Математическая шкатулка

В написании этой книги и в подготовке её к печати значительную помощь автору оказали учителя математики некоторых школ г. Кирова (№ 14, 16, 29), студенты физико-математического факультета и сотрудники математических кафедр Кировского государственного педагогического института имени В. И. Ленина, а также некоторые учителя и методисты г. Москвы. Всем им и в особенности Э. И. Барташек, Е. С. Березанской, А. И. Жаворонкову, И. А. Колмогорову, Б. А. Кордемскому, Е. Г. Крейдлину, С. Н. Корневу, С. И. Ошеровой, И. А. Тетерину, В. В. Чудиновских и М. В. Яковкину автор выражает свою признательность.
      Второе издание «Математической шкатулки» отличается от первого лишь тем что исправлены замеченные ошибки и опечатки, а также внесены некоторые уточнения.
      Рассчитывая продолжить работу над этой книгой, автор надеется получить от читателей «Математической шкатулки» пожелания и предложения по улучшению её, которые следует направлять в адрес редакции математики Учпедгиза: Москва И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, дом 41.
      Ф. Нагибин
     
      Прочитай!
      М. И. Калинин говорил в 1941 году учащимся восьмых, девятых и десятых классов средних школ Ленинского района г. Москвы: «Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области ни работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики. А кто из вас не мечтает теперь стать моряком, лётчиком, артиллеристом, квалифицированным рабочим в различных отраслях нашей промышленности, строителем, металлургом, слесарем, токарем и т. д., опытным полеводом, животноводом, садоводом и т. д., путейцем, паровозным машинистом, торговым работником и т. д.? Но все эти профессии требуют хорошего знания математики. И потому, если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе»*. Эти замечательные слова М. И. Калинина каждый ученик советской средней школы должен хорошо помнить. Но мало только помнить их. Нужно руководствоваться ими. А руководствоваться ими — это значит упорно и настойчиво овладевать математическими знаниями и навыками, учиться применять их на практике. Без этого невозможно подготовить себя к активному участию в строительстве коммунизма.
      *М. И. Калинин, О коммунистическом воспитании и обучении, изд. АПН, 1948, стр. 128.
      Дело не только в том, что знание математики в большей или меньшей степени необходимо для очень многих специальностей и особенно технических. Советскому Союзу, строящему коммунизм, требуются тысячи высокообразованных математиков, математиков вычислителей и математиков учёных. Вот почему в нашей стране большое внимание уделяется математическому образованию подрастающего поколения.
      Математике учат во всех классах средней школы. Уроков математики в каждом классе бывает много. Учителя дают домашние задания. Может быть этого и достаточно? Нет слов, каждый ученик должен хорошо усваивать всё то, что излагает учитель математики на уроках, тщательно выполнять все задания. Но для того, кто хочет быть инженером или математиком, всего этого мало. Необходима ещё самостоятельная творческая работа по математике.
      Было бы очень грубой ошибкой думать, что математика— это застывшая, законченная наука, что достаточно усвоить уже известные формулы, правила и теоремы. В действительности, математика, как и другие науки, непрерывно растёт, развивается, обогащается новыми теориями, перестраивается в ответ на новые запросы жизни. В математике не труднее, чем в других науках, добраться до возможности открывать новое. Способные математики начинают самостоятельные исследования, как правило, довольно рано. Многие советские математики начали серьёзную научную работу в 18—20 лет, а перед этим настойчиво изучали математику. Вот несколько примеров.
     
      Один из талантливейших советских математиков — Лев Семёнович Понтрягин родился в 1908 году. Четырнадцати лет от несчастного случая он потерял зрение, но это не убило в нём стремления к науке. В 1925 году, шестнадцати лет, Лев Понтрягин окончил среднюю школу. В школьные годы он не только хорошо изучил школьный курс математики, но основательно изучил и многие разделы высшей математики. После окончания средней школы Понтрягин поступил в университет и уже через два года выполнил свою первую научную работу, посвящённую молодой отрасли математики — топологии, а ещё че рез два года слепой математик блестяще окончил Московский университет, затем он прошёл аспирантуру при нём и в короткое время зарекомендовал себя как выдающийся учёный. Двадцати двух лет он выступил с изложением своих открытий на Всесоюзном математическом съезде. В 1939 году Лев Семёнович был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1941 году за выдающиеся открытия ему была присуждена Сталинская премия.
     
      Один из наиболее молодых советских математиков Сергей Никитович Мергелян, родившийся в 1928 году, начал упорно заниматься математикой ещё в младших классах средней школы. Восьмиклассником он принял участие в математической олимпиаде для десятиклассников и первым решил предложенные задачи. Тогда ему было всего лишь 14 лет (1943 г.). В 1944 году он сдал экзамены за девятый и десятый классы и вскоре поступил в Ереванский университет. Пятилетний университетский курс прошёл Мергелян за три года, а последующий трёхлетний курс аспирантуры при Академии наук СССР он прошёл за полтора года. Первую научную работу Мергелян опубликовал ещё в университетские годы, а в начале 1949 года за выдающуюся научную работу по математике ему была присвоена сразу же степень доктора физико-математических наук. Двадцати лет он стал профессором того университета, в котором совсем недавно учился, а в 1953 году Сергей Мергелян был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. За свои открытия он был удостоен Сталинской премии.
     
      Выдающийся советский математик Лев Генрихович Шнирельман (1905—1938 гг.) математические способности обнаружил уже двенадцати лет и в этом возрасте начал самостоятельные исследования об алгебраических уравнениях. Когда ему исполнилось 16 лет, он поступил в Московский университет и успешно закончил его за два с половиной года. В 1929 году Шнирельман окончил аспирантуру и начал профессорскую работу, а в 1933 году он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР.
     
      Рано начал заниматься математикой Сергей Львович Соболев (р. в 1908 г). Двадцати четырех лет он был избран членом-корреспондентом, а в 1939 году и действительным членом Академии наук СССР. За выдающиеся открытия Сергей Львович Соболев был удостоен Сталинской премии.
      Многие другие наши талантливые математики, так же как Понтрягин, Мергелян, Шнирельман и Соболев, ещё в младших классах школы полюбили математику и с большим увлечением занимались ею.
     
