Задачи с изюминкой

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
      Раздумывая над тем, стоит ли приобретать новую книгу, Потенциальный Читатель обычно обращается к предисловию, чтобы найти в нем ответ на вопросы: что это за книга? Для кого она предназначена? О чем она? С какими известными образцами ее можно сравнить?
      Самое беглое знакомство с содержанием книги, которую вы держите в руках, убеждает, что речь идет о математике: числа, делящиеся друг на друга, треугольники АВС, задачи — все это атрибуты «царицы наук». Надеюсь, я не отпугну читателя, заявив, что это серьезная книга и математика в ней тоже достаточно серьезная.
      Развлекательная или, лучше сказать, занимательная математика существует, посвященная ей литература обширна и пользуется большим спросом; к ее лучшим образцам принадлежат, например, вышедшие в последние годы книги М. Гарднера. Не будучи ни в коей мере противником этого направления и всячески его приветствуя, я все же склонен считать, что его содержание большей частью находится в стороне от главного русла математики: это изолированные островки и тихие протоки, где приятно отдохнуть и развлечься, созерцая экзотические цветы и любуясь диковинными мотыльками. Математическая головоломка может доставить удовольствие, привлечь внимание и возбудить живой интерес к математике, может, наконец, послужить толчком к выбору жизненного пути будущими Архимедами, но научить математике —не ее задача. Разумеется, развитие математики течет по извилистому руслу, которое, вдобавок, постоянно меняется, и может статься, что сегодняшний предмет забавы завтра приобретет глубокий смысл, но сейчас речь не о том.
      Чтобы научиться математике, как, впрочем, и любой другой науке, нужны Учебник и Задачник, систематическое штудирование известных истин и самостоятельный поиск решения сначала малых, а затем и больших проблем, приобретение эрудиции и развитие навыков творчества. Поэтому сборники задач всегда будут неотъемлемой частью математического образования. Они могут быть разными.
      Обычный школьный задачник, предназначенный для закрепления приобретаемых знаний и развития навыков «математического ремесла», построенный, как правило, на небольшом чнсле шаблонных приемов. Задачник-учебник, в котором задачи группируются в циклы, расположенные в строгой последовательности; решая их, вы постепенно, незаметно для себя осваиваете новую область, как бы повторяя путь первопроходца. Наконец, задачник, в котором просто собраны нестандартные интересные задачи. Решить непривычную задачу, отрешившись от заученных шаблонов, — это уже маленькая творческая победа.
      Поэтому, не являясь учебным пособием, задачники последней из названных категорий могут оказать неоценимую помощь как педагогу, так и тому, кто занимается. Книга Чарльза Тригга «Mathematical Quickies» несомненно относится к их числу.
      Вместе с планируемыми к изданию «Венгерскими математическими олимпиадами» И. Кюршака (сборник задач, предлагавшихся на этих олимпиадах с 1894 по 1974 год), «400 избранными задачами» (сборник памяти Отто Дункеля, многолетнего редактора задачного отдела в журнале American Mathematical Monthly) и рядом других сборников книга Тригга составит своеобразную серию «Задачи и олимпиады», которую намеревается публиковать издательство «Мир». Мне кажется, что эта серия будет тепло принята читателем, несмотря на то что занимательность составляющих ее книг в значительной мере отходит на второй план, уступая место серьезной математике,
      Серия рассчитана в основном на широкий круг учащейся молодежи — от старшеклассников до младшекурсников , хотя необходимый уровень подготовки ее читателей сильно колеблется не только от книги к книге, но и от задачи к задаче. (Так, значительная часть задач из дункелевского сборника требует известной математической культуры, тогда как в книге Тригга, за редким исключением, все задачи элементарны.) С другой стороны, эти книги заинтересуют и тех читателей, чей возраст далек от школьного (к тому же среди активных читателей популярной математической литературы значительную долю составляют родители, многочисленные мамы и папы, стремящиеся обнаружить в своих детях математические способности).
      Задачи, собранные Триггом, публиковались в разное время в американских журналах (см. предисловие автора). Хотя даже самые крупные наши библиотеки не располагают полными комплектами этих журналов, задачи из них, и уж во всяком случае идеи задач, довольно широко представлены в «фольклоре» московских, да, вероятно, и не только московских, школьных математических кружков. Поэтому не удивительно, что для ветеранов-кружковцев многое в книге Тригга окажется знакомым1. Даже если оставить в стороне фактические пересечения, общий стиль задач и круг тем, из которых они почерпнуты, роднят сборник Тригга с первыми книгами «Библиотеки математического кружка» — прекрасной серии, которая теперь уже состоит из дюжины томиков и насчитывает за плечами двадцать с лишним лет. Рядом с ней я и поставлю книгу Тригга на своей книжной полке.
      1 Кстати, сам Тригг подчеркивает, что ссылка на автора и дата публикации не носят приоритетного характера. Во многих случаях задача или ее решение так или иначе известны. С некоторыми задачами зтого сборника я познакомился в школьном кружке при МГУ за несколько лет до указанной в книге даты журнальной публикации.
