На главную Тексты книг БК Аудиокниги БК Полит-инфо Советские учебники За страницами учебника Фото-Питер Настрои Сытина Радиоспектакли Детская библиотека





Математика после уроков (для учителей). Балк М. Б., Балк Г. Д. — 1971 г.

Марк Беревич Балк
Галина Давидовна Балк

Математика после уроков

*** 1971 ***


DjVu



HAШA PEKЛAMA
Заказать почтой 500 советских радиоспектаклей на 9-ти DVD.



  BAШA БЛAГOTBOPИTEЛЬHOCTЬ
  ПOOЩPИTЬ KOПEEЧKOЙ


Учителям математики, обучавшимся в Смоленском педагогическом институте в 1948—1970 годах, посвящаем эту книгу.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3
Введение 5

Часть I
ОРГАНИЗАЦИЯ И СОДЕРЖАНИЕ ВНЕУРОЧНЫХ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКИ С УЧАЩИМИСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Глава I. Организация кружковых занятий 9
§ 1. Первое занятие кружка —
§ 2. Что такое «тематическое занятие» 11
§ 3. Десятимннутки 15
§ 4. Другие формы работы кружка 19
§ 5. Планирование рабопы кружка 21
§ 6. Выступления членов кружка 23
§ 7. Отдельные замечания относительно техники подготовки и проведения кружковых занятий 26
§ 8. Закрепление материала. Заключительное занятие кружка 30

Глава II. Тематика кружковых занятий 31
§ 1. Арифметика на кружковых занятиях 32
§ 2. Геометрия на кружковых занятиях V—VI классов 35
§ 3. Вопросы вычислительной техники в кружках V—VI классов 37
§ 4. Множества, алгоритмы, высказывания 40
§ 5. На стыке арифметики и алгебры 45
§ 6. Функции и уравнения в восьмилетней школе 46
§ 7. Геометрия на кружковых занятиях VII—VIII классов 19
§ 8. Вопросы логики и эвристики в математическом кружке VIII—IX классов 53
§ 9. Понятие площади и его применения 55
§ 10. Функции и уравнения в кружках старших классов 57
§ 11. Неравенства и их применения 58
§ 12. Последовательности (IX класс) 59
§ 13. Комбинаторика и теория вероятностей в старших классах 62
§ 14. Геометрические вопросы в кружках IX—X классов 63
§ 15. Тригонометрия и комплексные числа 69
§ 16. Применения математики. Исторические сведения о математике и математиках

Глава III. Математические экскурсии. Моделирование 80
§ 1. Экскурсия «Математика на железной дороге» (VIII—IX классы) —
§ 2. Тематика магемагических экскурсии 89
§ 3. Моделирование 90

Глава IV. Внеклассное чтение. Математические сочинения 05
§ 1. Задания для желающих —
§ 2. Внеклассное чтение по математике 96
§ 3. Математические сочинения 90

Глава V. Школьная математическая печать 101
§ 1. Математическая стенгазета —
§ 2. Журнал математического кружка. Другие формы школьной математической печати 105

Глава VI. Математические вечера 103
§ 1. Подготовка вечера —
§ 2. Содержание вечера 111
§ 3. Примеры программ математических вечеров

Глава VII. Математические состязания 121
§ 1, Математические олимпиады —
§ 2. Математические турниры и конкурсы 124
§ 3. Математические викторины 120

Часть II
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ И ЗАДАЧИ

Глава I. Занимательные задачи для семиклассников 135
§ 1. Двадцать арифметических и логических задач
§ 2 Задачи, решаемые «с конца» 139
§ 3. Занимательные задачи на процент 140
§ 4. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель 142
§ 5. Переливания, дележи, переправы при затруднительних обстоятельствах 143
§ 6. Задачи на разрезание и перекраивание фигур 144
§ 7. Геометрические упражнения с листом бумаги 145
§ 8. Арифметические ребусы 140
§ 9. Приближенный подсчет и прикидка 147
§ 10. Геометрия и оптические иллюзии
§ 11. Несколько математических софизмов 151

