Логика и проблемы обучения

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Перед советской средней школой, всей системой образования страны стоят ответственные задачи повышения уровня, улучшения качества педагогического процесса. Утвержденные XXV съездом КПСС «Основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976 — 1980 годы» предусматривают «дальнейшее развитие системы народного образования в соответствии с требованиями научно-технического прогресса и задачами неуклонного повышения культурно-технического и образовательного уровня трудящихся, улучшения подготовки квалифицированных кадров рабочих и специалистов».
      Из решений съезда вытекает, что педагогическая наука должна ускорить разработку научных основ повышения эффективности обучения и воспитания подрастающих поколений; необходимо дальнейшее совершенствование направлений, характера и методов исследования проблем дидактики и теории воспитания; на службу педагогическому процессу должны быть поставлены новейшие достижения человеческого познания в самых различных областях.
      В педагогической психологии, в теории обучения и воспитания и других разделах педагогики широко испэлззуотся различные идеи и методы, оправдавшие себя в других науках, в том числе и математико-кибернетические. Контакт с идеями кибернетики для педагогической науки ценен, в частности, тем, что на его основе в исследовательскую сферу педагогики проникают методы точных — использующих математику — областей знания. Это необходимо для построения математических моделей обучения — в целях теоретического отображения определенных сторон обучения, решения тех или иных дидактических и методических задач, в частности для дальнейшей разработки ряда вопросов дидактического программирования, теории и практики применения обучающих машин.
      Среди новых направлений педагогического поиска, связанных с кибернетикой, необходимое место занимает применение понятии,- и средств современной логики, нацеленное на решение теоретических и практических проблем обучения. Здесь уместно напомнить, что в развитии знания второй половины нашего века логика является одной из самых быстро прогрессирующих наук, что она достигла серьезных успехов и в настоящее время представляет собой развитую научную дисциплину, имеющую ряд разделов и направлений. Особенно привлекают в этой науке разнообразные и эффективные ее практические применения. Теперь даже неспециалисты знают, что без достижений математической логики невозможным было бы возникновение кибернетики х, разработка и программирование электронных цифровых вычислительных и управляющих машин. Современная логика стала одной из теоретических основ автоматики. Она нашла успешный выход и в другие научные области, например науку о языке — для решения проблем математической лингвистики и автоматической обработки текстовой информации, в некоторые области нейрофизиологии (теория формальных нервных сетей) и др. Учитывая ту большую помощь, которую оказывает современная логика в решении многих научных и технических проблем, можно ожидать, что и в применении к вопросам совершенствования учебного процесса она даст положительные результаты.
      Приложение логики к задачам обучения диктуется, однако, не только, если так можно выразиться, соображениями внешнего порядка. Оно обусловлено прежде всего самой сущностью процесса обучения. Действительно, обучение (учение, научение) как специфический познавательный процесс на ступени абстрактного мышления протекает в определенных логических формах. Изучение этих форм, целенаправленное применение полученных о них знаний необходимы для успешного осуществления педагогического процесса. Опора на законы логики имеет первостепенное значение при осуществлении проблемности в изучении основ наук о природе и обществе в школе.
      Конечно, приведенные соображения лишь в самом общем виде обосновывают значимость теоретических построений логики — выявляемых ею логических форм и категорий, законов и операций, создаваемых в ее рамках исчислений и моделей — для теории и практики обучения. Наряду с ними правильность такого подхода к делу подтверждается многочисленными дидактическими, методическими и психологическими работами, в той или иной мере использующими данные логики для решения вопросов обучения. Правда, многие из этих работ принципиально новых результатов не принесли, поскольку строились на базе традиционной логики, запас средств которой явно недостаточен для решения таких сложных проблем, какими являются проблемы обучения. Лишь применение современной логики, с ее развитой и гибкой системой понятий, разработанным формальным аппаратом, с ее проверенными рядом наук и разделов техники математическими методами, обещает, как можно надеяться, прогресс в комплексных дидактико-логических исследованиях. Предлагаемый вниманию читателя сборник имеет целью наметить некоторые пути в этом направлении.
      Статьи сборника распадаются как бы на две части. Одну из них составляют работы относительно общего характера, в которых обсуждаются некоторые принципиальные вопросы исследования логики обучения и логических средств повышения эффективности педагогического процесса; другая включает исследования, направленные на улучшение конкретных методик преподавания. Остановимся вкратце на содержании сборника.
      В статье А. И. Уемова «Аналогия и учебный процесс» рассматриваются вопросы применения в обучении правдоподобных рассуждений, прежде всего аналогии. Надо сказать, что в современной науке (физике, биологии, математике и др.) и технике выводы по аналогии приобретают возрастающую значимость, что обусловлено, в частности, широким применением моделирования как определенного исследовательского метода. Значительную ценность представляет аналогия и для школьного преподавания, для изучения различных учебных предметов — от математики до дисциплин политехнического цикла. Однако педагогическая роль аналогии исследована еще мало, главным образом потому, что умозаключения по аналогии в логике изучены еще недостаточно. Автор на основе и в свете разработанной им теории аналогии (краткий очерк которой дается в статье) анализирует значение этого типа рассуждений в учебном процессе. В статье приводятся примеры использования в обучении различных выводов по аналогии и производится их логический анализ. При этом выясняется, что аналогия является эффективным эвристическим средством; она представляет собой плодотворный прием объяснения, который может при выполнении определенных условий служить и методом доказательства.
      Некоторым вопросам, связанным с дидактическим программированием, посвящена статья Ю. А. Петрова и Л. М. Фридмана «О некоторых применениях математической логики и теории автоматов к задачам программированного обучения». В ней выделяются логические аспекты программно-управляемого педагогического процесса; обосновывается тезис о том, что программированное обучение как одна из частных дидактических систем предполагает своеобразную структуру самого учебного материала, а это требует анализа предмета обучения в терминах логики. Исходя из тезиса об алгоритмизуемости обучения в определенных его частях, авторы исследуют возможности применения логических граф-схем и идей математико-логической теории автоматов для выработки эффективных методов упрощения алгоритмов обучения и их эквивалентных преобразований, т. е. условий замены одних алгоритмов другими, более удобными в данном конкретном случае. Следует отметить, что сама задача «минимизации» в применении к обучению могла быть поставлена лишь в связи с разработкой путей осуществления программно-управляемого педагогического процесса. В статье содержится также анализ задач распознавания, интерпретируемых как постановка определенного рода вопросов. Рассмотрение этих проблем заканчивается анализом структурной сложности задач с привлечением понятия информации и средств современной формальной логики.
      В статье Ю. А. Петрова и А. А. Столяра «О педагогическом аспекте семиотического анализа вопросов» рассматриваются логикосемиотические проблемы теории вопроса — логической формы, занимающей важное место в педагогическом процессе. В ней дается анализ синтаксического, семантического и прагматического аспектов теории вопросов, строится формальный язык вопросительных предложений, отличный от известных аналогичных построений советских и зарубежных авторов, а также намечаются некоторые возможные применения названного понятийного и формального аппарата для решения методических задач, связанных с постановкой вопросов в практике преподавания.
      Исследованию логического аппарата школьной алгебры и возможностей его использования учителем посвящена статья А. А. Столяра «Логические конструкции школьной алгебры и практика преподавания». В отличие от применений логики в школьной геометрии, которые больше освещены в литературе, эта проблема изучена еще недостаточно. Между тем со всех точек зрения — и с позиции выработки рациональных методов преподавания, и с позиции развития логического мышления учащихся — изучение логического аппарата школьной алгебры представляет большой интерес. В статье на многочисленных примерах, относящихся к четырем разделам курса алгебры (учения о числе, о тождественных преобразованиях, об уравнениях и неравенствах, о функциях), показывается, как реально аппарат логики может использоваться для более эффективного обучения математике. Применение теоретико-множественных и логических понятий в качестве базисных устраняет изолированность отдельных тем и разделов школьной алгебры, так как открывает возможность построения этих разделов на основе общих объединяющих идей.
      В другой статье того же автора — «О некоторых применениях логики в педагогике математики» — рассматриваются два вида применений логики: применения, сводящиеся к непосредственному изучению и использованию элементов логики в школьном преподавании, и применения, не связанные с использованием элементов логики в педагогическом процессе. К первому виду относится описанное в статье использование логики (операции над множествами и высказываниями) в обучении учащихся правильному построению рассуждений (уточнение понятия доказательства и т. п.), а также применение логико-математического языка — этого мощного средства «логической наглядности» — для краткой записи и преобразования математической информации. В качестве примера применений второго вида приводится структурный анализ учебных задач на языке логики предикатов. Этот анализ служит для организации задач в педагогически оправданную обучающую последовательность.
      Группа статей посвящена логическим аспектам обучения языкам — русскому и иностранным. В статье И. И. Ревзина, ныне покойного, «Логическая модель школьного разбора по членам предложения» предпринимается попытка модельно-кибернетической трактовки некоторых особенностей сложившейся методики обучения русскому языку (касающейся грамматического разбора предложений). Автор фиксирует некоторые естественные предпосылки разбора предложения: факт понимания предложения и различение знаменательных и служебных слов в предложении. Далее строится формальная модель, в которой отражены эти предпосылки (в частности, понимание предложения моделируется процедурой задания отношения эквивалентности по смыслу на множестве всех предложений). Используя идею чешского ученого Л. Небеского об анализе фразы путем выявления множества подфраз, И. И. Ревзин показывает, что на основе этих предпосылок чисто формальным путем можно получить все синтаксические группы данного фиксированного предложения, установить отношения подчинения между ними и разграничить типы этих отношений. Выводы, полученные на модели, сравниваются с особенностями анализа «по вопросам» в школьной программе, и вносятся некоторые предложения по усовершенствованию школьной методики.
      Сходным проблемам посвящена другая статья данного автора — «Операционные определения в школьном курсе грамматики». В ней анализируются причины, в силу которых метод анализа «по вопросам», несмотря на ряд вполне правомерных возражений со стороны лингвистов, упорно удерживается в школьном преподавании. Для этого выясняется, логическая структура вопросительных предложений; показывается, что определения членов предложения с помощью вопросов являются, в сущности, простейшим видом операционных определений или, во всяком случае, легко сводятся к ним. В статье приводятся примеры операционных определений подлежащего, сказуемого и второстепенных членов предложения, причем упомянутые грамматические категории интерпретируются не как классы, а как отношения. И. И. Ревзин показывает, как при помощи операционного метода преодолевается неоднозначность школьного анализа по вопросам. В статье также анализируется лингвистическая и методическая ценность операционных определений предложения и его членов.
