Методика
преподавания математики
в восьмилетней школе

DjVu

      ВВЕДЕНИЕ
     
      Советская педагогика, руководствуясь общим учением марксизма-ленинизма о коммунистическом воспитании молодежи, выработала ряд принципов обучения детей. Эти принципы касаются отбора учебного материала, его изложения, методов обучения, организации занятий и т. д.
      При обучении математике необходимо руководствоваться этими основными положениями педагогики. Методика математики должна решить следующие три основные задачи.
      1. Что должно составлять содержание математики как учебного предмета в советской средней школе и каковы цели изучения математики в целом и каждого из разделов предмета.
      2. В какой последовательности должен быть расположен учебный материал математики при изучении его в школе.
      3. Какие методы и приемы являются эффективными для наиболее полного и глубокого изучения учебного материала математики.
      Методика математики, опираясь на опыт советской школы, устанавливает, что лучше всего в курсе элементарной математики служит общему и математическому развитию учащихся, что способствует более глубокому развитию у них материалистического мировоззрения, что служит подготовке учеников к практической деятельности. Методика математики выясняет, какие методы и формы организации обучения математике обеспечивают учащимся наиболее прочные систематизированные и сознательные знания и навыки, установленные программами, какие разделы школьного курса наиболее сложны и как облегчить учащимся усвоение этих разделов. Методика математики занимается систематизацией упражнений и задач, классификацией их по степени трудности и важности; устанавливает характер контрольных вопросов и задач, которые позволяют с максимальной объективностью и достоверностью проверять знания и навыки учеников; изучает, какой материал из истории развития математической науки способствует уяснению учениками предмета и освещает роль русских математиков в развитии науки; изучает и обобщает лучший опыт учителей математики.
      , Вопросы методики преподавания математики всегда интересовали русских ученых — математиков и педагогов.
      Большинство из них защищало передовые методические принципы: сознательность обучения, развитие самостоятельной работы учащихся, жизненность учебного материала; они вели активную борьбу с проникновением в русскую школу реакционных взглядов некоторых иностранных педагогов.
      Академик С. Е. Гурьев (1764 — 1813), А. Н. Острогорский (род. в 1840 г.), В. А. Латышев (1850 — 1912) разработали основы прогрессивной методики геометрии, исходя из материалистических взглядов на геометрию. Так, А. Н. Острогорский писал, что «понятие идет за наблюдением, что оно имеет в основании своем мир реальный, существующий» (Материал по методике геометрии, 1884, стр. 8). Вопросами преподавания алгебры занимались А. Н. Страннолюбский (1839 — 1903), В. П. Шереметьевский (ум. в 1919 г.), К. Ф. Лебединцев (1872 — 1925). Большое влияние на постановку преподавания математики оказали выступления и работы академиков П. Л. Чебышева (1821 — 1894), В. Я. Буняковского (1804 — 1889), М. В. Остроградского (1801 — 1861). Последний написал учебник элементарной геометрии, конспект по тригонометрии и ряд статей, посвященных вопросам преподавания математики в средней школе.
      Вопросы преподавания математики постоянно обсуждались на страницах специальных журналов, из которых наибольшей известностью пользовались: «Вестник опытной физики и элементарной математики» (издавался до 1917 г.), «Математическое образование» (издавался с перерывом с 1912 по 1930 г.) и др. Многие статьи этих журналов представляют интерес и до настоящего времени.
      Большое влияние на преподавание математики в средней школе оказали работы I Всероссийского съезда преподавателей математики (Петербург, 1911) и II съезда (Москва, 1913).
      Великая Октябрьская социалистическая революция открыла широкую возможность разработки вопросов преподавания математики на основе наиболее передовых идей, многие из которых принадлежат прогрессивным представителям нашей отечественной математики. Из этих идей наиболее важными являются: идея функциональной зависимости и учение о функции, развитие понятия числа, идея преобразований, освещение математического материала с позиций диалектического материализма, проблема связи теории и практики, вопрос о развитии инициативы учащихся.
      В советское время вопросам преподавания математики в средней школе уделяют внимание многие ученые математики нашей страны.
      В разработке методики преподавания математики участвует широкий круг ученых, методистов и учителей, которые печатают свои работы и делятся опытом на страницах журнала «Математика в школе» и различных методических сборников.
     
     
      Часть первая
      ОБЩАЯ МЕТОДИКА МАТЕМАТИКИ
     
      ГЛАВА I
      МАТЕМАТИКА КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ
     
      § 1. О задачах советской школы и целях преподавания математики
      Особенность общего образования в нашей стране заключается в том, что оканчивающий школу прежде всего должен быть готовым стать в ряды строителей коммунистического общества, отчетливо понимать политические и хозяйственные задачи Советского государства, определенные Программой Коммунистической партии и Советской конституцией. Каждый оканчивающий школу должен владеть установленным в учебной программе объемом общеобразовательных знаний и обязательно уметь полученные знания прилагать в жизни, иметь навык самостоятельно работать с книгой, уметь трудиться настойчиво, упорно и целеустремленно с сознанием ответственности за качество своей работы.
      С первых лет после Великой Октябрьской социалистической революции Коммунистическая партия Советского Союза и Советское правительство постоянно заботятся о постановке коммунистического воспитания и обучения детей в школе и о путях развития школы.
      Советская школа всегда развивалась на основе марксистско-ленинского принципа — соединения обучения с производительным трудом. Это направление развития советской школы принимало различные формы, но принцип сохранялся. Особо важную роль стал играть этот принцип в годы бурного роста техники и всех отраслей народного хозяйства нашей страны, когда потребовались многочисленные кадры образованных специалистов и рабочих, когда стали стираться грани между умственным и физическим трудом.
      Задачи советской школы сформулированы во многих партийных документах.
      Наиболее четко и ясно они выражены в Программе Коммунистической партии Советского Союза, принятой XXII съездом КПСС 31 октября 1961 г.
      В Программе сказано: «Переход к коммунизму предполагает воспитание и подготовку коммунистически сознательных и высокообразованных людей, способных как к физическому, так и умственному труду, к активной деятельности в различных областях общественной и государственной жизни, в области науки и культуры (Материалы XXII съезда КПСС, Госполитиздат, М., 1961, стр. 413).
      Дальше в ней указано, что обучение и воспитание подрастающего поколения должно быть тесно связано с жизнью, с производительным трудом. Это позволит человеку после окончания школы сразу включиться в производство и сочетать работу с дальнейшим обучением и образованием в соответствии со своим призванием и потребностями общества.
      «Народное образование, основанное на таких принципах, будет способствовать формированию всесторонне развитых членов коммунистического общества, решению одной из важнейших социальных проблем — устранению существенных различий между умственным и физическим трудом». (Там же.)
      Среди основных задач в области народного образования Программа КПСС отмечает, что среднее образование должно обеспечивать прочное знание основ наук, усвоение принципов коммунистического мировоззрения, трудовую и политехническую подготовку в соответствии с возрастающим уровнем развития науки и техники, с учетом потребностей общества.
      Бурное развитие науки и техники вызывают необходимость совершенствования мастерства работающих на производстве, повышения их квалификации, что непосредственно зависит от общеобразовательной подготовки в области общественных и естественных наук и особенно в области математики.
      Из указанных в Программе КПСС общих задач вытекают и стоящие перед предметом математики общеобразовательные и воспитательные цели и задача подготовки учеников к практической деятельности.
      Общеобразовательные цели. Сообщить ученикам определенный круг знаний, позволяющих понимать количественные отношения и зависимости простейших явлений реального мира и разбираться в формах его. Эти знания должны содействовать воспитанию у школьников марксистско-ленинского мировоззрения, развивать логическое мышление и пространственное воображение их.
      Приобретаемые учениками знания должны дать им достаточно ясное представление о математике как науке и подготовить их к изучению дальнейшего курса математики. Математические знания должны помогать им овладеть основами производства. В процессе обучения школьники должны овладеть простейшими вычислительными навыками, научиться обрабатывать самостоятельно получаемые данные при различного рода измерениях, уметь проверять достоверность получаемых сведений, то есть овладеть научными методами доказательства и контроля. Вместе с этим ученики должны получить навык в постановке и проведении некоторых несложных исследований.
      Изучение предмета математики в школе не ограничивается задачей передать ученикам определенную сумму готовых знаний и навыков. Эти знания и навыки должны стать основой математического развития и воспитания учащихся. Требовать от учеников ясных количественных и пространственных представлений нельзя без того, чтобы они умели абстрагировать, то есть пользоваться основным методом математики (примером может служить учение о функции). У школьников надо воспитывать умение систематизировать понятия и предложения, выделять из них существенно важные для построения общей схемы, установления общей закономерности (например, теорема Виета). Кроме того, ученики должны уметь анализировать данный вопрос, вычленять из него частные случаи с учетом того, насколько частный случай исчерпывает все возможности (например, сравнение по величине а5 и а3). В задачу математического воспитания входит и приучение учеников к полноценной аргументации. В процессе разбора различного рода законов необходимо сосредоточивать их внимание на требовании полного доказательства и объяснения, не оставляя возможности возражать или сомневаться в заключениях. Принцип полноценной аргументации доказательств требует борьбы против неправомерных обобщений на основании отдельных фактов, борьбы за полноту дизъюнкции, то есть рассмотрения всех возможных разновидностей данной гитуации, борьбы за полноту и выдержанность классификации по одному признаку и единому принципу.
