Избранные задачи и теоремы
элементарной математики

DjVu

      ОТ АВТОРА
      Настоящая книга является первой из ряда сборников задач, построенных на материале, накопленном в школьном математическом кружке при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти сборники содержат задачи и теоремы, ббльшая часть которых предлагалась на занятиях секций школьного математического кружка при МГУ и на математических олимпиадах московских школьников1); они рассчитаны на участников и руководителей школьных математических кружков, а также на участников и руководителей математических кружков в педагогических институтах. Настоящая книга содержит задачи по арифметике, алгебре и теории чисел. Последующие сборники задач будут посвящены геометрии: вторая книга содержит планиметрические, а третья — стереометрические задачи; предполагается также, что отдельная книга будет посвящена геометрическим оценкам и задачам на отыскание наибольших и наименьших значений геометрических величин. Разумеется, отдельные книги этого ряда совершенно не зависят друг от друга.
      1) Номера задач, предлагавшихся на олимпиадах, указаны в таблицах, помещенных в начале каждого сборника задач.
      В работе над сборниками кроме Н. Н. Ченцова и И. М. Яглома принимали участие и другие руководители школьного математического кружка при МГУ, частично перечисленные в предисловиях к отдельным книгам. Около 40 задач заимствовано из рукописи одного из создателей школьного кружка при МГУ и замечательного руководителя секций кружка Давида Оскаровича Шклярского (1918 — 1942), работавшего в школьном математическом кружке при МГУ в 1936 — 1941 гг, и погибшего на фронте Великой Отечественной войны. Учитывая большое влияние, которое оказал Д. О. Шклярский на последующую деятельность школьного математического кружка при МГУ и, в частности, на настоящие сборники, мы сочли уместным поставить его имя на титульном листе книг на первое место1).
      1) Относительно истории школьного математического кружка при МГУ и роли Д. О. Шклярского в этом кружке см. вступительную статью В. Г. Болтянского и И. М. Яглома к книге: А. А. Леман (составитель), Сборник задач московских математических олимпиад, М., «Просвещение», 1965. (Эта интересная книга имеет много точек соприкосновения с настоящими сборниками.)
      В отличие от большинства задачников, предназначенных для учащихся средней школы, настоящие сборники ставят своей целью не столько закрепить и углубить знания читателя, полученные им в школе, сколько ознакомить его с рядом новых для него методов и идей и привить вкус к самостоятельным изысканиям. В связи с этим здесь почти полностью отсутствуют задачи, для решения которых достаточно только формального усвоения школьного курса математики. Очень слабо представлены в сборниках наиболее привычные для школьников типы задач «на сообразительность»: задачи на искусственные методы решения уравнений и систем уравнений высших степеней и задачи на построение. Зато сборники содержат много задач с нестандартными формулировками, требующих для своего решения новых подходов.
      При подборе задач больше внимания уделялось тем разделам элементарной математики, которые находят продолжение в современных исследованиях (для примера назовем «Алгебру многочленов» или «Теорию многогранников»). Некоторые циклы задач излагают в переработанном и приспособленном для школьников виде отдельные вопросы, которые обычно относят к «высшей математике» (например, элементы теории чисел или разностные уравнения). Отдельные задачи заимствованы из сочинений классиков математики и из статей, напечатанных в научных математических журналах за последние годы.
      В связи с некоторой необычностью содержания сборники «Избранных задач и теорем» могут показаться трудными читателю, привыкшему к «стандартным» задачникам, предназначенным для учащихся средней школы. Тем не менее опыт школьного математического кружка при МГУ и московских математических олимпиад показывает, что собранные здесь задачи отнюдь не являются недоступными для настойчивого школьника.
      Перед решением задач следует прочесть «Общие указания к пользованию книгой».
      Настоящая книга содержит 320 задач арифметического и алгебраического содержания; сюда же отнесены некоторые задачи, являющиеся по существу упражнениями на развитие логического мышления (см., например, задачи 1—8).
