Сборник практических задач
по математике

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Настоящий «Сборник практических задач по математике» ставит своей целью помочь учителям начальных классов (особенно учителям, начинающим работу) в подборе для каждого класса по каждой теме задач с практическим содержанием (помимо тех, какие имеются в принятых учебниках по математике) и дать полезные советы по методике решения таких задач.
      Задачи, помещенные в настоящем «Сборнике», заставят ученика действовать: рисовать, чертить, вырезывать, измерять отрезки, находить площади, добывать необходимые для решения задач сведения, составлять планы, сметы, диаграммы, производить денежные расчеты и т. п. В этом смысле приведенные задачи и названы практическими.
      При решении таких задач ученики развивают инициативу, самостоятельность, конструктивные способности, находчивость и смекалку, т. е. все те качества, какие им нужны будут в дальнейшей практической деятельности. Задачи, предлагаемые нами, с первых же шагов школьной жизни ребенка вырабатывают в нем умение владеть карандашом, линейкой, ножницами и постепенно вводят в круг вопросов, связанных или со школьной жизнью, или с жизнью общества.
      Чтобы облегчить работу с задачами практического характера, в «Сборнике» отведено значительное место методическим указаниям.
      В основном «Сборник» предназначен для использования задач на уроке и для заданий на дом. Однако задачи повышенной трудности мы рекомендуем решать на занятиях кружка.
      Пользоваться задачами «Сборника» можно не только в порядке последовательного расположения, их, но и выборочно в соответствии с тем, какие из них нужны учителю при изучении определенного раздела программы.
      В задачах, требующих измерения отрезков и площадей, уделено немало места измерениям в классной обстановке, т. е. таким измерениям, которые служат выработке важных практических навыков.
      Многие задачи и упражнения, помещенные в «Сборнике», можно использовать как проверочные, тренировочные или контрольные работы. Приведенные в «Сборнике» практические задачи помогут учителю, работающему с двумя классами, а также учителю, желающему организовать в классе дифференцированные занятия детей с учетом их индивидуальных способностей.
      В основу настоящего 3-го издания этого пособия положен материал, помещенный ранее в «Сборнике практических задач по арифметике» (изд. 2. М., Учпедгиз, 1963). Однако содержание книги радикально переработано в соответствии с новой программой, а материал для IV класса исключен. Переработке подверглись не только задачи, но и методические указания.
      Пользуюсь случаем, чтобы выразить свою глубокую благодарность членам секции начальной школы Учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР рецензентам товарищам Н. И. Игнатьеву, М. С. Нахимовой, М. И. Федогко, Е. И. Шамис, способствовавшим своими высококвалифицированными замечаниями улучшению качества настоящего «Сборника практических задач по математике».
      Автор.
     
      1 класс
      ЧИСЛО И СЧЕТ В ПРЕДЕЛАХ ПЕРВОГО ДЕСЯТКА
     
      Перед началом учебного года очень важно, чтобы учитель I класса познакомился со своими будущими воспитанниками и их родителями. В беседе с ними надо сказать, что необходимо приобрести для первоклассника: в частности, для обучения математике потребуется учебник, тетради, линейка длиной 30 см с делениями, небольшие ножницы, нож для затачивания карандашей и разрезания бумаги, циркульная ножка для вставки карандаша, резинки мягкие, несколько пакетиков из твердой бумаги или небольшие сумочки для хранения дидактического материала и рисунков. Следует рекомендовать родителям первое время ежедневно проверять, все ли необходимые для уроков предметы у ребенка уложены в сумку.
      Так как дети, поступающие в 1 класс, имеют весьма различные познания (некоторые умеют уже читать и решать простые задачи, а другие не знают букв и цифр), то учителю полезно заблаговременно ознакомиться, с каким «багажом» пришел в класс каждый из них.
      Для этого до начала занятий в школе надо побеседовать наедине с каждым ребенком, поступающим в I класс.
      Предварительно необходимо заранее хорошо продумать и составить вопросы (не более 10 — 12), подготовить пособия (палочки, набор цифр, наборы кружков разного цвета и т. п.). Вопросы для такой беседы можно взять из статьи Я. Ф. Чекмарева или из статьи М. И. Моро («Известия АПН РСФСР». «Вопросы обучения детей в I классе», 1959, № 107, стр. 77):
      1. Умеешь ли ты считать? Посчитай.
      2. Я тебе назову какое-нибудь число, а ты считай дальше.
      Например, я скажу два, а ты считай дальше:
      3, 4, 5, ...; 3, считай дальше ...; 6, считай дальше ... .
      3. Теперь попробуй в обратную сторону посчитать: от 5 назад, от 10..., от 7... .
      4. Сколько здесь лежит палочек? (Перед учеником 9 палочек.)
      5. Слушай внимательно: «Мама сорвала с одной грядки 3 огурца, с другой 2. Сколько всего огурцов сорвала мама?»
      6. «У мальчика было 5 тетрадей, он отдал 2 тетради сестре. Сколько тетрадей осталось у мальчика?»
      7. Если к 4 прибавить 3, сколько получится?