      Эти книги роднят «олимпиадный дух» и нестандартность задач, стремление сочетать кажущуюся несерьезность, а иногда и легкомысленность формулировок с нетривиальностью содержания и, наконец, забота о красоте и изяществе решений, которые должны не только поучать, но и вызывать эмоции (желательно, разумеется, положительные).
      Сегодняшние советские школьники располагают массой популярных книг, к их услугам прекрасный журнал «Квант», на страницах которого постоянно публикуются очень интересные и свежие задачи. И все же, исходя из принципа «новое есть хорошо забытое старое», я полагаю, что издание задач, собранных в течение многих лет (а если иметь в виду всю серию, то и в разных странах), полезно не только простым расширением «задачного фонда», но и, так сказать, «генофонда», поскольку оно введет в обиход новые и оживит старые идеи задач, что в общем-то гораздо важнее.
      По замыслу Трипа, каждая из задач этого сборника должна содержать в своем решении что-то неожиданное, какую-то «изюминку». Вот почему мы в переводе остановились на несколько необычно звучащем названии, хотя английское слово Quickies означает нечто другое. После ряда неудачных попыток найти подходящий русский эквивалент редактор перевода провел закрытый конкурс среди своих друзей. Неологизмы вроде «Раз-и-Готы» («раз и готово!») и «Вмиг-реши» («решил вмиг») были признаны нежизнеспособными, и тогда, отвергнув «орешки», мы остановились на «изюминке».
      Возможно, некоторым читателям не все «изюминки» придутся по вкусу; я и сам нахожу часть из них «недостаточно сладкими». Впрочем, особенностью книги Трипа вообще является отсутствие систематизации. Задачи трудные и легкие, остроумные и банальные идут вперемешку. Рядом с задачкой «на устный счет» (задача 7)" вы встречаете такую, решение которой, в сущности, требует интегрального исчисления (задача 15), а способ, которым решена задача 75, хотя и совершенно элементарный, радует своим изяществом. Поэтому решать эти задачи подряд и без разбора совершенно необязательно. Каждый может и должен выбирать здесь то, что ему по силам и по душе. Даже шестиклассник может найти среди задач кое-что для себя интересное. Для более же искушенного читателя хаотичность в расположении материала и пестрота тематики являются даже некоторым достоинством, ибо помогают сохранить интерес к книге на всем ее протяжении.
      Наконец, я предвижу, что среди читателей найдутся и такие, которые, выковыривая изюминку, заглянут в решение, не пытаясь решить задачу самостоятельно (ах, как это непедагогично!). Основываясь на собственном опыте, знаю, что это тоже может доставить удовольствие.
      Как известно, иногда в изюме попадаются косточки. Решение может опираться на малоизвестные факты, не входящие в нашу школьную программу, хотя в большинстве своем задачи Тригга посильны школьникам восьмых-девятых классов. В некоторых случаях приведенное в книге рассуждение слишком кратко и нуждается, на мой взгляд, в разъяснении. Ряд мест (впрочем, их совсем немного) может вызывать справедливое негодование ревнителя математической строгости. Потому я счел необходимым сопроводить русский перевод книги Тригга комментарием, в котором собраны некоторые сведения из элементарной математики, поясняются трудные места и приводятся правильные решения (может быть, и без «изюминки») в тех случаях, когда это необходимо. (Тем самым я частично отвечаю на обращение автора, помещенное в начйле отдела решений.) Можно было бы и исключить задачи, решения которых не вполне удовлетворительны, но, во-первых, разбор ошибок обычно не менее поучителен, чем разбор правильного решения, а во-вторых, красивое, но неверное решение может послужить стимулом к отысканию красивого и верного решения, и читатель преуспеет в этом больше, чем я.
      В оригинале книга Тригга вышла в 1967 году. За прошедшие годы в тех же журналах, откуда главным образом почерпнуто ее содержание, появилось немало интересных задач. Переводчик книги Ю. Н. Сударев отобрал некоторые из них, и мы добавили их к основному тексту, сохранив непрерывную нумерацию задач (с задачи 271 и далее). Средний уровень трудности этих задач несколько выше, чем у Тригга, а некоторые задачи явно предполагают знакомство с началами математического анализа. Наш отбор был менее придирчив (Тригг отбирал из обширной коллекции, насчитывающей около 16 000 задач) и не претендует на обязательную «изюминку» в задаче.
      В дополнительной части книги вмешательство редактора иногда было весьма серьезным: текст сокращен за счет малоинтересных подробностей или расширялся там, где рассуждение казалось слишком беглым; исправлялись незнзчительные неточности; в некоторых задачах менялись «реалии» и «литературная обработка» при сохранении математической идеи, лежащей в основе задачи и ее решения. Иногда подобные замены были вызваны желанием обойтись без введения обозначений, принятых у специалистов, но малоизвестных для широкого круга читателей.
      Мне остается выразить признательность всем энтузиастам, которые своими советами и дружеским участием способствовали нашей работе.
      В. М. Алексеев
     
