придавать палочкам направления под любыми углами друг к другу.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
