Геометрия

      ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
     
      § 1. ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ.
      Мы приступаем к изучению нового учебного предмета. Называется этот учебный предмет г е о м е т р и я. Слово это греческое. В переводе на русский язык оно означает землемерие.
      Геометрия возникла ещё в глубокой древности, когда людям пришлось заниматься измерением расстояний, вычислять площади земельных участков разнообразной формы и различных размеров, составлять планы земельных участков, определять по плану их настоящие размеры, вычислять вместимость различных сооружений, сосудов.
      Несколько тысяч лет назад в древнем Египте были выработаны правила, которыми пользовались люди при вычислении различных расстояний, площадей и объёмов.
      Ежегодные разливы реки Нил надолго затопляли плодородную долину реки и смывали следы границ между земельными участками. После разлива египтяне должны были находить свои земельные участки и снова восстанавливать их границы. Всё это было связано со сложными измерительными, чертёжными и вычислительными работами.
      Египтяне вели оживлённую торговлю с греками. Греки позаимствовали знания у египтян, дополнили, уточнили их, постепенно развили и привели в систему. Особенно много в деле развития геометрии сделал греческий учёный-математик Евклид, живший две тысячи двести лет назад. Разработанную им науку он изложил в тринадцати книгах, которые назвал «Начала».
      «Начала» Евклида содержали сведения не только по геометрии, по и но арифметике. По образцу евклидовых «Начал» составляются школьные учебники и по настоящее время. В некоторых странах долгое время школьники изучали геометрию по переводу «Начал» Евклида.
      В настоящее время содержание геометрии значительно разнообразнее и сложнее. На уроках геометрии мы более подробно ознакомимся с тем, какими вопросами она занимается и что составляет её содержание.
     
      § 2. Окружающие нас предметы мы можем изучать по-разному. Например, о школьном здании можно сказать, что оно кирпичное (или деревянное), тёмно-красное (или другого цвета); ствол берёзы белый; листья на деревьях зелёные (или жёлтые). О чернильнице можем сказать, что она сделана из пластмассы, что она чёрная. Классная комната светлая, тёплая. Яблоко румяное, сочное, вкусное.
      Однако на занятиях по геометрии в окружающих предметах нас не интересуют ни материал, из которого они сделаны, ни цвет, ни то состояние, в каком они находятся (твёрдое, жидкое); всем этим занимаются на уроках естествознания, физики, химии.
      При изучении геометрии нас будут интересовать форма и размеры предметов. Например, и деревянный, и картонный, и проволочный куб носит одно и то же название — куб (черт. 1).
      Черт. 1.
      Эти предметы сделаны из различного материала, но имеют одну и ту же форму, отличаются только своими размерами.
      Точно так же футбольный мяч, деревянный шар, резиновый мяч, мыльный пузырь имеют одну и ту же форму — форму шара (черт. 2).
      Черт. 2.
      Если не обращать внимания на физические свойства предмета (материал, из которого он сделан, цвет и т. д.), а рассматривать только форму пред ета и его размеры, то этому предмету можно дать название геометрического тела.
      На чертеже 3 дано изображение здания Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
      Рассматривая его с геометрической точки зрения, мы обращаем внимание на его размеры, взаимное расположение отдельных частей, их форму.
      Черт. 3.
      Если пройти по комнате в каком-нибудь направлении, то можно в конце концов дойти до стены. Дальше идти нельзя. Комната с этой стороны ограничена, имеет границу. То же самое получится, если мы пойдём по комнате в другом направлении.
      Если в комнате подбросить вверх мяч или какой-нибудь другой лёгкий предмет, то он долетит до потолка и ударится о него. Выходит, что комната ограничена не только с боков, но также сверху и снизу. Граница тела есть поверхность.
      За поверхность можно условно принять, например, лист бумаги, если пренебречь его толщиной; таким образом, поверхность можно представить себе отдельно от геометрического тела.
      Если часть поверхности белого листа бумаги закрасить какой-нибудь краской (черт. 4), то закрашенная часть будет отделяться от белой части листа линией.
      Линия ограничивает закрашенную часть поверхности листа бумаги. Граница поверхности есть линия.
      За линию можно условно принять, например, натянутую или ненатянутую нить.
      Линию условно можно изобразить мелом на доске или карандашом на листе бумаги.
      Таким образом, линию можно представить себе отдельно от поверхности, если пренебречь толщиной получающихся изображений.
      Если взять часть какой-нибудь линии, то концами её будут точки.
      За точку можно условно принять то изображение, которое получится на листе бумаги, если на этот лист надавить концом
      остро отточенного карандаша. Таким образом, точку можно представить себе отдельно от линии, если пренебрегать размерами получающихся изображений.
      Отметим мелом па доске несколько точек. Чтобы различать эти точки, можно их пронумеровать или обозначить каж-ЧсрТ. 4. дую точку буквой.
      В геометрии принято обозначать точки заглавными буквами латинского алфавита. На чертеже 5 изображены: точка А, точка В, точка С, точка D, точка Е.
      Черт. 5. Черт. 6.
      Таким же образом мы можем отметить точки на листе бумаги.
      На поверхности земли точки отмечаются колышками, иногда ставится столбик (черт. 6).
     
