Задачник
по элементарной
математике

DjVu

      227. Доказать, что среднее геометрическое двух положительных чисел не более их среднего арифметического.
      228. Доказать, что среднее геометрическое четырех положительных чисел не более их среднего арифметического.
      229. Доказать, что среднее геометрическое трех положительных чисел не более их среднего арифметического.
      230. Доказать, что среднее геометрическое нескольких положительных чисел не более их среднего арифметического (неравенство Коши).
      231. Доказать, что сумма т положительных переменных, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве переменных.
      258. У торговца заведомо неверные весы. Первому покупателю он отпускает один килограмм товара с одной чашки весов. Второму покупателю он отвешивает один килограмм того же товара на другой чашке, думая, что он при этом компенсирует неточность отвешивания. Спрашивается, выгадал торговец или остался в убытке?
     
      Глава V
      ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
      272. Пешеход шел вдоль трамвайной линии; через каждые 4 минуты он встречал вагон трамвая, а через каждые 12 минут его обгонял вагон трамвая, (Пешеход и трамвай двигались равномерно.) Через сколько минут следуют друг за другом вагоны трамвая?
      273. Переход из порта А в порт В длится ровно 12 суток. Каждый полдень из А в В и из В в А отходит по пароходу. Сколько пароходов встретит в открытом море каждый из этих пароходов?
      274. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно н вернулся в А через 14 часов. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.
      277. Два тела, двигаясь по окружности в одном и том же направлении, сходятся через каждые 56 минут. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, они встречались бы через каждые 8 мин. Если при движении в противоположных направлениях в некоторый момент времени расстояние по окружности между телами равно 40 м, то через 24 сек оно будет 26 м. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности, если известно, что в течение упомянутых 24 сек тела не встретились?
      278. По окружности в противоположных направлениях движутся два тела: первое равномерно с линейной скоростью V, а второе равноускоренно с линейным ускорением а.
      В начальный момент времени оба тела находились в одной точке А и скорость второго была равна нулю.
      Через какое время произойдет первая встреча этих тел, если вторая встреча будет снова в точке Л?
      279. Расстояние между городами равно 5 км. Из этих городов выезжают одновременно навстречу друг другу два автомобиля и через t часов встречаются. Какова скорость каждого автомобиля, если первый из них проезжает р км на q часов дольше, чем другой?
      280. Из Л в В выехал велосипедист. Когда велосипедист проехал 5 км, из Л в В выехал мотоциклист, который пришел r В на t часов раньше велосипедиста. Каково расстояние между Лив, если скорость велосипедиста v км/час, а скорость мотоциклиста 4т; км/час?
      281. На участке реки от Л до В течение так слабо, что им можно пренебречь; на участке от В до С течение уже достаточно сильное. Лодка покрывает расстояние вниз по течению от Л до С за 6 часов, а от С до Л вверх по течению за 7 часов. Если бы на участке от Л до В течение было таким же, как на участке от В до С, то весь пу гI. от Л до С занял бы 5,5 часа. Сколько времени в этом случае понадобилось бы на то, чтобы подняться вверх от С до Л?
      282. Из пункта Л в пункт В вышел пешеход, и одновременно из В в Л выехал велосипедист. Когда расстояние между велосипедистом и пешеходом сократилось в четыре раза, из Л в В выехал автомобиль, догнавший пешехода н момент его встречи с велосипедистом. Продолжая движение, автомобиль прибыл в В тогда, когда велосипедист доехал до Л. Во сколько раз скорость велосипедиста превосходит скорость пешехода?
      283. Морская экспедиция плыла на двух пароходах. Первый пароход вышел на сутки раньше второго, но пришел в порт назначения на сутки позже, так как вторую половину пути он шел медленнее, чем первую, на 10 км в час. Второй пароход шел все время с той же скоростью, с которой первый шел первую половину пути. Сколько суток шел второй пароход вперед, если известно, что, увеличив скорость на 10 км в час, он смог бы весь обратный путь проделать за 6 суток?
      286. Два туриста одновременно отправляются из пункта А в пункт В. Один турист пошел пешком, а другой выехал на двухместном мотоцикле с водителем. Проехав часть пути, второй пошел дальше пешком, а водитель возвратился назад, взял первого туриста и прибыл в В одновременно со вторым. Найти время, затраченное туристами на передвижение из А в В, и расстояние, которое каждый из туристов прошел пешком, если известно, что расстояние между А и В равно 5 км, скорости туристов при движении пешком км/час, а скорость мотоцикла км/час.
      287. Два пешехода вышли одновременно из пункта А в пункт В. Оба пешехода движутся равномерно. Когда каждый из них достигает пункта В, он поворачивает обратно. Первый пешеход, обогнав второго, встречает его на обратном пути на расстоянии d км от В; затем, прийдя в А и снова повернув к В, он встречает второго пешехода, пройдя к тому времени я-ю часть расстояния от А до В. Найти расстояние от А до В.
      289. Вестовому надо было проехать 20 км, причем первую половину пути он должен двигаться на 1 км н час быстрее, чем вторую половину. В каких пределах должна быть заключена его меньшая скорость, чтобы на весь путь он затратил от четырех до пяти часов?
      293. Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой; потом из бака вылили столько же литров смеси; тогда в баке осталось 49 л чистого спирта.
      Сколько литров спирта вылили в первый раз и сколько но второй раз, если вместимость бака 64 л?
      296. При перемножении чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив на 4 цифру десятков в произведении. При делении (для проверки ответа) полученного произведения на меньший из множителей он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти множители.
      297. Часы показывают в некоторый момент на т минут меньше, чем следует, хотя и спешат. Если бы они показывали на я минут меньше, чем следует, но уходили бы в сутки на t минут больше, чем уходят, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем показывают. На сколько минут в сутки эти часы спешат?
      298. Найти четырехзначное число, у которого цифра тысяч равна цифре десятков, а цифра сотен на единицу больше цифры единиц, если известно, что искомое число представляет собой точный квадрат.
      301. Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. По плану же работы в первый час работал'лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. (до тех пор, пока не начали работать все комбайны), а затем в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану было бы сокращено на шесть часов, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в совхозе?
      302. Определить, за сколько дней может выполнить каждый из трех рабочих некоторую работу, если производительность третьего рабочего равна полусумме производительностей первого и второго. Известно, что если бы третий рабочий проработал а дней, то для окончания остальной работы первому потребовалось бы b дней, а второму — с дней.
      303. Пятизначное число начинается слева цифрой 3. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных четырех цифр, то вновь полученное число будет на 29 997 больше первоначального. Найти первоначальное число.
      304. Найти целые положительные числа, разность квадратов которых равна 455.
      305. Для нумерации страниц книги потребовалось 6857 цифр. Сколько страниц в книге?