Сборник задач по математике
на сообразительность

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Настоящий сборник задач содержит свыше 600 задач для внеклассной работы в школе.*
      * Часть задач из III, VI и VII разделов книги может быть использована также и в классной работе.
      Характер книги определяется наличием в ней большого числа так называемых логических и комбинаторных задач, своеобразных «числовых загадок» (математических ребусов), разного рода «некнижных» вопросов и нестандартных арифметических задач. Задачам такого рода присущ тот «интригующий момент», который неизменно вызывает у пытливого ученика повышенный интерес и возбуждает желание попробовать свои силы в решении их. Все задачи в той или иной мере заставят ученика проявить догадку, математическое остроумие, упорство в поисках непроторенных путей решения, приучат к сосредоточенному размышлению. В этом смысле книга и названа «Сборником задач на сообразительность»
      Книга состоит из 10 разделов. Они различаются между собой содержанием, определяющим специфику раздела, и классами, на которые ориентирован предлагаемый материал. Каждый раздел снабжён кратким предисловием, содержащим методические указания о назначении и возможном использовании материала; в конце раздела приведены решения задач. Задачи сборника рассчитаны на объём знаний, соответствующих программе восьмилетней школы.
      Как было указано, основное назначение сборника — внеклассные занятия. Разнообразие форм внеклассной работы определяет и разнообразие использования материала сборника. Наиболее трудные задачи целесообразно решать в математическом кружке, причём рекомендуемой формой работы над трудной задачей будет включение её в домашнее задание (иногда с предварительным инструктажем) с последующим тщательным разбором решения на кружковом занятии.
      Более лёгкие задачи, допускающие устное решение, и не использованные в классе «математические миниатюры» могут войти в состав математических викторин. Подобрав циклы устных упражнений применительно к предполагаемой аудитории, их можно будет поставить на математическом вечере, поместить в математическом бюллетене и, наконец, время от времени в некоторых случаях проводить викторину и в обстановке обычного кружкового занятия, что внесёт в работу кружка разнообразие.
      Интересная задача в условиях кружковой работы привлечёт внимание учащихся к некоторым вопросам теории, связанным с заинтересовавшей их задачей. В первую очередь это относится к основной тематике сборника — арифметике; в связи с решением задач на кружке могут быть рассмотрены отдельные внепрограммные положения курса арифметики. Например, следует более широко осветить вопрос о делимости чисел, ввести понятие о наибольшем общем делителе, рассказать о различных системах счисления и т. д. А такие задачи, как, например, № 44 из II раздела и № 63 из VIII раздела, дадут повод в простой и доступной форме познакомить учащихся с понятием вероятности. Думается, что вообще руководителю кружка не следует упускать любую возникающую в процессе работы возможность связать интересную задачу с той теоретической проблемой, которая лежит в основе задачи и является ключом к решению её.
      Из 630 задач сборника около 300 задач взяты автором из его книг: «Вопросы и задачи на соображение» (изданных в 1956 г. и 1957 г.) и около 25 задач из книги «Математические викторины». Кроме того, в сборник включены:
      1) около 100 специальных комбинаторных задач типа «числовые загадки» на расшифровку «засекреченных» чисел (примерно на 90% это будут впервые появляющиеся в печати новые задачи) и 2) около 100, также печатающихся впервые, свежих задач разного содержания (логического и комбинаторного характера, на свойства чисел и др.). Наконец, около 100 задач заимствовано из разных источников Среди них несколько известных старинных задач и задачи из различных старых и современных книг, сборников и журналов, в том числе и зарубежных*. Условия некоторых из них существенно изменены, а для многих заимствованных задач предлагается новое, более доходчивое решение.
      * В основном использованы журналы: «Математическое просвещение». «Математика в школе», брошюры и списки с задачами, предлагавшимися на олимпиадах. Кроме того, по 3—4 задачи взяты из книг: И. Я. Депман «Рассказы о решении задач». Б. А. Кордемский «Математическая смекалка», Е. И. Игнатьев «В царстве смекалки». В VI! разделе несколько вопросов заимствовано из книги Г. Гурвича п Л. Тутаева «Устные вопросы по геометрии».
     
      РАЗДЕЛ I
      ЗАДАЧИ-ШУТКИ И ВОПРОСЫ НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ ДЛЯ УСТНОГО РЕШЕНИЯ
      (Материал для кружка, занимательной математики V класса.)
     