      У нас каждый талантливый человек получает все возможности для своего развития. Родина заботливо выращивает таланты, и они пышно расцветают. Совсем иным было и продолжает оставаться отношение к талантливым людям в капиталистических странах. Вот несколько примеров.
     
      Одним из наиболее выдающихся математиков XIX века был норвежский учёный Нильс Генрик Абель. Родился Абель в 1802 году. Тринадцати лет он был отдан в училище.
      Выдающиеся способности к занятиям математикой у Абеля обнаружились, когда ему было всего 16 лет.
      В этом возрасте он полюбил математику и начал ревностно заниматься ею-После окончания училища, в 1821 году, Абель поступил в университет и сразу же обратил на себя внимание как талантливый ма тематик. В университетские годы он сделал своё выдающееся открытие об алгебраических уравнениях высших степеней. По окончании университета Абель предпринял поездку в Берлин и Париж. В этих городах, где жили наиболее известные математики, он продолжал напряжённые занятия математикой и сделал несколько новых важных открытий. За свою короткую жизнь (27 лет) Абель внёс такой вклад в развитие математики, какой даёт право считать его одним из величайших математиков. Но открытия Абеля не были поняты и оценены его современниками. В 1824 году Абель послал свою работу о неразрешимости в радикалах уравнения 5-й степени в общем виде знаменитому немецкому математику Гауссу, но тот ничего не ответил. Таким же было отношение к Абелю и со стороны французских математиков. Они также не сумели оценить огромное дарование молодого норвежского учёного. Одна из наиболее важных работ Абеля долгие годы пролежала в архивах Парижской академии. Не принесли признания Абелю при жизни и те работы, которые ему удалось опубликовать. Так, непризнанным, без средств к жизни и вернулся Абель на свою родину. Там ему пришлось заняться частными уроками, и лишь за год до смерти он получил скромную университетскую должность. Абель постоянно жил в тяжелой нужде. Материальные лишения губительно отразились на его здоровье, и в 1829 году он скончался от туберкулёза. Печальна история его жизни.
     
      Но еще печальнее и короче была жизнь другого гениального математика — француза Эвариста Галуа (1811 — 1832 гг.). «Личность этого человека,— писал о нём известный советский математик Н. Г.Чеботарёв, — представляет совершенно исключительно е в истории науки явление». Два раза пытался поступить Галуа в знаменитую французскую Политехническую школу, но каждый раз он проваливался на вступительных экзаменах. Поступив в Нормальную школу, Галуа уже через год был исключён из неё за выступление против директора. Так и не получил он специального математического образования, но исключительные математические способности позволили ему сделать замечательные открытия. Математическое дарование Галуа проявилось очень рано. Основные результаты своей теории, названной его именем, он получил уже в возрасте 16—18 лет.
      За свою очень короткую жизнь (21 год) Галуа заложил основы современной алгебры. Созданная им теория алгебраических уравнений высших степеней оказала очень сильное влияние на развитие не только алгебры, но и всей математики. Идеи и методы, предложенные Галуа, нашли применение и в естествознании, в механике, кристаллографии и других науках.
      Занятия наукой Галуа соединял с активным участием в бурной политической жизни тогдашней Франции. Он примыкал к обществу «Друзей народа». За публичные выступления против королевского режима, как ярый респуб ликанец и непримиримый враг короля, Галуа неоднократно подвергался арестам и заключался в тюрьму.
      «Если для того, чтобы поднять народ на восстание, нужен труп, то я пожертвую собой», — говорил он*.
      Математические открытия Галуа при его жизни не были признаны. Свои работы Галуа два раза представлял в Парижскую академию наук, но даже такие крупные математики того времени, как Коши, Фурье и Пуассон, не могли понять значения его открытий. Работы Галуа в Парижской академии предавались забвению или возвращались оттуда с надписью «непонятно».
      Кончилась жизнь Галуа трагически. Он был убит на дуэли, которая, по-видимому, была подстроена политическими врагами Галуа, и наёмными убийцами его были королевские агенты.
      Все математические работы Галуа были разобраны и опубликованы лишь спустя 14 лет после его смерти. Это всего несколько десятков страниц, но содержание их стало одним из краеугольных камней фундамента современной математики**.
     
      В дореволюционной России талантливые люди, выходившие из народа, также подвергались преследованиям. Тяжёлой была жизнь выдающегося русского математика Тимофея Фёдоровича Осиповского. Продолжительное время он работал профессором и ректором Харьковского университета. Взгляды Осиповского были передовыми. Он не скрывал своих убеждений, последовательно и настойчиво разъяснял их, не боясь затронуть чьё-либо самолюбие, не боясь испортить своё служебное положение и отношения с людьми. Царское правительство не могло мириться со свободомыслием Осиповского, и Тимофей Фёдорович, так много сделавший для процветания Харьковского университета, был отстранён от работы и лишён средств существования. Последние годы его жизни прошли в тяжёлых материальных условиях, в нужде и лишениях.
      Преследованиям подвергся и великий русский математик, ученик Осиповского — Михаил Васильевич Остроградский. Как и Осиповский, Остроградский был обвинён в вольнодумстве, в безбожии. Ему было не только отказано в звании кандидата наук, но отнят был и аттестат об окончании Харьковского университета. После четырёх лет обучения в университете Остроградский остался без документа об его окончании, хотя он три раза успешно сдал все требующиеся экзамены*.
     
      Подвергался преследованиям и такой гениальный русский математик, как Николай Иванович Лобачевский. Ещё в студенческие годы Лобачевский за свои убеждения многократно подвергался различным взысканиям. Университетское начальство за проявленные Лобачевским признаки безбожия, собиралось исключить его из Казанского университета и отдать в солдаты. И только решительное заступничество профессоров, занимавшихся с Лобачевским, спасло его от грозившей ему страшной участи. Позднее, когда Лобачевский сделал своё гениальное открытие, когда он опубликовал несколько работ, посвящённых открытой им новой геометрии, его научный подвиг всё же не был оценён. Замечательные идеи Лобачевского не получили признания. Больше того, открытие Лобачевского было осмеяно, над ним издевались. Лобачевского унижали и оскорбляли. И когда в 1893 году, через 37 лет после смерти Лобачевского, Казанский университет обратился в министерство просвещения с просьбой разрешить отпраздновать столетие со дня рождения Лобачевского, министерство запросило университет: кто такой Лобачевский и какие научные заслуги он имеет. Не прекратились преследования Лобачевского и в последние годы его жизни. После всего того, что он сделал для Казанского университета, для народного образования, для науки, его, ещё полного сил, энергии и новых замыслов, уволили «на покой», как если бы он был дряхлым стариком. Тяжелее удара нельзя было нанести. Он одновременно был уволен и от должности профессора, и от должности ректора университета. Это было оскорбительно грубое отстранение заслуженного учёного от участия в делах того университета, которому он посвятил всю свою жизнь. Насильственное отстранение от деятельности в университете и вызванное этим ухудшение материального положения подорвали здоровье Лобачевского. Он ослеп и вскоре умер.
     
