Книга для внеклассного чтения по математике

DjVu

      От автора
      Любовь к математике присуща не всем людям. У некорых это чувство является как бы врождённым; у других юбовь к математике возникает при изучении её на школьной скамье.
      Но найдётся немного людей в наше время, которые поставили бы под сомнение огромное значение математики в развитии других наук и техники. Воздвигается ли новая ГЭС, подготавливается ли новый полёт человека в космос, находится ли в полёте к далёким планетам корабль-лаборатория, идут ли поиски наиболее целесообразного решения сложной производственной задачи, автоматизируется ли процесс — во всех делах, великих и малых, всюду и везде незримо присутствует математика.
      Зародившись чуть ли не вместе с появлением человека на Земле, математика к настоящему времени достигла таких блестящих вершин, так расширилась область её применения, что даже специалисты в этой области не могли несколько десятков лет назад представить себе, какими гигантскими шагами пойдёт развитие этой замечательной науки.
      Но любая наука, и математика в особенности, строится на фундаменте знаний, добытых в предшествующие эпохи. Не усвоив этих знаний, трудно понять, что совершается в области математики теперь, в области иных наук. Отсутствие таких знаний не позволит работать во многих областях производства. Не будет преувеличением сказать, что, чем выше будет математическая культура народа, тем легче он сможет построить материально-техническую базу коммунизма.
      Вот почему имеет первостепенное значение глубокое изучение школьной математики.
      Настоящая книга освещает глубже, чем это возможно сделать на уроках, некоторые вопросы элементарной математики, обращая внимание читателя на возникновение и развитие математических идей.
      Но чтение этой книги есть только первый шаг на пути проникновения в математический мир.
      Читайте и не бойтесь трудностей. Преодоление их доставит вам не только глубокое удовлетворение, но и большую радость, так как «в математике есть своя красота, как в поэзии и музыке» (Н. Е. Жуковский).
      Второе издание объединяет две книги: книгу для внеклассного чтения по математике для учащихся VIII класса и книгу для внеклассного чтения по математике для учащихся IX класса.
     
      ГЛАВА I
      НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ
     
      «И сильно возлюбив искусство числительное, помыслил я, что без числа никакое рассуждение философское не слагается, всей мудрости матерью его почитая».
      Анания из Ширака — армянский математик VII в.
     