      Материал этого раздела не может полностью обслужить все потребности и все возможные виды работы в кружке занимательной математики V класса Назначение его более скромное: дать для первых занятий кружка яркий, занимательный материал, чтобы возбудить интерес маленьких математиков к внеклассным занятиям.
      Первые 14 «коварных» задач-шуток приучают внимательно вслушиваться в условия задач и критически относиться к сразу возникающему у неопытного ученика, обычно неверному, ответу Чередуясь с другими, математически Солее содержательными задачами, требующими размышлений и некоторого умственного напряжения, они могут оказаться полезными и для «передышки» перед новым, более серьёзным видом работы кружка.
      Остальные задачи этого раздела иного характера. Здесь будут уже не только весёлые загадки-шутки, но и такие занимательные по форме маленькие задачи, которые привлекут внимание учеников к некоторым свойствам чисел и арифметических действий, разовьют их комбинаторные способности и математическое воображение Эти задачи, будучи лишь более доступными, по характеру своему тесно примыкают к задачам 11, 111 и IV разделов Поэтому наиболее лёгкие задачи из этих разделов также могут быть включены в работу кружка занимательной математики V класса наряду с задачами I раздела.
      1. На дереве сидело 10 птиц. Охотник выстрелил и подстрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на дереве?
      2. Два отца и два сына пошли гулять и купили 3 апельсина. Каждый из них получил по апельсину. Как это могло случиться?
      3. Как из трёх спичек, не ломая их, образовать четыре?
      4. Что тяжелее: тонна пуха или тонна железа?
      5. Яйцо всмятку варится 3 минуты. Сколько времени потребуется, чтобы сварить 5 яиц?
      6. Во сколько раз лестница на шестой этаж дома длиннее лестницы на второй этаж этого же дома?
      7. Какой знак надо поставить между двумя двойками чтобы получить число, большее двух, но меньшее трех?
      8. В шахматном турнире с тремя участниками всего было сыграно шесть партий. Сколько партий сыграл каждый участник турнира?
      9. Одного человека спросили, сколько у него детей. Ответ был замысловатый: «У меня 6 сыновей, а у каждого сына есть родная сестра». Сколько детей в этой семье?
      10. Из двух станций навстречу друг другу одновременно вышли два поезда: скорый и товарный. Скорость первого поезда — 80 км в час, второго—40 км в час. Через 6 часов после своего выхода скорый поезд встретился с товарным. Сколько времени до момента встречи шёл товарный поезд?
      11. 10 насосов за 10 минут выкачивают 10 тонн воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 тонн воды?
      Три старинные русские задачи-шутки:
      12. Двое пошли — 5 гвоздей нашли.
      Четверо пойдут — много ли найдут?
      13. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд Посчитай, сколько всего летело уток?
      14. Раздели полтину на половину. (Полтина, полтинник — монета в 50 копеек.)
      15. Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?
      16. С помощью спичек написано:
      VI—IV=IX
      Переложив только одну спичку получите правильное равенство. (Задача имеет 2 решения; найдите оба).
      17. Книга в переплёте стоит 1 руб. 60 коп.; переплёт на I рубль дешевле самой книги. Сколько стоит книга без переплёта?
      18. Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат — 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дому на 5 минут раньше меня?
      19. Пуговица весит полтора грамма. Сколько тонн весит миллион таких пуговиц?
      20 За книгу заплатили 4 руб 50 коп. и ещё половину стоимости книги Сколько стоит книга?
      21. Сколько получится десятков, если два десятка умножить на три десятка?
      22. Сколько будет полторы трети от 100?
      26. Выписаны подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз в этой записи встретится цифра 5?
      27. Использовав шесть раз цифру 1 и знаки, применяемые в арифметике, составить число 100.
      28. Использовав пять раз цифру 1 и знаки, применяемые в арифметике, составить число 100.
      29 Между цифрами 1 2 3 4 5 6, не меняя их порядка, расставьте знаки + и — так, чтобы получилась единица
      30. Потребовалось из ящика с чаем, содержащего 1 кг 100 г чаю, отсыпать 1 кг чаю. Как это сделать с помощью чашечных весов, если гирь нет, но имеются два пакета: один весом в 300 г, а другой весом в 650 г?
      31. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и 5 л. Как с помощью таких сосудов налить из водопроводного крана 4 л?
      32 10 пар чёрных и 10 пар коричневых перчаток одного и того же размера были разрознены и вперемешку по-
      ложены в коробку. Какое наименьшее количество перчаток, не рассматривая их, надо вынуть из коробки, чтобы быть уверенным, что среди них есть хотя бы одна пара?
      33. На берегу реки стоят трое взрослых и два мальчика. У них есть лодка, вмещающая лишь одного взрослого или двух мальчиков. Как всем пятерым переправиться на другой берег?
      34. Хотят поскорее поджарить 3 ломтика булки. На сковороде умещаются лишь 2 ломтика, причём на поджаривание одной стороны ломтика затрачивается одна минута. За какое наименьшее число минут можно поджарить с обеих сторон все три ломтика?
      35. Пришли ко мне два друга. Оба отличные шахматисты. С каждым из них я сыграл по одной партии и обе проиграл. В комнату вошла моя десятилетняя дочь, она приветствовала нас и сказала: «Папочка, если позволишь, я берусь сыграть успешнее тебя. Я буду играть одновременно на двух досках: на одной — белыми, на другой — чёрными». К моему восторгу, смешанному с досадой, она действительно сыграна с лучшим результатом, чем я. (Кстати, дочь лишь недавно узнала правила движения фигур.) Как объяснить такой успех девочки?
      36. Два числа перемножили — получили 24. Затем большее из этих чисел разделили на меньшее — опять получили 24. Что это за числа?
      37. Может ли сумма двух чисел равняться их разности?
      40. Один из двух сомножителей равен 36. Как изменится произведение, если другой сомножитель увеличить на 9?
      41. Как изменится двузначное число, если к нему приписать такое же число?
      42. Сумма и произведение четырёх целых чисел равны 8. Что это за числа?
      43. Сумма трёх различных целых чисел равна их произведению. Что это за числа?
      44. Мальчик хочет 30 орехов разложить на 3 кучки так, чтобы число орехов в каждой кучке было нечётным. Какой совет вы дали бы мальчику?
      45 Существует ли такое целое число, которое делится на аюбое из остальных целых чисел?
      50. Как, использовав четыре раза цифру 9 и знаки, применяемые в арифметике, составить число 100?