|
Предисловие
Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания, но до сих пор, пожалуй, единственным методом такого обучения были показ способов решения определенных видов задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими. Поэтому все пособия для учащихся по решению задач были построены в форме сборника задач (с ответами и с некоторыми указаниями к ним).
В последние годы появился ряд пособий, в которых излагаются некоторые общие указания и рекомендации (эвристики) по решению задач, по поиску этих решений. В первую очередь это книги Д. Пойя, некоторые удачные пособия для поступающих в вузы. Однако эти пособия излагают вопросы, связанные с решением математических задач, недостаточно полно, без необходимой системы, без учета тех реальных трудностей, с которыми сталкиваются учащиеся.
Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.
Возникла необходимость разработки таких пособий, которые помогли бы преодолеть указанные причины и дали возможность учащимся планомерно сформировать у себя нужные умения и навыки в решении математических задач. Эта книга — первая попытка создать такое пособие.
Первые издания данного пособия вызвали благожелательные отклики читателей. Особую благодарность выражаем К. К. Михайловой, А. И. Фейгиной, Е. М. Больсену, которые дали ряд ценных советов по совершенствованию книги. В третье издание пособия внесены необходимые исправления и уточнения. Будем весьма благодарны всем, кто пришлет свой отзыв в адрес издательства: 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, редакция математики.
К читателям
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня вашего математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.
И вот тут обнаруживается, что многие из вас не могут показать достаточные умения в решении задач. На всех экзаменах, как в школе, так и на приемных в вузы и техникумы, довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, но запутывается при решении весьма несложной задачи.
За время обучения в школе каждый из вас решает огромное число задач, порядка нескольких десятков тысяч. При этом все вы решаете одни и те же задачи. А в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.
В чем причина такого положения?
Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа.
У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство, если они не знают, в чем смысл доказательства? Многие учащиеся не знают, в чем смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить проверку решения и т. д.
Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач. Наблюдения показывают, что многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А поэтому, встретившись с задачей незнакомого типа, заявляют: «А мы такие задачи не решали». Как будто можно все виды задач заранее перерешать!
А можно ли научиться решать любые задачи?
Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ибо как бы вы хорошо ни научились их решать, всегда встретится такая задача, которую вы не сможете решить. Ведь ученые-математики тратят всю свою жизнь на то, чтобы найти решение некоторых задач. В математике известны задачи, которые ученые уже много лет решают и не могуть решить.
Но если говорить о школьных задачах или о задачах, которые предлагаются на разного рода экзаменах, то каждый (!) ученик в принципе может научиться их решать. Конечно, и здесь может встретиться такая задача, которую вы с ходу не сумеете решить. Понадобится посидеть над ней, изрядно поработать для того, чтобы ее решить, но в принципе любая из таких задач вам доступна, вы можете ее решить.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение — как объект конструирования и изобретения.
Эта книга предназначена для того, чтобы помочь вам научиться решать школьные и предлагающиеся на приемных экзаменах в вузы и техникумы математические задачи. Если вы твердо захотели научиться решать задачи, то запаситесь терпением и упорством. Эту книгу нужно не просто читать, а прорабатывать. Это значит, что ее нужно читать, как говорят, с карандашом и бумагой. Надо тщательно обдумывать все, что в ней написано, додумываться до сути прочитанного. Надо терпеливо и не спеша проделать все задания, которые в ней указаны. Главное, не спешите, читайте книгу медленно, вдумчиво, возвращаясь по мере надобности к прочитанному.
Вы должны понять, что только в результате самостоятельной и упорной работы можно действительно чему-то научиться, а тем более такому сложному умению, как умение решать математические задачи.
Данная книга состоит из двух взаимосвязанных частей. В первой части даются общие сведения о задачах и их решении, рассматриваются общие методы анализа задачи и поиска ее решения. Во второй части рассматриваются методы решения некоторых наиболее часто встречающихся видов задач. Приведенные в книге задачи взяты, как правило, из школьных учебников и некоторых экзаменационных работ.
Задания для самостоятельной работы снабжены указаниями и ответами, которые помещены в конце книги. Однако не спешите заглядывать в ответы. Сначала попытайтесь самостоятельно проверить свое решение, обдумать его и лишь затем сверить с приведенным ответом.
В случае расхождения с приведенным ответом выявите причину расхождения, затем найдите свои ошибки и исправьте их.
Если у вас хватит терпения и упорства проработать эту книгу до конца, то надеемся, что вы сами почувствуете, что приобрели достаточную уверенность, чтобы не теряться при встрече с незнакомой задачей. Думаем, что теперь вы будете с желанием и интересом решать встречающиеся вам задачи.
Желаем успеха!
Часть I
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
Глава I
СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ЗАДАЧИ
1.1. Что такое задача?
Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.
Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.
Начнем все это изучать.
Итак, что же такое задача?
Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи. Вот и начнем учиться производить анализ задачи.
1.2. Условия и требования задачи
Получив задачу, мы, естественно, ее внимательно читаем.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.
Первое, что мы можем заметить при чтении этой задачи, состоит в следующем: в ней имеются определенные утверждения и требования. В ней утверждается, что «в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см». Требование задачи состоит в том, что нужно «найти катеты треугольника».
Часто требование задачи формулируется в виде вопроса. Но всякий вопрос предполагает требование найти ответ на этот вопрос, а поэтому всякий вопрос можно заменить требованием.
Как видим, формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи1.
1 Заметим, что иногда условием задачи называют всю формулировку задачи, т. е. все условия и требования вместе.
Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи,— это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных (т. е. нерасчленимых дальше) условий; требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования.
В задаче 1 можно вычленить такие элементарные условия:
1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;
2) в этот треугольник вписана окружность;
3) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;
4) длина одного из этих отрезков равна 5 см;
5) длина другого отрезка равна 12 см.
Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных:
1) найти длину одного катета треугольника;
2) найти длину другого катета треугольника.
Расчленение формулировки задачи на условия и требования не
всегда легко произвести. В ряде случаев для этого нужно переосмыслить задачу, переформулировать ее. Например.
Задача 2. Сколько цифр содержит число 2100 (в десятичной системе счисления)?
Формулировка этой задачи состоит из одного вопроса. Но, вдумавшись в этот вопрос, мы можем из него вычленить такие условия:
1) 2100 есть натуральное число;
2) его можно записать обычным образом в виде многозначного числа в десятичной системе счисления.
Тогда требование этой задачи состоит в следующем: найти, сколько цифр содержит запись этого многозначного числа.
1.3. Направление анализа задач
Вернемся к задаче 2. Анализируя эту задачу, мы вычленили такие условия: 1) 2100 есть натуральное число; 2) его можно записать обычным образом в виде многозначного числа.
Почему именно эти условия вычленены из формулировки задачи? Ведь можно было вычленить и другие условия, например: 2100 есть произведение числа 2 само на себя сто раз или 2100 есть действительное число и т. д. Но почему-то мы выделили не эти условия, а указанные выше.
Все дело в том, что, производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи.
Действительно, в задаче 2 нам нужно узнать, сколько цифр содержит число 2100. Естественно, это предполагает, что, во-первых, это число рассматривается как натуральное (ибо обычно в записи чисел другого вида число цифр не подсчитывается, а то, что оно натуральное, следует из определения степени), а во-вторых, это натуральное число записано в обычном виде в форме многозначного числа. Эти два условия мы и выделили при анализе задачи. Рассмотрим еще примеры.
Задача 4. Катер прошел 20 км по течению реки и 20 км против течения реки. Затратит ли он на весь путь больше времени, чем ему требуется на прохождение 40 км в стоячей воде, меньше или столько же?
Первичный анализ этой задачи позволяет вычленить такие условия:
1) катер прошел 20 км по течению реки; 2) он прошел 20 км против течения реки; 3) он же прошел 40 км в стоячей воде.
Но, сопоставив эти условия с требованием задачи: узнать больше, меньше или столько же времени затратил катер на первый и второй пути вместе по сравнению с третьим, мы обнаруживаем недостаточность произведенного анализа. Эта недостаточность проявляется хотя бы в том, что в условиях ничего не говорится о времени, а требование задачи сводится к сравнению промежутков времени. Поэтому нужно продолжить анализ. Для этого вдумаемся в требование задачи. Надо сравнить время движения катера по реке с временем движения этого катера в стоячей воде. От чего зависит это время? Очевидно, от собственной скорости катера, от скорости течения реки и, конечно, пройденных расстояний. Но если пройденные расстояния в формулировке задачи даны, то скорости катера и реки даже не упоминаются. Как же быть? В таких случаях эти величины, без которых решение задачи невозможно, принимаются за неопределенные параметры. Положим, например, что собственная скорость катера равна v км/ч, а скорость течения реки а км/ч. Теперь мы можем вычленить такие условия:
1) собственная скорость катера v км/ч;
2) скорость течения реки а км/ч;
3) катер проплыл 20 км по течению реки;
4) он же проплыл 20 км против течения реки;
5) на весь путь туда и обратно по реке катер затратил U ч;
6) в стоячей воде катер проплыл 40 км;
7) на этот путь он затратил h ч.
