Энциклопедия
элементарной
математики

      ОТ РЕДАКЦИИ
      Первые три книги «Энциклопедии элементарной математики» (сокращенно ЭЭМ), посвященные арифметике, алгебре и анализу, вышли свыше десяти лет тому назад. Теперь после долгого перерыва редакция решила завершить этот труд. За эти годы коллектив сотрудников ЭЭМ понес большие потери. В 1959 г. после продолжительной болезни скончался Александр Яковлевич Хинчин; еще раньше мы потеряли Дмитрия Ивановича Перепелкина, участвовавшего в составлении геометрических книг. То, что издание удалось все же возобновить, является результатом большой работы, проделанной Владимиром Григорьевичем Болтянским и Исааком Моисеевичем Ягломом.
      Напомним из предисловия к первой книге, что предлагаемый труд «не может служить для первоначального изучения предмета. Он предназначается для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателями элементарной математики. Он не следует, как правило, ни порядку, ни способу изложения математики в средней школе, так как то и другое обусловлено возрастными особенностями учащихся и общеобразовательными целями средней школы, т. е. соображениями, которые не играют роли по отношению к подготовленному читателю-профессионалу. Логика нашего издания — это логика систематического, по возможности простого и доступного изложения тех вопросов математической науки, из которых строится школьный курс, а также и тех, которые хотя и не находят в этом курсе прямого выражения, однако необходимы для правильного и сознательного его понимания и создают перспективы для дальнейшего развития содержания и методов школьного курса».
      Этот наш первоначальный замысел остается неизменным. Осталось неизменным и намерение посвятить очередные две книги геометрии. Что же касается их фактического содержания, то здесь редакция внесла ряд изменений, продиктованных главным образом желанием учесть некоторые замечания критики и читательские отклики на первые три книги. С принятым ныне отбором материала и порядком его расположения читатель познакомится из оглавления.
      Отметим, что четвертая и пятая книги ЭЭМ образуют вместе самостоятельное целое, так что пользование ими, в известном смысле, независимо от ранее выпущенных книг, также составляющих законченный цикл.
      В 1951 г., когда вышла в свет первая книга ЭЭМ, никто и не предполагал, что появятся новые математические профессии (вроде программиста-вычислителя), подготовка к которым будет возложена на среднюю школу. В свете новых задач должна быть расширена и пересмотрена сама концепция «элементарной математики». Соответствующим вопросам редакция предполагает отвести место в последних книгах (все издание, рассчитано на семь книг), состав которых, таким образом, будет во многом отличаться от содержания, намеченного в предисловии к первой книге.
      Если бы пришлось начинать все сначала, мы внесли бы прежде всего серьезные изменения в структуру и изложение ранее выпущенных книг. Но нам представляется, что в целом они все же оказались полезными. Мы надеемся, что эта и следующая книги ЭЭМ найдут свою читательскую аудиторию и будут полезны и преподавателям математики средней и высшей школы, и студентам педагогических институтов и университетов, а также любителям математики, не связанным с вопросами ее преподавания.
      Редакция

      § 1. Возникновение основных понятий геометрии
      1.1. Понятия геометрии как результат абстракции. Геометрия представляет собой общую науку о пространственных формах. С пространственными формами человек столкнулся прежде всего при измерении участков земли. Греческое слово ... от которого происходит название геометрия, как раз и означает «землемерие». С другими пространственными формами человек столкнулся при постройке зданий, выделке сосудов и т. д.
      Геометрия:, как и вся математика, изучает объекты реального мира. Однако математические науки существенно отличаются от остальных естественных наук, изучающих специфические физические, химические, биологические, экономические и другие закономерности. В отличие от этих наук математика изучает объекты реального мира в наиболее абстрактном виде, существенно отвлекаясь от их конкретного содержания. В частности, геометрия принимает во внимание только форму предметов, отвлекаясь от вещества и физических свойств этих предметов, точно так же как, например, арифметика принимает во внимание только числа предметов и их отношения. Этот абстрактный характер математики и позволяет широко применять в ней дедуктивный метод, т. е. логическое выведение закономерностей из небольшого числа основных положений (определений, аксиом), в то время как упомянутые выше науки применяют главным образом индуктивный метод, т. е. установление общих закономерностей на основе частных эмпирических наблюдений.
