DjVu

      ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ.
      1. Вопрос о построениях при помощи линейки и циркуля занимал еще древних. Несмотря на выстшленные некоторыми исследователями, издавшим на английском языке «Начала» Евклида с обширными комментариями в трех томах) возражения, весьма веским является мнение, поддерживаемое таким знатоком греческой геометрии, как покойным Н. Zeuthen'oM, что постулаты (1-й, 2-й и 3-й) о возможности проведения прямой через две точки, ее бесконечного продолжения и черчения круга являются именно установлением положенных в основу построений, а следовательно, именно теми ограничениями обл 1Сти образов, изучаемых геометриец которые позволяют иазв!ть «Планиметрию» Евклида геометрие1 линейки и циркуля.
      Этот взгляд подтверждается с большой убедительностью теми воззрениями, которые высказывает в начале своей «Геометпии» Р. Декар т,— он именно настаивает на допустимости в геометрии только таких построений, которые могут быть выполнены с помощью линейки и циркуля.
      Но вслед за тем является вопрос, какие построения возможны с меньшими вспомогательными средствами. И здесь мы имеем: 1) пользовшие одною линейкой, 2) пользование одним циркулем и 3) пользование линейкой и одним наперед данным неизменным кругом.
      Область последних построений (т. е. «построений Штейнера», которым и посвящена эта книжка) оказывается так же, kik и область построений при помощи одного циркуля (так называемые «построения Маскерони»), одинаковою с областью построений при помощи линейки и ципкуля.
      Построения при помощи одной линейки, конечно, дают область более узкую, но интересно, что они объемлют именно область проективной геометрии. Синтетически и нтиболее полно провел и разработал геометрию линейки Ш т а у д т (G. Ch. Staudt) в «Georaetrle der Lage», Niirnb. 1847.
      Построения, которыми занимается в предлагаемом сочинении Штейнер, кроме линейки, предполагают еще дшным начерченный в плоскости некоторый круг вместе с его центром. Последнее добавление является, как оказывается, очень существенным. Гильберт показал, что если дан только самый круг, а центр его не дан, то построить его центр при помощи одной линейки оказывается невозможным. Является вопрос, возможно ли построить центр, т. е. перейти к построениям Штейнера, если даны 2 или 3 круга (без центров), Cauer («Mathem. Ann.» 70, 1912) нашел, что построение невозможно, если данные два круга не имеют вещественных точек пересечения в конечном. Оно возможно, если данные круги имеют две вещественные точки пересечения или касаются, а также в том случае, когда данные круги будут концентрическими (т. е. когдт точки пересечения — мнимые — удаляются в бесконечность). Если даны четыре (или даже три) круга, которые не подходят под предыдущие условия (т. е. нз будут
      концентрическими и ие имеют вещественных точек Пересечения), построение их центров при помощи одной линейки возможно, и мы приходим таким образом снова к построениям Штейиера.
      Были предложены и доугие основные построения. Так, возможно поставить требование, чтобы циркулем пользовались только для перенесения отрезков (гильбертовский «откладыватель отрезков»), может быть линеша с параллельными сторонами и т. д.
      Построения при помощи одного цчокуля обычно связываются с именем Маскерони, напечатавшего в 1797 г. книжку «Geometrii dal Compasso», на котооую и ссылается Штейнер. Но недавно обнаружено, что за 125 лет до Маскеюни та же идея возникла у датского миема-тика Георга Mona, опубликовавшего в 1672 г. на голландском и датском языках книгу «Euclides Danicus» («Датский Евклид»).
      Но мы не будем на этом остан ib чиваться и отошлем к книге Адлера (Adler) «Theorie d.-r geometrlschen Konstructionen», переведенной на русс си i язык в изда :ии Матезис и потом (не раз) переизданной. Ср. также Е. Klein, Vortrage iiber ausg;\vahlte Fragen der Elemintar geometrie (переведено на русский язык под ред. Д. М. Синцова, 1899 г., изд. Каз шского физико-матем гтического обществ i), а также Th. Vahlen, Konstruktionen und Approximationen, Teubn, 1911.
