Березанская Е. С. и др.
Математика
Рабочая книга
для 7 года обучения
*** 1931 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ. ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОНЯТИЕ О ПОДОБИИ ФИГУР. § 1. Замечания относительно измерения отрезков. Задача. Требуется узнать длину какого-нибудь предмета например длину железного прута. Прежде всего надо выбрать соответствующую единицу измерения. На рисунке 1 железный прут представлен отрезком прямой АВ в масштабе ; каждый миллиметр чертежа соответствует 1 дециметру действительной длины, 1 см чертежа соответствует 1 м и т. д. Если единицей измерения выберем метр, то, укладывая метр от одного конца до другого последовательно по длине стрежня, найдем, что полностью метр уложится 7 раз (рис. 1); при укладывании метра по длине прута восьмой раз получим часть метра. Таким образом измерение показывает, что измеряемая длина заключается между восемью и семью метрами. Говорят, что с точностью до 1 метра приближенная длина прута с недостатком равна 7 метрам и с избытком 8 метрам. На рисунке 1 длина прута в масштабе изображена отрезком АВ, равным 7 см с остатком MB, меньшим одного сантиметра. Ту же длину можно измерить более точно. Выберем для этого едищпшй меры 1 дециметр. После первого измерения нет надобности дециметр укладывать от начала стержня А. Достаточно его уложить на остатке, изображенном отрезком МБ, от точки М На этом остатке (рис. 1) дециметр уложился полностью три раза, и кроме того получился остаток, меньший одного дециметра. На рисунке этот остаток изображен отрезком BF, меньшим одного миллиметра. В этом случае говорят, что с точностью до 0,1 метра или с точностью до 1 дециметра длина прута равна с недостатком 73 дециметрам и с избытком 74 дециметрам. Желая полунить точность измерения до 0,01 метра, мы должны будем единицей меры выбрать 1 см. Пусть 1 см в остатке BF уложился 4 раза, и кроме того получился еще остаток, меньший сантиметра (на рисунке последнее измерение изобразить невозможно). Тогда длина АВ с точностью до 0,01 метра или с точностью до 1 сантиметра с недостатком равна 734 см и с избытком 735 см. Если бы нужно было увеличить точность данного измерения, то обыкновенными приемами мы едва ли бы достигли цели. Стоит нескольким лицам измерить миллиметрами остаток, полученный при последнем измерении, и результаты могут быть различные. Если у одного остаток даст 5 мм, то другой может получить 4 мм, третий 6 мм. Таким образом, точность измерения имеет свои пределы. Всякое измерение есть измерение приближенное. В технике при помощи специальных приемов можно получить большую степень точности. Особенно точность измерения нужна при тщательном изготовлении измерительных приборов и ответственных частей машин. Но, несмотря на достигнутые успехи в области измерения, всякое измерение всегда будет приближенным. Два отрезка считаются равными, если при наложении друг на друга концы их совпадают. В этом случае оба отрезка имеют одну и ту же меру. Если два отрезка, измеренные одним и тем же способом и одной и той же единицей измерения, имеют одинаковую приближенную меру, взятую с недостатком, как бы единица меры ни была мала, то говорят, что отрезки равны. Например, если отрезки АВ и CD отличаются друг от друга на 2 мм, то эти отрезки, измеренные с точностью до 1 см с недостатком, будут иметь одну и ту же меру. Но те же отрезки, измеренные с точностью до 1 мм, уже будут иметь разную меру. Если же юни отличались бы на некотррую долю миллиметра, то, измеренные с точностью до I мм с недостатком, их меры оказались бы равными и т. д. Вывод. Два отрезка равны в том случае, если их приближенная мера, взятая с недостатком, одна и та же, какую бы малую единицу меры ни