|
ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЯМ
Предлагаемое пособие составлено на основе имеющейся историко-математической литературы и тридцатилетнего личного опыта работы автора в средней и высшей школах. Цель этого пособия — оказать конкретную помощь учителю в привлечении фактов из истории математики при изучении со школьниками программного материала.
При составлении книги автор стремился к тому, чтобы она в значительной мере была доступна пониманию самих учащихся.
В разделе «История математики на уроках» предлагаемого пособия по каждой теме программы имеются краткие беседы, которые рекомендуется проводить на уроках математики попутно с изучением программного материала. В среднем на каждые 6 уроков приходится одна беседа. Такое распределение мы рекомендуем на основе личного опыта занятий со школьниками, но не считаем его образцом и единственно возможным.
Материал для некоторых бесед может показаться избыточным для использования его на одном уроке. В таком случае учитель сам отберет из предложенного материала то, что, по его мнению, наиболее важно и интересно, или же распределит материал на два-три урока.
Условный термин «беседа» следует понимать как сообщение некоторого факта из истории математики, который может быть преподнесен ученикам в виде рассказа учителя, рассмотрения и объяснения рисунка, краткого замечания, разбора задачи, сопровождаемого исторической справкой.
В разделе для внеклассных занятий содержится исторический материал по отдельным избранным вопросам, дополняющий сведения, изложенные в первом разделе. Этот материал можно использовать для самостоятельного чтения учениками.
В конце книги приведены исторические задачи, которые рекомендуется решать на занятиях в кружке или на уроках повторения. Ответы, указания и решения к отдельным задачам также помещены в конце пособия.
Знакомство учеников с фрагментами истории математики в связи с изучением основ предмета на уроках и факультативных занятиях имеет вполне определенные цели, а именно:
1) сведения из истории повышают интерес школьников к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы;
2) ознакомление с историческими фактами расширяет умственный кругозор учеников и повышает их общую культуру, позволяет лучше понять роль математики в современном обществе;
3) знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям коммунистического воспитания подрастающего поколения.
Современная школьная программа указывает на необходимость знакомства учеников с фактами из истории математики и биографиями великих математиков. Но в программе нет конкретных указаний, какие сведения из истории, когда и как сообщать школьникам. Знакомство учеников с развитием математики означает продуманное, планомерное ознакомление на уроках с наиболее важными событиями из истории науки в органической связи с систематическим изучением программного материала. Лишь такое тесное сплетение истории и теории обеспечит достижение указанных целей.
Координируя изучение математики с другими предметами, в частности с историей общества, подчеркивая роль и влияние практики на развитие математики, указывая условия, а иногда и причины зарождения и развития тех или иных идей и методов, мы тем самым способствуем развитию у школьников диалектического мышления и формированию марксистско-ленинского мировоззрения, содействуем процессу их умственного созревания и сознательному усвоению ими учебного материала. Достигнутое таким образом более глубокое понимание школьного курса математики безусловно вызовет у школьников повышение интереса к предмету.
В VII и VIII классах, по нашему мнению, достаточно ограничиться из истории математики начальными сведениями, связанными с программным материалом.
На первый взгляд кажется трудным найти на уроке время, необходимое для ознакомления с историческим материалом. Однако вопрос о формах использования элементов истории математики на уроках почти полностью подчинен главному вопросу — связи изучаемой в школе математики с историей. Какая бы ни была форма сообщения исторических фактов — краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка, — использованиее время (5—12 мин) нельзя считать потерянным напрасно, если учитель сумел преподнести исторический факт в тесной связи с изучаемым на уроке теоретическим материалом.
Опыт работы подсказывает, что следует использовать для ознакомления с историей математики уроки закрепления пройденного, что способствует повышению интереса учащихся к таким урокам. Главную методическую трудность представляет вопрос о том, как на деле сочетать изучение определенного раздела программы с изложением соответствующего исторического материала. Преодолеть эту трудность можно лишь постепенно, в ходе планомерной и скрупулезной работы.
Книга содержит минимум того, что, по нашему мнению, должен знать учитель, преподающий математику, и заведомо несколько больше того, что может усвоить ученик средней школы. Материал, содержащийся в сносках, в основном предназначен для учителя.
Предлагаемая работа — одна из немногих попыток дать в руки учителя пособие, которое помогло бы ему конкретно сопровождать изучение школьного курса математики обзором исторического развития науки.
Эта сложная научно-методическая задача может получить полное решение только при активном участии широких масс учителей математики, и поэтому просим всех интересующихся данным вопросом направлять в издательство свои отзывы, критические замечания и предложения по адресу: 129846 Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, редакция математики.
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ НА УРОКАХ
Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение — ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству.
Лагранж
Глава 1
АЛГЕБРА
§ 1. ДРОБИ
1. Ньютон об алгебраической дроби
Во «Всеобщей арифметике» Ньютона понятие дроби вводится следующим образом:
«Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними проведена черта, обозначает частное или же величину, возникающую при делении верхней величины на нижнюю.
Так, — означает величину, возникающую при делении 6 на 2,
т. е. 3, а величину, возникающую при делении 5 на 8, т. е.
восьмую долю числа 5. Далее,— есть величина, возникающая при делении а на Ь. Если, например, а есть 15 и b есть 3, то — будет 5. Точно так же —=— означает величину, получающуюся
при делении аЪ — ЪЪ на а + х и т. д. Величины такого рода называются дробями».
Далее Ньютон обращает внимание читателей на следующие два обстоятельства:
1) В то время, как запись целого числа перед арифметической дробью означает их сумму, запись целого числа перед алгебраической дробью означает их произведение, например:
2) Следует различать алгебраическую дробь от того или иного ее числового значения, а именно: числовое значение алгебраической дроби может выражаться в зависимости от тех или иных значений входящих в нее букв дробным либо целым числом. Например, числовое значение дроби — есть
«Арифметика» Магницкого, изданная в 1703 г., наряду с подробным и систематическим изложением арифметики содержала также сведения из алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии и навигации. По книге Магницкого русский читатель впервые знакомился с действиями над многочленами, с правилами решения уравнений первой и второй степени. Хотя в целом Магницкий не употреблял еще алгебраической символики, он все же был знаком с нововведением Виета, следуя которому обозначал неизвестные величины прописными гласными, а известные — согласными буквами. Подобно английскому математику Т. Гарриоту, он еще пишет bb, bbb,.., вместо современных Ь2, Ь3,... В левом нижнем углу заглавного листа «Арифметики» Магницкого изображена доска со следующей записью:
Это не что иное, как умножение «столбиком» двух многочленов. Буквой R (начальная в латинском слове Radix — корень) обозначено неизвестное (наш х), буквой q — неизвестное в квадрате. Черточка с точками служила знаком вычитания.
Задание ученикам. Задача 1. Переписать запись Магницкого современными символами и проверить умножение.
3. Алгебраические дроби у Диофанта
В «Арифметике» Диофанта содержится много примеров действий над алгебраическими дробями.
Вот два из них, записанных в современных символах
Среди многих тождеств, принадлежащих знаменитому математику, члену Петербургской академии наук Л. Эйлеру, имеется следующее:
Задача 4.
Рис. I. Зачатки алгебраической символики у Диофанта
5. О буквенных коэффициентах. Задача Ариабхатты
Обозначение неизвестных величин буквами восходит, как известно, по крайней мере к Диофанту (рис. 1). Однако полное значение буквенной символики выявилось лишь после того, как Виет впервые применил ее для обозначения известных величин и коэффициентов. Благодаря введению буквенных коэффициентов стало возможным исследование алгебраических уравнений в общем виде и применение общих формул.
Виет применял в качестве коэффициентов латинские прописные согласные буквы В, D, G,..., а прописные гласные Л, Я, У,... — для обозначения неизвестных.
Декарт ввел для обозначения, коэффициентов строчные начальные буквы латинского алфавита а, 6, для неизвестных же — последние буквы: х, у, г.
Задачи, сформулированные в общем виде, без конкретных числовых данных, встречаются уже в древности и в средние века.
В астрономическом трактате «Ариабхаттиам» индийского ученого Ариабхатты (род. в 476 г.) имеется следующая задача:
Задача 5. «Два лица имеют равные имущества, причем каждое состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Однако как число вещей, так и сумма денег у них различны. Какова стоимость вещи?»
§ 2. НЕРАВЕНСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
6. О знаках равенства о неравенства
При исследовании корней квадратного уравнения по дискриминанту и при построении графиков мы часто применяем наряду со знаком равенства и знаки неравенства.
В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в XVIII в., после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи.
Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая (в «Практике аналитического искусства», вышедшей в 1631 г. посмертно) нововведение1 следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (<). В первом случае образованный, знак неравенства будет обозначать «больше», во втором — «меньше».
Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда было нелегко.
7. О понятии неравенства
Знаки неравенства появились впервые в 1631 г., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности.
В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Приближенные вычисления (в том числе и вычисление те, метод исчерпывания, современное понятие предела и др.) связаны с понятием неравенства.
Некоторые неравенства древности.
В V книге «Начал» Евклида доказывается:
Задача 6. «Если а — наибольшее число в пропорции
где а, Ь, с, d, — положительные числа, то существует неравенство
Докажите!»
В основном труде Паппа Александрийского, названном «Математическое собрание» и написанном в III в., доказывается...
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