      Однако эмпирические наблюдения и практический опыт играли важнейшую роль при возникновении математических понятий и основных положений математики. Именно потому, что люди миллионы раз сталкивались с такими арифметическими закономерностями, как независимость результата счета камней или палок от порядка счета, или с такими геометрическими закономерностями, как единственность линии, по которой располагается натянутая веревка, соединяющая два колышка, смогли выработаться такие основные положения арифметики и геометрии, как коммутативный закон сложения и аксиома о единственности прямой линии, соединяющей две точки. Вся терминология, применяемая в геометрии, с исключительной наглядностью свидетельствует о том, что понятия о геометрических образах возникли путем абстракции от реальных предметов различной формы.
      Так, например, слово точка происходит от глагола «ткнуть» и означает результат мгновенного прикосновения, укола*).
      *) Это толкование является сейчас общепринятым. Интересно, однако, отметить, что замечательный русский математик Н. И. Лобачевский придерживался другого взгляда на происхождение термина «точка». Он говорил, что точка происходит «от прикосновения пера, откуда заимствовано самое название» («точка» — отточенное острие гусиного пера, которым писали во времена. Лобачевского. См. Н. И. Лобачевский, Избранные труды по геометрии, Изд. АН СССР, Москва, 1956, стр. 108).
      Тот же смысл имеет и латинское слово punctum, от которого произошли термины Punkt, point (точка) на западно-европейских языках и русский термин «пункт»: эти слова происходят от латинского глагола pungo — «укалываю». Слово линия, от латинского Нпеа, в конечном счете происходит от латинского слова linum — «лен, льняная нить»; это показывает, что понятие линии является абстракцией от тонкой льняной нити. Часто слово «линия» употребляется в значении «прямой линии» (откуда, например, термин «линейка»); понятие прямой линии, очевидно, является абстракцией от натянутой льняной нити.
      Такое же конкретное значение имеют и геометрические термины греческого происхождения: слово сфера происходит от греческого сгсраТда — «мяч», куб — от xo3og — «игральная кость», цилиндр — от xoXivSqoq — «валик», конус — от x&vog — «сосновая шишка», призма — от ядсгра — «опиленная», ромб — от (Зоркое — «бубен», трапеция — от ... — «столик». Отсюда видно, что указанные геометрические фигуры представляют собой понятия, являющиеся абстракциями от форм мяча, игральной кости, круглого валика, сосновой шишки, опиленного бревна, четырехугольного бубна, столика с раздвинутыми ножками. Слово пирамида, от греческого JiDQafifg, в конечном счете происходит от древнеегипетского слова ригаша, которым древние египтяне называли свои пирамиды.
      Нить, веревка была не только прообразом геометрической линии, но и первым геометрическим инструментом: натянутая веревка играла роль линейки; закрепляя один конец веревки, другим ее концом описывали как циркулем, окружность; деля веревку со связанными концами на 12 равных частей и придавая этой веревке форму треугольника, стороны которого соответственно равны 3, 4 и 5 частям, получали прямоугольный треугольник; таким образом строился прямой угол. Греки называли древнеегипетских геометров, у которых они обучались геометрии, aQtteSovcuxrai — «натягивателями веревки»; древнейший индийский геометрический трактат, посвященный правилам построения алтарей, назывался «Правила веревки». Циркуль и линейка появились раньше всего в Китае: специальные иероглифы для обозначения циркуля и линейки возникли в китайской письменности в середине II тысячелетия до н. э. Древние греки приписывают изобретение этих инструментов Фалесу (VI век до н. э.); во всяком случае египетские «натягиватели веревки», у которых учился Фалес, по-видимому, не пользовались этими инструментами. С циркулем связано появление слова центр — от греческого слова xsvtqov, обозначающего палку с заостренным концом, которой подгоняли быков, а позже — ножку циркуля, ставящуюся в центр описываемого круга.