     
      2. Яков Штейнер, один из зеличтйших геометров нового времени, родился 18 мая 1795 г. в Уценсторфе, городке Бернс со о ктнтонз, в простой крестьянско г семье. До восемнадцати лет он помогал своим родителям в сельском хозяйстве, и обршование его было также ограничено, как и всех его сзеостникоз; kik он сам писал впоследствии о себе, на девятнадцатом году он едвз умел писать, в умственнэм счете приобрел ишестную лозкость, а т шже имел некоторые эмпирические сведения по астпономии, которая его тогда особенно увлекала,— он мог проводить целые ночи в созерцании звездного неба. К счастью для него и для науки, его стремление к зншию было лмечено одним из ученисов и помощников Песттлоцци, который и постарался заинтересовать им знаменитого педагога, а также преодолеть сопротивление отца Штейнера, не желавшего терять сильного помощника. Песилоцци действительно принял Штейнера после месячного испытания бесплатно в свое зншенитое воспитатетьное заведение, перенесенное уже тогда в Иверден. Здесь Штейнер большую часть времени уделял изучению математиш, этого главного предмета в системе преподавания у Песта-лоцци, возбуждавшего притом уже тогда живой интерес в Штейнере. «Применявшаяся в заведен ти Песталоцци метода делать математические истины предметом свободного размышления давала мне, как ученику этого заведения, повод изыскивать для установленных при преподавании предложений возможно более глубокие основания, чем те, которые устанавливали мои тогдашние учгтеля (Маурер и Ленцингер), и мне это часто удавалось, так что учителя предпочитали мои доказательства своим; благодаря этому, после полуторагодичного пребывания моего в этом заведении, мне решились доверить преподавание математи си». Последние два года Штейнер преподавал также в заведении Kitisi. «Но так как там (в Ивердене) математические науки преподавались больше ради методы их, а не в их объективном систематическом объеме, метода же в конце концов определяется сама объективным объемом науки, то, возбужденный живым интересом к этой науке», Штейнер решился отправиться в университет, чтобы расширить свои познания в отношении математических фактов, что^ и привело его в Гейдел .бjpr,— ближайший к Берну университетский центр.
      «Штейнер во время своего пребывания в моем заведении показал отличные способности к математике и с железной энергией пробивчет себе путь к самообразованию по этой специальности; успех его мне представляется несомненным»,— писал Песталоцци в свидетельстве, выданном на п юшэние 23 азгуста 1818 г.
      Но не только пробуждением любви к науке обязан был Штейнер зазедению Песталоцци; проникнувшись его идеями в области преподавания, он, вместе с тем, ппиобрел дружбу тех молодых люде'!, которые в то время приезжали в Ивеоден учиться преподазанию у Песталоцци; таким образом завязались связи, оказавшие значительное влияние иа дальне иную судьбу Штейнера.
      Гораздо меньшее влияние оказало, повидимому, на Штейнеоа его пребызание в Гейдельберге. Предоставленный собственным силам, он должен был большую часть времени отдавать частным урокам и за два с полозиною года, проведенные им в Гейдельберге, не успеа пополнить зи!чительно ни своего общего, ни специально мнематического образования. Ои слушал лекции по различным отделам чистой и прикладной математики у проф. Швейнса, но аналитически i по преимуществу характер ее не заинтепесоз щ Штейнера, уже тогда, вероятно, наиболее склонного к чисто геометрическим спекуляциям. Не пробыв и тпех обязательных лет студентом, он бросает Гейдельберг по получении от одного из приобретенных в Ивердене друзей (Ге шденма ера) известия об открывающемся месте преподавателя в Вердеровской гимназии в Берлине, и не списавшись с директором ее, в мфте 1821 г. отправляется в Берлин. Здесь на первых же порах оказалось, что рекомендаций Песталоцци и Швейнса недостаточно, чтобы занять место преподавателя в прусской гимназии. Штейнер должен был подзерг-иуться экзамену в испытательной комиссии. Сохранившийся ппотосол испытания рисует нам, какими знаниями и подготовкой обладал двадцатипятилетний Штейнер при прибытии своем в Берлин. Древних языков, истории и философии он не знал совершенно, но и по специальности своей — математике Штейнер обнаружил сведения односторонние: письменная работа была представлена через 4 недели, отличалась основательностью и точностью, свидетельствуя об изобретательности и остроумии азторэ, дшшего своеобразное изложение предмета; похвалы заслужил и пробный урок (об определении объема пирамид), хотя комиссия нашла неуместным применение принципа Кавальери в элементарной геометрии. Устный экзшен по высшему анализу, стереометрии и статике, начатый с представленной работы, обнфужил в экзаменующемся везде собственную работу мысли, но малый запас положительного знания — меньше всего по высшему анализу, хотя работа позволяла ожидать противного; хорошие познания были обнаружены по элементарной геометрии; по алгебре — не дальше уравнений второй степени; по плоской тригонометрии — мало навыка, сферическая тригонометрия отсутствовала совсем. В заключение комиссия дала Штейнеру прпво преподавания математики во всех классах, кончая secunda (кроме стаошего\ в уверенности, что проявленные им способности дадут ему возможность пополнить все недочеты. Таким образом, приезжая в Берлин, Ште 'нер привез с собоа малый запас положительных сведений; его гений был порукою в том обязател ,ствэ, которое пришлось ему дать, чтобы получить право на преподшание. И это обязательство было покрыто с лихвою: через двен «дцать лет этот кандидат на должность учителя, которому комиссия не нашла возможным р тешить пре-подазание в старшем классе, покрывается академическими почестями, как признанный основатель новой геометрии.
      Но в данный момент Штейнеру приходилось тяжело. Хотя и допущенный временно к преподаванию (у него было 19 недельных уроков), он не получал содержания, и в ноябре того же 1821 г. ему пришлось подавать особое прошение о выдаче ему заработанного жалования. Но ему не долго привелось оставаться в гуманистическо 1 Вердеоозской гимназии, и уже в августе следующего года он должен был ее оставить, проработав в ней полтора года. Существовать ему пришлось на уроки в частных учебных заведениях:, в школах Пламанна и Кауэра, которые велись в духе Песталоцци и в которых в числе преподавателей были старые знакомые Штейгера по Ивердену. Давал он и ча-гные упоки, и в воспоминаниях одного из таких учеников сохранилась характеристика его оригинальной личности со своеобразным швейцарским говором, несмотря на трудные материальные обстоятельства бросающего урок, если ученик недостаточно внимателен к любимому его предмету. Более прочное положение получает Штеднар только благодаря счастливой случайности-открытию в Берлине в 1824 г. городского ремесленного училища, которое по своей программе (отсутствие дрзвних языков, главные предметы: естествоведение, математика и новые языки) явилось одним из старейших реальных училищ, а впоследствии и было преобразовано в реальное училище. Во главе его встал Ф. Клёден, такой же self-made man, как и Штейнер, пробивший себе дорогу в директоры средней школы из золотых дел мастера, страстный приверженец идей Песталоцци, в течение многих лет применявший их на практике в школе Пламанна. В Штейнере он увидел родственную душу, и со втооого же года (1825 г.) пригласил его к себе. С этих пор началась педагогическая деятельность Штейнера в этой школе сначала помощником учителя (Hiilfslehrer), потом (с 1829 г.) — старшим учителем вплоть до 1835 г.— до назначения его экстраординарным профессором университета.
      Об этом периоде жизни Штейнера сохранилось довольно Много документальных сведений благодаря тому, что директор власть по управлению школой разделял с попечительным советом, с бургомистром во главе, с которым и должен был сноситься по всем делам школы.
      Первый год Штейнер преподавал арифметику во втором отдалении. Небольшое число уроков позволило ему заняться окончанием учительского экзамена, - и в марте 1826 г. он получил право на преподавание математики во всех классах гимназии.
      Это же время было и началом его научной карьеры и ученой деятельности. Основанный в том же 1826 г. журнал гСрзлля («Journal fur die reine und angewandte Mathematik») наполнен в начале главным образом работами Штейнера1) и Абеля, жившего в 1825— 827 гг. в Берлине. На них и рассчитывал Крелль, основывая свой журнал; он в то же время сделался деятельным ходатаем за Штейнера, всегда готовым оказать ему поддержку.
      Преподавательская деятельность Штейнера в школе с каждым годом расширялась: последовательно он получает преподавание алгебты, сначала в старшем отделении, на следующий год и в соедн тм, потом к нему переходит и геометоия, в 1829 г. он преподает уже почти вcю математику. Пасхальная программа 1830 г. содержит планы преподавания, приводимые J. Lange (1, с. 27). Особенно интересен план поеподтвания геометрии, значительно уклоняющийся от обычного. Все преподавание вздется по собственному эвристическому методу. В программу входят задача Аполлония о круге, касательном к трем данным кругам, и синтетическая теория конических сечени т,— и это осуществлялось Штейнером 80 лет назад в средней школе.
      Преподавание шло у него параллельно с научною деятельностью. Так, в вопросе о пересечении и касании кругов (в среднем отделении) была им использована работа, которую он представлял в испытательную комиссию и о которой Клёден давал министерству блестящий отзыв. Неизвестно почему, Штейнер ограничился опубликованием только небольшой части, хотя вполне готова для печати вся первая часть была еще в том же J826 г., и после смерти его найдена в его бумагах с заглавием «Теория прикосновения и пересечения кругов в плоскости шаоов в пространстве и кругов на шарозой поверхности в систематическом ходе развития».
      Штейнер проектировал еще вторую часть, содержание которой в тесной связи с первою должно было составить синтетическое исследование в общей форме всех кривых и поверхностей второй степени и вместе с тем дошедшие до нас от древности поризмы (как в первой части задача Аполлония) должны были представиться, как специальные моменты более объемлющего целого; Штейнер предполагал, что за второй должна последовать и третья Часть, план которой еще не намечался. Получая, как помощник учителя, очень скудное содержание, он должен был уделять остающееся от преподавания в школе время частным урокам и отказтться от научных занятий, и потому он обратился в Министерство народного просвещения с просьбою о пособии, прилагая к прошению упомянутый выше отзыв Клёдена. Министр Альтенштейн запросил о его работах астронома Бесселя и, получив от него весьма благоприятный отзыв о таланте Штейнера, проявленном в работах в избранном им синтетическом направлении, обещал Штейнеру место в гимназии. Неудовлетворенный этим, Штейнер обратился с такою же просьбою о поддержке к Академии наук и, поддержанный всеми членами математического отделения, получил субсидию в 300 талеров. Таким образом Штзйнер получил возможность существовать, не набирая большого числа частных уроков, до 1829 г., когда благодаря стараниям Клёдена он был сдзлан старшим учителем и, как упомянуто выше, стал преподавать почти всю математику.
      Это было время наиболее напряженной его деятельности и в научном отношении,— на это время падает наибольшее число печатных его работ, наполняющих первый том академического издания его сочинений, и, в частности, обе книги: «Systematische Entwickelung der Abhan-gigkeit geometrischer Gestalten von einander, mit Beriicksichtigung der Arbeiten alter und neuer Geometer fiber Porismen, Projections-Methoden, Geometrie der Lage, Transversalen, Dualitat und Reciprocity etc.», 1. Theil, Berlin 1832 г.1), посвященная В. ф. Гумбольдту, в семье которого он давал уроки, н через год; «Geometrische Constructionen etc.», в которой ясна связь между преподавательской и научной деятельностью у Штейнера.
      На это же время падают и высшие академические почести. Сначала министерство, по представлении им своего большого труда, дает ему предикат профессора, а несколько недель спустя Штейнер получает известие, что философский факультет Кенигсбергского университета возвел его в степень доктора философии honoris causa, «чтобы выразить этим признание крупного таланта в челозеке, стоящем во главе тех, кто выдвинул в нозейшее время геометрию на небывалую дотоле высоту», как писали в своем предс гавлении Якоби, Бессель и Фр. Нейман.
      В 1834 г. состоялось избрание Штейнера в члены Академии наук по представлению Крелля и Дирихле. Но была и оборотная сторона медали. Мягкостью характера Штейнер от природы не отличался; теперь, утомленный напряженной научной работой, он должен был особенно раздражаться непонятливостью учеников, среди которых его эвристическая система преподавания, требовавшая живости и сообразительности, до жна была давать известную часть неуспевающих На этот почве начались трения между ним и директором Клёденом и попечительным советом, болезненно отзывавшиеся на самолюбии (.Цтейнеря, который стал стремиться вон из школы и впоследствии неохошо о нет вспоминал. Он усиленно стал добиваться пройессуры в Берлинском университете при деятел. ной поддержке неизменно к нему расположенного крелля. Осуществить это, однако, удалось только в 1835 г., после смерти проф. Ольтмана, и с тех пор и до самой смерти в 1873 г. Ште шер состоял экстраординарным профессором Берлинского университета.
      За это время он читал следующие курсы:
      1. Объяснения нозейших методов синтетической геометрии с приложением их к различным зтдачам, главным образом по «Systematische Entwickelung etc.» робъязлено 21 раз!.
      2. Существеннейшие свойстзз конических сечений в синтетическом и элементарном изложении (объявлено 17 pаз).
      3. О максимальных и минимальных свойствах фигур в плоскости, на шаре и в пространстзе в геометрическом изложении (объявлено 5 рвз в 1833—1841 и в 1847 гг.)...