      8. Если от 6 отнять 3, сколько останется?
      9. Узнай, синих кружков столько же, сколько и красных, или больше: а) предлагается для сравнения две кучки кружков одинакового размера, но разного цвета — 5 синих и 5 красных; б) предлагается для сравнения 6 синих кружков и 7 красных.
      10. Что больше: 2 или 3? 7 или 8? 6 или 4?
      Чтобы полученные по такой схеме данные могли быть использованы в работе учителя с классом наилучшим образом, надо придумать форму записи ответов детей. Такие формы имеются в указанной нами книге («Известия АПН РСФСР», 1959, № 107) на страницах 78 и 79.
      Занятия с детьми в I классе в первые дни учебного года — дело нелегкое и очень ответственное, так как обычно приходится начинать работу с детьми, имеющими разное развитие, а их всех необходимо занять и заинтересовать. В эти дни учителю надо готовиться к урокам особенно тщательно, чтобы суметь привлечь к работе всех учеников класса.'
      Если учитель заранее выяснил знания детей по математике н разбил их по степени знаний на группы, то ему надо готовить материал для каждой группы отдельно, чтобы во время урока все дети не только были заняты, но увлечены работой. С этой целью детям следует давать различные практические работы, изготовление наглядных пособий, например: вырезать из бумаги геометрические фигуры (квадраты и круги), изготовить по десять палочек и др.
      На первых трех уроках учитель попутно с такими занятиями решает практические задачи, данные в учебнике и в настоящем «Сборнике», привлекая сначала более подготовленных учеников и постепенно вовлекая в работу всех детей.
      Уроки по математике должны быть оборудованы необходимыми наглядными пособиями и измерительными инструментами: счетами, линейками (метровыми, 60- и 30-сантиметровьши), треугольниками, рулетками, сантиметровыми (портновскими) лентами, классными и ученическими циркулями, ножницами, запасом белой и цветной бумаги, различным раздаточным материалом (геометрическими фигурами, одинаковыми картинками или игрушками, палочками, пуговицами, камешками, орехами, желудями, шнурами разной длины и т. п.). Все это должно храниться в классном шкафу.
      Обычно в первые дни занятий учитель выявляет представления и понятия детей, такие, как: «направо — налево», «больше — меньше», «длиннее — короче», «шире — уже», «толще — тоньше», «глубже — мельче». Выяснение этих понятий надо проводить непременно на конкретном материале, причем когда, например, учитель хочет выяснить понятие «длиннее — короче», он берет в руки две линейки, одинаковые но ширине, но разные по длине, а когда речь идет о понятии «шире — уже», тона-до взять две линейки (или ленты), одинаковые по длине, но разные по ширине. Для выяснения понятия «толще — тоньше» можно взять две различные по толщине веревки, или два шнура, или две палки, и во всех случаях эти предметы лучше брать одинаковые по длине. Понятие «глубже — мельче» желательно показать на двух стеклянных сосудах с водой, например: налить водой до краев две равные по высоте банки и проверить глубину их палочкой.
      Для выяснения понятия, «дороже — дешевле» надо спросить детей о стоимости известных им предметов, например: сколько стоит ученическая тетрадь? (1 коп., 2 коп.) Сколько стоит линейка? (4 коп., 6 коп.) Что дороже? Что дешевле?
      Дальше проверяются и расширяются познания детей в свете каких-нибудь однородных предметов: окон в классе, парт в одном ряду, домиков или птичек на картинке, цветков и т. п., а также познания детей в отвлеченном прямом и обратном счете в пределах первого десятка.
      На одном из уроков в первую неделю занятий необходимо изготовить из картона или цветной бумаги по 10 квадратов (со стороной 2 — 3 см). Для этой цели лучше всего каждому ученику (или хотя бы на каждую парту) дать для образца картонный квадрат, предложить детям на листе плотной бумаги или картона,из которого они будут изготовлять фигуры, карандашом очертить стороны квадрата и вырезать его ножницами (или ножичком). Лучше очертить сразу все 10 квадратов, а затем уже их вырезать. Объясняя задание, учитель сначала на доске, а потом на бумаге показывает, как очерчивать и как вырезать квадрат, и следит, как это делают дети.
      Изготовленные квадраты будут служить детям дидактическим материалом для прямого и обратного счета, изучения арифметических действий, составления числовых множеств, решения задач. (Если в приложении к учебнику имеются готовые квадраты или другие фигуры для вырезывания, то самодельные надо делать таких же размеров и такого же цвета, как и готовые, чтобы они могли служить заменой в случае утери или порчи готовых фигур.)
      Подобным же образом (с помощью образчиков, данных учителем) ученики могут изготовить из картона или цветной бумаги круги диаметром 2 см (величиной в 15-копеечную монету). Изготовленные квадраты желательно хранить в одном пакете, а круги — в другом.
      В первые дни занятий можно ограничиться изготовлением только этих двух фигур, а во время второй учебной декады таким же путем следует изготовить равносторонние треугольники (со стороной 2 — 3 см) и прямоугольники (со сторонами 2 см и 3 см). Для этих фигур потребуются еще два пакетика.