      1.2. Зарождение геометрии в древнем мире. Выработка абстрактных геометрических понятий являлась результатом длительного исторического процесса накопления геометрических фактов. Первоначально установление геометрических фактов происходило экспериментальным путем, на огромном числе частных примеров, причем правила, полученные в этих частных случаях, обобщались на другие случаи. Это видно из дошедших до нас правил вычисления площади четырехугольника у египтян и индийцев, которые точны лишь в частных случаях, а в общих случаях дают только приближенное решение задачи: египтяне определяли площадь произвольного четырехугольника с последовательными сторонами а, b, с, d как произведение — , что верно только для прямоугольников, а индийцы определяли площадь произвольного четырехугольника со сторонами а, b, с, d как V{р — а)(р — b) (р — с) (р — d), где р =-i (а-\- b-{- c-j- d), что верно только для четырехугольников, вписанных в круг.
      Упоминавшемуся нами Фалесу приписываются первые доказательства простейших геометрических утверждений; ранее необходимость «доказывать» геометрические факты, видимо, не осознавалась. Доказательства Фалеса до нас не дошли, но ясно, что эти доказательства не могли опираться на другие геометрические утверждения (аксиомы, ранее доказанные теоремы), как это делается в современных геометрических доказательствах. Что представляли собой доказательства Фалеса, видно, однако, из формулировок его теорем: почти во всех теоремах Фалеса требуется доказать равенство каких-нибудь геометрических фигур — равенство частей круга, на которые он делится диаметром; равенство вертикальных углов; равенство углов при основании равнобедренного треугольника; равенство двух сторон в треугольнике с двумя равными углами; равенство двух треугольников, если две стороны и образуемый ими угол в одном из них равны соответственным элементам другого треугольника. Доказательства этих теорем Фалес производил, несомненно, с помощью наложения друг на друга тех фигур, равенство которых требовалось доказать. Известная теорема Фалеса о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, — прямой, вероятнее всего доказывалась поворотом фигуры на 180°, после чего возникал четырехугольник, вписанный в круг; далее требовалось установить, что этот четырехугольник является прямоугольником; это, вероятно, доказывалось перегибанием четырехугольника по его средним линиям)1.
      1) Вариант такого доказательства приведен в статье «Геометрические преобразования»; см. стр. 67 этой книги ЭЭМ.
     
      § 2. «Начала» Евклида
      2.1. Евклид и его предшественники. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других.
      Доказательство многих геометрических теорем приписывается Пифагору и Демокриту (V в. до н. э.).
      Гиппократу Хиосскому (IV в. до н. э.) приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались «элементы, стихии», так как здание геометрии в этих курсах строилось с помощью определений и аксиом как физическое тело из «элементов» («стихий», т. е. огня, воздуха, воды и земли). Последующее усовершенствование этих курсов привело к появлению в 111 в. до н. э. в Александрии знаменитой книги Евклида с тем же названием (в русском переводе «Начала»), вытеснившей книгу Гиппократа и остальные ее обработки. Существенную роль в создании «Начал» Евклида сыграло создание в IV в. до н. э. Платоном и особенно Аристотелем теории доказательств, а также разработка ими общих принципов дедуктивного построения науки (т. е. построения науки с помощью выводов, доказательств). От латинского названия «Начал» Евклида (Elementa) происходит термин элементарная геометрия, относящийся к совокупности геометрических результатов, изложенных у Евклида или получаемых аналогичными методами.
      «Начала» Евклида состоят из 13 «книг», из которых I — VI книги посвящены планиметрии, VII — X книги посвящены арифметике и несоизмеримым величинам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, XI — XIII книги посвящены стереометрии. I книга начинается с изложения 23 определений и 10 аксиом, причем первые пять из этих аксиом называются «общими понятиями», а остальные — «постулатами»; дальнейшие определения содержатся во введениях к другим книгам.
      Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое представление об этих сочинениях по «Началам» Евклида: в «Началах» Евклида имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами; появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют «Начала» предшественников Евклида. К таким разделам относится прежде всего введение к I книге.