Глава II. Множества, алгоритмы, высказывания 154
§ 1. Множества —
§ 2. Алгоритмы 162
§ 3. Теоремы: прямая, ей обратная и противоположная 167
§ 4. Доказательство способом от противного 173
§ 5. Достаточные и необходимые условия П75
§ 6. Алгоритмы ускоренных вычислений 180
§ 7. Несколько задач для геометра-следопыта 182
§ 8. Геометрические построения с различными чертежными инструментами 83
§ 9. Построения при наличии недоступных точек ’ 185
§ 10. Разыскание точечных множеств па плоскости 187

Глава III. На стыке арифметики и алгебры 169
§ 1. Недесятичные системы счисления —
§ 2. Некоторые свойства натуральных и рациональных чисел 196
§ 3 Абсолютная величина и арифметический корень 199

Глава IV. Функции й уравнения 200
§ I. Чтение графиков —
§ 2. Неопределенные уравнения 205
§ 3. Наибольшее и наименьшее значение квадратн а трехчлена 209
§ 4. Метод неопределенных коэффициентов 210
§ 5. Непрерывное изменение 211

Глава V. Изучая планиметрию 215
§ 1. От Евклида до Лобачевского —
§ 2. Осевая и центральная симметрия в планиметрии 219
§ 3. Решение геометрических задач с помощью понятия о центре тяжести 222
§ 4. Теорема Пифагора 225
§ 5. Теорема Стюарта 227
§ 6. Теорема Птолемея и ее приложения 228
§ 7. Механическая теорема Лагранжа и ее применение в геометрий 229
§ 8. Геометрические задачи на местности 232
§ 9. Десять планиметрических задач 234

Глава VI. Понятие площади и его применение 236
§ 1. Равновеликие и равносоставленные многоугольники
§ 2. Двоякое выражение площади (или объема) как способ решения геометрических задач 238
§ 3. Теорема Чевы 240
§ 4. Число Пи 241

Глава VII. Математика, логика, эвристика 245
§ 1. Исчисление высказываний и булевы алгебры
§ 2. Предикаты и кванторы 260
§ 3. Определения в математике 264
§ 4. Аналогия и индукция в математике 270
§ 5. Математическая индукция 282

Глава VIII. Комбинаторика и теория вероятностей 286
§ 1. Занимательные комбинаторные задачи —
§ 2. Биномиальная формула Ньютона 287
§ 3. Понятие о теории вероятностей 289
§ 4. Как измеряется информация 297

Глава IX. Неравенства и их применение 305
§ 1. Что больше —
§ 2. Что такое линейное программирование 306
§ 3. Доказательство некоторых неравенств 312
§ 4. Решение несовместных систем 315

Глава X. Последовательности 321
§ 1. Прогрессии —
§ 2. Суммирование 322
§ 3. Понятие о бесконечных рядах 325
§ 4. Зачем были изобретены логарифмы 329
§ 5. Периодические десятичные дроби 334
§ 6. Цепные дроби 336
§ 7. Несколько трансцендентных уравнений 348
§ 8. Решение уравнений методом неподвижной точки 349

Глава XI. Геометрия для десятиклассников 361
§ 1. Десять стереометрических задач —
§ 2. Разыскание точечных множеств в пространстве 362
§ 3. Решение планиметрических задач на доказательство с помощью тригонометрии
§ 4. Геодезические линии
§ 5. Неевклидовы геометрии

Глава ХII. Тритонометрия и комплексные числа 372
§ 1. Преобразование тригонометрических выражений —
§ 2. Аркфункция
§ 3. Прошлое и настоящее комплексных чисел 374
§ 4. Арифметика и алгебра комплексных чисел 379
§ 5. Геометрия комплексных чисел 380

