ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной общественной, производственной и научной жизни все большее значение приобретает человеческий фактор. Развитие машиностроения, робототехника постепенно освобождают человека от тяжелого, шаблонного физического труда, а развитие компьютеров позволяет надеяться, что и рутинные формы умственного труда будут переданы «умным» машинам (иногда говорят, что машины «заменяют» человека. Это, конечно, не так: машины, в том числе и компьютеры, освобождают человека от нетворческих форм труда).
Но освобождается человек не для пустого безделья, не для бездумного времяпрепровождения, а для того, чтобы иметь возможность творчески участвовать в различных сферах деятельности человеческого общества.
Способность человека быть творцом (в том числе и в области математцки) воспитывается прежде всего в школе. Уже простое самостоятельное решение задач по математике — работа творческая, но это — лишь начальная ступень развития творческих сил и способностей человека. Дальнейшие шаги по этому пути — умение самому поставить вопрос, самому сконструировать задачу, пусть вначале и не очень трудную. В предлагаемой книге делается попытка систематизировать этот вид творческой работы школьника по математике.
При этом автор стремился использовать опыт творческой работы в других видах человеческой деятельности, например, изобретательском деле. Подавляющее число изобретений делается так: в известном техническом устройстве, которое называется «прототипом», изобретатель замечает возможность его усовершенствования в каком-либо отношении: ввести новые детали, изменить схему взаимодействия имеющихся деталей, заменить материал, из которого изготовлены некоторые узлы механизма и т. п. В результате изобретается новое техническое устройство («изобретение»), в чем-то отличающееся от прототипа и обладающее новыми полезными свойствами. Только незначительная часть изобретений настолько оригинальна, что не имеет прототипа. Такие изобретения называются «пионерскими». Например, пионерским было, изобретение фонографа Эдисоном. Нечто подобное мы наблюдаем и в математическом творчестве. Поэтому в этой книге читателю, как правило, предлагается тоже «прототип» — задача для решения, а потом дается задание этот прототип как-то изменить. Конечно, невозможно подсказать подлинно новаторское творчество — это высшая ступень творческой деятельности человека. В математике, например, высшими творческими способностями был наделен Архимед, впервые ставший изучать такие математические объекты, которые мы сейчас называем бесконечно малыми, изучать их отношения (дифференциальные методы) и их суммы (интегральные методы). Прошло около двух тысяч лет, прежде чем эти идеи Архимеда были достаточно глубоко поняты математиками и получили дальнейшее развитие.
Но самые высшие формы творчества не появляются на пустом месте. Самый гениальный композитор до того, как написать свои выдающиеся произведения, учил нотную грамоту и разыгрывал «гаммы» — музыкальные упражнения.
Большинство заданий, приведенных в книге, и принадлежит к «математическим гаммам», т. е. к упражнениям, способствующим развитию математического мышления, математических сил и способностей.
Для читателей, которые желали бы, чтобы их фамилии были опубликованы в печати (весьма похвальное желание!), можно рекомендовать хорошо изучить примеры задач, составленных школьниками и опубликованных в журнале «Квант». Ознакомившись с ними, читатели наглядно увидят, какие требования предъявляет редакция журнала «Квант» к задачам, дойстойным быть опубликованными в журнале.
Небольшое число рассматриваемых вопросов показывает более высокий уровень математического творчества. Это, например, делается в § 7 «Пример более широкого обобщения» из первой части книги, где обобщается формула суммы внутренних углов выпуклого многоугольника, и в § 1. «Зависимость между углами и сторонами» в третьем разделе второй части книги, где обобщается теорема о зависимости между углами и сторонами равнобедренного треугольника. Подобного рода обобщения уже достойны того, чтобы быть опубликованными в каком-либо популярном журнале, например, «Математика в школе», «Квант» или в сборниках типа «Математическое просвещение». Если читателю в своей творческой лаборатории удастся сконструировать нечто подобное, он может рассчитывать на появление в печати небольшой статьи за своей подписью.
И наконец, в § 2 раздела IV второй части книги даны задания по выяснению свойств симплекса, при выполнении которых получается то, что математики называют «результатом». Конечно, эти результаты можно получить, лишь внимательно прочитав популярную книгу [VIII, 3], указанную в списке рекомендуемой литературы.
Последнее утверждение о «результатах» нуждается в пояснениях, иначе читатель, ознакомившись с § 1 первой части книги, может упрекнуть автора в противоречии. В указанном параграфе говорится о том, что принимать активное участие в разработке актуальных проблем математики можно, как правило, после изучения систематического курса современной математики в университете и аспирантуре. А выше говорилось, что можно прочитать популярную книгу [VIII, 3], — и, пожалуйста, выдавай «резуль-i таты»! Это противоречие следует разъяснить так. Для того чтобы принимать участие в решении проблем, действительно актуальных, бурно развивающихся направлений современной математики, совершенно необходимо серь-1 езное изучение этих разделов математической науки в университете и аспирантуре (часто параллельно участвуя в научной работе кафедры). Но в громадном здании математики существуют и симпатичные закоулки и тупички, мимо которых проходят те, кто желает работать, «на переднем крае», в гуще событий, посвящать свои .силы животрепещущим проблемам современной науки. Те же результаты, которые даны в IV разделе второй части книги, не являются ни актуальными, ни животрепещущими. Они принадлежат одному из тупичков в грандиозном здании математики. Поэтому, чтобы их получить, нужно лишь сравнительно недалеко выйти за рамки школьного курса математики, но нужно все-таки обладать хорошо развитым логическим мышлением. Серьезные математические журналы подобные результаты не публикуют. Но их можно опубликовать в научных изданиях меньшего ранга, например, в «Ученых записках», издаваемых институтами, в «Трудах» конференций, в сборниках статей и т. п.
Следовательно, в предлагаемой читателям книге дается вся градация творческих упражнений по математике от довольно простых до сравнительно сложных (до «результатов»), С какой целью это сделано? Ответим на этот вопрос подробно.
Ученик 9 — 10-х классов средней школы — предполагаемый читатель этой книги — должен уже серьезно задумываться над своим^ будущим, над выбором профессии. Среди множества профессий, для овладения которыми необходимо обучение в высшем учебном заведении, целый ряд профессий (число их все увеличивается) требуют основательного знания математики. Это — различные инженерные профессии, профессии экономиста, физика, преподавателя математики средней школы и др. И, наконец, профессия математика, основное занятие которого — развивать математику дальше, открывать новые математические соотношения, создавать новые математические теории или (что бывает-значительно чаще) преподавать математику в ВУЗах и университетах, параллельно занимаясь и математической наукой.
Для овладения этими профессиями необходимы, прежде всего, основательные знания школьного курса математики. Но для овладения профессией математика этого недостаточно. Требуется еще наличие творческих способностей в области математики. А что такое творческие способности? Четкого ответа на этот вопрос психология не дает. Но практика показывает: если школьник проявляет большой интерес к математике, если он с успехом, а часто и с удовольствием решает трудные математические задачи (или хотя бы разбирает их решения), помещенные в сборниках олимпиадных задач, в журнале «Квант», в книгах библиотеки математического кружка, то с большой уверенностью можно предположить, что у этого школьника имеются определенные математические способности.
Эту же цель — дать возможность школьнику проверить себя в области творческой работы по математике — преследует и данная книга.
Самостоятельное выполнение школьником даже более простых заданий, приведенных во второй части этой книги, — это творческая работа, показывающая наличие у школьника определенных математических способностей. Тем более наличие таких способностей выявится, если читатель сможет самостоятельно сконструировать задачу или сумеет обобщить какую-либо теорему из школьного курса математики. Более сложные и абстрактные задания, предложенные в разделе IV, покажут читателю, что математическое творчество — дело все-таки трудное, это не игра. Автор надеется также, что самостоятельное выполнение заданий, приведенных в книге, поможет школьнику развить имеющиеся у него математические способности, будет содействовать вдумчивому решению математических задач (нельзя ли эту задачу как-то усовершенствовать, изменить или обобщить?), критическому отношению к предложенному решению.
Способности и таланты человека часто многогранны, молодой человек внутренне ощущает интерес и стремление к различным родам деятельности, колеблется. Великий математик Карл Фридрих Гаусс (1777 — 1855) в молодости колебался: посвятить ли свои силы развитию филологии или математики? К счастью для математики, Гаусс избрал математику и еще при жизни был удостоен почетного неофициального титула: «Король математиков».
В пользу выбора математики в качестве профессии можно привести много доводов. Например, каждая истина, открытая в математике, — это вечная истина; человек, работающий творчески в области математики, ощущает всю красоту строгих логических построений математики, у него богатые эмоциональные и эстетические переживания. Математика все более проникает в другие науки. Математик, в случае возникновения у него интереса к другим областям знаний, может, как показывает практика, творчески работать и в новой для него области знаний.
— А где же польза для общества? — спросит читатель. Наибольшей пользой для общества является полное развитие у каждого человека его творческих сил и способностей.
Июль, 1985.
Автор приносит сердечную благодарность сотрудникам кафедры алгебры и геометрии Костромского пединститута к. ф.-м. и. И. Ш. Эпштейну, Н. И. Никулиной, В. А. Кротовой, к. ф.-м. н.
A. И. Сидорову, рецензентам: д. ф-м. н. Г. М. Валову, чл.-корр. АПН СССР Ю. М. Колягину, к. ф-м. н. К. И. Нешкову, доц.
B. В. Гузееву, к. ф-м. и. Г. А. Гальперину, методистам А. Ф. Дра-ничникову, 3. А. Огарковой, которые прочитали рукопись и своими предложениями способствовали ее усовершенствованию.
Замечания и предложения по книге направлять по адресу: 156021, Кострома, Лесная, 27, кв. 38. Тучнин Н. П.
Часть I.
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ТВОРЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
§ 1. Похвальное слово задачам. Модели творчества
Как только вы пришли в школу, то на первых же уроках математики вам пришлось не только учиться счету, но и решать задачи и «примеры» («примеры» — это тоже задачи, только словесное их содержание — определить порядок действий, выполнить действия, найти результат — подразумевается. Поэтому в дальнейшем мы во всех случаях будем говорить о задачах).
В средних и старших классах вы познакомились с различными математическими дисциплинами — арифметикой, алгеброй, геометрией, началами математического анализа. Если присмотреться внимательно к каждой из этих дисциплин, то можно убедиться, что существенным их содержанием являются тоже задачи. Некоторые задачи рассматриваются в основном тексте учебника — это различные теоремы, правила, формулы. Все эти задачи даются в тексте учебника с нх решениями: теоремы доказываются, правила и формулы выводятся. Основным содержанием помещенных в учебниках упражнений тоже являются задачи. В математических дисциплинах рассматриваемые задачи приведены в систему и решаются в определенной последовательности, когда доказательство новой теоремы опирается на доказательство ранее рассмотренных теорем или формулировки принятых аксиом, а выводы новых правил и формул даются с учетом ранее выведенных. При этом также последовательно вводятся новые математические понятия — объекты для изучения (например, числа целые, числа дробные; числа положительные, отрицательные и нуль; числа рациональные и иррациональные; числа комплексные и др.). В высших учебных заведениях изучаются новые математические дисциплины, все более абстрактные математические понятия, доказываются все более сложные математические теоремы.
Так постепенно человек, интересующийся математикой, знакомится с величественным, гигантски разросшимся зданием математики. Ученика, окончившего восьмилетнюю школу, можно сравнить с человеком, лишь взошедшим на первые ступени перед входом в это здание, он поднялся только над фундаментом, а этот фундамент был заложен древними греками более двух тысяч лет назад. Тот, кто окончил среднюю школу, вошел, так сказать, в вестибюль этого здания, и перед ним открыты двери в те части здания, которые были построены сравнительно недавно — 100—200 лет назад. Сам же он знает немногим более (а во многом и менее) того, что знали математики 300 лет назад. Чаще всего только тот, кто закончит математическое отделение университета, проучится еще три года в аспирантуре, тот, наконец, дойдет до тех разделов математических знаний, которые создаются в настоящее время, и сам сможет принять в этом созидании посильное участие. Именно здесь ставятся новые математические задачи и решаются, если их на данном этапе развития науки можно решить, или эти задачи делаются объектом изучения следующих поколений математиков. Для того чтобы подойти к этой передовой линии строительства новых частей математического здания, нужно затратить тысячи часов упорного труда, напряженных размышлений и исканий. Но лишь немногим из тех, кто сумеет пройти этот тяжелый путь, единицам из тысяч, удается заложить краеугольные камни действительно нового и оригинального, десяткам удается принять активное участие в строительстве этого нового, а остальным сотням и тысячам предстоит лишь проводить, так сказать, отделочные работы, выравнивать швы в кладке, шлифовать и украшать основную постройку. Но и это — важная, нужная и почетная I работа, а главное, интересная, творческая работа — лучшее вознаграждение за проделанный труд.
Как показывает история математики, основополагающие открытия немногих гениальных математиков опирались на результаты труда многих математиков, нашедших частные результаты в той или иной области математики. Так, например, целый ряд математиков (Кавальери, Кеплер, Ферма, Барроу и мн. др.) решили очень много частных задач на построение касательных, нахождение максимумов и минимумов (дифференциальные задачи), определение площадей и объемов (интегральные задачи), прежде, чем гениальные математики Ньютон и Лейбниц создали исчисление бесконечно малых величин (дифференциальное и интегральное исчисления).
Творчески работающий математик ставит и решает (если может решить) такие задачи, которые до него не ставились, пытается решить задачи, поставленные другими математиками, но не решенные ими. Как же он это делает? Это очень сложный вопрос, который не решен до сих пор наукой. Нет каких-то общепринятых рецептов и правил, применяя которые каждый смог бы совершить открытие, сделать изобретение, поставить и решить совершенно новую математическую задачу. Но некоторые пути, позволяющие сделать математическое открытие, отмечены в трудах известных математиков (см. книги, указанные в списке литературы в разделе «О математическом творчестве»). В этих книгах указаны, например, такие пути, ведущие к новым математическим открытиям, как рассуждения по аналогии, обобщение задачи, рассмотрение интересных частных случаев некоторой общей задачи (специализация), наблюдение и эксперимент и некоторые другие. Человек, изучающий математику, начинает применять эти приемы, как правило, сравнительно поздно. Но, может быть, неплохо было, если бы школьник, увлекающийся математикой, мог упражняться в конструировании задач, в обобщении и специализации, провел бы наблюдения, из которых можно было бы извлечь кое-что интересное?
Школьник, увлекающийся ботаникой или зоологией, не только изучает то, что до него открыли и описали другие, но сам проводит наблюдения и опыты над растениями и животными и может подметить такие детали их жизни и развития, которые до него никто не подмечал. Конструкторы самолетов или кораблей, вспоминая свои школьные годы, не раз отмечали, что начинали они с постройки простейших моделей, что это был их первый, небольшой, но очень важный шаг в овладении будущей профессией. На последующих страницах этой книги школьникам-любителям математики предлагаются упражнения, в которых на доступном ученику 9—10-х классов материале они могут развивать свои способности в конструировании задач, в обобщении й специализации, а также в критическом разборе некоторых ошибочных или недостаточно
полных рассуждений. Эти упражнения — своего рода модели математического творчества, математического открытия. Так же как модель самолета с резиновым моторчиком отличается от гигантского пассажирского лайнера, но все же демонстрирует некоторые принципы полета самолета, так и наши модели математического творчества служат этой же цели.
§ 2. Как пользоваться книгой
В первой части этой книги рассматриваются примеры выполнения различных творческих работ. С примерами следует внимательно ознакомиться. Это поможет при выполнении упражнений творческого характера во второй части книги.
Помещенные во второй части книги упражнения именуются заданиями. Задания обозначаются двумя числами: первое число указывает, в каком разделе второй части содержится это задание, а второе — порядковый номер задания в этом разделе. Слово «задание» часто опускается.
Задания, как правило, подразделяются на первоначальные и последующие, связанные с первоначальными. В первоначальном задании чаще всего предлагается рассмотреть и решить некоторую задачу. Эти задачи заимствованы из различных сборников олимпиадных задач или других книг и журналов. В немногих случаях задача составлена автором (111,2; 111,11; IV, 1; 11,9; 11,11; и. др.). В последующих заданиях даются указания о дальнейшей творческой работе над рассмотренной задачей. Эти задания составлены автором. Указания о творческой работе над решенной задачей могут быть различными: составить аналогичную задачу, обобщить рассмотренную задачу, рассмотреть интересные частные случаи и др.. Примеры такой творческой работы и приведены в следующих параграфах первой части книги. Если идея творческого задания заимствована, то дается ссылка на источник. Такая ссылка дается в квадратных скобках, первое число указывает раздел в списке литературы, второе — порядковый номер в этом разделе, а далее указаны нужные страницы этой книги или журнала. Ссылки даются в разделе VII. Такой порядок (решить первоначальную задачу,.а в дальнейшем творчески поработать над ней) применяется не всегда. Иногда сразу предлагается то или иное творческое задание (провести наблюдения и сделать из них выводы, исследовать какой-либо вопрос и др.).
Если выполнение задания вызывает затруднения, то сЛеДуеТ обратиться к разделу «Краткие указания», в котором дается идея решения задачи или выполнения данного задания, или обращается внимание на то, что может способствовать выполнению задания. Конечно, у читателя могут возникнуть идеи, совершенно отличные от тех, которые указаны автором, и если эти идеи приведут к цели, читателя следует поздравить.
Так как выполнение заданий .может быть сделано часто различными способами, то в книге приводятся лишь «Примерные ответы».
Некоторые задания поясняются рисунками (под рисунками понимаются чертежи, таблицы, схемы и т. п.). Каждый рисунок обозначается тем набором чисел, что и задание, к которому этот рисунок относится. Если к заданию дается несколько рисунков, то они различаются буквами, поставленными после последней цифры обозначения задания.
Рисунки, относящиеся к примерам, рассмотренным в первой части книги, обозначаются одним числом — номером параграфа, к которому этот рисунок относится. Если к данному параграфу относится несколько рисунков, то их обозначения отличаются буквами, поставленными после числа — номера соответствующего параграфа.
В книге используются обозначения (символы), применяемые в популярной литературе по математике для школьников, в частности, в журнале «Квант». Перечень этих символов дан в Приложении 2.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
