|
9 класс
Глава I.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Знание людей заслуживает имени Науки в зависимости от того, какую роль играет в нем число.
Э. Борель
1. Краткий обзор развития понятия числа
На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т. п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.
С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Ее возникновению и развитию способствовали практические потребности — строительство разнообразных сооружений, торговля, мореходство и пр. Долгое время в арифметике имели дело о числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была «мириада»— 10 000. Еще в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда-то Архимед в своем трактате «Исчисление песчинок» — «Псаммит» разработал систему, которая позволяла выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен. Следует заметить, что первое представление о потенциально бесконечно малом и бесконечно большом дал Анаксагор (ок. 500—428 гг. до н. э.). Древнегреческий философ Аристотель (384—322 гг. до н. э.) в своих высказываниях, допуская бесконечность математического пространства, считал математическую прямую бесконечной. Аналогичных принципов придерживался и Евклид (подробнее об идее бесконечности см. гл. I; 3 и г д.. III; 43).
Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.
В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через V2. Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых.
Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.
Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.
Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. (Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел.)
Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встретились с числом, которое выражалось V—T. Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавали за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745—1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые «мнимые числа» получили свое место в множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически.
Обозначение комплексного числа ... принадлежит Кардано. Эйлер стал записывать это число в виде ... По рекомендации ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона (1805—1865) комплексные числа стали выражать парой действительных чисел в виде {а, Ь). Однако и на этом развитие понятия числа не завершилось. Оно продолжает свой путь дальше (подробнее о комплексных числах см. § 14).
2. Аксиомы натуральных чисел
Как известно, аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых, основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Вошедшая во всеобщее употребление система аксиом натуральных чисел была предложена итальянским математиком и логиком, профессором Туринского университета Джузеппе Пеано в статье «О понятии числа», опубликованной в 1891 г. Вот как формулировал Пеано свои пять аксиом:
1. О есть натуральное число.
2. Следующее за натуральным числом есть натуральное число.
3. О не следует ни за каким натуральным числом.
4. Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.
5. Аксиома полной индукции.
Итак, с аксиоматической точки зрения мы имеем дело с двумя основными понятиями: «натуральные числа» (объект) и «непосредственно следует за» (соотношение). Эти понятия косвенно определяются системой аксиом.
Излагаемая в настоящее время в учебных руководствах1 система аксиом натуральных чисел лишь по форме несколько отличается от вышеприведенной. Натуральные числа — это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов а и b установлено отношение «b следует за а» (число, следующее за а, обозначается а*), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:
1. Существует натуральное число 1, непосредственно не следующее ни за каким натуральным числом, т. е. для любого а имеем:
2. Для каждого натурального числа а существует одно и только одно непосредственно за ним следующее натуральное число
3. Любое натуральное число, кроме 1, непосредственно следует за одним и только одним натуральным числом, т. е. если
4. Аксиома индукции. Пусть М — подмножество множества N натуральных чисел, обладающее свойствами: а) 1 принадлежит М, б) если натуральное число а принадлежит М, то а также принадлежит М тогда множество М содержит все натуральные числа, т е. М совпадает с N.
То, что в первоначальной формулировке (Пеано) первый элемент есть 0, а не 1, не имеет принципиального значения. Дело в том, что в настоящее время нуль причисляется не к натуральным, а к целым числам. Символы 1, 2, 3....... которыми обычно обозна-
чают натуральные числа, были выработаны, как мы уже знаем, на протяжении веков. На основе аксиом 1—4 можно определить арифметические действия и построить всю арифметику натуральных чисел чисто дедуктивным путем. В частности, на основе аксиомы 4 доказывается следующее предложение: если некоторая теорема в формулировку которой входит натуральное число п, верна для п = 1 и в предположении, что она верна для п, будет верна и для п + 1, то Т верна для любого натурального числа. Это предложение, эквивалентное аксиоме 4, называют принципом математической индукции. На этом принципе и основан метод математической индукции, с помощью которого доказывают многие теоремы арифметики, алгебры, теории чисел и геометрии. Под индукцией (от латинского inductio — наведение) понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев.
