ПРЕДИСЛОВИЕ
Шутливые ложные умозаключения затрагивают немало вопросов, подлежащих серьезному научному исследованию, зато, с другой стороны, на серьезном лице учителя наверно появится веселая улыбка при взгляде на некоторые из этих ученических ошибок. Хотелось бы, чтобы учащим и учащимся, веселым и серьезным математикам этот небольшой сборник кое-что принес; пусть он содействует тому, чтобы привнести в серьезное преподавание некоторые веселые, а в веселую беседу — некоторы более серьезные моменты.
Ложные умозаключения собраны Литцманном. Ученические ошибки выбраны Триером (по предложению издателя "Математической Библиотеки") из его рукописного сборника, которым он пользовался течение ряда лет, как материалом для упражнений при подготовке преподавателей. Знакомые и коллеги принесли свои лепты для настоящего сборника. Им всем, а в особенности профессорам Гутцмеру (Галле), Штёккелю (Гейдельберг) и Виттингу (Дрезден), помогавшим читать корректуру, приносим нашу искреннюю благодарность.
В. Литцманн, В. Триер
Бармен и Копенгаген Март 1913
Ошибочные математические умозаключения
I. ВВЕДЕНИЕ
Собранные в первой части этой книжки ошибочные умозаключения в большинстве строятся на таком приеме: ошибка намеренно включается в цепь умозаключений по возможности незаметным образом для читателя, который лишь, дойдя до нелепого вывода, замечает, что в чем-то дал себя провести. Не с каждым читателем и не в отношении каждой задачи цель эта может быть достигнута в одинаковой степени. Бывают люди чрезвычайно подозрительные, которых трудно обойти, особенно, когда какое-нибудь поразительное утверждение с самого начала заставляет их удвоить свою осторожность. Помимо того, далеко не безразлично, в какой мере читатель знаком с общепринятыми в элементарной математике приемами вычислений и Доказательств. Так, например, я включилггожные умозаключения, основанные на теории неравенств, только потому, что в школьном курсе (по крайней мере, в Германии) отдел этот является каким-то пасынком. Для того, кто много работал с неравенствами, дело сводится просто на просто к грубым ошибкам. То же относится и к примерам из теории рядов.
Итак, мы должны замаскировать ошибку, если хотим поразить читателя.
Разумеется, нельзя отрицать, что при случае могут представить интерес такие ложные умозаключения, в которых ошибки ясны, как на ладони. Вот несколько примеров подобного рода.
Прежде всего возьмем прекрасное доказательство Пифагоровой теоремы, чго сумма изображенных на чертеже 1 квадратов I и II, построенных на катетах, равна обозначенному знаком III квадрату, построенному на гипотенузе. Непосредственно путем простого сложения убеждаются, что
Вот еще очень известная история: некто приходит в магазин и покупает нож за 1,50 руб. На другой день он вновь заходит в магазин, желая обменять свой нож, он выбирает себе другой, стоимостью в 3 р., и ничего не заплатив, собирается уходить. Когда владелец магазина задерживает его хитрец говорит: Ведь я оставил вам нож ценою в 1,50 р, а вчера я заплатил вам наличными 1,50 р.
Вместе это составляет 3 р, и мы, таким образом, в расчете.
Не менее интересным, хотя далеко не таким общеизвестным, является следующее рассуждение: Часто приходится слышать мнение, что число людей в прежние времена было значительно меньше, чем в настоящее время. Насколько, однако, такой взгляд ложен, можно убедиться помощью следующих простых соображений.
Пусть число живущих в настоящее время людей будет n. Каждый из этих n человек имел отца и мать, т. е. двух родителей; число всех его дедушек и бабушек будет 4. Если вернуться назад к p-му поколению, то число всех его предков в этом поколении будет 2Р. Допустим теперь, что продолжительность жизни одного поколения — 30 лет; это скорее слишком мало, чем слишком много. Таким образом, если вернуться на 30p лет назад, то у одного человека в то время жило 2Р предков. Для n человек получим n2Р предков. Так как 2 в 10ст. равно приблизительно 1000, то, следовательно, 300 лет тому назад было приблизительно в 1000 раз больше людей, чем в настоящее время, 600 лет тому назад их было в 1000000 раз больше и т. д.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