      Часто приходится удивляться не сложному, а простому
      Представление о натуральном ряде чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... возникло в сознании людей в результате операции счёта. Начало формирования этого ряда является первым шагом в создании математики.
      В настоящее время мы без труда представляем этот ряд бесконечным: действительно, какое бы натуральное число мы ни взяли и как бы велико оно ни было, прибавив к нему единицу, мы получим новое число, занимающее в натуральном ряде следующее по порядку место. Но идея о бесконечно продолжающемся ряде целых чисел не сразу далась человечеству. В очень отдалённые времена, когда люди умели считать только до трёх, а дальше была «тьма», натуральный ряд чисел был очень коротким. С течением времени, научаясь считать сначала при помощи зарубок, зёрен и т. п., а затем при помощи первой счётной машины — пальцев своих рук, люди постепенно удлиняли натуральный ряд чисел, и прошло довольно продолжительное время, пока они почувствовали и осознали, что этот ряд бесконечен.
      Укреплению в сознании людей идеи бесконечности натурального ряда могли содействовать задачи, подобные той, которую поставил Архимед более двух тысяч лет назад. В своём сочинении «Псаммит» он решает вопрос об исчислении песчинок в размерах вселенной. Архимед не считал вселенную бесконечной, как это есть на самом деле, но и в его представлении она очень велика. Он представлял себе вселенную в виде шара, на поверхности которого укреплены неподвижные звёзды, а внутри находятся Земля, Солнце и планеты. Радиус этого шара Архимед принимал равным 15х10 в 12ст. км (в пересчёте на наши меры). Создав особую систему счисления, он решил поставленную им задачу. Число песчинок в размерах Архимедовой вселенной оказалось примерно равным 10 в 63ст. Это число велико, и оно занимает очень далёкое место в натуральном ряде чисел.
      Создав натуральный ряд чисел, люди должны были изобрести и способ записи числа в этом ряде при помощи немногих знаков. Различные способы такой записи, изобретённые разными народами на протяжении многих веков, в настоящее время вытеснены десятичной позиционной системой, которая позволяет при помощи только девяти знаков — цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и цифры нуль записать любое число натурального ряда.
      Одно из свойств, создающих превосходство десятичной системы счисления перед другими системами, заключается в том, что она пользуется законом поместного значения цифр, хотя этот закон, как увидим ниже, присущ и не только этой системе. Закон этот заключается в том, что значение каждой цифры определяется её местом: цифра, записанная на первом месте справа, означает единицы, на втором — десятки, на третьем — сотни. Закон поместного значения цифр сделал излишним введение особых знаков для обозначения десятков, сотен, тысяч и других разрядных единиц.
      Записывая какое-либо число, мы обычно забываем о том, что изобретение той системы записи, которой мы пользуемся (письменной системы счисления на основе поместного значения цифр), является одним из важнейших исторических событий, а если иногда и вспоминаем об этом, то с недоумением: почему учёные ещё в древности не открыли этого способа для записи чисел?
      Известный французский математик XIX в. Пьер Лаплас говорит: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко прийти к этому способу, мы видим ясно на примере величайших гениев греческой учёности, Архимеда и Аполлония, для которых эта мысль осталась скрытой».
      Кому же мы обязаны изобретением письменной десятичной нумерации, какому учёному, какой школе или какому народу? Как и многое в математике, так и изобретение позиционной десятичной системы нельзя приписать какому-либо отдельному математику или какой-либо школе. Известно, что много веков назад в Индии пользовались подобной записью чисел. Известно, что индийцы уменьшили количество цифр и довели их до десяти, считая в том числе и нуль, и что индийцы применили позиционный принцип к десятичному счёту и стали пользоваться цифрой нуль. Сами ли индийцы пришли к этому историческому открытию или заимствовали идею поместного значения цифр у вавилонян, которые в глубокой древности пользовались шестидесятиричной позиционной системой, или, может быть, она перешла к ним от сумерийцев — сказать трудно. Но заслуга развития идеи позиционного счисления и введения цифры нуль, несомненно, принадлежит индийцам.
      Нельзя не отметить и большую заслугу того учёного, который в IX в. перенёс это открытие индийских математиков на почву Ближнего Востока — к арабам. Этим учёным был математик — узбек Мухаммед, сын Мусы из Хорезма, который в одной из своих рукописей запечатлел идею десятичной системы счисления и ещё далее развил её. Рукопись была написана на арабском языке, научном языке Ближнего Востока того времени. Вот почему цифры, которыми мы сейчас пользуемся, называются арабскими.
      Вероятнее всего, что труд Мухаммеда из Хорезма был перенесён в Европу в IX в. арабами, а вместе с ним в Европу проникла и десятичная позиционная система. Но, как всё новое, этот способ записи чисел, поражающий нас своей мудрой простотой, с большим трудом проникал не только в широкие массы, но и в круги учёных, и только в XII—XIII вв. он утвердился окончательно, вытеснив прежние, более сложные системы.
      В Россию десятичная позиционная система счисления проникла гораздо позже. До XVII в. в России в основном пользовались старославянской нумерацией, которая не использовала принципа поместного значения цифр, хотя источники XV в. подтверждают знание русскими индийской нумерации. В старославянской нумерации вместо цифр употреблялись 27 знаков — букв славянского алфавита, снабжённых для отличия от обычных букв текста особым знаком сверху.
      Вот знаки старославянской системы:...
      При помощи этих знаков число 1965 (последний год семилетки) запишется так:...
      Старославянская система, не обладающая принципом поместного значения цифр, была вытеснена современной десятичной системой.
     
      Упражнение. Напишите при помощи старославянской нумерации год вашего рождения, год Великой Октябрьской социалистической революции, год основания Москвы, номер вашей школы.
     
