Дополнительные главы
по курсу математики
7—8 классов

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Настоящий сборник состоит из учебных материалов для факультативных занятий по математике в VII — VIII классах.
      Содержание этих материалов определяется соответствующими программами, опубликованными в журнале «Математика в школе» (1967, № 2), а также в специальной брошюре «Программы факультативных курсов для восьмилетней школы» (изд. «Просвещение». М., 1967).
      В сборнике освещены почти все темы этих программ, одни более подробно (множества, метод координат, функции и графики), в статьях по другим темам изложение менее детальное.
      Пособием по темам «Симметрия» (VII класс) и «Геометрические преобразования» (VIII класс) может служить учебное пособие для IX класса средней школы В. Г. Болтянского и И. М. Яглома «Геометрия» (изд. «Просвещение». М., 1964), главы I — VI первой части и соответствующие задачи. Это пособие вполне доступно для учащихся. Дополнительный материал по этим темам учитель найдет в книге тех же авторов «Преобразования и векторы» (изд. «Просвещение». М., 1964).
      «Задачи по общему курсу» не распределены по классам. С учащимися как VII, так и VIII классов, записавшимися на факультативные занятия по математике, полезно рассмотреть все упражнения, данные в сборнике, решение которых основано на знании арифметики, а также упражнения, сводящиеся к преобразованиям многочленов. Большая часть задач по геометрии может быть решена на основании теоретического курса, изучаемого в VI — VII классах. Учитель, ориентируясь на знания своих учащихся, отберет из предлагаемых задач те, которые, по его мнению, необходимо включить в план факультативных занятий в VII и в VIII классах.
      Во втором издании настоящего сборника по сравнению с первым внесены следующие изменения:
      1. Добавлена статья «Номограммы», т. е. дан учебный материал по 6-й теме программы факультативного курса по математике для VIII класса.
      2. Даны ответы и указания к решению наиболее трудных задач в статьях «Делимость чисел и простые числа» и «Элементы теории множеств».
      3. В статье «Решение задач по общему курсу» часть задач заменена другими; частично включены задачи, близкие по содержанию к новым программам.
     
     
      Фрагмент книги:
     
      Геометрия
     
      14. Постройте общие касательные к двум окружностям. Рассмотрите различные случаи взаимного расположения окружностей.
      15. Постройте параллелограмм по стороне а, высоте ha и диагонали dv
      16. Через точку, данную внутри угла, провести прямую так, чтобы ее отрезок между сторонами угла в данной точке делился пополам.
      17. Постройте треугольник по а, ть и углу между медианами, проведенными из вершин В к С, обращенному к стороне а.
      18. Постройте параллелограмм по его стороне и углу между диагоналями.
      19. Даны три точки окружности, центр которой недоступен. Постройте еще какую-либо точку этой окружности.
      20. В треугольнике АВС вершины А к В недоступны. Проведите медиану из вершины С.
      21. Через данную точку М провести к окружности, центр которой недоступен, касательную. Два случая:
      а) точка М лежит на окружности, б) точка М лежит вне окружности.
      22. Какое множество точек образуют середины всех хорд окружности, проходящих через точку М. Два случая: а) точка М принадлежит окружности, б) точка М находится внутри круга.
      23. В окружности проведены два диаметра. Постройте хорду, которая делится этими диаметрами на три равные части.
      24. Постройте трапецию по ее диагоналям, углу между ними и одной из боковых сторон.
      25. Через точку, лежащую вне окружности, проведите секущую так, чтобы ее отрезок, лежащий внутри данной окружности, имел данную длину.
      26. Постройте треугольник по углу В, 1в и отношению отрезков AD:DC = m:n, где D — основание высоты, проведенной из вершины В.
      27. В данный угол впишите окружность, проходящую через данную точку.
      28. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на трех данных прямых. Рассмотрите два случая: а) все три прямые параллельны, б) прямые — не параллельны.
      29. В данной окружности проведены два диаметра. Постройте хорду, которая этими диаметрами делится на три равные части.
      34. Дан параллелограмм. Проведите через его центр симметрии прямую, параллельную одной из его сторон.
      35. С помощью двусторонней (с параллельными краями) линейки: а) разделить данный угол пополам; б) через данную на прямой а точку М проведите прямую, ей перпендикулярную.
     
      Задачи 36 — 38 решите только с помощью циркуля.
      36. Даны две точки прямой. Постройте третью точку той же прямой.
      Указание. Постройте две концентрические окружности с радиусами а и b и затем два сектора с равными центральными углами — один в окружности радиуса b и другой — в окружности радиуса а.
      38. Дан круг. Найдите его центр.
     
      Задачи на доказательство
      40. Дан угол АОВ и точка М вне его. Из точки М опущены перпендикуляры на стороны данного угла. Докажите: биссектриса угла между этими перпендикулярами отсекает от угла АОВ равнобедренный треугольник (проведите исследование задачи).
      41. Вписанный угол вращается вокруг вершины, не изменяя величины. Докажите: хорда, стягивающая дугу, на которую опирается данный угол, скользит по плоскости, оставаясь касательной к окружности, концентрической с данной.
      42. Найдите геометрическое место середин хорд окружности, выходящих из данной на ней точки.
      43. Две окружности касаются одна другой. Через точку их касания проведена секущая. Докажите, что касательные к окружностям в точках их встречи с секущей параллельны между собой (рассмотрите два случая: внешнего и внутреннего касания).
      44. Две окружности имеют внутреннее касание в точке С. В какой-либо точке М внутренней окружности проведена к ней касательная, встречающая внешнюю окружность в точках А и В. Докажите, что отрезки AM и ВМ видны из точки С под равными углами.
      46. Если две биссектрисы углов треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
      47. В треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Через точку D проведена прямая до пересечения со стороной АС в точке Е так, что угол CDE равен углу ВАС. Докажите, что отрезки BD и DE равны между собой.
      48. Внутри квадрата ABCD из точки D как из центра проведена дуга через вершины Л и С. На AD как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Отрезок прямой, соединяющий произвольную точку Р дуги АС с вершиной квадрата D, пересекает проведенную полуокружность в точке К. Докажите, что длина отрезка РК равна расстоянию точки Р до стороны квадрата АВ.
      49. Если в треугольнике hc есть средняя пропорциональная между проекциями а и Ь на с и если углы А и В острые, то угол С = 9(Р (докажите).
      50. Две диагонали правильного пятиугольника, не исходящие из одной вершины, пересекаясь, делятся в среднем и крайнем отношении1 (докажите).
      51. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников (докажите).
      55. а) Площадь многоугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей подобных ему многоугольников, построенных на катетах как на сходственных сторонах (докажите).
      б) На сторонах прямоугольного треугольника вне его построены квадраты. Ближайшие вершины каждых двух квадратов соединены. Докажите, что полученные таким образом треугольники и данный прямоугольный равновелики.
     
      Задачи на вычисление
      56. а) Внутренние углы треугольника находятся в отношении 3:5:7. В каком отношении находятся его внешние углы?
      б) Внешние углы выпуклого четырехугольника находятся в отношении 1:2:3:4. В каком отношении находятся его внутренние углы?
      в) Верны ли утверждения: 1) внутренние углы треугольника могут быть пропорциональны любой тройке положительных чисел; 2) внешние углы треугольника также могут быть пропорциональны любой тройке положительных чисел?
      57. а) Биссектриса прямого угла С в треугольнике образует с медианой, проведенной из вершины того же угла, угол в 22°. Найдите угол, образованный данной медианой с высотой, проведенной из вершины С, и углы данного треугольника.
      б) Один из углов треугольника равен 110°. Найдите 1) угол между высотами треугольника и 2) угол между биссектрисами, проведенными из вершин двух других углов треугольника.
      74. Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
      75. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
      80. Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника делит противолежащий катет в отношении 1/3:2. Найдите углы этого прямоугольного треугольника.
      81. В трапецию, большее основание которой равно а и острый угол равен 60°, вписан круг, и около этой трапеции описан круг. Найдите расстояние между центрами кругов.
      88. Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных пересекающихся прямых равна постоянной величине с.
      Указание. Рассмотрите сначала случай пересечения данных прямых под прямым углом.
      89. Основание ВС треугольника остается неподвижным, а вершина А передвигается параллельно ВС. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников, получающихся при движении вершины А.
      90. Найдите геометрическое место центров окружностей, отсекающих на сторонах данного угла равные хорды.
      91. Отрезок а скользит по плоскости так, что его концы перемещаются по двум данным взаимно перпендикулярным прямым. Какую линию описывает при этом середина отрезка а?
      92. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных кругов.
      93. Постройте квадрат, равновеликий данному треугольнику.
      94. Постройте: а) треугольник, равновеликий данному выпуклому многоугольнику; б) квадрат, равновеликий тому же многоугольнику.
      95. Даны два подобных многоугольника. Постройте многоугольник, площадь которого равна сумме площадей данных.
      96. Постройте квадрат, площадь которого в 3 раза больше площади данного квадрата.
      97. Постройте два неконгруэнтных равновеликих прямоугольника.
      98. Дан ромб. Постройте равновеликий ему прямоугольник, одна из сторон которого была бы равна меньшей диагонали ромба.
      При каком соотношении между диагоналями ромба периметр построенного прямоугольника равен периметру ромба?