Ответы 384
Указания 397
Решения 419
Литература 451


      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Эта книга адресована» в первую очередь, начинающему учителю математики.
      Нам неоднократно приходилось наблюдать, с какими большими трудностями сталкивается вчерашний студент педагогического института , когда он пытается наладить внеклассную работу по математике. В настоящей книге делается попытка помочь ему в этом.
      Книга отражает опыт советских школ, частично освещенный в печати. Авторы опирались и на свой личный опыт.
      Материалами книги многократно пользовались в работе факультативного семинара, посвященного внеклассным занятиям по математике, который уже много лет проводится в Смоленском педагогическом институте.
      Книга состоит из двух частей.
      Главы I и III—VII первой части книги посвящены вопросам организации математического кружка, внеклассного чтения, математических экскурсий, вечеров, олимпиад, стенгазет и др. Методические соображения иллюстрируются примерами.
      Глава II содержит обзор различных тем, которые могут быть использованы для кружковых занятий в V—X классах. Авторы отдавали предпочтение темам, проверенным ими в математических кружках. По многим темам приводятся примерные планы, отдельные методические замечания и указывается литература. Список книг и статей, на которые делаются библиографические ссылки, помещен в конце книги.
      Вторая часть книги содержит материалы, которые учитель может использовать для подготовки занятий математического кружка или рекомендовать школьникам для самостоятельной работы.
      Надеемся, что учителя математики обратятся к части II данной книги также при подборе материалов для факультативных и обязательных занятий со школьниками.
      Каждая из 12 глав части II разбита на отдельные параграфы (темы), которые представляют собой либо очерки, либо наборы задач. Чтобы выделить из текста задачи, рядом с ними поставлена вертикальная черта.
      Различныелараграфы между собой формально почти не связаны. Наиболее полезные темы отмечены восклицательными знаками, а наиболее трудные — звездочками (одной или двумя). Такие же пометки имеются и у задач.
      Большинство задач снабжено ответами, указаниями или решениями.
      При написании данной книги мы частично воспользовались материалами книги М. Б. Балка «Организация и содержание внеклассных занятий по математике» и диссертацией Г. Д. Балк «Актуальные вопросы внеурочных занятий по математике в современной средней школе».
      Г. Д. Балк написала: в части I данной книги—§ 1 главы III и главу II (с привлечением отдельных материалов из упомянутой выше книги М. Б. Балка);
      в части II — § 9 главы I; § 1, 2, 5 главы II; § 5 главы IV; § 1 и 7 главы V; §4 главы VI; главу VII (кроме§5); §2 и 4 главы IX; §3,4, 6,8 главы X, § 5 главы XI; гл. XII (кроме §1,2).
      Авторами были написаны совместно во второй части книги: §3 и 4 гл. И; § 1 гл. Ill; § 1 гл. IV; § 5 гл. VII; гл. VIII, § 3 гл. IX.
      Остальную часть книги подготовил М. Б. Балк.
      При подготовке окончательного варианта рукописи нам помогли полезные замечания и советы Б. И. Аргунова, В. Г. Болтянского, И. Б. Вейцмана, Г. И. Дринфельда, А. А. Колосова, Б. А. Кордемского, P. X. Кристалинского, А. М. Лопшица, М. 3. Маллера, В. Л. Минковского, В. А. Петрова, А. А. Полухина. Выражаем этим товарищам свою глубокую признательность. Будем благодарны читателям, которые пришлют нам свои критические замечания.
      М. Балк, Г. Балк
     
