Геометрия Лобачевского
и элементы оснований
геометрии

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      23 февраля 1951 года исполняется 125 лет с того знаменательного дня, когда гениальный русский учёный Николай Иванович Лобачевский доложил физико-математическому отделению Казанского университета результаты своих исследований, создавших новую науку, названную впоследствии неевклидовой геометрией Лобачевского.
      Преподаватель математики в средней школе обязан полностью овладеть основными понятиями и фактами геометрии Лобачевского, так как только в свете геометрии неевклидовой выясняется логическая структура евклидовой геометрии, изучаемой в средней школе. Ученик старших классов^ средней школы также может с интересом и с пользой овладеть основным содержанием геометрии Лобачевского.
      Справедливо сказал П. С. Александров: "Алгебраическое мышление начинается с теории групп, и без знания элементов этой теории нельзя быть математиком не только образованным, но и просто грамотным".
      Геометрическое мышление начинается с неевклидовых геометрий.
      Пользуюсь случаем поблагодарить свою слушательницу Н. Е. Горбатенко за предоставленные записи моих лекций, читанных в Абаканском учительском институте в 1942 — 1943 гг. Эти записи значительно облегчили труд написания настоящей книги.
      Глубокую благодарность считаю долгом выразить А. П. Нордену и Г. Б. Гуревичу, прочитавших рукопись и давших ряд ценных советов. С. И. Новосёлову я признателен за отдельные редакционные замечания.
      Б. Кутузов
      Москва, июнь 1949 г.
     
      ВВЕДЕНИЕ
      Как знание одного только родного языка не даёт возможности усмотреть его особенности, выяснить и отчётливо понять его структуру без сравнения с языками другими, так знание одной только геометрии Евклида не позволяет полностью уяснить особенности строения геометрической науки. До современных воззрений на геометрию можно возвыситься лишь после изучения геометрии неевклидовой, созданной Н. И. Лобачевским. Знакомство с этой геометрией есть первая ступень при изучении оснований геометрии.
      "Основания геометрии" — это та часть математики, в которой устанавливаются и исследуются основные понятия и аксиомы геометрии, роль и место каждой аксиомы в построении геометрической науки, а также возможность замены одних аксиом другими и следствия такой замены.
      Основное значение в постановке вопросов, которые составляют предмет оснований геометрии и оснований математики вообще, имеет создание в 1826 г. гениальным русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792 — 1856) новой геометрии, названной впоследствии неевклидовой геометрией Лобачевского.
      Отсюда вытекает чрезвычайная важность изучения учителем геометрии Лобачевского и оснований геометрии.
      Знание этих дисциплин даст возможность лучше понять структуру геометрической науки в целом, позволит хорошо ориентироваться в многообразном геометрическом материале и предохранит от опасности излагать геометрию в школе как простое собрание теорем, нанизываемых в определённом, раз установленном порядке.
      Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются «Начала» t10l — сочинение александрийского математика Евклида (около 300 л. до н. э.). Подробный обзор евклидовых «Начал» даётся в V главе настоящего пособия, там же рассмотрены достоинства, недостатки и историческое значение этой знаменитой книги*). Желательно, чтобы каждый преподающий геометрию ознакомился с этим трудом Евклида, выдержавшим более чем 2000-летнее испытание временем. Евклидом написаны и
      *) См. также «Труды семинара МГУ по истории математики». Историкоматематические исследования, вып. I, Гостехиздат, 1948.
      другие сочинения по reoMetpM, по большинство его трудов безвозвратно потеряно.
      Необходимо подчеркнуть, что к эпохе Лобачевского геометрическая наука была продвинута достаточно далеко. Но тот материал, с которым геометрия имела дело, как бы он сложен ни был, те основные положения и аксиомы, на которых воздвигалось здание геометрии, — оставались евклидовыми. До Лобачевского имели дело с далеко развитой, но евклидовой геометрией. Например, "начертательная геометрия" является лишь методом, а не новой геометрией. "Аналитическая геометрия" есть лишь координатный метод. Создателем совершенно новой геометрии, коренным образом отличающейся от геометрии старой, евклидовой, и был Николай Иванович Лобачевский. Лобачевский построил свою неевклидову геометрию, один пройдя весь тот путь, который к его времени прошла геометрия Евклида. В настоящей книге изложена лишь элементарная часть неевклидовой геометрии Лобачевского, включая элементы его тригонометрии. Лобачевский созданием своей геометрии совершил громадный революционный скачок первостепенной важности в развитии геометрической науки и математики вообще. Разъяснению идей Лобачевского, а также идей, возникших под влиянием работ Лобачевского, и посвящена эта книга.
      Великое создание Лобачевского основано на его исследованиях по теории параллельных линий. Эти исследования начинаются с выяснения значения аксиомы Евклида о параллельных. Комментаторы евклидовых "Начал" много внимания уделяли именно теории параллельных и пятому постулату Евклида, гласящему: если две прямые пересекаются с третьей так, что сумма углов, лежащих по одну сторону от секущей, меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении встретятся по ту сторону от секущей, с которой сумма внутренних углов меньше двух прямых.
      В некоторых списках этот постулат предложен под именем "одиннадцатой аксиомы".
      В то время как другие аксиомы считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Его стремились доказать на основании других аксиом. На пути подобных попыток перевести пятый постулат в разряд теорем геометры встретили непреодолимые трудности. Пытались обойти постулат, заменяя его другим, почему-либо казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, могущих заменить постулат Евклида.
      Обычно при каком-либо ложном доказательстве постулата скрытым образом опирались на предложение, равносильное самому постулату. В главе I настоящей книги подробно изучается целый
      ряд таких предложений, принадлежащих разным геометрам. Следует с особым вниманием отнестись к этим предложениям, так как их роль крайне существенна при дальнейшем изложении геометрии Лобачевского, принятом в этой книге. Эти предложения интересны сами по себе, и изучение их может служить прекрасной темой для кружковой работы с учащимися. Некоторые простейшие предложения могут быть изучены и в классе, при условии тщательного разъяснения постановки вопроса.
      Особое положение в истории попыток доказательства пятого постулата занимают исследования математика Саккери (1667 — 1733), изложенные им в сочинении: "Евклид, очищенный от всех пятен; опыт установления самых первых начал всей геометрии* (Милан, 1733). Саккери рассматривает четырёхугольник с прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Два другие угла, между собой равные, могут быть прямыми, тупыми или острыми. Не предрешая заранее, какой из этих трёх случаев имеет место, Саккери последовательно, после далеко идущих следствий, приводит к противоречию "гипотезу тупого угла", а затем, как думал Саккери, и "гипотезу острого угла". Остаётся, по мнению Саккери, справедливой лишь "гипотеза прямого угла". Из гипотезы же прямого угла логически следует пятый постулат.
      В главе I настоящего пособия излагаются, между прочим, и основные результаты, полученные Саккери. В частности, выясняется и ошибочность заключений Саккери.
      Способ рассуждений от противного, которым пользуется Саккери, он характеризует следующими словами: "Даже допуская предположительно ложность предложения, которое мы желали бы доказать, мы всё же можем прийти к выводу, что оно верно".
      Последователем Саккери в попытках доказательства пятого постулата был Ламберт (1728 — 1777). В своей "Теории параллельных линий" Ламберт исходит из четырёхугольника с тремя прямыми углами. О четвёртом угле он делает гипотезы, аналогичные гипотезам Саккери. Как и его предшественник, Ламберт правильно сводит к противоречию "гипотезу тупого угла". Относительно "гипотезы острого угла" Ламберт, не впадая в ошибку Саккери, после ещё более далеко идущих следствий, не мог прийти к какому-либо определённому выводу. Однако на работы Саккери и Ламберта было обращено внимание лишь после признания работ Лобачевского; до этого же они были почти неизвестны.
      Широкой популярностью в начале прошлого века пользовались сочинения Лежандра (1752 — 1833). Исследования Лежандра по теории параллельных и её связи с суммой углов треугольника публиковались в его учебнике "Элементы геометрии", начиная с 1794 года.
      Лобачевский в своём рукописном труде 1823 г. "Геометрия" также занимается теоремами о сумме углов треугольника. Содержание этого труда изложено в I главе настоящего пособия. При жизни Лобачевского это его сочинение напечатано не было. Теоремы Лежандра-Саккери о сумме углов треугольника вполне могут быть отнесены к школьной геометрии.
      Все более чем 2000-летние попытки доказательства постулата Евклида о параллельных оказались несостоятельными. Многие математики, среди них такие, как Лаплас, Лагранж и Гаусс, из русских математиков Остроградский, Буняковский и другие, занимались теорией параллельных, но отступили перед трудностями этой теории.
      Так, например, Лагранж, начав свой доклад о теории параллельных линий в Парижской академии, прерван чтение доклада и со словами: "мне ещё нужно подумать" покинул заседание.