Требование задачи: сравнить U и h и установить, равны ли они или нет, а если нет, то что больше.
Задача 5. Из всех цилиндров заданного объема найти цилиндр с наименьшей полной поверхностью.
Условие этой задачи («из всех цилиндров заданного объема») можно понимать так, что рассматривается множество цилиндров, объем которых равен некоторому числу V (здесь V является параметром). Требование задачи состоит в том, чтобы из заданного множества цилиндров найти такой, полная поверхность которого наименьшая.
Соотнесем это требование с указанным условием. Становится ясно, что полная поверхность рассматриваемых цилиндров выступает в качестве переменной величины. Надо найти минимум этой переменной. Для этого, очевидно, эту переменную следует представить как функцию от другой переменной. В качестве последней можно взять, например, радиус г основания цилиндра. Следовательно, надо найти такое значение г (при данном параметре К), при котором S(r), где S(r) — это функция поверхности цилиндра от радиуса г, принимает наименьшее значение.
Итак, условия данной задачи таковы:
1) рассматривается множество цилиндров, объем которых равен V (V—параметр);
2) радиус основания этих цилиндров есть переменная г;
3) полная поверхность S этих цилиндров есть некоторая функция S(r).
Требования задачи:
1) найти функцию S(r);
2) найти такое значение г, при котором S(r) принимает наименьшее значение.
Направленность анализа задачи на ее требования состоит еще
и в том, что особое внимание необходимо уделить выяснению сущности требования задачи, четкому определению того, что нужно найти, сделать в задаче.
Задание 2
Проанализируйте приведенные ниже задачи и укажите все условия и требования каждой из этих задач.
2.1. Открытый бак в форме прямоугольного параллелепипеда с квад ратным основанием должен вмещать V л жидкости. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?
2.2. Доказать равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
2.3. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном на правлении движутся 2 точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту Определить скорости точек.
1.4. Как устроены условия задачи?
Для некоторых более сложных задач рассмотренный выше анализ (расчленение задачи на отдельные условия и требования) целесообразно продолжить. А именно установить, как устроены (из чего состоят) вычлененные условия.
Задача 7. К двум окружностям, радиусы которых 4 см и 6 см, проведены внутренние общие касательные, оказавшиеся взаимно перпендикулярными. Вычислить расстояние между центрами окружностей.
Эта задача содержит такие условия:
1) дана окружность центра О1, радиус которой равен 4 см (здесь слово «дано» означает, что эта окружность построена из произвольного центра O2);
2) из некоторого другого центра Оч проведена окружность радиуса 6 см;
3) эти две окружности построены так, что к ним можно провести общие внутренние касательные;
4) общие внутренние касательные к этим двум окружностям взаимно перпендикулярны.
Анализируя эти условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. Так, объектом первого условия является окружность, а ее характеристикой: радиус этой окружности равен 4 см. Во втором условии объектом является также окружность с характеристикой: ее радиус равен 6 см. В третьем условии два объекта: указанные выше две окружности, а характеристикой является их взаимное расположение на плоскости: они расположены так, что к ним можно провести внутренние общие касательные. Наконец, четвертое условие содержит два объекта: общие внутренние касательные к окружностям, в качестве характеристики указано их отношение: они взаимно перпендикулярны.
Итак, мы видим, что в каждом условии задачи имеется один или два (в некоторых случаях больше) объекта; если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объектов два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов.
Довольно часто анализ задачи (ее расчленение на условия и требования, выделение в условиях объектов и их характеристик) сопряжен с большими трудностями. Приведем пример.
Задача 8. Лее окружности касаются в точке X и касаются одной и той же прямой соответственно в точках А и В. Какую фигуру образует множество всех точек X, если радиусы данных окружностей будут принимать всевозможные значения?
На первый взгляд кажется, что в задаче речь идет о двух окружностях. Но прочтите еще раз внимательно вопрос задачи: требуется установить, какую фигуру образуют точки X (точка X — переменная). Значит, речь идет о множествах окружностей и множестве точек их касания. Исходя из этого, задачу можно расчленить на такие условия:
1. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой в данной на ней точке А.
Здесь объектом является множество окружностей, а их характеристикой — свойство каждой окружности этого множества: она касается данной прямой в точке А.
2. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой (с той же стороны, что и первое множество окружностей) в данной точке В.
Объект и характеристика этого условия аналогичны первому условию.
3. Из этих двух множеств образованы такие пары окружностей, причем первый элемент пары есть окружность первого множества, а второй элемент пары — окружность второго множества, которые взаимно касаются.
Объектом этого условия является множество пар окружностей, а их характеристикой — отношение: окружности, входящие в пару, взаимно касаются.
Заметим, что в это множество пар окружностей войдут не все окружности первого и второго множеств окружностей, а лишь те из них, которые удовлетворяют указанному отношению (взаимное касание).
4. X — есть точка, в которой взаимно касаются соответствующие окружности, входящие в образованные пары (по третьему условию). Объектом этого условия является точка X (переменная точка), а ее характеристикой — свойство: эта точка есть точка касания окружностей, входящих в пару.
5. Множество точек X есть некоторая геометрическая фигура. Объектом условия является множество точек X взаимного касания окружностей, входящих в пары, а характеристикой — искомое свойство этого множества как геометрической фигуры.
Требование задачи состоит как раз в том, чтобы найти эту последнюю характеристику объекта пятого условия.
Некоторые из вас могут усомниться: нужен ли такой анализ для решения задачи? Ведь обычно, решая задачи, мы, мол, не производим такой анализ. Но это вам только кажется, что вы, решая задачи, не производите такого анализа. Вы просто не
замечаете этого, ибо обычно такой анализ производится устно по ходу решения и притом этот анализ мы большей частью не осознаем. Но мы его производим, ибо без него решить задачу невозможна!
Чтобы убедиться в этом, попробуйте решить какую-нибудь достаточно сложную задачу (лучше не очень знакомого вида) и, решая ее, все время старайтесь следить за своими мыслями, за своими безмолвными рассуждениями. Если вы внимательно будете фиксировать ход собственных мыслей, то убедитесь, что вы, по сути дела, производили такой же анализ, который мы рассмотрели выше. Но, конечно, вы не употребляли термины «условие», «требование», «объект», «характеристика» и т. д. Эти термины ввели для того, чтобы нам было легче с вами объясняться, чтобы, имея дело, например, с условием, каждый раз не объяснять, что это такое. Поэтому, если вы действительно хотите овладеть общими методами решения задач, то нужно научиться производить подробный их анализ. В дальнейшем вы сможете производить такой анализ устно, свернуто, не полностью, в той мере, в какой каждый из вас нуждается в нем, для того чтобы найти решение той или иной задачи.
Задание 3
Произведите анализ приведенных ниже задач по следующей форме:
№ задачи Условия Объекты условия Характеристики
3.1. Скорый поезд должен по расписанию пройти перегон АВ без остановок за 4 ч. Однако в 150 км от станции А он был задержан на 20 мин и, чтобы прибыть на станцию В по расписанию, должен был пройти оставшийся путь со скоростью, превышающей первоначальную на 15 км/ч. Найти длину перегона АВ.
3.2. Меньшие стороны двух подобных многоугольников 35 см и 21 см, а разность их периметров 40 см Определить периметр каждого многоугольника.
3.3. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из первого члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
1.5. Схематическая запись задач
Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Та словесная, описательная форма записи, которую мы использовали выше, конечно, малоудобна. Надо найти более удобную, более компактную и в то же время достаточно наглядную форму записи результатов анализа задач. Такой формой является схематическая запись задачи.
Заметим, что не для всякой задачи надо делать схематическую запись. Так, например, для задач по решению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводится обычно устно и никак не оформляется. Вообще для задач, которые записаны на символическом языке {с помощью общепринятых обозначений и символов), схематическая запись не нужна.
Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т. д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь только то, что необходимо для решения задачи; все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематической записи отбрасываются.
На практике используется много разных видов схематической записи задач. Покажем на примерах.
Задача 9. С одного участка собрали 1440 ц пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 га меньше, — 1080 ц. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором.
Анализ задачи показывает, что в ней рассматривается сбор урожая пшеницы с двух участков, при этом этот сбор характеризуется тремя величинами: массой собранной пшеницы, площадью участка и урожаем с одного гектара. Исходя из этого, составим таблицу для схематической записи условий и требований задачи. Неизвестные величины, встречающиеся в задаче, запишем в таблице буквами, притом искомое обозначим буквой х:...
В этой схематической записи выделены все условия, их объекты и характеристики. Указано и требование задачи: найти площадь первого участка. В то же время эта запись очень компактная, наглядная и полностью заменяет саму формулировку задачи.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