      Ю. А. Петров в статье «Применение логики к изучению функций артиклей в английском языке», подобно И. И. Ревзину, исходит из того, что для решения некоторых вопросов обучения грамматике важно выяснить сущность грамматических категорий. Эта сущность, по крайней мере у некоторых из такого рода категорий, может оказаться имеющей логическую природу. Поэтому необходим логический анализ грамматических понятий, в частности так называемых определителей, к которым относятся артикли, местоимения и др. Непосредственным предметом рассмотрения в статье являются артикли . английского языка; их изучение ведется с применением понятин-
      ных средств математической логики. Как показывается в статье, артикли выполняют функции некоторых хорошо известных логических операторов. Так, определенный артикль в основном играет роль оператора определенной дескрипции, т. е. оператора, выделяющего единственный, вполне определенный предмет; он также может применяться в качестве оператора функциональной абстракции. Неопределенный артикль в основном выполняет функцию оператора неопределенной дескрипции (хотя в зависимости от контекста его можно сопоставлять и с другими логическими операторами).
      Интересный путь рационализации методов обучения рассматривается в работе Л. В. Шеншева «Опыт семиотического подхода к проблеме взаимосвязей между учебными предметами». Вряд ли надо специально доказывать, что задача выявления связей между школьными учебными дисциплинами крайне важна как в теоретическом, так и в практическом отношении. Вопрос о связи между учебными предметами вырос в серьезную педагогическую проблему. Особую актуальность при этом приобрела задача сближения гуманитарного и научно-технического образования. Трудность здесь состоит в отыскании таких подходов, которые вполне обеспечили бы установление необходимых межпредметных связей. В статье Л. В. Шеншева намечается некоторый новый путь решения этой задачи. Этот путь характеризуется применением идей и методов семиотики, т. е. той отрасли (точнее — обобщения) современной логики, которая занимается изучением закономерностей структуры и применений знаковых систем, используемых в человеческом обществе, в частности в науке. Автор стремится выявить общность различных учебных предметов (естественнонаучного цикла, с одной стороны, гуманитарного — с другой), анализируя используемые в них знаковые системы, или, точнее говоря, символические языки соответствующих научных дисциплин. Он обращает внимание на то, что такие выражения, как «язык алгебры» или «язык химии», %имеют давнюю традицию, в том числе и педагогическую. Правда, в педагогической литературе они по большей части употребляются лишь фигурально, в обиходе же логиков понятие языка науки уже давно утратило свой метафорический характер. С позиций семиотики к числу языков, изучаемых школьниками, правомерно причислять не только родной и иностранный, но и символические и терминологические системы математики, химии и других учебных дисциплин естественнонаучного цикла. Как показано в статье, имеются общие закономерности, общие процессы овладения любым новым языком, будь то иностранный язык или язык какой-либо науки. В этом смысле можно сказать, что у семиотики есть педагогический аспект, 3 у педагогики — семиотический.
      Под углом зрения закономерностей, характеризующих строение, применение и усвоение естественных и искусственных языков, в статье Л. В. Шеншева проводится сравнительный анализ ряда конкретных учебных дисциплин (иностранный язык, черчение, математика, химия), который позволяет сделать ряд интересных наблюдений и выводов. В ходе этого анализа выявляются теоретические предпосылки для углубления и расширения взаимосвязей между языковыми и неязыковыми учебными предметами.
      Как видно из настоящего обзора, сборник отражает оригинальные исследования проблем обучения, проведенные с использованием логико-семиотических идей и средств. Авторы помещенных в нем работ исходят из необходимости раскрытия, так сказать, внутренней логики педагогического процесса, определяемой содержанием изучаемого учебного материала и возможными способами его усвоения учащимися. Исследуя педагогические применения логики, авторы подходят к ней, отправляясь от собственной проблематики обучения, его внутренних запросов и возникающих в нем задач. Речь, таким образом, идет не о привнесении в обучение чего-то «извне»: было бы неправильным, например, превращать уроки по тому или другому предмету в занятия логикой, при которых учебный материал используется в качестве иллюстрации к логическим законам и правилам. Речь идет о другом — о том, прежде всего, что применение эффективных средств, основанных на современной логике, может содействовать успешной разработке учебных предметов и методов обучения; поскольку же дело касается учебного процесса, то имеется в виду использование учителем операций логики в качестве дидактических приемов, развитие логического мышления обучаемых и сообщение школьникам лишь некоторых сведений из логики (которые, впрочем, если говорить о математике, могут быть достаточно развитыми). В работе по целенаправленному и продуктивному развитию мышления учащихся логическая ориентация необходима. Нужна она и для разработки ряда теоретических и практически-методических проблем педагогической науки, в которой полезными могут оказаться методы логико-кибернетического моделирования. Таким образом, размышления над содержанием данной книги приводят к заключению о целесообразности активного использования логики в качестве одного из элементов широкого комплекса мер, направленных па повышение эффективности процесса обучения.
      Данный сборник не претендует на полноту охвата проблемы «Логика и педагогика». В педагогическом плане это очевидно. Если же говорить о логической стороне, то вне рассмотрения в книге остались, например, проблема пригодности тех или иных знаковых систем и языков логики в качестве источника средств построения моделей обучения; вопросы выбора различных логических исчислений и теорий (классическая и конструктивная логики, логики модальные и многозначные, вероятностная логика и логика расплывчатых понятий, теории алгоритмов и автоматов в их различных модификациях и др.) для разработки и решения дидактических и методических задач, а также для адекватной постановки проблемы рационализации (в идеале, оптимизации) управления обучением; трактовка обучения как вероятностного (стохастического), в определенном смысле, процесса; вопросы алгоритмизации обучения и ряд других. Однако материал книги и без того раскрывает актуальность привлечения средств логики как важного, но пока мало используемого резерва повышения результативности педагогического процесса.
      Логическая наука в ее педагогических применениях только выходит на исходные рубежи дальнейших исследований. Большие надежды здесь можно возлагать на ее содружество с психологией. Лишь в этом содружестве, как представляется, сможет вполне проявиться воспитательное значение логики, в данной работе мало затронутое. Раскрытие этого значения — одна из задач последующих изысканий.
      Мы убеждены, что представленные в книге материалы принесут пользу научным работникам в области дидактики, методистам и учителям. Книга может быть использована и вузовскими преподавателями педагогики и логики, в частности как материал для лекций, аспирантами — в их подготовке к научной деятельности, студентами — для более углубленного изучения ряда учебных курсов. Специализирующиеся в области программированного обучения помимо ответа на некоторые конкретные вопросы обнаружат в ней общие идеи и методы, могущие быть использованными в их разработках. Тем же, кто в общем плане интересуется современным состоянием проблем обучения, ознакомление с книгой даст представление об одном из перспективных направлений нашей педагогической мысли.
      Обращаем внимание читателя на то, что редакторы книги не стремились к унификации логической символики. В частности, в статьях разных авторов используются не оговариваемые в тексте различные (но общеизвестные в логике) соглашения о рангах операций и об опускании скобок в формулах.
      В заключение отметим, что в книге не исключены и дискуссионные положения, так как в ней обсуждаются новые и сложные воп-*росы, связанные с выяснением логических основ обучения. Книга отражает некоторые принципиальные установки, выявившиеся в секциях «Методологические вопросы кибернетики» и «Кибернетика и психология» Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика» Академии наук СССР. Но сами эти установки находятся в развитии, поскольку являются результатом творческих обсуждений в среде советских педагогов, психологов, логиков и кибернетиков.
      Академик А. И. Берг, доктор философских наук Б. В. Бирюков, действительный член Академии педагогических наук СССР Э. И. Моносзон
      А. И. Уемов
     
      АНАЛОГИЯ И УЧЕБНЫЙ ПРОЦЕСС
      Обучение и аналогия. Постановка вопроса о развитии мышления в качестве задачи педагогического процесса предполагает выяснение основных логических форм мышления. В нашу задачу не входит обоснование того положения, что процесс усвоения содержания науки в своей основе происходит с помощью тех же форм мышления, что и его развитие. Отметим лишь, что это положение находит все большее признание в педагогической пауке. Так, например, Д. Брунер считает его центральным для понимания основных проблем процесса обучения: «Умственная деятельность везде является той же самой, на переднем ли фронте науки, или в третьем классе школы. Деятельность ученого за его письменным столом или в лаборатории, деятельность литературного критика при чтении поэмы — это деятельность того же порядка, что и деятельность любого человека, когда тот занят подобными вещами, юли перед ним стоит задача достигнуть понимания определенных явлений. Различие здесь — в степени, а не в роде» 11, с. 171.
      На первых этапах развития науки, при относительной бедности фактического материала, определяющая роль принадлежала дедукции, позволяющей извлекать максимум выводов из минимума данных. В дальнейшем, по мере накопления фактов, на первый план выступила задача обобщения этих фактов, которая решалась с помощью индуктивных методов исследования. Дедукция сохраняет свое значение в области математики, поскольку здесь, в интересах строгости выводов и доказательств, сознательно ограничиваются минимумом исходных данных.
      В современной науке все большее значение приобретает структурный подход, при котором имеет место отождествление отношений в различных объектах. Эти отношения становятся предметом исследования особых наук, типичный пример которых — кибернетика. Перенос отношений и свойств из одной системы в другую является определяющей чертой тех форм мысли, которые носят название выводов по аналогии. Важная роль выводов по аналогии в развитии современной науки неоднократно находила признание со стороны ряда выдающихся ученых. Раскрытию этой роли посвящено уже немалое число работ [2 — 7].
      Выводы по аналогии позволяют переносить результаты, полученные в одной области, на другие области явлений. Тем самым происходит увеличение значимости каждого из этих результатов.
      Перенос знаний, полученных при изучении одного объекта, на другие объекты — столь же важная задача обучения, как и развития науки. Поэтому нельзя не согласиться с Д. Брунером, который выдвигает на первый план проблему структуры знаний: «Изложение структуры знания, овладение этой структурой, а не просто усвоение фактов и технических приемов является центральным моментом в классической проблеме переноса» [1, с. 15].
