Математика атакует родителей

PDF

      ОХ, УЖ ЭТИ НОВЫЕ ПРОГРАММЫ!
     
      Лето выдалось жаркое. Лишь одна неделя была дождливой. И случилось так, что именно в это время на туристском пароходе оказались работники просвещения. Старый педагог-математик Петр Иванович, преподаватель литературы Григорий Андреевич и учительница биологии Анна Александровна с мужем-инженером скучали в своей каюте. Юрий Алексеевич (так звали инженера) подшучивал над своими попутчиками. говоря. что если собираются педагоги. то сразу начинается педсовет, — нет бы отдохнуть в каникулы от работы.
      И правда. на какую бы тему они ни говорили. разговор в конце концов переходил на школу. Вот и в этот совсем уже непогожий день мужчины поначалу говорили о футболе.
      — Нет. вы как хотите, — перебила мужской разговор Анна Александровна, — а у меня этот футбол в печенках сидит. Мой Леня все время проводит у телевизора и в результате — чуть не схватил тройку по математике.
      — Вам хорошо, — возразил Григорий Андреевич. — У вас муж инженер. Он может помочь сыну, — конечно, когда нет футбола. А мне каково! Недавно Сеня просит помочь решить задачу. Смотрю я — и ничего не понимаю. Какие-то множества, высказывания. А ведь это — IV класс! Наворочали черт знает что! Какие-то пустые множества. Это из высшей математики, что ли?
      — Ну, нет, — возразил инженер, — нам высшую математику сам профессор Иванов читал. Никаких множеств там не было, ни пустых, ни полных.
      — Да-с, увлеклись наши ученые, vвлеклись, — в раздумье промолвил Петр Иванович. — Не нужны все эти выкрутасы. Я как-никак сорок с лишним лет в школе математику преподавал. Все-таки главное — научить детей навыкам счета и решению задач. Да и задачи теперь не те пошли... Помню, мне еще в гимназии на экзамене попалась задачка: купец продал столько фунтов чая, сколько членов имеет геометрическая прогрессия, коей третий член равен наибольшему члену бинома Ньютона, причем в показателе бинома стоит цена одного фунта чая, а...
      — Извините, что перебиваю вас, — возразил инженер, — но такие «шитые» задачи, по-моему, никому не нужны.
      — Вот и ошибаетесь, батенька. Очень они способствуют развитию. А арифметические задачи? Знаете. до революции задачник Верещагина был. Иной раз семь потов сойдет, пока вопросы к задаче поставишь.
      — Ну, хитрых арифметических задач и сейчас хватает, — возразил Юрий Алексеевич. — Помню, Ленька был в V классе, придет ко мне с задачкой, так мне что приходилось делать? Сначала уравнение составлю, решу его. а потом думаю, как же теперь по вопросам решить. Мало того, учительница у них требовала, чтоб знали, какого типа задача. Так что, может, правильно, что теперь новая программа и новые учебники будут. Говорят, в них все задачи уравнениями решать надо.
      — Ты уж молчи, — напустилась на инженера жена. — Знаем мы про эти новые учебники. Читали! В «Правде» статья была. Называлась, кажется, «Математика для мамы». И уж так там досталось новым учебникам — лучше бы их и не писали. С I класса надумали вводить и иксы, и геометрию, и чуть ли не высшую математику. Безобразие! Родители не могут решать задачи, которые первоклассникам задают в школе!
      — Ну, положим, высшей математики в первых классах не будет, — сказал Петр Иванович, — это вы уж чересчур. Я хоть сейчас и на пенсии, но за школьными делами слежу. Так что насчет высшей математики в начальных классах — это вы зря. Но вот в старших классах, говорят, высшую математику введут. И, по-моему, лишнее все это. Изучить ее хорошо в школе все равно не смогут, только по верхам пройдут. Гораздо полезнее школьников элементарной математике научить. Вот в прошлом году принимал я вступительные экзамены в одном институте. Так там на письменном дали систему показательных уравнений. Верите ли, всего несколько человек и решили-то. И то небось с частными репетиторами занимались.
      — А наш Леня без репетитора занимался. Только перед экзаменом Николай Николаевич его проверил, — похвалилась Анна Александровна.
      — Это кто, наш сосед по столику? — спросил Григорий Андреевич.
      — Да. Он наш давний знакомый. Долгое время работал со мной в одной школе — математику вел. А потом защитил диссертацию, сейчас работает в Академии педагогических наук.
      — Слушайте! — воскликнул Григорий Андреевич. — А не позвать ли его к нам? Раз математик, да еще в академии, пусть и отвечает за все эти фокусы в новых программах!
      — Это идея! — поддержала его Анна Александровна. — Как это я сразу не додумалась? Юра, сходи к Николаю Николаевичу, попроси его к нам на огонек. Надеюсь, вы не против? — обратилась она к Петру Ивановичу.
      — Чго вы, мне это очень интересно.
      — Тем более что все равно дождь, — добавил Юрий Алексеевич, выходя из каюты. Через некоторое время он вернулся вместе с Николаем Николаевичем.
      — Простите нас, ради бога, Николай Николаевич! — обратилась к нему Анна Александровна. — У нас тут дискуссия по поводу новых программ по математике. Объясните, пожалуйста, для чего они понадобились.
      — Охотно. Вы слышали об открытии Уотсона и Крика и о дальнейших успехах молекулярной биологии?
      — Простите, мы хотим про ма-те-ма-ти-ку, — нараспев произнесла Анна Александровна. — А биологию я сама в школе преподаю, дайте хоть немного отдохнуть от нее.
      — Не спешите, не спешите. Так вот, вы, конечно, слышали о расшифровке структуры молекулы ДНК, о тонкой структуре гена, о механизме биосинтеза белка и их практических применениях — хотя бы в селекции и практической генетике...
      — Но, Николай Николаевич, — поддержал супругу инженер, — конечно, мы знаем, что физика и математика сыграли в этих открытиях далеко не последнюю роль, однако...
      — Я говорю совсем не об этом. Что бы вы сказали, если бы в школьных учебниках биологии эти научные факты отсутствовали?
      — Я бы сказала, что эти учебники и программа курса биологии отстали от жизни.
      — Благодарю вас. А вы, дорогой Юрий Алексеевич, что бы вы сказали, если бы в школьных учебниках физики ни слова не говорилось об открытии Басова и Прохорова — я имею в виду лазеры — и о тех практических применениях этого открытия, которые имеются уже сегодня?
      — Лазеры — не моя специальность, я инженер-механик. Но я вашу мысль понимаю. Такой курс физики не отвечал бы требованиям современности, и программу пришлось бы изменить и дополнить.
      — Ну вот, Анна Александровна, вы с супругом помогли мне ответить на поставленный вопрос.
      — Нет, нет, я с вами решительно не согласен, — заявил доселе молчавший Григорий Андреевич. — Я хоть и литератор, но думаю, что не ошибусь, если скажу, что математика — это не физика и не биология. Физика и биология, как вы сами признали, резко шагнули вперед за последнее время. А что в математике? Те же квадратные уравнения, та же теорема Пифагора! Зачем же здесь-то менять программу?
      — Вот именно, — поддержала его Анна Александровна. — Математика столетиями не меняется. Что ж, теперь квадратные уравнения по-другому решают или теорему Пифагора иначе формулируют? Ничего подобного. Все осталось таким же, как и сто лет назад.
      — О, вы несколько поспешили в своих выводах, — улыбнулся Николай Николаевич. — В том-то и дело, что школьный курс математики безнадежно отстал от науки сегодняшнего дня. Да какое там сегодняшнего! Мы преподаем детям математику начала XVII века! Именно так, не удивляйтесь. Возьмите арифметику: все, чему мы учим в школе, было, по существу, известно еще в глубокой древности. Такие же задачи, как в наших задачниках, можно найти в вавилонских клинописных табличках и в египетских папирусах. А геометрия? Наверное, у всех на зубах навязло поучение о том, что Евклид создал свои «Начала» более двух тысяч лет назад и что в его книгах содержалась буквально вся геометрия, изучаемая сегодня в школе. И самым новейшим, самым, если можно сказать, современным в действовавшем до сих пор школьном курсе математики была алгебра: отрицательные числа, буквенные обозначения, уравнения, координаты, понятие функции. Но это и есть начало XVII века. В работах Франсуа Виета и Рене Декарта все это уже было.
      Может быть, я. чуть-чуть преувеличиваю: были в школьном курсе математики отдельные кусочки, относящиеся к более позднему времени. Например, понятие о показательной и тригонометрических функциях окончательно оформилось в XVIII веке в трудах Леонарда Эйлера. Но это не меняет дела: та математика, которую до сих пор изучали в школе, по своему духу относится к XVII столетию.
      — Браво, браво! — захлопала в ладоши Анна Александровна. — Мне кажется, вы великолепно изложили аргументы против самого себя. Вы нас убедили, что школьная математика окончательно сформировалась еще в XVII, ну пусть даже в XVIII столетии. С тех пор ее научились хорошо преподавать, написали хорошие учебники. Все мы изучали математику по учебникам Киселева. Они просуществовали несколько десятилетий, еще моя мама по ним училась. Зачем же теперь все ломать? Совершенно ясно: не нужно было менять программу по математике!
      Николай Николаевич невозмутимо продолжал:
      — Вы делаете явно неправильные выводы из приведенных аргументов. Школьная математика действительно за эти три века почти не изменилась, но наука математика претерпела за это время глубочайше изменения. Ее потрясли великие открытия — достаточно назвать имена Ньютона, Эйлера, Гаусса, Галуа, Лобачевского, Римана и многих других, в том числе советких математиков, из которых я назову, например, Лузина, Виноградова, Понтрягина, Колмогорова. Современная математика такова, что без нее не обходятся даже такие науки, которые не так давно противопоставлялись математике.
      В медицине все больше применяются методы диагностики с применением электронных вычислительных машин. И надо сказать, что эти машины иногда ставят диагноз лучше врачей. Был недавно в одной из клиник такой случай. Туда привезли больного лет сорока с инсультом. Инсульт был по внешним признакам нетяжелый, и врачи решили лечить его консервативным методом, дав больному полный покой. Но на всякий случай все результаты анализов сообщили диагностической машине. Она дала ответ: «При консервативном лечении — смерть, при трепанации черепа — жизнь». Врачи только посмеялись над странным предсказанием. Но к утру было уже не до смеха — состояние больного резко ухудшилось, наступили нарушения дыхания, и пришлось подключить аппарат «искусственные легкие». И тогда решили последовать совету машины. Сделали трепанацию черепа и отсосали кровь с пораженного участка. Что бы вы думали? Ожил больной! Теперь это, вероятно, самый горячий сторонник применения математики в медицине.
      — Я: слышал, — прервал рассказ Григорий Андреевич, — что машины применяют и в гуманитарных дисциплинах. Но как именно? Вы не могли бы рассказать?
      — Ну, только очень кратко. Среди литературоведов шли споры относительно Гомера. Мнения были разные, в том числе, что не один человек, а многие писали «Илиаду». Предложили это произведение электронной вычислительной машине для стилистического анализа. Машина дала ответ: «Все песни «Илиады» принадлежат одному автору».
      С помощью электронных вычислительных машин группа лингвистов и математиков проанализировала особенности пушкинского и лермонтовского стиха в романе «Евгений Онегин» и поэме «Тамбовская казначейша». Общеизвестно и то, что машины используются для перевода с одного языка на другой. Машины применяются также в археологии для классификации находок и их научной обработки. Вторжение математики в область гуманитарных наук так прочно, что математику стали изучать на филологических факультетах.
      — Да, да, да, — подхватил Григорий Андреевич, — дочь моих знакомых учится на филфаке МГУ, занимается структурной лингвистикой. У нее большие трудности с математикой.