      Введение к 1 книге «Начал» Евклида начинается с определения точки: «Точка — это то, что не имеет частей». Такое определение, нигде не применяющееся в основном тексте «Начал» Евклида, несомненно фигурировало во всех предыдущих вариантах «Начал». Смысл этого определения состоит в том, что точка есть неделимая часть (атом) пространства. Такого представления еще не было у Фалеса, оно появляется у Пифагора и Демокрита. Понятие о точке у этих двух мыслителей имеет существенно различный характер: у Пифагора, идеалиста и мистика, пытающегося объяснить все закономерности мира с помощью числовых соотношений, точки не имеют
      размеров, а имеют только положение в пространстве; Пифагор отождествлял точки с числовыми единицами и, в соответствии со своей философской системой, с душами неродившихся или умерших людей. У материалиста Демокрита, творца атомистической теории в физике, точки, напротив, подобно атомам материи, имели конечные, хотя и «сверхчувственно малые» размеры. Но оба ученых считали, что в конечном теле имеется конечное, хотя и очень большое число точек. Измерение площадей и объемов сводилось у Пифагора и Демокрита к подсчету числа точек в фигуре. Эта точка зрения привела пифагорейцев к изучению «фиГУРНЫХ чисел» — «прямоугольных», «квадратных», «треугольных», «многоугольных» «телесных», «кубических», «пирамидальных» и т. д., т. е. чисел точек, расположенных в виде,
      соответственно, треугольников, квадратов и других фигур (рис. 1). «Прямоугольные числа» — это числа, которые могут М быть представлены в виде произведения двух целых множителей, больших единицы; «телесные числа» — произведения трех множителей; «квадратные» и «кубические числа» мы и теперь называем квадратами и кубами. Суммируя свои конечные атомы в различных плоских фигурах и телах, Демокрит нашел формулы для площади круга, объема пирамиды, конуса и шара с помощью своеобразного приближенного интегрирования.
      Следующие определения Евклида: «линия — длина без ширины»» «поверхность — длина и ширина без глубины» — также восходят к атомистическим представлениям; линия, которую Пифагор и Демокрит представляли как цепочку точек, считалась делимой в ее направлении, но неделимой «по ширине», так же как поверхность считалась делимой в двух направлениях, но неделимой «по глубине».
      Весьма древними являются, по-видимому, и определения прямой линии и плоскости у Евклида: «прямая линия — такая, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам», «плоская поверхность — такая, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым линиям на ней». Далее приводятся определения угла, многоугольника, треугольника и четырехугольника и их видов, круга и его частей, параллельных линий. Параллельные прямые определялись как прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.
     
      2.2. «Постулаты» Евклида. «Постулаты» Евклида по существу представляют собой правила построений с помощью идеальной линейки и идеального циркуля. Первые два постулата «всякие две точки можно соединить прямой линией» и «ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжать» определяют действия с помощью идеальной линейки. Третий постулат «из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность» определяют действия с помощью идеального циркуля*). Четвертый постулат «все прямые углы равны между собой» является излишним; как было замечено впоследствии, его нетрудно вывести из остальных аксиом. Последний постулат Евклида, его знаменитый V постулат, гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
      При формулировке этих постулатов мы встречаемся с равенством двух углов и со случаем, когда сумма двух углов меньше третьего. Эти соотношения определяются «общими понятиями» Евклида, по существу представляющими собой принципы измерения длин, углов, площадей и объемов. Их также пять: «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части». Четвертое из этих «общих понятий» дает критерий равенства прямолинейных отрезков и углов (мы видели, что этот критерий равенства применялся еще Фалесом), а также достаточное, хотя и не необходимое условие равенства площадей более сложных фигур, т. е. в применении к площадям эту четвертую аксиому следует понимать так: «совмещающиеся друг с другом фигуры равны между собой (по площади)». Равенство площадей многоугольников различной формы доказывалось с помощью присоединения к четвертому «общему понятию» первых трех2). Пятое «общее понятие» вместе с предыдущими дает критерий того, что одна фигура больше другой; например, чтобы установить, что сумма двух углов больше третьего, надо убедиться, что третий угол можно наложить на часть угла, составленного из двух первых углов.
      Евклид понимал под решением задачи только построение с помощью идеального циркуля и идеальной линейки. В частности, для
      х) Полный список «постулатов», на которых основано решение задач на построение с помощью циркуля и линейки, читатель найдет в статье: «О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки», стр. 208 — 209 настоящей книги ЭЭМ.
      *) Полный список «постулатов», на которых основано вычисление площадей и изложение современного учения о площадях, читатель найдет в начале статьи «О площадях и объемах» в кн. V ЭЭМ.
      Евклида найти площадь или объем означало построить циркулем и линейкой квадрат или куб, равный данной фигуре, т. е., как говорят, произвести «квадратуру» или «кубатуру» этой фигуры. Так как квадратура круга и кубатура круглых тел с помощью циркуля и линейки не удавались (и, как впоследствии было доказано Линдеманом, невозможны), Евклид не рассматривал ни площади круга, ни объемов круглых тел. Решение этих задач для многих плоских фигур и тел было произведено (вскоре после Евклида) Архимедом при помощи методов, восходящих к Демокриту.
      «Начала» Евклида завершались построениями с помощью циркуля и линейки ребер пяти правильных многогранников, вписанных в сферу данного радиуса и исследованием полученных несоизмеримых величин.
      2.3. Непрерывность у Евклида и его предшественников. Следует отметить, что хотя первые определения Евклида и носят следы атомистических представлений Пифагора и Демокрита, сам Евклид не разделял этих представлений. Евклид считал, что, например, любой отрезок можно с помощью его идеальных инструментов делить пополам неограниченное количество раз. Линии, поверхности и тела Евклид считал непрерывными и, в частности, неоднократно пользовался тем, что две прямые линии или окружности пересекаются, когда две точки одной из этих линий лежат по разные стороны от другой. Пифагор и Демокрит не владели понятием непрерывной величины; для них линии, поверхности и тела были совокупностями отдельных, дискретных точек. Аристотель определил непрерывную величину как такую величину, что если разбить ее на две части, эти части будут иметь общую границу (ср. в связи с этим текст на стр. 31). У Евклида нет этого замечательного определения, так как его определения, как мы отмечали, копируют старые, доаристо-телевские образцы. Но Евклид, несомненно, считает линии, поверхности и тела непрерывными в смысле Аристотеля.
      Определив непрерывную величину, Аристотель сделал вывод, что если дискретную величину можно рассматривать как множество точек, то непрерывную величину ни в коем случае нельзя рассматривать как множество неделимых элементов. Он, по-видимому, исходил из того, что если точки, как он считал, не имеют размеров, то две точки, непрерывно прилегающие друг к другу, сливаются в одну точку и, значит, тоже не имеют размеров; то же происходит и с тремя и с любым количеством точек, причем это утверждение, верное для конечного числа точек, Аристотель распространял на бесконечные множества точек. Поэтому Аристотель представлял себе линии не как множества точек, как Пифагор и Демокрит, а только как места, где могут находиться точки. Отсюда и происходит наш термин «геометрическое место точек», который мы применяем к линиям или поверхностям, определенным теми или иными условиями: Аристотель и последующие математики не могли определить
      эти линии или поверхности как множества точек, связанных данными условиями1). Евклид разделял точку зрения Аристотеля о том, что непрерывная величина не может состоять из неделимых.
      Заметим, что если у Пифагора и Демокрита арифметика была слита с геометрией, Евклид всячески подчеркивает, что это принципиально различные науки и, например, изложив теорию пропорций непрерывных величин в V книге, доказывает снова те же теоремы для целочисленных пропорций в VII книге.
     
      2.4. Движения. Движение (жесткое перемещение фигур) и, в частности, наложение, бывшее основным методом доказательства у Фалеса, играет существенную роль и у Евклида. Мы уже видели, что определение равенства фигур у Евклида основано на совмещении фигур. Евклид постоянно производит перенос отрезков с помощью циркуля, да и самое описывание прямых линий и окружностей с помощью линейки и циркуля производится с помощью движения. В XI книге «Начал» при определении сферы Евклид уже прямо определяет сферу как результат вращения полуокружности вокруг диаметра. Однако во всех случаях, когда Евклид может обойтись без использования движений, он так и поступает. Нет также у Евклида ни определения общего движения, ни определения вращения вокруг точки или вокруг оси.
      Таким образом, мы видим, что для одних основных понятий геометрии — точки, линии, поверхности — Евклид воспроизводит традиционные определения, по существу, не применяющиеся, так как он не разделял тех представлений, в связи с которыми возникли эти определения; для других основных понятий геометрии, таких, как непрерывность и движение, которыми он постоянно пользуется, он вовсе не дает определений. Тем не менее в геометрии Евклида уже имелись совершенно определенные понятия о точке, не имеющей размеров, но имеющей определенное положение; о линии, являющейся результатом движения точки и, в частности, о прямой линии и окружности как о линиях, образуемых движением, производимым с помощью идеальной линейки или идеального циркуля; наконец, о поверхностях, получающихся в результате движения линий, и, в частности, о поверхностях вращения, получающихся в результате вращения линий.
      *) Эти ошибочные представления Аристотеля и возникший в связи с ними бессодержательный термин «геометрическое место точек» до сих пор лежат тяжелым грузом на методике преподавания математики. В действительности понятие «геометрическое место точек» полностью совпадает с понятием «множества точек» (обладающих тем или иным свойством): любое множество точек является одновременно и «геометрическим местом точек» (а именно геометрическим местом точек, обладающих свойством принадлежать этому множеству). См. в связи с этим § 4 статьи «Общие принципы геометрических построений», стр. 182 — 183 этой книги ЭЭМ.
     
      § 3. Появление аксиоматического метода
     
      3.1. Создание неевклидовой геометрии. Дальнейшее развитие геометрии пошло по пути критики Евклида. Одни математики критиковали Евклида за то, что он ограничивался рассмотрением только таких геометрических величин, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, и поэтому не решал многих практически важных задач, как, например, определение площади круга и объемов круглых тел. Эти пробелы Евклида, как мы знаем, были восполнены Архимедом. Другие математики критиковали Евклида за то, что он разрывал геометрию и арифметику и понапрасну доказывал для целых чисел снова то, что он уже доказал раньше для геометрических величин. Третьи подвергали критике аксиомы Евклида, т. е. его «постулаты» и «общие понятия» и предлагали исключить некоторые аксиомы или, наоборот, добавить новые. Особенно большие споры вызвал наиболее сложный и наименее наглядный постулат Евклида — его V постулат. Многие математики считали, что этот постулат является лишним и его можно и непременно нужно доказать как теорему с помощью остальных аксиом. Другие считали, что следует заменить постулат Евклида более простым и наглядным постулатом. Одним из таких более простых постулатов, равносильных V постулату, является следующий: «Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую».
      Критика Евклида, продолжавшаяся свыше двух тысяч лет, привела к двум важнейшим открытиям. Критика того разрыва между геометрией и арифметикой, который имелся у Евклида, привела к расширению понятия числа до действительного числа, которым теперь можно было характеризовать не только отношения соизмеримых геометрических величин, но и отношения несоизмеримых величин. Действительное число можно непрерывно изменять, вследствие чего введение действительных чисел в математику было равносильным введению в математику переменных величин. Этот величайший переворот в математике, связанный в первую очередь с именем Рене Декарта (XVII в.), непосредственно привел к открытию дифференциального и интегрального исчислений, являющихся математическим аппаратом механики и классической физики.
