ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Преподавание геометрии в школе имеет целью не только сообщать учащимся геометрические результаты, но Также научить их методу, при помощи которого эти результаты получаются. Как и&вестно, геометрические результаты (теоремы) получаются путем логических рассуждений (доказательств) из некоторых отправных положений (аксиом). Логические рассуждения являются необходимой частью всякого познания. Геометрия отличается ясностью и простотой как в формулировке результата, так и в тех исходных положениях, из которых этот результат должен быть получен. Поэтому геометрия дает нам лучшие возможности для развития логического мышления в школе. Посмотрим, однако, как реализуются эти возможности.
Знакомство учащихся с геометрией начинается в младших классах. Здесь вводятся основные геометрические понятия, формулируются основные свойства простейших фигур, решаются простейшие задачи. Где-то в шестом классе мы впервые произносим три слова — аксиома, теорема доказательство, — и тогда начинается настоящая геометрия.
Аксиомы весьма многочисленны, и мы ограничиваемся формулировкой одной из них, аксиомы о возможности провести через две данные точки прямую. В действительности не многочисленность аксиом удерживает нас от их формулировки. Для этого есть другая, более серьезная причина. Дело в том, что вслед за аксиомами идут многочисленные теоремы очевидного содержания, доказательство которых часто далеко не просто. Поэтому мы сознательно не формулируем другие аксиомы и приступаем сразу к доказательству весьма содержательных теорем.
Мы формулируем теорему и приводим некоторое рас-еуждение, которое называем доказательством. Мы пишем, что даны, скажем, какие-то треугольники и надо доказать их равенство или что-либо другое. Действительно ли даны только треугольники? Конечно, нет. Есть нечто, данное нам еще, — это аксиомы, которые составляют основу нашего доказательства. Если переставлять всеми способами слова, содержащиеся в условии теоремы, мы еще не получим доказательства. Но наше рассуждение настолько просто и аргументы настолько привычны учащемуся, что он с ними охотно соглашается.
В другой раз мы предлагаем учащемуся доказать ту же теорему. Представим себе, что учащийся проявляет некоторую самостоятельность в рассуждении и предлагает нам столь же убедительные аргументы, опираясь, по существу, на теорему, которую мы намерены доказывать дальше. Это ставит нас в затруднительное положение. Проходит много времени, прежде чем из многочисленных доказательств теорем учащийся самостоятельно выловит те аргументы, которые составляют основу всякого геометрического доказательства.
В настоящей книге мы делаем попытку дать такое изложение школьного курса геометрии, в котором отмеченные выше затруднения устранены. Изложение строится на простой, компактной системе аксиом, которая подготовлена знакомством с геометрией в младших классах. Всего аксиом двенадцать. Они вводятся в виде напоминания свойств простейших фигур, хорошо знакомых учащемуся.
Компактность предлагаемой системы аксиом достигается за счет подключения к ней аксиом арифметики, которые, естественно, не формулируются: свойства вещественных чисел и операции над ними предполагаются хорошо известными. Подключение арифметики осуществляется через определение равенства отрезков и углов. Именно, мы называем отрезки равными, если они имеют одинаковые длины. Аксиома об аддитивности меры отрезков и углов избавляет нас от необходимости проделать мучительный путь к обоснованию этого понятия и изучению его основных свойств в самом начале курса.
Предлагаемая система аксиом хорошо согласуется с традиционными доказательствами теорем и позволяет несколькими штрихами сделать эти доказательства совершенно безупречными. Отчетливая формулировка исходных положений позволяет дать ясное изложение вопроса о геометрическом доказательстве, которое иллюстрируется на простых примерах взаимного расположения точек и прямых.
Содержание предлагаемого курса — традиционное как по материалу, так и по его расположению. Известное усложнение, естественно вызванное строгостью доказательств, нарастает постепенно и не может создать серьезных трудностей для преподавания в школе.