      — Ну вот, видите! А вот еще примеры. Мне рассказывал знакомый следователь об изысканиях по поводу привлечения электронных вычислительных машин к идентификации преступников. Криминалисты и раньше, исследуя, например, взломанные сейфы, говорили о «почерке» преступника; теперь с помощью электронных вычислительных машин этому термину удается придать точный смысл. Я уже не говорю о внедрении математики в производство. На ряде предприятий есть уже свои вычислительные центры. Многие цехи перешли на автоматическое управление с использованием вычислительных машин. А планирование! Из каких именно шахт на какие именно заводы возить уголь? От правильного решения этой задачи зависит многое. А как ее решить? Понятно, что тут возможны тысячи разных вариантов. Только привлечение вычислительных машин позволило решить эту проблему планирования в полном объеме. Машины перебирают все заслуживающие внимания варианты и предлагают наилучший. Кстати, способы отбора заслуживающих внимания вариантов рассматриваются в новой математической науке — линейном программировании, начала которой были заложены в 40-х годах советским математиком Канторовичем. Это только один пример оптимального планирования с использованием математики.
      Создание электронных вычислительных машин ознаменовало начало величайшей научно-технической революции. Если паровая машина увеличила в тысячи раз физические силы человека, то вычислительные машины в тысячи раз умножили мыслительные возможности людей. Сейчас мы находимся в самом начале этого пути. Предсказать, что смогут сделать вычислительные машины в 2000 году, не рискнет и самый смелый фантаст. А ведь ребята, которые сейчас учатся в школе, будут работать не только в 2000, но и в 2020.
      — Но все, что вы рассказываете, — заметил Юрий Алексеевич, — относится к вычислительным машинам. Вероятно, можно в особых вузах или техникумах готовить специалистов по работе на них. При чем тут средняя школа?
      — Дело не только в появлении новой вычислительной техники. Жизнь непрерывно ставит перед математикой раЗЛИЧНЫе проблемы, И ЭТО ПрИВеЛО К СОЗДаНИЮ НОВЫХ отраслей математики. Математическое программирование, теория игр, исследование операций — еще 40 лет назад о них никто ничего не знал, а сейчас число публикаций по этим вопросам составляет почти половину всех вышедших по математике работ. Происходит бурный процесс математизации наук: возникли математическая экономика, математическая биология, математическая теория управления, математическая лингвистика и т. л. Произошло смещение центра тяжести интересов и в самой математике. Так что представление о математике как о застывшей науке глубоко ошибочно. Математика находит применение во все новых аспектах человеческой деятельности. И поэтому знания, необходимые для такой деятельности, должны иметь всеобщее распространение. Так что создание специальной сети вузов и техникумов — это не выход. Школьники не должны оставаться в неведении по поводу нового лица и новых достижений математики. Ведь, кажется, — улыбнулся Николай Николаевич, — по отношению к курсу биологии и физики подобное положение вещей вызывало у вас решительное осуждение?
      — Ну и что же, — не сдавалась Анна Александровна. — Введите в разных классах по нескольку часов, чтобы просто, ярко и доходчиво рассказать — разумеется, в самых общих чертах — о современных достижениях вашей науки. Основа-то в школьном курсе математики есть.
      — Действительно, — поддержал жену Юрий Алексеевич, — ведь, скажем, о лазерах в курсе физики говорится не столь уж подробно. Никому же не првдет в голову давать школьникам полную теорию вопроса, основанную на идеях квантовой физики. Речь идет лишь об общем описании явления, так сказать, на пальцах. Ну и, разумеется, о практических применениях.
      — Ну, вот видите, менять программу было незачем. Просто чуть-чуть дополнить — и все. А вы поспешили, перегнули палку — ну, согласитесь же!
      — Постойте, постойте! Для начала отметим, что вы начинаете сдавать позиции. Значит, «немножко» изменить, т. е. все же изменить, программу было необходимо.
      — Рано празднуете победу, — сказал долго молчавший Петр Иванович. — Отдельные изменения в программе по математике происходили постоянно, сколько я себя помню. Это еще не означает того переворота, который устраиваете вы. Если бы речь шла о добавлении в разных классах по нескальку часов, как предлагает Анна Александровна, это не вызвало бы протеста ни у кого.
      — А как, — повернулся к нему Николай Николаевич, — как вы предлагаете рассказать в этих небольших добавлениях о богатстве современной математики, о новых методах, новых подходах, о новых идеях и теориях?
      — Так это лучше знать вам — математикам, — сказал Григорий Андреевич. — Могут же физики коротко рассказать о лазерах. Вот писатель Тендряков предлагает вообще все школьные предметы излагать обзорно — читали в журнале «Москва»?
      — К сожалению, — отвечал Николай Николаевич, — этого сделать нельзя. Математика изучает (в части, касающейся алгебры и математического анализа) количественные отношения в реальных явлениях, она дает методы количественного описания явлений — методы, применяемые затем в физике, химии, биологии и других науках. И если о конкретном явлении можно кратко рассказать в порядке общего знакомства, то о методах математического расчета кратенько рассказывать бесполезно. Методы ведь применять надо, а для этого нужно овладевать ими. Согласитесь, было бы мало пользы, если вместо того, чтобы научить школьников решать квадратные уравнения, мы прочли бы им краткую лекцию о роли уравнений в математике и их применениях.
      — Ну, — сказал Петр Иванович, — ваш пример неубедителен. Здесь ведь теоретических трудностей немного, а просто нужно набить руку, решая большое число задач.
      — Хорошо, приведу другой пример. Из вашей области, Анна Александровна.
      — Очень интересно.
      — Вам случалось вести расчеты, связанные с частотой наследования от родителей одного или нескольких признаков? Скажем, как в классических опытах Менделя с горохом, речь может идти о наследовании желтой или зеленой окраски горошин, а также о наследовании гладкой или морщинистой их поверхности. Нередко интересно проследить, какова будет судьба трех и более элементарных признаков, как они будут комбинироваться у потомков.
      — Видите ли, самой мне не приходилось проводить такие расчеты. Но я много об этом читала, а об опытах Менделя рассказывала ребятам на уроках. Мнё кажется, здесь математика какая-то не очень убедительная. В простых случаях все ясно и без математики. А вот в случае сложной комбинации наследуемых признаков все как-то расплывчато. Иногда частоты появления признаков надо складывать, иногда умножать, а иной раз из одной частоты вычитают другую. Похоже, что здесь не заранее вычисляют частоту наследования, а просто падгоняют под результат, наблюдаемый в опыте.
      — Спасибо, — сказал Николай Николаевич, — вы мне очень помогли.
      — Не понимаю.
      — Сейчас объясню. Дело в том, что в математике есть понятие вероятности, которое как раз и означает ожидаемую частоту наступления события. Выведены совершенно четкие правила, по которым вычисляется частота одновременного наступления различных событий
      (скажем, растение наследует и гладкую форму и желтый цвет горошины), или частота наступления хотя бы одного из этих двух событий, или наступления только первого из этих двух событий и т. д. Изучением этих и ряда более сложных закономерностей занимается специальная математическая дисциплина — теория вероятностей. Ее зарождение связано с именами Паскаля и Лапласа, ее существенное развитие на современном этапе — с именами академика Колмогорова и других советских математиков. Так вот, если бы в школе изучали теорию вероятностей — хотя бы в небольшом объеме, — то у вас не было бы сомнений при подсчетах частоты наследования той или иной комбинации признаков. Это чистая теория вероятностей, и, конечно, там ничего не подгоняется под ответ, все выводится строго по правилам. Выходит, не только математикам нужна теория вероятностей, но и биологам.
      — Да, здесь я, пожалуй, вас поддержу, — сказал Юрий Алексеевич. — Надо в школе поговорить о вероятностях, да и задачки порешать. Комбинаторика тоже нужна. И, пожалуй, инженерам не меньше, чем селекционерам.
      — А скажите, Юрий Алексеевич, — оживился Николай Николаевич, — как вы полагаете, можно ли в школе рассказывать о вероятностях обзорно? Дескать, придумали математики вот такую теорию, вот чем она занимается и вот как применяется. А?
      — Конечно, нельзя, — ответил за инженера Петр Иванович. — От такого знакомства толку не будет. Надо научить решать задачи, да с пониманием дела решать. А иначе и времени не стоит тратить.
      — Ну, что вы скажете, Анна Александровна?
      — Да, пожалуй, по поводу вероятностей я могла бы с вами согласиться. Это, видимо, полезно.
      — Но то, что относится к теории вероятностей, относится и к целому ряду других вопросов. Совершенно
      необходимо более глубоко изучать понятие функции. Ведь именно идея функциональной зависимости величин и лежит в основе большинства приложений математики. И врач, рассматривающий график изменения температуры больного, и физик, изучающий таблицу с реЗультатами опытов, и экономист, изучающий взаимную связь различных показателей работы предприятия, и, уж конечно, всякий специалист, переводящий свою задачу на язык электронной машины, — все они имеют дело с функциональной зависимостью. Недаром умение чертить графики функций стало обязательным в школе. Но глубоко усвоить понятие функции можно, лишь познакомившись с тем, как изучает их современная математика. А для этого надо знать, хотя бы в виде предварительного знакомства, дифференциальное и интегральное исчисления.
      У многих людей эти области математики вызывают мистический ужас. Между тем эти области не слишком сложны и овладеть их основными идеями куда проще, чем научиться решать специально подобранные замысловатые тригонометрические уравнения. При правильном отборе материала вполне можно сделать эти науки доступными для школьников.
      И наконец, теория множеств. Эта область математики возникла не очень давно — всего сто лет назад. Сначала она казалась чем-то экзотическим, не имеющим отношения к обычной математике. Но постепенно стало ясно, что, подобно мольеравскому герою, всю жизнь говорившему прозой и не знавшему об этом, математика и ее приложения все время имели дело с множествами и операциями над ними. Только слова применялись другие, в каждой области свои. И это затрудняло работу, так как приходилось наряду с естественными трудностями сталкиваться с необходимостью Перевода с одного языка на другой. Вы, конечно, слышали, что сравнительно недавно — в прошлом веке — обнаружены племена, у которых было несколько сортов чисел: одни для счета людей, другие для счета животных, третьи применялись при подсчете домашних предметов или оружия... Легко представить себе, как это неудобно. Скажем, у вас есть несколько луков (и, конечно, стрелы к ним) и к вам подходит группа охотников. Хватит ли всем луков? Надо сосчитать. Но ведь охотников вы считаете на одном числовом «языке», а луки считаете совсем другими числами. Так что мало посчитать, надо еще перевести с одного числового языка на другой. Неудобно, правда? Примерно то же происходило (да еще и сейчас происходит) с понятиями теории множеств. Чтобы всем было понятно, о чем идет речь, я приведу бытовые примеры. Мы говорим не множество волков, а стая волков, не множество инструментов, а набор инструментов, не множество людей, а коллектив и т. д.
      Пока речь идет об обычном употреблении этих слов, все так и остается, но если мы хотим какие-нибудь множества изучать с помощью математики, то весьма полезно применять к ним общие для всех множеств законы. А такие есть, и ими занимается теория множеств. Курс математики в школе до сих пор выглядел весьма разрозненным, правда ведь, Петр Иванович? Теория множеств дает возможность придать этому курсу единство, пронизать его сквозными линиями в большей степени, чем это было раньше.
      — А время-то, время откуда на все это взять? — спросил Петр Иванович. — Опять интенсификация урока и увеличение домашних заданий?
      — Опять за счет отдыха детей? За счет прогулок, свежего воздуха?
      — И, конечно, за счет чтения? — подхватили Анна Александровна и Григорий Андреевич.
      — А учитель и так задыхается, — добавил Петр Иванович. — Почти что каждый день новый материал.
      — Уфф, сколько ужасов вы тут наговорили, — покачал головой Николай Николаевич. — А между тем ничего такого не будет: новая программа вовсе не должна приводить к увеличению загруженности учащихся. Уроки нужно будет строить, конечно, не совсем так, как раньше.
