|
ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЯМ
В пособии по каждой теме программы даны краткие беседы, которые рекомендуется проводить на уроках математики попутно с изучением теоретического материала программы.
В среднем на каждые 6 уроков приходится одна беседа. Это распределение автор рекомендует на основе личного опыта работы, но не считает его образцовым и единственно возможным.
Материал для некоторых бесед может показаться избыточным для использования его на одном уроке. В таком случае учитель сам отберет из предложенного материала то, что, по его мнению, наиболее важно и интересно, или же распределит его на два-три урока.
Условный термин «беседа» следует понимать как сообщение некоторого факта из истории математики, который может быть преподнесен ученикам в виде рассказа учителя, рассмотрения и объяснения рисунка, краткого замечания, разбора задачи, сопровождаемого исторической справкой.
В разделах для внеклассных занятий содержится исторический материал по отдельным избранным вопросам, дополняющий сведения, изложенные в первом разделе. Этот материал предназначен для внеклассных занятий и частично для самостоятельного чтения учениками. В книге приведены исторические задачи, которые рекомендуется использовать на занятиях в кружке или на уроках повторения. Ответы, указания, отдельные решения к задачам, список рекомендованной литературы и именной указатель даны в конце книги. Книга снабжена хронологическим справочником — «Века и годы», который позволит учителю при подготовке к уроку найти нужную дату не только на занятиях в IV—VI классах, но и в более старших.
Книга содержит минимум того, что, по мнению автора, должен знать учитель, преподающий математику в общеобразовательной школе, и заведомо несколько больше того, что может усвоить средний ученик этой школы. Немногие более сложные беседы отмечены звездочкой.
Предлагаемая работа имеет целью дать в руки учителя пособие, которое помогло бы ему конкретно сопровождать изучение школьного курса математики обзором исторического развития науки. Эта сложная научно-методическая задача может получить полное решение только при активном участии широких масс учителей математики, и поэтому просим всех, интересующихся данным вопросом, направить в издательство свои отзывы, критические замечания и предложения по адресу: 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, редакция математики.
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос об использовании элементов истории в преподавании математики не новый. Еще в конце XIX и в начале XX в. он обсуждался на съездах преподавателей математики. Ему были посвящены в нашей стране и за рубежом специальные работы.
В разное время ученые и методисты по-разному определяли цели введения элементов истории математики в преподавание в зависимости от общественного строя той или иной страны и общих задач школы. Однако общими почти всегда были и остаются поныне следующие цели:
1. Повышение интереса учащихся к изучению математики и углубление понимания ими изучаемого фактического материала.
2. Расширение умственного кругозора учащихся и повышение их общей культуры.
В Советскую эпоху знакомство с историей математики служит общим целям коммунистического воспитания детей.
В наше время юноша или девушка, оканчивающие среднюю школу, должны иметь представление о месте и роли математики в современной передовой культуре.
Программа нашей школы обязывает учителя сообщать ученикам в процессе преподавания сведения по истории математики и знакомить их с жизнью и деятельностью выдающихся математиков.
Однако в программе нет конкретных указаний на то, какие сведения по истории математики следует сообщать учащимся, в каких классах, в каком объеме и по каким разделам школьной математики. Школьные учебники, как известно, тоже таких сведений содержат мало.
Одно сообщение сведений по истории математики далеко не всегда способствует достижению тех целей, о которых говорилось выше. Знакомство учеников с историей математики означает продуманное планомерное использование на уроках фактов из истории науки и их тесное сплетение с систематическим изложением всего материала программы. Лишь такое сплетение может способствовать достижению указанных целей.
Координируя изучение математики с другими предметами, в частности с историей, подчеркивая роль и влияние практики на развитие математики, указывая условия, а иногда и причины зарождения и развития тех или иных идей и методов, мы тем самым способствуем развитию у школьников диалектического мышления и формированию марксистско-ленинского мировоззрения, способствуем процессу их умственного созревания и сознательному усвоению ими учебного материала. Достигнутое таким образом более глубокое понимание школьного курса математики, безусловно, вызовет у учащихся рост интереса к предмету.
Ознакомление учеников с историей математики должно проводиться в основном на уроках математики и лишь во вторую очередь на внеклассных занятиях. При этом не следует рассчитывать на какие-либо дополнительные часы. Залог успеха состоят в умелом использовании элементов истории математики таким образом, чтобы они органически сливались с излагаемым фактическим материалом. Если начать такую работу с IV класса и проводить ее систематически, то со временем исторический элемент станет для самих учащихся необходимой частью урока. Конечно, не может быть речи о прохождении в средней школе какого-то специального курса истории математики. Речь идет о том, чтобы при изучении той или иной темы учитель математики полнее и глубже раскрывал ее содержание, прибегая к истории науки.
Большую методическую трудность представляет решение вопроса об отборе конкретного материала по истории математики и о порядке его использования в том или другом классе. Здесь следует руководствоваться программой по математике. Однако, учитывая возрастные особенности учащихся, нельзя приспосабливаться только к программе. Невозможно, например, ограничить вопросы истории арифметики рамками IV—VI классов. Не только содержание и объем, но и стиль изложения вопросов из истории математики не могут быть одинаковыми в разных классах.
Считаем, что в IV — VI классах следует ограничиться некоторыми начальными сведениями из истории математики и обращать внимание учеников на элементарные вопросы развития счета и численных алгоритмов, математической терминологии и символики, возникновения мер, создания способов измерения и простейших инструментов.
В этих же классах следует частично затронуть и некоторые стержневые вопросы истории математики, как, например, развитие понятия числа, происхождение и некоторые аспекты развития геометрии и алгебры. Целесообразно дать начальные сведения из истории уравнений. Есть немало вопросов из истории математики, к которым приходится возвращаться в курсе средней школы по два-три и больше раз.
Трудным кажется на первый взгляд решение вопроса о том, как выкроить необходимое время. Однако вопрос о времени, как и вопрос о формах использования элементов истории математики на уроках, почти полностью подчинен главному вопросу — связи изучаемой в школе математики с ее историей. Какая бы ни была форма сообщения сведений по истории — краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка, использованное время (5—12 мин) нельзя считать потерянным, если только учитель сумеет исторический факт преподнести в тесной связи с излагаемым на уроке теоретическим материалом. В результате такой связи у школьников пробудится повышенный интерес к предмету и тем самым повысится эффективность их занятий.
Опыт работы подсказывает: следует широко использовать для ознакомления с историей математики уроки закрепления пройденного, что будет способствовать оживлению этих уроков. Главную методическую трудность представляет вопрос о том, как на деле сочетать изучение определенного раздела программы математики с изложением соответствующего исторического материала. Преодолеть эту трудность можно лишь постепенно, в ходе планомерной и скрупулезной работы.
Мы старались не загромождать излишними деталями и мелочами изложение основного пути развития школьной математики. Повторение в разных местах книги некоторых хронологических дат поможет ученикам усвоить историческую последовательность наиболее важных фактов. Чтобы ввести начинающего учителя в мир историко-математической литературы и дать ему возможность дополнять сведения по тем или иным вопросам, в сносках даются некоторые библиографические указания.
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ НА УРОКАХ
Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет...
Лейбниц
Глава 1.
АРИФМЕТИКА И НАЧАЛА АЛГЕБРЫ
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ И ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
1. О происхождении арифметики 1.
Счет и десятичная система счисления
Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов. Все эти правила не были выдуманы или открыты каким-то одним человеком. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности. Арифметика развивалась медленно и долго.
Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число два связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов. «Глаза» у индийцев, «крылья» у тибетцев означало также «два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти, десяти и т. д.2.
С развитием производства и торговли счет распространяется на множества, содержащие все большее и большее число предметов (элементов). Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т. п. Потребность в измерениях привела к возникновению и развитию как приемов измерений, так и техники счета и правил действия над числами (рис. 1).
1 Арифметика изучает простейшие свойства чисел и операций над ними. Она возникла в глубокой древности и вначале рассматривала только натуральные числа. В связи с потребностями практики постепенно круг вопросов, относящихся к арифметике, значительно расширился. Название «арифметика» происходит от греческого слова apiOpog (арифмос) — число.
2 От периода первоначального формирования понятия натурального числа не сохранилось никаких документов. Для его изучения история математики прибегает к этнографии и лингвистике.
Таким образом, возникновение и развитие арифметики связано с трудовой деятельностью людей, с развитием общества.
Известно, что счет у нас ведется десятками: десять единиц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню и т. д., иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда — одну единицу третьего разряда и т. д.
Такой способ счета, группами в десять, которым пользуемся мы, называется десятичной системой счисления или десятичной нумерацией. Число десять называется основанием десятичной системы счисления.
Но почему мы считаем именно десятками, то есть как возникла десятичная система счисления?
Подобно тому как учатся считать по пальцам дети, так и люди на первых ступенях развития общества считали с помощью десяти пальцев рук. Поныне ведь говорят: «Перечесть по пальцам...» Отсюда— десятичная или десятеричная система счисления.
Однако были племена и народы, в частности в Африке, которые при счете пользовались лишь пятью пальцами одной руки, считали пятками: у них выработалась пятеричная система счисления, в которой основой служит число пять. В этой системе имеются названия для первых пяти чисел. Число «шесть», например, называлось «пять — один» и т. д. Следы пятеричной системы сохранились в скандинавских языках. Древнейшей из всех является двоичная система счисления, которой, как полагают, пользовались некогда древние египтяне. Следы другой, двадцатеричной системы остались поныне, например, в современном грузинском языке и во французском языке, в котором вместо «восьмидесяти» говорят «четырежды двадцать». Двадцатерич-ная система возникла у народов, считавших не только с помощью пальцев рук, но и пальцев ног. Этой системой пользовались также индейцы племени Майя (см. гл. 7, § 5). Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления (гл 1, § 1, п. 10). В настоящее время почти все народы мира пользуются десятичной системой счисления.
В десятичной системе названия всех натуральных чисел до 999 миллионов образуются с помощью всего лишь 13 слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сто, тысяча, миллион. Слово «десять» кое-где сокращается в «дцать», например вместо «два десять» — «двадцать».
Наряду с десятичной системой широкое практическое применение находит в настоящее время и двоичная система счисления в связи с ее применением в быстродействующих счетных машинах (гл. 7, § 7)
2. О присхождении в развитии письменной нумерации.
Цифры разных народов
Как бы велико ни было число, его можно записать с помощью всего лишь десяти числовых знаков, цифр: 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 0. Цифр, как и правил арифметики, никто сразу не выдумал, не изобрел. Современные цифры были выработаны на протяжении многих веков. Совершенствование начертания цифр шло параллельно с развитием письменности. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались, при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках1 и узлами на веревках2 (рис. 2, 3). Далее естественно стали обозначать число один одной черточкой, два — двумя, три — тремя черточками и т. д. Следы таких цифр имеются, например, в римской системе: I, II, III. Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало неудобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Каждое число, как и каждое слово, обозначалось особым значком, иероглифом. Вот, например, как выглядят китайские иероглифические цифры (рис. 4).
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