      При счете различных предметов надо соблюдать следующий порядок: при прямом счете дети откладывают их налево (аналогично тому, как при прямом счете откладываются косточки на счетах), при обратном же счете — направо.
      На первых порах при помощи изготовленных фигур можно решать, например, такие задачи (в дополнение к задачам стабильного учебника).
      1. Положите на парт.у 7 квадратов и на каждый из них положите по кружку. Подсчитайте, сколько кружков вы положили.
      2. Положите на парту 10 палочек и к каждой палочке снизу приложите по одному кружку. Сколько кружков вы приложили?
      3. Закройте глаза и положите на парту 8 кружков, а под ними внизу положите квадраты, так чтобы квадратов было на один больше, чем кружков. Сколько квадратов вы положили? Откройте глаза и проверьте.
      4. С закрытыми глазами положите на парту 6 палочек, а во втором ряду положите квадраты, так чтобы квадратов было на один меньше, чем палочек. Сколько квадратов вы положили?
      Указание*. При выполнении заданий № 3 и 4 дети используют осязание. Таких задач желательно проделать несколько.
      * Все указания в «Сборнике» даются для учителя, указания же для учащихся, если они необходимы, даны в текстах задач.
      5. Положите 5 палочек. Что нужно еще сделать, чтобы на парте лежало 6 палочек? А что нужно сделать, чтобы на парте осталось 4 палочки?
      Указание. От учащихся требуется ответ: «Чтобы стало 6 палочек, надо добавить одну палочку, а чтобы стало 4 палочки, надо убавить (или отнять) одну палочку». Второй вопрос задается тогда, когда учащиеся, ответят на первый.
      6. Положите на парту столько палочек, сколько раз я стукну (учитель стучит, например, 4 раза).
      Указание. Перед стуком следует предупредить детей, чтобы они молча считали. Проходя по рядам, следует проверить, все ли правильно положили палочки. Таких упражнений надо сделать несколько, увеличивая число ударов.
      7. Сосчитайте, сколько раз я стукну, и положите на парту кружочков на один больше (учитель стучит 5 раз).
      8. Сосчитайте, сколько раз я стукну, и положите на парту квадратов на один меньше (учитель стучит6 раз).
      Будьте внимательны! Еще раз сосчитайте, сколько раз я стукну (учитель стучит 4 раза, затем делает паузу в 2 сек и еще стучит 3 раза). Сколько всего стуков? Подряд ли я стучал? А как?
      Игра. 1) Назовите быстро 4 различных цвета, 4 птицы, 4 имени мальчиков.
      2) Назовите быстро 5 различных имен девочек, 5 домашних животных, 5 кушаний, 5 ученических принадлежностей.
      3) Придумайте сами такие игры. Можно брать не 4 вида различных предметов, а 3.
      Игра. Кто больше составит фигур из 1) 3 палочек? 2) 4 палочек? 3) 5 палочек?
      Указание. Дети, раскладывая палочки различным образом, получают разные фигуры, например из трех палочек:
      Чтобы выполнить эту игру, надо, чтобы у каждого ученика было по нескольку десятков палочек. В противном случае можно игру вести «на карандаше», но в этот период учащиеся едва ли смогут сделать много фигур карандашом.
      9. Обведите карандашом в тетради столько квадратиков, сколько окон в классе.
      10. Нарисуйте столько кружков, сколько поставлено картинок на планке доски (учитель ставит, например, 4 одинаковые картинки).
      11. На планке поставлены картинки (учитель ставит 6 одинаковых картинок), а вы нарисуйте в тетради палочки, так чтобы палочек получилось на одну больше, чем картинок.
      12. На планке кубики (учитель ставит 7 кубиков), а вы нарисуйте палочек на одну меньше, чем кубиков.
      Указание. Понятие числа (в данном случае множества каких-либо предметов) с помощью различных анализаторов — зрения, слуха, осязания, движения — является важным фактором освоения числа.
      13. Положите на парту в одном ряду несколько палочек, а в другом ряду — несколько кружочков. Чего больше — палочек или кружочков вы положили или палочек столько же, сколько кружков?
      14. Положите в один ряд по линейке 6 квадратов, а в другой ряд — столько же кружков. Сосчитайте квадраты# сосчитайте кружки. Можно ли сказать, что квадратов и кружков лежит поровну?
      15. Положите на парту столько палочек, сколько на одной руке пальцев. Сколько пальцев на одной руке? Сколько палочек вы положили? Сколько нужно положить палочек, чтобы их было столько, сколько пальцев на двух руках? Сделайте это.
      16. Положите на парту в верхнем ряду 4 квадрата, а в нижнем ряду — 5 таких же квадратов. Кладите один квадрат под другим. В каком ряду больше квадратов — в верхнем или в нижнем? Какое число больше — 4 или 5? На сколько больше? Какое число меньше — 4 или 5? На сколько меньше?
      Указание. Предварительно такая задача решается у доски с помощью каких-либо предметов: учитель кладет на планку, например, 3 картинки, а вызванному ученику дает в руки 4 такие же картинки и предлагает положить их ниже под каждой картинкой. Ученик положит 3 картинки, а четвертую вынужден будет положить дальше. После этого учитель задает вопросы.
