Фpaгмeнты книги
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора 3
Предисловие 6
I. Понятия 7
II. Суждения 21
III. Доказательства 34
Ответы, решения, указания 57
Литература 95
ОТ РЕДАКТОРА
В дореволюционной гимназии (а одно время — и в советской школе) преподавали логику. Логику часто определяют как «науку о законах правильного мышления». Предполагалось, очевидно, Что неотъемлемым атрибутом зрелости, по достижении которой человеку выдается аттестат, является умение мыслить (и к тому же — правильно мыслить).
Против самого замысла возразить что-либо трудно, но на деле чаще всего получалось, что умение (или неумение) мыслить — само по себе, а «предмет», именуемый логикой, — сам по себе. Величайшее достижение античной науки — формальная логика Аристотеля оказывалась, если можно так выразиться, слишком классичной, чтобы ее можно было легко приспособить к нуждам быстро развивающихся естественных наук, не говоря уже о чисто практических приложениях.
Сравнительно совсем недавно — в 10 — 20-х годах нашего столетия — выяснилось, что все плодотворное содержание традиционной логики допускает гораздо более ясное и прозрачное изложение в терминах и представлениях логики современной — так называемой математической (или символической) логики. И в наши дни девять из десяти людей, изучающих логику, благополучно перешагивают через «классический» ее этап и овладевают исчислением высказываний и исчислением предикатов не с большим (хотя и не с меньшим), трудом, чем несколькими годами раньше или позже овладевают, скажем, химией или аналитической геометрией.
Традиции «гуманитарного» преподавания логики, однако, далеко еще не умерли, и «традиционная формальная логика» не торопится уступать свое место в учебных планах нематематических факультетов. Это отчасти обусловлено и тем обстоятельством, что современные элементарные изложения логики, хотя и отказались от вводных глав, вреде «Теории понятия», составлявших солидную долю объема старых учебников, предполагают все же
наличие у читателя хотя бы минимума «логической культуры», «интеллигентности мышления» или того, что мы привыкли называть «общей эрудицией».
За последнее десятилетие в связи с широко известным проникновением в самые различные области знания и практической деятельности методов и идей машинной математики резко возрос и интерес к её идейному фундаменту — логике. Я уже не говорю о том, что саму задачу обучения «правильному мышлению» тоже как будто бы считать решенной или устаревшей рановато. Жизнь требует своего, и там, где нет ни традиционной «гуманитарной», ни современной «математической» логической базы, в целях ликвидации логической безграмотности, появляются многочисленные «сборники логических упражнений», к жанру которых принадлежит и предлагаемая вниманию читателя книга.
К настоящему времени на русском языке вышло уже несколько, элементарных изложений логики и примыкающих к ней проблем, написанных на вполне современном уровне. В дополнение к указанной автором литературе порекомендую их читателю. (…)
Сказанное, конечно, отнюдь не исключает потребности в книгах, непосредственно связывающих логические понятия и методы с живой практикой школьного преподавания. Разумеется, название настоящей книги достаточно условно, и «логическая» ее специфика состоит разве лишь в том, что особый акцент в ней делается не на собственно математическое содержание задач, а на их логическую структуру. И, как справедливо подчеркивает автор в своем предисловии, именно математические задачи — особенно благодарный материал для воспитания логической культуры школьников.
Считаясь с реальным положением дел и сознавая, что требовать у читателя предварительного знакомства с логикой (математической ли, традиционной ли — безразлично) было бы неразумно, автор предпосылает своим задачам краткие теоретические сведения по логике. Указания эти, однако, были сведены к минимуму, поскольку приобрести интеллигентность мышления в результате прочтения даже солидного учебника по логике (не говоря уже об отрывочных и беглых подсказках походу изложения) — не более реально, чем усвоить интеллигентность поведения, проштудировав учебник хорошего тона.
Культура (и поведения, и мышления) приобретается в процессе общения с людьми и в работе. Впрочем, читателю полезно помнить, что смысл всех «логических» терминов весьма близок (хотя и не всегда совпадает буквально) с обыденно-разговорным их значением, что понятия — это близкие аналоги известных каждому из нас по школьной грамматике имен существительных, суждения строятся из понятий по существу так же, как выражающие их предложения строятся из составляющих слов, а умозаключения — это просто цепочки суждений, построенные по простым и понятным правилам (каждое суждение из такой цепочки следует из предыдущих, — если, конечно, умозаключение построено правильно и заслуживает, следовательно, титула доказательства). Единственное — но непременное! — условие успешного усвоения материала книги состоит в том, чтобы ни один «ученый» термин ее не воспринимался как «само собой понятный» до того, как читатель действительно усвоит его содержание. Впрочем, это условие было бы полезно соблюдать при чтении и многих других книг. Что же касается этой, то она безусловно сможет принести пользу как учителям (настоящим и будущим), так и их ученикам-школьникам.
Ю. А. Гастев.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из задач средней школы является развитие логического мышления учащихся. Эта задача наиболее успешно решается на уроках математики. При изучении математики логическая структура рассуждений раскрывается с наибольшей четкостью. Обучение умению оперировать понятиями, правильно строить и анализировать суждения »(предложения, утверждения, высказывания), проводить умозаключения и доказательства всегда должно быть в центре внимания учителя математики.
Систематическая и целенаправленная работа по развитию логического мышления учащихся затрудняется отсутствием специального пособия, содержащего логические вопросы и задачи из области школьной математики.
Настоящий сборник представляет собой первый опыт создания такого пособия. Сборник рассчитан на учителей математики, которые могут использовать упражнения на уроках и в кружковой работе, и на студентов физико-математических факультетов педвузов.
Книга, состоящая из трех разделов («Понятия», «Суждения» и «Доказательства»), содержит 365 задач и вопросов. Большинство упражнений принадлежит автору, часть задач заимствована из различных источников. Более трудные задачи отмечены звездочкой.
Пособие содержит ответы и решения большинства задач, а также совсем краткие теоретические пояснения и рекомендации по использованию литературы. Автор надеется, что книга сможет оказать помощь учителю в. его повседневной работе.
Автор выражает глубокую благодарность Ф. П. Козаченко и Н. А. Ростовцеву за ценные указания и советы. Автор глубоко признателен Н. Н. Шоластеру и А. А. Шершевскому за их обстоятельные рецензии.
Все замечания и предложения автор просит направлять по адресу: Москва, 3-й проезд Марьиной Рощи, 41, издательство «Просвещение», редакция математики.
I. ПОНЯТИЯ
Те «кирпичи», из которых строится здание науки, принято называть понятиями. Каждая наука изучает не только и не столько отдельные, единичные предметы и факты, сколько общие понятия, формирующиеся в результате абстракции от свойств этих единичных предметов и фактов и в фиксировании того общего, что присуще всем им. Так, физика интересуется не столько отельными предметами, сколько общими понятиями - материальной точки и твердого тела, геометрия изучает не конкретные нарисованные на бумаге или на доске треугольники и окружности, а общие понятия треугольника, окружности и т. п. Совокупность свойств, присущих всем треугольникам, составляет, как говорят, содержание понятия треугольника, совокупность свойств всех окружностей — содержание понятия окружности и т: п. Понятие характеризуется также своим «объемом» — так называют множество предметов, подпадающих под определение данного понятия и характеризуемых им.
В одних случаях понятие бывает удобнее задавать его содержанием (например, «Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от какой-либо ее точки»), в других — объемом («Планеты Солнечной системы — это Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон»). Между содержанием и объемом существует тесная связь хотя и не вполне однозначная. Наиболее простой пример — понятия с пустым объемом, т. е. такие, что предметов, характеризуемых данным понятием, вообще не существует. Пустота объема понятия может определяться противоречивостью (несовместимостью) его свойств («остроугольный шар» и т. п.), но может быть следствием и чисто фактических обстоятельств. Например, в понятии «космонавт», как мы хорошо знаем, нет ничего противоречивого, между тем объем этого понятия (увеличивающийся на наших, глазах) еще совсем недавно был пуст.