      ВВЕДЕНИЕ
      В этой книге, говоря о внеурочных занятиях по математике, мы будем иметь в виду необязательные, добровольные занятия учащихся во внеурочное время.
      Несмотря на свою необязательность для школьника, внеурочные занятия по математике заслуживают самого пристального внимания каждого учителя, преподающего этот предмет.
      Введение в школьное преподавание факультативных курсов по математике не снимает необходимости проведения внеурочных занятий, в частности кружковых занятий по данному предмету.
      В математическом кружке учитель может выбрать ту тематику и такую программу занятий, которые больше всего соответствуют его личным вкусам, знаниям и увлечениям. Учитель может на внеурочных занятиях в максимальной мере учесть возможности, запросы и интересы своих питомцев.
      Внеклассная работа по математике. дополняет обязательную учебную работу по предмету и должна прежде всего способствовать более глубокому усвоению учащимися материала, предусмотренного программой.
      Одна из основных причин сравнительно плохой успеваемости По математике — слабый интерес многих учащихся (а иногда и отсутствие всякого интереса) к этому предмету. Немало школьников считали и считают математику скучной, сухой наукой. Интерео учащихся к предмету зависит прежде всего от качества постановки учебной работы на уроке. В то же время с помощью продуманной Системы внеурочных занятий можно значительно повысить интерес
      * кольни ков к математике.
      Наряду с учащимися, безразличными к математике, имеются и другие, увлекающиеся этим предметом. Им мало тех знаний, которые они получают на уроке математики. Они хотели бы больше узнать о своем любимом предмете, узнать, как он применяется в жизни, порешать интересные и более трудные задачи. Разнообразные формы внеурочных занятий представляют большие возможности в этом направлении.
      Внеурочные занятия с успехом могут быть использованы для углубления знаний учащихся в области программного материала, развития их логического мышления, пространственного воображения, исследовательских навыков, смекалки, развития правильной математической речи, привития вкуса к чтению математической ли-тературы, для сообщения учащимся полезных сведений из истории математики.
      Внеклассная работа создает большие возможности для решения воспитательных задач, стоящих перед нашей школой (в частности, воспитание у учащихся настойчивости, инициативы, воли, смекалки). Работа в кружке, ^подготовка математического вечера и другие виды совместных работ способствуют воспитанию у школьников чувства коллективизма^
      Внеурочные занятия с учащимися приносят большую пользу и самому учителю. Чтобы успешно проводить внеклассную работу, учителю приходится постоянно расширять свои познания по математике, следить за новостями математической науки. Это благотворно сказывается и на качестве его уроков.
      Ясно, как важно для успешной работы преподавателя доверие, дружелюбное отношение учащихся к учителю, известный контакт между ними. Чем скорее учитель сблизится с учащимися, тем легче ему удастся наладить дисциплину, тем успешнее пойдет учебная и воспитательная работа. Хорошо налаженная внеклассная работа обычно содействует такому сближению.
     
