ПРЕДИСЛОВИЕ
Важной составной частью реформы общеобразовательной и профессиональной школы является повышение качества учебно-воспитательного процесса, в частности совершенствование математического образования. В эпоху научно-технической революции от качества математической подготовки все в большей степени зависят научно-технический прогресс, производственный и оборонный потенциал страны. Кроме того, без прочного овладения основами математики невозможно усвоение в школе других дисциплин.
Состояние математической подготовки учащихся характеризуется в первую очередь умением решать задачи. С другой стороны, задачи — это основное средство развития математического мышления учащихся. Очевидно, речь идет не об упражнениях тренировочного характера или задачах «на известный тип», а о нестандартных задачах, поиск решения которых, как и нестандартные решения традиционных задач, по словам академика Гнеденко Б. В., составляют важные слагаемые на пути развития способностей и духа творческого горения. Не случайно в учебниках по математике нестандартным задачам отводится значительное место.
Наличие в учебниках по математике разделов «Задачи повышенной трудности» дает возможность активизировать познавательную деятельность учащихся на уроках и во внеклассной работе, облегчает подбор материала для кружковой работы.
Цель настоящего пособия — оказать конкретную помощь учителю (прежде всего — начинающему) в важном и трудном деле развития у младших школьников математического мышления, их творческих способностей.
Пособие состоит из двух частей — теоретической и практической. В теоретической части (§ 1—4) раскрывается роль и показывается место задач повышенной трудности в курсе математики IV и V классов, приводятся рекомендации по их использованию, а также некоторые методические рекомендации.
Во второй части пособия (§ 5—6) содержатся задачи, способствующие развитию творческого мышления учащихся, их способностей и интересов к математике. При отборе задач были использованы раздел «Задачи повышенной трудности» учебников по математике для IV и V классов (разных лет изданий), журналы «Квант», «Математика в школе» и различные сборники задач. К одним задачам, наиболее трудным, дается подробное решение, к другим даются краткие указания к решению, к третьим, наиболее простым, — лишь ответы. Отметим, что мы не ставили своей целью привести все возможные способы решения задач. Учащиеся могут предложить свои способы, отличные от имеющихся в данном пособии, и тогда долг учителя — рассмотреть предложенные учениками способы, оценить их и отметить самостоятельность творческой мысли учащихся.
Настоящее пособие написано на основе опыта работы учителей школ Караганды и Карагандинской области. Оно успешно использовалось студентами и преподавателями Карагандинского государственного университета при проведении ими внеклассной работы по математике с учащимися IV и V классов.
§ 1. РОЛЬ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ IV И V КЛАССОВ
В Основных направлениях реформы общеобразовательной и профессиональной школы говорится: «Важнейшая, непреходящая задача советской школы — давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и умение применять их на практике, формировать материалистическое мировоззрение»*.
Известно, что человеку в его практической деятельности приходится решать не только неоднократно повторяющиеся задачи, но и новые, никогда не встречавшиеся. Школа должна научить выпускника находить пути к решению проблем, а это значит — формировать у учащихся способность к самостоятельному, творческому мышлению.
Возможность для приобщения школьников к учебной деятельности творческого характера предоставляют математические задачи. Не случайно известный педагог-математик Д. Пойа пишет: «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»**.
Роль и место задач в обучении математике исторически не оставались неизменными. Так, в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого способы решения задач давались в виде многословных правил, которые ученики должны были заучивать. Задача была целью обучения: математику затем и учили, чтобы усвоить правила решения типичных задач. Во времена Магницкого способность привести задачу к определенному типу считалась важнейшим показателем высокоразвитого мышления.
В начале нашего столетия известный математик-методист С.И. Шохор-Троцкий разработал так называемый «метод целесообразных задач». Изложение новой темы он предлагал начинать с целесообразно подобранной задачи. Обсуждая ее решение, разбирая родственные задачи, он подводил учащихся к самостоятельному выводу нужного правила, формулы, теоремы. По его словам, арифметиче-
* О реформе общеобразовательной и профессиональной школы: Сборник документов и материалов. М.: Политиздат, 1984, с. 44.
** Пойа Д. Как решать задачу. М., 1961, с. 5.
ские задачи должны быть, при разумном обучении, не целью, а средством обучения арифметике.
В современном обучении метод целесообразных задач применяется сравнительно мало, хотя мнение, что задача должна быть не целью, а средством обучения математике, довольно распространено.
Общепризнано, что задачи являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития. От эффективности использования Задач в обучении математике в значительной мере зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся средней школы, но и степень их практической подготовленности к последующей за обучением деятельности в любой сфере народного хозяйства и культуры.
Поэтому не случайно, что в практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть учебного времени. Несмотря на это, многие учащиеся при решении задач испытывают большие трудности. Во многом это происходит потому, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой, их решение требует от учащихся знаний, умений или навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала, не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Роль и значение таких задач исчерпывается в течение того непродолжительного периода, который отводится на изучение (повторение) того или иного вопроса программы. Чаще всего функция таких задач сводится к иллюстрации изучаемого теоретического вопроса, к разъяснению его смысла. Поэтому учащимся известно, каким методом следует решать данную задачу. Этот метод обычно подсказывается названием раздела учебника или задачника, из которых взята задача, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Ученик не ищет метод решения сам. Поэтому на обобщающей контрольной работе учащийся часто не может решить задачу, хотя аналогичную (или даже более сложную) он без особого труда решал, когда был указан тип, к которому она относится. Большие трудности вызывают у учащихся и задачи на повторение, требующие от учащихся знаний нескольких тем.
Для обучения школьников способам отыскания путей к решению нестандартных задач и предназначен раздел «Задачи повышенной трудности». Эти задачи следует предлагать не только хорошо успевающим учащимся. В младшем возрасте склонности еще не проявляются так очевидно, чтобы легко можно было отличить «математиков» от «нематематиков». Долг учителя — подмечать, пробуждать и развивать пока лишь потенциальные способности учащихся, для которых математика является наиболее трудным, а потому нелюбимым предметом. Задачи повышенной трудности и являются как
раз тем материалом, на котором учитель будет решать важнейшую задачу преподавания математики — развитие математического мышления и творческой активности учащихся.
Решение нестандартных задач на уроках, занятиях кружка и других видах внеклассных занятий позволяет учащимся накапливать опыт в сопоставлении, наблюдении, выявлять несложные математические закономерности, высказывать догадки, нуждающиеся в доказательстве. Тем самым создаются условия для выработки у учащихся потребности в дедуктивных рассуждениях. Кроме того, эти задачи помогут учителю в воспитании таких нравственных качеств личности как трудолюбие, упорство в достижении цели и др.
§ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Опыт работы учителей показывает, что задачи повышенной трудности целесообразно распределить на весь учебный год по всем изучаемым темам курса. Уже в сентябре можно рекомендовать четвероклассникам, которые хотят научиться успешно решать задачи и получать хорошие или отличные оценки, завести тетради специально для задач повышенной трудности. Как правило, большинство четвероклассников заводят такие тетради. В пятом классе учителю остается поддержать установленный порядок.
Хорошим стимулом для решения учащимися младших классов задач повышенной трудности является проведение районных и городских математических олимпиад для учащихся IV—VII классов. В число заданий олимпиады обязательно должны входить задачи из школьных учебников (учащихся заранее ставят в известность, что две задачи из четырех берутся из учебника). Поэтому у многих учащихся возникает желание прорешать все задачи повышенной трудности из учебника. Теперь перед учителем стоит задача — развить интерес у учащихся к решению задач, тем самым развить интерес к самой математике.
Задачи настоящего пособия довольно разнообразны и по содержанию, и по форме, и по учебно-воспитательным функциям. Каждый учитель сам может продумать и определить пути использования той или иной задачи, исходя из индивидуальных особенностей класса, в котором он работает. Опытный учитель, безусловно, легко определит, где (на уроке или во внеурочное время) можно использовать ту или иную задачу, какими знаниями должны при этом обладать учащиеся, какие задачи нужно рассмотреть предварительно и др. Рекомендации, приведенные ниже, предназначены, главным образом, для начинающего учителя.
Разделим задачи настоящего пособия на три группы — по способу их использования:
1) задачи, которые целесообразно решить со всеми учащимися;
2) задачи, которые полезно задать на дом в качестве необязательного задания, а решение их рассмотреть вне урока с теми учащимися, которых они заинтересуют (при наличии времени решение отдельных задач этой группы полезно разобрать со всеми учащимися);
3) задачи, рассматриваемые на занятиях математического кружка.
Отметим, что это деление весьма условно и зависит от уровня подготовки учащихся, от их интересов. Предлагаемое деление задач на группы приведем с помощью таблицы:
Некоторые задачи первой группы (§ 5, 1—6, 12—15, 27, 31, 88—46; § 6, 1, 3—7, 22—26) полезно предложить для устного решения в конце или в начале урока, можно использовать их и для математических викторин. В большинстве своем эти задачи не стандартны по содержанию и потому отнесены в раздел «Задачи повышенной трудности». Трудность многих из них определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной и необычностью математической ситуации. Ввиду простоты решения таких задач следует добиваться, чтобы учащиеся хорошо их усвоили.
Среди этих задач есть задачи на смекалку, задачи-шутки, которые вызывают оживление в классе, пробуждают у учащихся «вкус» к умственной работе. Автор популярной книги «В царстве смекалки» Н. И. Игнатьев в предисловии писал: «... сообразительность и «смекалку» нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью».
Особое внимание следует обратить на привитие учащимся навыков в решении комбинаторных задач (§ 5, 18—21, 23—25; § 6, 28—29). Так, уже в IV классе при изучении темы «Умножение» учащимся целесообразно предложить простейшие комбинаторные задачи. В V классе навыки учащихся в решении комбинаторных задач следует закрепить, предложив учащимся задачи с кратким, легко укладывающимся в сознании и памяти текстом.
Комбинаторные задачи, как правило, требуют от учащихся в поисках путей решения повышенной умственной активности, воображения и находчивости. Работу над этими задачами нельзя ограничить теми двумя-тремя минутами, которые обычно отводятся на решение устных упражнений в классе или на математических викторинах. Следует иметь в виду, что работа над комбинаторными задачами эффективна лишь в том случае, если учитель обеспечит учащимся возможность без спешки подумать над решением задачи. Конечно, решая простейшие комбинаторные задачи, учащиеся IV и V классов не смогут сделать обобщение. Однако подход к этому будет подготовлен. К этой же группе относятся и задачи на использование свойств натуральных чисел и сведений из теории делимости (§ 6, 12—26).
Задачи, отнесенные к первой группе, можно решать как в классе, так и дома (§ 5,7—11, 16, 17, 22, 26; § 6, 2,8, 9, 27, 30—38). В этом случае следует выполнить проверку домашнего задания.
Особенностью многих задач повышенной трудности является то, что при их решении первым может добиться успеха необязательно самый лучший в классе «математик». Такой успех нередко служит побудительным толчком для серьезного отношения к математике.
Задавая в качестве обязательного домашнего задания упражнения из раздела «Задачи повышенной трудности», учитель должен быть особенно внимателен: отдельные учащиеся, не справившиеся с домашним заданием, могут потерять веру в свои силы. С такими учащимися нужна индивидуальная работа, которая позволит учителю выяснить, какие затруднения испытывали учащиеся при решении задач, и наметить пути преодоления этих затруднений.
Основная цель задач второй группы — развитие у учащихся интереса к предмету, накопление определенного запаса математических фактов и сведений, углубление знаний, приобретаемых на уроках. Задачи этой группы доступны пониманию всеми учащимися, но требуют для своего решения довольно много времени.
Среди задач второй группы большой интерес у учащихся вызывают упражнения на восстановление цифр в арифметических равенствах. С помощью простейших упражнений учитель должен найти возможность показать на уроке, как решаются такие задачи, а затем более сложные можно предлагать в качестве необязательного домашнего задания. При решении этих упражнений не следует требовать от учащихся письменной записи. Однако учащиеся должны уметь устно восстановить всю цепочку рассуждений, позволяющих им решать задачу, а также обосновать решение.
При возникших у учащихся затруднениях задачу из второй группы можно расчленить на более простые. Однако не следует торопиться с этим, так как наводящие вопросы или чрезмерно полные разъяснения учителя способны помешать развитию творчества и самостоятельности в работе.
Предлагая задачи в качестве необязательного домашнего задания, учитель не должен забывать о поощрении учащихся, успешно справившихся с заданием. Особенно это важно в младших классах. Вместе с тем не следует без конца хвалить одного и того же учаще-
гося, так как это может привести к зазнайству и оказать отрицательное влияние на развитие личности. «Нам следует так воспитывать учащихся с повышенными способностями, чтобы они поняли простую мысль: способности накладывают на них повышенные обязанности перед обществом, но не дают права относиться к другим без должного уважения».
Успехи школьников в решении задач повышенной трудности во многом зависят от педагогического мастерства учителя, его личности. Доброжелательность, внимание учителя способствуют развитию интереса к предмету. Формальное отношение к решению задач повышенной трудности может отпугнуть от занятий математикой, оказать вредное влияние на здоровье школьника. Поэтому вовсе нет надобности заставлять каждого ученика решать все задачи, отнесенные ко второй группе. Пусть каждый решает столько задач, сколько сможет, и те задачи, которые ему представляются интересными. Этого будет достаточно для математического развития каждого учащегося в отдельности и всего класса в целом.
За неумение решать задачи повышенной трудности оценка учащимся не должна снижаться. И уж совсем недопустимо выставление отрицательных оценок в журнал за невыполнение упражнений, заданных в качестве необязательного домашнего задания. Отличные же оценки в виде поощрения за решение задач повышенной трудности вполне естественно ставить в журнал.
Недопустимо задавать на дом решать задачи повышенной трудности отдельным хорошо успевающим учащимся (всегда одним и тем же). Этим учитель может добиться отрицательных результатов, так как учащиеся IV и V классов не всегда правильно поймут цель учителя. (Что я, хуже всех? — спросил четвероклассник учительницу, задававшую ему одному в качестве домашнего задания задачи повышенной трудности.) Кроме того, учитель может не заметить способных, оттолкнуть от занятий математикой других. Очень важно воспитать у учеников веру в свои силы на ранней ступени обучения. В результате решения задач повышенной трудности у учащихся появляется радость от успехов, уверенность в своих силах.
Многие задачи второй группы можно было бы решить в классе: они полезны для развития математических способностей учащихся и достаточно интересны. Однако они требуют много времени даже для того, чтобы осмыслить содержание задачи. Задавая задачу на дом, учитель дает возможность ученику осмыслить, решить ее не торопясь, не соревнуясь с учащимися в скорости решения (что иногда приводит к ошибкам). Не будет большой беды в том, если ученик, заинтересовавшись решением задачи, увлечет и членов семьи. В этом случае радость успеха ученика могут разделить не только учитель и одноклассники. А ведь успех является психологическим стимулом возникновения, поддержания и укрепления познавательных интересов школьников.
Задачи третьей группы целесообразно рассматривать на занятиях математического кружка. Это наиболее трудные задачи (в том числе логические задачи, задачи-игры).
Если уровень подготовки школьников недостаточно высок, то на занятиях кружка можно рассмотреть часть задач Bfopofl группы. В любом случае задачи повышенной трудности служат «переходным мостом» от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для дополнительной нагрузки наиболее способных к математике учащихся как в школе, так и дома.
Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой позволит учителю добиться больших успехов.
§ 3. О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
Решая задачу повышенной трудности, целесообразно рассмотреть различные способы ее решения. Полезнее одну задачу решить несколькими способами (не жалеть времени), чем решить несколько однотипных задач одним способом. К сожалению, «иногда случается и так, что учитель связывает инициативу школьника, отвергая предложенное учеником оригинальное решение только потому, что оно не соответствует структуре учебника, школьному стандарту. А это крайне опасно, поскольку дри этом сдерживается развитие творческого начала».
Важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у учащихся умение использовать особенность каждой задачи, позволяющую решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи является залогом успешного ее решения. Особое внимание следует обращать на решение задач арифметическим способом (особенно после того, как учащиеся научатся решать задачи с помощью уравнений), так как именно решение задач арифметическим способом способствует развитию независимости, оригинальности мышления, изобретательности.
Наблюдения показывают, что учащиеся, ознакомившись со способом решения задач с помощью уравнения, не обременяя себя глубоким анализом условий задачи, стараются побыстрее составить уравнение и перейти к его решению. При этом и введение обозначений, и схема решений соответствуют определенному шаблону.
Задача учителя — на примерах убедить учащихся, что решение задач по шаблону часто приводит к значительному увеличению объема работы, иногда решение усложняется, увеличивается возможность появления ошибок. Поэтому учащимся полезно предложить правило: прежде чем составлять уравнение для решения задачи, нужно внимательно изучить условие задачи, подумать над тем, какой способ решения наиболее соответствует ее условию, попытаться решить задачу арифметическим способом.
Решение арифметическим способом задач, шаблонный метод решения которых нелегко приводит к результату, является одним из лучших средств развития самостоятельного творческого мышления учащихся. С помощью специально подобранных задач можно показать учащимся красоту и простоту логического рассуждения, приводящего к решению задачи.
Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений математических задач. Тем самым учитель будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.
§ 4. КАК ПОМОЧЬ УЧАЩИМСЯ НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ
Наибольшие затруднения у учащихся, как правило, вызывают решения нестандартных задач, т. е. задач, алгоритм решения которых учащимся неизвестен. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных задач учащихся или нет. Например, задачи на нахождение суммы конечного числа членов арифметической прогрессии для учащихся младших классов нестандартные, а для старшеклассников, изучивших тему «Арифметическая прогрессия»,— будут стандартные.
Вообще, любая задача, взятая изолированно, сама по себе является нестандартной, но если с ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становится стандартной. Поэтому вопрос «Как научить учащихся решать нестандартные задачи?» можно заменить: «Как научить учащихся решать задачи, если алгоритм их решения им неизвестен?»
Современная учебно-методическая литература (отечественная и зарубежная) содержит различные попытки помочь учащимся в решении задач с помощью формулирования общих приемов, позволяющих найти путь к решению конкретной задачи. Наиболее интересны в этом отношении книги известного математика и замечательного педагога Д. Пойа «Как решать задачу» (М., 1961), «Математика и правдоподобные рассуждения» (М., 1975), «Математическое открытие» (М., 1976). В увлекательной форме Д. Пойа анализирует процесс «математического открытия»*. На примерах задач школьного курса процесс решения задач Д. Пойа анализирует в неразрывной связи с процессом обучения решению задач, так что здесь тесно связаны два вопроса: «Как решать задачу?» и «Как научить задачу решать?»
Считая, что учитель знаком с работами Д. Пойа, напомним, что в книге «Как решать задачу», адресованной преподавателям, стремящимся развить способности своих учащихся к решению задачи, и ученикам, желающим развить свои способности, с помощью таблицы (тщательно отобранных и размещенных вопросов) даются правила и советы, имеющие две цели: первая — помочь ученику решить именно данную задачу, вторая — так развить способности ученика, чтобы в будущем он смог решать задачи самостоятельно.
Отметим, что многие учителя и учащиеся интуитивно устанавливают правила, подобные тем, которые приводит Д. Пойа, а опытный учитель при обучении учащихся умениям решать задачи пользуется теми приемами, которые описывает Д. Пойа (даже в том случае, если он не читал его книг). Разделяя методические концепции известного математика, по мере необходимости будем ссылаться на его авторитет. Д. Пойа одним из первых попытался создать теорию, предметом которой являются не математические доказательства, а способы догадываться о таких доказательствах, открывать математические истины и решать математические задачи. Он одним из первых наиболее четко и полно сформулировал правила, которыми пользуются (должен пользоваться!) учитель математики, желающий научить своих учеников решать задачи, и любой человек, желающий решить нестандартную задачу.
Как же научить учащихся решать нестандартные задачи? Понятно, что научить решению задач, лишь показывая образцы таких решений, нельзя. Еще выдающийся немецкий педагог А. Дистервег (1790—1866) писал: «Плохой учитель преподносит истину, хороший учит ее находить».
Прежде всего, следует учесть, что научиться решать задачи учащиеся смогут, лишь решая их. «Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь... если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их»**. И хотя методы и приемы решения задач усваиваются практически, однако, отсюда не следует, что учитель добьется успеха, если будет только требовать от учащихся решать побольше задач, давать им ответы и показывать образцы решения. Необходимо учесть психологический аспект поставленной проблемы. Решение любой достаточно трудной задачи требует от учащегося напряженного труда, проявления воли и упорства, которые, в свою очередь, воспитываются практикой. Особое волевое усилие, которое учащийся должен проявить, может обеспечить значительные успехи.
Воля и упорство наиболее полно проявляются у учащихся, если задача интересна. В этом случае задачу легче решать, так как интерес к ней сам по себе, независимо от желания, мобилизует умственную энергию, облегчает запоминание. Поэтому учитель должен стараться подбирать такие задачи, чтобы учащиеся хотели их решить, хотели их сделать задачами «для себя». «Задача становится задачей для вас, когда вы ставите себе целью ее решить... если вам очень хочется найти ответ самому, своими собственными силами, то вы сделали задачу действительно вашей* вы относитесь к ней серьезно. Постановка задачи для себя есть начало решения...».
Подбирая задачи, нужно помочь учащемуся обнаружить, что математическая задача может быть столь же увлекательной, как головоломка, и что напряженная умственная работа в случае победы может доставлять много радости. Практика показывает, что у школьников младших классов (да и у старшеклассников) большой интерес вызывают задачи практического содержания.
За математически корректной редакцией многих задач основных разделов школьных учебников учащимся трудно уловить практическую направленность задачи, ее теоретическую ценность, а потому упускаются важные моменты, пробуждающие любознательность, интерес учащихся. Поэтому целесообразно как можно чаще использовать задачи, позволяющие показать тесную взаимосвязь теории и практики: учащимся весьма интересно и полезно видеть, как из практической задачи возникает теоретическая и как «чисто» теоретической задаче можно придать практическую форму.
Так, при изучении темы «Умножение» в IV классе можно предложить учащимся комбинаторные задачи, содержание которых взято из окружающей школьников действительности: 18—21, 23—25 (§ 5). При изучении темы «Деление с остатком» в IV классе наряду с задачами, допускающими стандартное решение, полезно предложить задачи с интересной тематикой: 47—50 (§ 5). Много задач практического содержания, вызывающих интерес учащихся, можно предложить учащимся V класса после изучения темы «Разложение на простые множители».
Целесообразно бывает изменить условие задачи, чтобы как можно больше учащихся заинтересовались ею. Например, вместо того чтобы решить задачу «Дочери в настоящее время 10 лет, а матери 36 лет. Через сколько лет мать будет старше дочери вдвое?» каждому учащемуся можно предложить задачу: «Мне в настоящее время ... лет, а матери ... лет. Через сколько лет мать будет вдвое старше меня?» Вряд ли найдется хоть один учащийся IV и V класса который не хотел бы решить эту задачу.
Воспитание интереса учащихся <к математике, развитие их математических способностей невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов.
К сожалению, достаточно распространено мнение, что «занимательные» задачи учащийся может решать только дома, на кружке, но не на уроке. Однако такая точка зрения вряд ли может быть педагогически оправдана: слабый учащийся будет лишен интересных задач, так как кружки он не посещает, а дома у него обычно остается мало времени. Поэтому занимательные задачи, задачи-шутки должны найти место и на уроке.
Заинтересованный занимательными задачами учащийся начинает увлекаться математикой и переносит интерес к ней и на «скучные» разделы, неизбежные в каждом предмете. В конечном счете это способствует быстроте и глубине усвоения, прочности запоминания.
Пробудить интерес к решению задачи можно, если предложить учащимся угадать ее решение или ответ. Тогда ученик, которому пришла в голову какая-либо догадка, не отвлечется и будет внимательно следить за ходом решения, чтобы узнать, был ли он прав.
Итак, первая задача, которая стоит перед учителем, желающим научить учащихся решать задачи,—это подбирать упражнения, вызывающие у учащихся интерес и желание их решить.
Другой предпосылкой для успешного решения задачи является уверенность учащегося в том, что он сможет решить предложенную ему задачу. Задачи должны быть доступны, иначе школьники потеряют веру в свои силы, утратят интерес к решению задач, а вместе с ним и интерес к самой математике. Если задачи достаточно трудны и учащийся не может их решить, то досада от безрезультатности труда снижает эффективность мышления, усвоения и осложняет дальнейшее обучение. Если же учащийся чувствует уверенность в своих силах, то он с радостью решает задачи, у него появляется повышенный интерес к предмету, а это в свою очередь облегчает и ускоряет поиск путей решения математических задач.
Таким образом, интерес к задаче, желание ее решить и уверенность в том, что задача «по силам» являются необходимыми предпосылками для успешного решения задачи учащимися.
Ну а как же быть в том случае, если и задача интересна и ученик не боится трудностей и не жалеет времени для ее решения, а задача не получается? Каким образом направить усилие ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи? Здесь на помощь учащемуся должен прийти учитель. Воспитание у учащихся навыков самостоятельного отыскания решений задач в большей степени зависит от учителя, от его желания и умения творчески подойти к этому вопросу.
В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко различать четыре ступени: 1) понимание постановки задачи; 2) составление плана решения; 3) осуществление плана; 4) изучение полученного решения («взгляд назад», — так называет эту ступень Д. Пойа).
Наблюдения показывают, что даже при решении несложной задачи учащиеся очень много времени тратят на рассуждение о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задачи, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая'ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математическое чутье, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить пути к решению новых задач.
В чем же должна заключаться помощь учителя,чтобы обеспечить максимальную самостоятельность учащегося при решении им задач? «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею... Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания... Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?».
Не следует забывать, что во время мышления осуществляется актуализация, или приближение знаний. Под актуализацией знаний понимают ситуацию, при которой для решения задачи человек самостоятельно привлекает знания из своего прошлого опыта. Не случайно Д. Пойа средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения рассматривает вспомогательные задачи: «Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или с задачей, решающейся проще?».
Однако, следует заметить, что умение подбирать, вспоминать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащийся уже владеет некоторым запасом различных приемов решения задач. Учащиеся IV и V классов, как правило, затрудняются в отыскании вспомогательных задач, особенно задач нового типа, так как опыт в решении задач у них невелик. К тому же следует учесть психологию учащегося младших классов: он не слишком долго думает над задачей, ему хочется как можно быстрее увидеть результат своего труда (конечно, положительный). Отсюда следует, что в младших классах школы, видя затруднения учащегося, учитель должен сам предложить вспомогательные задачи. Умело поставленные наводящие вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут учащимся понять идею решения задачи. Например, у учащихся IV класса вызвала затруднение задача: «Напишите наибольшее десятизначное число, в котором все цифры различны».
Учитель, который, видя затруднения учащихся, записывает ответ и объясняет, почему задача имеет такое решение, на долю ученика не оставляет никакой работы. Здесь полезнее предложить следующие вспомогательные задачи:
1) Напишите наибольшее трехзначное число (999.)
2) Напишите наибольшее трехзначное число, в котором все цифры различны (987.)
При таком подходе решить предложенную задачу смогут все четвероклассники.
Подбирая вспомогательные задачи, учитель должен стремиться к тому, чтобы эти задачи не выглядели произвольными, не имеющими никакой видимой мотивировки или цели, чтобы ученику по возможности было ясно, почему именно такую вспомогательную задачу привел учитель, чтобы ученик, оставшись один на один с задачей, сам мог придумывать и использовать вспомогательные задачи в том случае, если сразу решить задачу не удается.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