      Лобачевский созданием своей геометрии разрешил эту труднейшую проблему, и тем самым перед геометрией и всей математической наукой открылись новые пути.
      Создатель новой геометрии, наша слава и гордость, Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября ст. ст. 1792 г.*) в Нижнем Новгороде, ныне городе Горьком.
      *) Материалы для биографии Н. И. Лобачевского собрал и редактировал Л. Б. Модзалевский. Труды Комиссии по истории Академии наук СССР. Под общей редакцией академика С. И. Вавилова. Издательство АН СССР, 1948.
      Отец Лобачевского — Иван Максимович умер рано, и одна мать — Прасковья Александровна — заботилась о воспитании своих трёх сыновей. Прасковья Александровна привозит детей в Казань для определения их в гимназию. Сохранился протокол заседания совета Казанской гимназии от 5 ноября 1802 г. о приёме братьев Лобачевских на казённое содержание.
      Кончив "ученической® и "университетской® курсы, Лобачевский становится преподавателем, а затем и профессором Казанского университета, с которым связана вся его жизнь. 14 июля 1817 года "Относительно членов Университета последовали следующие перемены. В звании профессоров утверждены по физико-математическому отделению Иван Симонов и Николай Лобачевский. Профессор Лобачевский читает в университете начала чистой математики, высшей математики, механику, физику, астрономию и др.
      6 февраля 1826 г. Лобачевский представил в физико-математическое отделение Казанского университета работу на французском языке: "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях®. Этот день считается датой рождения новой геометрии. 5 июля 1828 г. Лобачевский утверждается ректором Казанского университета и на этот пост он избирается каждое трёхлетие, до 1846 года. В 1829 г. появляется первое печатное изложение новой геометрии — "О началах геометрии" Лобачевского в "Казанском вестнике". С тех пор Лобачевский публикует большое количество работ по развитию своей геометрии, по математическому анализу и по высшей алгебре. Перед самой смертью, ослепший, Лобачевский публикует свою последнюю работу "Яая-геометрия". 12 февраля ст. ст. 1856 г. великий геометр скончался. Геометрические идеи Лобачевского при его жизни не были поняты и оценены.
      Элементы геометрии Лобачевского излагаются в главах II, III и IV настоящей книги. Эти главы книги могут быть использованы в школе, наряду с теоремами Лежандра-Саккери, при кружковой работе. В главе IV излагается учение о площадях в геометрии Лобачевского. Сопоставление с учением о площадях в геометрии Евклида поможет лучше уяснить сущность теории измерения площадей. Главы VI, VII и VIII книги относятся к элементам оснований геометрий, идее интерпретации геометрической системы и дальнейшему изложению геометрии Лобачевского, но уже на моделях. В главе VI освещается один из основных вопросов геометрии, вопрос о неопределимых понятиях и аксиомах. На двух простых примерах поясняется основная идея аксиоматического метода. Преподающий геометрию должен отчётливо уяснить основные положения аксиоматического метода. Идея этого метода, пояснённая лишь на примере аксиом первой группы, вполне доступна для наиболее сильных учащихся. При наличии достаточного времени для кружковой работы сущность аксиоматического метода можно довести до сознания почти всех учащихся. Благодарным материалом для теории геометрических построений служат интерпретации геометрии Лобачевского, особенно интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского на плоскости. Здесь все построения можно вести в терминах евклидовой геометрии, разъяснить на образах этой интерпретации значение и смысл основных понятий и основных отношений между ними, а затем сразу перейти к содержанию геометрии Лобачевского, пользуясь моделью. Но прежде всего, конечно, сам учитель должен безукоризненно овладеть предметом.
     
      § 1. Обзор основных теорем до введения параллельных.
      Предложения, относящиеся к разделу "до теории параллельных", в обычных учебниках геометрии идут в следующем плане: после разъяснения того, что такое геометрическая фигура, линия, точка, плоскость, отрезок, луч, окружность,;дуга окружности, хорда и т. д., рассматривается сложение отрезков и дуг. Затем, в главе о прямой линии, вводится понятие угла, рассматривается сложение и вычитание углов, вводится понятие о биссектрисе, смежных углах, вертикальных углах. Доказывается важная теорема, что из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на прямую перпендикуляр и притом только один, что вертикальные углы равны между собой. Вводится понятие ломаной, многоугольника, треугольника, выпуклого многоугольника. Изучаются основы симметрии относительно оси, свойства равнобедренного треугольника и признаки равенства треугольников. Доказывается имеющая для наших целей особое значение теорема о том, что всякий внешний угол треуголь-ника более каждого внутреннего с ним не смежного. Нужно обратить особое внимание на то, что эта теорема доказывается без теории параллельных.
      Далее следует довольно подробное изучение соотношений между сторонами треугольника: во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы против большей стороны лежит больший угол, и обратные теоремы.
      Доказывается утверждение, что длина отрезка прямой, соединяющего две какие-нибудь точки, меньше всякой ломаной, соединяющей эти же точки. Сюда же входит теорема о двух треугольниках с двумя неравными углами между равными соответственно сторонами.
      Именно: в том треугольнике третья сторона больше, в котором указанный угол больше, и обратная теорема.
      Далее идут предложения о сравнении длины перпендикуляра и наклонных и вводятся признаки равенства прямоугольных треугольников, вводится понятие геометрического места и разбираются простейшие из них: перпендикуляр к отрезку в его середине как геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка; биссектриса как геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла. Заканчивается отдел "до параллельных линий" основными задачами на построение: деление отрезка и угла пополам, опускание перпендикуляра и некоторые другие задачи. Вот весь тот материал, который обычно помещается в учебнике до теории параллельных линий.
      На этот материал мы и будем опираться при изложении начал геометрии Лобачевского, исследования которого лежат в основе геометрии нового времени. Предмет "Оснований геометрии4 стал возможен только после работ Лобачевского.
      Заметим, что глубокое различие геометрии Евклида и геометрии Лобачевского состоит в том, что "теория параллелей" у них разная.
      Чтобы дать представление о богатстве геометрических фактов, установление которых возможно без использования, прямого или косвенного, аксиомы о параллельных линиях, рассмотрим сочинение Лобачевского "Геометрия". Это сочинение не было напечатано при жизни великого геометра. Рукопись, написанная рукой Лобачевского и датированная 1823 г., найдена в архивах в 1898 г., а напечатана в 1909 г. Рукопись является собственно конспектом лекций, читанных Лобачевским начинающим студентам, знакомым с геометрией, и в ней нет того, что мы именуем геометрией Лобачевского. Это своё великое открытие Лобачевский сообщил в 1826 г. и опубликовал в 1829 г. Тем более замечательно, что в рассматриваемом сочинении 1823 г. Лобачевский собрал материал, независимый от теории параллелей, а аксиому параллелей ввёл лишь в шестом разделе "Геометрии".
      Лобачевский в этом сочинении делит геометрию "... на три части: о измерении линий (лонгиметрия), о измерении поверхностей (планиметрия) и о измерении тел (штереометрия)".
      В первом разделе — "Измерение линий" — говорится о прямой, об окружности и дугах и указывается на предельный переход от длины вписанной ломаной при нахождении длины кривой.
      Во втором разделе — "Об углах" — Лобачевский рассматривает линейный угол, угол между плоскостями, угол прямой с плоскостью, говорит о сфере, классифицирует треугольники и многоугольники и упоминает о многогранниках.
      В третьем разделе — "О перпендикулах" — изучаются не только перпендикулярные прямые, но и перпендикулярные плоскости, а также прямые, перпендикулярные к плоскости.
      Четвёртый раздел — "Измерение телесных углов. О правильных многоугольниках и телах" — заканчивается установлением существова-
      ния и классификацией правильных многогранников. Лобачевский при-водит здесь доказательства'очень своеобразные, часто сложнее общепринятых, что, без сомнения, связано со стремлением обойтись без теории параллелей.
      В пятом разделе — "Об одинаковости треугольников" — исследуются случаи равенства треугольников.
      Шестой раздел — "О измерении прямоугольников" — начинается словами: "Измерение плоскостей 4) основывается на том, что две линии сходятся, когда они стоят на третьей по одну сторону и когда одна — перпендикул, а другая наклонена под острым углом, обращённым к перпендикулу...
      .. .Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать. Какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле Математическими доказательствами".
      В этой книге Лобачевский дал богатый материал, независимый от теории параллельных. Изложение и порядок известного материала были настолько необычны, что рукопись получила резко отрицательный отзыв академика Фусса и напечатана не была. Только теперь мы видим, что это, по существу, было гениальной подготовкой к открытию неевклидовой геометрии, получившей имя Лобачевского.
      Дальнейшие разделы книги "Геометрия" используют теорию параллельных.
      Нам потребуются ещё некоторые предложения, доказательство которых также возможно провести без теории параллельных.