      Все задачи разбиты на 12 отдельных циклов. Последние четыре из них: «Комплексные числа», «Несколько задач из теории чисел», «Некоторые замечательные неравенства» и «Ряды разностей и сумм числовых последовательностей» содержат значительный теоретический материал и вполне могут служить темой занятий школьного математического кружка или математического кружка для студентов педагогического института; при этом может оказаться полезной также дополнительная литература, указанная в начале этих циклов. Также и все другие циклы (особенно «Перестановки цифр в числе» и «Решение уравнений в целых числах») могут дать материал для работы математических кружков.
      Из 12 циклов только четыре: «Разные задачи из алгебры», «Алгебра многочленов», «Комплексные числа» и «Некоторые замечательные неравенства», относятся к алгебре, а все остальные — -к арифметике и к теории чисел. Столь малый вес собственно алгебры объясняется отчасти стремлением не давать задач, требующих сложных преобразований, и сделать большую часть задачника доступной ученикам 8-го и даже 7-го классов, а. отчасти — наличием хорошего «Задачника по алгебре» В. А. Кречмара, дублировать который мы всячески избегали.
      Настоящее, четвертое издание книги почти не отличается от второго и третьего; при переиздании были лишь исправлены немногочисленные замеченные небрежности. Однако второе издание от первого отличается весьма значительно.
      Около 60 задач первого издания было исключено из книги — одни потому, что они казались нам слишком трудными или недостаточно интересными, другие только потому, что для них не нашлось места в новой структура книги. В книгу было включено около 120 новых задач. Вопрос о месте каждой задачи в том или ином цикле решался заново; само расположение циклов в книге тоже подверглось некоторым изменениям. Полностью были переделаны все решения; при этом некоторые решения удалось упростить или заменить лучшими; для ряда задач написаны дополнительно к старым еще и новые решения. Наконец, во втором и последующих изданиях книги были даны указания ко всем без исключения задачам и отмечены звездочками задачи, которые кажутся авторам наиболее трудными. В целом циклы 3, 5, 6, 9 и 10 подверглись настолько значительным изменениям, что могут считаться написанными заново; циклы 1, 2, 4, 7 и 11 были переработаны коренным образом, и лишь циклы 8 и 12 изменены меньше других, хотя и они заметно отличаются от первоначальных.
      Первое издание книги было подготовлено И. М. Ягломом в сотрудничестве с Г. М. Адельсоном-Вельским (которому полностью принадлежал цикл «Перестановки цифр в числе», а таюке ряд задач в других циклах, особенно в цикле «Решение уравнений в целых числах»). Значительное участие в первом издании книги приняли также Э. Э. Балаш (которому принадлежал цикл задач «Ряды разностей и сумм числовых последовательностей») и Я. И. Хургин (являвшийся основным автором цикла «Некоторые замечательные неравенства»); решения отдельных задач были написаны и другими руководителями школьного математического кружка при МГУ.
      Переработка книги для второго издания была осуществлена И. М. ЯгломЪм; при этом были широко использованы материалы первого издания, составленного коллективом авторов.
      В заключение автор хочет поблагодарить А. М. Яглома, много помогавшего ему своими советами при работе над книгой и являющегося инициатором переработки цикла задач «Комплексные числа». Автор признателен также А. 3. Рывкину, тщательная работа которого по редактированию первого и второго изданий способствовала улучшению книги, а также всем читателям, сообщившим ему свои замечания, особенно И. В. Волковой, Л. И. Головиной, Р. С. Гутеру, Г. Лозановскому, И. А. Лурье, Я. Б. Рутицкому, А. С. Соколину, и И. Я. Танатару.
      Автор будет благодарен всем читателям, сообщившим ему новые, может быть, лучшие решения приведенных здесь задач и новые задачи, по стилю близкие к задачам этого сборника.
      И. М. Яглом
     
      ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГОЙ
      Настоящая книга состоит из условий задач, ответов и указаний к ним и решений. Ради удобства читателей «Ответы и указания» помещены в конце книги; они напечатаны мелким шрифтом.