      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
      В данном сборнике представлены элементарные задачи из области арифметики, алгебры, плоской и пространственной геометрии, тригонометрии, теории чисел и традиционные головоломки, такие, как задачи на разрезание, криптарифмы и магические квадраты. Акцент сделан на методе решения. Читателю предлагается не просто найти решение, но и сделать его по возможности более изящным, чем здесь представленное.
      Я начал собирать подобные задачи с марта 1950 г., когда, будучи редактором раздела «Задачи и решения» журнала Mathematics Magazine, ввел в него подраздел, носящий название «Quickies». Во вводной статье к нему говорилось: «Время от времени в этом разделе будут публиковаться задачи, которые можно решить трудоемкими методами, но с которыми при надлежащем подходе удается справиться в два счета. Мы предлагаем читателям присылать нам свои любимые задачи такого типа вместе с изящными решениями, а также, если представится возможным, и с указанием источника, откуда взято соответствующее решение». Раздел быстро завоевал популярность и удерживает ее до настоящего времени.
      Под «изящным» в математике принято понимать ясное и логичное решение, содержащее, так сказать, некоторую «изюминку». Краткость обычно достигается не за счет пропуска облегчающих понимание шагов и не с помощью известной математической уловки, состоящей в использовании слова «очевидно». Разумеется, для читателя, уже знакомого с данным результатом, элемент неожиданности пропадает.
      Быстрота и изящество — понятия относительные. Зачастую магический ключ к решению задачи дает использование какой-то малоизвестной теоремы или теоремы, заимствованной из другой дисциплины или из более «высоких» разделов математики. В ряде случаев скорейшее решение можно получить с помощью элементарной математики. Иногда жслаемый эффект может дать какой-нибудь специально придуманный или на первый взгляд не связанный с данной задачей прием.
      Часто хорошие задачи из-за рамичных по форме постановок, которые порой маскируют тот факт, что мы имеем дело с нашей давней знакомой, годами циркулируют анонимно. Не стремясь увековечить подобную ситуацию, но отдавая себе отчет в том, что обнаружить действительно первое появление какой-нибудь задачи практически невозможно, я счел необходимым в данной книге указывать источник и автора решения. Если фамилия автора не приводится, то решение принадлежит мне самому. Если же автор решения указан, но источник не упомянут, то это означает, что автор прислал решение непосредственно мне.
      Иногда оригинальный текст решения перерабатывался без изменения самого метода. В ряде случаев в моем распоряжении не оказывалось подходящих символов, которые позволяли бы записать решение компактно, поэтому оно может показаться излишне длинным, хотя основных идей и шагов на самом дме в нем было использовано мало.
      Поскольку существенная часть решения опирается на частную математическую дисциплину, я не проводил классификацию задач на алгебраические, геометрические и т. п. Трудность меняется от одной задачи к другой случайным образом, поэтому в любом месте читатсль может натолкнуться как на трудную, так и на легкую задачу.
      Чарльз У. Тригг
     
