Сборник исторических задач
по элементарной математике

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
      Предлагая вниманию преподавателей, учащихся и всех любителей математики свой труд, я считаю необходимым предпослать пользованию им несколько слов, поясняющих его цель и назначение. Это не систематический задачник, где для практики в каждый отдел обычно включают значительное количество однотипных задач. Это и не сборник математических развлечений. Самое заглавие вскрывает до некоторой степени идею этого по существу нового задачника, основная цель которого — познако-мть с "эволюцией задачи как таковой.
      Ограничиваясь областью арифметики, алгебры и геометрии, я стремился сделать материал доступным всем, кто знаком с элементарной математикой, даже не в полном объеме школ II ступени.
      Что касается решений, то они даны в подробностях для наиболее замысловатых задач, при чем нередко указывается не только обычное, современное решение, но и то, которое было предложено самим автором, иногда сложное, а чаще всего оригинальное и остроумное. Считаю эти указания полезными в смысле ознакомления с историческим ходом развития приемов и методов, практиковавшихся различными народами в разные эпохи. Помимо этого, смотря по важности затронутых вопросов, я везде давал исторические справки о происхождении методов и сведения о деятельности того или иного математика.
      Вкрапливание в преподавание такого рода сведений, полагаю, должно повышать интерес к изучению математики и способствовать закреплению пройденного.
      Большинство задач впервые появляется в нашей популярной литературе. Многое заимствовано из первоисточников или из специальных монографий, рассеянных по периодическим изданиям.
      Г. Н. Попов
     
      ФРАГМЕНТЫ УЧЕБНИКА
      80. Найти три числа, из которых первое, прибавленное к третьей части третьего, равно второму, а второе, прибавленное к третьей части первого, равно третьему. Третье же больше первого на 10.
      81. Бассейн получает воду из 4 труб. Первая наполняет его в день, вторая — в два дня, третья — в три, а четвертая — в четыре. Требуется узнать, во сколько времени наполнится бассейн, если все четыре трубы открыть одновременно.
      82. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили 9 муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько было плодов у каждой из граций до встречи с музами?
      83. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. "Чего ты жалуешься, сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один свой мешок, наши грузы только сравняются". Сколько было у каждого?
      84. Хроноса вестник, скажи, какая часть, дня миновала дважды две трети того, что прошло, остается. Примечание. У древних день делился на 12 часов.
      86. Вот Полифема циклопа изведи статуя отлита.
      Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво, Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто. И в настоящее время влагу уста изливают.
      Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна Вес? водоем до краев через три дня переполнить. Оку — достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых. Вместе все три водоем скоро ли могут наполнить?
      86. Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает.
      Что так тебя огорчило, ответствуй немедля
      Яблок я нес с Геликона немало, — Эрот отвечает, Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
      С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла
      С частью седьмою Эрато стремглав от меня убежала. Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
      Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили музы на долю
      Задачи Паппа Александрийского
      Из трактата .Математический сборник
      87 Показать, что во всяком треугольнике параллелограм, построенный на одной стороне треугольника внутри его и имеющий две другие вершины вне треугольника, равновелик сумме Zx параллелограмов, построенных на двух других сторонах треугольника так, что стороны их, параллельные сторонам треугольника проходят через веррины первого параллелограма.
      88 Показать, что в кругах площади подобных сегментов относятся как квадраты хорд, служащих им основаниями.
      89 Дана точка D на биссектрисе угла. Провести через эту точку прямую линию так, чтобы отрезок ее внутри угла имел данную длину.
     
      Рим
      Задачи Эиафродита
      Из отрывка в Арцерианском кодексе
      90. Найти число всех деревьев, рассаженных в пятифутовом расстоянии друг от друга на прямоугольном участке земли, стороны которого 120 фут. и 70 фут.
      91. Суммировать кубы чисел натурального ряда.
      Примечание. Основываться на задаче Никомаха. Иэ отрывка, приписываемого Эпафродиту и Витрувию Руфу.
      92. Дан прямоугольный треугольник со сторонами 9, 12, 15. Найти диаметр круга, вписанного в этот треугольник.
      Из Арцерианского кодекса
      94. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25 фут., а площадь 150 фут. Определить катеты.
      95. Стороны треугольника б, 8, 10. Найти его площадь (по формуле Герона).
      Задача из Шартрской рукописи
      97. Определить высоту треугольника, основание которого 15, а боковые стороны 14 и 13.
     