      Споры по вопросу о V постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию1), в которой выполняются все аксиомы геометрии Евклида, за исключением V постулата, заменяющегося противоположным утверждением: «В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую».Эта геометрия оказалась столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида. Открытие неевклидовой геометрии опровергло мнение многих ученых, уверенных в том, что геометрия Евклида является единственной мыслимой геометрией, чуть ли не заложенной в нашем сознании до всякого знакомства с внешним миром. Появление новой геометрии поставило вопрос о том, какая геометрия имеет место в реальном мире: геометрия Евклида или геометрия Лобачевского. То бесспорное обстоятельство, что геометрия Евклида является отражением реального мира, не решает вопроса, так как отражение всегда является лишь приблизительным: так, например, эксперименты на малых участках земной поверхности согласуются с предположением о том, что поверхность Земли является плоскостью, и нужны эксперименты на больших участках, чтобы доказать, что более правильно представлять себе эту поверхность сферой. Аналогично этому, и геометрия Лобачевского в малых участках почти не отличается от геометрии Евклида, и отличие между ними проявляется только в больших участках пространства; поэтому сразу вслед за созданием геометрии Лобачевского возник вопрос о естественно-научных экспериментах в больших областях реального пространства, которые уточнили бы геометрическое строение мира, в котором мы живем1).
      3.2. Аксиоматический метод в математике. Если концепция Декарта привела к переходу от математики постоянных величин к математике переменных величин, то открытие Лобачевского привело к переходу от математики постоянных отношений (например, взаимоотношений между точками, прямыми и плоскостями в геометрии Евклида) к математике переменных отношений; например, эти отношения могут быть заменены взаимоотношениями между точками, прямыми и плоскостями другой геометрии — геометрии Лобачевского. За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии. Затем аналогичное изменение привычных отношений стало производиться и в других математических дисциплинах; например, наряду с обычной алгеброй появилось много новых алгебр. Возник целый ряд совершенно новых математических систем, не имеющих аналогов в классической математике, причем некоторые из этих систем были использованы в качестве математического аппарата различных областей современной физики.
      К этим крупнейшим математическим открытиям ученые пришли, распространяя критику, которой Лобачевский, Бойяи и Гаусс подвергли одну из аксиом Евклида, V постулат, на всю систему аксиом евклидовой геометрии, а затем, перенося метод научного изложения с помощью аксиом на другие математические дисциплины. В результате сложился тот аксиоматический метод в математике, который ныне является подлинной основой как геометрии, так и других разделов современной математики.
      Для того чтобы понять сущность аксиоматического метода, обратимся снова к геометрии. До открытия Лобачевского, когда было распространено мнение о том, что геометрия Евклида — единственно мыслимая геометрия, считалось, что эта геометрия описывает реальное, физическое пространство точно. Поэтому можно было пытаться определять основные геометрические понятия, указывая реальные прообразы этих понятий. Именно так и поступал Евклид и, по-видимому, его предшественники, начиная с Пифагора и Демокрита. Правда, мы видели, что представления о точках, линиях, поверхностях и их взаимоотношениях были совершенно различными у разных ученых, и даже в одно и то же определение «точка — то, что не имеет частей», разные ученые вкладывали различный смысл; мы видели также, что система определений и аксиом Евклида, воспроизводившая традиционные образцы, не отражала представлений самого Евклида и не охватывала важнейших понятий, которыми он пользовался.
      Но после появления геометрии Лобачевского стало ясно, что путь, которым шел Евклид в своих определениях основных понятий, и принципиально невозможен. Если мыслимых геометрий много, то в каждой геометрии должны быть свои основные понятия и поэтому нельзя дать единые общие определения основных понятий. Иначе говоря, определения основных понятий должны зависеть от аксиом геометрической системы. Определения основных понятий той или иной геометрической системы должны относиться только к данной геометрической системе и не должны претендовать на определение основных понятий физического пространства, которое только с различной степенью точности отражается различными схемами геометрических пространств.
      Так как единое определение основных понятий для всевозможных геометрий дать невозможно, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Только такое определение основных понятий геометрии соответствует абстрактному характеру этих понятий. В этом случае говорят, что геометрическая система определяется системой аксиом.
      Таким образом, при аксиоматическом построении некоторой геометрической системы (или вообще при аксиоматическом построении некоторой математической теории) мы исходим из некоторой системы аксиом, или, как говорят, аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий рассматриваемой геометрической системы, и мы можем представлять себе основные понятия в виде объектов любой природы, обладающих указанными в аксиомах свойствами.