      ЗАДАЧИ
     
      Здесь представлено 270 занимательных задач различной степени трудности, взятых из разных источников и относящихся к различным областям математики. Они бросают читателю двойной вызов — не просто найти решение, а попытаться отыскать такое решение, которое было бы короче, аккуратнее и элегантнее приведенного в книге.
      Задачи помещены в случайном порядке. Автор не старался отделить менее трудные задачи от более трудных. Поэтому читатель в любой момент должен быть готов к встрече как с трудной, так и с легкой задачей. Каждая задача снабжена порядковым номером. Под тем же номером во второй части книги приводится соответствующее решение.
     
      1. Рассеянная секретарша. Машинистка напечатала десять писем и адреса на десяти конвертах, но рассеянная секретарша разложила эти письма по конвертам, нисколько не заботясь о соответствии между письмом и адресатом. Правда, в каждый конверт она положила только по одному письму. Какова вероятность того, что ровно девять писем попали в предназначенные для них конверты?
     
      2. Теорема Пифагора. Докажите, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
     
      4. Тест с нулевой суммой. Некий тест состоит из 26 вопросов. За каждый неверный ответ у’ испытуемого вычитается пять очков, а за каждый правильный — ему начисляется восемь очков. Испытуемый ответил на все вопросы. На сколько вопросов он ответил правильно, если в итоге сумма полученных им очков равнялась нулю?
     
      5. Теорема Птолемея. Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведении противолежащих сторон.
     
      9. По миллиону с каждой стороны. Два миллиона отмеченных точек целиком расположены внутри окружности, диаметр которой равен 1 см. Существует ли прямая, по каждую сторону от которой находилось бы ровно по одному миллиону таких точек?
     
      10. Бесконечность множества простых чисел. Покажите, что существует бесконечно много простых чисел.
     
      12. Перекрывающиеся круги. Окружность радиус а 15 пересекается с окружностью радиуса 20 под прямым углом. Рассмотрим две области, которые получатся после удаления из соответствующих кругов их общей части. .Чему равна разность их площадей?
     
      13. Соревнования по теннису. В соревнованиях по теннису участвуют n игроков. Каждый теннисист выбывает из турнира после первого поражения. Сколько следует провести встреч, чтобы выявить победителя?
     
      15. Пересекающиеся цилиндры. Оси симметрии двух прямых круговых цилиндров, диаметр каждого из которых равен 2 см, пересекаются под прямым углом. Чему равен объем общей части этих цилиндров?
     
      20. Продавец цветов. Девушка купила в магазине х роз, заплатив за все у долларов (х и у — целые числа). Когда она собиралась уходить, продавец сказал ей: «Если бы вы купили еще 10 рол, то я отдал бы вам все розы за 2 доллара и вы сэкономили бы 80 центов на каждой дюжине». Найдите х и у.
     