     
      Проблема, возникшая в России и решённая русскими
      Интересно ознакомиться ещё с одним свойством чисел натурального ряда, известным в математике под названием «проблема Гольдбаха». Остановиться на этом свойстве интересно и по одному тому, что проблема Гольдбаха возникла в России, и через 200 лет, в течение которых ряд крупнейших иностранных математиков безуспешно трудился над решением этой проблемы, её решение было продвинуто вперёд в наше время советским математиком, и, наконец, проблема была почти решена также одним из выдающихся советских математиков.
      История возникновения проблемы Гольдбаха такова. В 1742 г. член Петербургской Академии наук X. Гольдбах в письме к Эйлеру, члену той же Академии наук, высказал одну интересную гипотезу:
      Любое натуральное число, большее пяти, представляет сумму трёх простых чисел.
      Эйлер ответил, что он не может доказать эту гипотезу, но что может высказать иную гипотезу, связанную с первой:
      Всякое чётное натуральное число, большее двух, представляет сумму двух простых.
      Читатель, конечно, захочет проверить гипотезы, высказанные Гольдбахом и Эйлером для ряда частных случаев.
      В течение 200 лет выдающиеся математики многих стран стремились доказать проблему Гольдбаха — Эйлера, но безуспешно. В то же время числовая проверка этого свойства, доведённая к началу XX в. до 9 000 000, показала, что гипотеза Гольдбаха верна. И вот, когда было высказано предположение о том, что проблема Гольдбаха — Эйлера средствами современной математики не может быть доказана, один молодой советский математик Лев Шнирельман (1905—1938) в 1931 г. добился значительных успехов в решении этой задачи, и, наконец, в 1937 г. академик И. М. Виноградов почти полностью решил эту проблему. Он доказал, что существует среди натуральных чисел такое число «С», за которым всякое нечётное натуральное число является суммой трёх простых чисел, причём это число «С» очень велико.
      Профессор И. К. Андронов в своей книге «Арифметика натуральных чисел» даёт такой итог современному состоянию проблемы Гольдбаха:
      «Бесконечный ряд натуральных чисел распадается на четыре различные части:
      1) Множество, состоящее из пяти первых натуральных чисел, где каждое число не есть сумма трёх простых чисел.
      2) Множество натуральных чисел от 6 до 9 000 000, где опытом проверена правильность утверждения, что всякое натуральное числе есть сумма трех простых чисел.
      3) Множество натуральных чисел от 9 000 000 до весьма большого «Лсла, найденного И. М. Виноградовым, где ни опытом, ни математическими средствами не установлено, что каждое натуральное число в этом промежутке есть или не есть сумма трёх простых чисел.
      4) Бесконечный ряд натуральных чисел начиная от числа, найденного И. М. Виноградовым, где каждое нечётное натуральное есть сумма трёх простых чисел».
     
     
      ГЛАВА II
      ИЗ ИСТОРИИ ГЕОМЕТРИИ
     
      «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии».
      Надпись над входом в Академию Платона.
     
      Многие из учащихся, раскрыв страницы геометрии, для того чтобы выучить заданный урок, не предполагают, что книга эта является только упрощённой переработкой книги, созданной более 2000 лет назад, что в книге, которую он держит в руках, зафиксирована большая часть геометрических знаний того времени, что в ней отражён идеал логического построения этой науки с точки зрения древних греков.
      Создание этой древней книги обычно связывают с именем греческого математика Евклида, жившего в III в. до н. э. в Александрии, центре научной мысли греков III и II вв. Город был расположен на берегу Средиземного моря, недалеко от устья Нила. Здесь были знаменитая Александрийская Академия-музей и огромная для того времени библиотека, насчитывающая сотни тысяч рукописей.
      Может создаться представление, что наука, именуемая геометрией, создана силами одного человека, что у Евклида не было предшественников и что позднейшим учёным нечего было прибавить к тому, что уже дал Евклид. Такое представление было бы абсолютно неверным. Геометрия, как и всякая другая наука, создавалась постепенно, усилиями многих людей, на протяжении многих веков.
      Зачатки геометрических знаний теряются в глубине тысячелетий. Древнейшие из памятников культуры — египетские папирусы и вавилонские глиняные дощечки с клинописными записями — говорят о том, что уже за 4000— 5000 лет до нашего времени люди знали многое из того, что мы сейчас изучаем в школе.
      В древнейших памятниках вавилонской архитектуры мы встречаем геометрические формы в виде куба, параллелепипеда, шестигранной призмы, цилиндра и конуса. Их излюбленной композицией была ступенчатая пирамида, в форме которой строились громадные обсерватории. Обычно такие постройки состояли из семи террас, поставленных одна на другую и представляющих собой как бы ступени огромной лестницы, ведущей к небу. Каждая терраса была окрашена в особый цвет, присвоенный семи светилам: Солнцу, Луне, Юпитеру, Сатурну, Марсу, Венере и Меркурию. Поражают монументальность, простота, стройность и красота дворцов, построенных в том же стиле. Кто посмел бы утверждать, что эти грандиозные здания строились без знания геометрии?
      Там, где перед нами возникает стройность архитектурных форм,— там неминуемо присутствует и математика.
      Но вавилоняне не только знали о существовании различных геометрических фигур, они умели также определять их площади и объёмы. Так, они умели измерять площади прямоугольника, ромба, треугольника и трапеции, объём куба, прямоугольного бруса и цилиндра. Всматриваясь в богатейший геометрический орнамент на каменных плитах, сохранившихся от той древнейшей эпохи, мы убеждаемся в том, что у них чрезвычайно сильно было развито чувство симметрии. Вавилоняне знали, что цуга, составляющая шестую часть всей окружности, стягивается хордой, равной радиусу. Вавилонянам мы обязаны также градусным делениям, и в этом их большая научная заслуга. Когда мы говорим, что угол содержит 20с32'18", мы в сущности читаем число, написанное по шестидесятеричной вавилонской системе счисления:...
     
