Формирование элементарных
математических представлений
у дошкольников

      Часть первая
      МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ У ДЕТЕЙ КАК НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА
     
      Глава I. ПРЕДМЕТ МЕТОДИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДОШКОЛЬНИКОВ
     
      § 1. Методика формирования элементарных математических представлений как научная область
     
      Методика формирования элементарных математических представлений в систоме педагогических наук признана оказать помощь а подготовке детей дошкольного возраста к восприятию и усвоению математики — одного из важнейших учебных предметов в школе, Способствовать воспитанию всесторонне развитой личности.
      Выделевшись из дошкольной педагогики, методика формирования элементарных математических представлений стала самостоятельной научной и учебной областью. Предметом ее исследования является изучение основных закономерностей процесса формирования элементарных математических представлений у дошкольников в условиях общественного воспитания.
      Круг задач, решаемых методикой, достаточно обширен:
      — научное обоснование программных требований к уровню развития количественных, пространственных, временных и других математических представлений детей в каждой возрастной группе;
      — определение содержания фактического материала для подготовки ребенка в детском саду к усвоению математики и школе;
      — совершенствование материала по формированию математических представлений в программе детского сада;
      — разработка и внедрение в практику эффективных дидактических средств, методов и разнообразных форм организации процесса развития элементарных математических представлений;
      — реализация преемственности в формировании основных математических представлений в детском саду и соответствующих понятий в школе;
      — разработка содержания подготовки высококвалифицированных кадров, способных осуществлять педагогическую и методическую работу по формированию и развитию математических представлений у детей во всех звеньях системы дошкольного воспитания;
      — разработка на научной основе методических рекомендаций родителям по развитию математических представлении у детей в условиях семьи.
     
      Общая задача методики — исследование и разработка дидактических основ процесса формфования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста. Она решается с позиций марксистско-ленинской теории, которая, выработав единый взгляд на мир, открыв законы развития природы, общества, личности, служит методологической, мировоззренческой основой любой науки.
      Теоретическую базу методики формирования элементарных математических представлений у дошкольников составляют не только общие, принципиальные, исходные положения философии. педагогики, психологии, математики и других наук. Как система педагогических знании она имеет и свою собственную теорию, и свои источники. К последним относятся:
      — работы классиков марксизма-ленинизма, документы партии и правительства по вопросам народного образования;
      — научные исследования и публикации, в которых отражены основные результаты научных поисков (статьи, монографии, сборники научных трудов и т. д.);
      — программно-инструктивные документы («Программа воспитания и обучения в детском саду», методические указания и т. д.);
      — методическая литература (статьи в специализированных журналах, например в «Дошкольном воспитании^ пособия для воспитателей детского сада и родителей, сборники игр и упражнений, методические рекомендации и т. д.);
      — передовой коллективный и индивидуальный педагогический опыт по формированию элементарных математических представлений у детей в детском саду и семье, опыт и идеи педагогов-новаторов.
     
      Методика формирования элементарных математических представлений у дошкольников постоянно развивается, совершенствуется и обогащается результатами научных исследований и передового педагогического опыта.
      В настоящее время благодаря усилиям ученых и практиков создана, успешно функционирует и совершенствуется научно обоснованная методическая система по формированию элементарных математических представлении у дошкольников. Еe основные элементы — цель, содержание, методы, средства и формы организации работы теснейшим образом связаны между собой и взаимообусловливают друг друга. Ведущим и определяющим среди них является цель, так как она социально детерминирована и носит объективный характер. Детский сад выполняет социальный заказ общества, подготавливая детей к изучению основ наук (в том числе и математики) в школе.
      Советская педагогика и психология, опираясь на марксистско-ленинское учение, рассматривает развитие личности как процесс усвоения общественно-исторического опыта человечества. Этот опыт в его обобщенном виде передается молодому поколению взрослыми в процессе обучения. Ф. Энгельс писал, что индивидуальный опыт ребенка заменяется результатом опыта его предков. И усвоение детьми математических аксиом не что иное, как усвоение накопленной людьми наследственности.
      Обучение и развитие находятся в диалектической связи. Опираясь на наличный уровень развития, обучение должно несколько опережать его. Это значит, что в процессе обучения необходимо ориентироваться не только на то, что способен делать сам ребенок, но и на то, что он может сделать при помощи взрослых, под их руководством, т. е. на перспективу, на зону ближайшего развития, в которой лежат обычно новые и более сложные действия и операции, чем те, которыми уже владеет ребенок. При их освоении используется «не только законченный уже на сегодняшний день процесс развития, не только уже завершенные его циклы, не только проделанные уже процессы созревания, но и те процессы, которые сейчас находятся в состоянии становления, которые только созревают, только развиваются»2. То, что ребенок недавно мог делать с помощью взрослого, через некоторое время в результате обучения выполняется им самостоятельно. «Зона ближайшего развития» становится «актуальным» уровнем развития.
      Обучение ведет за собой развитие, являясь его источником и прокладывая ему пути. Каждый из этих взаимосвязанных процессов имеет свои закономерности. Неправомерно как отождествление, так и противопоставление их друг другу.
      Однако до сих пор и в теории, и на практике не изжило себя полностью мнение, что, чем меньше возраст ребенка, тем меньше вмешательства должно быть в процесс его развития. Считается, что приобретение количественных, пространственных, временных представлений совершается само собой, стихийно в повседневной жизни и разнообразной деятельности детей. Существуют попытки жестко определять возрастные возможности в усвоении знаний, отрицать программность обучения маленьких детей. Так, швейцарский психолог Ж. Пиаже считает большой ошибкой думать о том, что ребенок воспринимает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. По его мнению, эти понятия формируются у ребенка самостоятельно и спонтанно.
      По мнению Ж. Пиаже, его учеников и последователей, овладение математическими понятиями происходит на основе логических операций классификации и сериации, которые ребенок открывает сам и обучиться которым практически невозможно. Они появляются довольно поздно, в 11—12 лет, т. е. уже в школьном возрасте. Такая точка зрения не решает проблемы математического развития и обучения детей в дошкольном возрасте.
      Продуктивный подход к решению этой задачи сложился в советской педагогике и психологии на основе данных многочисленных исследований. Он заключается в следующем: в условиях рационально построенного обучения, учитывая возрастные возможности дошкольников, можно сформировать у них полноценные представлении об отдельных математических понятиях. Обучение при этом рассматривается как непременное условие развития, которое в свою очередь становится управляемым процессом, связанным с активным формированием элементарных математических представлений и логических операций. При таком подходе не игнорируется стихийный опыт и его влияние на развитие ребенка, но ведущая роль отводится целенаправленному обучению.
      Под математическим развитием дошкольников следует понимать сдвиги и изменения в познавательной деятельности личности, которые происходят в результате формирования эле» ментарных математических представлений и связанных с ними логических операций.
      Формирование элементарных математических представлений — это целенаправленный и организованный процесс передачи и усвоения знаний, приемов и способов умственной деятельности, предусмотренных программными требованиями. Основная его цель — не только подготовка к успешному овладению математикой в школе, но и всестороннее развитие детей.
     