      Часть I
      ОРГАНИЗАЦИЯ И СОДЕРЖАНИЕ ВНЕУРОЧНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ С УЧАЩИМИСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
      Глава I
      ОРГАНИЗАЦИЯ КРУЖКОВЫХ ЗАНЯТИЙ
      g 1. ПЕРВОЕ ЗАНЯТИЕ НРУЖНА
      В каждом классе имеется несколько учащихся, которые интересуются математикой. Собрать их на первое занятие кружка нетрудно. Обычно для этой цели достаточно, чтобы учитель рассказал учащимся о том, чем они будут заниматься в кружке, какую пользу им принесут эти занятия, что они узнают в кружке нового и интересного.
      Тщательно, во всех Деталях, продумайте эту краткую беседу — от нее зависит рождение вашего кружка.
      Разумеется, организовать кружок тем легче, чем больше учащиеся интересуются математикой. Такой интерес создается на уроках математики и определяется прежде всего качеством этих уроков.
      Не следует упускать из виду, что интерес учащихся к математике можно повысить, предлагая им время от времени на дом в небольших дозах занимательные задачи, софизмы, математические фокусы, включая в свои уроки исторические справки и экскурсы, связанные с изучаемым материалом.
      Итак, пусть вы уже все это проделали, вы даже не забыли повесить на видном месте яркое объявление о том, что завтра или послезавтра — первое занятие кружка... И повестка дня напрашивается почти сама собой: во-первых, организационные вопросы (ведь надо же выбрать старосту кружка, бюро кружка, редколлегию газеты кружка и т. д.; надо же принять устав кружка, договориться об обязанностях и правах членов кружка, утвердить план работы кружка и распределить доклады — много набежит организационных вопросов), во-вторых (после оргвопросов), решение занимательных задач.
      Не торопитесь воспользоваться этой «само собой напрашивающейся» повесткой дня.
      Опыт показывает, что начинающему руководителю кружка лучше не концентрировать вопросы организационного характера на первом заседании, а распределить их между несколькими
      доеданиями и решать эти вопросы по мере их возникновения. В самом деле, состав кружка обычно определяется не на первом, а лишь на втором или третьем заседании. А пока не определился состав кружка, не имеет смысла спешить с распределением всех тем между членами кружка и с утверждением плана работы кружка.
      Нередко начинающий учитель, «чтобы завлечь школьников», строит первое занятие (а иногда и второе) исключительно на развлекательном материале: он предлагает учащимся самые занимательные задачи, которыми располагает, самые забавные фокусы, игры, софизмы и т. д. Это может принести вред кружку (особенно в старших классах). У школьников создается ложное впечатление о математическом кружке как о кружке развлекательной математики. Если на каком-то из последующих заседаний будет поставлена серьезная тема, то оно покажется учащимся значительно менее привлекательным, чем первое. Незачем делать первое занятие кружка рекламным,, «зазывающим». По этой причине мы бы воздержались от постановки на первом заседании кружка таких тем, как «Приемы быстрого счета», «Математические софизмы», «Решение логических задач», «Математические развлечения», «Математические фокусы» и т. п.
      Но если первое занятие кружка не должно быть организационным, не должно быть «завлекающим», то каким же оно должно быть? Оно должно быть типичным заседанием: учащиеся должны понять, что примерно вот такими же будут и последующие занятия. И в то же время первое занятие кружка имеет свои особенности. Перечислим их.
      1) Освещение перспективы кружка. В начале первого занятия учителю нужно хотя бы кратко, в течение 5—7 минут, обрисовать учащимся перспективу всей работы кружка, рассказать об основных вопросах, которыми будут заниматься члены кружка, о том, что они получат от кружка. Нужно также сформулировать 3—4 самых основных требования, которым обязан подчиняться каждый член кружка.
      2) Более простая (это не значит «более развлекательная») основная тема, чем на последующих занятиях. Материал каждого занятия — все равно, первого или не первого — должен быть достаточно занимателен, интересен и доступен школьникам; но, учитывая развитие и запросы учащихся, пришедших на первое занятие кружка, некоторую неопределенность состава кружка, лучше выбрать тему несколько более доступную, чем последующие.
      3) Первое занятие проводит сам учитель. Это особенно желательно, если учащиеся мало знакомы с кружковой работой. Ученики получают образец, как им нужно выступать на занятиях кружка.
      4) С первого занятия начинается выпуск журнала кружка. Вы вряд ли упустите из виду, чтобы в конце первого занятия договориться с учащимися о времени и месте ближайших занятий, о теме ближайшего занятие, о школьниках, которым предстоит принять участие в подготовке этого занятия, и т. п. Но не забудьте также об оформлении журнала кружка, в который должно заноситься все, что происходит в кружке. Так от занятия к занятию будет создано основное пособие, пользуясь которым каждый кружковец сумеет в любое время восстановить, чем же он занимался в кружке (подробнее см. гл. V, § 2).
     
      § 2. ЧТО ТАКОЕ «ТЕМАТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ»?
      Некоторые учителя считают основной формой работы кружка доклады учащихся продолжительностью в 30—50 минут и более. Известны кружки, в которых такие доклады занимают 70—80% времени каждого заседания.
      Хорошо это или плохо?
      Школьнику трудно выступить с большим докладом на математическую или даже историко-математическую тему, а его товарищам — выслушать этот доклад. Чтобы прочесть такой доклад доброкачественно, необходим довольно высокий уровень математической культуры и педагогического искусства. Ученик часто затягивает доклад. По форме доклад обычно тяжеловесен, перегружен чуждыми ученику выписанными из книг выражениями, изложение ведется рывками, недостаточно живо и энергично. Наконец, нередко докладчик допускает неточности и даже ошибки.
      Ясно, что поручать отдельным учащимся большие доклады нужно редко и с большой осторожностью, особенно в начале работы кружка. Целесообразней большой доклад разбить на несколько частей и каждую часть поручить отдельному учащемуся.
      Несомненно, что особое внимание нужно уделить тем формам кружковых занятий, которые дают возможность подавляющему большинству членов кружка проявить свою инициативу, самостоятельность и рассчитаны на активную творческую работу всех членов кружка.
      Рассмотрим одну из удачных форм кружковой работы. Условно назовем ее комбинированным тематическим занятием.
      Основную часть такого занятия составляет решение членами кружка ряда задач на одну и ту же тему, например «Геометрические места точек в пространстве» или «формула Муавра и ее приложения».
      Учитель заранее подбирает и продумывает список задач и вопросов для занятия, располагает их в определенной последовательности. Занятие начинается с вводных замечаний учителя относительно значения темы, ее применения и т. д. Иногда можно начать сразу с увлекательной задачи, связанной с темой. После этого руководитель кружка предлагает вопросы и задачи. Задачи решают сами учащиеся, каждый в отдельности, здесь же, в классе. Если у школьников возникают затруднения, то учитель ставит наводящий вопрос или дает указание (иногда отдельному ученику, иногда всем членам кружка). К следующей задаче не переходят до тех пор, пока предыдущая не разобрана (часто у доски) кем-либо из учащихся. Решая задачи, отвечая на поставленные учителем вопросы, учащиеся постепенно, как бы заново, самостоятельно раскрывают рассматриваемую тему.' Каждый имеет возможность проявить свою инициативу, самостоятельность, способность к творчеству, и это, как показывает опыт, дает учащимся значительно большее удовлетворение, чем пассивное прослушивание докладов. Раскрытие темы протекает как коллективная работа всего кружка, в которую каждый может внести свою долю. По ходу занятий делаются обобщения, иногда дополнения, учитель вместе с учащимися формулирует выводы. Иногда дополнения делают специально подготовившиеся учащиеся. В конце занятия учитель подводит краткий итог, предлагает на дом задачи и рекомендует литературу по данной теме.
      Бывает, что в теме, которой посвящено тематическое занятие, имеется материал, который не может быть раскрыт самими учащимися (например, неизвестные школьникам определения; методы, которые учащимся не под силу или очень трудно открыть самостоятельно). Такой материал освещает сам учитель или предварительно подготовленный ученик.
      Иногда весьма желательно ознакомить учащихся с решением какой-либо интересной, но очень трудной для них задачи. Пусть, например, на тематическом занятии «Построения с ограниченными средствами» учитель пожелал познакомить школьников с такой задачей: «Построить точку пересечения двух непараллельных прямых, пользуясь только циркулем». Вряд ли можно ожидать, что учащиеся сами догадаются о способе решения задачи (во всяком случае это потребует много времени). Вполне разумно, чтобы решение этой задачи показали специально подготовленные учащиеся. Однако основную часть тематического занятия (может быть, 70— 80%) нужно выделить для самостоятельного решения задач всеми присутствующими.
      В старших классах отбор материала для тематического занятия и проведение его можно поручить (полностью или частично) одному или нескольким хорошо подготовленным ученикам. Обычно тематическое занятие занимает 60—?0% времени всего заседания кружка (ниже мы укажем, как можно использовать остальное время). Тематическое занятие должно войти составной частью в подавляющее большинство заседаний.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA

 

 

 

ТРУДИМСЯ ДЛЯ ВАС, НЕ ПОКЛАДАЯ РУК!
ПОМОЖИТЕ ПРОЕКТУ МАЛОЙ ДЕНЕЖКОЙ >>>>

 

На главную Тексты книг БК Аудиокниги БК Полит-инфо Советские учебники За страницами учебника Фото-Питер Настрои Сытина Радиоспектакли Детская библиотека

 

Яндекс.Метрика


Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru