ПРЕДИСЛОВИЕ
Упражнения целесообразно использовать для проверки знаний учащихся, составления самостоятельных и контрольных работ и повторения ранее пройденнбго материала. Некоторые из них послужат дополнительным заданием для наиболее способных и интересующихся математикой учащихся.
Правильно организованное упражнение учащихся в решении задач — важное средство активизации мыслительной деятельности учащихся и воспитания их творческих способностей.
Основной принцип, которого придерживались авторы, заключался в том, что каждая задача должна не только закреплять полученные знания, но и расширять их, обогащать учащихся новыми свойствами геометрических фигур, заставлять их думать, сравнивать, классифицировать. Поэтому в сборнике мало задач вычислительного характера. В основном это упражнения, развивающие логическое мышление и пространственное воображение учащихся, вырабатывающие у них навыки в исследовании решения задач и способствующие привитию строгости в рассуждениях. Задачи позволяют устанавливать различные связи между вновь изучаемыми и ранее известными фактами. Это дает возможность рассматривать одни и те же свойства геометрических фигур с различных точек зрения. Решение предлагаемых задач требует нешаблонного применения полученных знаний, что будет содействовать развитию математической культуры учащихся.
Устные упражнения и несложные задачи, не требуя большого времени для решения, позволяют в сочетании с другими упражнениями сделать уроки геометрии более разнообразными по содержанию, повышают эффективность этих уроков.
Что касается раздела стереометрии, то мы не стремились расширить его объем за счет включения в сборник вычислительных задач. Подобные задачи, широко представленные в различных сборниках, не соответствуют поставленным перед сборником целям.
Некоторые задачи по стереометрии могут быть использованы при изучении стереометрии в восьмилетней школа Применение таких упражнений будет способствовать развитию пространственных представлений и пространственного воображения учащихся.
Многие вопросы сборника предполагают короткий ответ, но во всех этих случаях от ученика требуются обоснования, ссылки на соответствующие теоремы, определения. Желательно, чтобы некоторая часть задач решалась учащимися устно, без чертежа. В задачах на построение, если нет специальных указаний, используются при решении циркуль и линейка.
Задачи, отмеченные звездочкой (*), либо повышенной трудности, либо рекомендуются для решения при повторении данной темы в старших классах.
Первая часть «Планиметрия» написана В. А. Жаровым и 3. А. Скопецом, вторая часть «Стереометрия» — П. С Мар-голите. Общая редакция выполнена 3. А. Скопецом.
АВТОРЫ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 1. Прямая линия. Луч. Отрезок
1. Сколько прямых линий можно провести: 1) через одну точку; 2) через Две точки?
2. Сколько кривых линий можно провести через две точки?
3. Могут ли: 1) две различные прямые, 2) два различных луча, 3) два различных отрезка иметь две различные общие точки?
4. Сколько можно провести прямых линий, проходящих одновременно через три различные точки?
5. На прямой взяты три точки. Сколько этими точками определилось лучей, отрезков, принадлежащих прямой?
6. 1) На отрезке АВ взята точка С. Какое соотношение существует между данным и образовавшимися отрезками?
2) Выяснить, сколько образуется отрезков и какие существуют соотношения между ними, если на отрезке АВ взяты две точки С и D?
7. Изобразить: 1) два различных отрезка, имеющих всего три конца; 2) три различных отрезка, имеющих всего три конца; 3) четыре различных отрезка, имеющих всего пять концов.
8. 1) Сколько точек пересечения могут иметь три различные прямые, лежащие в одной плоскости? 2) Определить наибольшее и наименьшее число точек пересечения четырех различных прямых.
9*. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку. Сколько отрезков образуется на всех прямых в результате их попарного пересечения? Решить задачу для п прямых.
10. Какое заключение можно сделать о сравнительной величине отрезков а и &?
И. 1) Как записать условие того, что точка М лежит на отрезке АВ?
2) Как записать условие того, чю точка М является серединой отрезка ЛВ?
3) Как записать условие того, что точка М лежит на продолжении отрезка ЛВ?
§ 2. Углы. Смежные и вертикальные углы
12. Построить: 1) развернутый угол с вершиной в данной точке; 2) полный угол с вершиной в данной точке.
13. Записать, что: 1) угол Л не меньше угла В, 2) угол Л не больше угла В, 3) угол Л не равен углу В.
14. Изобразить три различных луча, выходящих из одной точки. Назвать все углы, которые при этом образовались. Чему равна их сумма?
15. На какой угол нужно повернуть луч, чтобы конечное положение его и начальное: 1) образовали прямую линию; 2) образовали один луч; 3) были перпендикулярны?
16. Построить биссектрису развернутого угла.
17. Какой угол опишет: I) часовая стрелка за 2 часа;
2) минутная стрелка за полчаса?
18. Сколько раз в промежуток времени от 8 часов до 12 часов того же дня стрелки часов образуют развернутый угол?
19. Начертить на бумаге острый, тупой и развернутый углы. Перегибанием разделить эти углы пополам и на четыре равные части.
20. Перегнуть листок бумаги по любой начерченной на нем прямой. Затем перегнуть его еще так, чтобы часть линии старого сгиба совпала с другой ее частью. Если вновь расправить листок, то линии сгиба образуют четыре угла Доказать, что эти углы прямые.
21. Начертить произвольно несколько прямых. При помощи чертежного треугольника опустить на них перпендикуляры из точки, не принадлежащей ни одной из этих прямых. ,
22. Даны четыре прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку и каждые две пересекаются. Сколько углов, меньших 180°, образуется в результате взаимного пересечения этих прямых?
23. Как построением определить, будет ли данный угол острым или тупым?
24. Изобразить два равных угла с общей вершиной [АОВ и COD). Назвать на чертеже еще одну пару равных углов.
25. Два угла о и р имеют общую сторону. Чему равен угол, образованный несовпадающими сторонами этих углов?
26. 1) Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми? 2) Может ли один из смежных углов быть тупым, а другой — прямым?
27. Один из двух смежных углов увеличился на 104. На сколько градусов изменилась разность полученных смежных углов?
28. Определить угол между биссектрисами двух смежных углов.
29. Разность двух смежных углов равна 90Q. Найти величину этих углов и построить их.
30. Может ли сумма двух вертикальных углов быть равной 2d?
§ 3. Окружность. Хорда. Диаметр
31. Построить точки, которые находятся на данном расстоянии от данной точки О. Что образует множество всех таких точек?
32. На окружности взяты точки А, В и С. Назвать дуги, которые при этом образовались. Указать дуги: 1) меньшие 90°, 2) меньшие полуокружности, 3) большие полуокружности (оценить на глаз).
33. На окружности даны последовательно четыре точки А, В, С, D. такие, что дуги АВ и CD равны. Указать другие пары равных дуг с концами в данных точках. Рассмотреть специальные случаи.
34. Как записать условие того, что точка М лежит внутри, вне или на окружности радиуса R с центром в точке О?
35. Построить точки, находящиеся внутри данного угла и удаленные от его вершины на данное расстояние. Что образует множество всех таких точек?
36. Указать внутри окружности точку, через которую можно провести бесконечное множество равных между собой хорд.
37. Какой длины должны быть две хорды окружности радиуса R, чтобы при любом их положении эти хорды пересекались?
38. АВ и MN — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Сколько градусов в дуге AM, в дуге А MB? Разделить на глаз дугу BN пополам точкой С. Какую часть окружности составляет дуга ВС? Как разделить окружность приблизительно на 12 равных частей?
39. Из общего центра О двух-концентрических окружностей выходят три луча, один из которых является биссектрисой угла, образованного двумя другими лучами. Какая зависимость существует между образовавшимися дугами, если эти лучи пересекают внутреннюю окружность последовательно в точках А, В и С, а внешнюю — в точках А\, Bn Ci?
40. 1) Какой угол (меньший развернутого) составляют между собой направления на север и юго-запад?
2) Какой угол (больший развернутого) образуют между собой направления часовых стрелок в 3 часа, в 13 часов, в 16 часов?
3) На какой угол повернется Земля около своей оси за 2 часа?
41. Начертите на глаз углы в 45°, 30°, 60°, 90°, 145°, 200°. Проверьте транспортиром правильность построения и установите допущенную при этом погрешность.
Глава II. ТРЕУГОЛЬНИК. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
§ 4. Треугольник и его элементы. Равнобедренный треугольник
42. Дан треугольник ABC. Между какими сторонами заключен угол А? Против какого угла лежит сторона АВ? Какие углы прилежат к стороне ВС?
43. Чем отличается биссектриса угла треугольника от биссектрисы угла?
44. Какие из линий треугольника (высоты, медианы, биссектрисы) всегда лежат внутри треугольника? Какие из них могут совпадать с его сторонами?
45. Используя соотношения между углами треугольника, записать условие того, что этот треугольник: 1) равнобедренный; 2) равносторонний.
46. Можно ли утверждать, что: 1) равносторонний треугольник является равнобедренным; 2) равнобедренный треугольник является остроугольным; 3) прямоугольный треугольник является разносторонним?
47. Может ли медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, совпадать с его высотой?
48. Может ли биссектриса острого угла прямоугольного треугольника совпасть с его медианой, проведенной из той же вершины?
§ 5. Осевая симметрия
49. Сколько осей симметрии имеет: 1) фигура, состоящая из двух точек; 2) прямая линия; 3) окружность?
50. Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых?
51. Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из:
1) двух данных прямых; 2) трех данных прямых? Рассмотреть различные случаи расположения этих прямых.
52. Сколько осей симметрии имеет треугольник?
53. На сторонах угла S взяты точки А к В, отстоящие от вершины S на равных расстояниях. Доказать, что эти точки симметричны относительно биссектрисы угла S.
54. На сторонах угла S на равных расстояниях от его вершины взяты точки А и В. Доказать, что отрезки, соединяющие эти точки с произвольной точкой Р биссектрисы угла S, равны между собой.
55. Через произвольную точку Р биссектрисы угла S проведен к ней перпендикуляр, встречающий стороны этого угла в точках А и В. Доказать, что точки А и В симметричны относительно биссектрисы угла S.
56. Построением определить расстояние от точки, расположенной на стороне угла, до вершины угла, если этой вершиной из-за ее недоступности нельзя пользоваться.
§ 6. Равенство треугольников
57. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами также равнобедренного треугольника
58. На окружности с центром О отложены равные дуги АВ и CD. Доказать, что треугольники АОВ и COD равны.
59. Доказать, что хорды AD и ВС, соединяющие концы диаметров АВ и CD окружности, равны.
60. Для сторон треугольников ABC и MNK справедливы неравенства: АВ Ф MN, ВС Ф NK, СА Ф КМ, а треугольники все же равны. Возможно ли это?
61. Построить два неравных треугольника так, чтобы две стороны и угол одного треугольника были соответственно равны двум сторонам и углу другого.
62. Для каждой стороны одного треугольника имеется равная ей сторона в другом треугольнике. Можно ли утверждать, что эти треугольники' равны?
63. Привести примеры использования свойства жесткости треугольника в технике и строительстве.
64. Требуется изготовить пластинку треугольной формы. Кркими ее размерами необходимо располагать, чтобы можно было разметить эту пластинку?
65. Каждая из точек М и N одинаково удалена от концов отрезка АВ (МА — MB, NA = NB). Что можно сказать о расположении прямой MN по отношению к отрезку АВ?
66. Найти в треугольнике ABC на стороне АВ (или ее продолжении) точку, одинаково удаленную от вершин А и С. Отметить особый случай.
67. Сколько существует точек, равноудаленных от трех данных точек?