      Номера задач, решение которых не требует знаний, выходящих за пределы программы 8-го класса средней школы, набраны курсивом; решение большинства из этих задач доступно даже семиклассникам. Звездочкой отмечены задачи, которые кажутся автору более трудными, а двумя звездочками — самые трудные задачи. При этом не исключено, разумеется, что читателю покажется относительно легкой какая-нибудь из отмеченных нами задач, или, наоборот, его серьезно затруднит задача, не отмеченная звездочкой, — ведь точных критериев, определяющих трудность задачи, не существует.
      По отношению к большей части задач читателю рекомендуется попытаться самостоятельно решать задачу, не заглядывая в указание или в решение. Если эта попытка не увенчается успехом, то следует посмотреть указание или ответ, знание которого тоже может облегчить решение задачи. Если же и после этого задача не будет решена, то следует прочитать решение задачи. Если задачу удалось решить, не заглядывая в указание, то рекомендуется сравнить ответ с приведенным в «Ответах и указаниях» (если таковой там имеется) и при расхождении попытаться обнаружить свою ошибку. Если же ответы совпадут, то полезно сравнить свое решение с приведенным в книге. Если в книге дано несколько решений задачи, интересно сравнить их между собой.
      Этот порядок может быть нарушен по отношению к задачам, отмеченным звездочкой, — здесь можно рекомендовать иногда с самого начала ознакомиться с указанием и только после этого приступить к решению задачи. Что же касается задач, номера которых отмечены двумя звездочками, то к их решению не следует приступать, не посмотрев предварительно указания. Эти задачи можно также рассматривать как «теорию» и сразу читать их решения; каждая из таких задач может служить темой специального доклада на математическом кружке. При этом ознакомление с решением этих трудных задач будет особенно полезно, если предварительно решить и разобрать соседние с ними задачи.
      Для решения некоторых из приведенных задач нужны дополнительные сведения, не входящие в программу средней школы. Эти сведения напечатаны мелким шрифтом перед теми задачами, к которым они относятся.
      Как правило, задачи сборника независимы одна от другой; лишь изредка решение задачи использует предложение одной из соседних с ней задач. Исключением в этом отношении являются лишь последние четыре цикла задач: «Комплексные числа», «Несколько задач из теории чисел», «Некоторые замечательные неравенства» и «Ряды разностей и сумм числовых последовательностей»; в этих циклах задачи более тесно связаны друг-с другом.
      Причины, по которым те или иные задачи объединены в один цикл, могут быть различными: иногда это общность методов и постановок вопросов (таков, например, цикл «Алгебра многочленов»), иногда — внешнее сходство условий задач; иногда специальный цикл составляют задачи смешанного содержания, почти не связанные между собой. Некоторые циклы состоят из задач, связанных между собой настолько тесно, что их естественно решать подряд (таков, например, цикл «Перестановки цифр в числе»); эти циклы задач могут служить темой специальных занятий математических кружков. Особо следует отметить последние три цикла задач этой книги, представляющие определенный теоретический интерес. Иногда циклы задач можно естественно разбить на части, различающиеся по методам решения и условиям; эти части циклов отделяются одна от другой черточками. В одном случае (цикл «Некоторые замечательные неравенства») отдельные части циклов снабжены даже специальными подзаголовками. Следует отметить, что названия циклов часто являются условными и передают только их общее содержание; для многих задач невозможно точно определить, к какому циклу их следует отнести.
      Задачи сборника рекомендуется решать не «в разбивку», а выбрать сначала определенный цикл и потратить некоторое время на решение задач этого цикла; лишь после ознакомления с одним циклом (которое, конечно, вовсе не должно состоять в решении всех или большинства его задач) следует перейти к другому циклу и т. д. При этом, разумеется, переходить от одного цикла к другому вовсе не необходимо именно в том порядке, в котором циклы расположены в книге.
      В известном смысле продолжением этой книги являются последующие сборники задач, входящие в «Библиотеку математического кружка» и объединенные с этой книгой общим списком авторов. Читателю, проработавшему настоящий сборник, может также оказаться интересной и полезной книга А. М. Яглома и И. М. Яглома «Неэлементарные задачи в элементарном изложении» (М., Гостехиздат, 1954).
     
      ЗАДАЧИ
     
      I. ВВОДНЫЕ ЗАДАЧИ
     
      1. Каждый из людей, когда-либо живших на земле, обменялся с другими определенным числом рукопожатий. Доказать, что число людей, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, четно.