      Пример, который приводится в книге Д. Брунера [1, с. 15], поясняет важность исследования структуры, особенно в условиях недостатка времени. Явления геотропизма, зависимость плотности роя саранчи от температуры, сохранение чистоты вида у насекомых, обитающих на склонах гор на различной высоте над уровнем моря, — все это разные вещи. Изучение каждой из них в отдельности требует довольно много времени. Усвоение же структуры, общей для всех этих явлений, перенос отношений по аналогии из сферы одного явления на другие позволяет гораздо быстрее и лучше понять каждое из них.
      Однако в нашей методической литературе отношение к выводам по аналогии часто крайне скептическое или даже отрицательное. Приведем два примера. В солидной «Методике преподавания математики» В. М. Брадиса о выводах по аналогии говорилось следующее: «Строя гипотезы, человек руководствуется прежде всего аналогией, т. е. заключением по сходству: вполне естественно предположение, что при сходных условиях получаются одни и те же результаты. Но всякий результат порождается целой совокупностью условий, и при суждении по аналогии обращают внимание только на некоторые из них, поэтому суждения по аналогии никогда не бывают доказательными. На основании того, что пять дней подряд была хорошая погода, можно высказать догадку, что она будет хорошей и на шестой день, но, как известно, такая догадка часто оказывается неверной» [8, с. 30].
      Прямую критику использования аналогии в процессе преподавания мы находим в «Методике преподавания физики» автора многочисленных учебников физики для средней школы И. И. Соколова; эта книга, выйдя из употребления как рекомендуемое пособие, долго оказывала влияние на методистов. Здесь имеет место противопоставление форм мышления в науке и в процессе обучения: «В области преподавания физики значение аналогии более ограничено, чем в научной области. Научные теории преподносятся учащимся в окончательном виде, в их полном экспериментальном обосновании. Только в историческом обзоре теорий еще может быть показано значение аналогии. Математическая обработка материала по аналогии также недоступна учащимся средней школы.
      В учебниках и в методических руководствах аналогии применяются с двумя целями: во-первых, для введения нового понятия; во-вторых, для пояснения экспериментально введенного, но далекого от обычных представлений нового понятия при помощи частично сходных, более знакомых понятий.
      Применение аналогии с первой целью является неправильным. Никакая аналогия не позволит составить понятие о новой величине, существенно отличной от аналогичной. Такое объяснение оказывается внешним, словесным, формальным. Если оно может быть проверено последующими экспериментами, то с них и надо начинать обоснование понятия, и тогда аналогия превращается в пояснение.
      Бесплодное значение аналогии в усвоении учащимися физических понятий можно показать на традиционном приеме введения в VII классе понятий о потенциале, напряжении и о работе электрического тока» [9, с. 70 — 71].
      Влияние точки зрения И. И. Соколова сказалось на интересной статье С. Е. Каменецкого [10]. В ней убедительно, на конкретных примерах показана целесообразность использования аналогии в процессе преподавания физики. Автор пишет: «Аналогии, являясь эффективными средствами повышения наглядности обучения, помогают создать опорные образы, особенно важные в процессе усвоения понятий учащимися, мышление которых малоспособно к абстрагированию. Например, при формировании понятия «электрический ток» образ тока полезно создать с помощью явлений течения жидкости» [10, с. 127]. Однакоесли создание опорного образа с помощью аналогии, по автору, возможно, то «вводить новые понятия по аналогии нельзя, как справедливо утверждает И. И. Соколов».
      Мы видим, что отношение к использованию аналогий в учебном процессе существенно отличается от отношения к использованию других форм мысли — дедукции и индукции. Если применение дедукции и индукции в процессе преподавания в общем и целом соответствует тому месту, которое эти формы занимают в научном мышлении, то с точки зрения использования аналогии между сферой обучения и сферой науки существует определенный разрыв. Ка наш взгляд, этот разрыв объясняется прежде всего неразработанностью логической теории аналогии. В самом деле, было бы очень странно, если бы сейчас дедукция и индукция оценивались на основании тех взглядов, которые господствовали в логике два-три столетия назад. Но то представление о выводах по аналогии, которое выражено в приведенной выше цитате из книги В. М. Брадиса, не вызывает удивления, поскольку оно, по сути дела, немногим отличается не только от тех взглядов, которые были распространены столетия назад, но и от того, что до сих пор пишется во многих работах но логике.
      Правила дедуктивных выводов для одной немаловажной части логического мышления были сформулированы уже Аристотелем. В настоящее время эти правила — традиционная силлогистика — нашли свое развитие и обобщение в современной теории дедукции. Эти правила, вообще говоря, довольно просты, и с их помощью легко отделить правильную дедукцию от неправильной. Когда говорится об использовании дедукции в процессе преподавания, то при этом предполагается лишь правильная дедукция. Если дедукция прнво-
      дит к ложному выводу, то повинным в этом считается либо ложность исходных посылок, либо логические ошибки, допущенные в ходе рассуждения, но не само по себе использование дедуктивных умозаключений. Например, никто не скажет, что к ложному выводу о том, что данная фигура — ромб, ученика привело использование силлогизма, если ученик рассуждал по схеме:
      Все ромбы имеют взаимно перпендикулярные диагонали.
      Данная фигура имеет взаимно перпендикулярные диагонали.
      Данная фигура — ромб.
      Для всех ясно, что здесь привело к ошибке не использование силлогизма, а неумение пользоваться силлогизмом. Нельзя допускать, как гласит общеизвестное правило силлогизма, чтобы в выводе по второй фигуре обе посылки были утвердительными.
      В логике принято считать, что в отличие от дедукции индукция может давать лишь вероятностный результат. При этом указываются правила повышения этой вероятности. Каноны Дж. Ст. Милля, при всей их ограниченности, представляют собой все-таки руководство к тому, как пользоваться индукцией при отыскании причины тех или иных явлений. Поэтому даже методисты-математики не склонны связывать ошибки учащихся с применением индукции. В. В. Репьев отмечает, что в педагогическом процессе индукция вообще не может привести к ошиблс: «Надо заметить, что при обучении индуктивные заключения не могут привести к ложным результатам, как это может иметь место при исследовательской работе: на страже правильности индуктивного вывода стоит учитель; в случае надобности он внесет необходимые коррективы и достигнет того, что полученный с помощью неполной индукции результат будет безупречным» [ 11, с. 611.
      Что касается выводов по аналогии, то за ними признается позитивная эвристическая роль. Однако в отличие от дедукции и индукции «использование учащимися заключения по аналогии в иных случаях приводит к ошибкам» [11, с. 711. В. В. Репьев приводит убедительные примеры вреда, который приносит использование аналогии учащимися в процессе изучения математики: «Ученик по аналогии, чаще всего им не осознаваемой, распространяет какое-либо правило на такие случаи, к которым оно не применимо, и начинает пользоваться этим незаконно расширенным правилом в решении примеров н задач. К числу ошибок, порожденных неверной аналогией, относится, например, хорошо известная учителям довольно распрострмненная и медленно искореняемая ошибка в сокращении слагаемых в числителе и знаменателе дроби. Такое сокращение обычно не встречается в V классе, когда учащиеся занимаются арифметик-ой, и появляется в VII классе, когда приходится заниматься алгебраическими дробями. Причина этой ошибки — в неверном заключении по аналогии, которая обусловливается многими сходствами между суммой .и произведением: сходные формулировки правил изменения суммы и произведения в зависимости от изменения компонентов, сходные переместительный и сочетательный законы сложения и умножения.
      По-видимому, неверные аналогии являются причинами и многих других ошибок учащихся. Например: sin (a-f p)=sina+sinp (по аналогии с умножением одночлена на многочлен); lg (a-l-b)=lga-l-+ ig b (та же аналогия)» [11, с. 70].
      Отметим, что причина ошибок здесь усматривается в самом использовании вывода по аналогии, а не в неумении обращаться с ним. Что же должен делать учитель? В отличие от рассмотренного выше случая индукции ему не предлагается сносить коррективы в сам процесс вывода с целью получения нужного результата. В данном случае учитель должен лишь предостеречь против уже осуществленного вывода — подорвать к нему доверие. «Общим профилактическим средством является разъяснение в доступной для учащихся форме с иллюстрацией примерами, как строится умозаключение по аналогии, что эго заключение не гарантирует безупречности вывода, что выеод не более, как только гипотеза (догадка)» [11, с. 71].
      Но в таком случае, если всякий вывод по аналогии не более чем догадка, догадкой должны считаться и те выводы по аналогии, которые применяются учителем. Очень часто учитель, желая доказать, что учащийся рассуждает неправильно, приводит пример аналогичного рассуждения, ошибочность которого совершенно очевидна. Например, ошибочность соотношения sin (a+p)=sin a-f-sin р может быть выяснена с помощью аналогии — путем указания на ошибочность соотношения lg (a+b) — lga+lgb. Если рассуждения действительно аналогичны, то вывод об ошибочности первого соотношения представляет собой не догадку, а достоверный результат.
      Поэтому учитель, подвергая сомнению всякий вывод по аналогии, тем самым подвергает сомнению значительную часть своих собственных рассуждений, на которые он рассчитывает как на достаточно убедительные.
      Поскольку отмеченная трудность связана с использованием определенного типа умозаключений, средства преодоления этой трудности может дать только логика. Она должна установить правила пользования выводами по аналогии. Эти правила, вообще говоря, могут обеспечивать достоверность вывода (подобно дедукции) или же приближать надежность вывода к достоверности (как в случае индукции). Установление этих правил дает возможность учителю развивать умение учащихся пользоваться аналогиями. Тогда, если учащийся получит ошибочный вывод по аналогии, учитель сможет показать ему, что причина ошибки не в том, что применялась аналогия, а в том, что она применялась неправильно.
      Проблема правомерности выводов по аналогии и школьное преподавание. В настоящее время в литературе уже имеется ряд работ, в которых рассматривается проблема определения условий правомерности выводов по аналогии [ 12 — 17,4, 18]. Однако эту проблему трудно решить в общем виде. Формы выводов по аналогии столь же многообразны, как и формы дедуктивных умозаключений.
      Условия правомерности дедукции определяются в связи с особенностями формы дедуктивного вывода. То же самое должно иметь место и применительно к умозаключениям по аналогии.
      Мы остановимся на некоторых формах выводов по аналогии, играющих особенно большую роль в педагогическом процессе.
      Во всяком выводе по аналогии совершается перенос информации, полученной при исследовании одного объекта, на другой объект. Но строение переносимой информации может быть различным [7, 18].
      Прежде всего существенно различие между тем случаем, когда переносимая информация заключается в приписывании свойства объекту, и тем случаем, когда устанавливается отношение между элементами этих объектов [71. Например, утверждение, что Земля обитаема, означает приписывание ей некоторого свойства. Иное дело — закон всемирного тяготения. Здесь речь идет о системе, состоящей из отдельных элементов — величин, между которыми существует отношение, выражаемое формулой закона.
      Систему в ряде случаев можно охарактеризовать не только отношением между ее элементами, но и свойством. Возьмем, например, высказывание: «Кавказские горы высоки». Получив такую информацию, мы можем распространить ее по крайней мере на некоторые из гор, входящих в систему гор Кавказа.
      Различие между отношениями и свойствами обычно выражают тем, что отношение обозначают некоторым символом (например, R), за которым в скобках помещаются по крайней мере два (разделенные 'запятыми) символа элементов рассматриваемой системы, например: R (a, b), R (ах, ..., ап). В связи с этим говорят, что отношение представляет собой двуместный или более — вообще «-местный — предикат. Свойство же считается одноместным предикатом — предикатом, приписываемым лишь одному предмету, и обозначается формулой вида Р (а), где Р — свойство, а а — предмет (предметная переменная), которому оно присуще [19, гл. Ill, § 1).
      Эти обозначения, однако, не выделяют случай, когда свойство приписывается ряду элементов системы. Для того чтобы получить возможность выражения и этого случая, условимся отношения обозначать большой буквой латинского алфавита, стоящей слева от скобки, в которой малыми латинскими буквами обозначены (разделенные запятыми) элементы системы, а свойства — такого же типа буквой, но стоящей справа от скобки того же вида. Так, например, R (аи ..., ап) обозначает принадлежащее элементам аи ..., ап отношение R, a (alt ...,ап)Р — свойство 3 элементов ах, ..., ап.
      Отметим, что в нашей записи не исключаются крайние случаи г!1 для свойств, п — 1 для отношений. Иными словами, отношение в некоторых случаях может рассматриваться как одноместный предикат. Сюда будут относиться так называемые рефлексивные отношения. В пользу введения понятия одноместных отношений можно привести ряд теоретических соображений [18], однако более детальное рассмотрение выходит за рамки настоящей статьи.
      Приписывание свойства Р множеству элементов везде ниже будет пониматься в разделительном (исключающем) смысле. Запись (аи ..., ап) Р будет означать, чтоР присуще каждому из элементов, обозначенных символами alt ..., ап. Если системе приписывается не одно, а ряд свойств: Ри ..., Рто, это выразится как (аи •••» яп) Р1» ••• Рт." В тех случаях, когда сложность системы несущественна, она будет рассматриваться как единое целое и обозначаться одной буквой.
      Объект, информация о котором служит посылкой вывода по аналогии, мы будем называть моделью. В работе [18] показано, что такое понимание модели предполагается большинством исследователей. Для обозначения модели будем использовать символ а или alt ..., ап. Объект, исследование которого является целью вывода, т. е. тот объект, на который переносится информация о модели, будем называть прототипом и обозначать буквами b или Ьи ...,Ьп.
      В зависимости от того, что переносится с модели на прототип — свойство или отношение, все выводы по аналогии можно разбить на две большие группы: аналогии свойств и аналогии отношений. Дальнейшие подразделения определяются, с одной стороны, типом переносимых свойств и отношений, а с другой — характером основания, делающего этот перенос правомерным 17].
      Например, в спучае той формы аналогии, которая обычно описывается в учебниках логики, основанием является факт общности ряда свойств (признаков) Ри ..., Рп обоим сравниваемым предметам, т. е. модели и прототипу. Это можно выразить в виде (а, Ь) Ри ..., Рп. Информация, полученная в результате исследования модели, — посылка умозаключения — здесь представляет собой утверждение о наличии в модели некоторого свойства: (a) Pn+t. В заключении это свойство переносится на прототип: (b) Pn+i-Посылка и заключение образуют то, что можно назвать ядром умозаключения. В рассматриваемом нами случае оно принимает вид
      п"+1, • Отделим основание от ядра знаком j — . Вывод в целом (...)
      В качестве примера более общего случая парадейгмы (когда С1) можно привести обычный в учебниках логики, вывод от обитаемости Земли к обитаемости Марса на том основании, что они имеют ряд общих признаков. 1 и
      Когда в учебниках логики или работах по методике преподавания того или иного предмета говорится об аналогии, то обычно имеется в виду парадейгма в ее обобщенном виде. Но парадейгма далеко не единственная и даже не самая распространенная в практике научного исследования и в учебном процессе форма выводов по аналогии.
      Начнем с примера. Пусть имеют место две теоремы А и В. Вообще говоря, всегда можно отыскать между ними какие-нибудь сходные черты. Например, обе они могут относиться к планиметрии, обе они могут быть выражены в форме условного суждения и т. д. Обнаружение подобных общих черт делает рассматриваемые теоремы аналогичными в смысле парадейгмы, но это не та аналогия, которую обычно имеют в виду математики. Аналогичность теорем обусловлена не просто общностью ряда черт, а общностью одной, совершенно определенной черты.
      Автор известной монографии, посвященной правдоподобным рассуждениям в математике, Д. Пойа пишет: «Быть может, вы думаете, что когда-нибудь будет возможно представить себе более широкую теорему Я, которая будет выявлять все существенные общие пункты и из которой и Л и В будут естественно следовать. Если вы думаете таким образом, то вы начинаете мыслить по аналогии.
      Как бы то ни было, рассмотрим аналогию между двумя теоремами А п В как намерение открыть общее основание, из которого следовали бы и А и В: А следует из Я, В следует из Я» [21, с. 275]. В отличие от парадейгмы здесь с модели (теоремы Л) на прототип (теорему В) переносится не любое свойство Pn+i, а свойство особого рода — истинность. Обозначим его буквой Т. Тогда мы будем иметь
      следующее ядро вывода по аналогии: . Основанием этого вывода является предположение об общности логических оснований для а (т. е. для теоремы Л) и для b (т. е. для теоремы В). Это можно выразить как h-+aikb. Таким образом, мы получим следующую схему
      вывода по аналогии: h — a&.bl — гДе через h обозначена теорема Я.
      Очевидно, что аналогия такого типа существенно отлична от парадейгмы. Ее можно назвать логической аналогией следствий. Особенно большое значение эта форма аналогии имеет в математике и праве.
      В том случае, когда вместо логического основания мы имеем реальное явление с, выступающее в качестве причины других явлений а и Ь, то логическая аналогия следствий превращается в аналогию физических действий. Если модель и прототип имеют общую причину, то задачи, решенные на модели, позволяют по аналогии легко решать задачи, относящиеся к прототипу. Эта форма аналогии особенно большое значение имеет в таких науках, как физика, химия, биология. Она с успехом может быть применена в учебном процессе, в частности в курсе физики [22].
      В рассмотренных случаях речь шла о переносе свойств. Еще большую роль в науке и педагогической практике имеет перенос отношений. Обычно ядро аналогии отношений может выразиться R (а1, ..ап) 0
      Здесь посылка выражает отношение
      в модели, а вывод — то же отношение в прототипе. Но что является основанием для переноса отношений от одного предмета к другому?
      Эти основания могут иметь различный характер, в соответствии с чем определяются разные формы выводов по аналогии. Часто основанием переноса отношения (R2) с модели на прототип является тот факт, что сравниваемые системы обладают одинаковым отношением Rx. Например, пусть известно, что два тела геометрически подобны друг другу. Это подобие можно понимать как одинаковость отношения между определенными их элементами (одинаковость геометрической формы), как одинаковость отношения ?, в модели и прототипе. Пусть в результате измерения модели в ней обнаружено отношение R2. По аналогии это отношение мы переносим на другое геометрическое тело — прототип. Тождественность отношения Rx в разных системах: ах, ..., ап и Ьх, ..., Ьт можно выразить следующим образом: ах ,..., ап Rx (at,..., an)~bu ..., bm Rx (bx, ..., bm). «Крышечки» над символами элементов сравниваемых систем означают, что мы отвлекаемся от конкретных свойств этих элементов. В целом вывод по аналогии рассматриваемого типа будет иметь вид
      Эту форму аналогии мы будем называть простой аналогией отношений. Она имеет широкое распространение в математике и особенно в технике.
      В последнее время во многих науках приобретает все большую роль тот вид аналогии, который связан с понятием изоморфизма. В простой аналогии отношений основанием служит тождественность отношений Ru установленных между теми же элементами, что и переносимое отношение Rz. В аналогии типа изоморфизма основанием служит тождественность отношений, связывающих элементы разных систем, т. е. элементы одной системы с элементами другой. Такие отношения называются обычно корреляторами. Коррелятор, сопоставляющий элемент ах одной системы с элементом Ьх другой, обозначим через (alt bx)l коррелятор, сопоставляющим а о с b 2, обозначим через р2(а2, Ь2) и т. д. Схему вывода по аналогии типа изоморфизма можно записать в следующем виде:
      В рассмотренном случае отождествлялись бинарные отношения, т. е. отношения, существующие между двумя объектами. В общем случае аналогии типа изоморфизма отождествляют отношения в системах, состоящих из большего, быть может, даже бесконечно большого, числа элементов. Корреляторы устанавливают взаимнооднозначное соответствие между элементами модели и прототипа, Взаимно-однозначное соответствие само можно рассматривать как отношение, связывающее элементы сравниваемых систем.