      Китай
      Из трактата "Девять отделов искусства счета"
      98. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.
      99. Несколько купцов хотят сообща купить товар. Если каждый даст на покупку 8 кашов, то окажется 3 каша лишних. Если же каждый даст по 7 кашов, пехватит четырех кашов. Сколько купцов и какова стоимость товара?
      100. 5 волов и 2 барана стоят 10 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоят" отдельно вол и баран?
      101. Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй — 1 шинг 4 го и в третьей — 1 го. Пойманные
      воры показали: 1-й, что он отсыпал рис из 1-й бочки с помощью лопаты, второй — что он пользовался деревянным башмаком,
      а третий — миской, при чем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата, башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака — 1 шинг 7 го, миски — 1 щинг 2 го.
      Требуется узнать, скоЛько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу; 10 шингов = 1 тау; 10 тау = 1 ши.
      Из трактата Начала искусства вычисления
      102. Найти число, которое при делении на 3 дает в остатке 2,
      при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 7 снова 2.
      103. В середине квадратного озера со стороной 10 футов 3 растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигает берега. Как глубоко озеро?
      Из трактата Девять отделов искусства счета
      104. Бамбуковая трость в 10 футов вышины надломана. Если пригнуть верхнюю часть к земле, то вершина трости будет отстоять от корня на 3 фута. Какой длины надломленная частьг
      Три задачи из трактата "Начала искусства вычисления
      105. Определить стороны прямоугольного треугольника, если
      известны площадь и периметр.
      108. Даны периметр и площадь прямоугольника. Найти
      стороны.
      107. Вписать круг в прямоугольный треугольник.
      Из трактата "Чеу-пей" и комментария Конфуция к классик& ской книге "И-кинг
      108. Доказать, что удвоенная сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника без квадрата их разности равна квадрату их суммы.
     
