Учитесь учиться математике

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Надежда Константиновна Крупская считала, что «... наших ребят мы должны сразу же вооружить необходимыми им для строительства новой жизни организационными навыками, застраховать их от ненужной растраты сил. Мы должны помочь нм как можно раньше научиться организовывать целесообразно свою жизнь и труд»1.
      Главный труд наших ребят — это учение, и поэтому очень важно научить их разумно учиться. Между тем зачастую школьники учатся этому чисто стихийно, неуправляемо, лишь подражая взрослым или своим сверстникам, заимствуя не всегда рациональные способы и приемы учения, а иногда примитивные и даже вредные (вроде зубрежки), что приводит в конечном итоге к неуспеваемости, калечит умственные способности.
      Сейчас уже всеми, наверное, осознана необходимость и значимость овладения учащимися умениями и навыками учебного труда. Во многих школах ведется большая работа в этом направлении. На практике осуществляется призыв Н. К Крупской: «Надо пропитать всю школьную жизнь, которая становится все многограннее, принципами научной организации труда»5. Но эта деятельность сдерживается, в частности, недостатком литературы по формированию у школьников учебных умений.
      В особо трудном положении находится в настоящее время школьная математика. Общепризнанно, что она является наиболее трудоемким учебным предметом, требующим от учащихся повседневной, кропотливой и значительной по объему самостоятельной работы, причем весьма специфичной и разнообразной. Программа же не отводит специального времени для овладения методами и приемами учебной работы. Поэтому возникла необходимость в специальном пособии для учащихся по формированию и развитию навыков изучения математики.
      Пособие это необходимо еще и потому, что очень важно широко пропагандировать рациональные методы изучения математики, элементы культуры учения и мышления. Особое значение око должно иметь для решения такой важнейшей задачи, как распространение непрерывного образования. XXVI съезд КПСС указывал на необходимость прививать учащимся умения самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации. Поэтому это пособие, как нам представляется, будет полезно не только ученикам общеобразовательных школ, ПТУ, техникумов, но и многим взрослым.
      Книга построена так, что читатель последовательно получает ответы на следующие вопросы: зачем изучать математику? что изучать в ней? как изучать? как научиться рационально изучать? Пособие содержит большое число различных заданий для самостоятельной работы учащихся, направленных на выработку умений и навыков учебного труда, на развитие способностей школьников к обучению. Хотя на большинство заданий в самом пособии имеются указания и ответы, но, естественно, что в ряде случаев ученики будут нуждаться в консультации и помощи учителей.
      В написании данного пособия большую помощь оказали Татьяна Александровна Пушкина и Илья Яковлевич Каплунович, с которыми подробно обсуждался план пособия и которые представили автору ряд материалов для первой части пособия. Рукопись пособия внимательно прочитали В. И. Жохов, В. Н. Руденко, Л. Н. Рязанова и Б. С. Эппель, замечания и пожелания которых во многом помогли усовершенствовать рукопись.
      Всем им выражаю благодарность.
      Пособие подобного типа по математике, насколько нам известно, создается впервые, и поэтому оно, естественно, не лишено недостатков и упущений. Буду очень признателен за отзывы и предложения по улучшению пособия, которые следует направлять в издательство «Просвещение», редакцию математики (129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41). Автор.
     
      ВВЕДЕНИЕ
      Дорогие ребята!
      Должно бить, многие из вас не раз приходили в отчаяние на многолетнем пути обучения по математике: то никак не поймешь доказательство теоремы, вывод формулы, то задача никак не «решается», то еще какая-либо трудность.
      Действительно, учиться математике нелегко. Русский писатель прошлого века Д. И. Писарев (1840 — 1868) даже утверждал, что «математика всегда... остается для учеников трудной работой». Несомненно, математика требует большого труда, ибо ее нельзя изучить, только наблюдая за тем, как зто делают другие. Надо самому много и ежедневно работать над изучением математики, и только тогда она принесет и пользу и большую радость, радость от преодоления трудностей, радость познания. Известный педагог В. А. Сухомлинский (1918 — 1970) по этому поводу писал: «Ребенок, никогда не познавший радости труда в учении, не переживший гордости от того, что трудности преодолены, — это несчастный человек».
      Так давайте будем счастливыми, будем переживать радость в учении, гордость за свои успехи!
      Что для этого надо? Надо научиться учиться математике!
      Все трудности, связанные с усвоением математики, происходят главным образом оттого, что многие из вас не умеют рационально учиться, разумно организовать свою работу. Для того чтобы учиться весело, легко к с наибольшей пользой для себя, надо овладеть техникой учения. Великий преобразователь природы И. В. Мичурин {1855 — 1935) писал: «Кто не владеет техникой какого-нибудь искусства, науки или ремесла, тот никогда не будет способен создать что-нибудь выдающееся».
      От чего же зависит успешность овладения этой техникой?
      Весьма часто малые успехи в изучении математики пытаются объяснить отсутствием способности к математике. Вот, например, какой разговор произошел между учительницей математики Марией Львовной и учащимся Сергеем после урока, на котором писали контрольную работу.
      — Опять неудача? — сочувственно спросила М. Л.
      — А! — махнул рукой Сергей.
      — Что, формулу какую-нибудь забыл? — поинтересовалась М. Л.
      — Если бы! Пример не сделал.
      — Почему?
      — Не догадался, как доказать тождество.
      — А почему не догадался? — допытывалась М. Л.
      — Ну, не сообразил, — тяжело вздохнул Сергей.
      — Что значит не сообразил? Почему не сообразил?
      — Ну, не сообразил, не додумался. А почему?.. Потому что плохо проанализировал тождество.
      — А что надо сделать, чтобы правильно проанализировать?
      Сергей осторожно и внимательно посмотрел на учительницу: не смеется ли она над ним. Но Мария Львовна была абсолютно серьезна.
      — Почему ты как удивленно смотришь на меня? Ведь если я тебя спрошу, что надо сделать для отыскания неисправности в электроплитке, то ты мне, вероятно, опишешь все свой действия.
      — Так то в плитке. Там понятно: или контакты где-то нарушены и надо их проверить, или провод переломан внутри, или спираль перегорела. Значит, нужно проверить вилку, контакт шнура со спиралью, посмотреть, цела ли сама спираль, и, наконец, узнать, нет ли обрыва в проводе.
      — Совершенно верно. Вот ты проанализировал причины неисправности электроплитки и перечислил, какие действия надо осуществлять. А какие действия надо выполнить при анализе и доказательстве тождества?
      — Так тут куда труднее. Тут математика, тут думать надо, — мрачно ответил Сергей.
      — А разве в случае с плиткой ты не думал?
      — Думал, конечно. Но здесь все понятно — плитка. А к математике у меня нет абсолютно никаких способностей.
      — Так не бывает. Способности, в том числе и математические, есть у каждого человека. Они неодинаковые, конечно: у одних — лучше, у других — хуже. Но все зависит от хозяина этих способностей: как он ими распоряжается, как он их развивает.
      — Сомневаюсь. Вот у моей сестрички, безусловно, талант к математике. Она эти задачи, как говорится, «щелкает, как орешки». А я даже не знаю, как к задаче подойти.
      — Так, выходит, что родители тебя обидели? Сестренке они передали «математические гены», а тебе нет? Смешно! И потом, чтобы рассуждать, есть ли у тебя способности к математике, технике, учебе, труду и т. д., надо знать, что такое способности, из чего онн складываются...
      — Ну, этого никто не знает, — сказал Сергей.
      — Почему же никто не знает? Знает. Есть специальная наука — психология, которая как раз и изучает, что такое способности и как их развивать. Кому н что надо делать, чтобы сформировать у себя те или иные способности? Что значит анализировать, думать? Как этому научиться? И вообще что значит учиться? И как научиться?
      — Но ведь все говорят, что математические способности проявляются очень рано. Учительница Надежда Петровна рассказывала, что великий немецкий математик Гаусс заявил, будто считать он научился раньше, чем говорить. Это я понимаю: способный!
      — Если ты хочешь примеры, то пожалуйста. Известного изобретателя Эдисона выгнали из школы как абсолютно неспособного ученика. Или вот, когда у отца Карла Линнея — впоследствии выдающегося биолога — спрашивали, кем будет его сын, то он печально констатировал, что способностей у его сына хватит лишь на то, чтобы научиться шить сапоги. У великого химика Менделеева частенько в школе случались большие нелады с химией. А наш знаменитый математик Лузин не мог в школе одолеть математику без репетитора... Достаточно? Или еще приводить примеры?
      — Ну, это случайности. Просто у этих людей способности были, но не сразу проявились, — пытался настаивать на своем Сергей.
      — Нет, дело не в случайности. Конечно, не всякий человек может стать ученым-математнком. Но ведь мы с тобой говорим не об этом, а об изучении математики: способен ли каждый изучить школьный курс математики? А на этот вопрос психология дает вполне определенный ответ: да, каждый ученик вполне способен овладеть школьным курсом математики, и если у некоторых учащихся, вроде тебя, способности к изучению математики пока еще недостаточно развиты, то это не значит, что их нельзя развить. Вот твоя сестренка, как ты говоришь, легко решает задачки. А ты думал — почему это так? Почему у нее все задачкн легко решаются? Присмотрись к ней, и ты увидишь, что она любит решать задачи, что она внимательно их изучает, что она овладела секретами учения, секретами решения задач. Вот и тебе надо овладеть этими секретами, тогда ты полюбишь решать задачи и обнаружишь, что у тебя достаточно способностей для их решения.
      На этом закончился разговор Марии Львовны с учеником.
      Вот для того чтобы помочь ученикам, подобным Сергею, и написана эта книга. Она предназначена для тех, кто хочет быть настоящим человеком, для тех, кто стремится овладеть знаниями по математике и рациональной техникой ее изучения. В ней подробно показано: как работать в классе на уроках математики и как работать дома над выполнением домашних заданий, учить определения, правила, формулы и теоремы и как доказывать теоремы и решать задачи.
      Для того, чтобы наиболее успешно учиться математике, надо иметь хорошую память, устойчивое внимание, развитое воображение, логическое мышление, сообразительность и ряд других качеств, надо иметь достаточные способности для учения. Но все эти качества и способности вы можете и должны развивать у себя. В книге вы найдете указания, как это сделать, как тренировать себя, чтобы развить свою память, внимание, сообразительность и т. д. Помните призыв Карла Маркса: «Призвание, назначение, задача всякого человека — всесторонне развивать свои способности!»
      Эта книга предназначена нс только для тех школьников, которые хотят, но почему то не могут подружиться с математикой — царицей всех наук. Она будет полезна и тем школьникам, которые любят эту увлекательную науку, легко и с удовольствием решают математические задачи. Они смогут узнать, правильно ли они усваивают математические понятия, проверить себя, усвоили ли они глубоко то или иное понятие, ту или иную теорему и т. д.
      В первом разделе книги вы узнаете, зачем надо учиться математике, каждому ли современному человеку она необходима и почему, что значит знать и изучать эту науку. Здесь будет рассказано не только о прикладных и практических возможностях математики, но и ее роли в психологическом развитии человека: в развитии его мышления, пространственного воображения, памяти, внимания, воли и т. д. Математика это н могучий инструмент познания окружающего мира, и, как утверждал Михаил Иванович Калинин (1875 — 1946) — выдающийся советский государственный и партийный деятель, очень полезная и нужная «гимнастика ума». Позже он вспоминал: «В период своей юности я любил заниматься и математикой. Каждый вечер, как ложиться спать, я решал одну-две задачи по геометрии, алгебре или арифметике».
      Во втором разделе книги рассмотрены основные объекты, с которыми вы встречались в процессе изучения математики (понятия, их определения, классификация; математические предложения, их виды и т. д.). Вы, тем самым, узнаете, чему надо учиться в математике, какими действиями надо овладеть.
      Третий раздел посвящен самому сложному вопросу: как изучать математику в зависимости от того, где и когда это изучение происходит (в классе или дома, по учебнику или при объяснении учителя, самостоятельно или коллективно и т. д.). Здесь анализируются формы работы с математическим материалом, указывается, в чем д .лжна состоять самостоятельная работа над этим материалом.
      Наконец, последний раздел книги поможет вам устанрвнть, какими качествами к обучению математики вы уже обладаете, а какими еще нет, и, исходя из этого, определить, что именно необходимо развивать у себя в первую очередь. Не менее важен и интересен для каждого из вас вопрос о потенциальных возможностях, т. е. о том, на что вы будете способны, если достаточно потренируетесь. Это можно будет в некоторой степени определить, прорешав задачи из данного раздела.
      Кинга снабжена указаниями, ответами, а в некоторых случаях и полными решениями для большинства заданий и задач, помещенных во всех разделах книги. О том, как ими пользоваться, мы поговорим в свое время.
      Эта книга — не для обычного чтения. С ней надо работать, имея бумагу и карандаши, притом не спеша, а внимательно вчитываясь и аккуратно выполняя все задания. Только тогда она принесет вам пользу. Если же при чтении или выполнении заданий вы встретите такие затруднения, которые самостоятельно не сумеете преодолеть, то обратитесь за консультацией к учителю.
      Всем вам необходимо помнить, что наша Коммунистическая партия нацеливает на то, чтобы прививать школьнику привычку и любовь к полезному труду. Это может быть труд физический или умственный, но обязательно настоящим труд производительный, нужный обществу.
      В конце книги помещен краткий словарь основных терминов. Так что если вы встретите при чтении книги какой-либо термин, вам недостаточно понятный, то загляните в словарь.
      Желаю вам успехов в овладении техникой учебного труда, в развитии своих способностей! Желаю вам успехов и радости в изучении математики!
      Автор
     
      ЗАЧЕМ НАДО ИЗУЧАТЬ И ЗНАТЬ МАТЕМАТИКУ
     
      Сергея — ученика VII класса — одолевали сомнения: а для чего нужно так много учиться математике? Зачем ему нужно знать формулы, теоремы? Ведь он не собирается быть математиком, так зачем ему ее изучать в таком большом объеме?
      Однажды он остался в кабинете после уроков, ожидая Нину, одну из лучших учениц класса и его соседку по дому. Нина перебирала в шкафах модели, плакаты и книги, протирала их и укладывала на свои места. Мария Львовна, учительница, тоже сидела в кабинете и проверяла контрольные работы.
      Сергей поделился с Ниной своими сомнениями. Нина, выслушав вопросы Сергея, порылась среди книг в шкафу, нашла нужную ей.
      — Вот слушай, что пишет знаменитый Галилей (1564 — 1642): «Если бы мне пришлось начать вновь свое обучение, то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что вытекает как следствие из доказанного».
      — Ну, то Галилей — великий ученый. А я не собираюсь быть ученым.
      — А человеком культурным и образованным ты собираешься быть? — разгорячилась Нина.
      — Ну, Нина, зачем же ты так ставишь вопрос. Конечно, я хочу быть образованным человеком, но причем здесь математика?
      — Да притом, что нельзя быть образованным человеком, не зная математики. С древнейших времен каждый образованный человек изучал и обязательно знал математику. Многие известные всему миру ученые-философы были одновременно не менее известными математиками: Демокрит, Аристотель, Улугбек, Навои, Декарт, Лейбниц. Немецкий философ Кант занимал должность профессора математики университета. Карл Маркс специально изучал математику, и не только изучал, но и сделал большую работу по математике. Его математические рукописи до сих пор интересуют специалистов. Фридрих Энгельс в своих книгах весьма часто рассматривал различные математические вопросы и использовал примеры из математики для доказательства своих идей. Он же дал такое четкое определение математической науке, которое до сих пор считается наилучшим. Послушай, вот что он писал: «Для диалектического и вместе с тем материалистического
      понимания природы необходимо знакомство с математикой и естествознанием».
      — А Владимир Ильич Ленин — вождь нашего народа, — продолжала Нина, — интерес к математике, который ему привил с детства его отец Илья Николаевич, сохранил на всю жизнь. Глубокое знание математики позволило Владимиру Ильичу всесторонне обосновать возможности применения математических методов в познании природы и общества, успешно вести дискуссию с такими крупными математиками той эпохи, как Пуанкаре и другими.
      — Все это, конечно, так, — согласился Сергей, — только ведь ты все говоришь о великих людях. А зачем мне, не великому, надо знать всю математику, мне ведь достаточно научиться считать, вычислять, чему нас научили в начальной школе и в IV — V классах.
      Тут вмешалась Мария Львовна, которая уже давно прислушивалась к спору Сергея и Нины.
      — Во-первых, Сергей, ты в школе изучаешь не всю математику, как ты сказал, а лишь ее основы. А во-вторых, почему ты решил, что тебе достаточно знать одну лишь арифметику?
      — Я, Мария Львовна, не собираюсь в вуз, должно быть пойду в ПТУ.
      — Ну и что, разве в ПТУ, а потом на работе тебе не, понадобится математика, алгебра, геометрия? Вот что говорил Михаил Иванович Калинин таким же ученикам, как ты: «Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области ни работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики... Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».
      Нина не выдержала и вмешалась.
      — Вот послушай стихотворение:
     
      Ракета небо прочеркнула,
      Ей в космос путь давно не нов.
      Не слышно рокота и гула
      Уж из-под облачных ковров.
     
      И укрощенный мирный атом
      Послушен разуму людей;
      Над Падуном, плотиной сжатым, —
      Свет электрических огней!
     
      Все это — плод людских исканий,
      Все это создано не вдруг
      Могучей силой точных знаний
      И мастерством рабочих рук!
     
      И прежде чем, заметьте кстати.
      Ракете той был дан прицел,
      Ее маршрутом математик
      На крыльях формул пролетел.
     
      Сухие строки уравнений —
      В них сила разума влилась,
      В них — объяснение явлений,
      Вещей разгаданная связь!
     
      — Откуда ты, Нина, все это знаешь? — удивленно спросил Сергей.
      — А ты почитай все книги, которые здесь лежат в шкафу, и узнаешь не только это, но и многое другое.
      Сергей после недолгого раздумья обратился к учителю:
      — Мария Львовна, а почему математика такая важная наука, что ее все должны хорошо знать? В чем ее могущество?
      — Вопрос твой, Сергей, очень серьезный, и сегодня я не смогу подробно и полно на него ответить. Скажу только, что могущество математики состоит в ее абстрактности, в ее высокой степени общности. Ты, например, знаешь по физике формулу второго закона Ньютона F=ma. Она выражает зависимость между силой, массой и ускорением тела и только. А вот в математике, когда мы эту формулу записываем в виде z = ху, то тем самым выражаем не только второй закон Ньютона, но и зависимость площади прямоугольника от длины его сторон (S — ab), и зависимость пройденного пути от скорости и времени (s=ut), и еще многие другие зависимости. Следовательно, все свойства зависимости z = xy, которые установит математика, верны и для физических зависимостей силы от массы и ускорения, пути от скорости и времени, зависимости площади прямоугольника от длин его сторон и т. д.
      — А какие тут могут быть свойства? — иронически спросил Сергей.
      — Ну, это ты и сам должен знать. Например, если z — постоянно, не изменяется, то х и у находятся в обратно пропорциональной зависимости. Это значит, что если сила (площадь, путь) постоянна, то масса и ускорение (длины сторон, скорость и время) обратно пропорциональны. А если х или у постоянны, то z и у (или z и x) прямо пропорциональны, и еще много других свойств.
      — Мария Львовна, — обратилась к учительнице Нина, — вопрос о том, зачем нам изучать математику, зачем надо ее знать, непонятен не только одному Сергею, а многим нашим ученикам. Может быть, вы бы более подробно побеседовали с нами по этому вопросу, вот было бы хорошо!
      — Что же, действительно, нужно поговорить со всеми по этому вопросу. Но учтите, что такие беседы можно провести лишь после уроков, поскольку на уроках у нас для этого нет времени. Как ты думаешь, Сергей, согласятся ли ребята остаться после уроков для беседы?
      — Конечно, согласятся, — уверенно заявил Сергей.
     
      БЕСЕДА 1. МАТЕМАТИКА КАК МЕТОД И ЯЗЫК ПОЗНАНИЯ ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА
     
      Как устроен окружающий мир? Каковы законы развития природы? Как можно их использовать для блага людей? Можно ли подчинить некоторые явления природы человеку? Каким образом можно преобразовать мир? Подобного рода вопросы волновали и волнуют человечество с незапамятных времен. Гениальные умы строили гипотезы, доказывали один из них и опровергали другие, спорили. Преодолевая заблуждения, люди шли к истине. Как ее познать? Где тот волшебный фонарь, который освещает путь к истине?
      В течение многих веков для изучения явлений окружающего мира создавались разные науки, каждая из которых изучала определенные стороны этого мира, определенную область явлений или процессов в природе и обществе.
      В любой науке в той или иной степени приходится изучать не только качественные особенности предметов, явлений или процессов, но и пространственные и количественные особенности.
      Для изучения количественных и пространственных особенностей различных предметов, явлений или процессов в разных науках надо было разработать общий метод изучения этих особенностей. Вот этот всеобщий метод и разрабатывается в математике. Это предельно четко сформулировал Ф. Энгельс (1820 — 1895) в своем определении математической науки.
      Он указал, что математика занимается изучением особой стороны любых предметов, явлений или процессов окружающего мира, а именно количественных отношений и пространственных форм. Следовательно, когда в той или иной науке исследуют тот или иной объект (явление, процесс), то, рассматривая количественные отношения или пространственные формы в этих объектах (а без такого рассмотрения изучение будет совершенно неполным и малозначимым), с необходимостью используют математические методы, математический аппарат.
      Каждая наука, пользуясь математическими методами, строит определенную схему-представление об изучаемом предмете (явлении или процессе). Эта схема-представление в виде какой-то формулы, уравнения или в виде геометрического образа называется математической моделью изучаемого объекта (предмета, явления, процесса). Затем с помощью этой модели делают логические выводы, справедливость которых проверяют на практике, в эксперименте. Если результаты практической проверки подтверждают справедливость этих выводов-следствий построенной модели, то это служит свидетельством правильности модели; если же хотя бы один из выводов-следствий не подтверждается на практике, то ученые уточняют разработанную модель или же вовсе отказываются от нее и строят новую модель изучаемого объекта.
      Движение к истине, к познанию подлинных законов природы и общества идет через построение все более точных, более правильных математических моделей изучаемого предмета (явлений, процессов).
      Таким образом, математика занимается разработкой методов построения и методов изучения конкретных математических моделей для различных наук. Для этого она строит математический аппарат, разрабатывает математические понятия. Например, числовые системы (системы натуральных, рациональных и действительных чисел), которые вы изучаете в школе, являются примером такого математического аппарата, с помощью которого в самых различных науках строятся математические модели той стороны изучаемых объектов (предметов, явлений), которая связана с измерением величин. Функция представляет собой другой пример математического аппарата, с помощью которого в различных науках строятся конкретные математические модели изучаемых явлений или процессов и т. д.
      При построении математических моделей используется особый математический язык (совокупность символов и обозначений, принятых в математике).
      Именно поэтому говорят, что математика представляет собой всеобщий язык науки. Эту сторону математики уже давно выделяли. Так, например, еще Галилей почти 400 лет тому назад писал: «Философия написана в грандиозной книге — Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики...»1.
      1 Во времена Галилея всю науку называли философией.
      Математический язык, в отличие от языка, на котором мы говорим в обыденной жизни, является очень удобным для краткого и точного описания различных понятий и зависимостей многих наук: физики, химии, биологии, а также, казалось бы, далеких от математики, как экономика, лингвистика (наука о языке), психология и т. д. Математический язык дает возможность не только описывать те или иные зависимости, характеризующие конкретные явления или процессы, но и осуществлять проверку этих зависимостей путем сопоставления результатов вычислений с результатами, найденными опытным путем. Формулировка зависимостей той или иной науки на математическом языке позволяет также делать различного рода предсказания и новые открытия чисто математическим путем. Так, например, была открыта планета Нептун с помощью одних вычислений, и лишь затем ее обнаружили с помощью телескопов в указанном Леверье в 1845 г. месте небесного свода.
      Сейчас уже всеми признается справедливость замечания Карла Маркса, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда она пользуется математикой.
      Особенностью математического метода изучения явлений окружающего мира является то, что он позволяет избежать ошибок, присущих нашему восприятию, и увидеть то, что недоступно даже воображению. Приведем один пример.
      Как вы думаете, где больше точек: в отрезке длиной 1 см или в отрезке длиной 3 см? Наше непосредственное восприятие подсказывает нам, что во втором отрезке точек больше, чем в первом. Между тем еще давно было показано, что это неверно. Вот как следует рассуждать.
      (...)
      Данный пример показывает, как прав гениальный математик Леонард Эйлер (1707 — 1783), который писал:
      «Именно математика в первую очередь защищает нас от обмана чувств и учит, что одно дело — как на самом деле устроены предметы, воспринимаемые чувствами, другое дело — какими они кажутся; эта наука дает надежнейшие правила; кто им следует — тому не опасен обман чувств».
     
      БЕСЕДА 2. БЕЗ МАТЕМАТИКИ НИ ШАГУ
     
      Как мы установили в первой беседе, математика является тем инструментом, без которого в настоящее время невозможно полноценное развитие никакой науки, с помощью которого наиболее эффективно производятся многочисленные исследования во многих науках. Следовательно, изучение какой-либо науки требует глубокого знания математики. Если же учесть, что все современное производство, сельское хозяйство, сфера обслуживания строятся на научной основе, то станет понятным следующее утверждение академика А. Н. Колмогорова: «Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления».
      Действительно, вспомните, с чем вы встречались на уроках физики, химии, географии, истории и по другим предметам? Вы встречались с разного рода формулами, вычислениями разных величин, датами, схемами, таблицами, диаграммами и т. д. А ведь все это математика. Значит, изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошее знание математики, и без нее вы не можете освоить эти предметы.
      Может показаться, что на уроках музыки, пения, рисования, физкультуры, труда математика не нужна. Но это опять-таки неверно. И на этих уроках вы все время встречаетесь с разного рода измерениями и вычислениями, например имеете дело с ритмом (а ведь законы ритма изучает математика), с перспективой (а это тоже математика) и т. д. Так что в школе вы действительно ни шагу не можете сделать без математики.
      Но не только в школе. Разве в обыденной повседневной жизни вы можете обойтись без математики? Нет, конечно. И здесь вы часто встречаетесь с разного рода расчетами, измерениями, просто даже не замечая этого. Без математики вы не обходитесь ни один день.
      В народном хозяйстве в настоящее время имеется более 6 тысяч профессий, владение которыми требует хорошего знания математики, устойчивых навыков ее использования. И с каждым годом число таких специальностей растет. Поэтому без настойчивого изучения математических законов нельзя стать хорошим специалистом.
      Вот Сергей собирается поступать после восьмилетки в ПТУ. Будет ли он учиться на токаря, слесаря, механика, шофера или строителя, всюду ему понадобится умение читать технические чертежи, производить разного рода расчеты, вычисления. Значит, без математики ему не обойтись. И к этому он должен себя готовить, пока учится в школе.
      Применение математики в производстве приносит поразительные результаты. Как-то королева Англии пригласила к себе великого Ньютона. Она попросила его сходить на ее монетный двор и подсчитать, сколько дополнительных помещений, станков и рабочих надо добавить там, чтобы выпускать в 1,5 раза больше монет. Ньютон провел полдня на монетном дворе, вникая в производство. Остальное время суток он находился за письменным столом, занимаясь расчетами, а утром предложил королеве такое решение: можно, не добавляя ни одного нового помещения, станка и рабочего, увеличить выпуск монет в два раза. Для этого достаточно произвести лишь некоторое изменение в организации производства: изменить последовательность операций, переставить станки, по-нному использовать станки и распределение работ и др.
      Задача, подобная той, которую решил Ньютон, сейчас имеет массовый характер: как рациональнее организовать перевозку грузов, как раскроить материал, чтобы было меньше отходов, как получить максимальную прибыль из данного производства и т. д. За разработку общего метода решения подобных задач наш советский математик академик Л. В. Канторович стал лауреатом Нобелевской премии.
      А возьмите военное дело. Там математика также имеет самое широкое применение. Послушайте стихотворение М. Барзаковского:
     
      Как воздух
      Математика нужна.
      Одном отваги
      Офицеру мало.
     
      Расчеты! Залп! —
      И цель поражена
      Могучими ударами
      Металла.
     
      И воину
      Припомнилось на миг,
      Как школьником
      Мечтал в часы ученья
      О подвиге,
      О шквалах огневых,
      О яростном
      Порыве наступленья.
     
      Но строг учитель был,
      И каждый раз
      Он обрывал мальчишку
      Резковато:
      «Мечтать довольно!
      Повтори рассказ
      О свойствах круга
      И углах квадрата!»
     
      И воином
      Любовь сбережена
      К учителю,
      Далекому, седому.
     
      Как воздух
      Математика нужна
      Сегодня
      Офицеру молодому.
     
     
      БЕСЕДА 3. МАТЕМАТИКА УМ В ПОРЯДОК ПРИВОДИТ
     
      Слова «Математика ум в порядок приводит» принадлежат великому М. В. Ломоносову (1711 — 1765). Что он имел в виду?
      Дело в том, что наше мышление, перерабатывая ощущения, восприятия и представления о предметах и явлениях, как бы предвосхищает будущее, указывает нам, как поступить, что сделать в создавшейся ситуации. Поэтому от того, как «работает» наше мышление, зависит, поступим ли мы правильно и разумно или нет.
      Человек рождается без умения мыслить, лишь с задатками к нему. Мыслить он научается постепенно в процессе жизненной практики, в общении со взрослыми и своими сверстниками, и особенно в обучении.
      Одним из наиболее важных качеств мышления является его логичность, т. е. способность делать из правильных посылок (суждений, утверждений) правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов.
      О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности. И вот оказывается, что это ценнейшее качество возникает и развивается главным образом в процессе изучения математики, ибо математика — это практическая логика, в ней каждое новое положение получается с помощью строго обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, т. е. строго доказывается. Ломоносов приведенными выше словами и имел все это в виду. На это же значение изучения математики указывал М. И. Калинин, призывая молодежь серьезно изучать математику: «Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что математика — это гимнастика ума».
      В связи с этим легко понять, почему так важно самому выводить формулы, доказывать тождества и теоремы. Ведь дело не в том, чтобы вы запомнили их на всю жизнь. Возможно, что они забудутся, но останется привычка рассуждать, сохранится умение объяснять, доказывать не только другим, но и самому себе какие-то истины, укрепится умение искать и находить рациональные пути решения возникающих в жизни проблем.
      Вот эту культуру, дисциплину мысли, ее последовательность и доказательность, глубину и критичность, широту и оригинальность, а также необходимую пищу для мышления — систему знаний — вам дает школа, и в частности уроки математики. Эта сторона обучения математике особенно важна в наши дни, поскольку сейчас объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, поэтому необходимо каждому научиться самостоятельно пополнять свои знания. Овладеть этими умениями вам поможет добросовестное самостоятельное изучение математики.
      Изучение математики формирует не только логическое мыш-I ление, но и много других качеств человека: сообразительность, настойчивость, аккуратность, критичность и т. д.
      Очень важным среди них является пространственное воображение, т. е. умение представить в уме (вообразить) какие-то предметы, фигуры и при этом увидеть их не только неподвижными, но и в изменении, т. е. представить, что произойдет, если их как-то переместить, повернуть и т. д. При изучении математики, при решении геометрических задач вам все время приходится Е делать это, и тем самым у вас постепенно развивается эта важная способность. Почему важная? Поясним на примерах. Токарь, получив чертеж, должен до работы представить себе образ той детали, которую ему нужно выточить. А портниха должна обладать хорошими способностями к пространственному воображению, чтобы правильно раскроить материал. Эти же умения и способности позволяют шахматисту направлять фигуры на доске, а полководцу — войска на поле боя. Художник или писатель должен уметь детально вообразить ту ситуацию, которую он хочет описать. Высокий уровень ориентировки в пространстве является необходимым условием для спортсмена, позволяющим ему овладеть своим телом. А инженер? А оператор? А космонавт?... Нет такой области человеческой деятельности, где не нужны были бы хорошие умения и способности к пространственному воображению.
      Эта же способность представить в уме — вообразить — важна и для планирования своей работы, своих действий с тем, чтобы они были наиболее разумными, рациональными и безошибочными.
      Изучение математики, решение математических задач развивают, помимо пространственного воображения, и способность догадываться, угадывать заранее результат, способность разумно искать правильный путь в самых запутанных условиях. Прочтя
      задачу и еще не производя никаких действий, вы уже иаучилио. сразу видеть, что тот или иной способ непригоден для ее решения, а вот какой-то другой способ может быть использован.
      Как видим, математику следует глубоко и серьезно изучать не только потому, что она служит основой научного познания, не только потому, что без нее нельзя сделать ни шагу в жизни, в практической деятельности на любой работе, но и потому, что процесс ее изучения способствует развитию у человека важнейших качеств и способностей.
      Поэтому хотя изучение математики и требует большого и упорного труда, но оно приносит так много пользы, столь много радостей познания и преодоления трудностей, что вы никогда не пожалеете о затраченных усилиях.
     
      ЗАДАНИЕ 1
      Попытайтесь самостоятельно ответить на вопросы н решить задачи, приведенные ниже. Если вы это не сможете сделать, то прочтите указания или ответы, которые приведены в конце книги, и попробуйте еще раз самостоятельно выполнить заданные упражнения. Если и после этого вы не сумеете это сделать, то постарайтесь разобраться коллективно или обратитесь за консультацией к учителю.
      1.1. Почему стол на трех ножках на любом полу стоит не шатаясь, а стол на четырех ножках весьма часто шатается?
      1.2. Портной, для того чтобы проверить, является ли лоскут материала квадратом, перегибал его по диагонали и смотрел, совпадают ли при этом вершины лоскута. Достаточна ли такая проверка? Почему?
      1.3. Где, в каких науках используется декартова система координат?
      1.4. Возьмите учебник физики. Проверьте, сумеете ли вы понять его содержание, если вдруг забудете всю математику.
      1.5. Найдите в учебнике истории те страницы, на которых излагается изучаемая вами сейчас тема. Есть ли там математика?
      1.6. Вспомните определение модуля числа. Пусть числу х на координатной прямой соответствует точка X. Каков геометрический смысл выражения |х—2|? Истолкуйте с этой точки зрения уравнение |х—2| + |х—5| =а. Сообразите, при каких значениях а это уравнение не имеет решений. А при каких значениях а оно имеет бесконечное множество решений?
      1.7. Докажите, что четных натуральных чисел столько же, сколько и нечетных.
      1.8. Числа, кратные 10, очевидно, составляют лишь часть всех натуральных чисел. Между тем вам, должно быть, не трудно доказать, что их не меньше, а столько же, сколько всех натуральных чисел. В чем причина такого парадоксального (необычного) положения?
     
      ЧЕМУ НАДО УЧИТЬСЯ В МАТЕМАТИКЕ
     
      Беседы Марии Львовны вызывали оживленные разговоры, поры между учениками. На переменах, по дороге домой после уроков они обсуждали услышанное, спорили. Многие ученики ассказали дома своим родным об этих беседах. Взрослые, работающие на заводах, в учреждениях, в институтах, подтвердили большую роль и значимость математики в их работе, приводили много примеров, когда крайне нужны были математические знания. Наибольшие споры вызвало замечание Саши, хорошего ученика, увлекающегося литературой и историей, что главное, чему надо научиться в математике, — это разного рода расчетам, измерениям, а все остальное — многочисленные теоремы, определения и прочее — можно спокойно забыть. Нина пыталась переубедить Сашу, доказать, что нельзя овладеть умениями разного рода расчетов и измерений, не зная их теории, не понимая сущности математических действий и операций. Кроме того, ведь применения математики в жизни отнюдь не сводятся к одним лишь расчетам и измерениям. Математика широко используется как общий метод описания и изучения количественной стороны различных явлений и процессов.
      Нину, к ее удивлению и радости, поддержал Сергей.
      — Мне кажется, что важно научиться математически мыслить, т. е. обоснованно, четко, последовательно, логически правильно рассуждать. И всему этому как раз и учит математика.
      — Я вот сам, — заявил Сергей, — когда ею занялся в последнее время по-настоящему, почувствовал, как стал совсем по-иному
      рассуждать, мыслить... И меня это очень радует. Но для этого, конечно, надо заниматься и овладевать не только расчетами и измерениями, но овладевать теорией, всякими, как Саша говорит, теоремами, определениями.
      Однако полностью Сашу не удалось переубедить, тем более что его поддержали несколько учеников, которые по математике отставали. В конце одного из уроков Нина обратилась к учительнице.
      — Мария Львовна, у нас в классе возник спор: чему надо учиться в математике? Что именно следует понять и знать, чем надо овладеть в математике? Может быть, вы нам обо всем этом асскажете, очень просим вас.
      — Что же, вопрос важный и интересный. Давайте, как и раньше, после уроков, обсудим разные стороны этого большого и сложного вопроса.
     
      БЕСЕДА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
     
      Чтобы ответить на вопрос, чему учиться в математике, надо разобраться в том, что она — математика — собой представляет, в чем ее особенности, что и как она изучает и из каких элементов (объектов) она состоит. Конечно, все эти вопросы очень сложные, и мы подробно в них разобраться не сумеем, но получить хотя бы некоторое представление обо всем этом нам необходимо, ибо иначе просто невозможно решить, чему же учиться в математике.
      Математика, как и другие науки, изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь особые стороны этих явлений.
      Представьте себе, что нужно рассчитать, сколько надо купить краски, чтобы покрасить потолок комнаты, если известно, что на окраску 1 м2 уходит 120 г краски, или.сколько нужно купить кафельных плиток для облицовки стены, если известно, что плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см. Во всех этих случаях совершенно безразлично, какого цвета этот потолок или стена, из какого материала они построены и т. д. Важно лишь знать их форму и размеры. В этом случае говорят, что мы отвлекаемся (абстрагируемся) от всех свойств рассматриваемого предмета и выделяем лишь его форму и размер. В результате такого абстрагирования получаем математический объект — геометрическую фигуру.
      В других случаях, кроме формы и размера, учитывают еще взаимное расположение частей фигуры.
      Такие математические объекты, как числа, образуются путем выделения при рассмотрении различных совокупностей (множеств) однородных предметов таких общих свойств, как количество предметов в совокупности или их порядок следования, абстрагируясь от всех других свойств этих предметов (их неодинаковости, материала, цвета, величины и т. д.).
      Вообще любые математические объекты — это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира особых количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических точек, фигур, чисел и т. д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития людей и существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. Поэтому говорят, что математические объекты — это идеальные объекты, отражающие (описывающие) реальные объекты.
      Обратите внимание еще на одну особенность математических объектов. При их образовании мы не только отвлекаемся от многих свойств соответствующих предметов, но и приписываем им такие свойства, которыми никакие реальные предметы не обладают. Так, например, образуя такой математический объект, как прямая линия, мы в соответствующих предметах (край линейки, стола, луч света, нить и т. д.) не только абстрагируемся от всех их свойств, кроме свойства протяженности, но и приписываем такое свойство, как неограниченная протяженность в обоих направлениях, хотя никакой из указанных реальных предметов таким свойством не обладает. Точно так же никакая совокупность реальных предметов не является бесконечной, а вот множество натуральных чисел бесконечное, или никакой предмет не является бесконечно раздробленным, а вот число — размер этого предмета, мы считаем бесконечно раздробляемым, т. е. число можно делить на какое угодно большое число частей, и т. д.
      Итак, математика изучает особые идеальные математические объекты, которые образуются путем сложной мыслительной деятельности людей в процессе познания количественных свойств и отношений, а также пространственных свойств и форм предметов и явлений окружающего мира.
      Поэтому первое, чему надо учиться в математике, — это умению в процессе изучения каких-то предметов или явлений для решения задач по определению количественной стороны или пространственных соотношений этих предметов или явлений образовывать, создавать математические объекты. Рассмотрим в качестве примера такую задачу.
     
      Задача. Для того чтобы укрепить железную дымовую трубу, было решено на высоте 20 м от ее основания прикрепить растяжки из стального каната, которые закрепить к четырем бетонным тумбам, находящимся на расстоянии 15 м от основания трубы. Сколько каната для этого потребуется? (Рис. 2.)
      Решение. Примем дымовую трубу за отрезок прямой, перпендикулярной поверхности земли, а бетонные тумбы — за точки на поверхности земли. Так как для нахождения длины всего потребного каната для четырех растяжек достаточно найти длину одной из них, то получаем такую геометрическую задачу: «Найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны 20 и 15 метрам».
      В этом примере реальные объекты — труба, бетонные тумбы, канаты — мы заменили математическими объектами — отрезками прямых, точками, для чего пришлось абстрагироваться (отвлечься, не учитывать) от таких особенностей этих реальных объектов, как конусность и толщина трубы, размеры тумб, высота их над поверхностью земли и т. д. Иными словами, реальное явление, описанное в приведенной задаче, мы заменили идеализированным явлением — геометрической задачей, а поэтому наше решение является приближенным. Однако точность здесь вполне достаточная для практики (ошибка может быть в пределах нескольких сантиметров).
      Вообще надо помнить, что математическое решение любой практической задачи всегда является приближенным.
      Для того чтобы закрепить полученные знания и проверить себя, как вы их усвоили, выполните следующее задание.
     
      ЗАДАНИЕ 2
      2.1. Какие геометрические фигуры выступают в качестве идеальных образов (моделей) реальных предметов в следующих практических задачах:
      а) Найти площадь пятикопеечной монеты.
      б) Найти длину обруча.
      в) Найти площадь комнаты.
      От каких свойств реальных предметов мы при этом абстрагируемся, а какие учитываем?
      2.2. За билетами в театр стоит очередь. Какие математические объекты характеризуют положение (место) каждого человека в этой очереди? Какие практические задачи можно решить с помощью этих математических объектов?
      2.3. Велосипедист выехал из города А в 9 ч утра и прибыл в город В, отстоящий от А на расстоянии 60 км, в 12 ч дня. Отдохнув в В 2 ч, он поехал дальше в город С, отстоящий от В на 72 км, и прибыл туда в 6 ч вечера.
      Как можно наиболее просто и наглядно математически описать событие поездки велосипедиста из А в С? Какие практические задачи можно решить, имея это математическое описание? Какие математические объекты при этом использованы?
     
      БЕСЕДА 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
     
      Всякий математический объект обладает какими-то свойствами. Так, например, треугольник обладает такими свойствами:
      1) имеет три стороны; 2) три внутренних угла; 3) шесть попарно равных внешних углов и т. д. Подобные утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства называются суждениями. Вот еще примеры суждений: 1) четырехугольник имеет две диагонали; 2) за каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду другое натуральное число; 3) чётное число делится на два и т. д.
      Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например: «5 больше 3», «АВ является стороной треугольника АВС», «Угол А не является смежным с углом В» и т. д. А вот вопросы или требования не являются суждениями.
      Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения. Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Несущественные свойства — это обычно случайные, их отсутствие, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.
      Рис. 3
      Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник, изображенный на рис. 3. Его свойства: 1) стороны треугольника АВ и ВС равны; 2) медиана BD перпендикулярна основанию АС и делит угол В пополам — это существенные свойства этого треугольника. А вот свойства; 3) основание АС равнобедренного треугольника АВС горизонтально или 4) вершина равнобедренного треугольника обозначена буквой В — являются несущественными. Если мы как-то повернем этот треугольник и его основание при этом окажется расположено не горизонтально или обозначим вершину какой-то другой буквой, то ведь треугольник не перестанет быть равнобедренным.
      Поэтому, чтобы понимать, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие — это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте.
      Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием). Так, когда говорят о математическом объекте — треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.
      Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.
      В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.
      Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.
      Например, определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Как видим, это определение построено так: сначала указано название объекта определяемого понятия — параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм — это четырехугольник; 2) противоположные его стороны параллельны. Первое свойство — это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство — это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: «Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2». Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:
      Название определяемого объекта - Родовое понятие + Видовые отличия
      В данном случае мы имеем: название определяемого понятия — четные числа, родовое понятие — натуральные числа, видовые отличия — кратны числу 2.
      Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.
      Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие для треугольника — фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис — происхождение). Вот еще пример генетического определения: «Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F, при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X фигуры F, построенной следующим образом: на продолжении отревка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ, равный ОХ». Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F, симметричной фигуре F относительно точки О.
      Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией». Здесь определяемое понятие — арифметическая прогрессия, родовое понятие — числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:...
      Такое определение называется индуктивным (от слова индукция — наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия — возвращение).
      Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными.
      Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются
      понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества (совокупность) и некоторые другие.
      Итак, второе, чему нужно научиться в математике, — это умению строить определения математических понятий каким-либо способом. Это умение довольно сложное, и мы о нем поговорим еще в следующей беседе. А пока выполните следующее задание, чтобы закрепить те сведения, которые вы получили в данной беседе.
     
      ЗАДАНИЕ 3
      3.1. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:
      а) Две стороны трапеции параллельны.
      б) Оба угла при большем основании острые.
      в) Сумма углов трапеции, принадлежащих к одной боковой стороне, равна 180°.
      г) Основания трапеции горизонтальны.
      д) Оба угла при меньшем основании трапеции тупые.
      3.2. Как связаны между собой математические объекты и математические понятия?
      3.3. Укажите, какие из приведенных ниже предложений являются суждениями, а какие ими не являются:
      а) В треугольнике проведены три медианы.
      б) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
      в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями?
      г) Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
      3.4. В приведенных ниже определениях выделите название объектов определяемых понятий, родовое понятие и видовые отличия:
      а) Числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными.
      б) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
      в) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
      г) Если точка О является серединой отрезка АВ, то точки А и В называются симметричными точками относительно точки О.
      3.5. Сформулируйте генетическое определение окружности, зная, что она образуется в результате вращения отрезка на плоскости вокруг одного из его концов, второй конец этого отрезка в этом случае описывает окружность.
      3.6. Члены последовательности Фибоначчи (ок. 1170 — 1250 задаются С помощью следующей формулы:... Сформулируйте определение этой последовательности. Какое это определение?
      3.7. Приводим следующее описание построения перпендикулярных прямых: «Пусть а и b — две пересекающиеся прямые. При их пересечении образуются четыре угла. Пусть a — один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом а. либо вертикальным с углом a. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом, и называем их перпендикулярными».
      На основе этого описания сформулируйте определение перпендикулярных прямых.
      3.8. Модуль числа определяется следующей формулой:...
      Сформулируйте словесное определение модуля числа.
      3.9. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего члена. Запишите это определение с помощью формулы.
      3.10. Как вы знаете, равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны, а правильный треугольник — это такой, у которого все стороны равны. Является ли правильный треугольник равнобедренным?
      3.11. Укажите ближайшие родовые понятия для следующих понятий: а) квадрат; б) степень с натуральным показателем;
      в) вертикальные углы; г) простое число; д) хорда.
      3.12. Укажите несколько родовых понятий для понятия ромб.
      3.13. Нужно ли (и можно ли) доказывать определения?
     
      БЕСЕДА 6. КАК ПРАВИЛЬНО СТРОИТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
     
      Одно и то же математическое понятие может быть определено различными способами. Например, такое простейшее понятие, как «треугольник», в разных учебниках по математике определяется по-разному: «Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трех звеньев», «Многоугольник, имеющий три стороны, называется треугольником», «Если А. В а С — любые три точки, не лежащие на одной прямой, то объединение трех отрезков АВ, ВС и АС называется треугольником». В предыдущей беседе мы привели еще и другое определение треугольника. Все эти определения правильные.
      Однако иногда ученики, воспроизводя определения, имеющиеся в учебнике, или строя определения самостоятельно, допускают разные ошибки. Чтобы строить и воспроизводить определения математических понятий правильно, нужно знать основные требования к логическому определению понятий. Рассмотрим эти требования, попутно указывая наиболее часто встречающиеся ошибки в определении математических понятий.
     
      1. Определения должны быть научно правильными.
      Это означает, что, определяя то или иное понятие, надо это сделать так, чтобы не исказить научный смысл этого понятия. Так, например, смысл понятия «отношение» (в математике) состоит в том, что оно есть какое-то число. Между тем иногда это понятие определяют так: «Отношение есть сравнение двух чисел или величин посредством деления». Но сравнение есть некоторый процесс, а не число. В данном случае неверно выбрано родовое понятие и тем самым искажен научный смысл определяемого понятия.
      Другой пример. Иногда приходится слышать от ученика такое определение: «Абсолютной величиной, или модулем числа, называется это число без знака». Получается, что существуют какие-то числа без знака, но таких чисел (кроме нуля) математика не знает: в математике рассматриваются лишь положительные, отрицательные числа и нуль, других чисел нет. Если число написано без знака, то это положительное число, а не какое-то «беззначное». Поэтому приведенное определение неверное.
     
      2. Определения не должны содержать «порочного круга».
      Один ученик на вопрос, что такое умножение, например, ответил: «Умножением называется действие отыскания произведения». Когда же его спросили, а что такое произведение, он с уверенностью заявил, что это результат умножения. Следовательно, у этого ученика получается, что умножение определяется через понятие произведения, а произведение через понятие умножения. Получается «порочный круг» в определении. Ясно, что такой способ определения является грубо ошибочным.
      Еще пример ошибки «порочного круга» в определении: «Угол называется прямым, если его стороны перпендикулярны» и «Прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы». Схему этих двух определений можно изобразить так (рис. 4).
      Как видим, эти определения действительно образуют «порочный круг».
      Следовательно, строя определения математических понятий, надо следить за тем, чтобы они не образовали друг с другом «порочного круга».
     
      3. Определение должно содержать указание на ближайшее родовое понятие.
      Как бы ни было построено определение математического понятия, в нем должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию.
      Нарушение этого требования приводит к различным ошибкам. Так, например, иногда учащиеся, формулируя определения, вовсе не указывают родовое понятие. На вопрос, какие фигуры называются равновеликими, они отвечают: «Это если две фигуры имеют равные площади». Что означает «это», можно лишь догадываться. Или: на предложение сформулировать определение равнобедренных треугольников, иногда можно услышать такой ответ: «Это такие, у которых две стороны равны».
      Такая небрежность в формулировке определений недопустима. Другой тип ошибок связан с тем, что в определении указывается не ближайшее родовое понятие, а более широкое. Вот пример такого определения: «Параллелограмм есть фигура, у которой противоположные стороны параллельны». В этом определении указано не ближайшее для параллелограмма родовое понятие — «четырехугольник», а более далекое, более широкое — «фигура». И тем самым это определение становится неверным, ибо фигурой, у которой противоположные стороны параллельны, может быть не только параллелограмм, но и, например, правильный шестиугольник.
      Или другой пример. Давая определение диаметра круга, ученик сформулировал его так: «Диаметр круга есть прямая, проходящая через центр круга». Ученик указал в качестве родового понятия прямую, а ведь диаметр — это.не вся прямая, а лишь отрезок прямой.
     
      4. Определение не должно быть тавтологией, т. е. повторяющей в иной словесной форме ранее сказанное. Сущность такой ошибки заключается в том, что понятие определяется через само себя. Вот примеры тавтологии в некоторых определениях: «Сложением называется действие, при котором числа складываются» (здесь сложение определено через понятие «складывание», что одно и то же). «Фигура А называется симметричной фигуре В, если они расположены симметрично относительно оси симметрии» здесь «симметричные фигуры» определены через понятие «фигуры, расположенные симметрично»). Ясно, что такие определения являются грубо ошибочными.
     
      5. Определение должно быть достаточным.
      Это означает, что в определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия. Если же это требование нарушается, то под определение можно подвести не только объекты определяемого понятия, но н другие объекты. Так, например, иногда ученики дают такое определение смежных углов: «Смежными называются углы, которые в сумме составляют 180°». Недостаточность этого определения становится очевидной, если взглянуть на рис. 5: на нем изображены две пары углов, сумма которых равна 180°, но они не смежные. Ошибка здесь в том, что указано лишь одно свойство смежных углов, оно недостаточно для их определения. Можно было бы, например, так определить их: «Смежными называются два угла, имеющие общую сторону, которые расположены в разных полуплоскостях от этой общей стороны и в сумме составляют 180°».
      Пример. Ученик определяет медиану треугольника следующим образом: «Медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам». Очевидно, что и в этом определении указано недостаточное число признаков медианы. Поэтому под это определение подходят не только медианатреугольника, но и средняя линия (ведь и она делит сторону треугольника пополам) и вообще любой отрезок, делящий сторону треугольника пополам. Для построения правильного определения медианы треугольника надо добавить еще и такой признак: «Медиана выходит из вершины треугольника». Тогда получаем такое правильное определение: «Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны».
     
      6. Определение не должно быть избыточным.
      Это означает, что в определении не должно быть указано лишних признаков, являющихся следствием других признаков определяемого понятия. Например, весьма часто встречается такое определение ромба: «Ромбом, называется параллелограмм, все стороны которого равны между собой». Это определение явно избыточное, ибо достаточно равенства двух смежных сторон параллелограмма для того, чтобы были равны все его стороны. Следовательно, правильнее определять ромб следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны».
      Вот другой пример: «Диаметром круга называется наибольшая хорда, проходящая через центр круга». Здесь первый признак «наибольшая» является следствием второго признака «проходящая через центр»’, а второй является следствием первого. Поэтому правильное определение такое: «Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга» или: «Диаметром круга называется наибольшая хорда».
      Мы указали лишь основные требования к определению математических понятий и привели примеры ошибок, возникающих при нарушении этих требований.
      Для того чтобы избежать таких ошибок, надо знать эти требования, учитывать их при формулировании тех или иных определений, учиться строить правильные определения.
     
      ЗАДАНИЕ 4
      4.1. В приведенных ниже определениях выделите название определяемого понятия, родовое понятие и видовые признаки:
      а) Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.
      б) Значение переменной, которое обращает уравнение в истинное равенство, называется корнем уравнения.
      в) Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
      г) Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.
      д) Квадратное уравнение, приведенное к нормальному виду, называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов (кроме первого) равен нулю.
      4.2. Проанализируйте приведенные ниже определения и установите, какие из них правильные, а какие неправильные, и в этом случае укажите характер ошибки. Как исправить ошибочные определения?
      а) Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам.
      б) Параллельными прямыми называются такие прямые, которые не пересекаются.
      в) Диаметром окружности называется хорда, проходящая через середины двух других параллельных хорд.
      г) Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности.
      д) Десятичная дробь — это дробь с запятой между какими-нибудь ее цифрами.
      е) Вертикальными углами называются два равных угла, если стороны одного из них служат продолжениями сторон другого.
      ж) Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
      з) Параллелограмм, в котором углы, образованные диагоналями с одной из его сторон, равны, называется прямоугольником.
      4.3. Фигура «крест» строится следующим образом: на двух пересекающихся прямых откладываются от точки пересечения по разные стороны от нее на каждой из этих прямых равные отрезки. Сформулируйте определение этой фигуры «крест».
      4.4. Действие «осреднение» дробей...
     
      КОНЕЦ БЕСЕДЫ 6 И ФРАГМЕНТА КНИГИ
     
      КРАТКИЙ СЛОВАРЬ
      Абстракция — результат мысленного отвлечения (абстрагирования) тех или иных определенных свойств от множества свойств рассматриваемого объекта.
      Аксиома — предложение, принимаемое без доказательства, являющееся исходным для доказательства других предложений и для косвенного определения первичных понятий.
      Алгоритм — точное предписание (правило) о выполнении в определенном порядке указанных операций (шагов алгоритма), позволяющее решать все задачи определенного вида.
      Арифметика — наука о числах и операциях над ними. В начальном курсе математики (1—5 классы) изучаются основы арифметики.
      Вид — каждый класс объектов, который входит в объем более широкого класса объектов.
      Видовое понятие — понятие, входящее в состав более общего понятия, которое называется родовым.
      Видовой признак — свойство, отличающее объекты одного вида от объектов других видов, входящих в один и тот же род.
      Генетическое определение — определение, в котором указывается способ создания (построения) объектов определенного понятия.
      Доказательство — установление (обоснование) истинности высказывания (суждения, предложения); логическое действие, в процессе которого истинность данного высказывания обосновывается с помощью других высказываний. Математическое доказательство — цепочка правильных умозаключений, идущих от аксиом или ранее доказанных теорем к доказываемой теореме.
      Идеальный (абстрактный) объект — не существующий реально, но отображающий определенные свойства (например, форму) некоторых реальных объектов и служащий для научного изучения этих реальных объектов.
      Индуктивное определение — такое определение понятия, которое позволяет из некоторых исходных объектов путем применения к ним определенных oneраций строить другие объекты этого понятия.
      Классификация - - распределение объектов некоторого рода на виды; деление объема понятия на виды.
      Количество — совокупность свойств, указывающих на величину предмета, его размер.
      Логическое мышление — правильное, совершаемое по законам логики.
      Математический аппарат — совокупность предложений (теорем, формул н т. д.) математики, дающих возможность строить математические модели в различных науках и решать задачи.
      Математический метод — метод (общий способ, путь) математического изучения закономерностей природы и общества. В частности, совокупность правил и приемов построения математических моделей реальных явлений и процессов.
      Математический язык — система математических знаков и символов, операции с которыми совершаются по особым правилам, устанавливаемым в математике.
      Метод — путь, способ исследования или изучения объектов (явлений), общий способ решения каких-либо задач.
      Модель — объект, подобный другому объекту (оригиналу), служащий для изучения (исследования) оригинала. Например, чертеж детали машины есть модель этой детали.
      Объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения, воздействия.
      Объем понятия — совокупность (множество) объектов, входящих в данное понятие.
      Определение понятия — логическая операция, в процессе которой раскрывается содержание понятия.
      Переменная величина — величина, которая принимает различные значения.
      Понятие — целостная совокупность суждений об отличительных свойствах объектов некоторого класса.
      Предложение — суждение, выражающее общее свойство некоторого понятия.
      Признак — свойство объектов понятия, по которому их отличают от объектов других понятий.
      Род — класс объектов, в состав (объем) которого входят другие классы объектов, являющиеся видами этого рода.
      Свойство — то, что присуще объектам, что их отличает от других объектов или делает их похожими на другие объекты. Свойство является существенным для определения понятия, если оно присуще всем объектам этого понятия (является общим свойством) и без него объекты этого понятия не существуют. Свойство объекта (предмета) является существенным для решения задачи, если это свойство используется в процессе решения. Несущественные свойства для определения понятия (не общие, случайные) могут быть существенными для решения конкретной задачи.
      Следствие — суждение, получающееся в результате умозаключения из одного или нескольких суждений.
      Содержание понятия — совокупность свойств, присущих всем объектам данного понятия.
      Софизм — умышленно ошибочное рассуждение, которое выдается за истинное.
      Суждение — форма мысли, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно объектов (предметов, явлений). Суждения могут быть истинными или ложными,
      Теорема — доказываемое предложение.
      Умозаключение — логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных суждений получают новое суждение, содержащее новое знание.
      Эвристика. Наука, изучающая закономерности поиска решения задач. 2. Прием (правило) поиска решения задач.