      Аналогии типа изоморфизма имеют самое широкое применение в науках, особенно таких, как математика, языковедение, кибернетика, физика. Значительная часть аналогий, используемых в процессе обучения, связана с изоморфизмом. Например, сюда в основном относятся те примеры аналогии, которые приводятся в статье С. Е. Каменецкого [10]. Так, при введении понятия электрического тока очень полезна гидродинамическая аналогия. С. Е. Каменецкий описывает прибор для демонстрации гидродинамической аналогии. Здесь имеют место следующие взаимно-однозначные соответствия: источник электрического тока — насос, потребитель электрической энергии — водяная турбина, соединительные провода — трубы, наполненные водой, выключатель — кран [10, с. 130 — 1311. Указанные соответствия являются логическим основанием для отождествления отношений в модели и прототипе.
      Приведенные примеры далеко не исчерпывают все богатство форм выводов по аналогии. Однако уже из изложенного видно, что проблему правомерности вывода по аналогии нельзя решать, игнорируя специфику конкретных форм этого вывода.
      Применительно к парадейгме уже в учебниках традиционной логики формулируются два правила, позволяющие в ряде случае отдать предпочтение одной аналогии перед другой. Первое из них требует, чтобы число п общих свойств модели и прототипа было возможно большим, а второе — чтобы эти свойства были существенными для обеих систем.
      Однако этих правил чаще всего недостаточно. Необходимо увеличить число правил, выполнение которых повышает вероятность вывода. Таким образом можно повышать вероятность вывода вплоть до практической достоверности. Разумеется, при этом решающее значение имеет не просто число, а прежде всего характер, логическая ценность правил.
      В дополнение к двум указанным выше традиционным правилам можно сформулировать следующие.
      Первое. Необходимо, чтобы свойства, общность которых сравниваемым предметам дана в основании вывода, максимально отличались друг от друга, были возможно более разнородными. Например, применительно к сравнению Земли и Марса это должны быть не только геометрические или кинематические, но и физические, химические и т. д. свойства.
      Второе. Свойство, о котором говорится в заключении аналогии, должно быть по возможности однородным, однотипным с теми свойствами, общность которых дана в основании аналогии. Поэтому, например, нельзя устанавливать общность между человеком и животным по биологическим признакам и затем переносить на животных социальные признаки человека. Или, наоборот, нельзя социальные закономерности человеческого общества истолковывать в смысле биологических законов животного мира.
      Т р е т ь е. Свойства, о которых говорится в основании, должны быть специфичными для сравниваемых предметов, а не такими, которые могут быть присущи чему угодно. Например, при сравнении человека и животных свойства способности к размножению, развитию и т. д. несравненно более важны, чем «обладают массой», «состоят из молекул» и т. д., несмотря на то что свойства «обладать массой», «состоять из молекул» и т. д. сами по себе существенны для сравниваемых предметов. Специфичность (для данных предметов) далеко не всегда совпадает с существенностью. Чем более специфический характер имеет данный факт, тем менее он вероятен. Чем менее вероятен факт, описываемый данным утверждением, тем большее количество информации оно содержит. Поэтому рассмотренное условие повышения степени правдоподобия вывода по аналогии, по сути дела, равнозначно выдвижению требования о том, чтобы посылки содержали возможно больше информации о сравниваемых предметах.
      Четвертое. Применительно к заключению дело обстоит как раз наоборот. Оно будет более правдоподобным, если заключает меньшую информацию. Это означает, что переносимый признак Рп+1 не должен иметь специфического характера. Чем более этот признак «банален», тем более вероятен вывод.
      Обоснование изложенных правил выходит за рамки настоящей статьи. Оно может быть сделано с помощью принципов индукции, если рассматривать отдельные признаки как вещи [15 — 18].
      Изложенные правила повышения правдоподобия выводов по аналогии носят сугубо качественный характер. С их помощью невозможно дать точную количественную оценку степени правдоподобия. Они имеют лишь значение требований, которые нужно стремиться удовлетворить, поскольку это возможно.
      Однако отсутствие точной количественной оценки не означает невозможности сравнения различных случаев использования выводов по аналогии с точки зрения их правдоподобия. Если ряд ус-
      ловий (правил) правомерности аналогий приблизительно в равной мере выполняется в обоих сравниваемых умозаключениях, то различие в выполнении следующего условия дает возможность предпочесть одну аналогию другой 123, с. 233 — 237].
      В конечном счете количественная оценка степени правдоподобия имеет значение не сама по себе, не непосредственно, а лишь постольку, поскольку позволяет делать требуемый выбор. Это, по сути дела, относится ко всем количественным оценкам вообще. Преимущество количественных оценок в том, что они во многом облегчают выбор, который надлежит произвести.
      Выполнение перечисленных выше условий может приблизить вывод по аналогии к практической достоверности, но не сделать его вполне достоверным. Однако в некоторых случаях умозаключение по аналогии типа парадейгмы дает достоверный результат. Например, пусть модель и прототип обладают одинаковой формой ( Д), сделаны из одного и того же материала (Р2) и обладают одинаковым весом (Р3). В таком случае вывод о том, что у них также одинаковый объем (Р4), вполне достоверен. В этом примере, так же как и в других примерах такого же типа 124, с. 44 — 45, 103], имеет место определенная связь между общими и переносимым признаком, делающая вывод достоверным. Эту связь можно установить с помощью дедукции из определений соответствующих признаков, но от этого разбираемое умозаключение не перестает быть выводом по аналогии. Оно производится согласно структурной схеме вывода по аналогии. Связь между Ри Р2, Р3, Р4 устанавливается в результате анализа уже данной структуры вывода. Вывод имел бы дедуктивный характер лишь в том случае, если бы мы с самого начала исходили из общего суждения Vx ((х)Р1Р2Р3-*~(х)Р4). В таком случае для определения (Ь)Р4 нам не было бы необходимости ссылаться на модель, и заключение было бы получено с помощью простой подстановки Ь вместо х.
      Мы рассмотрели в общих чертах условия правомерности одной из форм выводов по аналогии. Другие формы требуют других условий. Так, применительно к логической аналогии следствий сформулированные выше правила утрачивают свой смысл. Правда, некоторые из них могут быть соответствующим образом переформулированы. Так, условие специфичности общих признаков для сравниваемых систем естественным образом переходит в требование, согласно которому вывод будет более правдоподобен, если факт, фиксируемый в посылке, сам по себе будет менее вероятным [ 12]. Этот факт должен как можно полнее выражать специфику предполагаемого общего основания (см. выше цитату из Д. Пойа, в которой охарактеризована сущность логической аналогии следствий).
      Пусть, например, известно, что по крайней мере две стороны некоторого четырехугольника равны друг другу. По аналогии сделаем вывод о том, что в этом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Первое утверждение является моделью, второе — прототипом. С модели на прототип переносится логическое свой-
      стио — истинность. Вывод по аналогии основан на предположении об общем основании для модели и прототипа, а именно — предположении о том, что данный четырехугольник является ромбом.
      Однако в нашем примере данные, фиксируемые в модели, носят довольно банальный характер. Равенство двух сторон можно обнаружить у самых различных четырехугольников, например у трапеции. Менее вероятно равенство трех сторон четырехугольника. 11оэтому вывод от равенства трех сторон четырехугольника к взаимной перпендикулярности его диагоналей будет более вероятным.
      Еще менее вероятно равенство всех четырех сторон прямоугольника. Если бы удалось показать, что истинность модели возможна лишь при условии истинности предполагаемого основания, то вывод по аналогии стал бы вполне достоверным.
      Возьмем пример из другой области. В тексте некоторая группа слов выделена кавычками. По аналогии можно сделать вывод о том, что первое слово этой группы должно быть написано с большой буквы. Предполагаемое общее основание — то, что данная группа слов представляет собой прямую речь. Вывод здесь только правдоподобен. Он будет тем ближе к достоверному, чем менее вероятно в данном тексте выделение слов кавычками. В тексте, передающем обычную разговорную речь, эта вероятность меньше, чем в научном тексте, вводящем новую терминологию, или в тексте иронического характера. В предельном случае, когда не может быть других оснований, требующих выделения слов кавычками, правдоподобие вы-Еода переходит в достоверность. Однако полученный результат не перестает быть выводом по аналогии, поскольку мы предполагаем общее основание двух утверждений, а не исходим из положения о том, что всякая группа слов, выделенная кавычками, должна начинаться с большой буквы.
      С точки зрения разбираемого правила большое значение имеет вопрос о том, какое из двух сравниваемых утверждений является моделью, а какое — прототипом. Пусть одним из этих утверждений является это существительное русского языка в именительном падеже пишется с нулевым окончанием, а другим — это существительное русского языка в винительном падеже пишется с нулевым окончанием. Общим основанием будет положение, согласно которому в русском языке неодушевленные существительные мужского рода в именительном и винительном падежах пишутся с нулевым окончанием. Если в качестве модели рассматривается первое из приведенных выше утверждений, то вывод будет менее правдоподобным, чем в том случае, когда моделью служит второе утверждение. Это обусловлено тем, что существительные в именительном падеже чаще имеют нулевое окончание, чем в винительном, и поэтому вероятность истинности модели в первом случае будет выше, чем во втором.
      Изложенное правило дает возможность предпочесть одну аналогию другой. С его помощью можно определять разные степени правдоподобия — от крайне незначительной до практически достоверной. Однако в ряде случаев данные, содержащиеся в посылке,
      не способствуют усилению степени правдоподобия заключения, несмотря на то что модель и прототип могут иметь общее основание. Пусть, например, посылка гласит: Найденные кости принадлежат млекопитающему. Прототипом будет утверждение: Найденные кости принадлежат существу, живущему в воде. Общим основанием для модели и прототипа может быть гипотеза о том, что найденные кости являются костями китообразного. Но поскольку большинство млекопитающих живут на суше, заключение, после учета данных посылки, становится менее правдоподобным, чем до этого. Еще более наглядным будет вывод о том, что некоторое вещество при обычных условиях — жидкость, исходя из данных о нем как о металле. Можно предположить общее основание, согласно которому рассматриваемое вещество является ртутью. Но поскольку истинность этого основания маловероятна — большинство металлов не ртуть и не жидкости, — посылка не увеличивает, а уменьшает правдоподобие вывода.
      Я- Линденбаум-Хосьяссон формулирует в качестве условия правомерности вывода по аналогии требование того, чтобы вероятность истинности утверждения, составляющего прототип, не уменьшалась после того, как установлена истинность модели в предположении, что общее основание модели и прототипа является ложным [12]. В приведенных выше примерах из математики и грамматики, как бы ни был далек от достоверности полученный вывод, модель все же дает основание для повышения степени правдоподобия этого вывода. Здесь соблюдается условие Линденбаум-Хосьяссон. Вероятность истинности утверждения, что данный четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали, не уменьшится от того, что у него есть равные стороны, даже если этот четырехугольник и не ромб. Выделение слов кавычками не уменьшает вероятность того, что эти слова должны писаться с большой буквы и в том случае, когда они не образуют прямой речи.
      Аналогия следствий, так же как и парадейгма, относится к группе аналогий свойств. Для выяснения условий правомерности вывода здесь находят применение вероятностные соображения. По-иному решается эта проблема для умозаключений, в которых с модели на прототип переносится не свойство, а отношение. Вероятностный подход здесь, по-видимому, неприменим.
      Рассмотрим проблему правил простой аналогии отношений. Для того случая, когда тождество отношений в сравниваемых системах выражается в виде тождества описывающих эти системы математических уравнений, правила простой аналогии отношений сформулированы в виде теорем так называемой теории подобия [25, 26]. Выполнение условий этих теорем обеспечивает достоверность получаемого вывода. Характерно, что с помощью моделей, построенных с соблюдением требований теории подобия, проверяются те результаты, которые ранее были получены с помощью дедукции. Например, вывод о том, что строящийся корабль не потонет, полученный на основе теоретического расчета, должен быть проверен на специальной модели этого корабля, помещенной в соответствующие
      условия. Теория подобия как теоретическая основа метода моделирования находит широкое применение в современной технике.
      Однако в тех случаях, когда отношения в сравниваемых системах нельзя выразить с помощью математических уравнений, необходимы другие методы установления правомерности вывода по аналогии. Один из путей, ведущих к этой цели, заключается в выяснении тождественности отношений 1 и 2, рассматриваемых как особые предметы. Если отношения RiH R2 тождественны в модели, то они будут также тождественны и в прототипе. При этом такая тождественность может сопровождаться существенными различиями в познавательном отношении [15].
      Между отношениями Ri и R2 могут быть установлены не только логическая тождественность, но и иные типы связей. Если связь имеет место между отношениями, как таковыми, независимо от соотносящихся объектов, т. е. является, так сказать, внутренним свойством соотносящихся отношений, то ее можно переносить с модели на прототип [18]. Для выяснения внутреннего характера связи между отношениями можно воспользоваться методом формализации, с помощью которого отношения выделяются из соотносящихся объектов и делаются предметом самостоятельного рассмотрения.
      Возьмем примеры. Допустим, что на уроке истории ученик рассуждал следующим образом: Киевская Русь — государство феодальной, а не рабовладельческой формации. Следовательно, в Киевской Руси не было рабов. Учитель, ставящий перед собой цель развития логического мышления учащихся, не может ограничиться уточнением фактического характера: в Киевской Руси были рабы, хотя рабский труд не был основой производства. Он должен разъяснить ученику не только фактическую неточность, но и ошибку в рассуждении. Для этого необходимо прежде всего выяснить недостающие элементы умозаключения. В качестзе основания своего вывода ученик должен будет сослаться на положение: Во всех государствах рабовладельческой формации были рабы. Таким образом, получается силлогизм: Во всех государствах рабовладельческой формации были рабы. Киевская Русь не является государством рабовладельческой формации. Следовательно, в Киевской Руси не было рабов.
      Поскольку логика в школе не изучается, учитель не может просто сослаться на то, что в рассуждении нарушается правило первой фигуры силлогизма — меньшая посылка является отрицательной. Единственная возможность разъяснить сущность допущенной ошибки заключается в использовании аналогии. Необходимо привести другой пример умозаключения с теми же отношениями (Rх) между его элементами, в котором неправомерность полученного вывода была бы совершенно очевидной.
      Неправомерность вывода также представляет собой некоторое отношение — «не следует», — которое можно обозначить как R2. Таким образом, рассуждение ученика можно рассматривать как прототип, и целесообразно указать модель, с помощью которой можно было бы установить наличие R2 в прототипе. В качестве такой
      модели можно было бы взять, например, такой силлогизм: Все помидоры — овощи, огурцы — не помидоры, следовательно, огурцы не овощи.
      Неправомерность приведенного умозаключения, т. е. наличие в модели отношения Rt, совершенно очевидна. Но правомерно ли переносить это отношение на прототип? Для обоснования этой правомерности необходимо показать, что R 2 в модели определяется исключительно Rlt является его следствием и не зависит от специфики соотносящихся вещей, т. е. от того, о чем именно идет речь в данном умозаключении. Чтобы достичь этого, нужно вычленить в модели отношение Ru рассмотреть его независимо от соотносящихся предметов.
      Отвлечемся от конкретных свойств этих предметов, обозначив их символами А, В, С, каждый из которых может принимать различные конкретные значения. Будем иметь схему: Все А суть В; С не есть Л; С не есть В. Полученная схема характеризует не только модель, но и прототип; это означает, что в обоих случаях имеет место отношение Ri. Обозначим через R2 отношение «следует», являющееся отрицанием отношения R2. Если бы приведенная схема давала правомерный вывод, то между Rt и R2 существовала бы связь, выражаемая импликацией Ri(A, В, C)-+R2(A, В, С). Но наша модель показывает, что эта импликация не имеет места. Есть только две возможности: либо схема правильна, либо неправильна. Если Ri(A, В, С) не имплицирует R2(A, В, С), то ?, (Л, В,С) имплицирует R2(A, В,С). Это значит, что мы имеем ?i( l, В, C)-+R2 (Л, В, С). Эта связь совершенно не зависит от конкретных особенностей А, В, С. Таким образом, правомерность переноса R2 с модели на прототип обоснована. Вывод носит не вероятный, но достоверный характер.
      Разумеется, учитель не имеет возможности проводить перед учениками приведенное выше обоснование правомерности вывода по аналогии, — так же как он не может давать обоснование правомерности тех или иных форм дедукции или индукции. Такое обоснование — дело логики. Но учитель должен владеть логикой, чтобы сознательно пользоваться логически обоснованными выводами.
      Приведем другой пример. Для того чтобы доказать теорему Пифагора, Евклид прибегает к аналогии между построением квадратов на сторонах прямоугольного треугольника и построением на этих же сторонах прямоугольных треугольников [21, с. 34 — 36] (см. рис. на с. 27).
      Треугольник, построенный на гипотенузе, совпадает с первоначальным треугольником. Треугольники, построенные на катетах, представляют собой части первоначального треугольника, разделенные высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Легко видеть, что треугольник, построенный на своей гипотенузе, подобен двум другим треугольникам, построенным на его катетах. Отношение подобия между этими треугольниками обозначим Rt. Квадраты, построенные на сторонах прямоугольного треугольника,
      также подобны друг другу. Иными словами, в прототипе имеет место то же самое отношение Rlt что и в модели.
      Но в модели есть и другое отношение: площадь фигуры, построенной на гипотенузе, очевидно, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Обозначив это отношение как R2, перенесем его по аналогии на прототип. Получим искомый результат: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
      Согласиться с таким доказательством можно только в том случае, если будет показано, что связь между Rx и R2 не зависит от конкретных особенностей соотносящихся объектов, т. е. будет показано выполнение условий правомерности рассмат* риваемого типа выводов по аналогии.
      Допустим, что мы не фиксируем каких-либо конкретных свойствфигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Известно только, что эти фигуры подобны друг другу.
      Если в модели площадь квадрата, построенного на гипотенузе а, равна о2, то площадь соответствующей фигуры (треугольника) в прототипе в общем случае равна Ана, где А — некоторый коэффициент. Из подобия трех фигур, построенных на сторонах я, b, с прямоугольного треугольника, следует, что их площади соответственно равны fa,2, Kb2, Ас2. Каждый конкретный тип фигуры определяет конкретное значение к. Для некоторого конкретного случая, скажем, для нашей модели, коэффициент к пусть будет равен А. Результат исследования модели показывает, что kla1=klb2Jrkxc2. Из этого равенства видно, что числовое значение А, оказывается несущественным. Поэтому мы можем заменить А, любым другим значением А, в том числе и А=1. Для случая А=1 в прототипе имеем соотношение я2= — Ь2-l-с2. Таким образом, вывод о наличии в прототипе отношения R2 сделан исключительно на основе отношения Rlt т. е. подобия геометрических фигур, построенных на сторонах треугольника, и не связан с особенностями объектов, между которыми устанавливается это отношение. Тем самым обосновывается правомерность вывода но аналогии.
      Как уже отмечалось выше, другой распространенной формой аналогии отношений является аналогия типа изоморфизма. Всегда ли здесь достоверен получаемый вывод?
      Рассмотрим пример с картой поверхности Земли. Несмотря на то что каждой точке земной поверхности соответствует определенная ¦юнка карты, отношения между точками на карте могут не соответствовать (или не вполне соответствовать) отношениям между точками на земной поверхности. Это несовпадение очевидно, если взять карты больших участков Земли, например карту полушарий. Такие карты значительно искажают направления, т. е. углы. Можно взять карту,
      не искажающую углов, — меркаторскую. Но на такой карте будет резко нарушено соотношение расстояний.
      Из сказанного следует, что для обоснования правомерности переноса отношений из одной системы в другую одного изоморфизма недостаточно. Здесь требуются дополнительные условия. Эти условия должны представлять собой ограничения, накладываемые на корреляторы и переносимые отношения. Возможны различные комплексы таких ограничений. Сформулируем в качестве примера один из них. Предварительно введем некоторые понятия.
      В логике отношение R называется функциональным (многооднозначным) в том случае, если возможен лишь один объект, находящийся в отношении R к данным объектам. Например, функциональным будет отношение окружности к ее центру, поскольку у любой окружности есть только один центр (но для любой точки — «центра» — можно построить, конечно, не одну окружность). Задание окружности однозначно определяет точку, являющуюся се центром.
      Отношение R называется взаимно-функциональным (одно-одно-значным), если" каждый из соотносящихся с помощью данного отношения объектов однозначно определяет другой. Например, длина диагоналей квадрата однозначно определяет длину его сторон, и наоборот.
      Если отношение R представляет собой отношение объекта а к объекту b, то отношение, которое имеет объект b к объекту а, называется обратным и обозначается R.
      Пусть отношения Q и S функциональны. Определив с помощью отношения Q, примененного к объекту а, объект b, что выразим как b — Qa, мы затем можем определить новый объект с с помощью отношения S, примененного к b: c=Sb. Используя полученные результаты, придем к соотношению c=S Qa. Но можно поступить и наоборот: сначала к а применить 5, а к Sa применить Q. Если результаты будут совпадать, т. е. c=S Qa — QSa, то отношения S и Q назовем коммутативными.
      Пусть в модели — между ее элементами ах, ..., ап — имеет место отношение R(alt ..., ап). Прототип состоит из элементов blf ..., bn, взаимно-однозначно соответствующих элементам модели. Допустим, что отношение R(au ...,оп) разлагается на совокупность отношений а„ ...,ап между парами элементов: аи а2l ...; ап_ь апl ап, ах. Пусть в прототипе этим отношениям соответствуют отношения рх, ..., рп между парами соответствующих элементов: Ьх, Ь2, ...; Ьп_х, bnl Ьп, Ьх. В таком случае достаточными условиями тождества отношений в модели и прототипе, т. е. достаточными условиями соотношений: cti=Pi; ...; ап=Рп» будет выполнение следующих требований:
      1) Каждое из отношений at, pt (1 ц) функционально (многооднозначно). Иными словами, каждый последующий член ai+l (соответственно, bi+x) однозначно определяется с помощью отношения а,- (соответственно, р*) между предыдущим членом at (соответственно, bf) и членом at+x (соответственно, bt+l).
      2) Отношения (3* коммутативны с корреляторами р, и ре+1, а отношения ctj коммутативны с обратными корреляторами р,-ир|+1 (г. е. с корреляторами, направление которых противоположно направлению корреляторов р,- и р1+1).
      Доказательство утверждения, охватываемого пунктами 1) и 2), выходит за рамки настоящей статьи (оно изложено в [16; 17]). Поясним ч о смысл на простом примере. Пусть модель представляет собой систему чисел {18,36,9,3}. Между ними будут иметь место отношения,
      выражаемые числами 4,3, Здесь каждое число выражает бинарное отношение предыдущего элемента системы к последующему. Для того чтобы число бинарных отношений соответствовало числу элементов системы (что упрощает обозначения), рассматривается также бинарное отношение последнего элемента к первому. Пусть элементы прототипа связаны с элементами модели отношением «в 1,389 раза больше». Нетрудно видеть, что здесь соблюдаются приведенные выше условия. Поэтому вывод о том, что первый элемент прототипа составляет- второго, второй — в 4 раза больше третьего, третий — в 3 раза больше четвертого, а четвертый составляет первого, будет
      вполне правомерен.
      Однако если бы в качестве отношений модели брались не мультипликативные, а разностные отношения — «первое число на 18 меньше второго», «второе на 25 больше третьего», «третье на 6 больше четвертого», «четвертое на 15 меньше первого», то при том же корреляторе было бы нарушено условие коммутативности (например, (18 — — 18)-1,389фl8-1,389 — 18) и вывод оказался бы неправомерным. Но если бы коррелятор сделать тоже разностным, например «па 1,389 больше», условие коммутативности опять было бы соблюдено, и вывод, отождествляющий отношения в прототипе с отношениями модели, вновь был бы достоверным.
      Наряду с достаточными условиями правомерности выводов по аналогии могут быть сформулированы и необходимые условия. Для случая аналогии отношений эти условия определяются теми следствиями, к которым приводит отождествление отношений в сравниваемых системах. Так, во многих случаях тождество отношений в сравниваемых системах предполагает тождество отношений между соответствующими отдельными элементами этих систем. Явное отсутствие последнего означает неправомерность вывода по аналогии в целом. В этой связи рассмотрим ту аналогию между сокращением сомножителя и слагаемого в числителе и знаменателе дроби, о которой говорилось выше. На основе соотношения а ученик делает вывод по аналогии о том, что — ?~==а. Основанием здесь
      является общность свойств умножения и сложения, выражающихся в наличии обратных операций. Но для умножения обратной операцией будет деление, а для сложения — вычитание. Поэтому переходу от умножения к сложению должен соответствовать для обратных операций переход от деления к вычитанию. Это значит,
      что модели = Д правильно проведенная аналогия должна сопоставлять прототип (а+6) — Ь — а.
      В рассмотренной аналогии к числу элементов сопоставляемых систем относятся сами операции — умножение и деление, сложение и вычитание. Неправильно проведенная аналогия приравнивает отношение умножения к делению и отношение сложения к делению же. При правильной аналогии первому отношению приравнивается отношение сложения к вычитанию.
      Учитель, встречаясь с выводом, подобным ~ = а, должен не бороться с аналогиями, как таковыми, а показывать ученикам, как нужно правильно строить такой вывод.
      Использование различных видов аналогии в учебном процессе. Приведенные соображения и примеры показывают, что выводы по аналогии могут быть столь же обоснованы, как и выводы индуктивного или даже дедуктивного характера. Различные методы такого обоснования соответствуют разным формам выводов по аналогии. Отсюда следует необходимость пересмотра традиционных представлений о функциях аналогии в учебном процессе.
      На наш взгляд, в учебном процессе, поскольку он связан с мышлением, можно выделить четыре момента. Это, во-первых, возникновение в сознании учащихся новых мыслей, т. е. процесс формирования нового знания. Во-вторых, установление ассоциаций между новыми мыслями и старыми, уже имевшимися в сознании учащихся. На этом основано понимание нового знания. В-третьих, выяснение логических связей новых мыслей с другими, истинность которых признана ранее. Это процесс логического доказательства. И, в-четвертых, применение полученных знаний, их практическая проверка.
      Обычно, говоря о положительной роли аналогии в учебном процессе, методисты отмечают ее эвристическую ценность. Это значит, что они относят применение аналогии в основном к первому из указанных выше процессов. Однако выше уже говорилось о том, что такой авторитетный методист, как И. И. Соколов, делает из этого важное исключение. Он отрицательно относится к использованию аналогии в процессе формирования новых понятий. Поскольку положительная роль аналогии в усвоении нового знания вообще И. И. Соколовым не отрицается, получается, что здесь речь идет о противопоставлении формирования понятий формированию суждений, так как новое знание выражается прежде всего в этих двух логических формах. Однако противопоставление понятий и суждений в данном отношении лишено смысла. Понятие представляет собой результат, синтез многих суждений; поэтому если признается законность суждений, выведенных по аналогии, то должна также признаваться законность и понятий, построенных на их основе.
      Паука изобилует примерами понятий, введенных по аналогии, — «пеплоемкость», «электроемкость», «напряжение», «электрический кж» и т. д. Блестящее применение нашла аналогия, например, при формировании понятия изотопического спина.
      Как уже отмечалось, логические методы развития науки не могут не найти своего отражения в практике ее преподавания.
      Б статье С. Е. Каменецкого 110] по существу показывается, как применяется аналогия именно для формирования понятий.
      Отрицание аналогии как метода формирования понятий связано, по-видимому, с тем, что всякая аналогия отождествляется с парадейгмой. Парадейгма предполагает у сравниваемых объектов общность возможно большего количества существенных свойств. Это снижает возможность образования с помощью парадейгмы действительно новых понятий. Вместе с тем при меньшем количестве общих свойств снижается степень правдоподобия вывода. Таким образом, парадейгма действительно имеет малую ценность как метод формирования новых понятий. Это верно и для науки, и для педагогического процесса. Однако для формирования понятий широко используются другие виды аналогий, прежде всего аналогии отношений, и среди них чаще всего аналогии типа изоморфизма. 11менно эти аналогии совмещают новизну вывода с достоверностью результата. Здесь имеет место отождествление таких отношений, которые относятся зачастую к качественно разнородным предметам.
      Решающее преимущество аналогии типа изоморфизма в процессе создания новых понятий заключается в том, что здесь аналогия по- * нятий является не только результатом, синтезом многих выводов по аналогии, но вместе с тем и необходимым элементом каждого из них. Соответствующие друг другу элементы сравниваемых систем являются тем, что обычно называется аналогами или аналогичными понятиями. Таким образом, механизм образования аналогичных понятий в случае аналогии типа изоморфизма чрезвычайно прост. Это переход от одних элементов к другим на основании однозначного соответствия между ними. Например: «Аналогично тому, как в гидродинамической системе напор создает движение воды, в электрической цепи ток создается в силу наличия «электрического напора», называемого напряжением» [10, с. 133]. Здесь с гидравлическим напором сопоставляется электрический напор, с движением воды — ток. Такое сопоставление приводит к образованию новых понятий. Вначале аналогичность подчеркивается в названии — «электрический напор». Затем название заменяется на «напряжение». Аналогия терминов исчезает. Остается лишь аналогия понятий.
      Однако понятия-аналоги, образованные таким способом, дают право на довольно ограниченный круг выводов, связанный лишь с переносом отношений. Отождествление свойств соответствующих элементов вне рассматриваемых отношений исключается. Например, бессмысленно переносить на электрический ток свойство жидкости превращаться при определенной температуре в твердое тело. В то же время аналогия понятий, образованных с помощью парадейгмы, вообще говоря, дает право на перенос любых свойств. Например, с Земли на ее аналог — Марс можно пытаться переносить не только обитаемость, но и геологическое строение, химический состав внутренних частей планеты и т. д.
      Мы говорили о функциях разных форм аналогии в процессе формирования понятий. Что касается суждений, то и здесь эвристическая ценность парадейгмы, вообще говоря, не выше, чем ценность других рассмотренных выше форм аналогии. Основной недостаток парадейгмы в этом отношении заключается в том, что для ее правомерности необходима качественная однородность сравниваемых объектов. Этого недостатка лишены аналогии отношений. Поэтому их можно применять для получения более ценных в познавательном отношении выводов. Это относится и к науке, и к педагогическому процессу.
      Ярким примером использования аналогии отношений в эвристических целях является планетарная модель атома. С помощью такой модели, исходя из аналогии между законами Кулона и Ньютона, можно подвести учащихся к выводу о форме орбит электронов в атоме.
      Многие методисты, в частности И. И. Соколов, отмечают значение аналогии для «пояснения» нового материала. Действительно, в этом отношении аналогия обладает большими преимуществами. Дедукция может заставить человека согласиться с тем или иным выводом, но она зачастую не делает его понятным. Не имея возможности как-то возразить против дедуктивного вывода, человек в таком случае все же остается неубежденным и подозревает «софизм». Индукция через перечисление по самой своей природе не может ничего объяснить. Если непонятны отдельные факты, то не может быть понятно и их обобщение. Специфика же аналогии заключается прежде всего в том, что она является средством объяснения.
      «Объяснительная» — экспликативная — функция аналогии существенна для развития науки. Однако особенно большую значимость эта функция имеет в процессе преподавания. Значение аналогии для понимания нового обусловлено тем, что модель выбирается обычно среди наиболее знакомых, привычных, «понятных» явлений. С помощью вывода по аналогии «понятность» модели в той или иной мере переносится и на прототип. Вместе с тем большая понятность прототипа делает более понятной и саму модель. Так, метод противопоставления прямых и обратных операций, предлагаемый П. М. Эрдниевым, дает возможность с помощью аналогии между теми и другими сделать их более понятными для учащихся [27 — 29].
      Однако экспликативная ценность аналогии далеко не всегда одинакова. Она зависит прежде всего от строения, формы вывода. Из рассмотренных выше форм наибольшую ценность в этом отношении имеют аналогия следствий и простая аналогия отношений.
      В аналогии следствий с модели на прототип переносится логическое свойство истинности. Истинность прототипа объясняется точно так же, как истинность модели: то и другое вытекает из одного
      источника, обусловлено одним и тем же основанием. Поэтому если понятно, почему истинна модель, то будет понятно, почему истинен прототип.
      Простая аналогия отношений устанавливает в прототипе связь между отношениями R1 и R2. Если брать прототип сам по себе, то чга связь зачастую непонятна. Эта непонятность обычно обусловлена конкретными свойствами элементов прототипа, непривычными для учащихся. Например, таким прототипом могут быть грамматические конструкции иностранного языка. Так, при изучении немецкого языка русские учащиеся часто недоумевают, почему в предложениях типа Ich komme, urn du mir ein Buch gibst придаточное предложение не стоит в будущем времени, хотя здесь глагол выражает действие, будущее по отношению к времени действия сказуемого главного предложения. Для разъяснения этого вопроса с помощью аналогии в качестве модели можно взять знакомую конструкцию родного языка: Я иду к тебе, чтобы ты дал мне книгу. Здесь то же самое огношение R, между временами действия, но оно выражается только не формой будущего времени, а даже формой прошедшего. Понятность связи между ?, и R, в родном языке делает понятным эту связь и в иностранном.
      Эксплнкативная ценность парадейгмы и аналогии типа изоморфизма, на наш взгляд, меньше. В случае парадейгмы, вообще говоря, не всегда понятно, почему предметы, имеющие ряд сходных свойств, должны иметь и другие сходные свойства. Использовать парадейгму для объяснения можно лишь в том случае, если предположить, что переносимые свойства имеют какие-то причинные связи с теми свойствами, присущность которых сравниваемым предметам является основанием вывода.
      Изоморфизм сам по себе также не всегда объясняет возможность переноса отношения от модели на прототип. Например, можно пг пять возможность установления соответствия между электрическим током и движением жидкости, между напором воды и напряжением. Но почему в электрических явлениях имеют место те же отношения, 1 то и в жидкости? Ведь по проводам не течет жидкость! Понимания ьтого факта легче всего достигнуть, если тем или иным способом будет применена простая аналогия отношений.
      Однако аналогия типа изоморфизма, даже в том случае, когда она не объясняет причину явления, имеет гсе-таки большую ценность для понимания характера отношений в прототипе, поскольку ь результате ее применения обнаруживается, что это те же отношения, которые уже известны нз модели.
      Когда говорят об использовании аналогии для «пояснения», обычно имеют в виду именно такое отождествление отно-ц ений в разных системах, без выяснения причин того, почему это отождествление возможно. В связи с этим возникает вопрос, всегда ли, когда используют аналогию для объяснения, используют умозаключение? Вообще говоря, зачастую аналогией называют простое приравнивание отношений в двух разных системах без выявления основании такого приравнивания. Вопрос о тем, можно ли считать подобную операцию умозаключением, довольно сложен. Он относится к области, пограничной между логикой и психологией. На наш взгляд, здесь имеет место случай, аналогичный энгимеме категорического силлогизма. В энтимеме не формулируется, а «опускается», например, большая посылка. Но она может быть реконструирована логиком. Подобным же образом в случае аналогии основание переноса отношений с модели на прототип может быть реконструировано логиком. На практике всегда какое-то основание молчаливо предполагается. Чаще всего предполагается соответствие элементов сравниваемых систем. Таким образом, не будет большой ошибки, если использование аналогий в учебном процессе всегда считать использованием умозаключений.
      Если эвристическая и экспликативная функции аналогии в учебном процессе обычно не отрицаются методистами, то использование аналогии в обучении как орудия доказательства вызывает единодушный протест. И это понятно, поскольку всякая аналогия отождествляется с парадейгмой, и правила этой парадейгмы не известны. В процессе доказательства должен быть получен достоверный вывод. Поэтому стремление изгнать из доказательства выводы типа Сегодня был дояедь, слсдовипельно, и завтра будет дождь вполне оправдано. Однако, как мы пнделн, ряд форм умозаключений по аналогии пои определенных условиях дает достоверный еывод. Поэтому они могут быть использованы в процессе доказательства.
      Фактически аналогия как метод доказательства используется довольно часто — и в науке, и в процессе обучения. Выше был приведен пример с доказательством теоремы Пифагора. Сн взят из книги Д. Пойа, который, вообще говоря, рассматривает аналогию как лишь правдоподобное рассуждение. Однако вывод, полученный в процессе упомянутого доказательства с помощью аналогии, не только правдоподобен. Он достоверен. Иначе не было бы математического доказательства. Иногда в таких случаях отрицают, что речь идет об аналогии. Но Пона подчеркивает именно роль аналогии: «Мы сумеем открыть доказательство, которое будет приведено ниже, если заметим аналогию между знакомой частью I нашей составной фигуры и едва ли менее знакомой частью 11» [21, с. 35].
      На эти доводы могут возразить: «Возможно применение аналогии в процессе доказательства опять-таки в- эвристических целях, для нахождения метода доказательства, но это не значит, что гозможно доказательство по аналогии. Аналогия сама по себе ничего не доказывает. Доказывают дедуктивные рассуждения, использующие аналогию. В частности, у Пойа аналогия в процессе доказательства выступает не самостоятельно, а вместе с обобщением и специализацией».
      Обоснованный анализ этого возражения требует более углубленного рассмотрения природы умозаключений и проблемы их классификации [30]. Здесь мы ограничимся следующими соображениями. Необходимо различать умозаключение, представляющее собой про-
      цесс перехода от данных, фиксированных посылками, к заключению, и проверку правомерности умозаключения, т. е. выяснение того, обязательно лн истинность посылок обусловливает истинность заключения. Второе возможно лишь в том случае, если уже есть первое. Нельзя установить правомерность умозаключения, если его нет. Различи» между индукцией, дедукцией и аналогией — это различия между типами умозаключений. Эти различия не зависит от уровня развития логической теории. В дедуктивных рассуждениях нередко допускаются ошибки. От этого дедукция не перестает быть дедукцией. Но вполне положиться на дедукцию можно лишь в гом случае, если в нашем распоряжении есть логическая теория для ее проверки. В процессе проверки дедукции мы можем применять разные умозаключения, например аналогию. Но от этого проверяемая дедукция не превращается в аналогию. Она продолжает оставаться дедукцией. Соответственно, если мы применяем логический аппарат для проверки аналогии и при этом используем дедукцию, то аналогия не превращается в дедукцию, остается аналогией.
      Итак, никакое умозаключение само по себе без проверки его правомерности, строго говоря, не достаточно для доказательства. Но в случае дедукции проведение проверки значительно легче и зачастую даже излишне ввиду очевидности получаемых выводов. Для аналогии проверка сложнее, но, как было уже показано, она возможна. Отсюда, на наш взгляд, следует, что можно говорить не только об использовании аналогии в процессе доказательства, но именно о доказательстве па аналогии.
      В самом деле, допустим противное: вывод по аналогии — всегда только элемент доказательства, наряду с другими умозаключениями. Но если аналогия не может ничего доказать, то не может ничего доказать и рассуждение в целом, в которое аналогия входит в качестве необходимого элемента. Слабейшее звено определяет крепость всей цепи. Но если другие умозаключения используются не наряду с аналогией, а лишь для проверки ее правомерности, то они относятся к более высокому уровню логического анализа и не могут изменить характера первоначального умозаключения, которое остается выводом по аналогии. Именно это имеет место в рассмотренном выше случае с доказательством теоремы Пифагора.
      Среди логиков давно существовало стремление: для выяснения правомерности вывода по аналогии представить ее как синтез индукции от одного случая к общему положению и дедукции от общего положения к другому, частному случаю. Поскольку индукция ог одного случая дает крайне маловероятный вывод, крайне маловероятным оказывался и вывод по аналогии.
      Д. Пойа вместо индукции и дедукции говорит об обобщении и специализации. Но то и другое необходимо исключительно для того, чтобы установить правомерность вывода по аналогии. Вывод оказывается вполне достоверным потому, что частное в данном случае логически равносильно общему. Эгот факт обычен для математики.
      Большое применение аналогия находит не только в процессе непосредственного усвоения нового знания, но и при его практическом использовании. Здесь аналогия имеет преимущество перед дедукцией, поскольку позволяет теоретически бесконечно раздвигать сферу применения полученных знаний. Это особенно характерно для аналогий типа изоморфизма. Однозначные соответствия можно устанавливать между качественно разнородными объектами и тем самым применять знания, полученные при исследовании данной области, к самым различным областям. Прекрасные примеры использования аналогии в процессе применения знаний читатель может найти в работах Д. Пойа [21, 31, 32].
      Рассмотрение этих примеров не входит в нашу задачу. Мы ограничились общей постановкой проблемы б значении выделения различных форм выводов по аналогии для выяснения их функций в учебном процессе.