Один из распространеннейших способов задания, определения понятий — так называемые определения через род (некоторое более общее понятие) и видовое отличие (т. е, признаки, присущие не любым представителям этого более общего понятия, а лишь некоторым, подпадающим под данное определение). Пример: «ромб — это равносторонний параллелограмм». Переход от родового понятия к видодому называют ограничением понятия (кривая второго порядка — эллипс — окружность); обратный переход от вида к роду — обобщением (квадрат — правильный многоугольник — многоугольник). Разбиение родового понятия на непересекающиеся (т. е. не имеющие общих признаков) видовые понятия называют делением данного родового понятия («Треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные») . Про получающиеся в результате деления понятия говорят, что они находятся в отношении сопoдчинения.
Понятия, определяемые внешне различный образом, могут и совпадать («равноугольный треугольники «равносторонний треугольник»); в этом случае их называют тождественными.
Если же их объемы совпадают лишь частично («треугольник» и «правильный многоугольник»), то понятия пересекаются.
Если содержания двух понятий определяются взаимно отрицающими друг друга свойствами (рациональные и иррациональные числа, соизмеримые и несоизмеримые отрезки и т. п.), то такие понятия называют противоречащими. Если же между двумя понятиями можно «вставить» некоторое третье, «нейтральное» (естественно, что здесь мы даем не определение, а лишь пояснение термина), то их называют противоположными (между положительными и отрицательными числами лежит нуль, между острыми и тупыми углами — прямой угол и т. п.).
Все дополнительные термины, относящиеся к понятиям, поясняются по ходу формулировок задач.
Более подробные сведения о понятиях читатель может найти в книге Д. П. Горского «Логика» (М., Учпедгиз, 1958.); см. также: В. В. Никитин и К. А. Рупасов. Определения математических понятий в курсе средней школы. М., Учпедгиз, 1963.
1. Приведите примеры геометрических понятий, которые выражаются одним, двумя, тремя, четырьмя словами.
4. Перечислите известные вам свойства прямой. Укажите но менее пяти свойств.
5. Найдите геометрические свойства, общие для прямой и окружности.
6. Что описывается в следующем предложении: свойство прямой или свойство плоскости?
«Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит этой же плоскости».
А в этом предложении?
«Всякая прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две выпуклые области».
7. Укажите свойства, присущие всём треугольникам (основные, или необходимые, свойства); только некоторым треугольникам (отделимые свойства); свойства, не принадлежащие ни одному треугольнику (противоречивые свойства).
8Г Приведите примеры теорем, в которых говорится о противоречивых признаках понятий.
9. Перечислите свойства квадрата (приведите не менее 15 свойств).
10. Перечислите свойства правильной усеченной пирамиды (укажите не менее 10 свойств).
11. Укажите свойства, присущие всем прямоугольникам; свойства, присущие лишь некоторым из них.
12. У параллелепипеда все грани — параллелограммы. Является ли это свойство свойством одних лишь параллелепипедов?
13. Найдите общие свойства трапеции и ромба; треугольника и параллелограмма; прямоугольника и круга.
14. Назовите свойства, которые являются общими для всех выпуклых многоугольников.
17. В чем сходство прямой и наклонно» призм; в чем их различие?
18. Перечислите основные свойства прямоугольника и ромба. Сравните эти свойства с основными свойствами квадрата.
19. Укажите свойства, общие для прямоугольника и ромба. Сравните эти свойства со свойствами параллелограмма.
20. Назовите свойства, которые могут принадлежать параллелограмму только одновременна.
21. Назовите свойства, которые параллелограмму могут принадлежать как одновременно, так и отдельно друг от друга.
22. Назовите свойства, которые параллелограмму могут принадлежать только отдельно друг от друга.
23. Назовите такие свойства, которые параллелограмму могут принадлежать одновременно, причем одно из них (но не другое) может и отдельно принадлежать параллелограмму.
24. Перечислите известные вам свойства правильного (выпуклого) пятиугольника.
25. Докажите, что свойства пятиугольника иметь равные углы и равные стороны являются независимыми.
26. Перечислите известные вам свойства ромба. Из перечисленных свойств укажите пары независимых свойств; пары несовместимых свойств.
27. Для всех ли многоугольников равенство сторон и равенство углов являются независимыми свойствами?
28. Приведите пример свойств, которые для одной фигуры были бы зависимыми, а для другой — независимыми.
29. Рассмотрите.свойства четырехугольника; равенство всех сторон, равенство всех углов, равенство диагоналей; установите, в какой зависимости они находятся. Другими словам», установите, следует ш каждое из указанных свойств из остальных (вместе взятых и в отдельности). Эту же задачу решите для пятиугольника.
30. Найдите зависимость между следующими рвойст-вами трапеции: равенство боковых сторон, перпендикулярность диагоналей, равенство высоты и средней линии.
31. Приведите примеры свойств, которые для одной фигуры были бы зависимыми, а для другой — несовместимыми.
32. Укажите свойства, которые для четырехугольника были бы весовмеетимыми, а для пятиугольника — независимыми.
33. Какую связь между свойствами четырехугольника устанавливает теорема: «В параллелограмме противоположные стороны попарно равны»?
34. Какую связь между свойствами параллелограмма устанавливает теорема: «В прямоугольнике диагонали равны»?
35. Приведите примеры тождественных понятий.
36. Приведите примеры пересекающихся понятий.
37. Приведите примеры противоречащих понятий.
38. Какие понятия являются противоположными (противоречащими) по отношению к понятиям: «больше», «положительный», «острый»?
39. Приведите пример понятий, имя одного из которых получается прибавлением приставки «не» к имени другого, но не являющихся тем не менее противоречащими.
40. Изобразите с помощью круговых схем («кругов Эйлера») отношение по объему между понятиями: 1) прямые, лежащие в одной плоскости; 2) параллельные прямые; 3) скрещивающиеся прямые. (Пересекающиеся понятия обозначаются пересекающимися кругами, несовместимые — непересекающимися, тождественные — совпадающими; отношение подчинения понятий обозначается включением соответствующих им кругов и т. п.)
41. Найдите геометрические понятия, отношения между которыми соответствовали бы указанным на рисунке 2 схемам.
42. Приведите примеры противоречивых понятий.
43. Покажите несовместимость следующих условий: многогранник, все многогранные углы трехгранные, число вершин нечетное.
44. Приведите примеры несравнимых понятий.
45. Употребляя слова «все», «некоторые», «каждый», укажите отношение по объему между следующими понятиями: 1) прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник; 2) равносторонний треугольник, равноугольный треугольник; 3) прямоугольник, квадрат.
46. В чем различие следующих предложений:
1) на спектакле присутствовали все учащиеся нашего класса;
2) на спектакле присутствовали учащиеся нашего класса;
3) на спектакле присутствовали только учащиеся нашего класса;
4) на снектакле присутствовали только некоторые учащиеся нашего класса;
5) каждый учащийся нашего класса присутствовал на спектакле?
47. Приведите примеры истинных суждений, содержащих слова: «все», «некоторые», «каждый», «не все», «любой»,; существует», «не существует», «только некоторые», «всякий».
(…)
II. СУЖДЕНИЯ
Суждения (высказывания, утверждения) — это предложения, относительно которых имеет смысл говорить, что они являются истиннными или ложными. От традиционной (аристотелевской) логики идет классификация суждений на утвердительные и отрицательные, частные и общие, категорические и условные.
Утвердительное суждение имеет вид: «Все (или некоторые) А суть В»; отрицательное: «Ни одно А не есть В» или «Некоторые А не суть В». Суждения, утверждения которых относятся к некоторым предметам определенного вида, называют частными, относящиеся ко всем предметам данного вида — общими. (Примеров мы здесь не приводим, смысл определений достаточно ясно раскрывается в приводимых ниже задачах.)
Суждения описанного выше вида — это категорические («безусловные») суждения; любое из них можно преобразовать в эквивалентное (имеющее тот же смысл и значение истинности) условное суждение вида «Если А, то В» (например, вместо «Вертикальные углы равны» — «Если углы — вертикальные, то они равны» и т. п.). Суждение, выраженное предложением, содержащим несколько подлежащих или сказуемых, соединенных союзом «или», часто называют разделительным (более подробно говорят об условно-разделительном и разделительно-категорическом суждениях): «Четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны, есть параллелограмм или трапеция» и т. п.
При образовании отрицаний суждений (т. е. суждений, значение которых противоположно данному) полезно помнить, что частноутвердительное суждение «Некоторые А суть В» и общеотрицательное суждение «Ни одно А не есть В» являются отрицаниями друг друга, так же как и общеутвердительное суждение «Все А суть В» и частноотрицательное суждение «Некоторые А не суть В».
Если верно условное суждение «Если А, то В» то суждение В называют следствием суждения А.
В перечисленных терминах легко формулируются такие привычные из школьного курса математики понятия, как прямая, обратная и противоположная теоремы (прямая: «Если А, то В», обратная: «Если В то Л», противоположная: «Если не-А, то не-В), необходимые и достаточные признаки (условия). Как обычно, теоремами называются доказуемые (или даже доказанные) суждения, аксиомами — те суждения, истинность которых в данной теореме принимается без доказательства.
Вполне элементарное изложение освещаемых в данном разделе вопросов читатель сможет найти в книге И. С. Градштейна «Прямая и обратная теоремы» (М., Физматгиз, 1959); полезным также может оказаться знакомство со II главой книги Н. М. Бескина «Методика геометрии» (М., Учпедгиз, 1947).
(…)
128. В следующих теоремах укажите условие и заключение:
1) Вертикальные углы равны между собой.
2) Во всяком треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
3) Отрезок прямой, соединяющей две какие-нибудь точки,, короче всякой ломаной, соединяющей эти же точки.
4) Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых есть также перпендикуляр к другой.
5) Сумма углов треугольника равна двум прямым.
6) Всякое сечение шара плоскостью есть круг.
7) Окружности двух больших кругов шара при пересечении делятся пополам.
129. Выделите условие и заключение в каждой из следующих аксиом.
1)- Существует одна и только одна прямая, проходящая через две различные точки.
2) Существует одна и только одна плоскость, проходящая через три данные точки, не лежащие на одной прямой.
3) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то эта прямая целиком принадлежит данной плоскости.
4) Если две плоскости имеют общую точку, то у них имеется по крайней мере еще одна общая точка.
130. Выразите в форме условных суждений следующие теоремы:
1) Сумма двух смежных углов равна 180°.
2) Параллелограмм имеет центр симметрии.
3) Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
131. Выразите следующие теоремы в форме. категорических суждений:
1) Если прямоугольники подобны, то. их периметры относятся как сходственные стороны.
2) Если многоугольник правильный, то около него можно описать окружность.
3) Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны.
132. А есть следствие В. Запишите это в виде условного предложения.
140. Верна ли теорема: «Если произведение двух целых чисел делится на 6, то хотя бы один из множителей делится на 6»? Решите вопрос о справедливости обратной теоремы.
141. Для того чтобы две прямые пересекались, достаточно, чтобы они лежали в одной плоскости. Сформулируйте обратное утверждение. Рассмотрите вопрос об истинности обоих утверждений.
142. Приведите примеры взаимно обратных предложений не из области математики.
143. Докажите, что если тетраэдр имеет два правильных (т. е. имеющих равные плоские углы) трехгранных угла, то он имеет плоскость симметрий. Справедливо ли обратное утверждение?
144. Верно ли утверждение: «Если прямая проходит через середину боковой стороны треугольника и отрезок ее, заключенный между боковыми сторонами, равен половине основания треугольника, то этот отрезок есть средняя линия треугольника»?
145. Если любая прямая, имеющая с многоугольником общую точку, делит его не более чем на две части, многоугольник выпуклый; наоборот, если многоугольник выпуклый, то любая прямая, имеющая с ним общую точку, может делить его не более чем на две части. Докажите оба утверждения.
146. Симметричные фигуры равны. Справедливо ли обратное предложение: «Всякие две расположенные в плоскости равные фигуры симметричны относительно некоторой оси»? Для каких фигур справедливо обратное предложение?
147. В выпуклом многоугольнике, у которого противоположные стороны попарно параллельны, противоположные углы попарно равны. Имеет ли место обратная зависимость?
148. Для того чтобы прямые были параллельны, достаточно, чтобы они ие имели общей точки. Сформули руйте обратное утверждение. Рассмотрите вопрос об истинности обоих утверждений.
157. Сформулируйте признаки неравенства треугольников.
158. Сформулируйте предложения, которые опровергли бы следующие утверждения: 1) весь наш класс присутствовал на вечере самодеятельности; 2) ни один из множителей произведения Л-В-С не равен 0; 8) некоторым школьникам по 10 лет; 4) если А, то В.
159. Сформулируйте отрицания следующих суждений: I) .все числа А, В, С — рациональные; 2) некоторые из чисел А, В, С рациональные; 3) ни одно из чисел А, В, С не является рациональным; 4) некоторые из чисел А, В, С не являются рациональными; 5) по крайней мере одно из чисел А, В, С является рациональным.
160. Среди следующих предложений найдитепредложения, отрицающие друг друга: 1) все ученики нашего класса решили задачу; 2) некоторые ученики нашего класса решили задачу; 3) все ученики нашего класса не решили задачу; 4) некоторые ученики нашего класса не решили задачу.
161. Сформулируйте отрицания следующих суждений: 1) все положительные числа, и только они, удовлетворяют данному условию; 2) все положительные числа, но не только они удовлетворяют данному условию.
186. Сформулируйте необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.
187. Сформулируйте достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.
188. Назовите признак параллелограмма, который не являлся бы ни достаточным, ни необходимым.
189. Сформулируйте необходимые и достаточные признаки непараллельности прямых.
190. Укажите необходимое и достаточное условие несоизмеримости двух отрезков.
191. При каком необходимом и достаточном условии двузначное число разделится на сумму своих цифр?
192. Покажите, что известные признаки подобия треугольников являются необходимыми и достаточными.
193. Покажите, что известные признаки параллельности двух прямых являются необходимыми и достаточными.
194. Сформулируйте необходимый и достаточный признак подобия ромбов.
195. Найдите необходимые и достаточные условия возможности описания сферы около пирамиды и призмы.
196. Найдите достаточное условие того, чтобы около четырехугольника нельзя было описать окружность.
203. Проверьте, справедливы ли следующие утверждения:
1) для того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы оно оканчивалось 0;
2) для того чтобы четырехугольник был ромбом, достаточно, чтобы диагонали четырехугольника- были взаимно перпендикулярны;
3) все треугольники подобны между собой;
4) некоторые равнобедренные треугольники суть прямоугольные;
5) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно чтобы он имел центр симметрии;
6) все равносторонние треугольники суть равнобедренные;
7) некоторые прямоугольные треугольники суть равнобедренные;
8) произведение двух чисел равцо нулю, когда по крайней мере один из множителей равен нулю.
204. Выразите следующие теоремы с помощью термина «достаточно»:
1) если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны;
2) если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность;
3) если треугольник равнобедренный, то он имеет ось -симметрии.
205. Выразите следующие теоремы с помощью термина «необходимо»:
1) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
2) в прямоугольнике диагонали равны;
3) в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
206. Укажите ошибки в следующих утверждениях:
1) треугольники равновелики, только если они равны;
2) для того чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей в плоскости;
3) для того чтобы две прямые были параллельны, достаточно, чтобы они не имели общей точки.
207. Ниже приведены некоторые свойства правильного пятиугольника и несколько задач на нахождение достаточных признаков правильного пятиугольника.
Свойства:
1) все стороны равны; 2) все углы равны; 3) все диагонали равны; 4) все отрезки, соединяющие вершины и середины противоположных сторон, перпендикулярны к сторонам; 5) все отрезки, соединяющие вершины и середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке; 6) каждая диагональ параллельна стороне, не имеющей с ней общих точек; 7) имеется ось симметрии; 8) если последовательно соединить середины сторон, получим правильный пятиугольник; 9) около многоугольника можно описать окружность 9) в многоугольник можно вписать окружность.
Задачи:
1) Является ли каждое из названных свойств достаточным для того, чтобы пятиугольник был правильным?
2) В пятиугольнике, около которого можно описать окружность, все стороны (углы) равны. Будет ли пятиугольник правильным? 3) В пятиугольнике, в который можно вписать окружность, все стороны (углы) равны. Будет ли пятиугольник правильный? 4) В пятиугольнике, около которого можно описать окружность, все диагонали равны. Будет ли пятиугольник правильным?
