Многоцветная логика

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

      В отличие от шахматистов, проводящих различие между проблемистами (составителями шахматных задач: белые начинают и дают мат в заранее заданное число ходов) и композиторами (творцами шахматных этюдов, в которых число ходов особо не оговорено), математики до сих пор не придумали, как называть создателей математических задач. Между тем, существует особая категория людей, наделенных удивительным даром облекать свои научные и педагогические идеи в форму задач (достаточно вспомнить основателя школьного математического кружка при МГУ Д. О. Шклярского или «странствующего рыцаря» математики — члена Венгерской академии наук Пала Эрдёша). «Озадачивая» своего зримого или заочного собеседника, математики-проблемисты (назвать их «композиторами» трудно, хотя многие математические задачи по своему духу ближе к шахматным этюдам) побуждают его к активному овладению материалом, рождая чувство сопричастности к (большому или малому) математическому открытию. Среди проблемистов встречаются даже своего рода «воинствующие экстремисты», не признающие других способов обучения математике, кроме решения определенным образом подобранных серий задач. Сторонники более умеренного направления стремятся найти разумное сочетание задач и теоретических объяснений.
      О том, сколь интересных результатов позволяет достичь такой компромиссный подход, убедительно свидетельствует предлагаемая вниманию читателя книга Дьердя Бизама и Яноша Герцега «Многоцветная логика».
      Задавшись высокой целью — привить культуру мышления не только любителям математики, но и тем, кто не питает особой склонности к точным наукам, авторы неуклонно стремятся ее достичь. Для чтения «Многоцветной логики» необходимы не познания в математике (требования, предъявляемые к математической подготовке читателя, минимальны), а лишь готовность к сотрудничеству с авторами.
      В книге почти не встречаются одиночные задачи: Д. Визам и Я. Герцег отдают явное предпочтение упорядоченной серии перед хаотическим нагроможде-нием задач, сколь бы интересными они ни были. Задачи, входящие в каждую серию, находятся в «зацеплении», подобно зубцам в хорошо отлаженном механизме. Последовательность задач в серии и расположение самих серий тщательно продуманы и позволяют читателю совер* шать восхождение от простого к сложному постепенно, без излишнего напряжения. Как правило, авторы решают одну и ту же задачу не одним, а несколькими способами, подчеркивая не только достоинства, но и ограниченность и недостатки каждого метода. Сопоставляя решения аналогичных задач, они устанавливают подчас неожиданные связи и обнаруживают особенности решения, которые остались незамеченными при решении каждой задачи в отдельности. Перемежая решения примечаниями, небольшими теоретическими отступлениями, варьируя условия задач, обобщая и специализируя, Д. Визам и Я. Герцег как бы продолжают на страницах своей книги занятия в «Школе мышления», которые они с таким блеском и изобретательностью на протяжении многих лет ведут в венгерском научно-популярном еженедельнике Elet es Tudomdny («Жизнь и наука»). Великолепными наглядными пособиями к их курсу служат рисунки Гезы Фекете.
      В отличие от предыдущей книги Д. Бизама и Я. Герцега «Игра и логика» (русский перевод которой был выпущен издательством «Мир» в 1975 г.), носившей характер монографии, содержание «Многоцветной логики», как свидетельствует о том само название, более пестро и разнородно. Но сколь бы разнообразны ни были «цвета» отдельных глав, их сочетание не случайно и подчинено «сверхзадаче», которую авторы ни на миг не упускают из виду: научить читателя мыслить. Забота авторов об удобствах читателя не сводится к мелочной опеке и не сковывает его свободы. Они никогда не забывают о том, что «решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно только, подражая хорошим образцам и постепенно практикуясь» (Д. Пойя), и предоставляют читателю достаточный простор, позволяя ему испробовать свои силы.
      С выходом в свет «Многоцветной логики» занятия в «Школе мышления» не прекратились. Они продолжаются и поныне, а это позволяет надеяться на то, что в будущем Д. Бизам и Я. Герцег подарят нам еще не одну свою книгу.
      Ю. Данилов
     
