В пособии рассказывается, как научиться анализировать часто применяемые рассуждения и отличать правильные формы рассуждений от неправильных. Простейшие понятия логики высказываний и теории множеств излагаются доступным для учащихся языком и иллюстрируются примерами из школьного курса математики. В книге помещено много интересных логических упражнений и задач, дано описание простейшей «рассуждающей» машины. Пособие рассчитано на учащихся старших классов и учителей.
Фрагмент:
Вместо предисловия
Вспомним, читатель, одно место из диалога между Пигасовым и Рудиным.
« — Прекрасно! — промолвил Рудин, — стало быть, по-вашему, убеждений нет?
— Нет — и не существует.
— Это ваше убеждение?
— Да.
— Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай».
(И. С. Тургенев, «Рудин»)
Как легко и красиво раскрыл Рудин противоречие в рассуждении Пигасова!
Но что такое противоречие?
Почему «Все в комнате улыбнулись и переглянулись», а «Дарья Михайловна захлопала в ладоши, воскликнула: «Браво, браво! разбит Пигасов, разбит!»? Очевидно, это «противоречие» делает рассуждение Пигасова ошибочным.
Рудин победил в споре потому, что сделал очевидной для всех ошибочность рассуждения своего собеседника.
Рассуждение Пигасова не удовлетворяет одному из требований, которые предъявляются к правильным рассуждениям, поэтому оно ошибочно. Но каково это требование?
Бывают и другие ошибки в рассуждениях, связанные с нарушением других требований, и ошибочные рассуждения допускают не только литературные герои, причем далеко не всегда ошибка так очевидна, как в рассуждении Пигасова.
Приведем еще один пример ошибочного рассуждения. Постараюсь передать почти дословно состоявшуюся в классе беседу между учителем (мною) и учениками.
На вопрос учителя, почему рассматриваемый параллелограмм не является ромбом, ученик Н. построил такое рассуждение:
«Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб; но в данном параллелограмме диагонали не взаимно перпендикулярны, следовательно, этот параллелограмм не является ромбом».
Учитель: Ты допустил ошибку в рассуждении.
Ученик Н.: Но ведь верно же, что данный параллелограмм не является ромбом? Значит, я рассуждал правильно.
Учитель: Здесь ты снова ошибаешься. Что данный параллелограмм не ромб, разумеется, верно, а все же рассуждение, с помощью которого ты пришел к этому заключению, построено неправильно. С помощью точно такого же рассуждения можно придти и к ложному заключению и «доказать» что угодно, например, что этот стол не деревянный.
Голоса: Докажите!
Учитель: Пожалуйста. Я рассуждаю так: «Если стол дубовый, то он деревянный; этот стол не дубовый, следовательно, этот стол не деревянный». Правильно ли я рассуждаю?
В классе смех.
Голоса: Неправильно! Этот же стол деревянный!
Ученик Н.: Эти два рассуждения неодинаковы. Я ведь рассуждал о параллелограмме, а Вы о столе. Стол может быть деревянным, не будучи дубовым, а параллелограмм не может быть ромбом, если его диагонали не взаимно перпендикулярны.
Учитель: Несмотря на то, что содержание этих двух рассуждений действительно различно, они одинаковы по своей форме, а о правильности рассуждений судят именно по их форме.
Голоса: А как узнать, одинакова ли форма рассуждений? Какие же рассуждения правильны, какие неправильны? А как получаются правильные рассуждения?
Учитель: Эти вопросы и другие, касающиеся рассуждений, можно объединить в один вопрос: как мы рассуждаем? Это действительно очень интересно и полезно знать. Если хотите, изучим этот вопрос на занятиях математического кружка.
Вопросу «Как мы рассуждаем?» были посвящены все занятия математического кружка в течение года (по одному занятию в неделю).
У читателя может возникнуть недоумение: почему вопрос о том, как мы рассуждаем, изучается на занятиях математического кружка? Ведь рассуждаем мы не только в математике.
Совершенно верно. Одни и те же рассуждения применяются в различных областях науки и в повседневной жизни. Но сами рассуждения лучше всего изучаются математическими методами.
Из этой книги вы узнаете, что изучалось в математическом кружке в течение целого года, ознакомитесь с необычной математикой, «математикой рассуждений».
Если, изучив материал этой небольшой книги, учащиеся научатся отличать правильные формы рассуждений от неправильных; если поймут, насколько неполно эта книга отвечает на вопрос «Как мы рассуждаем?» и станут искать более солидные книги, посвященные этому вопросу, буду считать свою цель достигнутой.
Автор.
I. Как мы рассуждаем?
Современная наука еще не нашла исчерпывающего ответа на этот вопрос, хотя он является предметом изучения уже в течение, по крайней мере, двух тысячелетий.
В этой небольшой книге познакомимся с тем, как мы рассуждаем, лишь в самых простых случаях. Поэтому с самого начала договоримся о том, что слово «рассуждение» будем понимать в довольно узком, но строго определенном смысле (в обыденной речи это слово применяется в очень широком смысле).
Под рассуждением будем понимать вывод из некоторых предложений, называемых посылками, нового предложения — заключения.
Безусловно, этим мы еще не раскрыли полностью смысл слова «рассуждение», так как смысл слова «вывод» не более понятен и тоже нуждается в разъяснении. Мы лишь установили, что слова «рассуждение» и «вывод» будем понимать как синонимы, то есть как слова, обозначающие одно и то же, один и тот же предмет (именно то, что мы хотим изучать). Но все же мы что-то уже уточнили: рассуждение состоит из предложений (посылок и заключения).
Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они составляют вместе рассуждение (вывод). Рассуждение может быть правильным или неправильным.
Вот и возникают вопросы: «Какое рассуждение следует считать правильным? Какой должна быть связь между посылками и заключением, чтобы рассуждение было правильным?»
Наши познания об окружающем мире, выдающиеся достижения современной науки, проникающей в тайны атома и космического пространства, являются результатом деятельности человеческого мозга, обладающего замечательной способностью рассуждать.
Трудно представить себе, какими скудными были бы наши знания, если бы человек не умел рассуждать. И, конечно, не были бы возможны не только космические полеты, но и многие другие достижения науки и культуры. Ведь то, что доступно нашему непосредственному наблюдению и опыту, дает нам очень мало сведений по сравнению с тем, что необходимо для раскрытия тайн окружающего нас мира, для покорения сил природы и направления их на службу человеку. Разумеется, сейчас уже имеются как опыты с элементарными частицами, составляющими атомное ядро, так и опыты космических полетов. Но ведь успешное проведение этих смелых опытов стало возможным лишь в результате точных расчетов и не менее точных, глубоких и сложных рассуждений.
Имея определенные знания о некоторых вещах, мы можем расширить их, не обращаясь больше к этим вещам, к опыту, лишь путем рассуждений. Из посылок, выражающих уже известные свойства вещей, мы выводим заключение о новом свойстве этих вещей.
Наши знания о свойствах вещей окружающего мира выражаются в предложениях. О предложении, которое верно отражает действительность, говорят, что оно истинно (или выражает истину). Если же предложение выражает свойство вещей, которого в действительности нет у этих вещей, то говорят, что оно ложно (или выражает ложь). Например, предложение «Город Минск — столица БССР» истинно (выражает истину), а предложение «Город Могилев — столица — БССР» ложно (выражает ложь).
Очевидно, что рассуждение можно считать правильным лишь тогда, когда с его помощью из истинных посылок нельзя получить ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заключения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет нам о нем неправильную информацию (ложные сведения). Поэтому, такое рассуждение следует считать неправильным, недопустимым.
Как мы рассуждаем? Вопрос этот сложен и многосторонен. Он может изучаться с различных точек зрения.
Можно интересоваться тем, как происходит в мозгу сам процесс рассуждения, механизм вывода одних предложений из других, как зарождаются новые мысли на базе уже ранее имевшихся. С этой стороны мыслительную деятельность человека изучают физиология и психология.
Но можно отвлечься от того, что происходит в мозгу человека, когда он рассуждает, и изучать лишь сами рассуждения, как готовый продукт мозга, в котором отражается взаимосвязь явлений окружающего мира.
С этой точки зрения мыслительную деятельность изучает логика. В таком плане мы и будем рассматривать рассуждения.
Внутреннее строение мозга нас не будет интересовать (для нас мозг представляет собой своеобразный «черный ящик»), так как мы будем рассматривать только форму (структуру) рассуждений. Нам важно лишь то, какая исходная информация в виде совокупности посылок поступает в мозг и какое он выдает заключение. Причем, если все посылки истинны, то заключение не может быть ложным.
На рисунке 1 через П1 П2, ..., Пn обозначены посылки, через З — заключение. Рассуждение будем записывать так:
П1 П2, ..., Пn / З
(над чертой — посылки, под чертой — заключение).
II. Немного истории
С древнейших времен люди искали ответ на вопрос: «Как мы рассуждаем?»
Рассуждения совершенно различного содержания, применяемые в различных областях науки и в повседневной жизни могут иметь одну и ту же форму, или структуру.
Например, рассуждения
«Все квадраты — ромбы, все ромбы — параллелограммы, следовательно, все квадраты — параллелограммы» (а);
«Все натуральные числа — целые, все целые числа — рациональные, следовательно, все натуральные числа — рациональные» (б);
«Все березы — деревья, все деревья — растения, следовательно, все березы — растения» (в), столь различные по содержанию, имеют одну и ту же форму:
«Все А суть В, все В суть С, следовательно, все А суть С». (Введением букв А, В, С мы отвлеклись от конкретного содержания каждого из приведенных рассуждений. Эти буквы обозначают:...
Дальше мы научимся «отделять» форму рассуждения от его содержания.)
В каждом из трех рассуждений (а) — (в) правильность вывода заключения из посылок определяется не конкретным содержанием рассуждения, а формой посылок и заключения, которая одинакова во всех трех рассуждениях.
Формальная логика именно потому называется «формальной», что она изучает лишь «формы» человеческих рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания.
Древнегреческий философ Аристотель (384—322 гг. до н. э.) по праву считается основоположником формальной логики. Логика Аристотеля дополнялась, изменялась и усовершенствовалась в течение многих веков. Однако значительного развития эта наука достигла лишь в XIX веке, когда в логике стали применяться математические методы. В результате этого возникла математическая логика.
Идею о возможности и целесообразности «математизации» логики, то есть построения логики в виде своеобразной математики, высказал еще в XVII веке известный немецкий математик и логик Г. В. Лейбниц (1646 — 1716). Ему и принадлежат первые в истории науки попытки представления логики в виде алгебраического исчисления. Однако, как особая область науки, математическая логика оформилась только в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Буля.
Джордж Буль (1815 — 1864) — ирландский математик (отец писательницы Э. Л. Войнич, автора известного романа «Овод»). Буль был выходцем из семьи ремесленника, а математикой овладел путем самообразования.
Первая работа Буля по логике — «Математический анализ логики» вышла в 1847 году. В том же году, несколько позже Буля, английский ученый Август де-Морган опубликовал работу, в которой также содержались начала математической логики. В 1854 году вышел основной труд Буля — «Исследование законов мысли».
В трудах Буля, де-Моргана и их последователей математическая логика оформилась как своеобразная алгебра — алгебра логики, впоследствии названная также булевой алгеброй (или алгеброй Буля).
Буль применил в логике методы современной ему алгебры и прежде всего составление и решение уравнений (разумеется, своеобразных, «логических», уравнений). Другой английский ученый, логик и экономист С. Джевонс (1835 — 1882) разработал логическое исчисление значительно более простое, чем исчисление Буля. Он построил «рассуждающую» машину, на которой с помощью механических переключений можно было осуществить логические выводы (машина Джевонса была затем воспроизведена в России).
Дальнейшее развитие алгебра логики получила в трудах немецкого математика Э. Шредера (1853 — 1901) и русского ученого П. С. Порецкого (1846 — 1907). Платон Сергеевич Порецкий в 1887 и 1888 гг., впервые в России, читал в Казанском университете лекции по математической логике.
К концу XIX века новым стимулом для дальнейшего развития математической логики послужили потребности в обосновании математических теорий. Для решения сложных задач были недостаточны ни традиционная логика Аристотеля, ни алгебра логики Буля и его последователей.
Под влиянием потребностей математики начался новый этап в развитии математической логики, связанный прежде всего с именем немецкого математика и логика Г. Фреге (1848 — 1925). Фреге стремился построить совершенный логический язык, приспособленный для математики.
В развитии математической логики и ее применении к обоснованию математики приняли участие выдающиеся математики й логики конца XIX и XX века, в том числе советские математики И. И. Жегалкин, В. И. Гливенко, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, Н. А. Шанин и их многочисленные ученики. В настоящее время советская научная школа математической логики занимает ведущее место в мировой науке.
Таким образом, вначале математическая логика возникла и развивалась под влиянием потребностей логики в точном и ясном (математическом) языке. В дальнейшем она продолжала развиваться уже под влиянием потребностей математики в точной и ясной логике. Иначе говоря, в начале математическая логика развивалась как «математика логики», затем- — как «логика математики».
В последнее время математическая логика нашла приложение в теории автоматических устройств и под влиянием потребностей этой теории выросло крупное направление в математической логике, которое можно условно назвать «технической» логикой. Еще в 1910 году П. С. Эренфест, преподававший в то время физику в Петербургском политехническом институте, указал на булеву алгебру как на математический аппарат для исследования структуры релейных (а именно телефонных) схем. В 30-х годах советским ученым В. И. Шестаковым и американским ученым К. Э. Шенноном были разработаны методы составления релейно-контактных схем, основанные на применении булевой алгебры.
В дальнейшем булева алгебра и другие разделы математической логики стали применяться в проектировании электронных вычислительных машин и других автоматических устройств.
Выдающиеся достижения советских ученых в области математической логики и ее приложений удостоены Ленинских премий. К ним относятся исследования академиков П. С. Новикова (1957), А. И. Мальцева (1964), В. М. Глушкова (1964), а также молодых математиков Ю. И. Журавлева, О. Б. Лупанова и С. В. Яблонского (1966).
Для анализа рассуждений нет надобности обращаться к громоздкому и несовершенному аппарату традиционной логики. Математическая логика разработала более совершенный и удобный аппарат. В настоящее время математическая логика охватывает такую обширную область науки, что содержание всей этой книги не может служить и элементарным введением в математическую логику.
Для изучения некоторых видов рассуждений мы воспользуемся в дальнейшем лишь начальными понятиями математической логики.
III. Высказывания и высказывательные формы
Мы уже знаем, что рассуждения состоят из предложений (посылок и заключения). Изучение рассуждений мы и начнем с изучения их составных частей, то есть предложений.
1. Предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно (верно) или ложно (неверно), назовем; высказыванием.
(Слово «высказывание» напоминает о том, что речь идет о предложении, в котором что-то о ком-то (или о чем-то) «высказывается», и если то, что высказывается верно (соответствует действительности), значит предложение — истинное высказывание, если же это неверно (не соответствует действительности), оно — ложное высказывание.)
Например, предложений
«1 < 3», (1)
«Город Минск — столица БССР», (2)
«1 не является простым числом», (3)
«П. И. Чайковский — автор оперы «Евгений Онегин» — (4) истинные высказывания, а предложения
«5 < 3», (5)
«Город Могилев — столица БССР», (6)
«Любое простое число — нечетное», (7)
«А. С. Пушкин — автор оперы «Евгений Онегин», (8)
«3+5=9» — (9)
ложные высказывания.
Приведенные высказывания имеют различное содержание, но у высказываний (1) — (4), также как у высказываний (5) — (9), есть общее свойство, которое нас и интересует: высказывания (1) — (4) истинны, высказывания (5) — (9) ложны.
Иногда, чтобы убедить собеседника в истинности какого-нибудь высказывания, сопоставляют с ним другое высказывание, истинность которого не вызывает сомнений. Например, имеет смысл говорить «Минск — красивый город, как дважды два четыре», хотя высказывания «Минск — красивый город» и «Дважды два четыре» различны по содержанию. Слово «как», связывающее эти два высказывания, относится не к их содержанию, а к истинности, и мы это понимаем так: высказывание «Минск — красивый город» также истинно, как и высказывание «Дважды два четыре».
Каждому высказыванию припишем значение истинности: истинному высказыванию — значение И (и с т и н а), ложному — значение Л (ложь).
Таким образом, можно сказать, что каждое из высказываний (1) — (4) имеет значение истинности И, а каждое из высказываний (5) — (9) имеет значение истинности Л. В каждой из этих групп высказываний общее то, что они имеют одно и то же значение истинности.
Ввиду того, что мы будем рассматривать высказывания только с точки зрения их значений истинности, в дальнейшем мы отождествим всякое высказывание с его значением истинности, то есть под «И» будем понимать и значение истинности (истина) и всякое истинное высказывание, под «Л» — значение истинности (ложь) и всякое ложное высказывание. Поэтому мы не будем различать между собой высказывания (1) — (4), ввиду того, что каждое из них есть И, и не будем различать высказывания (5) — (9), так как каждое из них есть Л.
Можно сказать, что всякое высказывание имеет значение истинности И или Л (выражает истину или ложь) или же, что всякое высказывание есть И или Л, в смысле истинное или ложное высказывание.
Совершенно очевидно также, что никакое высказывание не может быть одновременно и истинным и ложным. Например, высказывание «Этот стол черный» истинно, если стол, о котором идет речь, действительно черный, и ложно в противном случае. Но оно не может быть одновременно и истинным и ложным, так как никакой стол не может быть одновременно и черным и не черным.
Итак, всякое высказывание может быть истинным (И) или ложным (Л), но не может быть одновременно и истинным и ложным.
2. Допустим, что в записи предложения стерто одно слово, например, «Город . .. расположен на Днепре». Это предложение с «пустым местом» не представляет собой высказывание, так как не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Если пустое место заполнить названием какого-нибудь города, это предложение обратится в высказывание истинное или ложное в зависимости от того, название какого города подставили (если подставить, например, название «Могилев» или «Киев», получим истинное высказывание, если — «Минск», «Витебск» или «Варшава», получим ложное высказывание).
В математике очень часто пользуются предложениями с пустыми местами, но для большего удобства вместо пустых мест применяют переменные, обозначаемые буквами. Например, вместо «... < 3» пишут «х<3», где переменная х играет роль «держателя места», которое можно заполнить любым числом из некоторого множества чисел, называемого областью значений переменной х.
Предложение «х < 3» не является высказыванием, так как нельзя сказать, истинно оно или ложно. Если же вместо переменной х подставить какое-нибудь ее значение, то получим высказывание, истинное или ложное в зависимости от того, какое число подставлено.
Предложение «х + у = 10», содержащее две переменные, также не является высказыванием. Если же вместо переменных подставить какие-нибудь их значения, получим истинное или ложное высказывание в зависимости от того, какие значения подставлены.
Предложение, содержащее переменные (хотя бы одну) и обращающееся в высказывание при подстановке вместо переменных каких-нибудь их значений, называется высказывательной формой (или формой для высказываний).
Таким образом, всякие уравнения и неравенства, которые мы решаем в школьном курсе алгебры, представляют собой не что иное, как высказывательные формы, а их решения — значения переменной (или наборы значений переменных), при подстановке которых эти высказывательные формы обращаются в истинные высказывания.
Пусть, например, область значений переменной х в неравенстве «х < 3» — множество натуральных чисел. Тогда, подставляя последовательно вместо х ее значения 1, 2, 3, ..., получаем...
Нетрудно заметить, что только числа 1 и 2 обращают высказывательную форму «х < 3» в истинное высказывание. Следовательно, во множестве натуральных чисел неравенство «х < 3» имеет только два решения.
Решением уравнения «х + у — 10» называется пара значений переменных х и у, обращающих эту высказывательную форму в истинное высказывание. Если область значений этих переменных — множество натуральных чисел, то всевозможные решения найдем среди пар однозначных чисел:...
Выпишите из этой таблицы все решения уравнения «x+y=10» во множестве натуральных чисел. Сколько всего решений?
Под словом «предложение» в дальнейшем будем понимать «высказывание» или «высказывательную форму». Конечно, имеются и такие предложения, которые не являются ни высказываниями, ни высказывательными формами, как, например, вопросительные и восклицательные предложения. Но мы не будем рассматривать такие предложения.
Прежде всего займемся более детальным изучением высказываний.
3. В процессе рассуждения мы из одних высказываний формируем другие с помощью слов «не», «и», «или», «если..., то» и др., выражающих определенные «логические связи» (или «логические операции»).
Приведем пример. Пусть нам дан С треугольник АВС и точка D на стороне АС. Рис 2.
КОНЕЦ ФРАГМЕНТА
Последние страницы книги:
Следующие задачи решите самостоятельно любым способом. Можно решать одну и ту же задачу различными способами и сравнивать решения.
Задача 6. Четыре ученика (Андрей, Борис, Владимир и Геннадий) заняли первые четыре места на районной математической олимпиаде, причем никакие два из них не делили между собой какие-нибудь два места.
На вопрос, какое место занял каждый из них, участники дали три разных ответа:
1) Андрей — первое и Борис — второе;
2) Андрей — второе и Геннадий — третье;
3) Владимир — второе и Геннадий — четвертое, причем в каждом из ответов одна часть истинна, другая ложна.
Какое место занял каждый из четырех участников олимпиады?
Задача 7. На вопрос, кто из трех учащихся А, В и С изучал логику, был получен следующий ответ:
1) если изучал А, то изучал и В, но
2) неверно, что если изучал С, то изучал В.
Кто из них изучал логику?
Задача 8. На острове живут два племени: молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник, встретив туземца, спросил его, кто он такой, и, когда узнал, что он из племени молодцов, взял его с собой в качестве гида. Вскоре они увидели вдали другого туземца. Путешественник послал своего гида спросить его, к какому племени он принадлежит. Гид вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов.
К какому племени принадлежит гид?
Задача 9. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.
Браун: Я не делал этого. Джонс не делал этого.
Джонс: Браун не делал этого. Смит сделал это.
Смит: Я не делал этого. Браун сделал это.
Было установлено далее, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий раз солгал, раз сказал правду.
Кто совершил преступление?
Задача 10. Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные и один рыжие волосы, но что ни у одного из нас нет волос того цвета, на который указывает его фамилия», — заметил черноволосый. «Ты прав», — сказал Белов.
Какой цвет волос у художника?
|