      § 2. Методика формирования элементарных математических представлений и другие науки
     
      Методика формирования элементарных математических представлений у детей в детском саду связана со многими науками, и прежде всего с темн, предметом изучения которых являются разные стороны личности и деятельности рсбенка-дошколышка, процесс его воспитания и обучения.
      Наиболее тесная связь существует у нее с дошкольной педагогикой, наукой о коммунистическом воспитании детей. Методик?» формирования элементарных математических представлений опирается на разрабатываемые дошкольной педагогикой и дидактикой задачи обучения и умственного воспитания подрастающего поколения: принципы, условия, пути, содержание, средства, методы, формы организации и т. д. Связь эта по своему характеру взаимная: исследование и разработка проблем формирования элементарных математических представлений у детей в свою очерет» совершенствует педагогическую теорию, обогащая се новым фактическим материалом.
      Многосторонние контакты существуют между частными методиками, изучающими конкретные закономерности процесса воспитания и обучения маленьких детей: методикой формирования элементарных математических представлений, развития речи, теорией и методикой физического воспитания и др.
      Подготовка детей к усвоению математики в школе не может осуществляться успешно без связи с методикой начального обучения математике и теми аспектами самой математики, которые являются теоретической основой обучения дошкольников и младших школьников. Опора на эти науки позволяет, во-первых, определить объем и содержание знаний, которые должны быть освоены детьми в детском саду и служить фундаментом математического образования; во-вторых, использовать методы и средства обучения, в полной мере отвечающие возрастным особенностям дошкольников, требованиям принципа преемственности.
      Реформой общеобразовательной и профессиональной школы поставлена задача повышения качества обучения всем общеобразовательным предметам, в том числе и математике. Общеизвестно, что при усвоении математических знаний у многих учащихся возникают серьезные затруднения, причиной которых, как правило, бывает недостаточная математическая подготовка в дошкольном возрасте.
      Совершенствование содержания и методов обучения математике в школе предполагает новое отношение к подготовке детей в период, непосредственно предшествующий школьному обучению. В настоящее время уже внесены существенные изменения в программу развития математических представлении у дошкольников (увеличение объема устного счета, счет групп предметов, обучение измерению отдельных величин, расширение геометрических знаний и др.); найдены и апробированы более эффективные методы и средства обучения (моделирование, проблемные задачи и ситуации, развивающие и обучающие игры и т. д.). Связь с методикой обучения математике в начальной школе позволяет верно определить основные пути дальнейшего совершенствования методики формирования элементарных математических представлений у дошкольников.
      Обучение должно строиться с учетом закономерностей развития познавательной деятельности, личности ребенка, что является предметом изучения психологических наук. Восприятие, представление, мышление, речь не только функционируют, но и интенсивно развиваются в процессе обучения.
      Психологические особенности и закономерности восприятия ребенком множества предметов, числа, пространства, времени служат основой при разработке методики формирования элементарных математических представлений. Психология определяет возрастные возможности детей в усвоении знаний и навыков, которые не яв» лнются чем-то застывшим и меняются в зависимости от типа обучения. Современные психологические исследования показывают, что способности дошкольников в овладении математическими представлениями велики и до конца еще не раскрыты, полностью не изучены.
      Рациональное построение процесса обучения связано с созданием оптимальных условий на основе анатомо-физиологических особенностей маленьких детей. Закономерности протекания физиологических процессов у дошкольников служат основой дли определения места и длительности занятий по формированию элементарных математических представлений для каждой возрастной группы детского сада, обусловливают саму их структуру, сочетание и чередование различных методов и средств обучения, разных по характеру видов деятельности (включение физкультминуток, дозирование учебно-познавательных задач и т. д.).
      Методика формирования элементарных математических представлений относительно молодая научная педагогическая дисциплина, однако она имеет давние истоки. Исторический экскурс показывает, как постепенно изменялись концепции первоначального обучения математике в зависимости от запросов жизни и уровня развития самой математической науки, дает возможность критически оценить богатое наследие, избежать многих ошибок, учесть положительный опыт прошлого, а также результаты новейших исследований. В марксистско-ленинской теории она находит прочную методологическую основу, которая обеспечивает всестороннее и глубокое рассмотрение явления в его развитии, соблюдение принципа объективности, конкретности, единства теории и практики.
      Связь с различными науками создает теоретическую базу методики формирования математических представлений у детей в детском саду.
     
      § 3. Исследование проблем формирования элементарных математических представлений у дошкольников
     
      Долгое время концепции первоначального обучения маленьких детей числу и счету строились либо на основе умозрительных теоретических построений, либо путем эмпирического опыта. Выдающиеся мыслители прошлого (Я. А. Коменскин, И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушннскнй, Л. Н. Толстой), видные деятели в области дошкольного воспитания за рубежом (Ф. Фребель, М. Монтессори) и в нашей стране (Е. И. Тихеева, Ф. Н. Блехер) успешно сочетали непосредственную работу с детьми с теоретическим осмыслением ее результатов.
      Становление методики формирования математических представлений у дошкольников связано с применением экспериментальных методов исследования, которые стали внедряться в последнее время.
      Научный поиск в этой области ведется в Институте дошкольного воспитания АПН СССР и в ряде других научных и учебных учреждений страны. В этой работе принимают участие и воспитатели, методисты, преподаватели.
      В последние годы широкое развитие получили исследования проблем обучения шестилеток (АПН СССР, НИИ педагогических наук Украины, Грузии, Прибалтийских и других республик, Могилевский педагогический институт и др.). Эти исследования оказывают непосредственное влияние на теорию и практику формирования элементарных математических представлений у дошкольников.
      В современных условиях в связи с переходом к обучению в школе детей с шестилетнего возраста особую значимость приобретает разработка методов совершенствования подготовки дошкольников к освоению школьной математики.
      Исследования в области формирования элементарных математических представлений у детей непосредственно связаны с практикой и дают научные способы решения ее важнейших проблем. Разрабатываемые содержание» методические приемы, дидактические средства и формы организации работы находят применение в практике формирования элементарных математических представлений у детей в детском саду. Публикация основных результатов исследования делает их достоянием широких кругов дошкольных работников. Рекомендации ученых учитываются при переработке программы развития элементарных математических представлений в детском саду. Периодически в ней производятся изменения, вносятся новые требования и задачи с учетом результатов научных исследований. Выводы и рекомендации ученых способствуют совершенствованию работы детских садов но развитию математических представлений у детей, служат основой для последующих научных исследований.
      Студенческие, учебно- и научно-исследовательские работы (контрольные, курсовые, выпускные, дипломные), в которых приобретаются знания, навыки и умения, необходимые будущему специалисту, должны отвечать требованиям актуальности, новизны, теоретической и практической значимости, объективности и достоверности, как и любые другие научные работы, посвященные проблемам математического развития дошкольников.
      Исследование проблем формирования элементарных математических представлений у детей имеет такую же логику и структуру, как и любое научно-педагогическое исследование. Оно начинается с определения объекта и предмета исследования, формулирования целей, задач, гипотез, характеристик основных методологических и теоретических позиций. Затем осуществляется выбор соответствующих методов исследования, которые дают возможность получить исходные научные данные. И наконец, необходим анализ полученных результатов. Па их основе делают выводы и научно-практические рекомендации.
      Важно правильно определить объект и предмет исследования. Ими могут быть разные стороны процесса формирования элементарных математических представлений у детей. Так, если в качестве объекта исследования выступают практические действия детей, способствующие их умственному развитию, то предметом исследования могут стать организованные действия малышей с совокупностями предметов, необходимые для формирования самых элементарных представлений о числе. Выделение предмета помогает четче обозначить проблему исследования, которой в данном случае может быть совершенствование процесса формирования количественных представлений у самых маленьких детей и организация обучения нх на занятиях (исследование В. В Даниловой).
      Цели исследования могут быть связаны с:
      — отбором оптимального (по объему, сложности и последовательности раскрытия) содержания процесса формирования простейших математических представлений у детей;
      — научным обоснованием новых методов, форм, средств обучения;
      — выяснением комплекса условии, необходимых для успешного
      решения задач математического развития детей;
      — разработкой новых приемов контроля за уровнем развития дошкольников при формировании у них элементарных математических представлений;
      — выявлением новых закономерностей процесса формирования математических представлений детей и их обоснованием;
      — совершенствованием методов исследования проблем подготовки детей в детском саду к усвоению математики в школе.
      Обычно в исследовании решается не одна, а несколько взаимосвязанных между собой задач, которые вытекают из целей и конкретизируют их. Содержанием таких задач может быть:
      — изучение сущности процесса формирования тех или иных математических представлений у детей: особенности, структура, последовательность, отношения с другими процессами и явлениями и т. д.;
      — выявление условий, обеспечивающих наиболее успешное усвоение детьми практических и умственных действий, лежащих в основе математических представлений;
      — экспериментальная проверка системы педагогического руководства учебно-познавательной деятельностью детей в процессе формирования у них элементарных математических представлений;
      — разработка методических рекомендаций для различных категории дошкольных работников по организации процесса математического развития детей и др.
      Так, в исследовании, посвященном формированию у детей среднего и старшего дошкольного возраста знаний о величине предметов и об элементарных способах измерения (Р. Л. Березина), были поставлены и решены следующие задачи:
      1. Изучены особенности определении и распознавания детьми величины предметов.
      2. Выявлены уровни развития у них представлений о способах и мерах измерения различных объектов.
      3. Разработана система формирования у детей дошкольного возраста знаний о величинах и способах их измерения.
      Важным этапом исследовательской работы является формулирование гипотезы. Возникает она уже при изучении и анализе литературы, уточняясь, развиваясь и конкретизируясь но мере проведения исследования.
      Так, изучая особенности формирования представлений у дошкольников о массе предметов, исследователь (Н Г. Белоус) предположил, что истоком понятии массы может стать развитие «барического чувства»1 у детей.
      1 Термин «барическое чувство» возник иа основе греческого baros тяжесть, barys - тяжелый. В данном случае речь идёт о названии раздела в традиционных системах сенсорною воспитания М. Моитессори, Е. И. Тихеевой, К. И. Фаусек и др.
      Далее, развивая гипотезу, он предполагает, что процесс дифференцированной оценки массы различных предметов должен протекать сначала на сенсорной основе путем непосредственного сравнения предметов «на руках», а затем с помощью измерительной деятельности, которая не только расширяет восприятия м представления детей о массе, но и наполняет их математическим содержанием. Наконец, в окончательном, няи'^ее развернутом своем варианте гипотеза звучит как приблизительное решение проблемы. Автор полагает, что сенсорное обследование массы предмета с помощью «взвешивания на руках» — путь для освоения процесса измерения величин. Формирование знаний у детей о способах измерения сначала условной меркой, а в последующем и общепринятыми эталонами оценки массы будет способствовать не только более полному и глубокому развитию самого «барического чувства», но и понятия числа. Измерение условной меркой, предшествуя измерению общепринятыми эталонами, позволит ребенку осознать значение и роль стандартных средств измерения, сформирует у него полноценные представления о массе.
      К гипотезе исследователь возвращается неоднократно на протяжении всего исследования. Формулируя ее, он прибегает к обобщению, пользуется аналогией и сравнением, мысленно конструирует и моделирует изучаемое явление. С помощью гипотезы прогнозируется экспериментальная или опытная работа с детьми и ее результаты.
      Важную роль в исследовании проблем математического развития ребенка играют основные методологические и теоретические положения, которыми руководствуется исследователь. Они возникают на основе глубокого анализа состояния науки, критического рассмотрения ее ведущих теорий, концепций, идей. С этой целью исследователь изучает работы классиков марксизма-ленинизма, основополагающие документы партии и правительства но народному образованию, литературу по физиологии, общей, детской и педагогической психологии, общей и дошкольной педагогике, методике обучения математике в школе, детском саду, программы, учебные пособия и другие источники.
      Реализация и проверка теоретических положений осуществляется с помощью различных методов исследования: наблюдений, анкетирования, бесед, диагностических заданий, изучения педагогической документации, эксперимента, анализа продуктов детской деятельности. Продуманное и целенаправленное их использование в определенной системе (методика исследования) дает возможность решить задачи исследования, проверить гипотезу, получить достоверные научные факты и результаты. Результаты нссж довання, подвергаясь многостороннему качественному и количественному анализу с применением статистико-математических методов, служат выделению существенных связей и зависимостей, построению теоретических и практических выводов и рекомендаций.
      Ведущим методом исследования проблем формирования элементарных математических представлений у детей является эксперимент, включай его основные разновидности: лабораторный и естественный.
      В эксперименте выделяют его констатирующий, формирующий и контрольный этапы. Каждый нз них требует тщательной разработки, соблюдения принципа структурного равенства при подборе и распределении детей в экспериментальные и контрольные группы, разработки методики точной регистрации (с помощью различных средств) результатов этапов и всего хода экспериментальной работы, которая может длиться от нескольких месяцев до нескольких лет.
      В большинстве выполненных на современном этапе исследований в данной области констатирующий эксперимент направлен на выяснение особенностей количественных, пространственных, временных и некоторых других представлений, имеющихся у ребенка. На его основе определяются, а затем, и классифицируются трудности, ошибки, недостатки восприятия и понимания, устанавливаются разные уровни, этапы и ступени развития детских представлений. Это служит отправной точкой для формирующего, или, как еще его называют, преобразующего, эксперимента. В нем обычно разрабатывается к апробируется система педагогических мер, являющаяся наиболее оптимальной для развития соответствующих математических представлений у детей. Наконец, контрольный эксперимент показывает, насколько эффективно и оправдано используется созданная педагогическая система и реализуются методические концепции.
     
      Глава II. ИЗ ИСТОРИИ МЕТОДИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДЕТЕЙ
     
      § 1. Истоки развития методики
     
      Методика формирования элементарных математических представлении у детей дошкольного возраста прошла длительный путь своего развития. Предшественником ее как науки было устное народное творчество. Различные считалки, поговорки, пословицы, загадки, шутки приобщали детей к счету, формировали понятие числа. Мысль об обучении детей счету в процессе упражнений была высказана первопечатником Иваном Федоровым в созданной им первой печатной книге в России — «Букваре» (1574).
      В 17-19 вв. вопросы содержания и методов обучения детей дошкольного возраста арифметике и формирования представлений о размерах, мерах измерения, времени и пространстве нашли отражение в передовых педагогических системах воспитания, разработанных Я. А. Коменским, И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинскнм, Л. Н. Толстым и др.
      Педагоги той эпохи под влиянием практики пришли к выводу о необходимости подготовки детей к усвоению математики в дальнейшем обучении. Ими высказаны отдельные предложения о содержании и методах обучения детей в условиях семьи. Специальных пособий по подготовке детей к школе они не разрабатывали, а основные свои идеи включали в книги по воспитанию и обучению.
      Выдающийся чешский мыслитель-гуманист и педагог Я. А. Коменский (1592 1670) в руководстве по воспитанию детей до школы «Материнская школа» (1632) в программу по арифметике и основам геометрии включил усвоение счета в пределах первых двух десятков (для 4—6-летних детей), различение чисел, определение большего и меньшего из них, сравнение предметов по выбору, геометрических фигур, изучение обшеупотребляемых мер измерения (дюйм, пядь, шаг, фунт).
      И. Г. Песталоцци (1746—1827), выдающийся швейцарский педагог-демократ и основоположник теории начального обучения, указывал на недостатки существующих методов обучения, в основе которых лежит зубрежка, и рекомендовал учить детей счету конкретных предметов, пониманию действий над числами, умению определять время. Предложенные им методы элементарного обучения предполагали переход от простых элементов к более сложным, широкое использование наглядности, облегчающей усвоение детьми чисел. Иден И. Г Песталоцци послужили в дальнейшем (середина XIX в.) основой реформы в области обучения математике в школе.
      Передовые идеи в обучении детей арифметике до школы высказывал великий русский педагог-демократ, основоположник научной педагогики в России К. Д. Ушинскин (1824—1871). Он предлагал обучать детей счету отдельных предметов и групп, действиям сложения и вычитания, формировать понимание десятка как единицы счета.
      Великий русский мыслитель Л. Н. Толстой издал в 1872 г. «Азбуку», одной из частей которой является «Счет». Критикуя существующие методы обучения, Л. Н. Толстой предлагал обучать детей счету вперед и назад в пределах сотни, изучать нумерацию, основываясь при этом на детском практическом опыте, приобретенном в игре.
      Методы формирования у детей понятия о числе, форме нашли свое отражение и дальнейшее развитие в системах сенсорного воспитания немецкого педагога Ф. Фрсбеля (1782-1852) и итальянского педагога М. Монтессори (1870—1952).
      В классических системах сенсорного воспитания специально рассматривались вопросы ознакомления детей с геометрическими формами, величинами, обучения счету, измерениям, составлению рядов предметов по размеру, весу и т. д. Ф. Фребель видел задачи обучения счету в усвоении детьми дошкольного возраста ряда чисел. Им созданы знзменитые «Дары» — пособие для развития строительных навыков в единстве с познанием чисел, форм, размеров, пространственных отношений. М. Монтессори, опираясь на идеи самовоспитания и самообучения, считала необходимым создание специальной среды для развития пре дставлений о числе, форме, величинах, а также изучение письменной и устной нумерации. Она предлагала использовать для этого счетные ящики, связки цветных бус, нанизанных десятками, счеты, монеты.
      Передовые педагоги прошлого, русские и зарубежные, признавали роль и необходимость первичных математических знаний в развитии и воспитании детей до школы, выделяли при этом счет в качестве средства умственного развития и настоятельно рекомендовали обучать ему детей как можно раньше, примерно с трех лет. Обучение понималось ими как упражияемость в практических, игровых действиях с использованием наглядного материала, воспроизведение накопленного детьми опыта в различении чисел, времени, пространства, мер.
     
      § 2. Влияние школьных, методов обучения арифметике в XIX— начале XX в. на развитие методики формирования элементарных математических представлений у детей
     
      Становление методики формирования элементарных математических представлений в XIX — начале XX в. происходило под непосредственным воздействием основных идей школьных методов обучения арифметике.
      В то время единой методики преподавания арифметики не существовало. Шла длительная борьба между двумя направлениями, с одним из которых связан так называемый метод изучения чисел, или монографический, а с другим метод изучения действий, который называли вычислительным.
      Согласно методу изучения чисел в разработке немецкого методиста А. В. Грубе преподавание арифметики должно идти (в пределах 100) от числа к числу. Каждое из этих чисел, якобы доступное «непосредственному созерцанию», сравнивается с каждым из предыдущих чисел путем установления между ними разностного и кратного отношения. Действия должны как бы сами вытекать из знания наизусть состава чисел. Монографический метод получил определение метода, описывающего число.
      В процессе изучения каждого числа материалом для счета служили пальцы на руках, штрихи на доске или в тетради, палочки. Например, при изучении числа 6 предлагалось разложить палочки по одной. Задавались вопроси: «Ид скольких палочек составилось наше число? Отсчитайте по одной палочке, чтобы получилось шесть. Во сколько раз шесть больше одного? Какую часть шести составляет одна палочка? Сколько раз одна палочка заключается в шести?» И т. д. Потом изучаемое число точно так же сравнивалось с числом 2, предлагалось разложить шесть палочек по две и отвечать на вопросы: «Сколько двоек в шести? Сколько раз два содержится в шести?» И т. д. Так данное число сравнивалось со всеми предшествующими (3, 4, 5). После каждой группы таких упражнений действия записывались в виде таблицы, результаты которой заучивались наизусть, с тем чтобы в дальнейшем по памяти производить все арифметические действия, не прибегая к вычислениям.
      В 90-х годах под влиянием критики монографический метод обучения арифметике был несколько видоизменен немецким дидактом и психологом В. А. Лаем. Книга В. Л. Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов» была переведена на русский язык.
      Как же происходило обучение по Лаю? Детям показывали числовую фигуру. Они ее рассматривали, а затем описывали с закрытыми глазами расположение точек. Например, фигура, обозначающая число 4: один кружок — в левом верхнем углу, один кружок — в левом нижнем углу, один кружок — в правом верхнем углу и один кружок - в правом нижнем углу. В. А. Лай считал, что, чем отчетливее, яснее и живее наблюдение вещей, тем отчетливее, яснее и живее возникают числовые представления. За описанием следует зарисовка данной числовой фигуры и составление ее на счетах.
      После работы над образом числа дети переходили к изучению его состава. Педагог закрывал три кружка из четырех (дети воспринимали один верхний левый), затем он закрывал и этот кружок, а первые три открывал или закрывал два кружка. Результаты каждого действия описывались и объяснялись: один да три будет четыре; три и один будет четыре; два и два будет четыре. После этого на изученный состав числа 4 решались задачи. Отпет давался без вычислений, на основе запоминания состава числа.
      По этому методу дети воспринимали и запоминали числа, предлагаемые нм в виде квадратных числовых фигур. Последовательность обучения по монографическому методу состояла в следующем:
      а) описание, наблюдение и составление некоторой числовой фигуры;
      б) изучение состава числа и запоминание числа;
      в) упражнение в арифметических действиях.
      Однако уже в 70-х годах XIX в. стали появляться противники монографического метода. Б 1874 г. и журнале «Отечественные записки» (№ 9) критике его подверг Л. Н. Толстой. «В этих немецких приемах,— писал он в статье «О народном образовании»,— была еще и та большая выгода для учителей... что при них учителю не нужно... работать над собою и правилами обучения. Большую часть времени но этой методе учитель учит тому, что дети знают, да, кроме того, учит по руководству, и ему легко».
      Недовольство методом все более нарастало, и в 80 90-х годах целая плеяда русских математиков выступила с его резкой критикой, противопоставляя ему метод изучения действий, или, иначе, вычислительный метод»
      В чем же русские математики видели недостатки монографического метода? Во-первых, критиковалось исходное положение метода, согласно которому число и пределах 100 можно якобы наглядно представить себе как группу единиц. Такой способности не существует, говорили критики. Мы наглядно можем представить себе группу из двух — четырех предметов. А при большем количестве всегда приходится прибегать к счету. Поэтому изучать числа и их состав путем разложения числа бессмысленно. В пределах ИЮ таких разложений свыше 5000, запомнить которые невозможно. Во-вторых, монографический метод критиковали за томительную скуку и крайнее однообразие приемов обучения, при котором дети не осмысливали значения каждого арифметического действия, не дифференцировали их: обучение сводилось лишь к тренировке памяти и определенных навыков. Механическое заучивание начал арифметики при однообразии методических приемов отбивало желание у учащихся заниматься дальше.
      Несмотря на критику монографического метода, непризнание его в русских школах, поклонник этого метода Д. Л. Волковский издал книгу «Детский мир в числах» (1912). Книга иллюстрировалась числовыми фигурами В. А. Лая, карточками и чертежами. Она была предназначена не только для начальной школы, но и для приготовительных классов женских гимназий, детских садов и домашнего обучения. Монографический метод проник в детский сад, и по нему сравнительно долго (вплоть до настоящего времени) строилось обучение детей счету.
      Другой метод — метод изучения действий (вычислительный) — предполагает научить детей не только вычислять, но и понимать смысл этих действий, основу десятичного исчисления. Обучение при этом строится по десятичным концентрам. В пределах каждого концентра изучаются не отдельные числа, а счет и действия.
      Для обоснования двух методических течений были выдвинуты две психологические теории — теория восприятия групп предметов и теория счета. Каждая из этих теорий пыталась решить вопрос о том, что изначально: число или счет. Сторонники теории восприятия утверждали, что ребенку свойственна способность охватывать множество как единое пространственно организованное целое, не считая его, и поэтому они поддерживали монографический метод обучения.
      Представители другой теории утверждали, что врожденным качеством является восприятие не одного числа, а последовательности чисел во времени, т. е. натурального ряда чисел, в силу чего ребенок, считая, умеет называть числительные по порядку, а определить их общее количество (сколько всего) не может. Как видно, представители обеих психологических теорий стояли на идеалистических позициях и спорили лишь о том, что является изначально данным: число или последовательность чисел.
      Однако оба метода (и монографический и вычислительный) сыграли положительную роль о дальнейшем развитии современной методики, которая вобрала в себя отдельные позитивные моменты: приемы, упражнения, дидактические средства (числовые фигуры) одного и другого метода, но базируется на материалистическом понимании происхождения всех математических понятий. Понятия («число», «счет», «геометрическая фигура», «измерение» и многие другие) возникали и развивались в процессе разнообразной деятельности человека по изучению материального мира.
      Усвоение и осмысление математических понятий детьми осуществляется в процессе овладения ими общественно-историческим опытом, по мере развития и приобретения чувственного опыта. В действиях с множествами предметов, при сравнении одних предметов с другими, их счете и измерении познаются количественные, пространственные и временные отношения.
     
      § 3. Развитие методики формирования элементарных математических представлений в годы становления советской дошкольной педагогики
     
      Методические пособия, издававшиеся в России в дореволюционный период, адресовались, как правило, одновременно семье и детскому саду, цель этих пособий состояла в ознакомлении родителей и воспитателей с содержанием обучения детей математике.
      Наиболее полно содержание и методы изучения с детьми дошкольного возраста математического материала отражены в методическом пособии «Математика в детском саду», составленном
      В. Л. Кемниц в 1912 г. по результатам практической работы с детьми в семейной обстановке. В пособии представлены беседы с детьми, практические работы, игры, упражнения, направленные на первоначальное математическое развитие детей до 7—8 лет. Методика здесь строится по принципу последовательного усложнения, новое знание базируется па понимании и прочном усвоении предыдущего материала.
      Книга содержит беседы и занятия, способствующие усвоению понятий, которыми пользуются при различных практических вычислениях и измерениях: «одни», «много», «несколько», «пара», «равный», «больше», «меньше», «столько же», «такой же» и др. Основной задачей является изучение чисел от 1 до 10, причем каждое из них рассматривается отдельно. В этом процессе участвуют все анализаторы: зрительный, слуховой, двигательный и т. д. Одновременно на наглядном материале дети усваивают действия над этими числами.
      В ходе бесед и занятий дети овладевают геометрическими, пространственными и временными представлениями, получают знания о делении целого на части, величинах, измерении.
      В годы Советской власти методические пособия, руководства, программа, методика обучения детей дошкольного возраста разрабатывались Л. И. Глаголевой, Л. К. Шлегер, Е. И. Тихеевой, Ф. Н. Блехер. Ими определена достаточно разнообразная программа развития у детей числовых представлений, знаний о величинах и измерении, форме, пространстве и времени.
      Широкое развитие сети детских садов в первые годы Советской власти потребовало разработки принципиально новой системы общественного дошкольного воспитания. Советская дошкольная педагогика развивалась в борьбе с различными буржуазными системами и теориями: теорией свободного воспитания, саморазвития, методом проектов и др. Влияние этих идей не могло не сказаться на результатах деятельности педагогов, разрабатывающих методические руководства и программы первоначального математического развития детей до школы.
      До 1939 г. в детских садах Ленинграда детей обучали счету по методике Л. В. Глаголевой. В ряде ее методических пособий: «Преподавание арифметики лабораторным методом» (1919); «Сравнения величин предметов в нулевых группах школ» (1930); «Математика в нулевых группах» (1930) — раскрыты содержание, методы и приемы формирования у детей первоначальных представлений о числах, величинах и их измерении, делении целого на равные части.
      В методике обучения счету Л. В. Глаголева рекомендовала опираться на обе господствовавшие в то время теории: восприятия чисел путем счета и путем образа (числовые фигуры и группировки предметов). Во всех пособиях, разработанных ею, прослеживается мысль о необходимости идти при обучении от числа к числу. Эго дает возможность формировать понятия числа во всех отношениях к другим числам (монографический метод).
      Л. В. Глаголена пропагандировала разнообразие методов обучения, при этом большое значение имел каждый из них: лабораторный метод (отработка практических действий с использованием наглядного материала), исследовательский (поиск детьми ситуаций применения знаний, аналогичных изучаемым), иллюстративлый (закрепление знаний, умений в продуктивной деятельности), наглядный (демонстрация наглядных пособий). Игра рассматривалась ею как метод обучения на занятиях по счету.
      Е. И. Тихеева, известный общественный деятель в области просвещения, педагог-методист, считала, что формирование числовых представлений должно осуществляться у ребенка естественно в ходе его развития, без принуждения и давления. Отсюда и требования к объему знаний, материалу, методам, разработанным ею. Эти требования сводятся к необходимости создания условий для легкого и непринужденного усвоения знаний. Такое усвоение возможно обеспечить не в условиях коллективного обучения, считала Е. И. Тихеева, а в игре и повседневной детской жизни.
      В своих книгах «Современный детский сад» (1920), «Счет в жизни маленьких детей» (1920) Е. И. Тихеева высказывается против систематического обучения дошкольников. Она считает, что до семи лет дети должны сами научиться считать в процессе повседневной жизни и игры. В то же время она возражает и против полной стихийности обучения. Л. л я закрепления количественных представлений, полученных детьми в жизни, рекомендовались специальные игры-занятия с разработанным ею дидактическим материалом. Для легкого и незаметного усвоении счета Е. И. Тихеевой созданы пособия типа парных карточек, лото и др. Кроме этого, она разработала 60 задач для игр-занятий на закрепление количественных и пространственных представлений, объясняя необходимость их тем, что математика как точная наука требует систематизации в усвоении числовых представлений. В качестве счетного материала рекомендовалось использовать естественный материал — камешки, бобы, листья, шишки, а также мелкие игрушки, пуговицы, ленточки и т. д.
      Е. И. Тихеева определила и объем знаний, которым должны обладать дети. Особо подчеркивалось при этом значение правильного усвоения ими в дошкольном возрасте первого десятка, что является прочным фундаментом дальнейшего математического развития. Она считала необходимым знакомить детей и с цифрами, для чего ввела игры с парными карточками, на одной из которых написаны цифры, а на другой — числовые фигуры. Е. И. Тихеева рекомендовала использовать счетные ящики, в которые укладывались мелкие предметы, в соответствии с указанной цифрой или числовой фигурой. Предлагалось также подкладывать цифры к группам игрушек, разложенных в разных местах комнаты.
      На основе всех этих заданий Е. И. Тихеева знакомила детей с действиями сложения и вычитания и с их «записью» при помощи готовых карточек, на которых написаны цифры и знаки. Наряду с примерами вводились и задачи. Для этого рекомендовалось использовать каждый подходящий случай. «Было у мальчика две конфетки. Одну он съел. Налицо задача,- говорит Е. И. Тихеева,— сколько конфет осталось?» Она считала, что на основе составления и решения задач из практической жизни, по картинкам дети в состоянии перейти к решению устных задач по представлению. Е. И. Тихеева рекомендовала также приучать детей к самостоятельному составлению задач, пользуясь для этих целей мелкими игрушками и предметами.
      Большое внимание уделяла Е. И. Тихеева ознакомлению детей с предметами разной величины, усвоению отношений между ними: больше — меньше, шире — уже, длиннее - короче и др. В ходе игр на различение размеров считала возможным познакомить детей 5—6 лег с измерением с помощью общепринятых мер. С этой целью она знакомила детей с аршином (мера измерения, широко используемая в те годы) и учила обращению с ним. Дети получали также представление об объеме, измеряя стаканом емкость сосуда. Для знакомства с массой и объемом различных предметов Е. И. Тихеева использовала весы, раскрывала функциональную зависимость массы оТ объема. Она указывала, что все эти виды измерений не должны быть бесцельными и носить чисто учебный характер; необходимо включить их в игры, связывая приобретенные знании с практическими задачами (например, игра в магазин).
      При подготовке детей к школе Е. И. Тихеева отмечала значимость обучения грамоте и счету. При этом признавалось лишь индивидуальное обучение. Однако игры, пособия, созданные ею, предназначались для совместного пользования (лото, домино). Дидактические пособия выполняли обучающую роль. По мнению Е. И. Тихеевой. воспитатель должен организовать процесс самообучения и лишь осуществлять контроль за выполнением детьми правил игры. Такое утверждение явилось результатом переоценки значения дидактических игр и использования игрушек, так называемого принципа автодидактизма (Ф. Фребель, М. Монтессори и др.). Роль же прямого обучения и воздействия воспитателя на ребенка явно недооценивалась.
      Замечательный мастер-практик, глубоко знающий ребенка, Е. И. Тихеева чувствовала необходимость обучения, последовательного усложнения учебного материала, однако в своих рекомендациях опиралась на широко распространенную в то время теорию свободного воспитания.
      Несмотря на ошибочность некоторых взглядов, ряд общепедагогических высказываний Е. И. Тихеевой и ее пособия но счету не утратили своей ценности и до сих пор. Они вошли в общий фонд советской дошкольной педагогики.
      Дальнейшая разработка вопросов методики формирования математических представлении была предпринята педагогом Ф. Блехер. Основные мысли о содержании и методах обучения изложены ею в книге «Математика в детском саду и нулевой группе» (1934), которая стзла первым учебным пособием и программой по математике для советского детского сада.
      В программе обучения детей счету, разработанной Ф. Н. Блсхер, использовались данные зарубежных психологов о времени и сроках восприятия ребенком разных чисел и предлагалось научить детей 3—4-летнего возраста различать и выделять понятия «много» и «один», формировать у них представление о числах 1, 2, 3 ил основе восприятия соответствующих совокупностей и определения их словом — числительным. В среднем дошкольном возрасте (5- б лет) —определять количественные характеристики предметов в пределах 10. На основе счета сравнивать числа, пользоваться порядковым счетом. В старшей группе (6 7 лет) — знать состав чисел, Цифры, практически составлять числа из меньших групп, производить действия сложения и вычитания, освоить второй десяток, научиться решать простые арифметические задачи, близкие но содержанию жизненному опыту детей.
      Согласно содержанию обучения, разработанного Ф. Н. Блсхер, Детей вводили в мир пространственных, временных отношений предметов и явлений окружающего мира. В играх они усваивали приемы сравнения предметов по размерам, знакомились с геометрическими фигурами, пространственными направлениями, способами опенки временной длительности.
      Для реализации поставленных задач Ф. П. Блсхер рекомендовала использовать два сюжета: формировать у детей количественные представления попутно, используя все многочисленные поводы, возникающие в жизни, и проводить специальные игры и занятия. По ее мнению, дети должны активно участвовать в практических жизненных ситуациях (например, выяснять, сколько кроваток потребуется только что купленным куклам, определять самостоятельно, путем подсчета по календарю, количество дней до праздника), выполнять поручения взрослых. В играх, на занятиях, действуя с наглядным материалом, упражняться в образовании групп предметов, сравнивать, отсчитывать, составлять числа из меньших, находить цифры, показывающие то или иное количество, и т. д. Обучение на занятиях понималось ею своеобразно.
      Ф. П. Блехер считала, что формировать у детей количественные представления следует как на основе счета, так и в процессе восприятия групп предметов. Разработанная ею методика обучения во многом отражала идеи монографического метода: идти в обучении от числа к числу, строить обучение на целостном восприятии групп предметов, рассматривать запоминание случаев состава чисел как подготовку к простейшим арифметическим действиям, использовать числовые фигуры и т. д.
      Вслед за Я. А. Коменским, И. Г. Песталоцци, Ф. Фребелем Ф. Н. Блехер считала счет средством не только умственного, но и всестороннего развития детей. Счет включался ею в процесс последовательного присоединения предметов (создания групп). Процесс создания групп идет путем присоединения единицы: группа из двух предметов образуется, когда к одному предмету присоединяется другой, и, присоединив к двум еще один, получаем группу из трех предметов и т. д. Все эти действия проделывает сам ребенок.
      Таким образом, Ф. Н. Блехер считала, что в основе формирования количественных представлений лежат практические активные действия детей с предметами и счет. Счет вводился начиная со средней дошкольной группы. В младшей же группе основное внимание уделялось восприятию групп в количестве двух-трех предметов.
      Ф. Н. Блехер указывала, что учить детей считать легче и удобнее при условии линейного расположения предметов. Это ведет к усвоению порядка расположения чисел, познанию отношений между ними и в дальнейшем к операции над числами. Большое значение она придавала и числовым фигурам, дающим возможность обозревать группу в целом, видеть, из каких меньших групп она состоит.
      Таким образом, Ф. Н. Блехер разработала не только содержание обучения математическим знаниям детей дошкольного возраста, но и некоторые методы, преимущественно игровые. Созданные ею игры по нынешний день используются в дошкольных учреждениях для Нормирования и закрепления математических представлений и развития умственных способностей детей. Как считала Ф. Н. Блехер, дидактические игры, хотя и являются одним из важных приемов обучения, все же не могут заменить другие его формы и методы.
      В начале XX в. монографический метод, получивший широкое распространение в детских садах, был некритично воспринят дошкольными работниками. Вплоть до 50-х годов формирование числовых представлений у детей осуществлялось именно по этому методу. Естественно, что и методические разработки того времени содержали в себе некоторые идеи монографического метода. В большей мере они нашли отражение в работах Ф. Н. Блехер, Л. В. Глаголевой, о чем свидетельствует обилие предлагаемых ими упражнений на распознавание, подбор изображения, изучение состава чисел.
      Труды Е. И. Тихсевой, Ф. II. Блехер и др. послужили основой дальнейшей разработки и совершенствования психолого-педагогических методов первоначального формирования математических представлений.
     
      § 4. Влияние психолого-педагогических исследований и передового педагогического опыта на развитие методики
     
      Разработка психолого-педагогических вопросов методики формирования начальных математических представлений у детей дошкольного и младшего школьного возраста в 30—50-е годы строилась на основе методологических позиций советской психологии и педагогики. Изучались закономерности становления представлений о числе, развитии счетной, вычислительной деятельности, обосновывалась необходимость начинать обучение детей с раннего возраста, вначале с восприятия множества предметов, с последующим обучением детей счету, выделению отношений между числами, разрабатывались дидактические материалы, пособия, игры. Значительное влияние на этот процесс оказала работа К. Ф. Лебединцева «Развитие числовых представлений в раннем детстве» (Киев, 1923).
      К. Ф. Лебсдинцев пришел к выводу, что первые представления о числах в пределах пяти возникают у детей на основе различения групп предметов, восприятия множеств. А далее, за пределами этих небольших совокупностей, основная роль в формировании понятия числа принадлежит счету, который вытесняет восприятие множеств.
      Вопроси развития представлений о множестве предметов у детей, закономерности перехода от восприятия множеств к числу исследовались психологом И. А. Френкелем и математиком-методиетом 4,1 А. Яблоновым. Ими обоснованы положения о том, что необходимо формировать у детей умения распознавать отдельные элс-Менты множества, а затем переходить к обобщениям о зависимости восприятия множества от способа пространственного расположения его элементов, об усвоении детьми числительных и ступени овладения счетными операциями.
      Н. А. Менчинская наиболее полно рассмотрела вопросы пси хологии обучения арифметике {проблема исследовалась ею начиная с 1929 г.). В книгах «Очерки психологии обучения арифметик» (М., 1947, 1950) и «Психология обучения арифметике» (М., 1955) Н. А. Менчинская проследила процесс формировании понятия о числе в младшем возрасте до начала школьного обучения. На большом экспериментальном материале рассмотрено соотношение восприятия множеств (групп предметов) и счета на различных этапах овладения числом, дан психологический анализ процесса решения детьми арифметических задач.
      Н. Н. Лежавой разработано содержание и приемы обучения детей счету на основе идей монографического метода (1953) без учета достижений того времени в области психологии обучения арифметике. Автор рекомендует обучать счету путем добавления к имеющемуся количеству по одному (что трактуется как усвоение действий сложения и вычитания), схватыванию числа на глаз, составу чисел.
      Предпринятые в 30-50-х годах разработка и обоснование психологических основ методики формирования математических представлений у детей дошкольного и младшего школьного возраста повлияли на дальнейшее совершенствование содержания и методов обучения детей математике, состояние практической работы.
      Передовой педагогический опыт, результаты экспериментальной работы педагогов и методистов отражены в методических пособиях 3. С. Пигулевской, Ф. А. Михайловой и Н. Г. Бакст, Я. Ф. Чекмярева.
      3. С. Иигуловская в пособии «Счет в детском саду» (М., 1953) раскрыла опыт обучения детей счету на материале содержания занятий, приемов обучения, проведения игр и использовании некоторых дидактических средств. Содержание обучения заключалось в последовательном изучении каждого из чисел первого десятка в отдельности. Дети образовывали числа путем последовательного присоединения к одному предмету другого, затем — третьего и т. д. Одновременно с рассмотрением состава числа дети изучали счет. В старшем дошкольном возрасте усваивались действия над числами, решение арифметических задач с использованием конкретного материала.
      Автор предлагает обучать сравнению чисел на наглядном материале на основе сопоставления, установления взаимно однозначного соответствия. В пособии 3. С. Пигулевской раскрыты подходы к построению занятий по счету с детьми разных возрастов, организация обучения, подчеркивается ведущая роль педагога и необходимость использования приемов, способствующих воспитанию у детей осознанного понимания числа.
      В методическом пособии Ф. А. Михайловой и Н. Г. Бакст «Занятия по счету в детском саду» (М., 1958) обобщен опыт работы детских садов по обучению счету на основе требований руководства для воспитателя детского сада. При разработке пособия учтены исследования А. М. Леушиной. В этом пособии раскрыты содержание и приемы обучения детей счету до трех в младшей группе, методика ознакомления детей с образованием чисел, обучения счету в пределах десяти, сравнению, составу чисел, решению арифметических задач в средних и старших группах (5-7 лет).
      Авторы пособия рекомендовали до обучения счету сформировать у детей представление о множестве, в дальнейшем уделять внимание изучению состава чисел из единиц и двух мшшших чисел, отношений между смежными числами, что рассматривается как предпосылка усвоения действий сложения и вычитания. Наряду с показом образования чисел путем прибавления к числу единицы (8+1) авторы раскрывают приемы обучения детей сравнению чисел путем сопоставления двух групп предметов, раскладывая их один под другим. Обучение детей образованию чисел, сравнению их осуществлялось параллельно с усвоением способов решения простых арифметических задач, счета в обратном порядке, счета и отсчета группами, по два, по три.
      В пособии указывалось на необходимость использования в обучении наглядного материала, игр и игровых упражнений. Дано их описание, в том числе и разработанных непосредственно авторами. Данное пособие наиболее полно отвечало требованиям «Руководства для воспитателя детского сада» и обучения детей счету. В нем растли? содержание, приемы, последовательность обучения, вопросы построения занятий и организации обучения.
      Методист-математик Я. Ф. Чекмарев по результатам экспериментов и обобщения опыта разработал методическое пособие для воспитателей старших групп и учителей подготовительных классов «Обучение арифметике детей шестнлетнего возраста» (М., 1963) и книгу для детей «Учись считать» (М., 1963).
      Автор предложил знакомить детей 6 лет с арифметическими действиями сложения и вычитания на основе изучения состава чисел, решать примеры и задачи, запоминать таблицу сложения и вычитания, развивать у них пространственные и геометрические представления. Однако в данной методике ознакомления с образованием чисел путем прибавления единицы к предыдущему числу исключен принцип сравнения, являющийся основой усвоения детьми последовательности, количественного значения и отношений между числами. Это положение не соответствует взглядам и уровню разработанности методов и приемов формирования количественных представлений в дошкольном возрасте, сложившимся к 50—60-м годам, Я. Ф. Чекмарев выступает в своих методических пособиях пропагандистом монографического метода обучения арифметике, несостоятельность которого была доказана и научно обоснована еще и 20 30-х годах.
     
      § 5. Вклад А. М. Леушиной в разработку проблем математического развития детей-дошкольников
     
      Вопроси развития количественных представлений у детей дошкольного возраста разрабатывались А. М. Леушиной начиная с 40-х годов. Благодаря ее работам методика получила теоретическое, научное и пснхолого-педагогическое обоснование, были раскрыты закономерности развития количественных представлений у детей в условиях целенаправленного обучения на занятиях в дет ском саду. Это стало возможным благодаря глубокому и тщательному анализу различных точек зрения, подходов и концепций формирования математических представлений, учета достижений отечественной и зарубежной науки, практики общественного воспитания и обучения дошкольников в нашей стране.
      А. М. Леушина заложила основы современной дидактической системы формирования математических представлений, разработав программу, содержание, методы и приемы работы с детьми 3-, 4-, 5- и 6-летнего возраста. Методическая концепция автора сложилась в результате многолетней экспериментальной и научно-теоретической работы.
      Она заключается в следующем: от иерасчлененного восприятия множеств предметов детей необходимо переводит!» к выявлению отдельных составляющих это множество элементов путем попарного сопоставления их, чго представляет дочнелоиой период обучения (усвоение отношении «столько же», «поровну», «больше», «меньше» и др.) Обучение счету следует за освоением детьми действий с множествами и базируется на сравнении двух предметных групп. Дети знакомятся с числом как характеристикой численности конкретной предметной группы з сопоставлении се с другой. В ходе сравнения чисел (на наглядной основе) ребенком усваиваются последовательность и отношения между ними, что приводит к сознательному освоению счета и использованию его в вычислениях, выполнению действий при решении простых арифметических задач. Элементарное представление о числе формируется у детей в ходе накопления ими опыта сравнения нескольких предметных групп по признаку количества независимо от других признаков (качественные особенности, расположение в пространстве). На этой основе строилось освоение количественного и порядкового счета, определение состава чисел из единиц и двух меньших чисел.
      И методике первоначального ознакомления детей с числами, счетом, арифметическими действиями, разработанной А. М. Леушиной, использованы положительные стороны метода изучения чисел (воспроизведение групп предметов, применение числовых фигур и счетных карточек, изучение состава чисел) и метода изучения действий (число как результат счета, образование чисел на основе сравнения двух совокупностей и практического установления между ними взаимно однозначного соответствия, увеличение или уменьшение одного из них на I, освоение действий сложения и вычитания на основе сформированных представлений о числах натурального ряда и навыков счетной деятельности). По утверждению А. М. Леушиной, в работе по развитию количественных представлении у детей следует особое внимание уделять накоплению чувственного опыта, созданию сенсорной основы счетной деятельности, последовательному обобщению детских представлений. Этим требованиям отвечает предложенная ею система практических упражнений с демонстрационным и раздаточным материалом.
      Разработанная А. М. Леушиной концепция формирования количественных представлений в 60—70-е годы была существенно дополнена за счет научно-теоретической и методической разработки проблемы развития пространственно-временных представлений у дошкольников. Результаты научных исследований А. М. Леушиной отряжены в ее докторской диссертации «Подготовка детей к усвоению арифметического материала в школе» (1056), многочисленных публикациях, учебных пособиях, например: «Обучение счету в детском саду» (М., 1950, 1961), «Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста» (М., 1974) и др.
      Воспитатели детских садов широко использовали разработанные А. М. Леушиной конспекты занятий «Занятия по счету в детском саду» (М., 1963, 1965) и наглядные дидактические материалы (1965).
      В дальнейшем иод руководством А. М. Леушиной разработаны содержание и методы формирования у детей пространственных и временных представлений, обучения измерению объектов, массы тел, вопросы умственного и всестороннего развития детей в процессе освоения ими элементарных математических знаний, усвоения способов практических действий.
      Разработанная А. М. Леушиной концепция формирования элементарных математических представлений у детей служит источником для многих современных исследований, а дидактическая система прошла испытания временем, успешно функционирует уже несколько десятков лет, показала свою эффективность в условиях общественного дошкольного воспитания, реализована в «Программе воспитания и обучения в детском саду».
     
      § 6. Современное состояние проблемы формирования у детей математических представлений и перспективы совершенствования методики
     
      В связи с перестройкой преподавания математики в начальной школе и новыми психологическими исследованиями стали очевидными недостатки математической подготовки в детском саду: неэффективное использование возросших возможностей дошкольников, ограниченность и слабое развивающее влияние обучения. Сложившаяся система обучения в дошкольном возрасте, ее содержание и методы ориентировали в основном на развитие у детей предметных способов действий, узких навыков, связанных со счетом и простейшими вычислениями, что недостаточно обеспечивало подготовку к усвоению математических понятий в дальнейшем обучении.
      Необходимость пересмотра м» годов и содержания обучения была обоснована в работах психологов и математиков, которые положили начало новым научным направлениям в разработке проблем математического развития дошкольников. Специалисты выясняли возможности интенсификации и оптимизации обучения, способствующие общему и математическому развитию ребенка, помечали необходимость повышения теоретического уровня осваиваемых детьми знаний. Это требовало реконструкции пренраммы обучении, в том число системы представлений, последовательности их введения и т. д., отвечающих современному состоянию математики как науки, приведения методов в строгое соответствие с предлагаемым новым содержанием знаний. Развернулись интенсивные поиски путей введения научных понятий в систему работы с детьми дошкольного возраста. Решение этих сложных проблем осуществлялось по-разному.
      Психологи в качестве основания для формирования начальных математических представлений и понятий предлагали различные предметные действия. П. Я. Гальперин разработал линию формирования начальных математических понятий и действии, построенную на введении мерки и определении единицы через отношение к ней.
      В исследовании В. В. Давыдова был раскрыт психологический механизм счета как умственной деятельности и намечены пути формирования понятия числа через освоение детьми действий уравнивания и комплектования, измерения. Генезис понятия числа рассматривается на основе краткого отношения любой величины к ее части (Г. А. Корнеева).
      В отличие от традиционной методики ознакомления с числом (число — результат счета) новым явился способ введения самого понятия: число как отношение измеряемой величины к единице измерения (условная мера).
      Анализ содержании обучения дошкольников с точки зрения но вых задач привел исследователей к выводу о необходимости научить детей обобщенным способам решения учебных задач, усвоению связей, зависимостей, отношений и логических операций (классификации и ссризции). Для этого предлагались и своеобразные средства: модели, схематические рисунки и изображения, отражающие наиболее существенное в познаваемом содержании.
      Математики-методисты настаивали на значительном пересмотре содержания знаний для детей 6-летнего возраста, насыщении его некоторыми новыми представлениями, относящимися к множествам, комбинаторике, графам, вероятности и т, д. (А. И. Маркушенич, Ж. Папи и др.).
      Методику первоначального обучения А. И. Маркушевич рекомендовал строить, основываясь на положениях теории множеств.
      Он считал необходимым обучать дошкольников простейшим операциям с множествами (объединение, пересечение, дополнение), развивать у них количественные и пространственные представления.
      Ж. Папи (бельгийский математик) разработал интересную методику формирования у детей представлений об отношениях, функциях, отображении, порядке и др., используя с этой целью многоцветные графы.
      В настоящее время реализуется идея простейшей логической подготовки дошкольников (А. А. Столяр), разрабатывается методика введения детей в мир логико-математических представлений: свойства, отношения, множества, операции над множествами, логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция) и др.— с помощью специальной серии обучающих игр.
      В последние годы (1960— 1980) осуществлен педагогический эксперимент, направленный па выявление более эффективных методов математического развития детей дошкольного возраста, определение содержания обучения. Педагогические исследования были вызваны непосредственно результатами экспериментов в области возрастной и педагогической психологии и методики математики.
      В эти годы выяснялись возможности формирования у детей представлений о величине, установлении взаимосвязей между счетом и измерением, апробировались приемы обучения (Р. Л. Березина, Н. Г. Белоус, 3. Е. Лебедева, Р. Л. Непомнящая, Е. В. Проскура, Л. А. Девннова, Т. В. Тарунтаева, Е. И. Щербакова).
      Возможности формирования количественных представлений у детей раннего возраста, пути совершенствования количественных представлений у детей дошкольного возраста изучены В. В. Даниловой, Л. И. Ермолаевой, Е. А. Тархановой.
      Содержание и приемы формирования пространственно-временных представлений определены на основе ряда исследований Т. А. Мусейибовой, К. В. Назаренко, Т. Д. Рихтерман.
      Методы и приемы педагогического руководства математическим развитием детей с помощью игры разработаны 3. А. Грачевой, Т. Н. Игнатовой, А. А. Смоленцевон, И. И. Щербининой.
      В настоящее время исследуются возможности использовании наглядного моделирования в процессе обучения решению арифметических задач (П. И. Непомнящая), познания детьми количественных и функциональных зависимостей (Л. Н. Бондаренко, Р. Л. Непомнящая, А. И. Кириллова), способности дошкольников к наглядному моделированию при ознакомлении с пространственными отношениями (Р. И. Говорова, О. М. Дьяченко, Т. В. Лаврентьева, Л. М. Хализева).
      Результаты научных поисков психологов, математиков и педагогов вызвали необходимость в совершенствовании программы развитии элементарных математических представлений у дошкольков (были введены разделы «Величина», «Геометрические фигуры», «Ориентировка в пространстве и времени»).
      Многие современные методические пособия для воспитателей дошкольных учреждений созданы на основе дидактической системы, разработанной Л. М. Леушиной и ее последователями. Широко используются и данные новых исследований советских и зарубежных психологов и методистов-математиков1.
      Конспекты занятий по формированию элементарных математических представлений и методические рекомендации их использования строятся на современных научных данных о единстве обучения и воспитания, комплексном подходе в обучении, введении наиболее эффективных дидактических средств (моделирование), обогащении содержания и приемов обучения.
      Поиск путей совершенствования методики обучения математике детей дошкольного возраста осуществляется и в других странах. В современных зарубежных работах по развитию математических представлений детей дошкольного возраста уделяется особое внимание дочнеловому периоду обучения2.
      М. Фидлер (Польша), Э. Лум (ФРГ) особое значение придают формированию представлений о числах в процессе практических действий с множествами предметов. Предлагаемые ими содержание и приемы обучения (целенаправленные игры и упражнения) помогают детям овладеть умениями классифицировать и упорядочивать предметы по различным признакам, в том числе и по количеству. В работе М. Фидлер отражена взаимосвязь в формировании у детей количественных, пространственных и временных представлении.
      Р. Грин. В. Лаксон (США) в качестпе основы формирования понятия числа и арифметических действий рассматривают понимание детьми количественных отношений на конкретных множествах предметов. Авторы считают, что формирование представлений о числах происходит во время практических действий с множествами предметов, они показывают, как под влиянием сравнения двух или нескольких множеств у детей формируется представление о месте числа среди других чисел натурального ряда, умение осуществлять простейшие действия увеличения и уменьшения чисел. Сопоставление равночисленных множеств ведет при этом к пониманию общности совокупностей по количеству (столько же) и по числу (такое же число).
      Авторы этих работ предлагают формировать математические представлении с учетом разнообразных впечатлений, полученных детьми в повседневной жизни. Своеобразно рассматривается ими обучение: доказывая необходимость проведения с детьми игр и упражнений, авторы не рекомендуют строго соблюдать требования к качеству усвоения учебного материала. В ходе обучения значительное внимание уделяется выработке у детей умения применять полученные знания на практике. Это достигается за счет использования в качестве наглядного материала предметов окружающей обстановки, практической и игровой мотивации специальных упражнений.
      В книге Т. Я. Миндлиной1 дан кратким обзор методики формирования математических представлений в материнских школах Франции. Автор выделяет в содержании обучения дошкольников три основных вида деятельности, освоение которых решает проблему подготовки детей к обучению математике в школе: классификация, сходство, формирование понятий пространства и времени. Кроме этого, уделяется большое внимание счету. Причем, по мнению французских специалистов, дети до 4 лет должны учиться считать без вмешательства взрослого. Играя с водой, песком и т. д., малыши осваивают понятия о количестве и величине на сенсорном уровне. В возрасте старше 4 лет рекомендуется уже систематическая работа по формированию понятия числа.
      Французские педагоги материнских школ считают, что способность к математике зависит от качества обучения. Ими разработана система логических игр для детей разного возраста. В играх у детей развиваются способность к рассуждению, пониманию, самоконтролю, умение переносить усвоенное в новые ситуации. К детям 5—6 лет предъявляются более высокие требования. Они должны усвоить элементарные математические понятия, в том числе понятия теории множеств и их свойств; используя математический язык, точно и кратко выражать свои мысли, обнаруживать и исправлять ошибки, допущенные другим ребенком.
      На основании изложенного в данной главе можно заключить, что становление методики формирования элементарных математических представлений первоначально осуществлялось под влиянием отдельных положении русской и зарубежной педагогики, психологии о значении и содержании подготовки детей к усвоению арифметики в школе, возможности формирования умений с раннего возраста различать геометрические фигуры и размеры предметов.
      Передовые русские и зарубежные педагоги XVII—XIX вв., исходя из опыта непосредственной работы с детьми, пришли к убеждению о необходимости их подготовки к усвоению математических дисциплин в школе. Ими высказаны отдельные предложения о содержании и методах обучения детей до школы: программа по арифметике (счет, вычисления, счет групп, арифметические действия сложения и вычитания); по основам геометрии (геометрические фигуры, измерения величин); простейшие представления о пространстве и времени.
      Экспериментальное изучение специфики количественных пред. ставлений детей, разработка, систематизация и апробирование игр и дидактических упражнений, направленных на формирование математических представлений, осуществленное А. М. Леушиной и под ее руководством, представляет современное содержание методики.
      Дальнейшее совершенствование методики формирования элемен тарных математических представлений направлено на уточнение содержания, поиск наиболее эффективных методов педагогического руководства математическим развитием детей, разработку и внедрение в практику работы дошкольных учреждений новых дидактических средств, что соответствует требованиям реформы общеобразовательной и профессиональной школы, совершенствованию среднего и высшего образования в нашей стране.