      Индусы
      Задачи из "Бахшалийской" рукописной арифметики
      111. Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвертый — вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?
      112. Путник в первый день проходит две единицы пути, а в каждый следующий день тремя единицами более. Второй путник проходит в первый день три единицы пути, а в каждый следующий — двумя единицами более. Когда первый догонит второго?
      113. Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.
      Задачи Апастамбы
      Из сборника "Су лва-сутра
      114. Построить квадрат, равновеликий сумме двух данных квадратов.
      115. Построить квадрат, равновеликий разности двух данных квадратов.
      Примеры Бодгайаны Из сборника "Сулва-сутра
      116. Бодгайана строит прямые углы, на сторонах которых отложены соответственно отрезки: (3, 4), (12, 5), (15, 8), (7, 24), (12, 35), (15, 36). Если соединить концы отрезков каждой пары, получим ряд прямоугольных треугольников. Вычислить их гипотенузы.
      Задача Сридхары
      Из трактата "Сущность вычисления"
      123. Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветах силиндха. Утроенная разность последних двух чисел направилась к цветам кутая. И осталась еще одна пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная чудесным ароматом жасмина и пандануса. Скажи мне, очаровательная, сколько всех пчел?
      Задачи Брамагупты
      Из трактата "Усовершенствованное учение Брамы
      124. Два аскета живут на выступе крутой горы, на высоте h на расстоянии от соседнего селения в т раз ббльшем. Один аскет, чтобы достичь селения, спускается с горы, потом идет прямой дорогой. Другой в это время поднимается на некоторую высоту х и оттуда уже направляется к селению. Если оба они при этом делают один и тот же путь, спрашивается: на какую высоту поднялся второй аскет?
      125. Зная высоту свечи, высоту гномона (вертикального шеста) и расстояние между их основаниями, найти длину тени, бросаемой гномоном.
      128. Найти высоту свечи, зная длины теней, бросаемых гномоном в двух различных положениях, при условии, что дано расстояние между гномонами.
      127. Показать, что произведение двух сторон треугольника, деленное на длину перпендикуляра, опущенного на третью сторону из противоположной вершины, равно диаметру описанного круга.
      128. В четырехугольнике, диагонали которого взаимно перпендикулярны, корень квадратный из суммы квадратов двух противоположных сторон равен диаметру круга, описанного около этого четырехугольника.
      Примечание. Воспользоваться задачей № 53.
      129. Квадрат хорды, перпендикулярной к диаметру, деленный на учетверенный любой отрезок диаметра и сложенный с тем же отрезком, равняется диаметру.
      130. Меньший из отрезков диаметра, пересеченного перпендикулярной хордой, равен полуразности диаметра и корня квадратного из разности квадратов диаметра и хорды.
      Задачи Бхаскара Акариа
      Из трактата "Венец астрономического умения
      133. Из пучка цветов лотоса взяты одна третья, пятая и шестая части, соответственно принесенные в жертву богам. Шиве, Вишну и Солнцу. Одна четверть досталась Бавани. Оставшиеся 6 лотосов даны глубокочтимому учителю. Сосчитай мне
      быстро число всех цветов.
      134. Некто сказал своему другу: "Дай мне 100 рупии, и я буду вдвое богаче тебя", на что последний ответил: "Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя . Спрашивается: сколько было у каждого?
      135. Стая обезьян забавлялась; квадрат одной восьмой части их резвился в лесу, остальные двенадцать кричали на вершине холмика. Скажи мне: сколько было всех обезьян?
      138. Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя остались дома. Одна пчелка полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке лотоса, куда он попал вечером, привлеченный приятным ароматом, и не может оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчел роя.
      137 Найти число, обладающее тем свойством, что оно, будучи умножено на 12, по прибавлении к своему кубу равняется ушестеренному квадрату самого себя, увеличенному тридцатью пятью (решается элементарно).
      138. Решить уравнение: х — 2л:2 — 400л: — 99Э9 (решается элементарно).
      Современная индусская задача
      145. Трое друзей имели обезьяну. Они купили некоторое количество плодов мангового дерева и спрятали их. Ночью один из друзей захотел полакомиться, пошел в кладовую и отделил себе третью часть, но при этом оказалось, что один плод лишний, и он отдал его обезьяне, а свою часть съел. Спустя несколько времени пришел второй и не подозревая, что первый свою часть уже взял, разделил остаток на три равные доли, при чем опять оказался один плод лишний, и он дал его обезьяне и сам съел свою часть. Наконец, пришел третий и также поделил остаток на три равные доли, при чем опять один лишний плод отдал обезьяне, а сам съел свою часть.
      На другой день утром все трое пришли в кладовую и поделили между собой оставшиеся плоды поровну, при чем опять один лишний плод отдали обезьяне.
      Определить наименьшее количество плодов, которое удовлетворяет указанным выше условиям распределения.
     
      Евреи
      Задача из трактата "Бава-Батраа"
      Талмуд
      148. Пять дворов расположены один за другим, соединены проходами, но выход в переулок общий. Расходы по содержанию дворов распределены так, что живущие на заднем дворе принимают участие в расходе по всем 5 дворам, живущие в следующем — по 4 дворам и т. д. Наконец, живущие в переднем дворе принимают участие в расходе только по этому последнему. Какая часть расходов падает на каждый двор?
      Задача из трактата "Охалот"
      Талмуд
      147. В этом трактате сказано, что периметр квадрата, описанного около круга, на четверть его больше окружности этого круга. Определить приближение для тг, которым в данном случае пользовались евреи.
      Задача из трактата "Менахот
      Талмуд
      148. Определить сумму шестидесяти первых чисел натурального ряда.
      149. На участке площадью 64 кв. ладони (88) вспаханы 13 гряд (на чертеже заштрихованы): по три гряды в 1 кв. ладонь в каждой наружной полосе, а 13-я в виде квадрата, полученного от соединения .середин сторон квадрата abed. Определить, какая часть занята под посев.