68. Найти на стороне ВС треугольника ABC точку, одинаково отстоящую от сторон АВ и АС или их продолжений.
§ 7. Соотношения между сторонами и углами треугольника
69. Могут ли стороны треугольника относиться как 1:2:3; 2:3:6; 1:2:2?
70. Доказать, что если два прямоугольных треугольника имеют по равному катету, то гипотенуза того треугольника больше, у которого второй катет больше.
71. Доказать, что средней по величине стороне треугольника противолежит средний по величине угол.
72. В треугольнике против наименьшей его стороны лежит острый угол. Сформулировать обратное предложение и выяснить, верно ли оно.
73. Могут ли любые неравные отрезки а и Ь (с Ь) служить сторонами 1) равнобедренного, 2) прямоугольного треугольника?
74*. Доказать, что большей стороне треугольника соответствует меньшая высота.
§ 8. Проекция отрезка на прямую.
Перпендикуляр и наклонные
75. В двух прямоугольных треугольниках ABC н А1В1С1 (ZC = Z С, = 90°) имеем АС = AjC^ Доказать, что АВ AJi!, если ВС BiQ.
76. Может ли проекция отрезка быть равной самому отрезку? Может ли она быть больше отрезка?
77. При каком условии проекция отрезка вдвое меньше самого отрезка?
78. В каком треугольнике одна нз его сторон является проекцией другой стороны?
79. Чему равна сумма (нли разность) проекций двух сторон треугольника на его третью сторону?
80. Доказать, что медиана (биссектриса), проведенная к катету прямоугольного треугольника, меньше его гипотенузы.
81. Доказать, что основание биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника делнт его катет на два отрезка, нз которых больший прилегает к гипотенузе.
82. Катеты одного треугольника меньше соответствующих катеуов другого треугольника. Доказать, что гипотенуза первого треугольника меньше гипотенузы второго треугольника.
83*. Точка М находится от сторон угла ASB на таких же расстояниях, как н точка N. Что можно сказать о расположении прямой MN по отношению к углу ASB?
84. Точно ли сформулирована теорема: «Все точки биссектрисы угла одинаково удалены от сторон этого угла»?
85. На стороне угла AS В взяты точки М н N. Охарактеризовать множество точек, каждая нз которых равноудалена от сторон данного угла н от точек М н N. Обратить внимание на случай, когда 1) SM = SN, 2) Z.ASB = 180°.
§ 9. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
86. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
87. Каково взаимное расположение двух прямых, если онн имеют: 1) по крайней мере одну общую точку; 2) не более одной общей точки?
88. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных к одной и той же прямой?
89. Выяснить, может ли при пересечении двух прямых третьей оказаться, что внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов не равна 180°?
90. Можно ли утверждать, что две прямые параллельны, если они при пересечении с третьей прямой образуют с нею равные углы?
91. Охарактеризовать множество прямых, равноудаленных от двух данных точек А и В (расстояние от прямой до точки, по определению, равно расстоянию от этой точки до прямой).
92. На плоскости даны две точки. Много ли пар параллельных прямых можно провести через эти точки?
93. Две параллельные прямые пересечены двумя прямыми, пересекающимися на одной из параллельных прямых. Обозначить образовавшиеся при этом углы и указать соотношения между ними.
94. При каком положении прямой равны все углы, образуемые двумя данными параллельными прямыми с этой прямой?
95. Обосновать, почему биссектрисы двух соответственных углов при параллельных прямых не могут пересекаться.
96. Прямые а и Ь параллельны. Прямая р перпендикулярна прямой а, а прямая q перпендикулярна прямой Ь. Что можно сказать о взаимном расположении прямых р и 7?
97. Три точки равноудалены от одной и той же прямой. Можно ли утверждать, что эти точки расположены на одной прямой?
98. Можно ли утверждать, что две прямые, параллельные третьей, параллельны менаду собой?