      2. Можно ли ходом шахматного коня попасть из левого нижнего угла доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?
      3. а) Имеется пирамида, составленная из п колец разного размера, надетых на палочку так, что самое большое кольцо находится снизу, следующее по величине лежит на первом и т. д. (рис. 1). Требуется переложить все эти кольца на другую палочку, пользуясь вспомогательной третьей палочкой; при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Какое наименьшее число А перекладываний при этом придется сделать?
      б)* Распространенная головоломка «китайские кольца» устроена следующим образом: п колец одинакового размера при помощи тонких стержней одинаковой длины прикреплены к одной пластинке. Сквозь все кольца прохюдит укрепленная
      на рукоятке изогнутая проволока таким образом, как это изображено на рис. 2; все стержни проходят внутри проволоки и прикреплены к кольцам над ней. Задача состоит в том, чтобы снять все кольца с проволоки. В какое наименьшее число приемов это можно сделать?
      4. а) Известно, что среди 80 монет имеется одна фальшивая, более легкая, чем остальные, имеющие все одинаковый вес. При помощи четырех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету.
      б) Известно, что среди n монет есть одна фальшивая, более легкая, чем остальные, имеющие все одинаковый вес. Каково наименьшее число k такое, что k взвешиваниями на чашечных весах без гирь всегда можно выделить эту фальшивую монету?
      5. Некоторые из 20 металлических кубиков, одинаковых по размеру и внешнему виду, алюминиевые, остальные — дюралевые (более тяжелые). Как при помощи не более 11 взвешиваний на чашечных весах без гирь определить число дюралевых кубиков?
      Примечание. В задаче предполагается, что все кубики могут быть алюминиевые, но дюралевыми все они быть не могут (иначе, если бы все кубики оказались одного веса, то без этого условия мы никак не смогли бы определить, алюминиевые они или дюралевые).
      6. а)* Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается по весу от настоящих, но не известно, легче она настоящих или тяжелее. Настоящие монеты все одного веса. С помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету и одновременна установить, легче она или тяжелее остальных.
      б)** Имеется 1000 монет, среди которых одна фальшивая, имеющая другой вес, чем остальные (но неизвестно, более легкая или более тяжелая). Каково наименьшее число к такое, что взвешиваниями на чашечных весах без гирь наверное можно выделить фальшивую монету, определив одновременно, является ли эта монета более легкой или более тяжелбй, чем все остальные?
      Примечание. В условиях задачи а) тремя взвешиваниями можно выделить фальшивую монету не только из 12, но и из 13 монет; в последнем случае нельзя, однако, определить, легче или тяжелее фальшивая.монета, чем настоящая. Для случая 14 монет необходимы уже четыре взвешивания.
      Было бы интересно определить, какое наименьшее число взвешиваний необходимо для того, чтобы выделить одну фальшивую монету из 1000 монет, если не требуется определить, легче она или тяжелее остальных.
      7. а) К хозяину гостиницы однажды пришел постоялец, не имевший денег, но обладавший серебряной цепочкой, состоящей из семи звеньев. Хозяин согласился держать этого постояльца неделю, при условии, что тот будет ему ежедневно отдавать в виде платы одно из звеньев цепочки. Какое наименьшее число звеньев надо распилить для того, чтобы владелец цепочки смог ежедневно в течение семи дней расплачиваться с хозяином (быть может, забирая у него при этом отданные ранее звенья и выдавая взамен их другие)?
      б) Цепь состоит из 2000 звеньев. Какое наименьшее число звеньев надо распилить для того, чтобы любое число звеньев от 1 до 2000 можно было набрать, взяв некоторое число из образовавшихся частей?
      8. 200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий; с другой стороны из тех же 200 учеников в каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем среди отобранных 10 выбран самый низкий. Кто из двоих окажется выше (если это разные лица)?
      9. Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно разложить
      на чашках весов, по шесть на каждой чашке, так, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют один и тот же вес.