3. Возникновение и применение идеи бесконечности в древнегреческой математике
Идея бесконечности возникла еще в глубокой древности в связи с представлениями о Вселенной. В философии под бесконечностью понимают отсутствие начала и конца во времени и в пространстве. Конечное и бесконечное — это с точки зрения марксистской философии две категории, т. е. два основных понятия, выражающие неразрывно связанные между собой противоположные стороны объективного мира. Вселенная, природа бесконечны. Бесконечная движущаяся магерия существует в виде бесконечного многообразия взаимосвязанных конечных вещей. С понятием бесконечности в философии связано и математическое понятие бесконечности как одной из математических абстракций. Оно встречается уже на первых ступенях изучения арифметики, а именно когда речь идет о натуральном ряде чисел: 1, 2, 3, 4, ... . В геометрии мы сталкиваемся с понятием бесконечности, когда прямая мыслится как бесконечная прямая и т. п.
Как известно, математика превратилась в дедуктивную науку в Древней Греции, где ее развитие протекало в сотрудничестве с философией. Уже в VI в. до н. э. греческие философы разрабатывали проблему бесконечности и связанную с ней проблему непрерывного и4 дискретного. Этими проблемами занимались представители милетской школы Анаксимандр (около 610—546 гг. до н. э.) в своем произведении «Апейрон» («Беспредельное»), Анаксимен (около 588—? гг. до н. э.) в сочинении «О природе». Такое же заглавие выбрал для одного из своих сочинений Анаксагор (около 500—428 гг. до н. э.), в котором он понятие бесконечности положил в основу своего мировоззрения. Анаксагор писал: «Среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно». Эту мысль он дополнил, написав, что «всегда имеется нечто большее, чем то, что большое». Вот почему историки математики считают, что Анаксагор впервые ввел в математику понятие потенциально бесконечно малого и бесконечно большого, а это оказалось весьма существенным для дальнейшего развития математики1. Но если Анаксагор и другие математики приписывали пространству только непрерывные свойства, то другие ученые создали представление о пространстве как о множестве точек, являющихся неделимыми элементами. Последняя концепция отвечала, в частности, духу школы Пифагора, в которой развивалось учение о дискретных (т. е. прерывных) объектах, а именно о числах. Пифагорейцы долгое время считали возможным распространить свое учение о целочисленной основе всего существующего и на геометрические величины. Открытие несоизмеримости, которое явно показало различие между дискретной природой (рациональных) чисел и непрерывной природой геометрических величин, привело, как известно, к большим трудностям, связанным с понятием бесконечности, к настоящему кризису в обосновании математики2. Эти трудности были особенно ярко выявлены в апориях — затруднительных положениях (парадоксах) элейского философа Зенона (V в. до н. э.). Из 45 его апорий через «Физику» Аристотеля и комментарий к ней Симпликия (VI в.) до нас дошли 9. Остановимся на некоторых из них, относящихся к движению (рис. 1).
1. Дихотомия (означает по-гречески «деление пополам»). В этой апории Зенон утверждает, что движение невозможно, ибо до того, как движущееся тело пройдет расстояние от точки А до точки В, оно должно пройти этого расстояния (отрезка), а до этого ... его, но последовательность таких отрезков бесконечна, значит, точка В никогда не будет достигнута. Парадокс (апория), выдвигаемый как непреодолимый логический тупик, состоит в том, что сумма бесконечного множества слагаемых конечна.
Впрочем, эта апория свидетельствует о том, что уже в середине V в. до н. э. греческие ученые занимались суммированием бесконечной геометрической прогрессии
Храбрейший и быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепахи, если она находится впереди него даже на малом расстоянии, утверждает Зенон. Его доказательство сводится к следующему: пусть Ахиллес бежит в п раз быстрее черепахи и пусть их разделяет расстояние d. Когда Ахиллес пройдет это расстояние, одновременно с ним начавшая свое движение черапаха отойдет на —; когда же Ахиллес покроет и это расстояние, движущаяся вперед черепаха будет находиться впереди него на — и т. д. Между Ахиллесом и черепахой всегда будет оставаться определенное расстояние (рис. 1).
3. Стрела.
Зенон доказывает, что движение летящей стрелы невозможно ввиду того, что в каждый неделимый момент времени она покоится, а промежуток времени является суммой бесконечного числа неделимых моментов. Затруднение состоит в том, что если время складывается из неделимых «моментов», в каждом из которых тело покоится (иначе «неделимое» подразделялось бы на части, соответствующие различным положениям тела), то и в итоге не можем получить движения. К такому же выводу приводит и четвертая апория движения — «Стадион», или «Стадий».
Таким образом, в вышеприведенных первых двух апориях Зенон вскрывает логические трудности, связанные с гипотезой о бесконечной делимости отрезков пути и времени, о непрерывности пространства; в третьей и четвертой он указывает на логические противоречия, связанные с допущением дискретной структуры пространства и времени. Своими апориями Зенон обратил внимание ученых и философов на противоречия, всгречаемые с формальнологической точки зрения при введении понятия бесконечности в науку.
Апории Зенона нельзя смешивать с математическими софизмами (вроде доказательства того, что 1 = 5), объяснение которых часто предлагается учащимся на викторинах и кружках. Апории Зенона затрагивают глубокие и серьезные вопросы, полное разрешение которых до сих пор не достигнуто. В разные эпохи ученые искали пути выхода из затруднений, указанных Зеноном. Со стороны античных философов и математиков апории Зенона подвергались разнообразной критике. Так, Диоген, опровергая невозможность движения, обратился непосредственно к опыту — он, ни слова не говоря, стал ходить около своей бочки, в которой он проводил ночь. Демокрит из Абдеры высказал идею о том, что отношение малых отрезков пути к соответствующим малым промежуткам времени остается конечным и определяет скорость дви-
жения. В высказываниях Демокрита содержатся зачатки исчисления бесконечно малых величин. Впоследствии идея Демокрита была использована Архимедом при создании первых интеграционных приемов вычислений площадей и объемов фигур. В XVII в. математики, опираясь на работы Архимеда, пришли к созданию дифференциальных и интегральных исчислений. Некоторые древнегреческие математики оставались на позициях Анаксагора. К взглядам последнего примкнул, в частности, один из величайших математиков V в. до н. э. — Евдокс Книдский, автор «аксиомы Архимеда» и «метода исчерпывания».
Понятию математической бесконечности уделил большое внимание крупнейший философ древности Аристотель (IV в. до н э.), логические сочинения которого, объединенные в византийское время под общим названием «Органон», служили на протяжении веков основой формальной логики. Аристотель вообще колебался между идеализмом и материализмом, однако в вопросах математики он стоял на материалистических позициях. Так, например, в отличие от Платона он учил, что математические понятия не являются априорными (врожденными) а представляют собой абстракции от предметов реального мира. Пространство, согласно Аристотелю, безгранично делимо, непрерывно. В своей «Физике» он так определяет непрерывность: «Я говорю о непрерывном, когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и, как показывает название, не прерывается, а это невозможно, пока у них существуют два края».
Возражая против концепции актуально бесконечно малых, он далее пишет: «Невозможно ничему непрерывному состоять из неделимых частей, например линии из точек, если линия непрерывна, а точка неделима». Аристотель возражал против использования актуальной бесконечности в науке, ссылаясь на то, что, зная способы счета конечною числа объектов, нельзя эти способы распространять на бесконечные множества. Взгляды Аристотеля в отношении математической бесконечности не были лишены противоречий. Сознавая большие трудности, связанные с понятием бесконечности и с разрешением апорий Зенона, Аристотель пытался найти выход и как-то обосновать разрыв между непрерывностью и дискретностью. Он выступал против пользования понятием движения в математике, мотивируя это тем, что эта наука занимается не самими реальными вещами, а лишь абстракциями от них.
Такая позиция и мотивировка ее с точки зрения современной математики и марксистско-ленинской философии неверны. Наоборот, если реальные предметы находятся в постоянном движении и в тесной взаимосвязи, то и абстракции их — поверхности, линии и точки — следует рассматривать в их взаимосвязи и движении. Огромные достижения математических наук не были бы возможными без применения понятий «переменные» и «движение». Аристотель также выступал за полное отделение геометрии, науки о непрерывных величинах, от арифметики, науки о дискретных величинах.