      Егиртянам, так же как и вавилонянам, было присуще чувство симметрии и пропорций. Только наличие у египтян внутреннего чувства пропорций позволяло им воздвигать такие здания, которые поражают гармоничностью своих форм.
      И всё же ни у вавилонян, ни у египтян не было ещё геометрии как науки. Их познания являлись только результатом накопленного опыта на почве чисто практических потребностей; но будем помнить, что египтяне и вавилоняне подготовили тот сырой материал, который постепенно был использован другим народом с более поздней культурой. Этим народом были греки. Черновая работа была выполнена на протяжении многих веков в Вавилоне и Египте, и на долю греческих учёных выпало развить этот материал, систематизировать его, дать логические доказательства и установить научные методы геометрического исследования.
      Перед нами древняя Эллада за 6—7 веков до н. э. Её города разбросаны по многочисленным островам и полуостровам Средиземного моря. К этому времени один из египетских фараонов открывает свободный доступ в свою страну. Множество эллинов устремляются туда. Едут купцы и учёные, искатели приключений и мореплаватели.
      Среди них и Фалес из Милета (640—548), один из «семи мудрецов», и несколько позднее Пифагор с острова Самоса (564—473). Они стремятся в Египет для того, чтобы на месте познакомиться с тем запасом знаний, который за тысячелетия накопился в этой древней стране. Они впитывают в себя всё то, .что знали в области математики египтяне. Предание говорит, что Пифагор едет ещё дальше, на восток — в сказочный Вавилон. Всюду и везде они по крупицам собирают интересующие их знания и с ними возвращаются на родину.
      Конечно, Фалес и Пифагор не одиноки в своём стремлении перенести на почву Эллады математические знания древнего Востока, но их имена — наиболее яркие в этом отношении. Так и проникают эти знания из Египта и Вавилона в Грецию, где зарождается геометрия как наука.
      Начало развития геометрии на почве Греции связывают с именем Фалеса. В области геометрии ему приписывают открытие свойства вписанных углов, опирающихся на диаметр; свойства углов при основании равнобедренного треугольника; свойства вертикальных углов. Фалес также знал, что треугольник определяется одной стороной и двумя углами, прилежащими к ней; основываясь на этом, он указал возможность определять расстояние до недоступных предметов и высоту предметов по длине отбрасываемой ими тени.
      Больше сделали в создании геометрии как науки пифагорейцы. Характерно в этом отношении утверждение одного из древнегреческих писателей — Прокла: «Пифагор впервые разработал принципы геометрии и исследовал теоремы невещественным, разумным путём». Не нужно думать, что количество геометрических фактов, известных грекам в V в. до н. э., значительно превышало число их, полученное ими с Востока. Важно то, что мысль греков шла в ином направлении, чем мысль египтянина или математика из Вавилона. Если последние стремились только к накоплению готовых рецептов для решения задач: «возьми то-то», «сделай то-то», то греков интересовало другое: откуда взяты эти решения, эти геометрические факты, как доказать, что они верны, как установить, что они справедливы не только для отдельных частных случаев, но и вообще справедливы. Поставив вопрос именно, так, греческие математики и нашли верный путь для создания геометрии как науки.
      Пифагору, кроме теоремы, известной под его именем, и школе пифагорейцев приписывают открытие несоизмеримых отрезков, так поразившее самих пифагорейцев; доказательство существования только пяти видов правильных многогранников: доказательство теоремы о сумме углов треугольника; построение правильных пятиугольника и десятиугольника; построение многоугольника, равновеликого данному и в то же время подобного другому; геометрический способ решения квадратного уравнения (см. главу IV).
      Исключительное значение приписывала математике школа Платона, знаменитого философа древности (429— 348). Он был учеником Сократа. Сам Сократ не считал нужным для’ философа глубокое изучение математики: «Геометрию надо знать настолько, чтобы только уметь измерить поле». На иной точке зрения стоял Платон. После смерти Сократа он знакомится с учением пифагорейцев, много путешествует и в 388 г. до н. э. основывает в Афинах Академию, в которой работает в течение 20 лет. Всякий, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий, геометрии». Под влиянием учения пифагорейцев Платон осознал важность точного знания, в частности математики как одной из ступеней к изучению философии. «Уйди прочь. У тебя нет орудия философии», — сказал Платон одному из желающих поступить в его школу, но не получившему математического образования.
      Каковы же заслуги школы Платона в создании геометрии как науки?