5) В пятиугольнике, около которого можно описать окружность, отрезки, соединяющие вершины и середины противоположных сторон, перпендикулярны к сторонам. Будет ли пятиугольник правильным? 6) В пятиугольнике, около которого можно описать окружность, диагонали параллельны сторонам. Будет ли пятиугольник правильным? 7) Пятиугольник, около которого можно описать окружность, имеет ось симметрии. Будет ли пятиугольник правильным?
208. Составьте по примеру предыдущей задачи аналогичный список свойств и задачи для правильного шестиугольника.
209. Определите, для каких видов многоугольников может иметь место свойство: равенство всех диагоналей многоугольника.
210. Постройте пятиугольник, отличный от правильного, такой, чтобы все отрезки, соединяющие его вершины и середины противоположных сторон, проходили через одну точку, чтобы три из этих отрезков были перпендикулярны к соответствующим сторонам и чтобы, наконец, пятиугольник имел ось симметрии.
211. Как, не измеряя углов (измеряя лишь расстояния), определить, является ли данный четырехугольник квадратом? Сформулируйте соответствующий признак квадрата.
III. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Подобно тому как из понятий составляются суждения, из суждений строятся умозаключения, представляющие собой цепочки суждений, каждое следующее из которых должно быть следствием из предыдущего (или предыдущих). Если умозаключение построено «правильно» (точный смысл этого слова мы здесь определять не будем; считая, что какие-то интуитивные представления у читателя с ним так или иначе свягываются; более подробный и точный анализ можно найти в любом руководстве по математической логике), то его называют доказательством (или выводом) последнего своего суждения («заключения»; начальные суждения в данном умозаключении, из которых выводятся последующие, называют его «посылками»).
Не имея возможности и надобности вдаваться здесь в подробное изложение правил доказательства, принятых в обычных математических рассуждениях, мы будем исходить просто из общепринятых, «школьных» представлений о них; не лишним лишь, пожалуй, будет напомнить читателю, что условное суждение (и умозаключение) считается истинным (про умозаключения говорят «верным», или «правильным») не только в случае истинности (верности) посылок и заключения, Но й всегда, когда посылки ложны (независимо от истинности заключения), а также если заключение истинно (опять-таки вне зависимости от истинности посылок). От примеров мы и здесь сознательно воздержимся — их достаточно в нижеследующих задачах.
Содержание данного раздела в еще большей степени, чем предыдущих основано на обычном школьном курсе математики (особенно геометрии); изложения близких вопросов читатель сможет найти в следующих книгах: Ф Ф. Притуло, Методика изложения геометрических доказательств, М., Учпедгиз, 1958; Д. Пойа, Как решать задачу, М., Учпедгиз, 1959, И. Я. Депман. Рассказы о решении задач, Л., Учпедгиз, 1957; Л. И. Головина, И. С. Соминекий и И. М. Яглом, Математическая индукция, М., «Наука», 1665; Я. С. Дубнов, Ошибки в геометрических доказательствах, М., Физматгиз, 1961 (впоследствии перепечатано в сборнике избранных научно-популярных статей Я. С. Дубнова, вышедшем в 1964 г. в издательстве «Просвещение»).
212. Что получится, если мы будем пытаться доказывать от противного неверное утверждение?
213. Что называется опровержением данного утверждения?
214. Укажите примеры предложений, которые до настоящего времени не удалось ни доказать, ни опровергнуть.
215. Иногда бывает легче доказать более общую теорему, чем менее общую. Укажите хоть один такой пример.
216. Доказать существование какого-нибудь объекта бывает легче, чем построить (указать) его. Приведите пример.
217. Можно ли провести четкую грань между задачами на доказательство, задачами на вычисление и задачами на построение?
218. Может ли задача на доказательство решаться вычислением или построением?
219. Если в правильной четырехугольной призме боковое ребро равно половине диагонали основания, то полная поверхность такой призмы равновелика правильному восьмиугольнику, построенному на стороне ее основания. Докажите это: 1) вычислением; 2) построением.
220. Из истинной посылки А получено ложное следствие. Какова могла быть причина?
221. Покажите иа примере, что из ложного положения можно вывести как верные, так и неверные следствия.
222. Покажите на примере, что одно и то же заключение А может являться следствием как истинного, так и ложного положений.