Этих взглядов придерживался и Евклид, который неявно пользовался понятием о непрерывности линий. Свою геометрию Евклид строит, не прибегая к помощи чисел, а «чисто геометрически», т. е. конструктивно. Однако вся геометрия Евклида может быть построена в пространстве, координаты точек которого, т. е. отрезка, являются числами, а они принадлежат подмножеству множества алгебраических чисел. Известно, что изложенная в V книге общая теория отношений и пропорций принадлежит Евдоксу Книдскому.
Возвращаясь к апориям Зенона, следует отметить, что они интересовали выдающихся математиков и философов всех времен. До настоящих дней об апориях существуют разные, порой крайне противоположные мнения. Одни считают, что апории «Дихотомия» и «Ахиллес», в которых отрицается движение, исходя из представлений о непрерывности и неограниченной делимости пространства, свидетельствуют лишь о том, что Зенон, не имея понятия «предел», не умел суммировать геометрическую прогрессию вроде (1) и ошибочно считал, что сумма бесконечно большого числа членов любого, в том числе и сходящегося ряда должна быть бесконечно большой. Другие же ученые признают, что проблемы, связанные с апориями Зенона и затрагивающие соотношения непрерывного и дискретного, относятся к самым трудным вопросам философии и обоснования математики и физики, которые поныне остаются актуальными. Этим вопросам посвящена огромная литература, написанная на протяжении двух с половиной тысяч лет.
С точки зрения диалектического материализма в объективном реальном мире дискретное и непрерывное, движение и покой находятся в диалектическом единстве. Но нельзя отобразить движение, не остановив его, т. е. не прибегая к покою — его противоположности. Это имел в виду и В. И. Ленин, когда по поводу апорий Зенона писал: «Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, yiрубив, не разделив, не омертвив живого...
И в этом суть диалектики. Эту-то суть и выражает формула: единство, тождество противоположностей». Более подробно об этом пишет советский историк математики Софья Александровна Яновская в статье «Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «Апорий Зенона»?» («Проблемы логики». М., Изд-во АН СССР, 1963).
В настоящее время в основе изучения геометрии и математического анализа лежит понятие о вещественном числе. Множество вещественных чисел, как и множество точек прямой, обладает свойством непрерывности. Вещественным числом можно выразить отношение двух любых однородных величин. Однако, как известно, расширение понятия числа до вещественного и обоснование соответствующей теории были завершены только в XIX в. Греки же, которые при открытии несоизмеримости имели представление лишь о дискретном множестве чисел (натуральных и в лучшем случае положительных рациональных), пошли в V—VI вв. по пути геометризации арифметики и строили общую теорию отношений, аналогичную нашей теории вещественных чисел, применяя ее к учению о подобии, к вопросам измерения площадей и объемов и вообще к исследованию непрерывных величин.
Изложим вкратце суть евдоксовой общей теории отношений (величин), содержащейся в V книге «Начал» Евклида. Величины здесь изображены отрезками, причем предполагается, что для любой пары величин найдется соответствующая пара отрезков а, Ъ так, что отношение величин будет равно отношению отрезков а : Ь. В самом начале V книги вводится так называемая аксиома Архимеда, которую правильнее было бы называть аксиомой Евдокса, или аксиомой Евдокса — Архимеда. Две однородные величины могут находиться в математическом отношении, только если на них распространяется эта аксиома, которая является одной из аксиом непрерывности.
Равенство отношений определяется следующим образом: величины А, В имеют то же отношение, что и величины С, D, если для любой пары натуральных чисел тип выполняется какое-либо из следующих трех условий:
Современной операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. «Составить» пару отношений А : В и В I С — значит найти отношение A i С, «составленное». Чтобы составить произвольные два отношения а b и с : d, требуется предварительно найти отношение b : х, равное с : d, что осуществляется путем построения к любым трем отрезкам с, d, b четвертого пропорционального отрезка х. В V книге устанавливаются основные свойства отношений и их составления. Вышеприведенное определение отношений было, вероятно, подсказано Евдоксу как свойствами отношений соизмеримых величин, так и рассмотрением процесса измерения непрерывных геометрических величин. Целесообразность этого определения, конечно, можно проверить на разных примерах. О том, что некоторые математики неправильно его понимали, свидетельствует случай с французским ученым XVI в. П. Рамусом.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