      17. Положите на парту в одном ряду 6 квадратов, а во втором ряду под ним 5 таких же квадратов. В каком ряду квадратов меньше — в верхнем или нижнем? А в каком ряду больше? Какое число больше — 5 или 6? А какое из них меньше? На сколько 6 больше 5? На сколько 5 меньше 6?
      Указание. Учитель должен добиться от учеников, чтобы они уяснили понятия «столько же», «больше» и «меньше» не только на предметах, но и на числах. Уяснение этих понятий имеет важное значение для сознательного изучения детьми натурального ряда чисел, устной и письменной нумерации. С этой же целью можно и нужно спрашивать учащихся, «на сколько больше или меньше» какое-нибудь число соседнего с ним в натуральном ряду числа. Спрашивать же, каким действием узнают об этом учащиеся, на данном этапе, конечно, не следует, так как это будет выясняться лишь при решении задач на разностное сравнение.
      18. Сложите на парте из палочек домик, подсчитайте, сколько палочек потребовалось на это, и положите столько же квадратов.
      19. Сложите из палочек пароход, подсчитайте, сколько на это потребовалось палочек, и положите на парту столько же кружков.
      20. Положите квадраты перед собой направо, считайте их по одному, откладывая налево. Сколько всех квадратов?
      21. Теперь берите в руку по одному квадрату, откладывайте направо и говорите, сколько квадратов остается слева.
      Указание. Предложить детям такой же прямой и обратный счет при помощи кругов.
      При прямом и обратном счете учащиеся уже должны понимать, что каждое число натурального ряда представляет собой множество каких-либо предметов (единиц), количество которых равно тому последнему числу, которое названо при счете.
      Кроме того, при изучении прямого и обратного счета каждый учащийся должен понимать, как образуется любое число натурального ряда: при прямом счете для образования следующего числа прибавляется единица, а при обратном — - вычитается единица. Этому способствуют те упражнения, которые выполняют учащиеся, решая задачи «Сборника», а также прямой и обратный счет каких-либо предметов: палочек, геометрических фигур, косточек счетов, предметов окружающей обстановки, картинок и т. п.
      При изучении места числа среди других натуральных чисел в пределах 10 полезно проводить следующие 4 вида упражнений: 1) Какое число следует, скажем, после 7? 2) Какое число находится перед 7? 3) Какое число находится между 6 и 8? 4) Среди каких чисел находится число 7? Или: назовите числа, соседние с числом 7.
      Наряду с изучением количественных числительных (одни, два, три и т. д.) надо научить детей и порядковым числительным (первый, второй, ..., десятый). Для этого полезно проделать ряд упражнений.
      1) Вызвать к столу 5 учеников и предложить им слева направо пересчитаться: первый, второй, третий, четвертый, пятый (учитель спрашивает: «Каким по счету от окна в нашем ряду будет Коля? (Первым.) А Миша?
      (Вторым.) Считайте дальше!» Когда каждый из учеников будет иметь свой номер, можно предложить поменяться местами первому со вторым, первому с третьим и т. д. После такой перестановки предложить детям встать так, как они встали вначале, и подобную же перестановку предложить сделать другим учащимся. После каждого обмена один из учеников подсчитывает количество всех учащихся. Затем можно вызвать пять-шесть учениц, которые будут считать: первая, вторая, третья и т. д. Они проделывают тоже ряд перестановок.
      2) Затем можно предложить детям зарисовать в тетрадях, например, по 4 квадрата (через две клетки). Первый квадрат можно оставить белым, второй затушевать обыкновенным карандашом, третий — красным, четвертый — синим. Надо спросить учащихся, какого цвета каждый квадрат (1-й — белый, 2-й — черный и т.д.).После того как все приготовления будут окончены, желательно задать следующие вопросы: сколько всех квадратов вы нарисовали"? Замените синий квадрат белым. Теперь белый стал каким по счету квадратом? А сколько всех квадратов? Словом, надо чтобы дети правильно отвечали на вопросы «который» и «сколько».
      3) Полезно также провести упражнение на пальцах. Если назвать большой палец правой руки первым пальцем, указательный вторым, средний третьим, безымянный четвертым и мизинец пятым, то можно задать вопросы: мизинец какой по счету? (5-й), средний какой? (З-й) и т. д. Или: при прямом счете учащиеся называют: 1-й палец большой, 2-й — указательный, З-й — средний ит. д., а при обратном счете: 5-й — мизинец, 4-й — безымянный, З-й — средний и т, д. Это упражнение полезно еще и тем, что учащиеся изучают (или повторяют) названия пальцев *.
      В результате всех упражнений учащиеся должны знать в пределах 10 прямой и обратный счет как количественных, так и порядковых чисел.
      22. Сколько детей сидит за одной партой? Положите на парту столько квадратов, сколько детей сидит за одной партой.
      23. Сколько детей сидит за двумя партами? Положите на парту столько кружков, сколько детей сидит за двумя партами.
      Указание. Такие же задания можно дать и о 3, 4, 5 партах.
