СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Различные решения отдельных задач и примеров 3
§ 2. Относительность понятия рациональности решения 13
§ 3. Необходимость обучения рациональным решениям 20
§ 4. От чего зависит выбор способа решения 29
§ 5. Зависимость решения от вопроса задачи 66
§ 6. Зависимость решения от структуры упражнения и исходных данных 81
§ 7. Применение формул 99
§ 8. Применение вспомогательных утверждений 113
§ 9. Применение знаний из смежных дисциплин 118
§ 10. Вспомогательные неизвестные 129б
На основе собственного опыта и опыта работы других учителей г. Могилева автор предлагает разнообразные методы обучения учащихся рациональным приемам решения задач и примеров. В книге рассматривается возможность упрощения решения большого числа упражнений, а также зависимость решения от формулировки задачи, от структуры и числовых данных условия. Подробно освещен также вопрос об использовании знаний из смежных школьных дисциплин для упрощения решений. Все теоретические положения автор иллюстрирует примерами и задачами из курса математики средней школы. Рекомендуется учителям математики.
Два несвязанных фрагмента текста.
§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ
1. Как отыскание решений, так и их оформление нередко упрощаются при применении вспомогательных утверждений, в частности, различных лемм, изучаемых в теоретическом курсе математики. Рассмотрим, например, лемму о подобии треугольников. На основании этой леммы доказываются все признаки подобия треугольников, она используется и при изложении раздела «подобные многоугольники».
И при решении задач по геометрии нередко значительно проще установить подобие треугольников ссылкой на лемму, чем на один из признаков подобия треугольников. Возьмем такую простую задачу:
Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. Основание равно 20 см. Определить отрезки параллельных прямых, заключенные между боковыми сторонами.
Для ее решения устанавливаем, что полученные треугольники подобны данному треугольнику. Это нетрудно сделать, используя первый признак подобия треугольников, но легче и проще получить тот же результат ссылкой на лемму.
2. Применение лемм упрощает не только обоснование решения, но нередко и сами вычисления. Рассмотрим, например, лемму о равновеликости наклонной и прямой призм. Целесообразно, после того как учащиеся усвоят, что объем любой призмы равен произведению основания на высоту, обратить их внимание на возможность получения новой формулы: объем призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро, которая легко получается из леммы.
5. В геометрии аналогом вспомогательных неизвестных являются вспомогательные построения. Иногда достаточно построить вспомогательную прямую, отрезок или другую какую-либо фигуру, чтобы найти простейшее решение предложенной задачи.
Рассмотрим задачу на построение:
Построить окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в заданной на ней точке А.
Эта задача не из простых, так как легко найти лишь одну прямую, на которой лежит центр искомой окружности, а именно прямую, проходящую через центр данной окружности и через точку А. Но этого для определения центра искомой окружности в общем случае недостаточно, нужно еще учесть, что искомая окружность должна касаться данной прямой.
Если через точку А провести касательную к данной окружности, то решение становится очевидным: искомая окружность должна касаться данной прямой и построенной вспомогательной прямой, значит, центр ее лежит на их оси симметрии.
Такая же картина наблюдается и при решении задач на доказательство и на вычисление. Возьмем такую простую задачу:
«Доказать, что у равнобедренной трапеции углы при основании равны». Достаточно через вершину меньшего основания провести прямую, параллельную другой боковой стороне. Установив, что получившийся треугольник равнобедренный, легко получаем требуемое свойство углов трапеции.
При решении сложных геометрических задач нередко приходится выполнять довольно громоздкие преобразования и вычисления. Для упрощения рекомендуем вводить вспомогательные обозначения, являющиеся как бы вспомогательными неизвестными. При этом не следует сразу вычислять их, вполне достаточно лишь установить, что в случае необходимости всегда можно определить их через данные величины.
Заметим, что геометрические задачи очень редко решаются в общем виде, разве лишь когда в самом условии нет числовых данных. А ведь не всегда целесообразно производить вычисления, не получив общей формулы решения задачи.
|