      ПРЕДИСЛОВИЕ
     
      В нашей предыдущей книге «Игра и логика», посвященной лишь одному типу логических задач, мы стремились постепенно, переходя от простого к сложному, показать их неисчерпаемое многообразие. В конце книги мы упомянули о том, сколь обширно и многообразно царство логических задач, и выразили надежду, что нам удалось убедить читателя хотя бы в одном: по этому царству стоит прогуляться еще не раз и совершить не одну экскурсию. Теперь настала пора выполнить (разумеется, не в самом полном объеме) обещание, неявно содержавшееся в этих строках.
      В книге, предлагаемой на этот раз вашему вниманию, собраны фрагменты не одного, а многих «цветов», отнюдь не лишенные математического содержания. Однотипные задачи мы расположили в более или менее оправданной последовательности. Каждая такая серия задач посвящена какой-нибудь одной теме и содержит задачи разного «калибра» — от довольно простых до необычайно глубоких. Не исключено, что для решения отдельных задач придется провести небольшое математическое исследование.
      Вместе с тем мы считаем своим долгом предупредить тех, кто знаком с предыдущей нашей книгой, что настоящая книга совершенно независима от первой. Тем не менее основные принципы, которыми мы руководствовались при отборе задач, сохранились прежними.
      1. В книгу включены задачи, для решения которых не требуется особых математических познаний.
      2. При выборе внешней формы (формулировки) задачи мы всегда исходим из какой-нибудь обычной, знакомой или, наоборот, сказочной, шуточной или игровой, но непременно понятной ситуации. Это позволяет читателю без особых трудностей незаметно для себя освоить весьма важное понятие: построить математическую модель данной ситуации, образовать математическую абстракцию первой ступени.
      3. Каждая задача несет в себе определенную математическую идею. Рассуждения, используемые в решениях задач, по существу построены из тех же элементов, из которых состоят доказательства различных математических теорем. Поэтому наша книга представляет собой сборник не головоломок, а логических задач, для решения которых читатель может с успехом использовать навыки, приобретенные при решении обычных («школьных») математических задач, и применять рассуждения, систематически «работающие» в математике.
      4. Решения всех задач тщательно разобраны. Многим решениям предпосланы наводящие соображения, а сами решения снабжены краткими примечаниями.
      5. Мы стремились по мере возможности удовлетворить запросы различных категорий наших читателей. Поскольку в этой книге нам удалось осуществить свое намерение в гораздо большей степени, чем в предыдущей, мы считаем допустимым говорить о «многоцветной» логике. Помещенные в книге задачи не обязательно решать подряд. Читатель может прервать любую серию задач там, где сочтет нужным, и в зависимости от своего желания перейти к решению более простых или более сложных задач.
      Многие из приведенных в книге задач были опубликованы на страницах венгерского научно-популярного еженедельного журнала Elet es Tudomany («Жизнь и наука») в разделе «Школа мышления» (прежнее название «Задачи Мишки Логара»). Основная часть приемов и методов решений также сложилась в свое время в этом разделе.
      Среди задач, собранных в книге, имеются и такие, которые восходят к существовавшим ранее задачам. Известные задачи мы подвергли тщательному отбору, оставив лишь те из них, которые либо давно стали достоянием математического и школьного «фольклора»» либо обладают какой-нибудь замечательной особенностью, делающей их особенно пригодными для наших целей. Но даже такие заимствованные задачи почти всегда приводятся в расширенном или дополненном варианте. Что же касается решений, то они все без исключения принадлежат нам, что, впрочем, вполне понятно: у каждого автора имеются свои педагогические установки.
      В заключение мы хотели бы поблагодарить читателей раздела «Школа мышления», а также школьников, которые своими решениями, критическими замечаниями и оригинальными, порой весьма неожиданными идеями во многом помогли нам в работе над этой книгой. Мы выражаем свою глубокую признательность редакции журнала Elet es Tudomany, позволившей нам накопить обширный опыт, сотрудникам издательства Miiszaki Кб-nyvkiado и всем тем, кто принял участие в работе над книгой.
      Дьердь Базам, Янош Герцег.
      Будапешт, апрель 1974 г.
     