      24. Сколько окон в вашем классе? Положите на парты столько квадратов, сколько окон в вашем классе.
      25. Подсчитайте какие-нибудь другие одинаковые предметы, находящиеся в классе, и положите на парту столько же квадратов или кружков.
      Указание. Можно вызвать несколько человек и поставить их к доске справа, слева и к столу, а остальным учащимся предложить положить на парты столько же кружков или квадратов. Можно на планку положить несколько каких-нибудь одинаковых предметов (кубиков, картинок и т. п.), а ученикам предложить такое же количество фигурок положить на парты.
      26. Откройте свои тетради по математике и посмотрите, как они разлинованы. На что похожа каждая клетка тетради? Возьмите карандаш, поставьте точку в какой-нибудь клетке в левой стороне строки и отсчитайте направо 10 клеток. В каждой клетке ставьте точку. Сосчитайте потом эти клетки по точкам справа налево.
      27. Отсчитайте теперь 10 клеток сверху вниз. В каждой клетке ставьте также точку. Затем по точкам сосчитайте эти клетки снизу вверх.
      28. Разложите 4 кружочка так:
      Как еще можно разложить 4 кружочка в два места?
      29. Девочка купила листок цветной бумаги за 4 коп. Какими монетами девочка могла заплатить за этот листок? Покажите на монетах,
      30. Разложите 5 треугольников так:
      Покажите, как еще можно разложить 5 треугольников в два места.
      31. Разложите 5 кружков в две группы различными способами.
      32. Билет за проезд в автобусе стоит 5 коп. Покажите, какими монетами можно заплатить в кассу за билет.
      33. Проделайте на треугольниках прибавление по одному и затем запишите это цифрами.
      Указание. Учащиеся на имеющихся у них картонных фигурах должны показать прибавление по одному в пределах 5:
      34. Покажите на треугольниках, что 1+2 = 3; 2 + 2=4; 3 + 2=5.
      35. Покажите на квадратах и треугольниках, что
      2 — 1 = 1, 3 — 1=2; 4 — 1=3; 5 — 1=4; 5-2 = 3; 5-3 = 2; 4 — 2 = 2; 3 — 2=1,
      36. Разложите 6 треугольников так;
      Покажите, как еще можно разложить 6 треугольников на две группы.
      37. Ученик купил булку за 6 коп. Покажите, какими монетами можно заплатить за эту булку.
      38. Коля положил 6 книг в шкаф на две полки. Покажите на квадратах или кружках, как мог Коля положить книги.
      39. Разложите 7 треугольников так:
      Покажите, как еще можно разложить 7 треугольников на две группы.
      40. Мать дала сыну 7 коп. Покажите, какими монетами можно дать 7 коп.
      41. Покажите на кружках, как можно 7 книг положить на две полки.
      42. У Вити в коробке было 7 перьев. Он вынимал из коробки по одному перу и говорил, сколько перьев осталось в коробке. Проделайте и вы то же самое при помощи кружков.
      43. Катя разложила 8 квадратов так:
      Покажите, как еще можно разложить 8 квадратов на две группы.
      44. Покажите, как к 7 треугольникам можно прибавить 1 треугольник.
      Указание. Дети кладут 7 треугольников и придвигают к ним еще один треугольник.
      45. Аня за 8 коп. купила книжку. Какими монетами Аня могла уплатить 8 коп.?
      46. Покажите с помощью прямоугольников, как можно 8 книг разложить на две полки.
      47. Разложите 9 треугольников на две группы4 различными способами.
      48. Покажите при помощи прямоугольников или квадратов, как можно разложить 10 книг на две полки.
      49. Разложите 5 квадратов на две группы всеми способами. Запишите цифрами, сколько квадратов в каждой группе. Например, так: 4 и 1, 3 и 2 и т. д.
      Указание. Дети должны На партах получить такие же пары множеств квадратов.
      После выполнения этого задания можно задать вопросы:
      1) Сколько квадратов в каждой строке?
      2) Как можно составить число 5 (4 и I, 3 и 2, 2 и 3, 1 и 4)?
      Такую же работу полезно проделать для каждого числа в пределах 10 на разнообразном дидактическом материале (палочки, кружки, квадраты, треугольники и пр.).
      Например, для числа 8 дети получат следующее разложение (и запись):
      Такая работа поможет детям сделать очень важное обобщение о приемах разложения числа конкретных предметов на два слагаемых, а именно: в одну группу класть 1 предмет, а в другую — остальные предметы, затем в одну — 2, а в другую — остальные предметы и т. д.
      Полезно разложение числа проделать и таким образом: поставить у доски несколько учеников, например 9, предложить ученику поставить их в два ряда: в одном ряду — 5, в другом — 4 человека. Надо спросить ученика, в каком ряду больше детей, а в каком — меньше, сколько их в двух рядах. Другому ученику учитель
      предлагает расставить вызванных учеников иначе и задает ему такие же вопросы. Такую перестановку детей в два ряда надо сделать всеми возможными способами.
      Затем вновь вызванным ученикам полезно предложить все 8 расстановок сделать по порядку: 1 и 8, 2 и 7,
      н т. д. (...)
      Рамки для контрольной работы заготавливаются заблаговременно. Во время контрольной работы учитель чертит рамки на доске и вписывает в них свое задание, учащиеся списывают эти задания и в своей графе записывают ответы.
      Одновременно с использованием геометрических фигур при изучении первого и второго десятков можно использовать классные счеты. Но счеты должны быть лишь подсобным (главным образом демонстрационным) пособием. Основными же пособиями в этот период должны быть геометрические фигуры, палочки, желуди и пр.
      При работе со счетами надо следить, чтобы дети пользовались ими правильно, а именно: присчитывание (прибавление) единиц производилось справа налево, а отсчитывание (вычитание) — слева направо. Это правило нарушается, например, тогда, когда ученик считает на счетах, повернувшись лицом к счетам и к классу. Во избежание этой ошибки надо, чтобы ученик, работающий на счетах, был всегда в такой же позиции, как и другие учащиеся.
     
      ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
     
      Общие замечания
      По программе ученики начальных классов знакомятся с плоскостными фигурами, именуемыми вообще многоугольниками; в частности с различного вида треугольниками, прямоугольниками и другими видами четырехугольников, фигурами с большим числом сторон: пятиугольниками, шестиугольниками, которые легко можно разбить на треугольники и четырехугольники.
      При ознакомлении с указанными фигурами необходимо с самых первых шагов (когда дети пользуются различными фигурами как дидактическим материалом) дать практически понятие детям о том, что треугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат и вообще многоугольник — это часть плоскости (поверхность бумаги, картона, фанеры, ткани), ограниченная сторонами — отрезками прямых линий, как в прямоугольнике или треугольнике, или кривой линией, как в круге, или кривой и прямой, как в полукруге. Надо избегать обычной, повторяющейся и в пособиях, и в учебниках ошибки, заключающейся в том, что вместо понятия о треугольнике, четырехугольнике и вообще о всяком многоугольнике детям внедряется понятие о контуре этой фигуры. Например, ученика спрашивают, сколько нужно взять палочек, чтобы сложить квадрат (вместо того чтобы спросить, сколько надо взять палочек, чтобы составить контур, границы квадрата). После таких вопросов ученик начинает думать, что квадрат, треугольник, прямоугольник можно сделать из палочек.
      Чтобы избежать этих ошибок, мы предлагаем знакомство с треугольником, прямоугольником и любым многоугольником начинать путем вырезывания этой фигуры из бумаги (контур фигуры очерчивается по линейке карандашом, а затем по начерченному контуру ножницами или ножичком вырезывается фигура). Вторым этапом ознакомления с такими фигурами являются чертежи на бумаге с обязательной затушевкой. Пусть ученик знает, что когда он начертил только стороны треугольника или квадрата, то это только контур (границы) фигуры, а когда он сделает затушевку, то будет видеть всю фигуру.
      Если же учитель желает провести с учениками практическую работу с палочками, то им можно предложить примерно такие вопросы:
      1) Сколько надо взять палочек и каких, чтобы из них сложить все стороны (или границы) квадрата? треугольника с равными сторонами?
      2) Какая получится линия из сторон квадрата, если убрать одну сторону квадрата, т. е. одну палочку? (Получится ломаная линия из трех равных отрезков.) И т. п.
      При изучении сотни ученики I класса знакомятся с мерами длины — сантиметром, дециметром и метром, а также с мерой Maccpi — килограммом и с мерой емкости — литром. С мерой длины сантиметром желательно познакомить детей раньше, лучше в самом начале занятий, так как знакомство с этой мерой даст возможность разнообразить занятия различными задачами практического характера.
     
      Прямая линия и ее отрезок
      51. Вот различные линии:
      Назовите, какие из этих десяти линий прямые и какие — кривые. Посмотрите внимательно, чем отличаются кривые линии за номерами 3 и 9 от остальных кривых линий.
      Указание. Перед уроком ознакомления учеников с линиями учитель заготавливает такой (или подобный ему) плакат или делает чертеж на доске. Кривые 3 и 9 замкнутые, остальные кривые незамкнутые. На данном этапе обучения дети не могут дать этим кривым названия, но интересно проследить, заметят ли они между множествами кривых 4, 7, 8, 10 и 3, 9 какое-либо различие. Основной же задачей в данном случае является выделение прямых из множества различных линий. Пусть дети называют линии так: 1-я — прямая, 2-я — прямая, 3-я — кривая и т. д.
      52. Начертите три прямые линии: одну — слева направо (по строке), другую — снизу вверх, третью — наискось. Подумайте и скажите, можно ли каждую из этих линий продолжить в обе стороны. Чертите хорошо отточенным карандашом по линейке слева направо. Линейку придерживайте левой рукой, а карандаш — наклонно.
      Указание. Надо показать, как правильно проводить прямую линию. Для этого можно листок клетчатой бумаги прикрепить кнопками к доске и показать, как держать линейку и вести карандаш. После этого необходимо проследить, как каждый из учеников выполняет это задание, и тем, кто делает неправильно, показать в тетради, как надо держать линейку и карандаш. Если этого не сделать вначале, то потом уйдет больше времени на поправки и указания.