223. Как доказать утверждение: «Не всякий треугольник является остроугольным»?
224. Как опровергнуть утверждение: «Если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 5»?
225. Известно, что предложение «Все четырехугольники обладают свойством Л» ложно. Что можно сказать о предложении «Некоторые четырехугольники обладают свойством Л»?
226. Предложение «Некоторые четырехугольники обладают свойством А» ложно. Что вы скажите о предложении «Все четырехугольники обладают свойством Л»?
227. Приведите примеры доказательства от противного.
228. Дайте прямое и косвенное доказательства третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам).
229. Почему нельзя обосновать геометрические утверждения общего характера с помощью инструментальных измерений?
230. Какое значение при доказательстве теорем имеет чертеж?
231. Покажите, что всякому доказательству при желании можно придать форму доказательства от противного.
247. Можно. ли доказать справедливость тождества методом подстановки числовых значений букв, входящих в тождество?
248. Покажите, что каков бы ни был данный выпуклый четырехугольник, всегда можно построить другой выпуклый четырехугольник, отношение сторон которого равнр отношению углов данного четырехугольника.
249. Докажите теорему: «Для того чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо диагональ параллелограмма была биссектрисой одного из внутренних углов, параллелограмма».
250. Покажите, что для нахождения площади кольца, образованного двумя концетрическими окружностями, достаточно знать один линейный элемент кольца. Какой это элемент?
251. Пользуясь методом математической индукции, докажите, что п различных прямых, лежащих в плоскости, разбивают плоскость на области, которые могут быть закрашены двумя красками (например, красной и зеленой) так, что все смежные области (то есть области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными цветами.
269. Назовите теоремы, относящиеся к треугольнику и окружности, доказательство которых не опирается на аксиому параллельности.
270. В каком месте доказательства существования подобных треугольников используется аксиома параллельности?
272. Укажите примеры предложений стереометрии, истинность которых не зависит от аксиомы параллельности.
273. Назрейте несколько теорем, в доказательстве которых используются аксиомы упражнения 129.
274. Какие из следующих предложений не зависят от аксиомы параллельности?
1) Сумма двух углов треугольника всегда меньше 180°.
2) Две прямые, пересеченные третьей, не могут пересекаться по ту сторону секущей, где сумма внутренних односторонних углов больше или равна 180°.
284. Равносильны ли предложения:
1) через три точки, не лежащие на одной прямой,
всегда-можно провести окружность, и притом только одну; 2) через три точки, лежащие на одной прямой, нельзя провести окружность; 3) любые три точки окружности не лежат на одной прямой.
303. Докажите следующие теоремы и решите связанные с ними задачи:
I. 1) Докажите: если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника, то такие треугольники равны;
2) постройте треугольник по трем его высотам;.
3) определите площадь треугольника по трем его высотам.
II. 1) Докажите: если три медианы одного треугольника соответственно равны, трем медианам другого треугольника, то такие треугольники равны;
2) постройте треугольник по трем его медианам;
3) определите площадь треугольника по трем его медианам.
III. 1) Докажите: если четыре стороны одной трапеции соответственно равны четырем сторонам другой трапеции, то такие трапеции равны;
2) постройте трапецию по четырем сторонам;
3) определите площадь трапеции по четырем ее сторонам.
IV. 1) Докажите: если сторона, прилежащий угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему углу и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны;.
2) постройте треугольник по стороне, прилежащему углу и сумме двух других сторон;
3) определите площадь треугольника по стороне, прилежащему углу и сумме двух других сторон..
V. 1) Докажите: если два угла и периметр одного треугольника соответственно равны двум углам и периметру другого треугольника, то такие треугольники равны;
2) постройте треугольник по двум углам и периметру;
3) определите площадь треугольника по двум углам и периметру.
VI. 1) Докажите: если радиус вписанного круга и высота, опущенная на гипотенузу одного прямоугольного треугольника, соответственно равны радиусу вписанного круга,и высоте, опущенной на гипотенузу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны;
2) постройте прямоугольный треугольник по радиусу вписанного круга и высоте, опущенной на гипотенузу;
3) определите площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанного круга и высоте, опущенной на гипотенузу.
Составьте аналогичные задачи.
|