В заключение отметим, что путь, избранный нами для построения школьного курса геометрии, близок пути, указанному в свое время Г. Д. Биркгофом, популярному среди американских авторов школьных учебников. Опыт американской школы дает основание утверждать разумность предлагаемого пути.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Книга является второй частью предлагаемого автором школьного курса геометрии» построенного на специальной системе аксиом, Содержание книги и порядок расположения материала традиционные, Книга будет полезна для студентов вузов педагогических специальностей и для учителей средних школ.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
§ 1. Аксиомы стереометрии и некоторые их следствия 5
§ 2. Параллельность прямых и плоскостей 10
§ 3. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
§ 4. Перпендикуляры и наклонные 21
§ 5. Перпендикулярность плоскостей 26
§ 6. Углы между прямыми и плоскостями 31
§ 7. Двугранные, трехгранные и многогранные углы 35
§ 8. Движения и другие преобразования в пространстве 42
§ 9. Простейшие тела. Призма и пирамида 48
§ 10. Элементы проекционного черчения 55
§ 11. Объемы простых тел 61
§ 12. Тела вращения 74
§ 13. Объемы тел вращения 82
§ 14. Площади поверхностей вращения 91
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является второй частью предлагаемого мной курса элементарной геометрии. Так же как и в первой части, изложение начинается формулировкой трех пространственных аксиом, на которые опираются доказательства теорем. Содержание книги традиционное. Но изложение брлее строгое, чем принятое в школьных учебниках. Это относится не только к началу курса, где доказательства непосредственно опираются на аксиомы, но и к последующим темам. Такова, например, тема об измерении объемов тел и площадей поверхностей. Специально подобранные к каждому параграфу упражнения существенно дополняют краткое изложение предмета.
А. Погорелов
§ 1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ СЛЕДСТВИЯ
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так же как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства простейших геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Простейшими фигурами в пространстве являются — точка, прямая и плоскость,. Введение нового геометрического образа — плоскости — заставляет расширить систему аксиом. Именно, мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом.
С1. Какова бы ни была плоскость, существуют течйи, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости а и Р имеют общую точку С, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. Причем если точка X принадлежит обоим плоскостям, то она принадлежит прямой с.
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.
Это значит, что если две различные прямые а и Ь имеют общую точку С, то существует плоскость у, содержащая прямые а и Ь. Плоскость, обладающая этим свойством, единственная.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из пяти групп аксиом планиметрии: I — V и группы аксиом С. Для удобства изложения мы напомним аксиомы планиметрии первых двух групп.
11. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
12. Каковы бы ни были две точки, существует и притом только одна прямая, проходящая через. эти точки.
Нь Из трех точек на прямой одна и только одна Лежит между двумя другими.
П2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то* отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.
Теорема 1.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и В не лежащая на ней точка (рис. 1). Отметим на прямой а какую-нибудь точку А. Такая точка существует по аксиоме 1ь Проведем через точки А и В прямую b (аксиома 12). Прямые а и Ь различимы, так точка В прямой b не лежит на прямой а. Прямые а и Ъ имеют общую точку А.
Проведем через прямые а и Ь плоскость- а (аксиома С3). Эта плоскость проходит через прямую а и точку В.
Докажем теперь, что плоскость ос, проходящая через прямую а и точку В, единственная. Допустим, существует другая, отличная от а плоскость а, проходящая через прямую а и точку В. По аксиоме С2 плоскости а и а, будучи различны, пересекаются по прямой. Следовательно, любые три общие точки плоскостей а и а лежат на прямой. Но точка В и две точки прямой а заведомо не лежат на одной прямой,
Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.
Теорема 1.2. Если две точки прямой а лежат на плоскости а, то вся прямая лежит на этой плоскости.
Доказательство. По аксиоме Ii существует точка А, не лежащая на прямой а. Проведем через прямую а и точку А плоскость а (рис. 2). Если плоскость а совпадает с а, то плоскость а, таким образом, содержит прямую а. Если плоскость а отлична от а, то эти плоскости пересекаются по прямой а, содержащей две точки прямой а. рИс. 2.
По аксиоме Ь прямая а совпадает сои, следовательно, прямая а лежит в плоскости а. Теорема доказана.
Теорема 1.3. Две различные плоскости либо не пересекаются, либо пересекаются по прямой.
Плоскость и не 4ежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Первое утверждение этой теоремы следует из аксиомы С2- Второе утверждение следует из теоремы 1.2.
Теорема 1.4. Через три точки, не лежащие на прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
До к аз а тел ь ст-во. Пусть А, В, С — данные три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем прямые Рис. 3. АВ и АС (рис. 3). Эти прямые различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме Сз через прямые АВ и АС можно провести плоскость. Эта плоскость содержит точки А, В, С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственная. Действительно, плоскость, проходящая черш точки- Л, Д, ?, по. теореме 1.2 содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме С$ эти условия определяют плоскость однозначно. Теорема доказана.
Теорема 1.5. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекается с плоскостью. Если же точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекается с плоскостью.