      53. Отметьте в тетради точку и проведите через нее две прямые линии. Подумайте, можно ли через эту же точку провести еще прямые линии. Проведите еще две прямые через эту точку и скажите, сколько еще можно провести прямых линий через ту же точку.
      Указание. Дети должны сделать вывод, что через одну точку можно провести сколько угодно прямых.
      54. Отметьте две точки и проведите через них прямую линию. Можно ли через эти две точки провести еще прямую линию, чтобы она не слилась с первой? Теперь попробуйте провести кривую линию, чтобы она прошла через те же две точки. Можно ли еще через те же две точки провести кривую линию? А сколько кривых линий можно провести через две точки?
      Указание. Точки можно поставить где угодно, но лучше на расстоянии б — 8 клеток одну от другой, по строке. При решении этой задачи может получиться примерно такой чертеж:
      Вывод, который должны сделать ученики: через две точки можно провести толь-ко одну прямую линию, а кривых линий сколько угодно.
      55. На чертеже 6 пар прямых линий. Всмотритесь в них внимательно и скажите, чем отличаются друг от друга 1, 3 и 6-я пары линий от 2, 4 и 5-й пар.
      Найдите у себя в тетрадях и в классе такие пары прямых линий, как 1, 3, 6-я. Такие линии не пересекаются друг с другом. Их много в окружающей нас обстановке (две противоположных стороны тетради, окна, двери и т. п.).
      Найдите теперь такие две пары линий, которые пересекаются, как 2, 4, 5-я. Их тоже можно найти в тетрадях и в классе.
      56. Начертите пару непересекающихся прямых и пару пересекающихся прямых.
      Все прямые линии на бумаге или на доске чертятся не полностью, они могут быть продолжены в обе стороны сколько угодно.
      57. На этом чертеже даны две прямые линии. Какие они — пересекающиеся или непересекающиеся? Как это узнать? Как найти точку их пересечения?
      Указание. Ученики должны догадаться, что обе эти прямые надо продолжить вправо.
      58. Начертите две такие прямые линии, которые на чертеже не пересекаются, но должны пересечься при продолжении, и найдите точку их пересечения.
      59. Начертите прямую линию и пересеките ее в двух местах черточками (штрихами). Этими черточками мы ограничиваем (отрезаем) кусочек прямой линии, и эта часть прямой линии от одной черточки до дру-
      гой называется отрезком прямой линии или просто отрезком. Вокруг вас много отрезков: ребра (стороны) тетради, стекла, доски, двери — все это части прямых линий, которые ограничены с двух концов, значит, они являются отрезками.
      60. Отметьте на бумаге две точки и проведите через них прямую линию. Как можно назвать ту часть линии, которая находится между точками? Можно ли провести другой отрезок между теми же точками, который не совпал бы с первым отрезком?
      61. Отметьте три точки так: соедините прямыми первую точку со второй, а вторую с третьей. Сколько отрезков получилось у вас? Линия, которую образовали эти два отрезка, называется ломаной. Она состоит из двух отрезков. Что надо сделать, чтобы ломаная линия состояла из трех отрезков? из четырех отрезков? Сделайте это.
      Указание. Дети должны получить примерно такой чертеж:
      62. Отметьте точки 1, 2, 3, как на чертеже к задаче 61, и соедините первую точку со второй, вторую с третьей, третью с первой. Вы получите замкнутую ломаную линию из трех отрезков. Эта замкнутая ломаная линия служит сторонами треугольника. Сколько сторон у треугольника?
      63. Соедините точки первую со второй, вторую с третьей, третью с четвертой, четвертую с первой:
     
      Четырехугольники
      Проделайте то же и на втором чертеже. Затушуйте обе фигуры. Вы получите два четырехугольника. Проверьте с помощью линейки, есть ли равные стороны в I фигуре и во II фигуре.
      64. Начертите четырехугольник, у которого в длину и ширину по 4 клетки. Затушуйте его и проверьте, какие у него стороны (равные или неравные).
      Указание. Учитель скажет учащимся, что такой четырехугольник называется квадратом (дети уже видели квадрат, а теперь они его сами построили).
      65. На отдельном листке клетчатой бумаги будем намечать вершины фигур и затем ножницами вырезывать эти фигуры.
      Наметьте вершины квадрата так, чтобы они были друг от друга на расстоянии 6 клеток, проведите стороны квадрата и по этим сторонам ножницами вырежьте квадрат, постарайтесь построить и вырезать поточнее.
      Сколько квадрат имеет вершин? сколько углов? сколько сторон? Равны ли все стороны вырезанного квадрата? Как это можно проверить?
      Указание. Когда квадрат будет вырезан, надо сказать учащимся, что точки, в которых сходятся стороны, называются вершинами фигуры. Проверить, равны ли стороны квадрата, можно по клеткам.
      66. Вырежьте четырехугольник так, чтобы по длине его было 6 клеток, а по ширине 4 клетки. Наметьте сначала вершины четырехугольника, а затем проведите стороны и по сторонам вырежьте. Сколько вершин, сколько углов, сколько сторон у четырехугольника? Все ли стороны этой фигуры одинаковые (равные)? Затушуйте слегка этот четырехугольник.
