ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1965 г. в серии «Математическая библиотечка» были изданы две книги, посвященные так называемой «комбинаторной геометрии», т. е. разделу геометрии, изучающему связанные с целыми числами комбинаторные задачи, относящиеся к дискретным расположениям точек или геометрических фигур 1). Можно считать, что настоящая книга продолжает этот ряд книг по комбинаторной геометрии, поскольку рассматриваемая здесь задача является, по существу, комбинаторной проблемой о расположениях на плоскости конечных систем квадратов, удовлетворяющих некоторым наперед заданным условиям.
Конечно, задачу, которой посвящена эта книга, вряд ли кто-либо сочтет особенно серьезной — это есть типичный вопрос из области «математических развлечений», какие охотно печатают журналы для семейного чтения в разделе «В субботний вечер». Однако вокруг на первый взгляд достаточно простого вопроса возникает так много любопытных соображений, относящихся к разным разделам математики и физики, вопрос этот с такой легкостью приводит к иным вопросам, явно безнадежно трудным (да и сама основная задача долго казалась неразрешимой даже таким серьезным ученым, к&к один из виднейших наших математиков первой половины этого века академик Н. Н. Лузин!), первоначальная постановка вопроса так естественно обрастает разнообразными аналогами и вариантами, что мне захотелось побеседовать на столь, казалось бы, несолидную тему (см., впрочем, список литературы на стр. 109—111) с начинающими математиками. Мне кажется, что книга эта, рассчитанная на интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы, на учителей математики и на будущих учителей — студентов математических отделений педагогических институтов или университетов, может дать некоторое представление о «математическом мышлении»: здесь мы имеем определенный «фрагмент математики», иллюстрирующий на одном примере некоторые достаточно характерные для математики ходы мысли, приемы, методы. Именно это обстоятельство явилось для автора книги решающим — здесь интересны, в первую очередь, не результаты, а приводящие к этим результатам рассуждения, заслуживает внимания не столько «что» (доказывается), сколько «как» (доказывается). И я хочу заранее подчеркнуть, что собранные в конце книги «нерешенные задачи» 1—X (точнее было бы сказать — задачи, решение которых неизвестно автору книги), большинство из которых являются, вероятно, достаточно трудными, не заслуживают, по моему мнению, того, чтобы тратить на них серьезные усилия: эти задачи приведены для иллюстрации сложности рассматриваемой здесь проблематики, а не как рекомендуемые темы самостоятельной научной работы. В противоположность этому включенные в основной текст книги задачи 1—20 (некоторые из которых, впрочем, тоже вовсе не просты) могут доставить читателю возможность полезной самопроверки; поэтому всякому, пожелавшему убедиться в полном овладении излагаемым в книге материалом, стоит попробовать решить эти задачи.
При написании этой книги автор частично использовал составленный им некогда цикл задач для указанной на стр. 111 книги [24]. Рукопись книги была внимательно прочитана В. Г. Болтянским, дружеская критика которого бесспорно способствовала улучшению текста. Много выиграла книга также от тщательной и компетентной работы ее редактора Ф. И. Кизнер. В процессе работы над книгой автор неоднократно советовался с А. М. Ягломом; при выполнении эскизов чертежей ему помогали М. С. Королева и Л. Н. Кузнецова. Автору приятно поблагодарить всех перечисленных лиц за помощь и внимание к его книге.
Февраль 1967, И. М. Яглом
ВВЕДЕНИЕ
Эта книга посвящена следующей задаче: разрезать квадрат К на некоторое число меньших квадратов. Правда, в такой формулировке поставленная задача не представляет ни малейшего интереса: совершенно ясно, как разрезать квадрат на 4 (рис. 1,а) или на 9 (рис. 1,6) меньших квадратов; если же не требовать, чтобы квадраты, на которые разрезается квадрат К, были обязательно все равны между собой, го число квадратов, на которые разрезается квадрат К, может быть сделано рапным и 6 (рис. 1,в) или 7 (рис. 1 ,г)
Однако стоит лишь шнребошиь, чтобы все квадраты, на которые разрешается квадрат К, были различны — и задача сразу же станонится совсем не простой.