      21. Отношение площадей у многоугольников. Периметры некоторого равностороннего треугольника и правильного шестиугольника совпадают. Чему равно отношение их площадей?
     
      22. Перевернутые чашки. Требуется перевернуть вверх дном 11 чашек, следуя такому правилу: за один раз разрешается перевернуть ровно 11—1 чашку (любые), и эту процедуру можно повторить несколько раз. Покажите, что задача разрешима при четном 11 и неразрешима при нечетном.
     
      27. Цифры точного квадрата. Покажите, что любой точный квадрат, который в десятичной системе записывается с помощью двух или более цифр, содержит по крайней мере две различные цифры.
     
      28. Члены комитетов. Совет директоров одной крупной компании состоит из 15 человек, которые одновременно должны войти в состав 20 комитетов при этом совете. Комитеты требуется составить таким образом, чтобы:
      1) каждый директор входил в 4 комитета;
      2) в каждый комитет входило по 3 директора;
      3) никакие два комитета не содержали бы более одного директора, входящего одновременно в оба эти комитета.
     
      29. Разрезанная картинка. Всем известна головоломка, которая состоит в том, что кусок фанеры с нарисованной на нем картинкой разрезают на мелкие части, а затем предлагают вновь собрать из этих перемешанных частей исходную картинку. Пусть картинка разрезана на n мелких частей. Назовем «ходом» соединение вместе двух кусков независимо от того, состоит ли каждый кусок из одной или нескольких мелких частей, соединенных ранее. Как нужно действовать, чтобы собрать картинку за минимальное число ходов?
     
      32. Треугольники в круге. Пусть n точек окружности соединены между собой всевозможными способами с помощью прямых линий, никакие три из которых не пересекаются в одной и той же внутренней точке круга. Определите число образованных этими прямыми треугольников, все вершины которых лежат внутри данного круга.
     
      37. Сверхурочная работа. Некая компания предложила 350 своим служащим выполнить сверхурочную работу, причем каждому мужчине предлагалось в виде вознаграждения 10 долларов, а каждой женщине — 8 долларов 15 центов. Женщины все согласились с этим предложением, а часть мужчин отказалась. При подсчете выяснилось, что общая сумма вознаграждения не зависит от числа служащих-мужчин. Какова сумма вознаграждения, выплаченного всем женщинам?
     
      39. Распутанные веревки. Три веревки привязаны к трем гвоздикам, вбитым в доску А, и переплетены между собой, как показано на рисунке. К их свободным концам требуется привязать новые три веревки, концы которых (их также разрешается переплетать между собой) следует прикрепить к трем гвоздикам на доске В таким образом, чтобы, разведя после всех манипуляций доски А и В в стороны, получить три параллельно натянутые веревки. Как это можно сделать?
     
      40. Разность равна частному. Найдите два числа, разность и частное которых были бы равны 5.
     
      41. Задремавший школьник. Один школьник, проснувшись в конце урока алгебры, услышал лишь обрывок произнесенной учителем фразы: «... скажу только, что все корни действительны и положительны». Взглянув на доску, он увидел там уравнение 20-й степени, заданное на дом, и попытался его быстро записать. Ему удалось выписать только первые два члена х20 — 20 X19, прежде чем учитель вытер доску; однако он запомнил, что свободный член равнялся +1. Не поможете ли вы нашему незадачливому герою решить это уравнение?
     
      42. Ребра многогранника. Покажите, что в трехмерном пространстве ни у какого многогранника не может быть ровно семь ребер, в то время как имеются многогранники, у которых число ребер равно любому другому целому числу. которое больше пяти.
     
      48. Книжная серия. Некая серия книг публиковалась с интервалом в семь лет. Когда вышла в свет седьмая книга, сумма всех лет, в которые выходили книги этой серии, равнялась 13524. Когда была опубликована первая книга серии?
     
      49. Три средних значения. Покажите геометрически, что среднее геометрическое G двух чисел а и Ь равно среднему пропорциональному между средним арифметическим А и средним гармоническим Н этих же чисел.
     
      50. Конкурс красоты.
      — Не скажете ли вы мне по секрету, в каком порядке пять самых красивых девушек заняли первые пять мест в конкурсе красоты, который проводил ваш журнал? — спросил я издательницу. Она, разумеется, отказалась преждевременно разгласить тайну, но пообещала сказать, правильно ли я угадал места.
      — Места распределились в порядке А — В — С — D — Е? — спросил я.
      — Однако вы мастер попадать пальцем в небо,— пошутила издательница. — Вы не только не назвали верно места участниц, но и не угадали ни для одной из них соперницу, занявшую непосредственно предшествующее место.
      — Тогда, наверное, девушки распределились в порядке D — A — Е — С — В? — спросил я.
      — Вы начинаете исправляться, — осторожно ободрила она меня — Вы правильно указали места для двух участниц, а для двух из них даже верно назвали соперницу, занявшую предшествующее место.
      После некоторых подсчетов я сообщил правильный порядок, и издательница взяла с меня слово не разглашать его. Как же распределились места среди пяти участниц конкурса?
     
      52. Стопка из домино. Пусть n гладких костяшек до-мнно, каждая размером 1 Х 2 Х 0,25 дюйма, положены плашмя друг на друга. На какое максимальное расстояние (в горизонтальной плоскости) можно при этих условиях сдвинуть самую верхнюю костяшку относительно самой нижней, чтобы наша стопка из домино не развалилась?
     
      53. Игральная кость. Игральную кость, на гранях которой изображены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, подбрасывают до тех пор, пока общая сумма выпавших очков не превзойдет 12. Чему, скорее всего, будет равна эта сумма?
     
      54. Система линейных уравнений.
      — У этой системы n линейных уравнений с n неизвестными есть одно любопытное свойство, — сказал Великий Математик.
      — О боже! — воскликнула Бедняжка. — Что это за свойство?
      — Обрати внимание, — сказал Великий Математик, — что коэффициенты образуют арифметическую прогрессию.
      — После ваших объяснений все становится таким ясным, — сказала Бедняжка. — Вы имеете в виду, что эта система похожа на 6х + 9у = 12 и 15х + 18у =21?
      — Совершенно верно, — согласился Великий Математик, доставая из футляра свой фагот. — Между нами говоря, у этой системы есть единственное решение. Не можешь ли ты его найти?
      — Великий боже! — воскликнула Бедняжка. — Я совершенно озадачена.
      А вы?
     
      55. Свойство биссектрисы. Докажите, что биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
     
      60. Метеорологические наблюдения. На метеостанции заметили, что в течение некоторого периода времени, если утром шел дождь, то вечером было ясно, а если дождь шел вечером, то было ясно утром. Всего было 9 дождливых дней, причем б раз выпадали ясные вечера и 7 раз было ясным утро. Сколько дней охватывал весь этот период времени?
     
      61. Теорема ШтеЙнера-Лемуса. Докажите, что если биссектрисы двух внутренних углов некоторого треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
     
      62. Хула-хуп. Представьте себе стройную девушку, которая замерла на мгновение, в то время как покруг ее талии вращается (без скольжения) обруч хула-хуп. Талия девушки имеет форму окружности, диаметр которой вдвое меньше диаметра хула-хупа. Покажите, что после одного оборота обруча точка на нем, находившаяся первоначально в соприкосновении с талией девушки, проходит расстояние, равное периметру квадрата, описанного вокруг талии.
     
      68. Наибольший угол в круге. Пусть внутри некоторого круга заданы две точки А и В. Для какой из точек С, расположенных на окружности, угол АСВ принимает наибольшее значение?
     