Доказательство. Пусть % а — данная плоскость. Отметим точку Л, не лежащую на плоскости а. Разобьем все точки пространства, не лежащие в плоскости а, на два класса по следующему правилу. Точку X отнесем в первый класс, если отрезок АХ не пересекается с плоскостью а. Точку А отнесем во второй класс, если отрезок АХ пересекается с плоскостью а. Таким образом, каждая точка X пространства, не лежащая в плоскости а, будет отнесена в один из классов. Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, указанными в теореме. Пусть точки X и Y Рис. 4. принадлежат первому классу. Проведем через точки Л, X и Y плоскость а. Если плоскость а не пересекается с плоскостью а, то отрезок XY, лежащий в плоскости а, тоже не пересекается с этой плоскостью. Допустим, плоскость а пересекается с плоскостью а (рис. 4). Так как плоскости различны, то их пересечение происходит по некоторой прямой а. Прямая а разбивает плоскость а! на две полуплоскости. Точки X и Y принадлежат одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точка Л. Поэтому отрезок XY не пересекается с прямой а, а следовательно и с плоскостью а.
Если точки X и У принадлежат второму классу, то плоскость а! заведомо пересекается с а, так отрезок АХ плоскости а пересекается с а. Точки X и У принадлежат одной полуплоскости разбиения плоскости а на полуплоскости прямой а. Следовательно, отрезок XY не пересекается с прямой а, а значит и с плоскостью а.
Если, наконец, точка X принадлежит одному классу, а точка У другому, то плоскость а пересекается с а, а точки Ху Y лежат в разных полуплоскостях плоскости а. Поэтому отрезок XY пересекается с прямой а, а значит и с плоскостью а. Теорема доказана.
В заключение этого параграфа мы хотим сделать одно замечание относительно аксиомы 1ь Эта аксиома в списке аксиом стереометрии приобретает другой смысл, чем тот, который она имела в планиметрии.
В планиметрии эта аксиома утверждает существование точек вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком смысле эта аксиома применялась нами при построении геометрии на плоскости.
Теперь аксиома Ii утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой. Из нее непосредственно не следует существования точек вно данной прямой на данной плоскости, в которой лежит прямая, и это требует специального доказательства.
Пусть а — плоскость и а — прямая в этой плоскости. Докажем существование точек в плоскости а, не лежащих на прямой а. Отметим точку А на прямой а и точку А вне плоскости а. Проведем плоскость а через прямую а и точку А (рис. 5). Возьмем точку В вне плоскости а и проведем через прямую АА и точку В плоскость р. Плоскости аир пересекаются по прямой, проходящей через точку А. Точки этой прямой, отличные от А, лежат в плоскости а вне прямой а.
Что и требовалось доказать.
Упражнения
1. Дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Доказать, что все прямые, проходящие через точку А и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
2. Даны прямые а2) а3, ... Доказать, что если любые две из этих прямых пересекаются, то либо все они проходят через одну точку, либо все они лежат в одной плоскости.
3. Доказать, что если любые четыре точки фигуры ле&ат в одной плоскости, то фигура плоская, т. о. лежит в плоскости.
4. Даны 2п точек А\у Л2, ..., А2п и плоскость а, не проходящая ни через одну из этих точек. Доказать, что плоскость а пересекает не более чем п2 отрезков АРАЯ, попарно соединяющих данные точки.
§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Пусть а — плоскость, а — прямая в этой плоскости и Л — точка в плоскости а, не лежащая на прямой а. По аксиоме параллельных (V) через точку А в плоскости а проходит одна и только одна прямая, параллельная а.
Две прямые в пространстве называются скрещивающимися,, если они не параллельны и не пересекаются. Таковы, например, прямые, на которых лежат ребра куба АВ и CD (рис. 6). Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Для двух различных прямых в пространстве могут быть три и только три возможности: либо прямые пересекаются в одной точке, либо они параллельны, либо они скрещивающиеся.
Понятие параллельности вводится для прямой и плоскости и для двух плоскостей. Именно, прямая и
плоскость или две плоскости называются параллель-ными, если они, т. е. прямая и плоскость или соответственно две плоскости, не пересекаются. В настоящем параграфе мы докажем ряд теорем о параллельности прямых и плоскостей.
Теорема 2.1. Плоскость а и не лежащая в ней прямая а параллельны тогда и только тогда, когда в плоскости а найдется прямая а, параллельная а.
Доказательство. Пусть а — прямая в плоскости а, параллельная прямой а. Утверждается, что прямая а параллельна плоскости ос. Действительно,
пусть ос — плоскость, в которой лежат прямые а и а (рис. 7). Она отлична от а, так как прямая а не лежит в плоскости ос. Плоскости а и а пересекаются по прямой а. Если бы прямая а пересекала плоскость ос, то точка пересечения принадлежала бы прямой а. Но это невозможно, так как прямые а и а параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость ос, т. е. параллельна плоскости ос.