выбрали. § 2. Деление отрезка прямой на произвольное число равных частей. Задача. Требуется отрезок прямой АВ (рис. 2) разделить на 5 равных частей. Вы знаете, что для этого надо через один из концов прямой, например через Л, под произвольным углом провести вспомогательную прямую AM, отложить на AM от точки А пять равных отрезков произвольной длины: Формулируйте способ деления данного отрезка на произвольное число равных частей. Замечание. Фигуру, полученную при делении отрезка иа равные части (рис. 2), можно рассматривать как треугольник АВМа, у которого одна сторона АМ3 разделена на равные части. Если через точки деления этой стороны проведены прямые, параллельные второй стороне МаВ, то третья сторона АВ этими параллельными делится на столько равных частей, иа сколько была разделена первая. Вывод. Если одну из сторон треугольника разделить на несколько равных частей, и через точки деления провести прямые, параллельные второй стороне, то третья сторона треугольника этими параллельными разделится на равные части. § 3. Отношение отрезков. а) Случай, когда отношение — число целое. Начертите произвольный отрезок прямой АС. Разделите его известным вам способом (§ 2) на несколько равных частей например на восемь частей (рис. 3). Линией BE отрезок АС разбивается на отрезки АВ и ВС. Примите за единицу меры отрезок AF и сосчитайте, сколько таких единиц в отрезках АВ, р ВС, АС. ----*—I 1------1- Напишите соответственно числа, измеряющие эти отрезки: Напишите и прочитайте попарно отношения отрезков АС ж АВ, ВС к АВ, АВ к ВС. Напишите также попарно отношения отрезков: АА1 к АЕ; ЕМ к АЕ; АЕ к ЕМ. и др. Замечание. Как на рисунке 3, так и на рисунке 4 линия BE, делящая втрезок АС на два отрезка, проходит через одну из точек деления данного отрезка на равные части. На рисунке 3 прямой BE отсекается отрезок ВС, равный в) Случай приближенного отношения отрезков. Рассмотрите рисунок 5. На этом рисунке прямая BE делит стоезск АС на две части АВ и ВС. Требуется найти отношение отрезков, полученных на рисунке 5. Отрезок АС мы можем по вашему нрэюволу разделить на какое угодно число равных частей: на 1C, ЮС, 1000. На рисунке Ь отрезок АС разделен на 10 частей, а одна из этих частей кроме того разделена еще на 10 частей. Такьм образом, на рисунке показаны сотые доли отрезка А.С. Найдем отношение отрезка АВ к отрезку АС. Отртаох А.В ваключек между 5-й и 5-й десятыми долями отрезка АС, точнее между 54-й ч 55-н сотыми долями его. Если АС принять за единицу керы, то числа 0,5; 0.54 называются отношениями отрезков АВ и АС; первое — с точностью до 0,1; второе — с точностью до 0,01; это записывается так: Если бы удалось установить, что BE проходит между 2-м и 3-м делениями сотой части АС, разделенной на 10 частей, т. е. если бы АВ заключалось между 542-й и 543-й тысячными долями АС, то отношение АВ к АС было бы найдено с точностью до 0,001: Точки после цифр в числах: 0,5...; 0,54...; 0,542... показывают, что отношение не выражено точно. Более точными способами можно найти большее число десятичных знаков. Вопрос о том, сколько нужной найти десятичных знаков в приближенном отношении, решается в каждом практическом случае отдельно. Найдите для рисунка 5 отношения отрезка ВС к АС с точностью до 0,1; 0,01; 0,001, запишите их. Найдите и запишите отношения отрезков: АЕ к AM; ME к AM. § 4. Пропорциональные отрезки. Начертите два пересекающихся отрезка АВ и АС (рис. б). Разделите эти отрезки известным вам способом (§ 2) на одинаковое число равных частей. Проведите через одно и то же по счету деление прямую EF. Обратите внимание попарно на отрезки AF и FB, АЕ и ЕС. Напишите отношения этих отрезков и сравните эти отношения: Определение. Если отношение двух отрезков равно отношению двух других отрезков, то такие четыре отрезка называются Отрезки: AF, FB, АЕ, ЕС на рисунке 6 — пропорциональные отрезки. Напишите и сравните попарно отношения отрезков АЕ и ЕС, АК и КМ. Пропорциональны ли эти отрезки? Убедитесь, что отрезки АВ и AF, АС и АЕ пропорциональны. Напишите отношения других отрезков из рисунка 6, сравните их и покажите, какие отрезки будут пропорциональными. § 5. Другое определение пропорциональных отрезков. Вспомните, какие четыре числа составляют геометрическую пропорцию. Составят ли четыре числа, измеряющие стороны прямоугольников на рисунке 7, геометрическую пропорцию? Напишите эту пропорцию: Определение. Четыре отрезка называются пропорциональными, если кисла, их измеряющие, составляют геометрическую пропорцию. Стороны прямоугольников на рисунке 7 — пропорциональные отрезки. § 6. Упражнения. I. Рассмотрите рисунок 8. Напишите попарно отношения отрезков: Составьте пропорции. Пропорциональны ли стороны треугольника AEF соответственно сторонам треугольника АСВ? Начертите отрезок d такой, чтобы отрезки а, Ь, с, d были пропорпноттялъкы Указание. Вспомните, как найти четвертый пропорциональный нлен геометрической пропорции. § 7. Копирование плана с изменением масштаба. Совету села Залесья необходимо иметь план принадлежащих ему земельных уюдий. Этот план (рис. 10) находится в архиве районного исполкома. Необходимо план скопировать. План этот можно скопировать — или в точности соблюдая все размеры или можно изменить размеры линий, не изменяя углов. Перечертим план, уменьшая его линейные пяаи mi№M yreiu с размеры в два раза. с зультате мы получим контур, подобный контуру плана на рисунке 10.. Так как стороны нового многоугольника по построению »арал-лельны сторонам многоугольника MNCPQ, то все внутренние углы многоугольника MNCPQ равны соответственным углам многоугольника MNCPQ; каждая сторона полученного многоугольника в два раза меньше стороны данного. После того как построен контур нового плана, в нем легко тем же способом, как и раньше, провести все прямые линии внутри. Для того чтобы нанести кривые линии на новый план Так как размеры плана небольшие, поступим так: прикрепим его неподвижно на чистом листе бумаги с краю листа. Затем, немного отступив от самого плана, прочерчиваем с помощью лннейки и треугольника линию MN Ц MN. Далее отточки М откладываем отрезок MNj= — A1N. Таким же точно способом проведем через точку N прямую NC || NC и иа ней отложим отрезок необходимо определить расстояние нескольких основных точек на каждой кривой от кекой-нибудь границы и подобно предыдущему построить эти точки на новом плане, затем полученные точки соединяем от руки. Таким- способом в нашем случае придется начертить пруд, реку, ручей. § 8. Понятие о подобии многоугольников. Определение. Стороны двух многоугольников, заключающие равные углы, называются сходственными. Так, например, у многоугольников на рисунках 10 и ll следовательно, стороны MQ и MQ—сходственные, NM и NM также сходственные и т. д. Многоугольники, у которых одинаковое число сторон, называются одноименными. Вычислите отношение сходственных сторон многоугольников: Сравните эти отношения. Запищите, что все отношения сход, етвенных сторон равны: Пропорциональны ли сходственные стороны многоугольников: Определение. Одноименные многоугольники, имеющие соответственно равные углы и пропорциональные сходственные стороны, называются подобными. Подобие обозначается знаком сл. Следовательно: многоугольник MNCPQ ел многоугольннику MNCPQ. В § 7 мы имели пример подобных фигур. В дальнейшем мы рассмотрим признаки, по которым можно узнавать, не измеряя непосредственно всех углов и всех сторон, будут ли подобны данные фигуры. |