      67. Вырежьте треугольник. Предварительно наметьте вершины его.
      Указание. Можно сначала предложить по основанию треугольника отметить, скажем, 6 клеток, а но высоте 4 клетки, а для вырезывания другого треугольника не делать никаких указаний, предоставив учащимся полную свободу. Пусть дети затушуют его и ответят на вопросы о количестве в нем вершин, углов и сторон. Необходимо им сказать, что треугольником называется часть (затушеванная) плоскости, ограниченная тремя сторонами. Заучивать эти определения не надо.
      68. Положите монету в 3 коп. на бумагу и обведите ее поаккуратнее хорошо отточенным карандашом. У вас получится кривая замкнутая линия, которая называется окружностью. Затушуйте клеточки, которые оказались внутри окружности, и вырежьте эту бумажную монету — у вас получится круг. Сообразите, как получить крут побольше и как поменьше того, какой получился у вас. Какие монеты надо взять, чтобы получить круг больше, и какую монету, чтобы получить круг поменьше?
      Указание. С кругом детей приходится знакомить в этом периоде, так как они употребляют его как дидактический материал.
      69. Наметьте три точки на гладкой (нелинованной) бумаге, проведите стороны треугольника, затушуйте треугольник и вырежьте его.
      Указание. Пусть дети наметят точки по своему усмотрению.
     
      ЗНАКОМСТВО С МЕРОЙ «САНТИМЕТР»
     
      70. Отрезки можно измерять. Для этого применяют меры длины. Сейчас мы познакомимся с мерой, которая называется сантиметром. В тетради длина двух клеток составляет приблизительно сантиметр. Более точно сантиметры откладывают, пользуясь линейкой. Посмотрите, на линейке стоят большие черточки и против них цифры: 0, 1, 2, 3 и т. д. Они указывают отсчет сантиметров. Если мы хотим измерить длину какого-либо отрезка, то кладем линейку так, чтобы 0 находился как раз против начала намеряемого отрезка, тогда цифра, стоящая против конца отрезка, покажет его длину.
      Слово сантиметр при числах можно записывать сокращенно см, например: 1 см, 2 см, 4 см, 5 см.
      Начертите на трех строках тетради один под другим три отрезка: на первой строке наметьте концы отрезка на расстоянии двух клеток, на второй — на расстоянии четырех клеток и на третьей — на расстоянии шести йлеток. Измерьте с помощью линейки длины этих отрезков и справа запишите длину каждого отрезка в сацтиметрах (сокращенно).
      71. На чертеже три отрезка. Определите на глаз, какой из них самый длинный, какой самый короткий. Затем измерьте их и проверьте, правильно ли вы определили на глаз. Запишите с помощью знаков и то, что вы узнали.
      Указание. Учащиеся могут записать так: аб, ав, ба, бе.
      72. На чертеже два отрезка. Вы видите, что отрезок 1 больше или длиннее отрезка 2. Это можно кратко записать так: отр. 1 отр. 2.
      Про эти же два отрезка можно сказать, что отрезок 2 меньше или короче отрезка 1. Это можно записать так: отр. 2отр. /. Запишите так у себя в тетрадях и прочтите так: отрезок 1 больше или длиннее отрезка 2; отрезок 2 меньше или короче отрезка 1.
      Если измерить эти отрезки сантиметрами и записать их длины справа от отрезков, то мы узнаем, что длина 1-го отрезка 6 см, а 2-го — 4 см. Теперь мы еще раз убеждаемся, что 1-й отрезок длиннее 2-го, а 2-й короче 1-го, так как 6 см4 см и 4 см6 см. Запишите так у себя в тетрадях и прочтите: б см больше 4 см, а 4 см меньше 6 см.
      73. Когда отрезки по длине мало отличаются друг от друга, а линейки нет, то можно сравнить их с помощью полоски бумаги. Определите с помощью полоски, какой нз этих двух отрезков больше, какой — меньше, а затем проверьте измерением по линеике и запишите.
      Указание. Запись а6 или ба. При измерении отрезков дети увидят, что отрезок а равен 5 см, а отрезок б более 5 см.
      При сравнении отрезков с помощью полоски бумаги надо следить, чтобы дети начало полоски правильно совмещали с одним концом отрезка, а другой конец отрезка отмечали на полоске слегка карандашом (когда полоска загрязнится, ее надо сменить).
      74. На чертеже два отрезка. Какой из них кажется больше? Проверьте наложением полоски бумаги, а затем измерьте каждый из них. Что можно сказать про такие два отрезка? Можно сказать, что эти отрезки одинаковые или равные, хотя и кажется, что отрезок 1 больше отрезка 2. О них можно записать, что отр. 1 = отр. 2, так как 3 см = 3 см (длина отрезка 1 равна длине отрезка 2).
      75. Подсчитайте, сколько треугольников и четырехугольников в этих фигурах:
      Ответ: а) 8 треугольников, 1 четырехугольник;
      б) 4 треугольника и 5 четырехугольников.