      69. Определитель магического квадрата. Пусть S — сумма всех элементов магического квадрата третьего порядка, составленного из целых чисел, а D — определитель этого квадрата, если последний рассматривать как матрицу. Покажите, что D/S — целое число.
     
      70. Неквадратные пятизначные числа. Докажите, что никакой точный квадрат нельзя записать в десятичной Системе с помощью ровно пяти различных цифр, одновременно четных или одновременно нечетных.
     
      71. Разрезание сферы. На какое максимальное число конгруэнтных кусков можно разрезать сферу так, чтобы каждая сторона каждого куска представляла собой дугу окружности большого круга, которая меньше четверти такой окружности?
     
      72. Трисекция стороны треугольника. Докажите, что если прямая, проведенная из вершины С некоторого треугольника АВС, делит медиану, опущенную из вершины А, пополам, то она делит сторону АВ в отношении 1 : 2.
     
      74. Любопытное число. Найдите такое положительное число, чтобы 1/5 его, умноженная на его 1/7, равнялась этому числу.
     
      75. Два правильных шестиугольника. Найдите, не пользуясь радикалами, отношение площадей двух правильных шестиугольников, один из которых вписан в данную окружность, а другой описан вокруг нее.
     
      77. Тепловой поток. Температура трех сторон квадратного металлического листа поддерживается равной О °С, а температура четвертой стороны поддерживается равной 100°С. Пренебрегая потерями тепла при излучении, найдите температуру центра данного листа.
     
      81. Покупатели овец. Один фермер умер, оставив в наследство двум сыновьям стадо коров. Сыновья продали это стадо, причем за каждую голову выручили столько долларов, сколько было голов в стаде. На вырученные деньги сыновья купили овец по 10 долларов за штуку и одного ягненка, который обошелся дешевле 10 долларов. Потом они поделили овец и ягненка между собой так, что каждый из братьев получил одинаковое количество животных. Сколько должен заплатить своему брату тот из сыновей, которому достались одни овцы, чтобы каждый наследник получил равную долю?
     
      82. Постоянный объем. Рассмотрим тетраэдр, определяемый двумя отрезками, которые принадлежат скрещивающимся прямым. Докажите, что объем тетраэдра не изменится, если мы сдвинем наши отрезки (не меняя их длин) вдоль соответствующих прямых.
     
      83. Что в периоде? Определите, что стоит в периоде у десятичного разложения дроби 1/49.
     
      90. Удивительный квадрат. В какой системе счисления число 11111 представляет собой точный квадрат?
     
      91. Многоугольник вписан в 9ллипс. Покажите, что в эллипс, оси которого не равны между собой, нельзя вписать правильный многоугольник. содержащий более четырех сторон.
     
      92. Телефонный разговор с Синкьянгом. Один человек ожидал, когда ему предоставят телефонный разговор с Синкьянгом. От нечего делать он стал выписывать число 0,12345..., у которого в десятичном разложении на n-м месте стоит n. Будучи аккуратным. человек быстро производил необходимые выкладки и записывал число в стандартном виде J. Покажите, что он скорее дождется телефонного разговора, чем выпишет цифру 8.
      93. Загон для скота. Владелец одного ранчо решил огородить прямоугольный загон для скота площадью 5,445 га. Забор требовалось поставить только с трех сторон, так как с четвертой стороны будущего загона возвышался крутой утес. При каКНХ размерах загона стоимость забора будет минимальной?
     
      101. Рукопожатия. Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей, пожавших нечетное число рук, четно.
     
      102. Колода карт. Карты в колоде перенумерованы последовательно числами от 1 до 7, а затем тщательно перетасованы. Из колоды случайным образом вынимаются последовательно 5 карт. Какова вероятность того, что номера этих карт будут идти в возрастающем порядке?
     
      103. Серединный перпендикуляр. Докажите, что перпендикуляр, восставленный из середины отрезка, соединяющего основания двух высот треугольника, делит третью сторону этого треугольника на две равные части.
     
      105. Задача фермера. Некий фермер должен купить 100 голов скота за 100 долларов. Если каждый теленок стоит 10 долларов, каждый ягненок 3 и каждый поросенок 0,5 доллара, то сколько всего телят, ягнят и поросят купит фермер?
     
      106. Разложение на множители. Найдите простые делители числа 1000027.
     
      107. Сложенная карта. У прямоугольной карты один угол загибается так, что его вершина попадает на сторону карты. При этом получаются три прямоугольных треугольника, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Если площадь наименьшего из этих треугольников равна 3 см2, то чему равна площадь наибольшего из них?
     
      108. Уникальный квадрат. Какой квадрат равен произведению четырех последовательных нечетных чисел?
     
      113. Отношение объемов двух многогранников.
      У правильных тетраэдра и октаэдра длины ребер равны. Найдите отношение их объемов, не вычисляя объема каждого из данных многогранников.
     
      114. Заполнение пространства. Покажите, что пространство можно заполнить кристаллической структурой, ячейки которой имеют форму правильных октаэдров и тетраэдров. (Под кристаллической структурой мы понимаем здесь гакое разбиение пространства на ячейки, которое получается периодическим повторением одной и той же исходной комбинации ячеек.)
     
      117. Два парома. Два парома ходят между двумя противоположными берегами реки с постоянными скоростями. Достигнув берега, каждый из них тут же начинает двигаться в обратном направлении. Паромы отчалили от противоположных берегов одновременно, встретились впервые в 700 м от одного из берегов, поплыли дальше каждый к соответствующему берегу, затем повернули назад и вновь встретились в 400 м от другого берега. Определите в уме ширину реки.
     
      118. За обедом. У Альберта и Берты Джонс пятеро детей: Кристина, Даниель, Элизабет, Фредерик и Грэйс. Отец решил, чтобы в течение некоторого цикла обедов все члены семьи ежедневно рассаживались за круглым столом по-новому, причем за весь такой цикл каждый член семьи должен точно по одному разу посидеть рядом со всеми остальными. Как отцу удалось осуществить свой план?
     
      120. Три водителя. Три водителя грузовиков зашли в придорожное кафе. Однн водитель купил четыре сандвича, чашку кофе и десять пончиков на общую сумму 1 доллар 69 центов. Второй водитель купил три сандвича, чашку кофе и семь пончиков за 1 доллар 26 центов. Сколько заплатил третий водитель за сандвич, чашку кофе и пончик?
     
      128. Разрезанный пятиугольник. Пятиугольник состоит из квадрата, к одной стороне которого симметрично присоединены два прямоугольных равнобедренных треугольника. Разрежьте этот пятиугольник на три части так, чтобы из них можно было сложить новый разнобедренный прямоугольный треугольник.
     
      131. Хорды в круге. Некоторая окружность разделена на n равных частей. Каждая точка деления соединена прямой со всеми другими точками деления, расположенными от нее через m шагов, причем ни одна из полученных хорд не совпадает с диаметром. Докажите, что через любую внутреннюю точку круга могут проходить не более чем две такие хорды.
     
      138. Разбиение одного треугольника на два подобных. Покажите, что любой заданный треугольник можно прямыми разрезами разделить на четыре части, из которых загем удается сложить два треугольника, подобных данному.
     
      141. Счастливые узники. Некий тюремщик, осуществляя частичную амнистию, поступил следующим образом. Сначала он открыл все камеры. Затем запер каждую вторую камеру (в этой тюрьме все камеры были расположены в один ряд). На третьем этапе он повернул ключ в каждой третьей камере (при очередном повороте ключа открытая камера запирается, а закрытая отпирается). Продолжая действовать подобным образом, тюремщик на n-м этапе поворачивал ключ в каждой n-й камере. Закончив на этом, он выпустил всех заключенных, которые оказались в открытых камерах. Укажите номера камер, в которых сидели эти счастливчики.