      11. 12 полей расположены по кругу и на четырех соседних полях стоят четыре разноцветные фишки: красная, желтая, зеленая и синяя.
      Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре любых поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки могут стать снова на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?
      12. Пять приятелей, один из которых имел обезьяну, купили однажды мешок орехов, которые они предполагали утром следующего дня поделить между собой. Однако ночью один из приятелей проснулся и захотел орехов; он разделил все орехи в мешке на пять равных частей, причем у него остался один лишний орех, который он отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Вслед за ним проснулся другой из хозяев орехов; не зная, что орехи уже кто-то брал, он разделил все оставшееся содержимое мешка снова на пять частей, причем оставшийся лишний орех он отдал обезьяне, и взял себе пятую часть. Затем последовательно проделали ту же операцию оставшиеся трое приятелей; при этом каждый из них, не зная о поступке остальных, делил все орехи на пять частей, брал себе пятую часть и каждый раз оставался один лишний орех, который отдавали обезьяне. Наконец, утром все пятеро вместе достали мешок, разделили оставшиеся орехи на пять частей, а один орех, оказавшийся лишним, снова отдали обезьяне. Требуется определить наименьшее число орехов в мешке, при котором возможен подобный раздел их.
      13. Два брата продали принадлежащее им обоим стадо овец, взяв за каждую овцу столько рублей, сколько было овец в стаде. Полученные деньги братья поделили следующим образом: сначала старший брат взял себе десять рублей из вырученной суммы, затем взял десять рублей второй брат, после этого первый брат взял еще десять рублей и т. д. При этом младшему брату не хватило десяти рублей; поэтому он взял все оставшиеся после дележа мелкие деньги, а кроме того, чтобы дележ был справедливым, старший брат отдал младшему свой перочинный нож. Во что был оценен перочинный нож?
      14*. а) С какого дня чаще начинается новый год: с субботы или с воскресенья?
      б) На какой день недели чаще всего приходится 30-е число месяца?
     
      2. ПЕРЕСТАНОВКИ ЦИФР В ЧИСЛЕ
     
      15. Какие целые числа от зачеркивания последней цифры уменьшаются в целое число раз?
      16. а) Найти все целые числа, начинающиеся с цифры 6 и от зачеркивания этой цифры уменьшающиеся в 25 раз.
      б) Доказать, что не существует целых чисел, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в 35 раз.
      17*. Целое число уменьшается в 9 раз при зачеркивании некоторой его цифры; при этом полученное число тоже делится на 9.
      а) Доказать, что для того, чтобы разделить полученное число на 9, тоже достаточно вычеркнуть в нем одну цифру.
      б) Найти все целые числа, удовлетворяющие условию задачи.
      18. а) Найти все числа, которые при зачеркивании третьей цифры уменьшаются в целое число раз.
      б)* Найти все числа, которые при зачеркивании второй цифры уменьшаются в целое число раз.
      19. а) Найти наименьшее целое число, начинающееся с цифры 1 и такое, что если переставить эту цифру в конец, то число увеличится втрое. Найти все такие числа.
      б) Какими цифрами могут начинаться отличные от нуля целые числа, увеличивающиеся втрое от перестановки первой цифры в конец? Найти все такие числа.
      20. Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые от перестановки начальной цифры в конец увеличиваются в 5 раз, в 6 раз или в 8 раз.
      21. Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые увеличиваются вдвое от перестановки начальной цифры в конец.
      22. а) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличиваются в 7 или в 9 раз.
      б) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые увеличиваются в 4 раза от перестановки начальной цифры в конец.
      23. Найти наименьшее целое число, начинающееся цифрой 7 и уменьшающееся втрое от перестановки этой цифры в конец. Найти все такие числа.
      24. а) Доказать, что отличное от нуля целое число не может быть меньше в 2, 3, 5, 6, 7 или 8 раз своего обращенного (т. е. числа, состоящего из тех же цифр, записанных в обратном порядке).
      б)* Найти все целые числа, которые в 4 раза или в 9 раз меньше своего обращенного.
      25. а) Найти шестизначное число, которое увеличивается в 6 раз, если три последние цифры числа, не меняя их порйдка, переставить в начало числа.