      Таких примеров можно было бы привести больше. Они говорят о том, что капитализм душит таланты, выходящие из народа. У нас же в стране в наше время для талантов открыты все дороги и пути. И как нам не радоваться этому! И как не отвечать на заботу Родины прославлением её успехами в науке и труде. Вот почему наши ученики, заинтересовавшиеся математикой, не должны терять времени. Maтематикой надо упорно заниматься с младщих классов. Времени и сил для этого не следует жалеть.
      Часто думают, что для занятий математикой необходимы особые способности. Так ли это? Практика обучения математике в средних школах показывает, что это не так. Обычных средних способностей вполне достаточно для того, чтобы ученик, при правильном руководстве им, сознательно усвоил математику, преподающуюся в средней школе. Математические способности нужны для тех, кто посвятит всю свою жизнь математике. Какие же это способности? Иногда думают, что успех в математике основан на простом запоминании большого числа правил, формул, теорем и т. д. Конечно, хорошая память для занятий математикой нужна, но очень многие выдающиеся учёные-математики никакой особой памятью не обладали и именно занятия математикой помогали им развивать память. Значительно важней, чем память, для занятий математикой — умение находить удачные пути тождественных преобразований буквенных выражений, решения уравнений, задач и тому подобное. Очень важно также умение пользоваться геометрической наглядностью при изучении различных вопросов математики, при решении разнообразных задач (графические иллюстрации, графики и т. д.). Но особенно ценно для всех желающих заниматься математикой развитое логическое мышление, умение правильно, обоснованно и последовательно рассуждать. Все эти способности, необходимые для математиков, не даются человеку готовыми при рождении. Они развиваются и крепнут в ходе творческого изучения математики. Нужно только любить эту науку и упорно изучать ее. Прав известный советский математик А. Я. Хинчин, писавший, что «... в математике (как, вероятно, и во всякой другой науке) усвоение всего действительно ценного и значительного требует напряжённых усилий». Ещё больше усилий требует научное творчество в математике. Способности для специальных занятий математикой необходимы, но не достаточны. Математический талант — это прежде всего напряжённый, хорошо организованный труд. Помни об этом!
      Часто говорят, что математика скучна. Так думают не радивые ученики и люди, далеко стоящие от математики. Спроси кого-либо из математиков — кажется ли ему математика скучной? Ты услышишь — нет! Математика суха и скучна лишь для тех, кто дальше начатков её не ушёл.
     
      Математика пленяет всех тех, кто достаточно продвинется в её изучении. Недаром выдающаяся русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская* писала: «Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают её с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего времени** говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе». Даже об арифметике два с половиной века тому назад один из первых русских
      математиков — Леонтий Филиппович Магницкий (1669— 1739 гг.) писал, что это «...художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее». На рисунке 1 изображен титульный (заглавный) лист книги А. Ф. Магницкого «Арифметика». Даже в отдалённом прошлом у нас находилось немало людей — «числолюбцев», увлекавшихся решением арифметических и геометрических задач. С тех пор в математике очень многое изменилось, она расцвела пышным цветом. И в наши дни, пожалуй, не найдётся ни одного школьника, заинтересовавшегося математикой, который не мог бы не согласиться с такими словами талантливого советского математика Г. Н. Чеботарёва — «В математике красота играет громадную роль».
      В этой книге собраны разнообразные задачи для учащихся V—VIII классов Многие из них в своё время печатались в различных книгах по занимательной математике, а также на страницах газет и журналов. Но есть в этом сборнике и некоторые новые задачи. Найдутся в нём достаточно интересные задачи и для учащихся старших классов. Есть в нём лёгкие, есть и трудные, «замысловатые» задачи.. Короче говоря, эта книга является своеобразной математической «шкатулкой».
      «Математическая шкатулка» предназначена прежде всего для наших пионеров. Кому, как не им, быть застрельщиками в распространении интересных математических задач и в решении их!
      Как же пользоваться «Математической шкатулкой»? Прежде всего пытайся сам решать понравившиеся тебе задачи. Думай над ними, соображай, ищи возможно более простые и «красивые» решения. Может случиться так, что задача тебе не будет «поддаваться». Тогда загляни в ответы и указания, но не злоупотребляй этим. Если же и указания тебе не помогут, то обратись за помощью к старшим товарищам, к вожатому, а ещё лучше — к твоему учителю. Если ты сам не можешь решить задачу, сильно этим не огорчайся. Конечно, лучше было бы, если бы ты её решил, но уже то полезно, что ты подумал над задачей, испробовал некоторые подходы к решению её. Размышления над задачами, поиски решений оставляют в голове заметные следы, развивают сообразительность, повышают уровень математической подготовки. В математике немало было в прошлом да и сейчас ещё есть не поддающиеся решению задачи. Такими задачами были, например, знаменитые задачи древности: а) при помощи циркуля и линейки разделить любой угол на три равные части; б) пользуясь циркулем и линейкой, построить квадрат, площадь которого была бы точно равна площади данного круга; в) при помощи циркуля и линейки построить ребро такого куба, объём которого был бы в 2 раза больше объёма данного куба. Такова же, например, задача о четырёх красках (см. стр. 49). Учёные, решавшие подобные задачи, часто не в состоянии были дойти до конца, но по дороге они делали замечательные открытия. Всё это не означает, конечно, что, немного подумав над задачей, которая «не выходит», ты можешь бросить её. Нет! Думай, думай и ещё раз думай! Ищи — и найдёшь, а если всё же не найдёшь сам, то тебе помогут другие.
      Мало того, что ты сам будешь решать задачи. Втягивай в это своих товарищей. Давай им задачи, помогай находить решения. Задачи, а потом и решения их можно помещать в стенных газетах, в особых математических бюллетенях, в рукописных журналах. Решением таких задач особенно много надо заниматься на занятиях математического кружка. Полезно проводить конкурсы по решению задач в отряде, в классе или в нескольких параллельных классах, а то и общешкольные. Попроси вожатого и учителя провести школьную математическую олимпиаду и сам помоги им в организации её. Одним словом, втягивай в решение интересных задач своих товарищей, заинтересовывай их, убеждай их в большой от этого пользе. Идёшь ли ты в туристский поход, прогуливаешься ли ты с товарищами, собираешься ли ты в лес или на реку, едешь ли ты в пионерский лагерь, — приготовь несколько интересных задач для размышлений на досуге, и, выбрав время, займись вместе со своими товарищами решением их.
      Помни, что в математике самое интересное — это, пожалуй, задачи. Вместе с тем это, пожалуй, и самое трудное. Вот почему тебе следует больше решать задач*. А трудностей не бойся. Не забывай прекрасных слов Карла Маркса: «В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот может достигнуть ее сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам».
      * Много интересных задач ты найдёшь в получившей широкое распространение книге: Б. А. Кордемский, Математическая смекалка, Госгехиздат, 1955.
     