      Основной заслугой Платона является его стремление придать систематическому построению геометрии ту точность и логическую тонкость, которые потом навсегда стали её отличительными чертами, и развить геометрию из определений и немногих аксиом.
      К сожалению, до нас дошло только одно определение из тех, которые были даны Платоном, — это определение прямой: «Линия, в которой средняя точка покрывается концами, есть прямая».
      Очевидно, это определение Платон получил из практического построения прямой на местности при помощи провешивания.
      Важно в данном случае не то, что потом эти определения и состав аксиом изменились, а важен самый факт подобного подхода к построению геометрии.
      Из частных вопросов Платону и его школе принадлежат доказательства, решение или постановка следующих теорем и задач: I) открытие способа нахождения сторон прямоугольного треугольника в рациональных числах; 2) построение прибора для деления угла на три равные части (трисекция угла); 3) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; 4) изучение «конических сечений», т. е. тех кривых, которые получаются в результате пересечения конической поверхности плоскостью (черт. 6). Это известные вам из черчения кривые: эллипс, гипербола и парабола. В изучении этих кривых большую роль сыграл ученик Платона — Менейхм и позже Архимед и Аполлоний. Многое сделала школа Платона в выработке методов решения задач на построение. Со времён Платона при решении задач на построение стали различать четыре части: анализ, построение, доказательство и исследование.
      Говоря об истории создания геометрии, нельзя не упомянуть имя Евдокса (408—355), врача, астронома, механика и математика, создавшего теорию пропорций, на основе которой впоследствии Евклид со всей возможной для того времени строгостью изложил геометрию. Кроме того, Евдоксу при помощи особого способа удалось прийти к измерению объёмов пирамиды, конуса и шара.
      Итак, развитие математики в Греции шло в тесном содружестве с философией. Но связь с философией оторвала геометрию времён Платона от практических задач, и только Архимед (287—212) требованиями самой жизни был поставлен в необходимость связать теоретическое построение геометрии с практикой.
      С VII по III в. геометрия в Греции накопила обильный фактический материал. Назрела необходимость его систематизации, приведения в стройную логическую систему.
      Первая попытка такой систематизации геометрических знаний была сделана Гиппократом из Хиоса, учеником Пифагора, который написал первый учебник геометрии. Были, очевидно, и другие попытки создать подобный учебник. Но все эти попытки были забыты, когда появилось бессмертное произведение Евклида «Начала».
      В своей книге Евклид собрал всё, что было существенного в трудах его предшественников, дал доказательство тех геометрических положений, которые ранее были обоснованы недостаточно удовлетворительно. Несомненно, что открытие некоторых теорем, помещённых в «Началах», принадлежит самому Евклиду. Но главная задача автора «Начал» заключается в том, что все геометрические знания, накопленные веками, были приведены им в такую систему, которая долгое время считалась образцом ясности и строгости.
      Ни одна научная книга не пользовалась таким многовековым успехом, как «Начала» Евклида. Она сначала переписывалась, а потом перепечатывалась множество раз в переводах на языки всего мира. Только с 1842 г. эта книга выдержала более 500 изданий. По «Началам» изучали геометрию Коперник, Галилей, Декарт, Ньютон, Ломоносов, Лобачевский и многие другие великие учёные. Книга Евклида знакома каждому школьнику, каждому культурному человеку в упрощённом пересказе других авторов.
      Великое историческое значение «Начал» заключается, с одной стороны, в том, что они являются частью того фундамента, на котором зиждется вся современная техника, а с другой, научной стороны, «Начала» Евклида «передали последующим временам идеалы вполне логической обработки геометрии» (Ф. Клейн).
      Глубокое изучение геометрии Евклида показало, что творение великого греческого математика не одинаково совершенно во всех своих частях. Подмеченные недостатки касались главным образом основных понятий, определений и аксиом его книги. Пересмотр этих основ завершился созданием неевклидовой геометрии великим русским учёным Н. И. Лобачевским (1792—1856).
      В конце XIX и в начале XX в. появляется ряд работ, в которых авторы стремятся к безукоризненному формулированию всех аксиом и основных понятий геометрии.
      Среди этих работ выделяется работа немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 г. В 1903 г. Гильберт за свою работу «Основания геометрии» получает премию имени Н. И. Лобачевского.
      Таков длинный исторический путь создания той науки, которую мы называем «Элементарная геометрия».
     
      Одна из знаменитых задач древности
      Под тремя знаменитыми задачами древности понимают задачи: о трисекции угла, т. е. делении любого угла на три равные части, о квадратуре круга, т. е. построении квадрата, площадь которого равнялась бы площади данного круга, и, наконец, задачу об удвоении куба, т. е. построении куба, объём которого был бы вдвое более объёма данного куба.
      Эти задачи стали знаменитыми потому, что в течение более 2000 лет усилия многих математиков были направлены на то, чтобы решить указанные задачи с помощью только циркуля и линейки, т. е. тех инструментов, которыми мы по традиции, идущей от Платона, пользуемся обычно, решая задачи на построение. Но все эти усилия были напрасными — задачи не были решены. В XIX в. было доказано, что их и нельзя решить, если при решении ограничить себя применением только циркуля и линейки.
      Но уже в древней Греции появились решения трёх знаменитых задач путём применения иных инструментов, кроме циркуля и линейки, иных линий, кроме окружности и прямой. Обычно такие решения весьма остроумны и очень полезны для развития конструктивно-математического мышления. Подобные решения давались и позже и даются даже в наши дни.
      Рассматривая в этой главе решение первой задачи — задачи о трисекции угла, мы остановимся на двух решениях, принадлежащих двум греческим математикам III в. до н. э.
      Уже пифагорейцы умели делить прямой угол на три равные части при помощи построения равностороннего треугольника (черт. 7).
      Успешное решение этой задачи дало толчок к постановке более общей задачи — о делении на три равные части любого угла. Простота решения первой задачи вселяла надежду, что и вторая задача будет решена, если и не так просто, как первая, то всё же как-то решена. Задача эта была поставлена ещё в V в. до н. э. и получила у древних греков название задачи о трисекции угла За её решение брались многие из лучших греческих математиков, но, дойдя в анализе задачи до определённого пункта и, казалось, уловив порядок решения её, останавливались перед невозможностью выполнить построение только при помощи циркуля и линейки, как тогда требовалось. Столкнувшись с такой трудностью, некоторые из математиков решили не ограничивать себя при решении данной задачи применением только циркуля и линейки и пришли к удачному результату.
      (...)
     
      ГЛАВА III
      РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. ЧИСЛА ЦЕЛЫЕ, ДРОБНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
     
      «Нет ничего удивительного в том, что открытие несоизмеримых потрясло греческих математиков».
      Р. Курант
     
      От целых чисел к ломаным
      Когда мы начинаем думать о происхождении понятия о числе и для разрешения этого вопроса обращаемся к истории математики, то нас прежде всего поражает та исключительно долгая и упорная психологическая работа, которую пришлось проделать человеку, чтобы приобрести это понятие и положить начало натуральному ряду чисел.
      Первая трудность, которую должен был преодолеть на этом пути первобытный человек, заключалась в том, чтобы от частных представлений прийти к представлениям общего характера; для этого человек должен был подметить общие признаки отдельных предметов, а это случилось только тогда, когда он натолкнулся на группы, по его мнению, одинаковых предметов. Тогда, очевидно, и возникли в сознании человека представления «один» и «много».
      Дальнейшее «созерцание» создало постепенно понятие о первых числах натурального ряда; при этом понятию о числе отвлечённом всегда предшествовало и сначала с ним тесно сливалось понятие о числе каких-нибудь определённых предметов. Переход от понятия о числе определённых предметов к числу отвлечённому был также и очень долгим и очень трудным. Наглядным пособием для этого перехода служили окружающие предметы. Так, глаза, уши, руки отдельного человека, крылья птицы служили как бы наглядным пособием для выработки представления о числе «два». Всякий отдельный предмет: солнце на безоблачном небе, луна в ясную ночь, сам человек — вызывал представление «один». Поэтому не удивительно, что люди когда-то давно вместо «один» говорили «я» или «луна». Для выражения числа «два» употребляли слова: «глаза», «крылья» и т. п.
      Постепенно, пользуясь сначала пальцами рук, а потом и пальцами ног, люди удлиняли счёт, и прошло очень много времени, прежде чем из операции счёта, идеи порядка (первый, второй и т. д.) в сознании людей возникло представление о натуральном ряде чисел, продолженном достаточно далеко.
      Прошли годы, столетия, может быть тысячелетия, и, наконец, в уме человека начинает зарождаться идея о действиях над целыми числами. Возникновение этой идеи диктовалось самой жизнью, работой человека, его повседневным опытом. Первые шаги в этом направлении были очень робкими: действия первоначально производились над небольшими числами, чтобы была возможность проверить правильность полученных результатов. Постепенно приобретались навыки, создавались практические правила, которые с течением времени распространялись на всё большие и большие числа.
      Сделать приобретённые таким образом знания точными, ещё больше увеличить область применения их, расширяя при этом и самоё понятие о числе, и стало содержанием одной из древнейших наук — арифметики.
      Вместе с развитием арифметики претерпевало глубокое изменение и самоё понятие о числе.
      В III в. до и. э греческий математик Евклид определял число как множество, составленное из единиц1). Следуя Евклиду, также определял понятие числа и Л. Ф. Магницкий, создавший первый учебник арифметики в России (1703). Но ешё ранее XVIII в. применение определения Евклида встретилось с рядом трудностей. Прежде всего, опираясь на него, нужно было признать, что 0 и 1 не являются числами. Далее, с этим определением не мирилось определение дроби как числа, не говоря уже о числах иррациональных. Всё это, вместе взятое, привело к тому, что во второй половине XVIII в. завоёвывает место иное, общее определение числа, выдвинутое ещё Ньютоном (1642—1727): число есть отношение одной величины к другой того же рода, принятой за единицу.
      Это определение делало равноправными положительные целые, дробные и иррациональные числа.
      Сложение двух целых чисел а и b можно рассматривать как нахождение в натуральном ряде числа, занимающего b-е место после а. Так как натуральный ряд бесконечен, то это число всегда может быть в нём найдено. Следовательно, действие сложения целых чисел всегда выполнимо, и поэтому операция сложения целых чисел не могла натолкнуть человека на мысль о существовании чисел, отличных от чисел натурального ряда.
      Также всегда выполнимо и действие умножения целых чисел, так как умножение в данном случае можно рассматривать как частный случай сложения, когда слагаемые одинаковы. Поэтому умножение целых чисел не могло повлечь за собой необходимости введения новых чисел, отличных от чисел натурального ряда. То же самое можно сказать и о возведении целого числа в целую положительную степень.
      Итак, прямые операции над целыми числами не ставили вопроса о расширении понятия о числе.