      — Это, батенька, хорошие слова, и ничего болbше. Дети все те же, и все те же 45 минут на уроке. В чем же разница? — недовольно произнес Петр Иванович.
      — Разница в еще большем упоре на сознательность обучения. Если до сих пор мы часто говорили себе: «Пусть ученик сначала выучит правило, а потом я ему объясню, что оно значит», то теперь этот прием становится недопустимым. Вообще, делается меньшая ставка на выучивание математического материала и большая — на его постепенную отработку. Это, конечно, повышает требования к построению урока, о чем я и сказал. А новый материал — он ведь пойдет за счет ликвидации излишеств старой программы.
      В этом вы правы. Мы как раз перед вашим приходом говорили о диких задачах по арифметике и о вычурных системах показательных уравнений.
      — вот. А чего стоит целая наука о том, как можно и как нельзя записывать вычисление площади прямоугольника (скажем, со сторонами 2 метра и 3 метра): (…)
      или еще как-нибудь, — добавил Николай Николаевич. — Да и разве только это? Очень много частностей, условностей загромождали курс математики. Новая программа делает его значительно более стройным, обозримым, более современным. Ученики получат в руки могучие методы решения задач; те задачи, которые раньше решались искусственными путями, теперь будут решаться совершенно естественно.
      Ничего, — подмигнул Петр Иванович, — вместо них придумают другие заковыристые задачи.
      Все засмеялись.
      — И вот еще что я хотел сказать. Обыкновенно беспокоятся о математическом развитии тех детей, которые после школы выбирают деятельность, связан ную с точными науками. Мне же кажется ничуть не менее важным дать хорошие математические знания тем, кто не пойдет в такие вузы, не будет работать на заводах точной механики или в планово-экономических центрах.
      В наше время каждый молодой человек должен знать интегралы в не меньшей степени, чем стихи Пушкина. Прошло то время, когда в понятие общей культуры входили только знания по гуманитарным предметам. Школа обязана дать основные знания и из математики.
      — Я вот сейчас вспоминаю о своем разговоре с одной учительницей, — задумчиво произнес Петр Иванович. — Было это лет пять назад. С большим сожалением говорила она о том, что почти весь IV класс уходит на повторение материала первых трех классов. Вот я и подумал, что, может, вы правы: найдется необходимое время на все эти новшества.
      — Да разве только в IV классе? — воскликнул Николай Николаевич. — Повторение вообще занимало непростительно много времени. Это было расплатой за плохое построение курса.
      — Ну, вообще не повторять все-таки нельзя, — сказала Анна Александровна.
      — Разумеется. Но повторение и новый материал не должны быть оторваны друг от друга. И тогда на повторении мы сэкономим массу времени. А дети не будут относиться к повторению как к жвачке.
      — Скажите, пожалуйста, — спросил Юрий Алексеевич, — почему вы так уверены, что новый материал, включенный теперь в программы, окажется доступным для детей? Это как-нибудь проверялось?
      — Да, проверялось. Я уже не говорю о том, что введению новой программы предшествует ее двухгодичная апробация.
      — Как двухгодичная? — не понял Юрий Алексеевич.
      — Вот как. Например, программы для IV класса введены в 1970/71 учебном году. В 1968/69 учебном году они проверялись в нескольких школах, а в 1969/70 учебном году — уже в нескольких районах страны. Такая проверка позволяет улучшить и сами программы, и учебники, и методику преподавания. То же было с новыми учебниками для первых трех классов, да и со всеми вновь вводимыми учебниками. Но это еще не все. Новые программы для старших классов прошли основательную проверку в математических школах. Там были и дифференциалы, и интегралы, и многое другое. Короче говоря, нет ни одного вопроса в новой программе, который бы не изучался в математических школах.
      — Э, куда хватили, батенька, — проворчал Петр Иванович, — математические школы. Там дети-то какие.
      Старого учителя поддержали все. Но Николай Николаевич не сдавался и на этот раз:
      — Математические школы тоже разные бывают. Есть, конечно, широкоизвестные школы. В них такой большой наплыв, что они могут себе позволить отбирать математически одаренных детей. Но во многих — и очень многих — математических школах учатся обычные дети. Да и потом дело вовсе не в этом. Ведь никто и не собирается во всех школах преподавать математику так, как в математических. Но это все же был опыт, показывающий, как дети усваивают новые идеи, что для них оказывается более трудным, в какой последовательности надо излагать новый материал и т. д.
      — Николай Николаевич, мы вас замучили. Но еще один вопрос, — сказала Анна Александровна. — Раньше родители могли оказывать детям необходимую помощь в учебе. А как будет теперь? Ведь мы по новой программе, понятно, никогда не учились. Как же дети будут учиться, если им не к кому обратиться дома за помощью?
      — Любезная Анна Александровна, а знаете ли вы, например, что такое деление на части и что такое деление по содержанию? — спросил Николай Николаевич.
      — Понятия не имею, — удивилась она.
      — А в каком классе дочь ваша учится? Вот-вот. А когда она начинала изучать деление, вас, несомненно, вызывали на родительское собрание, и учительница объясняла, что такое деление на части, что такое деление по содержанию и как отвечать на недоумение вашей дочери по этому поводу.
      — Не помню. Но вообще-то, вызывали и по разным вопросам инструктировали.
      — Вот видите. Младшему школьнику обязательно нужна родительская помощь, в том числе в частных вопросах, определяемых методикой преподавания. И никогда родители не смогли бы ее оказывать, если бы не такие инструктажи. Так что ваши сетования на трудность новой программы для родителей объясняются только слабой связью со школой. Где есть такая связь, там родители получают все необходимые разъяснения и о высказываниях, и о множествах, и обо всем прочем. Кстати, сейчас выходят очень обстоятельные книги для учителей. Их тоже должны читать родители.
      — Что книжка, — вздохнул Григорий Андреевич. — Книжке вопроса не задашь, а задашь, так она не ответит.
      — Николай Николаевич, — сказал инженер, — ехать нам еще долго, погода плохая. Может быть, вы расскажете нам о новой программе подробнее? Тем более что у Григория Андреевича сын в V класс переходит, у нас младшая дочка вот-вот окончит детсад и тоже в школу пойдет.
      — Ну, что же, — с готовностью ответил Николай Николаевич, — завтра и начнем. Поскольку в нашем распоряженин четыре дня... Гм, какие же вопросы мы сможем обсудить? Да, пожалуй, вот так будет лучше всего: мы проведем четыре беседы:
      1. Высказывания.
      2. Множества.
      3. Новое в школьном курсе алгебры.
      4. Новое в школьном курсе геометрии.
      — Не понимаю, — удивилась Анна Александровна, — куда девалась арифметика? Или в ней все осталось по-прежнему?
      — Дело в том, что теперь такого отдельного предмета — арифметики — в школе нет. В младших классах — с 1 по 3 — идет предмет «Математика». В нем изучаются начала арифметики, алгебры и геометрии. В IV классе фактически выделяются два предмета: один — «Арифметика и начала алгебры», второй — «Геометрия». С VI класса математика делится на две дисциплины: геометрию, которая идет до окончания школы, и алгебру, которую в IX классе сменяет предмет «Алгебра и начала анализа».
      Об арифметике как таковой мне вам рассказывать особенно нечего: тут, по сравнению со старой программой, мало что изменилось. Та же таблица умножения, те же задачи. Больше того, материал существенно упрощен, так как более трудные задачи ученики решают с иксом.
      — Ну, с иксом-то мы как-нибудь решим, — заверил Григорий Андреевич. — Я хоть и литератор, а в своем классе всегда приходится заниматься всем понемногу. На уровне VI класса тяну.
      — Простите, простите, — сказал инженер. — А где же в программе наших бесед анализ? Я очень надеялся услышать от вас, как это вы ухитритесь изложить его школьникам. По-моему, это совершенно недопустимо — заставлять детей изучать такой сложный курс. Два года математического анализа — с ума соити!
      — Да, но не думайте, что все эти два года дети будут учить только дифференциалы и интегралы. За это время будут изложены в том же курсе такие вопросы, как показательная и логарифмическая функции, вся тригонометрия, комбинаторика. Однако изучаться они будут с более современной точки зрения именно благодаря использованию понятий математического анализа. В нашем плане этого, однако, нет. Видите ли, времени у нае в обрез: четыре дня — и мы в Москве. А длительные беседы, конечно, недопустимы — мы все же на отдыхе! К тому же мы в неравноправном положении. — В голосе Николая Николаевича зазвучали шутливые нотки. — У меня работа чисто физическая: ходи и говори. А вот вам придется работать умственно: надо во всем разобраться и понять. Так что изложить все новые вопросы программы я не успею. Мы ограничимся первыми пятью классами. Здесь кончается начальный этап обучения математике. Дальше, с VI, как я уже говорил, начинается раздельное преподавание алгебры и геометрии. При этом происходит переход на новую, более трудную ступень обучения, связанную с большей систематичностью и дедуктивностью изложения. Но об этом мы будем говорить завтра.
     
      Беседа первая. «Высказывания»
     
      Когда назавтра Николай Николаевич пришел в каюту к своим любознательным слушателям, все уже ждали его.
      — Прежде всего, — начал он, — я хочу задать вопрос уважаемому Петру Ивановичу. Скажите, как по вашему мнению, должны ли оканчивающие среднюю школу уметь делать правильные логические выводы, должны ли они знать, что такое условие и заключение теоремы, должны ли?..
      — Ну, что за вопрос, батенька, конечно, должны, — нетерпеливо перебил Петр Иванович.
      — В таком случае еще вопрос. А где в школьном курсе их учат умению делать правильные логические выводы, рассуждать?
      — Ну, специально этому не учат, но при доказательстве теорем и решении задач в геометрии учащиеся следуют образцам рассуждений, которые дает учитель и которые они читают в учебнике, и постепенно сами... Да ив алгебре приходится рассуждать, и в арифметике при решении задач тоже ведь подумать надо.
      — Спасибо, — улыбнулся Николай Николаевич. — Итак, школьники должны научиться делать правильные умозаключения, должны в конце концов усвоить основные правила логического вывода, но их этому в школе специально не учат, и приобрести эти умения они могут лишь, так сказать, попутно, стихийно — по мере решения задач и выучивания доказательства теорем. Вряд ли кто-либо из вас сочтет такое положение вещей нормальным. Детей надо научить сознательно делать правильные умозаключения, надо указать им основные правила, помогающие верно рассуждать. Новая программа по математике именно из этого и исходит. В новых учебниках излагаются первоначальные сведения, относящиеся к математической логике — науке, содержащей концентрированное выражение законов дедуктивного мышления. Это означает, что учащиеся получат первоначальные представления о том, какие приемы рассуждения позволяют делать правильные умозаключения, а какие приемы недопустимы, так как могут привести к ложным выводам, к ошибкам.
      Приведу один простой шуточный пример, ярко показывающий, что приемы правильного логического мышления вовсе не столь очевидны и просты. Этот пример известен еще из глубокой древности.
      Один житель острова Крит сказал: «Все критяне лжецы».
      Но ведь сам он критянин и, значит, лжец. Значит, он сказал неправду. Выходит, все критяне правдивы.
      Но тогда и он правдив и потому сказал правду. А если он сказал правду, то получается, что все критяне все-таки лжецы.
      Значит, и он лжец и потому сказал неправду. Посему все критяне правдивы.
      И он правдив — все критяне лжецы.
      Тогда и он лжец...
      Как же выбраться из заколдованного круга? Я не буду рассказывать разгадку этого софизма. Скажу только, что правила математической логики позволяют совершенно ясно и четко объяснить, в чем здесь дело. Есть и много других софизмов — так называются рассуждения, приводящие к явно нелепым выводам, — и, надо сказать, школьники очень любят их разгадывать. А разгадка любого софизма должна состоять всегда в том, чтобы показать, где мы неправильно рассуждали, где применили незаконный прием умозаключения.