В течение длительного времени математики предпола гали даже, что эта последняя задача вообще не имеет реше ния. В изданной в 1930 г. в Брюсселе книге известного знатока «математических развлечений» И. Крайчика [3]х) говорилось: «Невозможно разбить данный квадрат на конечное число попарно неравных квадратов. Это предложение, которое пока не доказано, по-видимому, верно; нам это сообщил г-н Лузин, профессор из Москвы». Более осторожно отозвался' об этой задаче замечательный польский математик Гуго Штейнгауз в своей книге «Математический калейдоскоп» [6], вышедшей в свет первым изданием во Львове в 1938 г.: «Неизвестно, можно ли разбить квадрат на неповторяющиевя квадраты» в); однако и он как будто предполагал, что это невозможно. Гипотеза о том, что квадрат нельзя разбить на попарно неравные квадраты, подкреплялась тем, что, хотя исследованиями японского математика М. А б е [4] и немецкого геометра А. Штёра [81 была установлена разрешимость многих задач, близких к задаче о разрезании квадрата на неповторяющиеся меньшие квадраты, сама эта задача оставалась нерешенной.
Известный немецкий математик и педагог Г. Мешковский рассказывает в своей книге [251, что немецкий геометр Р. Шпраг также первоначально принадлежал к лицам, считавшим, что квадрат нельзя разрезать на попарно различные квадраты. Он с увлечением искал доказательство этого — ив процессе поиска пришел к совершенно неожиданным для самого себя выводам: в 1939 г. Р. Шпраг [9] показал, что каждый квадрат можно разрезать на 55 попарно различных квадратов. Число 55 довольно скоро было уменьшено, причем неожиданным образом последующие успехи в рассматриваемом здесь направлении оказались связанными с физическими соображениями: очень существенную роль здесь сыграла установленная группой сотрудников Кембриджского университета в Англии связь между
*) Цифры в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы, помещенному в конце книги.
2) Это утверждение было воспроизведено и в вышедшем в 1949 г. русском переводе книги Штейнгауза, хотя к этому времени вопрос был уже решен.
ыдачей о разрезании квадрата и задачей составления электрической цепи, удовлетворяющей определенным условиям (см. § 2 настоящей книги). Опираясь на эту связь, в 1940 г. английские математики А. Г. С т о н и У. Т. Т а т т и установили, что каждый квадрат можно (и притом даже днумя различными способами!) разрезать на 28 попарно различных квадратов. В появившейся же почти сразу вслед ia этим большой статье английской группы (Р. Л. Б р у к с, К. А. Б. С м и т, А. Г. С т о н и У. Т. Т а т т и [13]) был приведен пример разбиения квадрата на 26 попарно неравных квадратов (это разбиение было воспроизведено в русских книгах [23] и [24]). Однако и это разбиение не является «самым экономным»: в 1948 г. в популярном среди шахматистов журнале Fairly Chess Review1) появилась заметка англичанина Ф. Г. Вилькокса [18], в которой он указал, что каждый квадрат можно разрезать на 24 попарно неравных квадрата (см. также [21]; это разбиение воспроизведено во 2-м издании «Математического калейдоскопа» Г. Штейнгауза [6], изданного в Варшаве в 1954 г.). До сих пор неизвестно, можно ли разрезать квадрат меньше чем на 24 попарно различных квадрата (см. задачу 1а) на стр. 105).
Можно пытаться разрезать на квадраты и иные выпуклые многоугольники. Впрочем, легко понять, что из квадратов (или даже из произвольных прямоугольников!) нельзя сложить никакого выпуклого многоугольника М, отличного от прямоугольника. В самом деле, нетрудно видеть, что если какой-то выпуклый многоугольник М покрыт прямоугольниками без просветов и двойных покрытий, то стороны всех этих прямоугольников взаимно параллельны. Действительно, выберем какую-либо сторону I многоугольника М. Очевидно, все прямоугольники, примыкающие к /, имеют сторону, параллельную все прямоугольники, примыкающие к какому-либо из уже рассмотренных прямоугольников, имеют еторону, параллельную I, и т. д. Так как таким путем мы можем исчерпать все прямоугольники покрытия, то все они имеют сторону, параллельную I.
Отсюда следует, что все стороны многоугольника М параллельны I или перпендикулярны к I. А так как выпуклый многоугольник не может иметь более двух параллельных сторон (это следует из определения выпуклого многоугольника как такого, который лежит по одну сторону от каждой своей стороны), то многоугольник Л1 должен быть прямо угольником.
Таким образом, остается выяснить, можно ли разрезать на попарно различные квадраты какой-пибо прямоугольник Р. В книге М. К р а й ч н к а |3], в которой одна глава была специально посвящена подобным вопросам, фигурировали лишь примеры разбиения прямоугольника на квадраты, некоторые из которых равны — возможно, что в 1930 г. он еще не знал, что существуют прямоугольники, которые можно разбить на неповторяющиеся квадраты. Однако в это время примеры такого рода уже были известны: по-видимому, первое разбиение прямоугольника на попарно неравные квадраты было указано польским математиком 3. Мороном [21 в 1925 г.—за 5 лет до выхода книги [3]. (В 1939 г. это разбиение было повторно найдено индийским математиком С. Ч о у л о й [71.) Г. Штейнгауз в первом издании книги [61 отмечает, что «из девяти квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 18 можно сложить прямоугольник» (разбиение Морона), но указывает, что «неизвестно, можно ли составить прямоугольник из неповторяющихся квадратов с "меньшими сторонами». Однако во втором издании той же книги уже сообщается, что указанное разбиение прямоугольника на девять попарно различных квадратов является самым простым из всех возможных разбиений такого рода — к моменту выхода в свет 2-го издания книги [61 вопрос о простейших разбиениях прямоугольников на попарно неравные квадраты был решен полностью. Второе разбиение прямоугольника на девять квадратов (со сторонами 2, 5, 7, 9, 16, 25, 33 и 36) было указано впервые в 1940 г. в уже называвшемся обширном мемуаре P. J1. Б р у к с а, К. А. Б. Смита, А. Г. Стона и У. Т. Т а т т и [131 и одновременно в маленькой заметке немецких геометров Г. Тёпфкена и Г. Рейхардта [101; при этом в обеих статьях указывалось, что меньше чем из девяти попарно различных квадратов сложить прямоугольник нельзя. В статье [13] были также указаны все возможные (довольно многочисленные!) разложения прямоугольника на 10 или 11 попарно неравных квадратов. В 1946—1947 гг. начатый английскими авторами список был продолжен голландским математиком Е. Я. Баукампм [151, который, опираясь на развитые в статье [13] методы, перечислил все возможные разложения прямоугольника на 9, 10, 11, 12 или 13 попарно неравных квадратов; всех таких разложений оказалось 585 (!). В 1941 г. на VII Московской математической олимпиаде учащимся 7—8 классов было предложено доказать, что ни из каких пчти попарно неравных квадратов сложить прямоугольник нельзя, а учащимся 9—10 классов была задана аналогичная задача, где только число «п ять» было заменено на число «шесть» (см. [30]); эти задачи получили довольно много решений и при разборе решений задач олимпиады школьникам было предложено дома попытаться самостоятельно установить, что также и из семи или из восьми попарно различных квадратов сложить прямоугольник нельзя.
После того как было показано, что по крайней мере некоторые прямоугольники — ив том числе все квадраты — можно разрезать на попарно неравные квадраты, встал вопрос о том, не справедливо ли это утверждение для всех без исключения прямоугольников. Впрочем, в такой форме утверждение было опровергнуто очень давно — задолго до установления всех упомянутых выше фактов. Еще в 1903 г. известный немецкий математик Макс Д е н опубликовал статью [11, которую можно считать первой в ряду интересующих нас здесь исследований; в этой статье он показал, что никакой прямоугольник с несоизмеримыми сторонами не может быть разрезан на квадраты (безразлично — попарно различные или такие, среди которых встречаются и одинаковые!). С другой стороны, было установлено, что весьма многие прямоугольники могут быть разбиты на попарно различные квадраты: еще в 1932 г. М. Абе [4] показал, что среди таких прямоугольников существуют сколь угодно близкие к квадрату, а в обширной диссертации А. Штёра [8] было установлено, что среди них есть прямоугольники, сколь угодно близкие к любому наперед заданному прямоугольнику.
Окончательное решение вопроса о том, какие прямоугольники можно разложить на попарно неравные квадраты, было дано Шпрагом, который, как уже отмечалось, первым решил и вопрос о возможности разбиения квадрата на попарно неравные квадраты. После работы М. Дена [1] «под подозрением» оставались лишь прямоугольники с соизмеримыми сторонами — и для таких прямоугольников Р. Ш п р а г [12] доказал, что каждый из них может быть разрезан на попарно неравные квадраты. Независимо от Шпрага тот же результат получили и Дена и Шпрага совмесгпо можно на шип. «сн кишит юоремой» рассматриваемой в этой мшге «icopintпя прямоугольников и квадратов»; в известном смысле они ci,отрывают» тематику, начинающуюся вынесенным и нн'олонок настоящей книги вопросом (см., впрочем, список нерешенных задач на стр. 105—108).
Другие многочисленные задачи н теоремы, родственные только что перечисленным, читатель найдет в тексте этой книги.
§ 1. СКЛАДЫВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА ИЗ КВАДРАТОВ И РАЗРЕЗАНИЕ КВАДРАТА
Начнем с вопроса о том, на какое наименьшее число попарно неравных квадратов можно разрезать прямоугольник. Так как нам удобнее будет при решении этой задачи считать заданным не прямоугольник, а квадраты, на которые прямоугольник разрезается, то мы будем здесь говорить о задаче составления прямоугольника из некоторого
числа попарно не равных друг другу квадратов.
Разумеется, ясно, что из двух неравных квадратов составить прямоугольник нельзя. Более того, понятно, что нельзя составить прямоугольник и из трех попарно неравных квадратов: ведь два приложенных друг к другу квадрата образуют, по крайней мере, один «пустой» угол, причем одна сторона этого «пустого» угла совпадает со стороной меньшего из двух квадратов (рис. 2), так что его никак нельзя заполнить квадратом, отличным по величине от уже имеющихся квадратов.
Аналогично можно доказать, что прямоугольник нельзя составить и из четырех квадратов; однако нам будет удобнее воспользоваться другим, несколько более общим соображением. А именно, докажем, что если из какого-то числа попарно различных квадратов сложен прямоугольник Г, то квадраты, примыкающие к самому маленькому квадрату Къ расположены либо так, как это изображено на рис. 3, а, либо так, как это изображено на рис. 3, б (эти два расположения несущественно отличаются друг от друга: одно получается из другого симметрией относительно прямой).
Действительно, пусть К A BCD — самый маленький квадрат из числа тех, которые составляют прямоугольник Р. Очевидно, что, по крайней мере, к одной из сторон квадрата К\, например к АВ, примыкает сторона какого-то другого квадрата По предположению, сторона квадрата К2 больше АВ\ поэтому одна из вершин А или В лежит внутри стороны квадрата К2. Пусть, например, этим свойством обладает вершина А. Покажем, что в этом случае имеет место расположение, изображенное на рис. 3,а*). Ясно, что возникающий при точке А пустой угол должен быть заполнен некоторым квадратом Д8. По предположению, сторона квадрата К8 больше стороны АР)\ поэтому при вершине D также образуется пустой угол, который должен заполняться квадратом /(4. Аналогично, пустой угол при вершине С заполняется квадратом /(5. Так как сторона квадрата Кь больше СВ, то она выступает за точку В; поэтому правая вершина квадрата /С2 лежит на стороне АВ квадрата К\, т. е. или лежит внутри АВ, или совпадает с В.
Покажем, что в действительности имеет место второй случай. В самом деле, если правая вершина квадрата К2
) Если бы внутри стороны квадрата Д2 лежала не вершина А, а вершина В, то вместо расположения рис. 3, а мы пришли бы к расположению рис. 3, б. лежит внутри стороны А В (рис. 4), то правая сторона квадрата и выступающая за ВС часть левой стороны квадрата Къ образуют «колодец», который уже квадрата Кг и поэтому может быть заполнен лишь квадратами, меньшими Кг- Но согласно сделанному нами предположению таких квадратов нет.
Из доказанного утверждения сразу вытекают два следствия:
1°. Число квадратов, из которых можно сложить прямоугольник Р, должно быть не меньше пяти.
2°. Самый маленький квадрат должен лежать внутри прямоугольника Р.
Итак, самый маленький квадрат и прилегающие к нему квадраты должны образовывать одну из двух зеркальносимметричных конфигураций, изображенных на рис. 3. Но если бы мы смогли сложить прямоугольник, исходя из одной из указанных конфигураций, то автоматически можно было бы сложить зеркально-симметричный (т. е. равный предшествующему!) прямоугольник, исходя из второй конфигурации; поэтому раз и навсегда условимся считать, что наименьший квадрат и прилегающие к нему квадраты образуют конфигурацию, изображенную на рис. 3, а.
Предположим, что из некоторых пяти квадратов можно сложить прямоугольник. Тогда «свободные» (т. е. не примыкающие к сторонам каких-либо других из этих пяти квадратов) стороны квадратов Ка, К3, К4 и Къ должны попарно принадлежать одной прямой, т. е. наши квадраты должны быть расположены так, как это изображено на рис. 5.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