      Относительно самих этих основных понятий (вроде геометрических понятий «точка», «прямая линия» и др.) можно сказать, что они косвенно определяются аксиомами. Это — пример дескриптивного определения математического объекта, т. е. определения объекта описанием его свойств. Никакие другие определения этих основных понятий геометрической системы невозможны. Из аксиом мы выводим первые теоремЫу из аксиом и уже доказанных теорем выводим все новые теоремы, которые и составляют здание рассматриваемой геометрической системы. Следовательно, аксиомы — это первоначальные предложения об основных понятиях геометрии, которые принимаются в данной геометрической системе без доказательства и на основе которых доказываются все теоремы рассматриваемой геометрической системы. Такую же роль играют аксиомы и в любой другой математической теории.
      Евклид и его предшественники примерно так и понимали роль аксиом. Поскольку доказательство всякой теоремы геометрии представляет собой вывод ее из некоторых других (как правило, более простых) предложений, в результате многовекового развития геометрии выкристаллизовались первоначальные предложения, на основании которых доказывались остальные теоремы. Эти первоначальные предложения («основные понятия» и «постулаты» у Евклида) и были приняты за аксиомы. Из сказанного ясно, что аксиомы геометрии имеют опытное происхождение, т. е. отражают некоторые простые свойства реального пространства. Из сказанного ясно также, что в процессе исторического развития геометрии за аксиомы были приняты сравнительно простые, наглядно ясные предложения. Однако не следует считать, что аксиома — это простая истина, не требующая доказательства в силу своей очевидности. «Очевидность» — это понятие, чуждое аксиоматическому методу; простота же аксиом — это результат исторического развития науки и вопрос удобства. К тому же некоторые теоремы могут показаться «проще» некоторых аксиом. Например, V постулат Евклида, несомненно «сложнее» для понимания, чем некоторые первые теоремы геометрии.

      Эта статья посвящена основным вопросам теории площадей и объемов — их определению, свойствам и вычислению. Площадь изучается только на плоскости. Определение площади кривой поверхности требует совсем других средств.
      Предполагается, что читатель знаком с теорией длин прямолинейных отрезков (см. стр. 89 — 94). Напомним, что в основе этой теории лежит выбор единичного отрезка. Если единичный отрезок заменяется другим отрезком, то длины всех отрезков делятся на старую длину нового единичного отрезка. Площади и объемы тоже зависят от выбора единичного отрезка. Эта зависимость изучается в специальном добавлении, помещенном после статьи. В самой статье единичный отрезок считается фиксированным раз и навсегда.
      Требования к общей подготовке читателя почти всюду ограничиваются самыми начальными сведениями о множествах, функциях и последовательностях (свойства сложения, вычитания и пересечения множеств; общее понятие числовой функции; границы числовых множеств; предел последовательности). Немногие менее элементарные пункты отмечены звездочкой и могут быть пропущены без ущерба для понимания остального.
      Наименее элементарной проблемой теории площадей и объемов является их вычисление: сколько-нибудь полное рассмотрение этой проблемы требует интегрального исчисления, притом привлечения не только простых, но и кратных интегралов, включая переход к криволинейным координатам. Понятно, что такие сложные вещи не могут излагаться в элементарной статье. Приходится ограничиться несколькими формулами, выражающими площади и объемы через простые интегралы.
     
      § 1. Введение: что такое площадь?
      1.1. Основные свойства площади. Площадь принадлежит к числу наиболее широко известных математических понятий — тех, с которыми все мы встречаемся в практической жизни. Практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надежным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы.
      Значительно менее известен тот факт, что площадь — очень не простое понятие. Точное определение площади представляет значительные логические трудности и почти неизвестно за пределами узкого круга профессиональных математиков. Многим самый вопрос покажется искусственным: они скажут, что площадь — первичное понятие, не подлежащее определению.
      Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился еще в древности. До сравнительно недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели свою задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что площадь нуждается в специальном определении.
      Между тем их вычисления должны были на чем-то основываться — если не на прямом определении, то на чем-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определенное число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это — основные свойства площади. Они широко известны, потому что служат основой всех применений — теории площадей. Мы выскажем их в следующей форме, наиболее удобной для наших целей.