Пусть прямая а параллельна плоскости ос. Отметим точку А в плоскости а и проведем плоскость а через прямую а и точку А. Эта плоскость пересечет плоскость ос по некоторой прямой а. Прямая а лежит в одной плоскости с прямой а (плоскости а) и не пересекает эту прямую, так как не пересекает плоскость а. Следовательно, прямая а параллельна прямой а. Теорема доказана полностью.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Эта книга представляет собой существенную переработку двух вышедших ранее книг этого же автора «Планиметрия» (1969) и «Стереометрия» (1970). Прежде всего, несколько усилена аксиоматика. Соответственно изложение приняло форму, допускающую использование в школьном преподавании. Улучшены и упрощены многие доказательства; вопрос об измерении площадей изложен в форме, близкой к традиционной. Более компактно изложены начала стереометрии. Улучшено изложение вопроса о площади поверхности.
Параграфы теперь заканчиваются многочисленными вопросами для повторения, контролирующими прохождение курса, и упражнениями.
После переработки книга может быть рекомендована не только студентам педвузов и учителям, но также и учащимся средних школ.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие для учителей
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
Точка и прямая (16). Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости (16). Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости (17). Основные свойства измерения отрезков и углов (19). Основные свойства откладывания отрезков и углов (21). Первый признак равенства треугольников (22). Основное свойство параллельных прямых (23). Вопросы для повторения и упражнения (23).
§ 2. О том, как в геометрии изучают свойства фигур
Аксиомы, теоремы и доказательства (25). Расположение углов, отложенных в одну полуплоскость (26). Разделение сторон угла прямой (27). Вопросы для повторения (28). Упражнения (28).
§ 3. Углы
Смежные углы (29). Вертикальные углы (29). Прямой угол. Перпендикулярные прямые (30). Вопросы для повторения (30). Упражнения (31).
§ 4. Равенство треугольников
Второй признак равенства треугольников (31). Равнобедренный треугольник (32). Медиана, биссектриса и высота (33). Третий признак равенства треугольников (33). Вопросы для повторения (34). Упражнения (35).
§ 5. Соотношения между углами и сторонами треугольника
Соотношения между углами треугольника (35). Соотношение между углами треугольника и противолежащими им сторонами (36). Соотношения между сторонами треугольника (37). Неравенство треугольника (37). Вопросы для повторения (39). Упражнения (39)
§ 6. Прямоугольные треугольники
Углы и стороны прямоугольного треугольника (39). Равенство прямоугольных треугольников (40). Перпендикуляр и наклонная (41). Вопросы для повторения (43). Упражнения (43).
Что такое задачи на построение (44). Построение треугольника с данными сторонами (4 4). Построение угла, равного данному
(46). Деление угла пополам (45). Деление отрезка пополам (46). Построение перпендикуляра (4 6). Геометрическое место точек
(47). Метод геометрических мест (48). Вопросы для повторения (50). Упражнения (50).
§ 8. Параллельные прямые
Признаки параллельности прямых (50). Сумма углов треугольника (52). Параллельные, как равноотстоящие прямые (53). Вопросы для повторения (54). Упражнения (55)
§ 9. Четырехугольники
Выпуклые четырехугольники (55). Параллелограмм (57). Прямоугольник. Ромб. Квадрат (5 8). Трапеции (5 9). Точка пересечения медиан треугольника (61). Вопросы для повторения (62). Упражнения (63).
§ 10. Движения. Равенство фигур
Понятие движения (63). Свойства движения (64). Симметрия относительно прямой (65). Симметрия относительно точки (66). Параллельный перенос (67). Поворот (69). Вопросы для повторения (70). Упражнения (70).
§ 11. Окружность
Простейшие свойства окружности (71). Центральные углы (73). Вписанные углы (73). Вписанная и описанная окружности (76). Вопросы для повторения (78). Упражнения (78)
§ 12. Подобие треугольников
Основной признак подобия треугольников (79). Другие признаки подобия треугольников (81). Пропорциональные отрезки в треугольнике (82). Пропорциональность отрезков хорд и секущих (83). Пересечение прямой с окружностью (84). Две задачи на построение (85). Подобие фигур. Гомотетия (86) Вопросы для повторения (87) Упражнения (88)
§ 13. Теорема Пифагора и ее применения
Теорема Пифагора (89). Соотношения в косоугольном треугольнике (89). Соотношение между диагоналями и сторонами параллелограмма (91). Существование треугольника с данными сторонами (92). Взаимное расположение двух окружностей (93). Некоторые задачи (95). Вопросы для повторения (96). Упражнения (96).
§ 14. Тригонометрические функции углов
Определение тригонометрических функций (97). Формулы приведения (98). Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (99). Теорема косинусов (100). Теорема синусов (101). Вопросы для повторения и упражнения (102).
§ 15. Многоугольники 103
Выпуклые многоугольники (103). Сумма углов выпуклого многоугольника (104). Пополненный многоугольник Выпуклая ломаная (105). Правильные многоугольники (107). Вписанные и описанные многоугольники (108). Подобные многоугольники (109). Вопросы для повторения и упражнения (111).
§ 16. Площади фигур 111
Понятие площади (III). Площадь прямоугольника (1 12). Площади простейших фигур (114). Независимость площади простой фигуры от способа ее разбиения на треугольники (115). Площади подобных фигур (119) Вопросы для повторения и упражнения Ц19).
§ 17. Длина окружности. Площадь круга
Длина окружности (120). Длина дуги окружности. Радианнаи мера угла (122). Площадь круга и его частей (124). Вопросы для повторения и упражнения (126).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 18. Аксиомы стереометрии и некоторые их следствия
Некоторые следствия аксиом стереометрии (128). Разбиение пространства плоскостью на два полупространства (129). Замечание к аксиоме (130). Упражнения (131).
§ 19. Параллельность прямых и плоскостей
Параллельные прямые в пространстве (131). Параллельность прямой и плоскости (133). Параллельность плоскостей (134). Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями (135). Скрещивающиеся прямые (136). Упражнения (136)
§ 20. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых (137). Перпендикулярность прямой и плоскости (138). Свойства перпендикулярности прямой и плоскости (140). Построение перпендикулярной плоскости и прямой (141). Перпендикуляр и наклонная (142). Перпендикулярность плоскостей (144). Упражнения (146).
§ 21. Углы между прямыми и плоскостями
Угол между прямыми (147). Угол между прямой и плоскостью (148). Угол между плоскостями (150). Упражнения (151)
§ 22. Двугранные, трехгранные и многогранные углы
Определение двугранного и трехгранного угла (152). Теорема косинусов для трехгранного угла (153). Трехгранный угол, полярный данному трехгранному углу (154). Теорема синусов для трехгранного угла (155). Неравенство для плоских углов трехгранного угла (156). Многогранные углы (156). Упражнения (157).
§ 23. Движение и другие преобразования в пространстве
Движение и его свойства (157). Симметрия относительно плоскости и точки (158) Параллельный перенос и поворот в пространстве (160). Преобразование подобия и гомотетия в пространстве (161). Проектирование плоскости на плоскость (1 61). Упражнения (162).
§ 24. Многогранники
Геометрическое тело (163). Призма (164). Параллелепипед (165). Пирамида. Правильные многогранники (168). Упражнения (170).
§ 25. Элементы проекционного черчения
Изображение точки на эпюре (170). Задачи на прямую (171). Определение длины отрезка (1 72)..Задачи на прямую и плоскость (173). Упражнения (175)
§ 26. Объемы простых тел
Понятие объема (175). Объем прямоугольного параллелепипеда (176). Объем наклонного параллелепипеда (177). Объем призмы (178). Объем пирамиды (179). Объемы подобных тел (181). Корректность определения объема простых тел (18 2). Упражнения (185).
§ 27. Тела вращения 186
Цилиндр (186). Конус (188). Шар (189). Упражнения (192).
§ 28. Объемы тел вращения 193
Общее определение объема (193). Объем цилиндра (195). Объем конуса (196). Объем шара (197).
§ 29. Площади поверхностей вращения 201
Понятие площади выпуклой поверхности (201) Площадь сферы (202). Площадь сферического сегмента (20 3). Боковая поверхность цилиндра (204). Боковая поверхность конуса (204).
§ 30. Некоторые сведения из истории геометрии 205
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Преподавание геометрии в школе имеет целью не только сообщать учащимся геометрические результаты, но также научить их методу, при помощи которого эти результаты получаются. Как известно, геометрические результаты (теоремы) получаются путем логических рассуждений (доказательств) из некоторых отправных положений (аксиом). Логические рассуждения являются необходимой частью всякого познания. Геометрия отличается ясностью и простотой как в формулировке результата, так и в тех исходных положениях, из которых этот результат должен быть получен. Поэтому геометрия дает нам лучшие возможности для развития логического мышления в школе.
Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе — научить учащегося логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать.
Весь многовековой опыт преподавания элементарной геометрии со времен Евклида доказывает рациональность традиционной системы. Ее совершенствование, связанное с общим развитием науки, нам кажется, не должно касаться ее разумных и глубоко продуманных основ. Поэтому предлагаемый курс, в основном традиционный, отличается только более строгим изложением предмета и некоторой переоценкой значения его отдельных частей.
В основе предлагаемого курса геометрии лежит весьма немногочисленная система геометрических фактов, хорошо знакомых учащемуся и закрепленных в начальных классах школы. Эта система исходных положений, позже названных аксиомами, выделена в результате тщательного анализа содержания школьного курса геометрии с учетом элементоЕ традиционных доказательств.
Изложение начинается типичным для школьного преподавания повторением пройденного. Во всяком случае это так будет восприниматься учащимся. Однако истинная цель у нас другая и более серьезная. Речь идет о введении основных понятий и исходных положений, т. е. аксиом. Аксиомы сформулированы в форме основных свойств простейших геометрических фигур, составленных из точек и прямых. Эти аксиомы просты и естественны. В ряде случаев аксиомы формулируются сильнее, чем это требуется существом дела, с тем чтобы не вызвать вопросов и недоумений. Например, мы говорим, что существуют точки, лежащие на данной прямой, и точки, не лежащие на этой прямой. В действительности нам достаточно существования двух точек на прямой и одной точки вне прямой.
Отличительной особенностью нашей аксиоматики являются аксиомы измерения отрезков и углов. Эти аксиомы дают нам существенные методические преимущества. Во-первых, мы обходим трудный вопрос введения меры для отрезков и углов. Как известно, решение этого вопроса при аксиоматическом построении геометрии совсем не просто и требует применения серьезных средств, недоступных учащемуся. Во-вторых, через аксиомы измерения у нас подключается арифметика, которая к тому времени уже пройдена. А это значительно расширяет арсенал средств, применяемых в геометрическом доказательстве.
Аксиомы меры для отрезков и углов, естественно, требуют соответствующего определения понятий равенства отрезков и углов. Мы называем отрезки равными, если их длины одинаковы. Как ни странно, но большинство людей считают отрезки равными именно в этом случае, хотя в школе равенство отрезков определяется через наложимость. Поэтому наше определение равенства отрезков и с этой точки зрения естественно. Наложимость и движение вообще в нашем изложении являются производными понятиями и вводятся только в середине курса.
Второй параграф начинается четким определением понятий: аксиома, теорема и доказательство. Эти понятия определены настолько четко, что мы всегда можем дать ясный ответ на вопрос «почему» в каждом пункте проводимых нами доказательств. С другой стороны, мы имеем моральное право поставить такой вопрос учащемуся и требовать ответ. Понятие доказательства иллюстрируется на простых примерах с обстоятельным разбором.
Мы сохраняем традиционный порядок расположения материала, поэтому § 3 посвящен углам. Доказательства теорем в этом параграфе просты и естественны. Они основаны на аксиомах меры и откладывания углов.
Следующий параграф посвящен равенству треугольников. Содержание параграфа обычное, доказательства просты и безупречны. Вообще говоря, в идейном отношении все применяемые нами доказательства не содержат ничего нового. Они хорошо известны. Однако благодаря четкой формулировке исходных положений нам удается несколькими штрихами эти доказательства сделать совершенно безупречными. Эти «штрихи» чаще всего относятся к свойствам взаимного расположения точек на прямой и лучей в пучке. В математике вообще, в современной математике в особенности, отношение порядка играет не меньшую роль, чем отношение эквивалентности. Поэтому развивать это понятие на простых геометрических объектах целесообразно и с этой точки зрения.
В §§ 5 и 6 освещаются традиционные вопросы: свойство внешнего угла треугольника, соотношение между сторонами треугольника и противолежащими углами, неравенство треугольника, перпендикуляр и наклонная. Каждый параграф мы заканчиваем многочисленными вопросами для повторения и упражнениями. В вопросы для повторения вынесены определения понятий, доказательства теорем, а также вытекающих из них следствий. Сюда же включены некоторые не принципиальные вопросы курса. Вопросы для повторения четко определяют объем необходимых знаний учащегося и являются средством самоконтроля.
Следующий параграф посвящен геометрическим построениям. Здесь рассмотрены основные задачи на построения с помощью циркуля и линейки и объясняется метод геометрических мест. Надо сказать, что теме геометрических построений в современном школьном курсе геометрии не придают такого значения, как это было в прошлом. И это естественно: геометрические построения интересны главным образом для развития поисков решения и тренировки в доказательствах. Но геометрические построения не являются единственным средством для решения этой задачи.
Содержание первых семи параграфов этой книги можно назвать абсолютной геометрией. Здесь аксиома параллель-
ных не используется. Надо сказать, что привлечение аксиомы параллельных не дает реальных преимуществ в изложении этой части. Если считать, что планиметрия рассчитана на три года обучения, то эту часть курса можно рекомендовать для первого года. На второй год обучения мы относим теорию параллельных и непосредственно примыкающие к ней вопросы (§§ 8 — 12).
Параграф восьмой книги посвящен теории параллельных. Изложение начинается доказательством признаков параллельности. Нарушая традицию, мы ограничиваемся двумя парами углов параллельных с секущей: внутренними односторонними и внутренними накрестлежащими. Дело в том, что этих двух пар углов вполне достаточно для изложения теории параллельных и ее приложений. Другие пары углов, как-то внешние односторонние, внешние накрест-лежащие и другие практически не используются. Зато внутренние односторонние и накрестлежащие углы определены нами строго, не только с помощью рисунка, как это часто делается, а их использование в доказательствах строго аргументируется. Следующий, § 9 содержит традиционный материал о четырехугольниках.
В § 10 мы вводим понятие движения. В нашем изложении это понятие является производным. Оно определяется как отображение, сохраняющее расстояния. Доказываются основные свойства движения. Рассматриваются частные случаи движения: симметрия относительно прямой, симметрия относительно точки, параллельный перенос и вращение. Следует заметить, что понятие геометрического движения естественно ассоциируется с процессом. При существующем изложении геометрии в школе, где понятие движения используется в самом начале, это приводит к путанице и недоразумениям. В нашем изложении четко сформулированные свойства движения доказываются и затем применяются.
В следующем параграфе рассматривается окружность. Главной темой этого параграфа является вопрос об углах в окружности. Здесь четко определяется понятие дуги окружности, соответствующего ей центрального угла и мера центрального угла. Вводится понятие вписанного угла и доказываются соответствующие теоремы о вписанных углах.
Содержание § 12 является заключительной темой второго года обучения. Здесь излагается прежде всего вопрос о подобии треугольников. Этот вопрос, как известно, в действующем школьном изложении никогда не доводится до конца. Дело в том, что его полное решение требует применения аксиомы непрерывности. Поэтому доказательство подобия треугольников в основном случае обычно останавливается на полпути. В нашем изложении вопроса аксиома непрерывности действует через аксиомы измерения. Известное доказательство основного признака подобия завершается нами простым замечанием, вытекающим из аксиомы измерения.
В школьном курсе геометрии обычно остается открытым вопрос о пересечении прямой с окружностью и двух окружностей. Причина здесь та же: вопрос упирается в аксиому непрерывности. В нашем изложении вопрос о пересечении прямой с окружностью и двух окружностей решается просто и исчерпывающе. Это достигается в конечном счете также благодаря аксиомам измерения.
Третья часть курса начинается теоремой Пифагора и следствиями, вытекающими из этой теоремы: метрические соотношения в косоугольном треугольнике, соотношение между диагоналями и сторонами параллелограмма и др. Кроме этих традиционных вопросов, здесь дается простое доказательство важной теоремы о существовании треугольника с данными сторонами при выполнении известных необходимых условий. Эта теорема и дает исчерпывающее решение вопроса о взаимном расположении двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между центрами.
В § 14 вводятся тригонометрические функции углов. Мы ограничиваемся тремя функциями: синуса, косинуса и тангенса. Как известно, остальные три функции: секанс, косеканс и котангенс практически не используются. Материал этого параграфа обычен: формулы приведения, соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, теорема косинусов и теорема синусов. Следующий параграф посвящен выпуклым многоугольникам с традиционными вопросами о сумме внутренних и внешних углов, соотношении между длиной выпуклой ломаной и объемлющей и, наконец, правильным многоугольникам.
Известные трудности представляет изложение вопроса о площади фигур в школьном курсе. Мы эту проблему решаем следующим образом. Сначала понятие площади вводится при рассмотрении конкретной практической задачи и убедительно аргументируются ее свойства. Затем выясняется, что эти свойства однозначно определяют площадь.
Наконец, доказывается корректность определения площади этими свойствами. Изложение этого последнего вопроса в школьном преподавании можно считать факультативным.
Наконец, последняя тема планиметрии — длина окружности и площадь круга. В любом варианте изложения этого Еопроса мы встречаем серьезные трудности. Трудность составляет проблема существования. Однако эта трудность легко преодолевается в старших классах. Мы унифицировали определения основных понятий, связанных с измерением дуг и площадей для окружности и круга, что должно упростить изложение. Кроме вопросов существования, которые остались открытыми, другие вопросы решены с достаточной полнотой и строгостью.
Вторая часть книги, стереометрия, начинается формулировкой трех пространственных аксиом и выводом непосредственно вытекающих из них следствий (§ 18). Принятые нами аксиомы представляют собой некоторую модификацию аксиом традиционного изложения и хорошо согласуются с аксиомами на плоскости. Следующий параграф посвящен вопросам параллельности прямых и плоскостей в пространстве с традиционными теоремами и доказательствами.
Пространный § 20 посвящен различным вопросам перпендикулярности прямых и плоскостей. Параграфы 18, 19 и 20 составляют основу второй части курса. Специальный параграф (§ 21) посвящен вопросам, связанным с понятием угла между прямыми и плоскостями. Эти понятия четко определяются и доказываются соответствующие теоремы об углах.
Параграф 22 о двугранных, трехгранных и многогранных углах, кроме традиционных вопросов школьного курса, содержит доказательство теоремы косинусов и теоремы синусов для трехгранного угла. Мы полагаем, что эти важные и весьма употребительные теоремы должны быть даны в школьном курсе. Общеизвестно, что решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, в частности, решение задач на призмы и пирамиды сводятся в своей существенной части к доказательству этих общих теорем в различных частных случаях.
Следующий параграф (§ 23) посвящен преобразованиям в пространстве (движение, симметрия, подобие и др.). Изложение в этом параграфе подчеркнуто повторяет, в ряде случаев текстуально, параграф о преобразованиях на плоскости. Этот параграф для успевающего учащегося будет приятным повторением известных ему фактов из планиметрии.
Тема о многогранниках (§ 24) начинается с определения понятия геометрического тела. Это понятие вводится строго и вместе с тем вполне доступно. Строгое введение понятия геометрического тела позволяет дальше навести строгость в изложении вопроса об объеме и поверхности геометрического тела. Теоремы о призмах и пирамидах, данные в этом параграфе, традиционны. Более обстоятельно, чем это принято делать в школьном курсе, излагается вопрос о правильных многогранниках.
Четвертый год изучения геометрии заканчивается у нас параграфом 25 об основах проекционного черчения. Этот параграф содержит все основные задачи на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей при изображении их на эпюре.
В § 26, отправляясь от практической задачи о сравнении емкости двух сосудов, вводится понятие объема тела и выясняются его основные свойства. Обычным приемом, опираясь на эти свойства, находятся объемы простейших тел: призмы и пирамиды. Наконец, доказывается корректность (}юрмального определения объема многогранника как суммы объемов составляющих его пирамид. Этот последний вопрос может быть рекомендован для факультативных занятий. Изложение вопроса об объеме тел подчеркнуто близко изложению вопроса о площади плоских фигур и для успевающего учащегося будет приятным повторением.
Традиционные вопросы для тел вращения — цилиндра, конуса и шара изложены в § 27. Измерение объемов и поверхностей этих тел сюда не включены. Им посвящаются специальные параграфы.
В § 28 дано общее определение объема для любого тела. Отправляясь от объемов простых тел (тел, допускающих разбиение на конечное число треугольных пирамид), объем любого тела, по существу, определяется как точная нижняя грань объемов содержащих его простых тел. Исходя из этого общего определения, находятся объемы всех рассматриваемых в школьном курсе тел вращения: цилиндра, конуса, шара и их частей. Доказывается аддитивность объема для тел, ограниченных простыми поверхностями (плоскостью, цилиндрической, конической и шаровой поверхностью).
Параграф 29 посвящен изложению вопроса о площади поверхности. Отправляясь от практической задачи
о сравнении количества краски, необходимой для окрашивания двух поверхностей, мы приходим к естественному геометрическому определению понятия площади (по Минков-скому). Исходя из этого определения, стандартным приемом находятся площади рассматриваемых в школьном курсе поверхностей тел вращения: цилиндра, конуса, шара и их частей.
В заключение я хотел бы выразить сердечную благодарность академику А. Н. Колмогорову за ценные замечания и советы, сделанные им в рецензиях на отдельные части книги первого издания. Я благодарен также редактору книги А. Ф. Лапко за внимательное отношение к рукописи книги при подготовке ее к печати.
А. В. Погорелов
|