99. Запишите условие того, что точка М лежит: 1) внутри полосы между двумя параллельными прямыми а и Ь\ 2) вне этой полосы.
100. Построением определить углы между двумя прямыми, если их точка пересечения находится за пределами чертежа
101. Пользуясь линейкой и транспортиром, построить прямую, параллельную данной прямой.
102. Могут ли всякие три угла (отличные от нулевого), сумма которых равна 180ч, быть углами треугольника?
103. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Чему равен острый угол между ними?
104. Обосновать, почему биссектрисы двух внутренних углов треугольника не могут быть параллельны.
105. Верно ли определение: «Углы, сумма которых равна 90е, называются дополнительными»?
106. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым? Прямым?
107. Могут ли два угла треугольника быть: 1) прямыми; 2) тупыми?
108. Основание равнобедренного треугольника вдвое больше соответствующей высоты. Определить углы этого треугольника.
109. В тупоугольном треугольнике ABC (Z Л 90°) проведена медиана ВМ. Доказать, что эта медиана больше стороны АВ и меньше стороны ВС.
110. Внутри треугольника ABC взята точка М. Доказать, что угол АМС больше угла ABC.
111. Каков вид треугольника, если один из его внутренних углов больше смежного с ним внешнего угла? Равен своему смежному?
112. Назовите тип треугольника, если один его угол равен сумме двух других углов? Больше суммы двух других углов?
113*. Используя соотношения между углами треугольника, записать условие того, что треугольник: 1) прямоугольный; 2) тупоугольный; 3) остроугольный.
114. Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
115. 1) Может ли больший угол треугольника быть меньше 60°? 2) Может ли меньший угол треугольника быть больше 60е?
116. Как построить циркулем и линейкой угол в 30е, 120°, 60е?
117. Запишите условие того, что: 1) угол А треугольника ABC не тупой; 2) угол А треугольника ABC не острый.
118. Найти углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенных из вершины прямого угла, равен 15е.
119. Из вершины треугольника проведены биссектриса и высота. Выразить угол между ними через углы треугольника.
120. Чему равна сумма внешних углов треугольника, пятиугольника, семиугольника?
121. Могут ли все три внешних угла треугольника быть равными?
122. Могут ли быть три (два, один, ни один) внешних угла треугольника острыми?
123. В треугольнике ABC проведена биссектриса ССг. Доказать, что угол СС|В равен полусумме угла А и внешнего угла В.
Сформулировать обратную теорему и доказать ее справедливость.
124. Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
125. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, не превосходит половины гипотенузы.
§ 10. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами
126. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Доказать, что углы треугольника, образованного этими прямыми, равны углам данного треугольника.
127. Точка Р не лежит на сторонах угла. Сколько можно построить углов с вершиной в точке Р и со сторонами, соответственно параллельными сторонам данного угла?
128. На стороне АВ треугольника ABC взята точка Р, через которую проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и встречающие их в точках М и N. Назвать равные образовавшиеся углы.
129. Из точки Р, взятой внутри угла S, опущены перпендикуляры РА и РВ на стороны этого угла или их продолжения. Каким соотношением связаны углы АР В и ASB?
130. Высоты ААг и ВВХ треугольника ABC пересекаются в точке И. Указать углы с соответственно перпендикулярными сторонами: 1) равные между собой; 2) составляющие в сумме 180°.
131. В вершине S данного угла ASB восставлены к его сторонам перпендикуляры SM и SN. Определить угол MSN, если угол ASB равен: 1) 130°; 2) 75°; 3) 30с1 Рассмот-
реть различные случаи взаимного расположения сторон углов MSN и AS В (ограничиться углами, меньшими 180°).
132. Из основания D высоты BD треугольника ABC опущен перпендикуляр DE на сторону А В. Доказать, что углы ВАС и BDE равны.
133. Известны углы прямоугольного треугольника. Определить углы, образуемые катетами с высотой, опущенной на гипотенузу.
134. Найти зависимость между углами AS В и если ...
KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ
|