      § 3. ПРЯМАЯ. ЛУЧ. ОТРЕЗОК. ЛОМАНАЯ.
      Если туго натянуть шнур (черт. 7), то он даст представление о прямой линии. Если ослабим натяжение, получим изображение кривой линии. Край стола, край листа бумаги, место, где сходятся две стены классной комнаты, луч света тоже дают представление о прямой линии.
      Для получения прямой линии можно аккуратно согнуть лист бумаги. Место сгиба будет прямой линией (черт. 8). Таким согнутым листом можно воспользоваться для проведения прямых линий на бумаге.
      Для проведения прямых линий на бумаге или классной доске обыкновенно пользуются линейкой.
      Плотники, каменщики, столяры для обозначения прямой линии пользуются шнуром, который натирается углем или мелом. Натянутый шнур оттягивают, затем отпускают. На доске или на стене останется след шнура в виде прямой линии (черт. 9).
      Прямая линия имеет следующие свойства:
      1. Прямая линия бесконечна.
      Изобразить можно только часть прямой линии (черт. 10).
      2. Через любые две точки можно провести прямую линию, и притом только одну.
      Черт. 8.
      На этом свойстве прямой основана проверка линейки. Если мы на бумаге обозначим две точки и через них карандашом аккуратно проведём по краю линейки линию, а затем повернём линейку другой стороной и снова проведём по краю линейки через те же точки другую линию и если при этом линии сольются, то линейка правильная (черт. 11). Если же линии не сольются, то это покажет, что линейка сделана неправильно (черт. 12).
      Прямая линия на доске или на бумаге обозначается или одной малой буквой латинского алфавита, или двумя большими буквами, поставленными в двух различных точках этой прямой (черт. 13).
      Если на прямой линии отметим какую-нибудь точку, то получим два луча (черт. 14).
      Лучом называют часть прямой линии, ограниченную с одной стороны (черт. 15).
      Луч также обозначается или одной малой буквой латинского алфавита, или двумя большими буквами, из которых одна ставится в начале луча.
      Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, называется отрезком прямой (черт. 16).
      Отрезок, как и прямая линия, обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы обозначают концы отрезка (черт. 16).
      Линия, состоящая из нескольких отрезков, не лежащих на одной прямой, называется ломаной (черт. 17, а). Если концы ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой (черт. 17, б).
     
      § 4. ПЛОСКОСТЬ.
      Представить себе плоскость можно, рассматривая поверхность стола, зеркала или поверхность спокойной воды в сосуде или в пруде в тихую погоду.
      Если через две любые точки плоскости провести прямую, то все точки этой прямой окажутся лежащими на той же плоскости.
      Является ли какая-нибудь поверхность плоскостью, легко проверить, прикладывая к поверхности в любом направлении проверенную линейку.
      Прямые линии, лучи и отрезки мы считали лежащими на плоскости.
      Точки, линии и поверхности, взятые отдельно или в комбинациях друг с другом, образуют геометрические фигуры (черт. 18).
      Часть геометрии, которая занимается изучением фигур, все части которых расположены на одной плоскости, называется планиметрией.
      Часть геометрии, занимающаяся изучением фигур, которые не могут быть помещены в одной плоскости, называется стереометрией.