      КАК ЧИТАТЬ ЭТУ КНИГУ
     
      Эта книга, как и предыдущая, написана фрагментарно, с тем чтобы удовлетворить запросы как можно более широкого круга читателей. Найти в ней что-нибудь интересное для себя смогут и те, кто недавно пошел в школу, и те, кто успел закончить университет или другое высшее учебное заведение. Пользоваться книгой могут и те, кто стремится заполнить часы досуга, и те, кто хотел бы выработать у себя математическое мышление, и те, кто получил специальное математическое образование. Удовлетворить одновременно столь разнообразным и подчас даже противоречивым требованиям удается далеко не всегда, поэтому читатель, к какой бы категории он ни относился, поступит весьма осмотрительно, если не станет целиком пропускать ни одну из глав книги. Дело в том, что книга, которую он держит сейчас в руках, представляет собой не одну, а несколько книг, вложенных друг в друга, как матрешки или колена складной подзорной трубы.
      Приводимые ниже советы призваны помочь читателю выбрать ту из «книг», которая в наибольшей мере отвечает его вкусам, наклонностям и подготовке.
      К сведению всех читателей!
      О Приступать к чтению этой книги можно с любой главы. Все главы независимы. Мы советуем читать книгу последовательно, от начала до конца, но вовсе не настаиваем на своей рекомендации.
      О Содержание книги отнюдь не исчерпывается одними лишь занимательными задачами. В ней затронуто немало серьезных тем. Поэтому мы рекомендуем читателю перелистать ее так, как перелистывают романы: одну часть прочитать подробно, другую лишь бегло просмотреть.
      О Обратите внимание на шрифт, которым набраны отдельные части текста.
      Таким шрифтом набраны краткие, сжатые, но точные ответы на вопросы задачи и наиболее важные места в решениях.
      Таким шрифтом набраны сравнительно краткие, но полные доказательства, а также наиболее важные примечания.
      [Таким образом набраны те отдельные подробности, которые без вреда для понимания общего хода доказательства можно опустить, уточнения, пояснения, обобщения или замечания, устанавливающие взаимосвязи более общего характера.] О Довольно часто мы помещаем несколько решений одной и той же задачи. Последовательность, в которой приведены решения, не случайна, а всегда либо преследует определенную дидактическую цель, либо вызвана логикой изложения. (Например, первое решение, как правило, бывает наиболее простым и очевидным, но не всегда наиболее кратким и изящным.)
      Читателям, которых интересуют лишь занимательные задачи (жаждущим заполнить свой досуг разнообразными, пестрыми по своему содержанию головоломками), мы отнюдь не рекомендуем приниматься за решение первой попавшейся им на глаза задачи. Дело в том, что некоторые задачи (они отмечены специальным значком, изображающим сцепленные звенья цепи) связаны
      между собой, и для решения одной из них необходимо знать, как решается другая задача. (Возможно, что какая-нибудь задача окажется весьма твердым орешком и механизм ее решения станет ясен лишь после того, как на других задачах будут продемонстрированы «ловушки», подстерегающие неискушенного читателя, и возможные способы их преодоления.)
      Следует также сказать и о том, что в условиях одних задач мы неоднократно используем некоторые утверждения, содержащиеся в условиях предыдущих задач. Так происходит в тех случаях, когда при переходе к новой задаче возникает необходимость изменить лишь часть условий предыдущей задачи. В этом случае мы не всегда считаем нужным полностью выписывать условия новой задачи. Поэтому читателю, раскрывшему книгу наугад, мы советуем в таких случаях потратить несколько минут на то, чтобы собрать воедино все условия заинтересовавшей его задачи.
      Например, «поставщиками» условий для многих задач служат задачи 55, 86 и 168. Читателю, несомненно, придется познакомиться с правилами игры в «буквенное лото» (стр. 88) и с тем, как решать «кросснам-беры» (стр. 92). Только после этого он сможет выбрать себе по вкусу либо 24 задачи из главы IX, либо 22 задачи из главы X. Прежде чем приступать к решению любой из задач 148—151, необходимо предварительно получить общее представление о географии острова Буяна и обычаях его населения (стр. НО).
      В заключение мы хотим посоветовать читателю, даже если он не имеет желания систематически проштудировать всю книгу, воспользоваться приводимыми ниже рекомендациями. Это во многом облегчит ему решение задач.
      Читателю, склонному к систематической работе над книгой (обладающему математическими способностями и желающему развить их), мы рекомендуем выбрать какую-нибудь из глав и решать (более или менее подряд) задачи из нее до тех пор, пока это будет ему интересно. Иногда бывает достаточно, казалось бы, лишь слегка изменить условия задачи, чтобы она обрела нечто новое, заслуживающее внимания. В этом случае новая задача обретает особый интерес, разумеется, если возникший вариант старой задачи допускает решение.
      Тем, кто читает книгу не подряд, а выборочно, рекомендуем обратить внимание на «дорожные указатели», которыми отмечены задачи, образующие единую серию:
      — начало (первая задача) серии,
      — задача из серии,
      — конец (последняя задача) серии.
     
      Задачи, входящие в серию, не одинаковы: среди них всегда найдутся более трудные, а иногда и интересные, требующие для своего решения необычного поворота в рассуждениях.
      Иногда среди задач, принадлежащих к одной серии, встречаются задачи, не отмеченные «стрелкой». Такие задачи, хотя они и являются «посторонними», по своему содержанию тесно связаны с соседними задачами. (Именно поэтому мы и сочли возможнььм «вклинить» их между задачами серии.)
      Если задачи какой-нибудь главы читателю наскучат, рекомендуем пропустить ее и перейти к следующей главе или на время отложить книгу.
      По-видимому, излишне напоминать о том, что «тройка» задача — решение — примечания образует единое целое. Поэтому всякому, кто захочет ознакомиться с содержанием книги, необходимо прочитать от начала до конца все элементы «тройки» независимо от того, собирается он самостоятельно решать задачи или нет. Впрочем, читателю весьма полезно сравнить собственное решение с тем, которое приведено в нашей книге, сопоставить рассуждения, лежащие в основе обоих решений. Может случиться, что предложенное читателем решение окажется проще нашего.
      Менее терпеливый читатель может пропускать те части решений и даже условий задач, которые набраны
      таким образом.
      Это позволит ему без ущерба для понимания несколько сократить текст.
      Читателю, более искушенному в математике, такой значок:
      М — укажет задачу, на которую требуется обратить особое внимание.
      М — таким значком «более высокой ступени» отмечены задачи, которые представляют (если они не встречались раньше) особое «лакомство» для любителей математики.
     
      Самым юным читателям предназначены задачи, отмеченные знаком «игрушка»:
      Наш опыт позволяет надеяться, что с этими задачами с успехом справятся дети в возрасте от 6 до 12 лет. (В крайнем случае они не дадут столь полного логического обоснования полученного решения, как их более старшие товарищи.)
     
      Преподавателю математики нам бы хотелось дать несколько советов, которые должны облегчить ему работу с нашей книгой.
      I. Начнем с небольшого «предметного указателя» — классификации задач по их математическому содержанию. Затронутый нами круг тем носит довольно случайный характер. Он определяется главным образом методами решения задач. Мы отнюдь не ставили себе целью дать как можно более полный перечень разделов современной математики.
      Аналогия, сведение одной задачи к другой: (...)
     
     
      ЗАДАЧИ
     
      Часть I
      Небольшая разминка
     
      1. ЗАБЫТЫЙ НОМЕР ТЕЛЕФОНА
     
      Как-то раз в одной пештской1 компании произошел такой разговор:
      1 Дунай делит Будапешт на две части — Пешт и Буду.— Прим, перев.
      — Совершенно необходимо позвонить Пиште, и чем быстрее, тем лучше! — воскликнула Кати.
      Однако номера телефона Пишты никто из присутствующих не помнил. Заглянули в телефонный справочник, но безуспешно: справочник вышел до того, как Пишта обрел телефон. Друзьям не оставалось ничего другого, как общими усилиями восстановить хотя бы отрывочные сведения о забытом номере.
      — Я хорошо помню, что вторая половина в номере телефона Пишты в четыре раза больше первой, — заявила Кати.
      — Шестизначные телефонные номера принято разбивать не на две, а на три части, — возразил Йошка. —-Я припоминаю, что в номере Пишты две средние цифры, третья и четвертая, одинаковые.
      — А мне кажется, что вторая цифра вдвое больше первой, — добавила Илонка.
      Наконец очередь дошла до четвертого члена компании — Фери. Ему удалось припомнить, что в нужном номере третья цифра либо в 2 раза, либо на 2 единицы больше второй и какая-то из этих двух цифр, то ли вторая, то ли третья, — двойка, но какая именно, Фери с уверенностью сказать не мог.
      Вот и все, что удалось вспомнить друзьям.
      Какой номер телефона у Пишты?
     
      2. СТРАННАЯ ТАКТИКА
     
      а. Играя в лото (речь идет об игре, аналогичной нашему спортлото. — Прим, перев.), дядюшка Янош предпочитал придерживаться довольно странной тактики: крестики на карточке он расставлял так, что получалась какая-нибудь симметричная фигура (рис. 1).
      Приятель дядюшки с неодобрением относился к причудам своего друга.
      — Ты осел, Янош! — не уставал твердить он. — Где это видано, чтобы выигрышные номера выстраивались в симметричные фигуры? Насколько мне известно, такие номера всегда располагаются на карточке в полном беспорядке. Если хочешь выиграть, ставь крестики наугад!
      Но дядюшка Янош лишь отмахивался и вопреки всем увещеваниям поступал по-своему и твердил:
      — Не все ли равно?
      Кто прав: дядюшка Янош или его приятель?
     
      б. Постоянные нападки приятеля в конце концов возымели свое действие: дядюшка Янош больше не расставляет крестики на карточке лото в виде симметричных фигур. Однако теперь он стал придерживаться еще более странной тактики: перед очередным розыгрышем тиража он отмечает крестиками те самые 5 номеров, на которые пал выигрыш на прошлой неделе. Новая тактика вызвала резкие возражения у жены дядюшки Яноша:
      — В своем ли ты уме? — заявила эта достойная женщина. — Вот уже двадцать лет, как люди играют в лото, а случалось ли так, чтобы выигрыш дважды выпадал на одни и те же 5 номеров? Да такого никогда не бывало! Один-единственный номер еще может иногда выпасть повторно, да и то лишь изредка! Было бы разумнее выбирать наугад один из номеров, на которые пал выигрыш на прошлой неделе, а остальные крестики расставить наугад в других клетках!
      Однако и своей супруге дядкЯпка Янош отвечал так же, как и приятелю:
      — Не все ли равно?
      Кто прав: дядюшка Янош или его супруга?
     
      [Хотя игра в лото приобрела международную известность, мы все же считаем нелишним напомнить, в чем состоит ее суть. Из целых чисел (номеров) от 1 до 90 наугад извлекают 5 чисел. Выигравшим считается тот, кто угадает (разумеется, до того, как состоится тираж лото) по крайней мере 2 из пяти выпавших номеров. Чем больше номеров угадал участник игры (он может правильно назвать 2,3,4 или 5 номеров), тем больше размеры причитающегося ему выигрыша.
      Устроители тиражей тщательно следят за тем,чтобы шансы извлечь любой из 90 номеров были равными. Следовательно, какую бы комбинацию из пяти номеров ни выбрал любитель лото, она имеет такие же шансы стать выигрышной, как и любая другая комбинация из пяти номеров.]
     
      3. СТАРАЯ ИГРА ПО НОВЫМ ПРАВИЛАМ
     
      Пересмотреть традиционные правила игры в лото предложили не мы, а Пишта. По его мнению, разыгрывать тиражи следует на вечерах в клубе, а для того, чтобы сделать игру более привлекательной и расширить круг участников, правильно угадавших хотя бы часть номеров, вытягивать наугад не 5, а 85 номеров. Полный выигрыш, по замыслу Пишты, получает тот, кто правильно угадает все 85 номеров.
      В каком варианте лото выиграть труднее: в предложенном Пиштой или в традиционном?
     
      4. «МЕТКИЕ ПОПАДАНИЯ» В НОВОМ ЛОТО
      Десять любителей лото заполнили по одной карточке для игры по новым правилам («по системе Пишты»): каждый зачеркнул на своей карточке по 85 номеров.
      Приблизительно сколько из них сумели правильно угадать не менее 75 номеров?
     
      5. ШАНСЫ НА ВЫИГРЫШ В НОВОМ ЛОТО
      Что труднее:
      а. Угадать 84 номера в новом лото или 4 номера в традиционном?
      б. Угадать 83 номера в новом лото или 3 номера в традиционном?
      в. Угадать 82 номера в новом лото или 2 номера в традиционном?
     
      6. НОВЫЕ ВАРИАНТЫ ИГРЫ В ЛОТО
     
      Пожалуйста, не поймите нас превратно: мы отнюдь не намерены предлагать вашему вниманию «абсолютно надежные», «беспроигрышные» системы игры в лото.
      Речь пойдет совсем не о том. Когда стало известно о предложенной Пиштой реформе лото, многие были весь-
      ма раздосадованы тем, что эта мысль прежде не пришла им в голову, и стали наперебой предлагать свои собственные новые варианты игры. Из нашей задачи 3
      «ниспровергатели» традиционного лото сумели извлечь немало поучительного для себя и ввели в свои варианты более радикальные новшества: например, Йошка предложил вытягивать наугад 25 номеров из 60, а Аннушка — 30 номеров из 55.
      В каком из этих двух вариантов лото труднее выиграть?
     
      7. СЕАНС ОДНОВРЕМЕННОЙ ИГРЫ В ШАХМАТЫ
     
      Андраш и Бела — юные, подающие большие надежды шахматисты. Хотя они оба еще не окончили средней школы, взрослые шахматисты хорошо знают и высоко ценят их спортивные достижения.
      Младший брат Андраша Фери учится в начальной школе. Он обладает недюжинными математическими способностями, но играть в шахматы начал совсем недавно и знает лишь, как ходят различные фигуры. И все же, когда Андраш и Бела рассказали ему, как гроссмейстеры без труда проводят сеансы одновременной игры против 40—50 партнеров, он тотчас воскликнул:
      — Я готов хоть сейчас провести сеанс одновременной игры против двух партнеров! Не хотите ли сыграть со мной?
      Андраш и его друг онемели от неожиданности. Какой-то младшеклассник, едва научившийся передвигать фигуры, осмеливается бросить дерзкий вызов им, шахматистам сильным и многоопытным! Подумать только, он собирается играть с ними одновременно на двух досках!
      — Вы не ослышались, — подтвердил свое предложение Фери. — Только условимся, что я сам выберу, какими фигурами играть против вас, черными или белыми. Впрочем, пусть Бела выберет, какими фигурами он будет играть против меня, а я выберу, какими фигурами мне играть против Андраша.
      Полагая, что предложение Фери не более чем шутка, Андраш и Бела согласились и расставили фигуры на двух досках. Андраш не удержался, чтобы не заметить:
      — Ну, братец, если ты не проиграешь хотя бы одному из нас, придется мне съесть свою шапку!
      К концу встречи над шапкой Андраша нависла серьезная угроза. Она осталась целой и невредимой лишь потому, что Фери великодушно освободил старшего брата от опрометчиво данного им обещания.
      Каким образом Фери удалось не проиграть по крайней мере одну партию?
      (По силе игры Фери уступал не только Андрашу, но и Беле. Разумеется, предположение о том, будто Фери мог пользоваться советами какого-нибудь четвертого лица, не упомянутого в условиях задачи, следует отбросить как совершенно необоснованное.
      Цвет фигур в шахматах имеет большое значение: по существующим правилам первый ход делают белые. В сеансах одновременной игры контрольное время не устанавливается.)
     
      10. КОНФЛИКТ
     
      Слух об образцово налаженной в бригаде Кереки взаимопомощи и простоте применяемого способа расчетов разнесся по другим бригадам. У бригады Кереки появились многочисленные последователи, в том числе бригада Шипоша. Но члены этих бригад не освободили своих бригадиров от обязанности вести «свою бухгалтерию»: во-первых, те были не так уж сильно заняты, а, во-вторых, сами рабочие еще не поднаторели в расчетах.
      Разумеется, со временем они также приобрели необходимые навыки и стали поговаривать о том, что одного члена бригады можно освободить от ведения «лицевого счета». В этой связи были названы два кандидата. Работниками оба зарекомендовали себя отличными, но орудовать инструментом им было гораздо привычнее, чем карандашом.
      Один из них, не разобравшись, в чем дело, решил, что его уже освободили от ненавистной «бухгалтерии», и самовольно перестал вести свои записи. Особой беды от этого не было бы, если бы одновременно с ним и второй кандидат, не сказав никому ни слова, также не прекратил ведение своего лицевого счета, пребывая в полной уверенности, что один человек в бригаде всегда может позволить себе такую роскошь.
      О том, что два члена бригады по недоразумению забросили «отчетность», остальные узнали, лишь когда захотели рассчитаться друг с другом.
      Бригадир, дядюшка Андраш, обругал обоих нарушителей финансовой дисциплины:
      — Нужно же быть такими разгильдяями! Ведь теперь из-за вас мы не сможем рассчитаться друг с другом, хотя у всех нас лицевые счета в полном порядке!
      а. Верно ли это утверждение?
      б. Как обстояло бы дело в том случае, если бы в бригаде оказалось более двух человек, самовольно переставших заниматься «бухгалтерией»?
     
      11. ПРОКЛАДКА КАБЕЛЯ
     
      Электрик, которого вы видите на рисунке, ломает голову над нелегкой задачей.
      По дну реки проложен кабель. Под его наружной оболочкой скрыто 49 жил — 49 изолированных проводов. Вопреки установившейся практике все жилы имеют изоляцию одного цвета, поэтому определить по цвету изоляции, какой из концов проводов, торчащих из кабеля на одном берегу реки, соответствует тому или иному концу провода на другом берегу реки, не представляется возможным. (Мы говорим, что два конца «соответствуют» друг другу, если речь идет о двух концах одного и того же провода.) Электрик должен, определив концы проводов, прикрепить к ним бирки и соответствующие концы перенумеровать одинаковыми числами. Для этого в его распоряжении имеются проходящая вдоль берега реки линия электропередачи, пробник и лодка, на которой электрик может переправляться через реку.
      Сколько раз придется электрику переправиться через реку туда и обратно, чтобы решить свою задачу?
      (Пробник позволяет определять, находится ли данный провод под напряжением. Если пробником прикоснуться к проводнику, находящемуся под напряжением, на его конце загорится лампочка.)
     
      12. НЕЛЬЗЯ ЛИ БЫСТРЕЕ?
      Описанный в решении предыдущей задачи способ определения «соответствующих» концов 49-жильного кабеля достаточно трудоемок, хотя электрику понадобилось всего лишь один раз переправиться на лодке с одного берега реки на другой и вернуться обратно. Но и после возвращения ему пришлось изрядно повозиться, прежде чем он смог выполнить порученное дело.
      Нельзя ли как-нибудь сократить работу электрика?
     
      13. ОБОБЩЕНИЕ
      Достаточно ли электрику из задачи 12 лишь один раз переправиться с одного берега на другой и вернуться обратно, если под оболочкой кабеля, проложенного по дну реки, скрыто не 49, а любое другое, большее или меньшее, число жил?