      Глава I
      АРИФМЕТИКА
     
      Изучите азы науки, прежде чем взойти на её вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее.
      И. П. Павлов
     
      Большие числа (миллион, миллиард и другие)
     
      1. Во сколько раз длина километра больше длины миллиметра?
      2. Сколько суток составляет миллион минут?
      3. Сколько лет составляет миллион часов?
      4. Какое расстояние пройдёт человек, сделав миллион шагов, если средняя длина его шага 3/4 м?
      5. Сколько биений сделает сердце человека за 75 лет, если в 1 мин. оно делает в среднем 75 биений?
      6. Сколько понадобится времени, чтобы отсчитать миллион перьев, если каждую минуту отсчитывать по 50 перьев и заниматься этим 8 час. в сутки?
      7. Сколько потребовалось бы суток, чтобы написать подряд все числа от единицы до миллиона, если на запись каждой цифры расходовать 1 сек. и в сутки писать 8 час.?
      8. Сколько квадратных миллиметров содержится в квадратном метре? в гектаре?
      9. Сколько в кубическом метре содержится кубических сантиметров? кубических миллиметров?
      10. Какой длины получится ряд, если один кубический метр разрезать на кубические миллиметры и уложить их вплотную друг к другу в один ряд?
      11. Какой длины получится линия, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну линию?
      12. Капля воды весит в среднем 0,08 г. Сколько капель в 1 куб. м воды?
      13. Может ли человек поднять один кубический метр пробки (удельный вес пробки 0,2)?
      14. В 1 л морской воды содержится в среднем 0,00001 мг золота. Сколько золота содержится в 1 куб. км морской воды?
     
      Зависимость между данными числами и результатами действий над ними
      15. Найти х, пользуясь зависимостью между компонентами (данными) и результатами действий:
     
      Задачи
     
      Приведённые в этой главе задачи могут решаться учениками V и VI классов, не изучавшими ещё алгебраического способа решения задач (с помощью уравнений). Некоторые из этих задач легко решаются арифметически, другие, например 31, 32, 46, требуют искусственных приёмов. Ученики VII — VIII (и особенно VII) классов могут вернуться к этим задачам и воспользоваться для решения их уравнениями. Эго полезно делать, так как основным методом решения задач является метод уравнений. Именно этим методом решения задач тебе и надо особенно хорошо овладеть.
      Вместе с тем ученикам VII и VIII классов полезно пытаться решать эти задачи и не применяя уравнений. Дело в том, что арифметику часто называют «точильным камнем» способностей человека. И это до некоторой степени правильно.
     
      16. Во время пионерского похода по родному краю участники его пользуются картой, масштаб которой 1 : 1 000 000. Сколько понадобится времени, чтобы проехать из одного города в другой на велосипедах со скоростью 12 км в час если на карте расстояние между этими двумя городами по дороге равно 0,6 дм?
      17. Пионеры ехали на автомашине из лагеря в город.
      Когда они проехали — пути, автомашина была остановлена для ремонта. Оставшуюся часть пути пионеры проделали пешком, затратив на это времени в 4 раза больше, чем они ехали на автомашине. Во сколько раз быстрей ехали пионеры на автомашине, чем шли пешком?
      18. Из толстой железной проволоки в мастерской могут сделать цепь, состоящую из 80 или из 100 звеньев. Если сделать цепь из 100 звеньев, то каждое звено её будет на 5 г легче, чем в том случае, если бы цепь сделали из 80 звеньев. Сколько весит проволока?
      19. 30 учебников стоят на 3 руб. дороже, чем 40 задачников. Те же 30 учебников стоят на 2 руб. 10 коп. дороже, чем 50 таких же задачников. Сколько стоит один учебник и один задачник?
      20. На три склада доставлен груз. На первый и второй склады доставлено 400 т, на второй и третий 300 т, а на первый и третий 440 т. Сколько тонн груза было доставлено на каждый склад в отдельности?
      21. Два брата разговорились о том, сколько они скопили денег. Старший говорит младшему: «Дай мне 80 коп., тогда у меня будет денег в два раза больше, чем у тебя». Младший, подумав, ответил: «Нет, у тебя и так больше денег, чем у меня. Лучше ты дай мне 80 коп., тогда денег у нас будет поровну». Сколько денег было накоплено каждым братом?
      22. На двух кустах сидели 16 воробьёв. Скоро со второго куста совсем улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьёв. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьёв. Сколько воробьёв было на каждом кусте вначале?
      23. Велосипедист должен попасть в место назначения к определённому сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км в час, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10 км в час, то опоздает на 1 час. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?
      24. Десять слив весят столько же, сколько три яблока и одна груша, а шесть слив и одно яблоко весят столько же, сколько груша. Сколько слив нужно взять, чтобы ид вес был равен весу груши?
      25. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, сколько весит пойманная рыба, он сказал: «Я думаю, что хвост её весит 1 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько голова и хвост вместе». Сколько же весит рыба?
      26. Вода при замерзании увеличивается на — часть своего объёма. На какую часть своего объёма уменьшится лёд при обратном превращении в воду?
      27. Сколько сейчас времени, если до конца суток осталось — того, что уже протекло от начала суток?
      28. Дочери в настоящее время 8 лет, а матери 38. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери?
      29. Когда отцу было 37 лет, то сыну было только 3 года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?
      30. Два мальчика играли в шашки. Положение первого игрока стало ухудшаться. Пока он обдумывал очередной ход, второй игрок рассматривал доску, на которой стояли шашки. Оказалось, что пустых клеток на доске было втрое больше, чем занятых шашками, и что у него двумя шашками больше, чем у первого игрока. Сколько шашек у каждого игрока было в это время на доске?
      31. Ученику, работающему в столярной мастерской, дали доску длиной в 3 м и сказали, что надо разрезать её поперёк на 2 части так, чтобы число метров в большей части было бы равно числу дециметров в меньшей. Как этот ученик должен разрезать доску?
      32. На дровяном складе имеются берёзовые и сосновые дрова, всего 100 куб. м на сумму 340 руб Кубический метр берёзовых дров стоит 4 руб., а сосновых 3 руб. Сколько было на складе берёзовых и сколько сосновых дров?
      33. Имеющийся в магазине картофель был развешен в 24 пакета, по 5 кг и по 3 кг. Вес всех пакетов по 5 кг оказался равным весу всех пакетов по 3 кг. Сколько было тех и других пакетов?
      34. Если на одну чашку весов положить кирпич, то для равновесия на вторую чашку по идёте я положить гири в 1,5 кг и полкирпича Сколько весит кирпич?
      35. На одну чашку весов положили кусок мыла, а на другую — такого же куска и ещё — кг. Установилось равновесие. Сколько весит кусок мыла?
      36. На расстоянии 5 м друг от друга в один ряд посажено 16 молодых деревьев. Рядом с крайним деревом расположен колодец. Для поливки двух деревьев нужно ведро воды. Какой длины путь придётся сделать, чтобы полить все деревья, пользуясь только одним ведром?
      37. Собака погналась за лисицей, находящейся от неё на расстоянии 120 м. Через сколько времени собака догонит лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака 350 м (в среднем)?
      38. По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км в час, а скорость второго 5 км в час, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака, со средней скоростью 8 км в час. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за всё это время собака?
      39. Яша идёт от дома до школы 30 мин., а брат его Петя 40 мин. Петя вышел из дома на 5 мин. раньше Яши. Через сколько минут Яша догонит Петю?
      40. Два грузовика в одно время выехали из пункта А в пункт В. Достигнув пункта В, каждый из грузовиков повернул обратно в А. Первый грузовик двигался всё время с одной и той же скоростью, а второй из пункта А в В двигался со скоростью в 2 раза меньшей, чем первый, но зато обратно из В в А его скорость была в 2 раза больше скорости первого. Какой грузовик раньше вернётся в пункт А?
      41. Собака погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 м от неё. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время как лисица делает3 скачка, собака делает 2 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу?
      42. Мать для трёх своих сыновей оставила утром тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым проснулся старший из сыновей. Увидев на столе сливы, он съел третью часть их и ушёл. Вторым проснулся средний. Думая, что его братья ещё не ели слив, он съел третью часть того, что было, и ушёл. Позднее всех встал младший. Увидев сливы, он решил, что братья ещё не ели их, а потому съел лишь третью часть лежавших на тарелке слив. Когда пришла домой мать, она насчитала на тарелке 8 слив. Сколько всего слив было вначале?
      43. Три хозяйки, живущие в одной квартире, сговорились заготовить поровну для кухонной печи 6 куб. м дров. Первая из них заготовила 2,5 куб. м, вторая 3,5 куб. м, а третья вместо своей доли дров внесла 6 руб.. Как хозяйки должны разделить между собой эти деньги?
      44. Два охотника решили сообща сварить на костре кашу. Первый дал 400 г крупы, а второй 200 г. Только они сварили кашу, как подошёл третий охотник. За свою долю каши он внёс 10 коп. Как должны разделить эти деньги между собой первых два охотника?
      45. Пять школьников перед началом учебного года пошли в магазин, чтобы купить тетради. Первый из них имел 20 коп., второй 15 коп., третий 5 коп., четвёртый 10 коп., а пятый 20 коп. Сколько тетрадей купили школьники на все имевшиеся у них деньги, если первый и второй вместе за их деньги получили в магазине 21 тетрадь?
      46. С рынка возвращались две колхозницы. Одна из них спросила другую: «Что вы продавали?» Спрошенная ответила: «Я продавала цыплят и получилось так, что первому покупателю я продала половину всех цыплят и ещё полцыплёнка, второму — половину оставшихся у меня цыплят и еще полцыплёнка. Третьему покупателю я продала также половину оставшихся после второго покупателя цыплят и ещё полцыплёнка. Больше цыплят у меня не осталось». Сколько же цыплят продала эта колхозница?
      47. Из сорока звеньев составлена цепь. Просвет каждого звена 12 мм, а толщина звена 3 мм (рис. 2). Какую длину имеет эта цепь?
      48. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 сек., а мимо будки стрелочника — за 15 сек. Вычислить длину поезда и его скорость.
      49. Купил некто трёх сукон 106 аршин; единого взял 12-ю больше перед другим, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было. (Из старинной книги «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, начало XVIII века.)
      50. Летело стадо гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей, — отвечает ему вожак стада, — если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолька, да четверть столька, да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стаде гусей? (Старинная русская задача.)
      51. Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику; четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы». Сколько учеников было у Пифагора?
      52. Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4 и 2/3,и убавится из всего 50 рублёв, и тогда будет у меня 100 рублёв, и ведательно есть, колико той человек имяше денег**. (Магницкий.)
      * В этом параграфе приведено несколько старинных задач. Старинные задачи есть и в некоторых других параграфах этой книги.
      ** Эта задача, по-видимому, предназначалась для упражнения в вычислениях с дробями. Ответ её неестествен.
      53. В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов? (Задача из китайской математической книги «Киу-Чанг», составленной за 2600 лет до н. э.)
      54. В некоей единой мельнице были трои жерновы, и едины жерновы в сутки могут смолоти 60 четвертей, а другие в толикое же время могут смолоти 54 четверти, третьи же в толикое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек даде жита 81 четверть, желал в скорости оно смолоти, и насыпа на все три жерновы, и ведательно есть, в колико часов оно жито смолотися и колико на всякие жерновы достоит мельнику насыпати. (Магницкий.)
      55. В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоём в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, ещё более тонкая, в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн. (Анания из Ширака, армянский математик VII века.)
      56. В 336-ведёрное водохранилище всякие 2 часа одною трубою втекает воды 70 вёдер, а другою трубою вытекает 42 ведра. Спрашивается, в какое время то водохранилище наполнится. (Старинный задачник по арифметике Войтяховского.)
      57. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет туже кадь. (Магницкий.)
      58. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколько бы они скоро, все три — лев, волк и пёс — ту овцу съели, сочти. (Математические рукописи XVII века.)
      59. Четыре плотника у некоего гостя (купца) нанялись двор ставити. И говорит первый плотник так: только бы мне одному тот двор ставити, я бы его поставил един годом. А другой молвил: — я бы его поставил в два года. А третий молвил: — я бы его поставил в три года. А четвёртый так рек: — я бы его поставил в 4 года. Все те четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Сколь долго они ставили, сочти. (Математические рукописи XVII века.)
      60. Один путник идёт от града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой путешественник от дому во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся. (Магницкий.)
      61. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут 1300 сажен; спрашивается, в какое время собака догонит зайца. (Старинный задачник по арифметике Войтяховского.)
      62. Одному курьеру приказано прибыть к назначенному месту в 12 дней, к которому он прежде, ехав всякие сутки по 228 вёрст, прибыл в 15 дней. Спрашивается, по сколько вёрст должен он проезжать в сутки, дабы поспеть к тому месту в назначенное время. (Задачник Войтяховского.)
      63. Юноша некий пошёл с Москвы к Вологде, и идёт на всякий день по 40 вёрст. А другой пошёл после его на следующий день, а на всякий день идёт по 45 вёрст. Во сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти. (Математические рукописи XVII века.)
      Знаешь ли ты проценты?
      64. Пионеры одной дружины совершили туристский поход и провели экскурсию. Все они приняли участие в походе или в экскурсии, но многие из них были и в походе и на экскурсии. В походе участвовало 89% всех пионеров, а в экскурсии 78%. Сколько пионеров (в процентах) участвовали и в походе и в экскурсии?
      65. Магазин продал одному покупателю 25% имевшегося в куске полотна, второму покупателю 30% остатка, а третьему 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось непроданным?
      66. Цены на промышленные и продовольственные товары снизились на 25%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?
      67. Заработная плата рабочего в денежном выражении возросла на 20% и одновременно с этим на 20% снизились цены на продукты питания и другие товары. На сколько процентов увеличилась реальная заработная плата?
      68. Производительность труда при выполнении некоторой работы повысилась на 40%. На сколько процентов сократилось время, необходимое для выполнения этой работы?
      69. Стоимость товара сначала снизили на 12%, а затем новую стоимость снизили ещё на 5%. Сколько процентов от первоначальной стоимости составляет окончательная стоимость этого товара после двух последовательных снижений и на сколько процентов в общем снижена была стоимость товара?
      70. Двое рабочих вышли одновременно из одного и того же дома и пошли на один и тот же завод. У первого из них шаг был на 10% короче, чем у второго, но зато он делал шагов на 10% больше, чем второй. Кто из этих рабочих раньше придёт на завод?
      71. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если периметр его увеличить на 10%?
      72. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если длину прямоугольника увеличить на 20%, а ширину на 10%?
      73. Выразить в процентах изменение площади прямоугольника, если длина его увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30 %?
      74. На сколько процентов увеличится объём прямоугольного параллелепипеда, если длину и ширину его увеличить на 10%, а высоту уменьшить на 10%?
      75. Имеется 735 г шестнадцатипроцентного раствора йода в спирте. Нужно получить десятипроцентный раствор йода. Сколько граммов спирта надо долить для этого к уже имеющемуся раствору?
     
      Без карандаша и бумаги
      (вычисли устно)
     
      76. Три брата накопили вместе 9 руб. Младший накопил на 1 руб. меньше, а старший на 1 руб. больше, чем средний. Сколько накопил каждый?
      77. Если бы Коля купил 3 тетради, то у него осталось бы5 коп., а если бы он захотел купить 9 тетрадей, то ему не хватило бы 5 коп. Сколько денег было у Коли?
      78. 4 яблока и 3 груши стоят 25 коп., а 2 яблока и 2 груши 15 коп. Сколько придётся заплатить:
      1) за 8 яблок и 7 груш?
      2) за 8 яблок и 4 груши?
      79. То да это, да половина того да этого — сколько это будет процентов от трёх четвертей того да этого?
      80. Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной оаботой, дал детям такое задание — вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
      Но маленький Гаусс это задание моментально выполнил. Попробуй и ты быстро выполнить это задание.
      81. В нашей квартире есть стенные часы с боем. Они отбивают целые часы и одним ударом каждые полчаса. Сколько ударов в сутки делают эти часы?
      82. У известного русского художника Богданова-Бельского есть картина*, изображающая занятия устным счётом (рис. 3). В классе, возле доски сидит учитель, а около него стоят ученики. Ученики заняты устным решением трудного примера. Они сосредоточены и увлечены работой. Этот пример записан на классной доске. Вот он:... реши и ты этот пример устно.
      * На картине «Устный счёт» художник изобразил учеников сельской школы старого, дореволюционного времени. Учитель на этой картине — это известный педагог С. А. Рачинский. Сейчас эта картина хранится в Третьяковской галерее в Москве.
     
      Числовые головоломки
     
      86. Циферблат часов нужно разрезать на 6 частей так, чтобы во всех частях сумма чисел была одинакова.
      87. Записать, пользуясь тремя пятёрками и известными знаками действий: 1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 5.
      88. Пользуясь пятью двойками и знаками действий, записать число 28.
      89. Пользуясь четырьмя двойками и знаками действий, записать число 111.
      90. Записать число 100, пользуясь: 1) четырьмя девятками, 2) шестью девятками.
      91. Написать 31: 1) пятью тройками, 2) шестью тройками, 3) пятью пятёрками.
      92. Написать 100: 1) пятью единицами, 2) пятью тройками, 3) пятью пятёрками.
      93. Напиши девять цифр: 12345678 9. Не меняя порядка этих цифр, расставь между ними плюсы и минусы, всего три знака, таким образом, чтобы в результате получилось 100.
      94. С помощью четырёх четвёрок и известных тебе знаков действий запиши все натуральные числа от 1 до 10.
      95. Что больше: 1020 или 20го?
      96. Что больше: 10020 или 900010?
      97. а) Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению? б) Сумма каких двух натуральных чисел больше, чем их произведение?
      98. Придумай таких два числа, чтобы сумма их, произведение и частное были равны между собой*.
      99. Какое натуральное число в 7 раз больше цифры его единиц?
      100. Какое наибольшее число можно записать при помощи: 1) трёх единиц? 2) четырёх единиц?
      101. Написать возможно большее число, пользуясь только тремя двойками.
      102. Напиши, пользуясь двумя цифрами и знаками действий, возможно меньшее число*.
      * При решении задач 98 и 102 воспользуйся отрицательными числами.
      103. Напиши, использовав 3 цифры, наибольшее возможное число.
      104. В магазин привезли 6 бочек, в которых было 15, 16, 18, 19, 20 и 31 дкл керосина. В первый же день два колхоза купили 5 бочек, один из них две, а второй три бочки, причём оказалось, что первый купил вдвое менее керосина, чем второй. Какая бочка осталась в магазине?
      105. Можно ли 5 яблок разделить между 6 мальчиками поровну так, чтобы не пришлось ни одного яблока резать больше, чем на 3 части?
      106. Как 7 больших яблок разделить поровну между 12 мальчиками, не разрезая ни одного яблока больше, чем на 4 части?
      107. Найти наименьшее число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 4 даёт в остатке 3, при делении на 5 даёт в остатке 4 и при делении на б даёт в остатке 5.
      108. Колхозница привезла на рынок для продажи корзину яиц. Продавала она их по одной и той же цене. После продажи яиц колхозница пожелала проверить, верно ли она получала деньги. Но вот беда: она забыла, сколько у неё было яиц. Вспомнила она только, что когда перекладывала яйца по 2, то оставалось одно яйцо; одно яйцо оставалось также при перекладывании яиц по 3, по 4, по 5, по 6. Когда же она перекладывала яйца по 7, то не оставалось ни одного. Помоги колхознице сообразить, сколько у неё было яиц.
      109. Из 4 спичек сложено число VII (7). 1) Как можно переложить две спички, чтобы получилось число 5? 2) Как можно переложить одну спичку, чтобы получилось число 1?*
      * Второй из этих вопросов предлагается для учащихся VIII класса.
      110. В примерах восстанови отсутствующие цифры, отмеченные звёздочками:...
      111. Сколько будет нулей в конце числа, выражающего произведение: 1) десяти последовательных натуральных чисел, начиная с 1; 2) двадцати чисел; 3) пятидесяти чисел; 4) ста чисел?
     
      В мире чисел (системы счисления)
     
      112. В XVII веке на Руси была создана стройная система счисления, названная «великим словенским числом». Слово «тьма» обозначало тысячу тысяч, тьму тем называли легионом, легион легионов — леодром, леодр леодров — вороном. В одной из рукописей того времени есть упоминание и о большем числе, которое называлось колодой и равнялось десяти воронам. Об этом числе летописец говорит: «Сего числа несть больше». Какое же это число в переводе на современное счисление? Запиши его в виде степени 10. Верно ли, что нет числа больше этого?
      113. Покажи, что любое натуральное число может быть представлено в виде суммы различных степеней числа 2 или в виде такой суммы, увеличенной на 1.
      114. В какой системе счисления 2·2=10?
      115. Один шестиклассник о себе написал так. «Пальцев у меня 24, на каждой руке 5, а на ногах 12». Как же так могло быть?
      116. Сколько требуется цифр и каких, чтобы можно было любое натуральное число записать: 1) по десятичной системе счисления, 2) по пятеричной, 3) по восьмиричной,
      4) по троичной, 5) по двоичной?
      117. Записать: 1) число 2456 по пятеричной системе счисления, 2) 321 по троичной системе счисления, 3) 64 по двоичной*.
      * Данные в этой задаче записаны в десятичной система счисления.
     
      Разные вопросы и задачи
     
      131. Какие четыре гири нужно иметь, чтобы с их помощью можно было на чашечных весах отвесить любое целое число килограммов, не превосходящее 40? (Реши эту задачу подбором. По теории вопроса прочитай параграф IX интересной книги: И. Я. Депман, Меры и метрическая система, Учпедгиз, 1954).
      132. При сложении нескольких чисел ученик из-за небрежных записей допустил следующие ошибки: цифру единиц 3 он принял за 9, цифру сотен 1 он принял за 7, наконец, цифру тысяч 5 он принял за 6. У ученика получилось 63 587. Может быть, можно помочь ученику найти верную сумму? Как это сделать?
      133. Если от задуманного трёхзначного числа отнять 7, то получившееся число разделится на 7, если отнять от задуманного числа 8, то результат разделится на 8, а если отнять 9, то результат разделится на 9. Какое число было задумано?
      134. Число 45 надо разбить на четыре части так, что если к первой части прибавить 2, от второй отнять 2, третью умножить на 2, а четвёртую разделить на 2, то все результаты будут равны. Найти эти части.
      135. Напиши наименьшее трёхзначное число, кратное 3, так, чтобы первая цифра его была 8 и все цифры были бы различны.
      136. Напиши наименьшее пятизначное число, кратное 9, так, чтобы первая цифра его была 6 и все цифры были бы различны.
      137. Если число 12 345 679 умножить на 9, то получится число 111 111 111 (проверь). На какое число нужно умножить 12 345 679, чтобы получилось число, записанное при помощи: 1) одних пятёрок, 2) одних девяток?
     
     
      ГЛАВА 2. АЛГЕБРА
     
      При помощи уравнений
     
      Историческая задача алгебры заключается в том, что она служила и служит колыбелью для вновь возникающих идей и методов, которые впоследствии проникают в другие отделы математики и нередко начинают играть в них доминирующую роль.
      Н. Г. Чеботарёв.
     
      146. Несколько рабочих решили купить моторную лодку. Если каждый из них внесёт по 70 руб., то не хватит 30 руб., если же .каждый внесёт по 80 руб., то 40 руб. будут лишними. Сколько было рабочих и сколько стоила моторная лодка?
      147. Для экскурсии, проводимой школой, нужно было собрать определённую сумму денег. Если каждый участник экскурсии внесёт по 7 руб. 50 коп., то на расходы не хватит 44 руб., а если же каждый внесёт по 8 руб., то останется 44 руб. Сколько учеников намерены были участвовать в экскурсии?
      148. У мальчика столько сестёр, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько братьев и сколько сестёр в этой семье?
      149. Два брата получили путёвки в пионерский лагерь, расположенный з 20 км от города. Чтобы добраться до лагеря, они решили воспользоваться своим велосипедом. Но так как двоим ехать на велосипеде было нельзя, то братья договорились, что они отправятся в дорогу одновременно, но первый на велосипеде, а второй пешком. Проехав часть пути, первый оставит велосипед, а второй, дойдя до места, где будет оставлен велосипед, дальше поедет на нём и догонит первого у ворот лагеря. Где дол-
      жен оставить велосипед первый брат и сколько времени уйдёт на дорогу, если скорость движения обоих братьев на велосипеде 10 км в час, а пешком 5 км в час?
      150. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 руб. и кафтан, но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти, и просил достойныя платы с кафтаном; он же даде ему по достоинству расчёт 5 руб. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был. (Магницкий.)
      151. Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня будет вдвое более овец, чем у тебя». Второй пастух отвечает: «Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха? (Старинная задача.)
      152. Летят галки, лежат палки. Если на каждую палку сядет по галке, то одной галке не хватит палки, а если на каждую палку сядут по две галки, то одна палка останется без галок. Сколько лежало палок и сколько летело галок? (Старинная задача.)
      153. На памятнике древнегреческому математику Диофанту имеется надпись: «Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую — отрочество, седьмую — юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался». Сколько лет жил Диофант?
      154. Отец сказал сыну: «10 лет тому назад я был в 10 раз старше тебя, а через 22 года я буду только в 2 раза старше тебя». Сколько лет теперь отцу и сколько сыну?
      155. В 12 час. дня часовая и минутная стрелки часов совпадают. Через сколько минут после этого они снова совпадут?
      156. Через сколько минут после того, как часы показывали 4 часа, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
      157. Мне было задано пятизначное число. К этому числу надо прибавить 200 000 и сумму умножить на 3. Вместо этого я приписал к заданному мне числу в конце его справа цифру 2 и получил правильный результат. Какое число было мне задано?
      158. Решая некоторую задачу, один ученик должен был данное число умножить на 0,5 и к тому, что получится, прибавить 3. Вместо этого ученик по рассеянности данное
      число разделил на 0,5 и от получившегося частного отнял 3. К счастью, результат получился такой, какой и должен был получиться. Определить, то число, которое ученик должен был умножить.
      159. Имеется некоторая дробь. К знаменателю этой дроби прибавили 1. 1) Какое число надо прибавить к числителю, чтобы получилась дробь, равная данной? 2) На какое число надо умножить числитель, чтобы получилась дробь, равная данной?
      160. В артели было несколько квалифицированных рабочих и несколько неквалифицированных. Каждый квалифицированный рабочий получает за работу в неделю 21 руб., а каждый неквалифицированный 15 руб. Всего артель получила за неделю 174 руб. Сколько в артели было квалифицированных рабочих и сколько неквалифицированных?
      161. Нужно разменять 100 руб. денежными знаками достоинством в 3 руб., 5 руб. и 25 руб. так, чтобы всего было 20 денежных знаков. Как это можно сделать?
      162. Куплены тетради по 7 коп. и по 4 коп. за тетрадь, всего на сумму 53 коп. Сколько куплено тех и других тетрадей?
     
      176. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семи мер зерна. Сколько мер зерна сохранится благодаря этим кошкам? (Египетский папирус — около 2000 лет до н. э.)
      177. Некто хотел подковать свою лошадь и обратился к кузнецу с просьбой взять с него подешевле. Кузнец предложил: «Заплати мне только за гвозди, которых я затрачу 24 штуки. За первый гвоздь заплати мне 1/4 коп., за второй 1/2 коп., за третий 1 коп. и т. д., всё время удваивая
      плату за каждый следующий гвоздь». Сколько бы пришлось заплатить при таком способе расплаты только за последний гвоздь? (Старинная задача.)
      178. Некто продаёт свою лошадь по числу подковных гроздей, которых у неё 32. За первый гвоздь он просит 1 коп., за второй 2, за третий 4, за четвёртый 8 и всегда за следующий вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается, во сколько он ценит лошадь. (Задача Л. Эйлера.)
     
      Подумай с карандашом в руках!
     
      182. Самолёт из Москвы летит в Киев и возвращается обратно в Москву. В какую погоду этот самолёт проделает весь путь быстрее: в безветренную или при ветре, дующем с одинаковой силой в направлении Москва — Киев?
      183. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 50 км в час, а обратно возвращался со скоростью 30 км в час. Какова была его средняя скорость?
      184. На одном научном конгрессе математиков во время завтрака присутствующим была предложена следующая задача. Представьте себе, что каждый день в полдень из Гавра (Франция) в Нью-Йорк (США)о отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно 7 суток и все они идут I о одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании^ встретит на всём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк? Реши эту задачу.
      185. От пристани Киров до пристани Соколки ежедневно в 12 час. дня отправляется пассажирский пароход, который находится в пути ровно трое суток. 20 мая в 12 час. дня от пристани Соколки в Киров отошёл моторный катер, который прибыл в Киров ровно через двое суток. Сколько пассажирских пароходов встретит во время своего пути катер?
     
      Докажи!
     
      186. Доказать, что квадрат нечётного числа есть нечётное число.
      187. Доказать, что если квадрат некоторого числа есть число чётное, то и само это число — чётное.
      188. Доказать, что квадрат чётного числа есть число, кратное 4.
      189. Доказать, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное.
      190. Доказать, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.
      191. Доказать, что сумма произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату большего числа.
      192. Доказать, что произведение двух последовательных чётных чисел есть число, кратное 8.
      193. Доказать, что если взять какое-нибудь двузначное число с разными цифрами, переставить в нём цифры и вычесть из данного числа получившееся, то разность будет делиться на 9. Будет ли это верно для трёхзначных чисел (переставляются крайние цифры)?