      Математическая логика помогает избежать ошибок в выводах, умозаключениях. Эту весьма сложную науку не предполагается изучать в школе в большом объеме, но некоторые первоначальные сведения из нее нужны каждому. Школьники часто обращаются к учителям и родителям с вопросами о том, можно ли так рассуждать, сделать такой-то вывод и т. д.
      Значит, надо вооружить их пониманием — хотя бы в самых общих чертах — точных законов логического, дедуктивного мышления.
      Одной из важных черт современной математики, величественное здание которой строится на строгой логической основе, является применение аксиоматического метода. Впервые аксиоматический метод был систематически применен для построения научной теории древнегреческим ученым Евклидом. В своей книге «Начала», написанной свыше 2000 лет назад, он сделал попытку построить геометрию как чисто дедуктивную науку, изложенную на базе небольшого числа исходных первоначальных положений — аксиом.
      Исходная позиция Евклида была примерно следующей. К тому времени основным способом получения новых фактов в геометрии стал дедуктивный метод, т. е. логический вывод новых положений — теорем — из уже известных фактов. Взяв какую-либо теорему, можно составить список тех фактов, которые требуются для логического вывода — доказательства — этой теоремы. Факты, вошедшие в этот список, в свою очередь, можно вывести из еще более простых фактов и т. д.
      Этот процесс не бесконечен. В конце концов, проделав такой анализ для всех теорем геометрии, удается выделить небольшой список первоначальных фактов — аксиом, из которых можно логически вывести — доказать — все теоремы геометрии.
      Сам Евклид не сумел провести эту точку зрения до конца и дать полный список аксиом, из которых можно было бы чисто логически вывести все теоремы элементарной геометрии. Это было сделано лишь на рубеже XIX и ХХ столетий великим немецким математиком Давидом Гильбертом, который подвел окончательный итог двухтысячелетнего аксиоматического исследования геометрии, начатого Евклидом. Но заслуга открытия аксиоматического метода, служащего мощным орудием современной математики и других наук, принадлежит Евклиду.
      Кстати, не следует думать, что т о льк о геометрия строится на аксиоматической основе. Не меньшее значение аксиоматический метод имеет в алгебре и других направлениях современной математики. Конечно, курс математики должен познакомить школьников с этим методом, составляющим замечательное завоевание человеческой мысли. И это знакомство должно быть более глубоким, чем прежде. Изучение аксиоматического метода и простейших фактов математической логики начинается, как, впрочем, и по старой программе, с VI класса. Но если раньше эти сложности сваливались
      на бедных шестиклассников как снег на голову, то теперь в начальных классах предусматривается серьезная подготовка к их восприятию, постепенный ввод учащихся в трудности алгебры и геометрии.
      — Вы меня извините, Николай Николаевич, но это все общие соображения и пожелания. А как все это осуществить? Как подготовить детей к восприятию :ложных понятий математической логики? Что для этого сделано в новых программах и учебниках? — спросил инженер.
      — Минуточку терпения. Именно к этому я и собираюсь переходить. С этой целью в учебники IV и V классов введены такие понятия, как высказывания, математические предложения, истинность и ложность.
      Давайте разберемся по порядку. Высказывание — это любая фраза, относительно которой можно четко и недвусмысленно судить, истинна она или ложна. Например, в сегодняшнем меню я видел рассольник. Фраза «В сегодняшнем меню имеется рассольник» — высказывание, притом истинное, — конечно, если указано, что речь идет о таком-то дне и о таком-то пароходе. Но фраза «Мы сегодня будем есть рассольник» не является высказыванием, поскольку неизвестно пока, так ли это. А вдруг рассольник не удастся и мы выберем на обед что-нибудь другое.
      — Выходит, фразы, построенные в будущем времени, вообще не могут быть высказываниями? — спросил литератор.
      — Ну, почему же? Если такие фразы выражают научно обоснованное предвидение, то они являются высказываниями. Например, предсказание о том, что луч света за ближайшую секунду пройдет расстояние около 300 000 километров, — это высказывание, и притом истинное. А что он пройдет за секунду всего 3 километра — это тоже высказывание, и притом ложное. Разумеется, не являются высказываниями вопросительные предложения: о них нельзя сказать, истинные они или ложные, так как в них ничего не утверждается. Вот еще несколько примеров высказываний — вы уж сами решите, какие из них истинны, а какие ложны:
      Корова — домашнее животное.
      Луна больше Земли.
      Число 17 не делится без остатка на 8.
      Самолеты движутся по рельсам.
      А вот несколько фраз, которые не являются высказываниями, хотя в них нечто и утверждается (ведь по поводу этих фраз невозможно добиться однозначного суждения — одному покажутся они истинными, другие в этом усомнятся):
      Число 0,01 очень мало.
      Погода сегодня великолепная.
      Днестр переплыть трудно.
      Сладости полезны.
      — Я только не понимаю, какое это имеет отношение к математике, — сказала долго молчавшая Анна Александровна. — Ведь то, о чем вы рассказываете, относится к любому предмету.
      — Да, и в том числе к математике. Понятие высказывания — первичное понятие, и если мы хотим научить школьника рассуждать, то должны начинать с него. Разумеется, полученные знания пом0гут школьнику сознательнее воспринимать не только математику — тут я с вами вполне согласен.
      В математике встречаются разные виды высказываний — здесь есть и аксиомы, и определения, и теоремы (в том числе формулы, равенства и неравенства). Ученик должен уметь разбираться в них, отличать верные (истинные) высказывания от неверных (ложных). В начальной школе он овладевает знанием многих фактов — многих истинных высказываний в математике. Тут и знаменитое дважды два четыре, и вся таблица умножения, н первоначальные геометрические сведения. Поэтому в IV классе, когда вводится понятие высказывания, ученику уже есть на что опереться.
      — А уравнение — это тоже высказывание? — спросил Петр Иванович.
      — Нет. Вот посмотрите, — и Николай Николаевич написал:
      х+2=13.
      Можно ли сказать, верно это или нет?
      — Нельзя, конечно, — ответил Петр Иванович. — Мы ведь не знаем, чему равен икс.
      — Как это не знаем? — возмутилась Анна Александровна. — Икс равен одиннадцати.
      — Простите, давайте разберемся, откуда вы взяли, что х = 11. Для этого вы произвели какие-то действия, т. е вы решил и это уравнение. Вообразите, что какой-то ученик неправильно решил это уравнение и сказал, что здесь икс равен пятнадцати (т. е. он не вычел от тринадцати два, а прибавил). Ясно, что этот спор вы решите проверкой, т. е. посмотрите, что получится при х = 11 и что получится при х = 15. Если вместо икса подставить в наше уравнение число 11, то получится 11+ 2 = 13, т. е. получится верное высказывание. Если же подставить вместо икса число 15, то получится 15+2 = 13, т. е. получится ложное высказывание. Как видите, уравнение х+2 = 13 нельзя считать высказыванием, так как оно не может быть признано ни истинным, ни ложным, пока нам не сказано, чему равен икс.
      В уравнении кроме чисел и знаков действий содержится еще неизвестная величина (обычно обозначаемая буквой х). Если вместо икса мы подставим одно число (скажем, х = 11 в случае рассмотренного уравнения), то получится верное числовое равенство. Как вы знаете, такое число называется корнем рассматриваемого уравнения. Если же вместо икса подставить другое число (скажем, х = 15), то получится ложное высказывание — и это будет означать, что подставленное на этот раз число не является корнем уравнения. Бели хотите, уравнение можно считать как бы вопросительным предложением: когда вам говорят, что дано уравнение х+2=13, то подразумевается неявно поставленный в опрос «Каковы корни этого уравнения?». Иначе говоря, само слово «уравнение» означает, что вы интересуетесь нахождением всех его корней. Эту эмоциональную, как бы вопросительно-побудительную окраску слова «уравнение» не следует забывать.
      Кстати, по поводу вопросительности уравнения полезно обсудить сомнение, которое часто возникает у учащихся. Например, спрашивают: является ли х+2 = 2+х
      уравнением или нет? Думаю, что вопрос неправильно поставлен. Ведь слово «уравнение» показывает наше отношение к этому равенству. Если мы хот и м назвать это уравнением, то это значит, что мы интересуемся, каковы его корни, и ответ будет звучать так: «любое число является корнем этого уравнения». Если же мы хотим сказать, что равенство х+2=2+х является тождеством (в старших классах этот термин применяется), то это будет также означать наше отношение к этому равенству: мы хотим подчеркнуть, что это равенство справедливо для всех чисел, т. е. для любого значения икса. Итак, слово «уравнение» или «тождество» показывает различие в нашем отношении к написанному равенству.
      Это различие сказывается еще и в том, что если уравнение нельзя назвать высказыванием, то тождество, напротив, всегда представляет собой высказывание. Возьмем для примера коммутативный (или переместительный) закон сложения: для любых чисел а, b справедливо равенство: а+b = b+а.
      Ясно, что это есть высказывание (притом истинное).
      Перейдем теперь к вопросу о классификации верных высказываний.
      Любое высказывание в математике Либо объясняет значение слова — термина, либо формулирует некоторые свойства чисел, фигур и т. п. Термины вводятся определениями. Свойства либо декларируются без доказательства (тогда это аксиомы), либо доказываются (тогда это теоремы). Предположим, я не знаю, что такое четное число. Анна Александровна, объясните мне. пожалуйста, что это такое.
      — Ну, это два, четыре, двадцать четыре, — пожала плечами Анна Александровна.
      Мужчины улыбнулись — все, кроме невозмутимого Николая Николаевича.
      — Значит, четных чисел всего три: два, четыре и двадцать четыре? — спросил он.
      — Да нет же, — я могу назвать их сколмо угодно.
      — Все не назовете, — улыбнулся Петр Иванович.
      — Да, — сказал Николай Николаевич, — в данном случае это не метод.
      — Четное число, — сказал инженер, — делится на два.
      — Вот, вот. Только для школьников понятнее, если в определении звучит слово «называется»: четным называется целое число, делящееся на два. Как видите, здесь есть слово «называется». Это довольно типичная, хотя и не обязательная, особенность определений. Можно то же определение высказать и иначе: четное число — это число, делящееся на два. Но ученик должен понять, что в определении обязательно есть определяемый термин (в данном случае это — «четное число») и обязательно есть точная его характеристика (в данном случае указывается, чТо это — «целое число, делящееся на два»). За первые пять лет обучения дети знакомятся со многими определения ми. Например, они узнают, что называется наибольшим общим делителем, параллёльными прямыми, периметром многоуголъника и т. д.
      Перейдем к аксиомам - и теоремам.
      Классический пример: через две точки проходит единственная прямая линия. Мы принимаем это утверждение без доказательства, считаем его аксиомой. Напротив, теорема — это утверждение, которое доказывается, выводится из аксиом и ранее установленных теорем. Так обстоит дело в математической науке. В школьной математике не все столь определенно. Например, в V классе дети доказывают теорему о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180о Однако они не отдают себе отч&та, какие аксиомы и теоремы при этом используются, а просто привлекают для доказательства известный им материал. Сами термины «определение», «аксиома», «теорема» прозвучат позже, в VI классе. Но на самом деле эти виды предложений появляются раньше. И называются они одинаково — правила.
      Всем памятна зубрежка правил. Но теперь мы хотим обойтись без зубрежки. Как это можно сделать, легко понять на простом примере: давайте попробуем сформулировать определение вилки. Можно сказать, что это предмет, употребляемый во время еды и приготовления пищи, у которого рабочая часть состоит из длинных параллельных зубьев. Конечно, к этому можно и придраться: например, потребовать уточнения, какие зубья мы считаем длинными. Но, разумеется, это верное определение. Между тем никогда нас не учили этому правилу, этому определению. Просто дело в том, что каждый из нас хорошо знаком с вилкой, и если бы дети столько же работали с каждым математическим понятием, сколько мы работаем вилкой, тогда, конечно, зубрежка была бы ненужной.
      Вот так и строится новая программа, особенно программа первых пяти классов: постепенно, без зубрежки, в процессе выполнения упражнений дети усваивают правила обращения с математическими понятиями. Например, в IV классе изучается многоугольник. При этом в учебнике определения многоугольника нет. Значит, и с ученика это определение спрошено не будет. Но зато ученик должен успеть привыкнуть к этому понятию настолько, чтобы безошибочно узнавать многоугольники в простых случаях.
      Если мы хотим избежать в старших классах неоправданных перегрузок, то мы должны с 1 класса приучать ребят думать. Центр тяжести здесь перемещается. Раньше основные трудности были в арифметических задачах и примерах в десять-пятнадцать действий. Теперь основное — постижение логики математики. В частности, работа с правилами (определениями, аксиомами и теоремами) — очень важный вид деятельности ученика.
      — Да, все это совсем не просто, — промолвил Григорий Андреевич.
      — Но как интересно. Большое спасибо вам за беседу, Николай Николаевич, — добавила Анна Александровна.
      — Э, нет. Так легко вы от меня не отделаетесь, — засмеялся Николай Николаевич, вынимая из бокового кармана исписанный лист бумаги. — Все равно дождь, на палубе мокро. Получайте домашнее задание.
      1. Вашему сыну задали проработать текст, связанный с понятием прямоугольника, но не содержащий определения этого понятия. Он честно все выучил и решил упражнения. Однако, как вы выяснили, он не совсем ясно понимает, что такое прямоугольник: он не признал квадрат прямо-
      угольником. Что вы будете делать?
      2. Вашей дочери дали задание выделить условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать) в теореме: «Числа, кончающиеся на нуль, делятся на десять». Она делает ошибку, говоря: «Условие: число делится на десять; заключение: число оканчивается на нуль». Как вы объясните ей верный ответ? Какие примеры аналогичных теорем приведете?
      3. Ваш сын, придя из школы, обратился к вам с вопросом:
      — Нам сказали, что аксиомы нельзя доказать, и дали аксиому: «Через две точки проходит только одна прямая». А разве нельзя этого доказать? Приложил линейку и проверил, что вторая прямая пойдет по первой. Вот и доказательство!
      Что вы скажете сыну?
      — Это к какому же сроку все сделать? — спросил Григорий Андреевич.
      — К какому хотите. Дело добровольное. В конце поездки я вам вручу решения всех заданий — этого и следующих, — а также разгадку софизма о критянах.
      Беседа вторая. «Множества»
      — Итак, сегодня разговор о множествах. Эта тема не стоит в программе отдельно. Уже с 1 класса дети постепенно приучаются к словам «множество» и «элемент множества». В IV и V классах несколько уроков специально отводятся этому вопросу. А в дальнейшем весь курс должен быть пронизан теоретико-множественными представлениями. Это — существенная черта новой программы, не затрудняющая, а облегчающая ее изучение.
      Вспомните, как трудно давались детям такие понятия, как геометрическое место точек, геометрическое преобразование, функция, область определения функции. А теперь все это получает единый смысл. Усвоив понятие множества, школьник будет в старших классах сознательно применять его в перечисленных, да и во многих других вопросах.
      И геометрическое место точек, и область определения функции будут теперь изучаться с точки зрения общего понятия множества, станут в. сознании учащихся частными случаями понятия множества. А частные случаи уже знакомого общего понятия усваиваются гораздо естественнее, проще, прочнее, сознательнее.
      Важно понять, что изучение множеств само по себе не расширяет программу. Это просто более общий язык. Конечно, мы не предлагаем полностью отказаться от использования синонимов слова «множество». По-прежнему стадо коров ученик в жизни будет называть стадом. Но мы хотим, чтобы на уроке математики он говорил о «множестве коров». Для IV класса издана специальная таблица о множествах. Я изобразил ее на листочке, — и Николай Николаевич вынул из кармана рисунок. — Как видите, здесь и коровы, и кошки, и лошади, и самолеты. Спрашиваем на уроке: как называется множество коров? Стадо, говорят. А множество коней? Табун. А множество самолетов? Звено. А нет ли здесь такого множества, которое не имеет особого названия? Есть, например, множество кошек. Дети убеждаются в многозначности слова «множество», в его большой общности.
      Затем мы спрашиваем о множестве животных темной окраски, о множестве вообще всех животных на таблице. Специального названия оно, конечно, не имеет. И не требуется каждое множество как-нибудь специально называть. Да и не хватит слов. Другое дело — обозначить множество буквой. В каждой новой задаче буквы могут использоваться заново, т. е. букву, которой обозначалось множество в одной задаче, можно в новой задаче использовать для обозначения другого множества. Так что букв нам хватит. А не хватит — можно писать буквы с индексами: Аь А2, Аз и т. д. Конечно, глядя на букву А, нельзя без объяснений понять, о каком именно множестве идет речь; буква А может обозначать любое множество, любую точку так же, как, например, слово «табун» может обозначать любое множество лошадей. Если мы хотим пояснить, какое множество имеется в виду, мы можем это сделать по-разному. Можем нарисовать группу детей и рядом поставить бУкву А. Тогда А — это группа детей, изображенье на рисуНке. Можно описывать множеств словами: А — мНожество детей на рисунке, В — м«ожество пассажиров этой каюты, С — множество женщин в этой каюте, О — множество грибов, собранных в прошлое воскресенье людьми из множества В. Впрочем, может бЫтb, вЫ не собирали грибов в прошлое воскресенье-Тогда множество О будет пустым. Я вижу улыбки на ваших лицах. Да, да, это то самое пустое множество, которое вначале вызывает испуг у родителей. Часто СпраШивают, зачем вводить такое странное понятие «пУстое множество», и добавляют: множество ведь это значит много!
      Однако когда я называл один за другим свои примеры, я следил за вашей реакцией: А — множество детей, В — множество пассажиров этой каюты, С
      множество женщин в этой каюте. И пока я не сказал о грибах, вы спокойно воспринимали мои примеры. А разве так уж много женщин в этой каюте? Важно понять, что, хотя слова «много» и «множество» имеют общий корень, они выражают разные понятия. Вот еще пример. Решая какую-нибудь задачу, мы хотим найти все ее решения, т. е. найти множество всех ее решений. А если задача не имеет решений? Удобнее считать, что у такой задачи множество решений пустое, чем говорить, что у задачи «нет множества решений». Так что если вы не собирали грибов в прошлое воскресенье, то множество й — пустое. Этот факт записывают так: й=0.
      С помощью знака равенства можно записывать и непустые множества. Например, если В — множество пассажиров этой каюты, то можно это записать так: В= {А. А., Ю. А., П. И., Г. А.}. Вы, конечно, понимаете, что я употребил инициалы; моих инициалов эдесь нет, так как я — пассажир другой каюты, я ваш гость.
      Заметьте, при обозначении множеств ни круглых, ни квадратных скобок не употребляют — только фигурные.
      До V класса дети имеют дело только с конечными множествами. А вот в V появляются множества бесконечные, и тут возникают трудности при записи. Например, что означает запись В = {1, 2, 3,...) ? Возможно, что так обозначено множество, состоящее из всех десяти цифр, которое мы не захотели вписать до конца, т. е. множество ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, О}. Но возможно, что таким способом обозначено множество всех чисел первой сотни — его можно было бы записать также в виде ( 1, 2, 3, 100) — или множество в с е х натуральных чисел.
      Таким образом, многоточие всегда означает, что в множестве имеется целый ряд невыписанных элементов. Но чтобы было точно известно, о каком множестве идет
      речь, надо обязательно пояснить, что означает многоточие, пояснить, какие именно элементы за этим многоточием скрываются. Зная только несколько элементов множества (скажем, 1, 2, 3), но не имея дополнительных разъяснений, мы можем только догадываться, какое взято множество, но эта догадка может нас и подвести.
      Вот еще пример. — Николай Николаевич написал
      С= ( 2, 3, 5,... }
      и вновь обратился к своим слушателям. — Можете ли вы узнать, о каком множестве идет речь?
      — Мне кажется, это нетрудно, — сказал инженер. — Следует обратить внимание на то, что число 3 больше, чем 2, на единицу, а следующее число 5 больше его предыдущего 3 уже на два. Поэтому следующее число будет больше, чем 5, уже на три, следующее будет больше на четыре и т. д. Мы получаем возможность выписать сколько угодно элементов этого множества:
      С=(2, 3, 5, 8, 12, 17,... ).
      — Э, батенька, можно сделать и более естественное предположение. Заметьте, что 2, 3, 5 — это три первых простых числа.
      — Простых? — переспросила Анна Александровна.
      — Да. — Петр Иванович посмотрел на нее поверх очков. — Простым называется такое натуральное число, большее единицы, которое не делится ни на какие натуральные числа, кроме единицы и самого себя. Так вот, заметив, что 2, 3, 5 — это три первых простых числа, естественно предположить, что С — множество всех п р о стых чисел:
      С.= (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... }.
      — Ну, вот видите, — торжествовал Николай Николаевич, — вывод ясен: перечисление нескольких элементов не определяет без дополнительных пояснений того множества, в записи которого используется многоточие. А иногда, зная лишь несколько элементов множества, вообще нелегко догадаться, о каком множестве идет речь.
      Есть, между прочим, такая загадка-шутка: угадать, какое множество я задумал, если его первый элемент 1, второй элемент 2, третий элемент 3, четвертый элемент 5, следующий 10...
      Николай Николаевич с удовлетворением отметил недоумение на лицах слушателей и продолжал:
      — Следующий элемент 15, затем 20, затем 50 копеек и, наконец, рубль.
      Вот видите, вы не сразу поняли , что речь идет о множестве монет разного достоинства.
      Теперь обратите внимание — иногда я употреблял в своей речи слово «элемент». Я не ошибусь, утверждая, что ни у кого из вас это слово не вызвало протеста, хотя я и не дал ему никакого определения. Точно так же, исподволь, сло-
      ва «множество» и «элемент» воспринимаются и детьми. Множество, конечно, если оно не пустое, состоит из элементов. А пустое множество не имеет ни одного элемента. Запись множества с помощью фигурных скобок должна содержать перечень его элементов.
      Элементы множества нередко обозначают малыми буквами латинского алфавита. Запись аЕ А читается так: «элемент а принадлежит множеству А», а запись а $ А читается: «элемент а не принадлежит множеству А:..
      Мы уже говорили о бесконечных множествах. Натуральный ряд
      N = { 1, 2, 3,... }
      (т. е. множество всех натуральных чисел) является бесконечным множеством. Множество
      ( 2, 3, 5, 7,... }
      всех простых чисел также бесконечно. Дальнейшими примерами бесконечных множеств могут служить множество
      { 2, 4, 6,... }
      всех четных чисел, множество {1, 3, 5,... 1 всех нечетных ч и се л, множество { 10, 20, 30,... }
      всех чисел, делящихся на 10 (т. е. оканчивающихся нулем), и т. д.
      Отметим еще одну деталь, связанную с обозначением бесконечных множеств. Обычно буквой п обозначают произвольное натуральное число. Тогда 2п будет обозначать произвольное четное число, а 2п — 1 — про-нзвольное нечетное число (здесь, конечно, речь идет о
      положительных четных и нечетных числах, так как отрицательных чисел четвероклассники еще не знают). В самом деле, если вместо п брать последовательно числа 1, 2, 3 и т. д., то выражение 2п будет принимать значения 2, 4, 6 и т. д., т. е. выражение 2п будет последовательно «пробегать» все четные числа. Ну, а выражение 2п — 1 будет принимать значения 1, 3, 5 и т. д., т. е. выражение 2п — 1 будет последовательно «пробегать» все нечетные числа. Поэтому выражение 2п называют формулой четного числа, а выражение 2п — 1 — формулой нечетного числа. В связи с этим при записи бесконечных множеств — или, лучше сказать, бесконечных последовательностей — часто указывают «п-й член» (или «общий член») соответствующей последовательности, т. е. пишут
      N =( 1, 2, 3,... , п,... } — множество всех натуральных чисел;
      (2, 4, 6,... , 2п,... } — множество всех четных чисел;
      ( 1, 3, 5,..., 2п — 1 ,... } — множество всех нечетных чисел.
      А вот формулы для п-го простого числа не существует, так что записать множество всех простых чисел с указанием общего члена невозможно.
      Вот и все, что должен знать о множествах ученик IV класса: обозначение множества заглавными (или, как еще говорят, «большими») буквами латинского алфавита, обозначение элементов строчными («малыми») буквами латинского алфавита, употребление фигурных скобок для обозначения множеств, понятие о бесконечных множествах, употребление многоточия для невыпи-санных элементов, знак пустого множества и знак принадлежности элемента множеству.
      Этот материал получает развитие в V классе. Там учащиеся знакомятся с пересечением и объединением множеств. Пересечение двух множеств — это их общая
      часть, т. е. множество, состоящее из элементов, входящих в оба данных множества: ив то ив другое. Пусть, например, А — множество школьных учителей, находящихся здесь, а В — это множество математиков, находящихся здесь... Видите, Петр Иванович улыбается. Он — элемент каждого из этих множеств. И других общих элементов нет. Значит, Петр Иванович — пересечение этих множеств. Точнее говоря, пересечением этих множеств является множество, состоящее из одного элемента — Петра Ивановича.
      Еще пример — на этот раз из географии. Пусть М — множество частей света, полностью расположенных в Восточном полушарии Земли, т. е.
      М = [ Европа, Азия, Африка, Австралия)
      Заметим, что Антарктида не лежит полностью в Восточном полушарии и поэтому Антарктида в М.
      Теперь рассмотрим множество N. состоящее из частей света, перерезаемых экватором:
      N = { Америка, Африка, Азия ).
      Найдем пересечение множеств М и N. Пересечение — это общая часть двух множеств. Значит, в данном случае в пересечение войдут части света, полностью лежащие в Восточном полушарии и пересекаемые экватором, т. е. Африка и Азия.
      Пересечение множеств обозначается знаком п , похожим на перевернутую букву И латинского алфавита. Теперь мы можем рассмотренные примеры записать так:
      { Анна Александровна, Петр Иванович, Григорий Андреевич j П { Петр Иванович, Николай Николаевич } =- { Петр Иванович }.
      {Европа, Азия, Африка, Австралия } П { Америка, Африка, Азия } = ( Азия, Африка }.
      Еще пример. Каково пересечение множества частей света, целиком лежащих в Западном полушарии, и множества частей света, целиком лежащих в Южном полушарии?
      В Западном полушарии лежит целиком только Америка. В Южном — только Австралия и Антарктида. Так что получается пустое пересечение:
      { Америка } П { Австралия, Антарктида ) = 0. Множества, у которых пустое пересечение, называют непересекающимися. Например, множество рыб и множество домашних животных не пересекаются, т. е. имеют пустое пересечение. А множество млекопитающих и множество домашних животных пересекаются: собака, например, принадлежит тому и другому множеству, входит в их пересечение.
      Теперь перейдем к объединению. Объединение двух (иди нескольких) множеств — это множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Вот простенькая задача, иллюстрирующая это определение.
      Туристы на завтрак ели кашу из концентрата и пили сладкий растворимый кофе с хлебом и колбасой. В обед они ели суп и кашу из концентратов и пили компот из сухофруктов; суп они ели с хлебом. В ужин они пили сладкий растворимый кофе с хлебом и сыром. После ужина главный повар похода доложил начальнику, что нся провизия съедена. Спрашивается, какие продукты были у туристов утром? Ответ, конечно, такой: концентрат каши, концентрат супа, растворимый кофе, сухофрукты, сахар, хлеб, колбаса и сыр. Чтобы перевести эту задачу на язык множеств, обозначим буквой А множество названий продуктов, использованных при приготовлении завтрака, через В — множество названий продуктов, потребовавшихся при приготовлении обеда, и через С — множество названий продуктов, съеденных во время ужина. Тогда
      А= { концентрат каши, растворимый кофе, сахар, хлеб, колбаса } ;
      В= { концентрат супа, концентрат каши, сухофрукты, хлеб) ;
      С= { растворимый кофе, хлеб, сыр, сахар j.
      В задаче спрашивается, что было у туристов перед завтраком (так как за день, судя по докладу повара, они съели все). Ответом на вопрос будет объединение множеств А, В и С, т. е. множество, состоящее из названий всех продуктов, входящих хотя бы в одно из этих множеств. Обозначается объединение множеств знаком и, похожим на латинское И. Итак, нас интересует множество
      А и В и С = ( концентрат каши, растворимый кофе, сахар, хлеб, колбаса } и
      и (концентрат супа, концентрат каши, сухофрукты, хлеб } и
      и { растворимый кофе, хлеб, сыр, сахар }
      Чтобы найти результат, перепишем сначала элементы первого множества, потом недостающие из второго, потом недостающие из третьего:
      А и В и С = { концентрат каши, растворимый кофе, сахар, хлеб, колбаса, концентрат супа, сухофрукты, сыр }.
      Еще задача: утром я езжу в бассейн на автобусе, оттуда на работу троллейбусом и метро, а вечером еду домой на метро и на автобусе. На каких видах транспорта я езжу?.
      Эту задачу вы решите к завтрашнему дню. А сейчас я дам и остальные — для желающих. Но прежде напомню еще одно понятие, изучаемое в курсе V класса. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Записывается это так: Ас В (читается: «множество А является подмножеством множества В»). Пустое множество считается подмножеством любого множества.
      После этого Николай Николаевич вынул из кармана очередной листок с заданием. (…)
     
      Беседа третья. «Новое в школьном курсе алгебры»
     
      — Весь школьный курс алгебры, — начал Николай Николаевич, — пронизан несколькими идейными нитями, из которых я отмечу три основные. Это, во-первых, постепенное обобщение понятия числа, во-вторых, решение уравнений различных типов и, в-третьих, изучение элементарных функций. Разумеется, эти идеи можно найти и в курсе алгебры, изучавшемся в наших школах по старой программе, но теперь они получают более глубокое развитие.
      Мы уже говорили о том, что по новой программе уравнения изучаются в школе значительно раньше. В IV классе они уже применяются систематически, а привычка обозначать неизвестную величину буквой х вырабатывается у учащихся даже с 1 класса. Такое «омоложение» темы об уравнениях способствует постепенному и более глубокому их усвоению. У учащихся же это не вызывает дополнительных трудностей, поскольку материал, связанный с уравнениями, вводится постепенно. Кроме того, значительно упрощается решение наиболее сложных арифметических за-
      дач, которые теперь решаются с применением уравнений.
      Если к этому добавить, что в старших классах будет уменьшено число «вычурных» уравнений, решаемых сложными и искусственными приемами, то станет ясно, что темы об уравнениях, построенные в соответствии с новой программой, дают упрощени е школьного курса математики. Высвобождающееся время можно будет использовать для более глубокого усвоения основных, принципиальных вопросов, связанных с уравнениями, и для изучения тех новых разделов, о которых мы уже говорили.
      Примерно то же, только в еще большей степени, относится к изучению функций и графиков. Раньше использование графических представлений происходило эпизодически, отдельными небольшими «островками» в курсе математики. Это приводило к тому, что учащиеся, как правило, не умели графически мыслить и, в результате, курс математики усваивался труднее: ведь графические представления, благодаря их большой наглядности, облегчают понимание наиболее трудных разделов учения о функциях. Ясно поэтому, что темы, развивающие графическое мышление, должны пронизывать курс целиком, а не входить отдельными островками. Из этого и исходит новая программа. Графики нужны инженеру и врачу, диспетчеру и экономисту, нормировщику и токарю, научному работнику и руководителю предприятия. И неудивительно, что новые учебники для IV и V классов много говорят о графиках, графическом осмыслении формул, графическом решении уравнений. Как и темы о решении уравнений, графический материал значительно «омолодился»: он изучается теперь не в VI, а уже в IV классе. Этим, благодаря большой наглядности графического материала, тоже достигается облегчение нового курса математики по сравнению с прежним: ведь число часов и количество материала в целом осталось примерно таким же, но материал во многом стал проще, нагляднее. Конечно, новизна материала и непривычное построение курса вызывают определенные трудности у учителей и родителей, но для учащихся этот материал, несомненно, проще.
      Однако. в сегодняшней беседе мы уделим основное внимание не уравнениям, не функциям и графикам, а первой идейной линии, отмеченной мною, — постепенному обобщению понятия числа...
      — Как вызнаете, — продолжал после некоторой паузы Николай Николаевич, — запас чисел, изучаемых в школе, возникает не сразу: сначала учащиеся знакомятся с натуральными числами, затем к ним присоединяются дробные 11, наконец, отрицательные числа, чем завершается построение поля рациональных чисел.
      — Значит, не только биологи говорят на своих уроках о полях, но и математики? — удивилась Анна Александровна.
      — Да, представьте себе. Только в числовом поле «растут» не злаки, а Числа. Но об этом я упомянул лишь попутно. Так вот, в V классе учащиеся уже имеют полный «запас» рациональных чисел. Ну, а в старших классах пойдет разговор уже о действительных (т. е. не только рациональных, но и иррациональных) числах и о числах комплексных. Очень важно заметить, что постепенно расширяющийся запас чисел изучается не только в том отношении, какие числа в него входят, но и в отношении действий над этими числами и законов действий. Этот материал и раньше изучался в школе, но знакомство с ним было очень беглым, формальным, и в результате учащиеся не отдавали себе ясного отчета, где и когда они используют те или иные свойства действий. В результате дети не поНимали смысла проводимых алгебраических преобразований и потому допускали ошибки в вычислениях и при решении примеров. Новая программа требует сознательного, глубокого усвоения свойств действий и их роли в алгебре. Вот обо всем этом мы и поговорим сегодня подробнее. Как вы знаете, множество
      А= 1, 2, 3,...
      всех натуральных чисел называется натуральным рядом. Уже в 1 классе дети знакомятся с четырьмя арифметическими действиями над натуральными числами. Это — сложение, вычитание, умножение и деление.
      Однако нужно иметь в виду, что сложение и умножение в множестве натуральных чисел выполнимы всегда (т. е. для любых двух чисел), а вычитание и деление — не всегда. Возьмите числа 2 и 5. Сложить их можно — будет семь. Перемножить тоже можно — будет десять. А вот вычесть два из пяти можно — будет три, — но пять из двух нельзя. Разделить же ни два на пять, ни пять на два не удается.
      — Как это не удается! — возмутилась Анна Александровна. — И вычесть можно пять из двух — получится минус три, — и разделить можно. Вот, пожалуйста: 2—5 = —3; 2:5=2/5
      — То, что вы написали, совершенно правильно. Но ведь мы говорим о начальном обучении, и вы должны учесть, что в это время дети еще не знают ни дробей, ни отрицательных чисел. Поэтому они и не могут выполнить этих действий. Иными словами, в самом множестве натуральных чисел, не выходя за его пределы, действия 2—5 или 2/5 — невыполнимы. Как видите, не все дозволено в множестве натуральных чисел!
      Но вот с 3 класса вводятся дроби. Теперь хоть два дели на пять, хоть пять на два. Мы получаем возможность делить. любое число на любое. Остается только одно запрещение, причем остается навеки: на нуль делить нельзя.
      В V классе появляются отрицательные числа. Теперь уже можно неограниченно выполнять все четыре арифметических действия — кроме, разумеется, деления на нуль.
      Весьма существенным является то, что, начиная с 1 класса и до завершения построения поля рациональных чисел в V классе, изучение все расширяющегося запаса чисел тесно увязывается с законами действий: коммутативным, ассоциативным, дистрибутивным. Обычно в школе их называли иначе: переместительный, сочетательный и распределительный законы. Когда мы говорим, что операция подчиняется коммутативному (переместительному) закону, это значит, что если числа а и b, участвующие в операции, поменять местами, то результат не изменится, причем это должно быть верно для л ю б ы х чисел а и b. Коммутативному закону подчиняются и сложение чисел, и умножение, т. е. а+b = b+а, аb = bа. Напротив, вычитание и деление некоммутативны, т. е. равенства а — b = b — а и а:b = b: а в общем случае (т. е. для любых чисел а и b) неверны. Хотя при а = b равенство а — b = b — а справедливо, мы не можем считать вычитание коммутативной операцией, так как не для любых чисел а и b равенство а — b = b — а верно. Например, 3 — 6+ 6 — 3. То же относится и к делению.
      Теперь об ассоциативности. Предположим, нам нужно прибавить к числу а сумму чисел b и с. Это можно сделать так: сложить b и с и затем осуществить требуемое сложение. Например, 8+ (2+4) = = 8+6= 14. Но можно поступить и иначе: прибавить к чис-
      лу а сначала первое слагаемое, а затем к получившейся сумме прибавить второе слагаемое. Например, в нашем случае это даже удобнее: 8+ (2+4) = (8+2) + +4 = 10+4 = 14. Аналогично можно поступать и при умножении: 8- (2-4) = (8-2) -4. В общем случае эти равенства записываются так:
      а+ (b+с) = (а+b)+с, а (bс) = (аb) с.
      Это и есть ассоциативные (сочетательные) законы сложения и умножения.
      Вычитание и деление — неассоциативные операции.
      (…)
      Все это, как вы видите, обычный школьный материал. Новое состоит лишь в том, что теперь дети будут изучать его более внимательно.
      Иногда говорят, что нельзя вводить в школу новых слов: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность; что нужно оставить старые названия: переместительность, сочетательность, распределительность. Однако это устаревающая точка зрения. Ведь никто не видит вреда в том, что дети на уроках биологии произносят название «дезоксирибонуклеиновая кислота», а на уроках физики говорят о трансформаторах и аккумуляторах. Возражение, что у этой кислоты нет русского, «понятного» названия, неосновательно. Название можно было бы и придумать. Придумали же старые методисты названия: переместительный, сочетательный и распределительный. Это было сделано, чтобы детям было легче. Вот и для ДНК можно придумать понятное название, а аккумулятор можно было бы называть накопителем. Но вряд ли это целесообразно. Во всем мире дезоксирибонуклеиновая кислота называется именно так. И во всем мире, в том числе и в нашей, советской математической науке, переместительный закон называется коммутативным, сочетательный — ассоциативным, а распределительный — дистрибутивным. Всюду, кроме школы. Можно возразить, что дезоксирибонуклеиновая кислота изучается лишь в Х классе, а законы действий — в IV. Верно, но ведь ученики IV класса лихо говорят о лазерах и гиперболоидах, о космосе, о лайнерах, совершающих перелеты между городами, и о многом другом. Вряд ли три новых слова их испугают. Да и трудно сказать, так ли уж «понятно» слово «распределительность». Кто-нибудь из детей, возможно, скажет, что скорее равенство а+ (b+с) = (а+b)+с можно назвать распределительностью, так как здесь по-разному «распределяются» скобки в левой и в правой частях равенства.
      — Простите, что я вас перебиваю, — вмешался Петр Иванович. — Но мне припомнилось, как один шестиклассник назвал ассоциативный закон а+ (b+с) = (а+ +b) +с переместительным: он сказал, что скобки в нем «перемещаются». Так что тут я вполне к вам присоединяюсь.
      — Однако школьные традиции живучи, и даже в новых учебниках пока остались старые названия этих законов.
      Тот факт, что новая программа предусматривает более серьезное изучение этих законов, чем прежде, далеко не случаен. С их помощью удается привести в систему, казалось бы, разрозненные правила алгебры. Вот мы и хотим, чтобы дети понимали, откуда что берется. Запомнить здесь нужно не так уж много: коммутативные законы сложения и умножения, ассоциативные законы сложения и умножения, дистрибутивный закон и еще чуть-чуть: роль нуля при сложении и роль единицы при умножении. Вот полный перечень всех этих законов: (…)
      Кстати, Анна Александровна, н могу теперь точно ответить вам, что такое поле в математическом понимании. Поле — это такое множество чисел, в котором для любого числа а имеется также противоположное число — а, для любого числа а* О имеется обратное число ~а и при этом справедливы все перечисленные законы. Например, все рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные) этими свойствами обладают. Поэтому это множество чисел и называют полем рациональных чисел.
      — Простите, Николай Николаевич, я хоть и инженер — вроде бы с математикой в дружбе, — а одной вещи не понимаю. Где же у вас отмечена роль нуля при умножении? Где записано, что произведение любого числа на нуль равно нулю?
      (…)
     
      Беседа четвертая. Новое в школьной геометрии
     
      — Сегодня наша тема, — начал Николай Николаевич, — точечные множества, или геометрические фигуры. Вот видите, уже здесь ощущается" преимущество языка новой программы перед старой. Геометрия, изолированный ранее курс, стала теперь ближе к алгебре в понимании ребенка: алгебра изучает числовые, а геометрия — точечные множества. Стали естественнее определения. Раньше ученик говорил, что геометрия — это наука о геометрических фигурах, а геометрические фигуры — это предмет геометрии. За пределы этого порочного круга он выйти не мог. Сейчас у него есть определение геометрической фигуры через понятие множества и понятие точки.
      Например, я уже упоминал о так называемых геометрических местах точек. Этот термин укрепился в геометрии со времен Аристотеля. Он считал, что поскольку геометрическая точка не имеет размеров, то, сколько бы мы точек ни «прикладывали» друг к другу, ничего, кроме точки, и не получим. Значит, линию, по мнению Аристотеля, нельзя «составить» из отдельных точек.
      Отсюда и возник тезис о том, что линия не может считаться состоящей из точек, а лишь представляет собой место, где могут находиться точки. Вот и стали в геометрии называть линии, встречающиеся при решении задач на построение, геометрическими местами точек. Эти представления, идущие от идеалистических течений древнегреческой философии, давно преодолены в математике. Мы сейчас считаем любую линию, любую поверхность состоящей из точек, т. е. считаем ее множеством точек. Отрезок, луч, прямая линия, круг, окружность, угол и другие фигуры представляют собой бесконечные множества точек.
      В последнее время и в школе стали рассматривать «геометрические места» с более современной точки зрения — как множества точек, обладающих некоторым свойством. Но вопрос этот оставался трудным для учащихся, и не случайно. Если геометрическое место точек — это просто множество точек, то один из терминов лишний. Вместе с тем в описании геометрического места есть вреднейшие слова: иногда говорят, например, что геометрическое место точек — это множество точек, обладающих некоторым свойством. Получается, что бывают множества, элементы которых обладают некоторым общим свойством, но бывают и такие множества, элементы которых никаким общим для них свойством не обладают. Это разрушает правильное представление о множестве как о собрании элементов по векоторому закону, т. е. по признаку, свойству, общему для всех его элементов. Достаточно сказать, что все точки, составляющие множество М, обладают уже тем общим свойством, что они принадлежат этому множеству. Здесь виден идейный вред понятия геометрического места точек.
      Кроме того, «геометрические места» способствуют укоренению одной существенной ошибки. Есть, например, такая теорема: «Множеством точек, одинаково удаленных от концов отрезка, является перпендикуляр к этому отрезку, проведенный через его середину», — Николай Николаевич сделал чертеж.
      — Здесь отмечено несколько точек на перпендикуляре, и нужно доказать, что каждая из них одинаково удалена от концов отрезка, что, вообще, каждая точка перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В, т. е. МА=МВ, NA=NB, КА=КВ и т. д. Но предположим,
      мы это доказали. Дальше что? Многие ученики считают, что дальше ничего, что теорема доказана. Это — распространеннейшая ошибка. Разберем, в чем она заключается. Мы хотели доказать, что проведенный перпендикуляр и множество точек, одинаково удаленных от концов этого отрезка, — это одно и то же. А доказали пока лишь то, что каждая точка перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка, т. е. принадлежит множеству точек, одинаково удаленных от концов отрезка. А верно ли обратное, т. е. каждая ли точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на этом перпендикуляре?
      Это вопрос, требующий отдельного рассмотрения, вопрос, без решения которого доказательство не может считаться законченным.
      Ученики не очень хорошо улавливают эту мысль, но если объяснить ее с более общих позиций — не через пресловутые «геометрические места», а через множества, — то все это оказывается куда более понятным. Нам нужно доказать равенство (т. е. совпадение) двух множеств: Р равно 0. В нашем случае Р — это множество точек, лежащих на перпендикуляре; 0 — это множество всех точек, одинаково удаленных от концов данного отрезка. Но что такое равные множества? Это множества, состоящие из одних и тех же элементов, одних и тех же точек. Итак, нужно доказать, что каждая точка множества Р принадлежит множеству 0 и что каждая точка множества 0 принадлежит множеству Р. А пока доказано лишь то, что каждая точка множества Р принадлежит множеству 0, т. е. что каждая точка перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка. Нужно еще доказать, что каждая точка множества Q принадлежит множеству Р, т. е., что каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, принадлежит этому перпендикуляру. Вот и вся премудрость.
      Но все же только для этого, только для правильного понимания «геометрических мест», да еще для определения геометрической фигуры вряд ли стоило бы использовать множества в геометрии. Здесь преследуются более глубокие цели.
      Дело в том, что курс геометрии по новой программе с самого начала н до последнего, Х класса пронизан идеей широкого применения геометрических преобразований, которые служат подлинным фундаментом нового курса геометрии. Но добиться правильного понимания существа геометрических преобразований, добиться сознательного и успешного применения их при решении геометрических задач и доказательстве теорем невозможно без овладения школьниками языком теории множеств. Вот и получается, что учение о множествах — фундамент всей геометрии ло новой программе. Это можно считать первой основной отличительной чертой новой программы.
      Я уже упомянул, — продолжал Николай Николаевич, — о второй основной черте — о широком использовании геометрических преобразований. Рассмотрим этот вопрос подробнее. По существу, речь идет о переосмыслении всех геометрических представлений учащихся, о переводе всего геометрического мышления, мировоззрения учащихся на новые рельсы.
      Чтобы было ясно, о чем идет речь, рассмотрим такую задачу: «На боковых сторонах равнобочной трапеции построены вне ее равносторонние треугольники и третьи их вершины соединены отрезком; надо доказать, что этот отрезок параллелен основаниям трапеции». Вот чертеж, иллюстрирующий эту задачу. Раньше учащиеся для ее решения рассматривали углы, треугольники; решение было довольно длинным. Между тем факт, который нужно доказать, очень прост, нагляден и, по существу, заранее очевиден. И убедить в его справедливости можно любого ученика, знающего, что такое трапеция. Надо провести прямую 1 через середины оснований трапеции — она на рисунке проведена пунктиром — и перегнуть чертеж по этой прямой. Тогда левая и правая половины чертежа совместятся и сразу станет ясно, что прямые АВ, СВ и перпендикулярны I и потому параллельны между собой. В этом рассуждении шла речь о перегибании чертежа по прямой 1, т. е. об осевой симметрии — симметрии относительно прямой 1. Это одно из очень важных и часто применяемых геометрических преобразований.
      Идея заключается в том, чтобы эту наглядность чертежа, эту бросающуюся в глаза его симметричность принять не отдельно стоящей от доказательства (видишь одно, а рассуждаешь совсем по-другому!), а использовать эту симметричность чертежа как основу доказательства. Это очень существенно. Часто ведь бывает так, что ученик не понимает связи между тем, что он доказывает, и тем, как это делается. Так рождается формализм в знаниях, оторванность их от реального содержания. Важно сделать чертеж подлинной опорой для ученика.
      Вот еще пример. На основании равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки АМ и СМ, а на боковых сторонах — равные отрезки АР и CQ. Надо доказать, что отрезки РМ и РМ пересекаются на высоте этого треугольника. С точки зрения обычной наглядности, простого здравого смысла все ясно: левая и правая половины чертежа симметричны относительно высоты, так что прямые РМ и РМ симметричны и, значит, пересекаются на высоте. А попробуйте доказать «старыми» методами: одна пара равных треугольников, вторая, третья... Сложновато! Можно привести такие же примеры, относящиеся и к другим геометрическим преобразованиям: повороту,
      центральной симметрии, параллельному переносу. И эти примеры вовсе не специально подобраны: большинство задач проще решается с помощью преобразований, чем с помощью традиционных «цепочек» равных треугольников. Правда, такой способ решения непривычен (и, может быть, поэтому не сразу оценивается учителями и родителями), ио ведь учащиеся-то будут только это изучать, для них это будет основной способ геометрического рассуждения, это будет их «геометрическое мировоззрение».
      А для того, чтобы учащиеся действительно усвоили эту новую (новую не для них, а для нас!) методику решения задач и рассуждения, нужно постепенно и возможно раньше знакомить их с этими идеями, с примерами симметрии и других геометрических преобразований. Это и осуществлено в новой программе. Уже в пятых классах учашиеся узнают обо всех основных геометрических преобразованиях плоскости и применяют их для решения задач и доказательства теорем. Такова вторая линия построения курса геометрии по новой программе.
      А третья — и здесь новая программа вполне едина как по отношению к алгебре, так и к геометрии — состоит в возможно более раннем введении геометрических понятий в школе. Мы начинали геометрию в VI классе, и это очень поздно. Начинать нужно с I класса. Опыт показывает, что ничего недоступного в этом. нет. В начальной школе от ребенка требуется немного: вырезать геометрические фигуры, чертить их, узнавать. В IV и V классах ребята уже начинают приучаться к элементам рассуждений R геометрии: я упоминал, что в V классе доказывается теорема о сумме углов треугольника; в IV — о равенстве вертикальных углов. А с VI класса начинается систематический курс. Но вы представляете себе, насколько подготовленными будут наши шестиклассники для такого курса? Чтобы представить это более отчетливо, я расскажу подробнее, в каком классе что проходится. Это вам важно знать как родителям.
      Начнем с 1 класса. Здесь ребенок учится различать и изображать прямые, кривые и ломаные линии, отрезки прямой, многоугольники, измерять дЛину отрезка линейкой, выяснять, на сколько один отрезок больше другого (это называется разностным сравнением отрезков в отличие от кратного сравнения, при котором выясняют, во сколько раз один отрезок больше другого). Подчеркиваю, что собственно вычислительных и измерительных задач в 1 классе немного и все они выполняются с помощью линейки. Кроме того, первоклассник должен знать, как сгибами наметить на листе бумаги прямой угол, и должен уметь отличить прямой угол от непрямого. Наконец, он знакомится с понятием прямоугольника и квадрата и учится изображать их на бумаге в клетку.
      Перейдем ко II классу. Здесь новый материал по геометрии таков: увеличение и уменьшение отрезка в несколько раз, кратное сравнение отрезков, деление отрезка на равные части, понятия острого и тупого угла, знакомство с видами треугольников: остроугольным, прямоугольным, тупоугольным, разносторонним, равнобедренным и равносторонним. Кроме того, ученик должен уметь измерить периметр многоугольника, т. е. найти длину ломаной, ограничивающей многоугольник. Эта операция сводится к измерению отрезков: нужно измерить линейкой каждое звено ломаной (т. е. каждую сторону многоугольника), а затем сложить результаты. Далее, мы учим второклассника вычислять периметр прямоугольника с использованием его свойств: измеряются только две соседаие стороны, а затем сумма их длин удваивается. Во II классе дети также учатся владеть циркулем: они чертят окружность и должны понимать, что такое окружность, круг, центр окружности, радиус окружности. Они должны уметь разделить круг на две и на четыре равные части перегибанием листа бумаги. Особо нужно оговорить, в каком смысле дети должны понимать, что такое центр, радиус и т. д. Здесь пока еще не идет речь о знании точного текста определения и умении применить его. Пока проверка понимания идет так. Ученику говорят: отступи от последней строки, написанной тобой в тетради, на 1 О клеток вниз, а от левого края листа на 8 клеток и в этом месте поставь точку; обозначь эту точку буквой О; начерти окружность радиусом 3 с.м с центром в точке О; прочерти какой-нибудь радиус этой окружности; обозначь второй конец радиуса буквой А; напиши, принадлежит ли точка А начерчен ной окружности, принадлежит ли она начерченному кругу; принадлежит ли точка О начерченной окружности, начерченному кругу; отметь на чертеже точку В, принадлежащую кругу, но не принадлежащую окружности. Если все это выполняется правильно, — значит, понимание достигнуто.
      Теперь обратимся к геометрическому материалу III класса. Здесь происходит первоначальное знакомство с понятием площади. При этом площадь произвольной фигуры отыскивается палеткой, а площадь прямоугольника вычисляется также и по формуле. Я расскажу об этом подробнее.
      Видите ли, площадь фигуры — это, с интуитивной точки зрения, характеристика того, как много места занимает фигура, насколько большую часть плоскости она покрывает. Площадь характеризуется числом единичных квадратов, помещающихся в этой фигуре. Поэтому самый естественный метод отыскания площади данной фигуры — наложение на нее квадратной сетки. — Николай Николаевич нарисовал фигуру неправильной формы и изобразил наложенную на нее сетку.
      — Лист прозрачной бумаги с нанесенной на нее сеткой и есть палетка, — сказал он. — Давайте подсчитаем, какая площадь у фигуры на моем рисунке. Полных квадратов внутри фигуры тринадцать, неполных — двадцать. Неполные квадраты содержатся в фигуре одни больше, чем наполовину, другие меньше, чем наполовину. Будем считать, что двадцать неполных квадратов — это приблизительно десять полных. Итого получаем 13+10, т. е. 23 единицы площади. Если бы это была, например, сантиметровая сетка, то ответ был бы таков — площадь фигуры примерно равна 23 кв. см. Можно повторить измерение, накладывая сетку по-другому. И если получатся не вполне одинаковые результаты, то не следует настаивать на одном из них: все они приближенные. При таком изложении ученики хорошо воспринимают форм у л у площади прямоугольника. Прямоугольники подбираются в III классе таким образом, чтобы длины их сторон выражались целыми числами: 1, 2, 3, 4 смм и т. д.
      Кроме изучения площадей ученики III класса повторяют пройденное, решают новые задачи с применением ранее изученносо материала. Например, решается задача деления окружности циркулем на 6 частей и на 3 части.
      Дальше — IV класс. Здесь рассматриваются такие геометрические понятия, как точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, многоугольник, его периметр, у гол и все его виды, биссектриса угла, градусное измерение углов, смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые, расстояние от точки до прямой. Изучается также понятие равенства фигур. Кроме того, впервые рассматривается пространственное тело — прямоугольный параллелепипед — и понятие объема.
      Здесь очень много такого, о чем говорил ось в начальной школе. Но подходы меняются. Знания, которые получил ребенок в начальной школе, обычно сводились к практическому оперированию с геометрическими фигурами — к навыкам работы с ними. А нам нужно постепенно добираться до логики геометрии, до использования симметрии и других геометрических преобразований для установления свойств фигур, для доказательства основополагающих геометрических фактов.
      Возьмем, к примеру, понятие угла. Для третьеклассника угол — это нечто нарисованное или, скажем, вырезанное из бумаги. Для четвероклассника угол — это абстрактное геометрическое понятие, а вовсе не его бумажная или рисованная модель. Математический угол бесконечен. Это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки. Всякая же материальная модель угла поневоле конечна. Вот мы и приучаем детей в IV классе мысленно продолжать модель угла. Вот начертите угол, — и он передал карандаш Григорию Андреевичу. Тот очень аккуратно провел два отрезка с общей концевой точкой.
      — Да. Именно так мы всегда и изображаем угол. Но дополните этот чертеж новыми точками. — Николай Николаевич поставил на чертеже несколько точек. —
      Угол — это фигура, т. е. множество точек. Спрашивается, какие из отмеченных точек являются его элементами, принадлежат этому углу? Для решения вопроса придется прочертить лучи — стороны угла — до краев листа. И вот ответ на вопрос о формировании абстрактного понятия «угол». Ученик, продолжая стороны, будучи вынужден это делать не по указанию учителя, а исходя из смысла задачи, начинает овладевать абстрактным понятием бесконечности. То же относится и к работе с бесконечным лучом и с бесконечной прямой. Кроме того, прибегая примерно к таким же методам, мы добиваемся понимания того, что у математической линии нет толщины, а у точки вообще нет никаких измерений. Так что, как видите, ученик проникает в смысл абстрактных понятий геометрии. В IV классе уже звучат определения некоторых геометрических понятий (например, луча или угла), но есть и такие понятия, которые не получают определений, например «отрезок» и «многоугольник». Таким образом, пока происходят лишь отдельные вкрапления логических элементов в изложение курса геометрии.
      На том же примерно уровне происходит преподавание ив V классе. Здесь большее место занимают построения, но не только циркулем и линейкой, а также рейсшиной и угольником. Изучаются взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей, элементы треугольника, параллельные прямые. Наконец, учащиеся узнают о том, что сумма углов любого треугольника равна 180о. И хотя слово «теорема» еще не произносится, но это — самая настоящая теорема. Ведь справедливость этого утверждения устанавливается не измерением углов треугольника с помощью транспортира, а общим рассуждением (доказательством), которое приведено в тексте учебника.
      Изучаются в V классе и признаки равенства треугольников. Но самое главное заключается в том, что пятиклассники начинают систематически изучать и применять геометрические преобразования: симметрию, поворот и перенос.
      — Все-таки я очень боюсь за этот материал, — сказал Григорий Андреевич, — смогу ли я помочь сыну? Он у меня как раз в V пойдет.
      — Я много думал на эту тему после наших бесед, — отвечал Николай Николаевич. — И придумал вот что. Я дам вам небольшой словарик терминов, которые встречаются в новой программе для 1—5 классов. Впрочем, некоторые термины встретятся позже, в более старших классах. — Николай Николаевич вынул несколько исписанных листков и взглянул на часы. — Вы знаете, мы Москву прозеваем. Пожалуй, придется оставить вас без домашнего задания.
      — Без домашнего задания мы, может, и обойдемся, — сказал Григорий Андреевич. — Но все-таки, каковы будут ваши напутствия?
      — Во-первых, не сеять вокруг себя, и в Том числе в среде детей, недоверия к новым программам. Все новое пробивает себе дорогу с трудом. И здесь есть трудности. Не сразу станут идеальными учебники, не привыкли еще к новой программе учителя. Но это очень важное дело — новые программы в средней школе. И оно нуждается во всеобщей поддержке. Второе, как вы выразились, напутствие состоит в совете: держите теснейшую связь со школой. Ни один квалифицированный лектор и методист не сможет ввести вас в такие детали, касающиеся вашего ребенка, как это сделает учитель. У учителя вы получите и конкретные указания о методике изучения того или иного вопроса. Такая связь со школой была нужна всегда, а особенно необходима она теперь. И третье: читайте книги — учебник вашего сына или дочери, книги для учителя и специальные книги для родителей. Ну, желаю вам успеха... А вот и Химки. Видите, впереди шпиль?
      С левого борта на пароход надвигалась Москва.