      Изучение математики должно содействовать развитию логики умозаключений и на этой основе выработке грамотной речи, точности и лаконичности выражения мысли. В изложении математического материала нельзя допускать многословия; здесь особенно важно поставить каждое слово на свое определенное место.
      Для выражения конкретных зависимостей, сокращенного обозначения чисел и действий математика пользуется условными символами. Научить учеников выражать мысли на языке математических символов и, наоборот, переводить с языка алгебры на родной язык — это задача первостепенной важности и не столь простая, чтобы ее не выделить в общем перечне задач, стоящих перед учителем.
      Воспитательные цели. Важной задачей преподавания математики является воспитание у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, чувства советского патриотизма и национальной гордости. На уроках математики нужно показать, что основной движущей силой развития математики является производственная деятельность людей и что все объекты, изучаемые в школе, заимствованы из реального мира. Овладение идеей функциональной зависимости в школьном курсе математики развивает у учеников диалектическое мышление. Задачи, материалом для которых являются факты из жизни, воспитывают любовь и чувство гордости за нашу страну, страну строителей коммунистического общества.
      Работа на уроках математики больше, чем работа на уроках любого предмета, должна приучить ученика к настойчивости, упорству, аккуратности, точности, контролю за своими выводами и суждениями, воспитать требовательность и четкость в суждениях.
      Преподавание математики должно воспитывать у школьников самостоятельность, инициативу, творческие способности.
      Ученик с первых дней занятий по математике получает возможность делать самостоятельные выводы, сначала в результате наблюдений, а позже на основе логических доказательств. Естественно, что преподаватель математики ставит перед собой задачу пробудить у детей интерес к самостоятельным поискам, открытцям и выводам, развить у них пытливость.
      Сосредоточенное внимание требуется во всех областях знания, а в математике малейшая невнимательность может стать источником крупных ошибок; таким образом, сам предмет математики воспитывает у учащихся внимание.
      Подготовка к практической деятельности при обучении математике состоит в том, чтобы учащиеся приобрели умение в| навыки прилагать теорию к практике, то есть использовать знания для решения математических вопросов и задач, возникающих в повседневной жизни в быту и в производственных процессах. Для этого учащиеся должны научиться выделять математическую сторону наблюдаемого явления, жизненного факта и относить его к соответствующему кругу понятий, математических зависимостей и законов. Ученики должны научиться пользоваться инструментами и приборами для измерения, таблицами, справочниками, графиками и логарифмической ли нейкой для вычислений.
     
      § 2. Математика как наука и как учебный предмет
     
      Математика, изучаемая в средней школе, значительно отличается от математики как науки. Различие между учебным пред-, метом математики и наукой не только количественное, но в значительной степени качественное.
      Чтобы установить общее и различное в математике как науке и в математике как в учебном предмете, надо определить содержание и основные методы их.
      Наиболее общий ответ на вопрос, что такое математика как наука, мы наводим у Ф. Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира...»1 Характерной особенностью математического метода является его абстрактность.
      Школьный предмет математики занимается изучением вопросов и законов из различных областей математической науки: теоретической арифметики, теории чисел, высшей алгебры, анализа, логического курса геометрии и др.
      Но разница между наукой и предметом в следующем: усилия науки направлены к тому, чтобы отыскать и установить возможно полнее и глубже математические законы, которые отражают количественные отношения и пространственные формы реального мира. Математика же как школьный предмет имеет целью сообщить ученикам знания, добытые наукой.
      Математика как наука не считается со сложностью устанавливаемых ею законов и с уровнем развития тех, кто будет изучать эти законы. При обучении математике приходится считаться с возрастными особенностями детей и подростков. Ученики по своим возрастным особенностям не всегда могут усвоить и представить себе многое из установленного математической наукой, например, сложные пространственные формы, многие зависимости между величинами и т. д.
      Для учеников младших классов средней школы недоступны некоторые зависимости даже между целыми числами. Так, например, учащимся V — VI классов недоступна теорема об общем признаке делимости чисел, поэтому в школе изучаются только немногие следствия из этой общей теоремы. Таким образом, возникает необходимость отбора основного и важного, но при этом вполне доступного для понимания учащимися материала.
      Для математики как науки не всегда существенно, как исследователь пришел к открытию той или иной математической истины, важно само доказательство ее. В школе же имеет огромное значение подход к введению нового понятия или закона, выбор формы изложения математического предложения. Поэтому приходится проводить подготовительную работу с учениками, чтобы облегчить им понимание изучаемого материала.
      Часто, вводя новые понятия или изучая математические зависимости, приходится связывать их с имеющимися у детей представлениями, вызывать у них ассоциацию рассматриваемого математического факта с жизненным явлением.
      Доказательство теорем, следующих друг за другом и вытекающих одна из другой, без обращения к опыту учащихся, обычно непонятно им. Степень понимания повышается, когда доказательству теоремы предшествует решение задач, рассмотрение свойств конкретных фигур. В этих случаях ученики начинают понимать необходимость доказательства и самый ход доказательства.
      Математика как наука строится и развивается в определенной системе; она вскрывает законы, необходимо вытекающие один из другого в определенной строгой последовательности. Изложение математических предложений в науке часто начинается с принятия за истинные (верные) некоторых основных положений, проверенных многовековым опытом и практикой. Эти первоначальные истины (аксиомы) принимаются в науке без доказательств. Так, в арифметике натуральных чисел приняты без доказательства четыре аксиомы Пеано1, которые оказываются достаточным основанием для вывода всех законов арифметики при помощи логических рассуждений. В геометрии Евклида принято без доказательства положение, что «через точку вне прямой можно провести только одну параллельную данной прямой», и на основе этого положения путем рассуждений установлено большинство свойств геометрических фигур и тел. Приняв некоторые положения без доказательств как основные, все остальные суждения в математике выводятся из основных по правилам логики.
      Учебный предмет математики, представляющий собой основу науки, не может чрезмерно упрощать и нарушать принятую в науке систему. Поэтому в обучении математике логические обоснования и рассуждения должны занимать большое место, особенно в старших классах. Однако в школе приходится считаться с уровнем развития учеников и некоторые положения, которые могут быть доказаны, принимать за верные на основании здравого смысла, но при этом не нарушая последовательности изучения математической теории.
      Математика — живая и развивающаяся наука. С развитием и углублением познания человеком действительности постоянно расширяется диапазон научных знаний, вместе с этим совершенствуются и методы познания действительности. Об этом свидетельствует история развития математики
      В настоящее время математическая наука занимается не только количественными отношениями и пространственными формами, но и другими проблемами, например проблемами исчислений (тензорное, вариационное, исчисление высказываний, что составляет предмет математической логики).
      Что касается метода, то математика на современном этапе своего развития изучает объекты с точностью до изоморфизма; иначе говоря, современная матемгтика не изучает объекты в их конкретном виде, а изучает только структуру отношений, в которых они выступают. Геометры прошлых веков в логическом развитии теории опирались на рассмотрение некоторой области объектов, и потому получаемые ими выводы описывали свойства только объектов этой области. В настоящее время ради общности получаемых результатов математики пользуются формальными обоснованиями теории.
      На основе такой концепции доказанные теоремы выражают некоторые свойства, присущие объектам различных областей, лишь бы эти объекты имели тождественную структуру отношений. При такой концепции, например, метод координат Декарта позволяет пространство Евклида изоморфно отобразить на область операций линейной алгебры; примером использования изоморфизма может служить связь современной алгебры и топологии. Концепция изоморфизма вызвала к жизни задачу изучения общих свойств произвольных множеств — теорию множеств как фундамент каждой математической дисциплины.
      Таким образом, в науке характерной особенностью метода является не только его абстрактность, но и общность. В учебном предмете ни абстрактность, ни тем более общность не могут быть доведены до той степени, до какой они доведены в на>ке.
      Учащиеся восьмилетней школы, конечно, обладают способностью мыслить логически, но их .логическое мышление нуждается в развитии, и оно повышается по мере продвижения из класса в класс. Ученики V — VIII классов школы трудно воспринимают абстрактные формулировки, нуждаются в объяснениях и примерах. Усвоение этих формулировок растягивается на некоторый период. Поэтому, например, в алгебре нельзя начинать доказательство теоремы, не разобрав предварительно ряда подготовительных примеров, а в некоторых случаях приходится Даже ограничиться только примерами.
      В научном курсе прочность построения теории вполне обеспечивается дедукцией, в учебном изложении эта прочность часто достигается посредством указания прямых и обратных взаимных связей между ранее установленными и вновь рассматриваемыми законами. (Это вызывает необходимость повторять пройденное.)
      Математическая наука способна развиваться неограниченно, об этом говорит история развития науки. В школьном преподавании указываются «пределы» изложения математических знаний; эти пределы определены программой. Программы в зависимости от различных условий меняются, но на каждом этапе изменения определяют предмет математики, перечисляя вопросы, подлежащие изучению в школе, и, правда несколько схематично, определяют глубину изучения основных математических идей.
      Таким образом, наука и предмет математики во многом не совпадают, но вместе с этим они тесно связаны. И хотя развитие математики идет в области очень сложных построений и потому отразить ее движение и современное состояние в учебном предмете чрезвычайно трудно, все же учитель должен стремиться при каждом удобном случае эти связи выявлять и подчеркивать современные идеи науки. В арифметике в этом направлении можно сделать немного, а именно: можно кое-что рассказать из области «высшей арифметики» — теории чисел; например, в связи с изучением простых чисел весьма ценно познакомить учеников с тем, что еще до сих пор до конца не найден закон распределения этих чисел. Но за последние двести лет в этой области сделан ряд открытий, особенно русскими математиками. Знакомство с этими открытиями поможет учащимся представить ход развития науки. Конечно, в весьма элементарной форме, на примерах, следует рассказать ученикам о «догадке» X. Гольдбаха (члена Петербургской академии наук), заключающейся в том, что «любое натуральное число, большее пяти, представляет собою сумму трех простых чисел», о «догадке» Л. Эйлера (члена Петербургской академии наук) о том, что «всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собою сумму двух простых чисел». Эти догадки подтверждались непосредственной проверкой, доведенной до числа 9 000 000, но не были доказаны в общем виде; таким образом родилась знаменитая задача Гольдбаха — Эйлера.
      Вероятно, с большим интересом ученики отнесутся к сообщению о том, что великий русский математик П. Л. Чебышев впервые доказал теорему о том, что «между любым натуральным числом (не равным единице) и его удвоением всегда находится хотя бы одно простое».
      С удовольствием воспримут ученики рассказ учителя о доказательстве советским ученым Л. Г. Щнирельманом (1930) теоремы: «Существует такое постоянное число k, что всякое натуральное число, кроме 1, может быть представлено в виде суммы не более чем k простых слагаемых».
      Наконец, как открытие мирового значения следует осветить работу советского академика И. М. Виноградова, решившего почти полностью в 1937 г. задачу Гольдбаха — Эйлера, доказав теорему: «Всякое достаточно большое нечетное число есть сумма трех простых чисел». Из этого следует, что всякое достаточно большое четное число есть сумма четырех простых чисел .
      В алгебре учебный предмет наиболее тесно связывается с современной математической наукой через понятие функции; поэтому это понятие должно постоянно находиться в поле внимания учителя.
      В алгебре можно сочетать формальное и функциональное начало в изучении ряда вопросов. Например, в теме «Тождественные преобразования алгебраических выражений» надо учить не только этим преобразованиям, но и не опускать возможности показать функциональную природу этих выражений.
      Математическая наука, являясь наиболее абстрактной среди других наук, не теряет связи с практикой.
      Идея плодотворности связи математической теории с практикой наиболее четко была высказана акад. П. Л. Чебышевым. Вот что он писал в статье «Черчение географических карт»: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее; она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных».
      Наши советские ученые, в том числе и математики, постоянно стремятся удовлетворить потребности промышленности, сельского хозяйства и строительства. Так, в период Великой Отечественной войны, в период восстановления и реконструкции народного хозяйства математики оказали огромную помощь в перестройке промышленности и сельского хозяйства, известно, каких научных высот наши ученые достигли в освоении космоса.
      Потребности экономики, техники, сельскохозяйственной практики, биологической, медицинской и многих других наук, стремление проникнуть в космические миры и изучить их, выдвинули ряд проблем, которые не могут быть решены без математической обработки. А это вызвало к жизни новые математические дисциплины: кибернетику, теорию информации, линейное программирование, теорию игр и др.
      Современные программы математики для восьмилетней школы не содержат вопросов из этих новых дисциплин.
      Надо остановиться еще на том, как освещаются научные знания с идеологической стороны.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА