Атанасян Левон Сергеевич
Бутузов Валентин Фёдорович
Кадомцев Сергей Борисович
Киселёва Людмила Сергеевна
Позняк Эдуард Генрихович
Геометрия
Учебник для 10—11 классов
*** 1992 ***
Наша реклама: 500 радиоспектаклей на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту: занести копеечку — КУДА?..
|
ВВЕДЕНИЕ 1. Предмет стереометрии. Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять. Простейшими и, можно сказать, основными фигурами в пространстве являются точки прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать так называемые геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (рис. 1, а). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром (рис. 1,6). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (рис. 1,в). В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и боковой поверхности. Изучай свойства геометрических фигур — воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т, д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. 11ри изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. На рисунках 2, а, б изображены два многогранника — параллелепипед и пирамида, а на рисунке 2, в — конус. При этом невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями. Правила изображения пространственных фигур приведены в приложении 1. В X классе мы будем изучать взаимное расположение прямых и плоскостей, многогранники и векторы в пространстве, а в XI классе — метод координат в пространстве, «круглые» геометрические тела — цилиндр, конус, шар и рассмотрим вопрос об объемах тел. 2. Аксиомы стереометрии. В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые — строчными латинскими буквами а, Ь, с и т. д. или двумя большими латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, (3, у и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма (рис. 3, а) или в виде произвольной области (рис. 3,6). Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости. На рисунке 3, б точки А и В лежат в плоскости р (плоскость р проходит через эти точки), а точки ЛТ, N, Р не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: .. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Полный список аксиом и некоторые следствия из них приведены в приложении 2. Здесь мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. А|. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом, только одна. Иллюстрацией к этой аксиоме может служить модель, изображенная на рисунке 4. Плоскость, проходящую через точки Л, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. Аг. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую (рис. 5, а). Свойство, выраженное в аксиоме Аг, используется для проверки «ровности» чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неповный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет. Из аксиомы Аг следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются (рис. 5,6). Аз. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой (рис. 5, в). Наглядной иллюстрацией аксиомы Аз является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты. Прежде чем перейти к первым следствиям из данных аксиом, отметим одно важное обстоятельство, которым будем пользоваться в дальнейшем. В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Более того, признаки равенства и подобия треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях (см. приложение 2). 3. Некоторые следствия из аксиом. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Доказательство. Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М (рис. 6). Докажем, что через прямую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а две точки Р и Q. Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме ... через эти точки проходит некоторая плоскость а. Так как две точки прямой а (Р и Q) лежат в плоскости а, то по аксиоме Аг плоскость а проходит через прямую а. Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, она совпадает с плоскостью а, так как по аксиоме Ai через точки М, Р и Q проходит только одна плоскость. Теорема доказана. Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Доказательство. Рассмотрим прямые а и Ь, пересекающиеся в точке М (рис. 7), и докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна. Отметим на прямой b какую-нибудь точку N, отличную от точки М, и рассмотрим плоскость а, проходящую через точку N и прямую а. Так как две точки прямой b лежат в плоскости а, то по аксиоме Аг плоскость а проходит через прямую Ь. Итак, плоскость а проходит через прямые а и Ь. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и Ь, проходит через точку N. Следовательно, она совпадает с плоскостью а, поскольку через точку N и прямую а проходит только одна плоскость. Теорема доказана. KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА |
