Методика преподавания математики
в начальных классах

DjVu

      Глава I
      ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
     
      § 1. Методика начального обучения математике как учебный предмет в педагогическом училище
     
      В настоящее время, в период стремительного научно-технического прогресса, возросла роль математики, а поэтому приобрело большую общественную значимость математическое образование.
      Коммунистическая партия и Советское правительство поставили задачу совершенствовать систему образования и воспитания молодежи в соответствии с возросшими требованиями жизни. Школа должна давать учащимся прочные знания основ наук, формировать у них высокое коммунистическое сознание, готовить к жизни, к сознательному выбору профессии.
      В целях реализации поставленных задач в 60—70-е годы была проведена большая работа по перестройке школьного образования, в результате чего введены новые программы почти по всем предметам, в том числе и по математике, усовершенствованы методы обучения.
      На XXVI съезде КПСС было отмечено, что необходимо повысить качество обучения, улучшить трудовое и нравственное воспитание учащихся, укрепить связь обучения с жизнью, улучшить подготовку школьников к общественно полезному труду. Все эти требования необходимо осуществлять и при обучении детей математике.
      Чтобы успешно обучать математике учащихся начальных классов, начинающий учитель должен овладеть уже разработанной системой обучения математике, т. е. методикой преподавания математики в начальных классах и на этой основе приступить к творческой самостоятельной работе.
      Методика преподавания математики рассматривает прежде всего цели обучения младших школьников математике в общей системе их обучения и воспитания. В методике раскрывается содержание и построение начального курса математики, т. е. указывается, какой материал по математике изучается в начальных классах и почему отобран именно этот материал, на каком уровне обобщения изучается в начальных классах каждый отдельный вопрос курса, в каком порядке рассматриваются темы курса и почему этот порядок более рационален. В методике начального обучения математике раскрываются частные методы изучения каждого раздела курса и каждого вопроса в этом разделе (например, как изучать сложение и вычитание чисел в пределах 10 и как, в частности, раскрыть в этой теме переместительное свойство сложения). Методика преподавания математики дает обоснованные рекомендации, как подвести учащихся к усвоению теоретических знаний, приобретению ими умений применять знания при решении разнообразных практических задач, как сформировать у учащихся прочные навыки.
      Как известно, обучение носит воспитывающий характер, следовательно, задача методики — вооружить учителя такими приемами обучения математике, которые способствовали бы воспитанию нового человека, человека коммунистического общества, умственному развитию школьников, стимулировали бы их интерес к математике, развивали положительные черты характера.
      В методике раскрываются различные формы организации обучения математике, их связи и условия наиболее эффективного использования каждой из форм. Методика рассматривает также средства обучения математике, приемы их применения при изучении каждой из тем.
      Таким образом, методика математики в настоящее время представляет собой систему знаний о целях, содержании, методах, формах организации и средствах обучения математике. Вместе с тем методика рассматривает и процесс овладения учащимися знаниями, умениями и навыками по математике.
      Методика преподавания математики имеет очень тесные связи с другими предметами, изучаемыми в педагогическом училище.
      Прежде всего методика преподавания математики органически связана со своей базовой наукой — математикой. На отбор содержания школьного курса математики всегда оказывал влияние уровень самой науки математики: в соответствии с тем, какие идеи математики являются в тот или иной период времени ведущими, отбирается содержание материала и дается та или иная трактовка вводимых понятий. От того, какие математические идеи будут раскрываться в начальном курсе математики, зависят методы обучения математике. Для глубокого понимания методики и ее творческого применения в практике работы школы от учителя требуется хорошее знание курса математики и ознакомление с современной трактовкой главнейших математических понятий.
      Методика преподавания математики тесно связана с педагогикой и педагогической психологией. При построении курса математики и отборе методов обучения математике, при установлении целей и задач обучения математике методика математики опирается на те общие закономерности обучения, которые раскрыты в педагогике и педагогической психологии.
      Новые закономерности относительно обучения, открытые педагогикой или психологией, всегда находят свое отражение в методике, а частные положения методики являются в свою очередь материалом для педагогических и психологических обобщений. Осознанное усвоение методики математики и правильное использование ее на практике возможно только тогда, когда в каждом методическом приеме, в системе упражнений учитель видит проявление педагогических и психологических закономерностей, когда учитель опирается на них при разработке каждого урока, использует их, добиваясь усвоения глубоких знаний каждым учеником.
      Методика преподавания математики имеет много общего с другими методиками (методика преподавания русского языка, трудового обучения, рисования и др.) в решении образователъ ных и воспитательных задач обучения младших школьников. Учителю очень важно учитывать это, чтобы правильно осуществлять межпредметные связи.
      Методика математики исторически складывалась как обобщение передового опыта учителей. В настоящее время этот источник также используется, но основным стал другой источник: новые методы обучения математике являются результатом научного исследования; при этом учитываются новые направления в самой науке математике и достижения психолого-педаго-гических исследований. Результаты научного исследования сначала проверяются в практике работы отдельных учителей, а затем методы, оказавшиеся эффективными, внедряются в массовую школу.
     
      § 2. Начальный курс математики как учебный предмет в I—III классах
     
      Цели начального обучения математике
      Обучение математике, так же как обучение любому другому учебному предмету в школе, должно решать образовательные, развивающие и воспитательные цели.
      Прежде всего в процессе изучения математики учащиеся должны овладеть системой теоретических знаний, а также рядом умений и навыков, которые определяются программой. Обучение должно обеспечить овладение учащимися осознанными знаниями и на достаточно высоком уровне обобщения. Это может быть достигнуто в том случае, если обучение будет развивающим, т. е. будет обеспечивать достаточный уровень интеллектуального развития школьников, их познавательных способностей и интересов, будет вооружать их приемами познавательной деятельности.
      При обучении математике должны закладываться начатки материалистического мировоззрения учащихcя. Именно в начальных классах школы, где берут начало такие математические понятия, как число, арифметические действиясистема счисления, геометрическая фигура и др., школьник должен утвердиться в том, что «математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал», что «понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира»1. Поэтому важно постоянно осуществлять связь обучения математике с жизнью. С одной стороны, научить школьников распознавать в явлениях окружающей жизни математические факты (абстракции) и, с другой стороны, применять математику к решению конкретных практических задач, вооружить учеников практическими умениями, необходимыми каждому человеку повседневно, например: выполнить вычисление или измерение, произвести несложный расчет и т. п.
      Обучение математике должно способствовать реализации задачи воспитания людей коммунистического общества, любящих свою Родину, преданных делу Коммунистической партии, осознающих благородные цели нашего общества, готовых отдать свои знания для претворения в жизнь коммунистических идеалов.
      Обучение математике должно решать задачу формирования таких черт личности, как трудолюбие, аккуратность, всемерно способствовать развитию воли, внимания, воображения учащихся, положительного отношения к учебному труду.
      Необходимо сформировать у детей умение учиться, приемы работы над тем или иным материалом и привить навыки самостоятельной работы.
      Содержание арифметических задач, познавательный числовой материал, а также сама организация учебной работы на уроке математики должны способствовать решению зяпяч нравственного, эстетического и трудового воспитания, профориентации учащихся.
      Обучение математике в начальных классах должно обеспечить надежную основу как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития, для дальнейшего изучения математики в IV—X классах.
      Отбор содержания обучения математике в I—III классах, расположение этого материала в определенной системе, выбор методов и средств, а также организационных форм обучения — все это должно быть подчинено решению основных целей обучения.
     
      Содержание и построение начального курса математики
      Начальный курс математики, изучаемый в I—III классах школы, является органической частью школьного курса математики. Это значит, что курс математики для IV—X классов — продолжение начального курса, а начальный курс — его исходная база. В соответствии с этим начальный курс математики включает арифметику целых неотрицательных чисел и основных величин, элементы алгебры и геометрии.
      Начальный курс математики имеет свои особенности построения.
      Арифметический материал составляет главное содержание курса. Основой начального курса является арифметика натуральных чисел и основных величин. Кроме того, в него входят элементы геометрии и алгебраической пропедевтики, которые по возможности включаются в систему арифметических знаний, способствуя более высокому уровню усвоения понятий о числе, арифметических действиях и математических отношениях, т. е. элементы алгебры и геометрии не составляют особых разделов курса математики, а органически связываются с арифметическим материалом.
      Такая связь дает возможность, с одной стороны, раньше приобщить детей к идеям алгебры и геометрии и с другой — достичь более высокого уровня усвоения младшими школьниками арифметических знаний.
      Арифметический материал вводится концентрически. Сначала изучается нумерация чисел первого десятка, которые не подлежат десятичному расчленению, вводятся цифры для записи этих чисел, изучаются действия сложения и вычитания. Затем рассматривается нумерация чисел в пределах 100, раскрывается понятие разряда, позиционный принцип записи чисел, которые подлежат десятичному расчленению, изучается сложение и вычитание двузначных чисел, вводятся два новых арифметических действия: умножение и деление. Далее изучается нумерация чисел в пределах 1000. Здесь рассматриваются три разряда (единицы, десятки, сотни), составляющие основу нумерации многозначных чисел, обобщаются знания об арифметических действиях, вводятся приемы письменного сложения и вычитания. Наконец, изучается нумерация многозначных чисел, рассматривается понятие класса, обобщается знание принципа поместного значения цифр, изучаются приемы письменных вычислений. Таким образом, в курсе выделены четыре концентра: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. Одновременно и в тесной связи с рассмотрением нумерации и арифметических действий изучаются другие вопросы: величины, дроби, алгебраический и геометрический материал. Схематическое расположение материала изображено на рисунке I.
      Выделение именно таких концентров объясняется особенностями десятичной системы счисления и вычислительных приемов: в каждом концентре раскрываются новые вопросы, связанные с системой счислении и арифметическими действиями. Как показал опыт, концентрическое расположение материала соответствует возможностям младших школьников: обучение математике начинается с небольшой области чисел, доступной детям и известной им до школы; эта область чисел постепенно расширяется и постепенно вводятся новые понятия; при таком построении курса обеспечивается систематическое повторение и вместе с тем углубление изученного, так как полученные ранее знания, умения и навыки находят применение в новой области чисел. Все это способствуетлучшему усвоению курса.
      Вопросы теории и вопросы практического характера органически связываются между собой. Многие вопросы теории вводятся индуктивно, а на их основе раскрываются вопросы праю тнческого характера. Например, распределительное свойство умножения вводится на основе обобщения частных фактов, после чего, используя это свойство, раскрывается прием умножения двузначного числа на однозначное:
      17х3= (10+7)х3= 10х3+7х3 = 51
      При такой взаимосвязи хорошо усваиваются теоретические вопросы и формируются осознанные практические умения.
      Математические понятия, свойства, закономерности раскрываются в курсе в их взаимосвязи. Это не только связь между арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом, но и так называемые внутренние связи между различными понятиями курса, свойствами, закономерностями. Так, при изучении арифметических действий раскрываются их свойства, связи и зависимости между их компонентами и результатами. Это дает возможность глубже раскрыть понятие арифметических действий, обогатить детей функциональными представлениями. Такое построение обеспечивает более глубокое усвоение курса, так как учащиеся будут овладевать не только отдельными вопросами курса, но одновременно и связями между ними.
      Курс математики строится так, что в процессе его изучения каждое понятие получает свое развитие. Например, при изучении арифметических действий сначала раскрывается их конкретный смысл, затем свойства действий, связи и зависимости между компонентами и результатами действий, а также между самими действиями. Такой подход к введению понятий соответствует возрастным возможностям младших школьников, обеспечивает доступность овладения математическим материалом.
      Опыт показал, что целесообразно рассматривать в сравнении сходные или связанные между собой вопросы. В этом случае сразу же можно выделить существенное сходное и различное, а это предотвратит ошибки, которые допускают учащиеся, смешивая сходные вопросы. Поэтому программа предусматривает сближение во времени изучения некоторых вопросов курса (например, действия сложения и вычитания вводятся одновременно), а также введение новых вопросов в сравнении со сходными, ранее изученными.
      Таковы основные особенности построения начального курса. Рассмотрим теперь его содержание и особенности раскрытия главнейших понятий.
      Арифметический материал включает нумерацию целых неотрицательных чисел и арифметические действия над ними, сведения о величинах, их измерении и действиях над ними, понятие о дробях.
      Изучение этого материала должно привести учащихся к усвоению системы математических понятий, а также к овладению прочными и осознанными умениями и навыками.
      Одним из центральных понятий начального курса является понятие натурального числа. Оно трактуется как количественная характеристика класса эквивалентных множеств. Раскрывается это понятие на конкретной основе в результате практического оперирования множествами и величинами (длина отрезка, масса, площадь и др.). Как показал опыт, формирование понятия натурального числа не только в процессе счета предметов, но и в процессе измерения величин обогащает содержание этого понятия, позволяет с самого начала связать обучение с практической деятельностью детей, опереться на имеющиеся у них числовые представления. Этим объясняется знакомство с отрезком, единицами длины и измерением отрезков, начиная с изучения нумерации чисел первого десятка. При изучении нумерации натуральное число получает дальнейшее развитие: оно выступает как элемент упорядоченного множества или как член натуральной последовательности. В связи с рассмотрением свойств натуральной последовательности раскрывается количественное и порядковое значение натурального числа. При изучении арифметических действий натуральное число выступает в новом качестве — в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия.
      Число, полученное в результате арифметического действия, может быть выражено через те числа, над которыми выполнялось действие (заменено суммой или произведением чисел — состав чисел из слагаемых или из множителей). Таким образом, в начальном курсе математики раскрываются различные способы образования натурального числа (счет, измерение, выполнение арифметических действий).
      Число нуль трактуется в начальном курсе как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение в начальный курс математики числа и цифры нуль позволяет расширить числовую область и создать надлежащие условия для овладения учащимися областью целых неотрицательных чисел.
      Нуль как число и как цифра вводится в I классе. Сначала нуль рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало отмеривания, затем вводится число нуль при вычитании вида: 2—2, 3—3, что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств. Далее нуль выступает как компонент действий первой ступени: 5+0, 0+9, 8—0, 0+0, 0—0, а при изученной действий умножения и деления (II класс) как компонент этих действий: 0x4, 3x0, 0x0, 0:4. Здесь же рассматривается невозможность деления на нуль. Цифра нуль используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда в записи числа (70, 30 000, 204).
      В начальных классах дается наглядное представление о дроби. Во II классе вводится понятие доли как одной из равных частей целого (круга, куска шпагата и т. п.), дается запись долей. Поскольку суть понятия доли очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли от числа и числа по его доле, то эти задачи включены в курс, изучаемый во II классе. В III классе вводится дробь как совокупность долей, запись дроби, преобразование и сравнение дробей на нагляднои основе ..., задачи на нахождения дроби числа.
      Понятие о системе счисления раскрывается при концентрическом построении курса постепенно, в процессе изучения нумерации натуральных чисел и арифметических действий над ними. При этом понятие разряда, класса, разрядной и классной единицы, разрядного числа, как уже указывалось, находит свое развитие от концентра к концентру, т. е. постепенно вводятся новые разряды и классы, их название и в связи с этим рассматриваются образование, название, запись и чтение чисел, их десятичный состав.
      Арифметические действия занимают центральное место в начальном курсе математики. Это сложный и многогранный вопрос. Он включает раскрытие конкретного смысла арифметических действий, свойств действий, связей и зависимостей между компонентами и результатами действий и между самими действиями, а также формирование вычислительных умений и навыков, умений решать арифметические задачи.
      Как и другие математические понятия, каждое арифметическое действие раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над множествами: сложение — на основе операции объединения множеств, не имеющих общих элементов, вычитание — на основе операции удаления части множества (подмножества), умножение — на основе операции объединения множеств одинаковой численности и деление — на основе операции разбиения множества на ряд равночисленных неперс-секающихся множеств. Такой подход позволяет опереться на опыт детей и создать наглядную основу формируемого знания.
      Одновременно с раскрытием конкретного смысла каждого арифметического действия вводится соответствующая символика (знаки действий) и терминология: название действия, название компонентов и результатов действия. Здесь же начинается работа над понятием математического выражения, сначала рассматриваются простейшие выражения вида: 7+3, а позднее более сложные вида: 9—(2+3).
      Начальный курс математики включает ряд свойств арифметических действий. Это переместительное свойство сложения и умножения, свойства прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы, прибавления суммы к числу, вычитания суммы из числа, прибавления суммы к сумме, вычитания суммы из суммы, умножения числа на сумму и суммы на число, деления суммы на число, умножения числа на произведение, деления числа на произведение.
      Каждое из названных свойств раскрывается на основе практических операций над множествами или над числами, в результате чего учащиеся должны прийти к обобщению. Для усвоения свойств в курсе предусматривается система специальных упражнений, но главная сфера применения свойств — это раскрытие на их основе вычислительных приемов. Например, уже в I классе после изучения переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых для случаев вида: 2+6; случаю 54—20 предшествует рассмотрение разных способов вычитания числа из суммы, на основе чего раскрывается вычислительный прием:
      54-20= (50+4) -20= (50-20) +4 = 34.
      Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связи и зависимости между результатами и компонентами действий, а также десятичный состав чисел, раскрываются приемы устных и письменных вычислений. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, так как учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны, при такой системе лучше усваиваются свойства действий и другие вопросы курса.
      Одновременно с изучением свойств арифметических действий и соответствующих приемов вычислений раскрываются на основе операций над множествами или над числами связи между компонентами и результатами арифметических действий (например, если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое), ведутся наблюдения за изменением результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов (например, если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое оставить без изменения, то сумма увеличится на столько же единиц).
      В начальном курсе математики предусматривается система упражнений, направленных на выработку у учащихся вычислительных навыков. Это тренировочные упражнения различного характера: решение отдельных примеров, заполнение таблиц, подстановка числовых значений букв и нахождение значений полученных выражений и т. п. В формировании навыков предусматривается разная степень их автоматизации: навыки сложения и умножения табличных случаев и обратные по отношению к ним случаи вычитания и деления должны быть доведены до полного автоматизма (так, учащиеся должны быстро и правильно воспроизводить, что 3+8=11, 7-6=42, 12—5=7, 56:8=7). Автоматизируется и выполнение отдельных операций; например, при сложении чисел 18 и 7 быстро выполняются операции: 8+7=15, 10+15=25 или 7=2+5, 18+2=20, 20+5=25.
      Все названные вопросы, относящиеся к арифметическим действиям, рассматриваются в тесной взаимосвязи друг с другом.
      В связи с изучением арифметического материала вводятся элементы алгебры: на конкретной основе раскрываются понятия равенства, неравенства, уравнения, переменной.
      Начиная с I класса рассматриваются числовые равенства и неравенства
      3=3, 5=1+4, 3<4, 7+2>7, 9-3<9-2 и т. п.
      Их изучение непосредственно связывается с изучением арифметического материала и помогает более глубоко раскрыть его. Здесь же рассматриваются уравнения сначала вида: х+6=9, 10—х=2 и т. п., а позднее, начиная со II класса, вида: (48+х)—24=36. Решение уравнений выполняется на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий, а также способом подбора. Наряду с решением уравнений ведется обучение решению задач с помощью составления уравнений. Во II классе вводится буква как символ для обозначения переменной. В связи с этим рассматриваются выражения с переменной (а+6, 20—с и др.) и неравенства с переменной (9—с<5), значения переменной в которых находится способом подбора.
      Геометрический материал служит главным образом целям ознакомления с простейшими геометрическими фигурами и развитию пространственных представлений школьников. Поэтому в начальный курс математики, начиная с 1 класса, включены геометрические фигуры: прямые, кривые и ломаные линии, точка, отрезок прямой, многоугольники (треугольник, четырехугольник и др.) и их элементы (вершины, стороны, углы), прямой угол, прямоугольник (квадрат), окружность, круг, центр и радиус круга. Учащиеся должны научиться различать эти фигуры, называть их и выполнять простейшие построения на клетчатой бумаге. Кроме того, они должны овладеть умением находить длину отрезка (I класс), длину ломаной и периметр многоугольника (II класс), площадь геометрической фигуры (III класс). Курс математики предусматривает разнообразные задачи геометрического характера, направленные на формирование пространственных представлений учащихся. Все вопросы геометрии раскрываются на наглядной основе.
      В тесной связи с изучением арифметического, алгебраического и геометрического материала раскрывается понятие величины и идея измерения величин. Ознакомление с такими величинами, как длина, масса, время, емкость, площадь, с единицами их измерения й с измерением величин выполняется практически и тесно связывается с формированием понятия числа, десятичной системы счисления и арифметических действий, а также с формированием понятия геометрической фигуры. Вследствие такой связи становится возможным вести обучение, опираясь на наглядные образы, связывая обучение с практической деятельностью детей.
      Задачи являются теми упражнениями, с помощью которых прежде всего раскрываются многие вопросы начального курса математики. Например, с помощью решения задач раскрывается конкретный смысл арифметических действий, свойства действий, связи между компонентами и результатами арифметических действий и др. В «Объяснительной записке» к программе указывается, что изучение арифметики натуральных чисел и нуля строится на системе целесообразных задач и практических работ. Это значит, что формирование каждого нового понятия всегда связывается с решением тех или иных задач, требующих применения или помогающих уяснить его значение. Таким образом, задачи являются средством связи обучения математике с жизнью, той сферой приложения математических знаний, которая позволяет обеспечить достаточно разнообразные жизненные ситуации для раскрытия разных сторон понятий. Кроме того, в процессе решения задач учащиеся овладевают практическими умениями и навыками, необходимыми им в жизни, знакомятся с полезными фактами, учатся устанавливать связи между величинами, часто встречающимися в жизни. В начальный куре включены задачи несложной структуры с арифметическим и геометрическим содержанием.
     
      § 3. Методы начального обучения математике
     
      Вопрос о методах — это вопрос о том, как учить, чтобы добиться высоких образовательных и воспитательных результатов в обучении.
      В педагогике рассматриваются различные методы, которые используются в начальных классах при обучении любому школьному предмету. Так, имея в виду совместную деятельность учителя и ученика, выделяют такие методы: разъяснение материала учителем, беседа, самостоятельная работа учащихся. В зависимости от способа приобретения знаний детьми различают методы: догматический, эвристический и исследовательский. Если рассматривать методы с точки зрения пути, по которому движется мысль учащихся, то говорят об индуктивном, дедуктивном методах и аналогии. Все эти методы используются и при обучении математике с учетом особенностей самого учебного предмета, выступая во взаимосвязи, в единстве. Например, при ознакомлении учащихся с новым материалом может быть использован метод беседы эвристического характера, в процессе проведения которой учащиеся индуктивным путем подводятся к новым знаниям. Конкретное применение методов при обучении математике учитывает специфику содержания начального курса математики. Так, методы обучения математике отличаются от методов обучения чтению, методы изучения геометрического материала отличаются от методов изучения арифметического материала. Вопрос о методах изучения конкретного содержания будет раскрыт при рассмотрении методики работы над отдельными разделами начального курса математики. В этом параграфе будут раскрыты особенности использования методов при изучении математического материала.
      Отбор методов обучения определяется многими факторами: общими задачами обучения, которые ставятся перед школой п современных условиях, содержанием изучаемого материала, уровнем подготовленности детей к овладению соответствующим материалом и др.
      Как известно, основными образовательными задачами обучения математике являются формирование у детей знаний на достаточно высоком уровне обобщения и выработка у них определенных умений и навыков. Эти задачи могут быть успешно решены, если в методике изучения математического материала предусмотреть определенные ступени: подготовку к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний, умений или навыков.
      Особенность изучения математического материала в начальных классах состоит в том, что подготовка к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление соответствующих знаний, умений или навыков осуществляется через выполнение учащимися системы упражнений, т. е. определенных математических заданий. Упражнения могут быть различными по своей математической структуре, в зависимости от содержания материала: нахождение значений выражений, сравнение выражений, решение уравнений, решение задач и др. Упражнения могут предлагаться по-разному: могут быть записаны на доске, взяты из учебника или продиктованы учителем; могут быть даны в обычной форме или в занимательной, в форме дидактической игры и т. п.
      Рассмотрим, какие методы целесообразно использовать на разных ступенях работы над программным материалом, чтобы добиться успеха в решении главных задач обучения математике.
      Подготовительная работа должна обеспечить необходимые условия для успешного усвоения материала всеми учащимися класса. Система упражнений на этой ступени должна способствовать созданию или расширению опыта детей, который ляжет в основу ознакомления с новым материалом, воспроизведению материала, на который придется опираться при раскрытии нового. Например, в основе ознакомления с арифметическими действиями лежат операции над множествами: объединение множеств, не имеющих общих элементов, удаление части множества и т. д. Поэтому до ознакомления с действиями, используя метод беседы, надо предложить учащимся упражнения по оперированию множествами.
      Положите 5 кружков и еще 2 кружка. Придвиньте 2 кружка. Сколько стало кружков? Уберите 3 кружка. Сколько теперь кружков?
      Еще пример. До введения приема перестановки слагаемых надо повторить переместительное свойство сложения. С этой целью учащимся предлагают упражнения, при выполнении которых они должны применить переместительное свойство сложения. В этом случае целесообразно использовать метод беседы.
      На доске запись:
      5+2
      2+5
      Решите первый пример. Сколько получилось? Сравните второй пример с первым: чем они похожи? чем отличаются? Кто может сказать, не вычисляя, ответ второго примера? Почему получилось тоже 7?
      Во многих случаях подготовительные упражнения могут выполняться учащимися самостоятельно, т. е. можно использовать в этом случае метод самостоятельной работы. Например, до ознакомления с решением уравнений вида лс-3=51 можно пред-
      дожить учащимся самостоятельно выполнить упражнение — найти результат каждого второго примера, пользуясь первым:
      8x6=48 7x9=63 6x4=24
      48:8= 63:9= 24:6=
      Объясняя выполнение этого упражнения, учащиеся формулируют правило: если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Опираясь на это знание, учителю легко подвести детей к решению уравнений названного вида.
      Есть еще одна важная сторона в подготовке ученика к усвоению нового материала — это формирование у него умений выполнять умственные операции: умение выполнять анализ, синтез, сравнивать объекты, выделять существенное общее (выполнять обобщение), отвлекаясь от несущественного. Работа по формированию названных умственных операций должна начинаться с первых дней обучения детей в школе и органически связываться с изучением материала. Особое внимание должно быть уделено обучению сравнивать объекты, так как для сравнения надо выполнять анализ и синтез, а сама операция сравнения лежит в основе обобщения.
      Формируя у детей умение сравнивать, надо больше включать упражнений на сравнение математических выражений, чисел, задач, геометрических фигур и т. п. При этом можно использовать такой прием: предложить детям рассказать все, что знаешь о сравниваемых выражениях, числах и т. п., а затем сказать, чем они похожи и чем отличаются. Например, при сравнении выражений 7+3 и 7+2 в соответствии с названными заданиями ученики рассуждают: первый пример на сложение, первое слагаемое 7, второе 3, сумма 10; второй пример тоже на сложение, первое слагаемое 7, второе 2, сумма 9; сходное в примерах: они на сложение, первые слагаемые одинаковые; различное: вторые слагаемые различные, в первом примере больше; суммы различные, в первом примере больше. Сначала такие рассуждения проводятся вслух, а затем про себя, в результате чего у детей вырабатывается умение сравнивать.
      Ознакомление с новым материалом осуществляется преимущественно через систему упражнений, выполняемых учащимися. При этом в зависимости от содержания материала и целей его изучения используются различные методы.
      При ознакомлении с теоретическим материалом типа сведений (правила порядка выполнения арифметических действий в выражениях, ознакомление с терминами и т. п.), при ознакомлении с некоторыми приемами вычислений (прибавить и вычесть число 2 и т. п.), при инструктаже учеников по использованию инструментов (линейки, циркуля и т. п.) и в других подобных случаях используется метод изложения (объяснения) учителем нового материала. Учитель при этом излагает (объясняет) материал, а учащиеся воспринимают его, т. е. приобретают знания в готовом виде.
      Изложение материала должно быть четким, доступным, непродолжительным по времени. При этом по мере надобности используются наглядные пособия. Например, при ознакомлении с терминами — названиями компонентов арифметических действий, результата и соответствующего выражения полезно использовать такие плакаты:
      Слагаемое Сумма 5+3=8
      Еще пример. Объясняя прием прибавления числа 2, учитель на наборном полотне, а дети у себя на партах выполняют соответствующие операции над множествами. Например, к пяти палочкам присоединяют две палочки по одной, после чего выполняют запись: 5+1+1. Здесь операции над множествами и соответствующая запись являются наглядной основой приема вычисления. В результате объяснения учителя и выполнения ряда практических операций учащиеся знакомятся с приемом вычисления.
      При ознакомлении учащихся с математическими понятиями (число, арифметические действия и др.), с теоретическими знаниями типа закономерностей (свойства арифметических действий, связи между компонентами и результатами арифметических действий и т. п.) чаще всего используется метод беседы. Система упражнений в этом случае должна вести детей от частных фактов к общему выводу, к «открытию» той или иной закономерности, т. е. здесь целесообразна эвристическая беседа, обеспечивающая индуктивный путь рассуждения.
      При ознакомлении с новым материалом индуктивным путем учитель, проводя беседу, предлагает учащимся ряд упражнений. Учащиеся выполняют их, затем, анализируя, выделяют существенные стороны формируемого знания, в результате чего делают соответствующий вывод, т. е. приходят к обобщению.
      Рассмотрим, как можно ознакомить учащихся I класса со связью между суммой и слагаемыми, подводя их к выводу индуктивным путем, используя эвристическую беседу.
      Возьмите 4 синих кружка, придвиньте к ним 3 красных. Сколько получилось кружков? (7.) Как узнали? (К 4 прибавить 3.)
      Записывают: 4+3=7.
      Как называется число 4? (Первое слагаемое.) Число 3? (Второе слагаемое.) Число 7? (Сумма.)
      Учитель записывает на доске:
      4—первое слагаемое 3—второе слагаемое 7— сумма
      Покажите на кружках, как вы изобразили первое слагаемое (показывают 4 синих кружка), второе слагаемое (показывают 3 красных кружка), сумму (показывают все кружки). Отодвиньте синие кружки. Сколько кружков осталось? (3.) Как узнали?
      Записывают: 7—4=3.
      Сравните этот пример с первым. Как получили этот пример из первого? (Из 7, из суммы, вычли 4, первое слагаемое, получили 3, второе слагаемое.) Придвиньте синие кружки к красным. Отодвиньте теперь красные кружки. Сколько кружков осталось? (4.) Как получили? (Из 7 вычли 3, получили 4.) Запишите этот пример под вторым и сравните его с первым примером. (Здесь из 7, из суммы, вычли 3, второе слагаемое, получили 4, первое слагаемое.)
      Далее выполняется еще ряд подобных упражнений с другими числами, в результате чего дети сами формулируют общие выводы: если из суммы вычесть первое слагаемое, то получится второе, а если вычесть второе слагаемое, то получится первое.
      К системе упражнений при индуктивном пути ознакомления с новыми теоретическими знаниями предъявляется ряд требований.
      Система упражнений должна обеспечить наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений важно во многих случаях использовать наглядность. При ознакомлении с математическими понятиями и закономерностями в начальных классах часто используют для этой цели операции над множествами и записи соответствующих арифметических действий. Так, в нашем примере учащиеся объединяли два множества кружков и выполняли запись: 4+3=7, затем удаляли часть множества и снова записывали соответствующее арифметическое действие: 7—4=3 или 7 — 3=4. Это и явилось наглядной основой для «открытия» ими связи: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Важно, чтобы каждый ученик сам выполнял операции над множествами, а не только наблюдал за действиями учителя и чтобы учащиеся научились самостоятельно пользоваться наглядностью, что поможет им впоследствии воспроизводить забытое.
      Упражнения надо подбирать так, чтобы, анализируя их, учащиеся смогли бы выделить все существенные сторо-н ы формируемого знания. С этой целью надо прежде всего подбирать упражнения так, чтобы сохранялись Неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть достаточное число упражнений, т. е. столько, сколько потребуется для того, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению.
      В рассмотренном нами примере ознакомления со связью между суммой и слагаемыми несущественным являются числа, их надо брать в каждой сумме различными: 7+3, 1+6, 5+4 и т. д., существенным является сама связь: если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое; наблюдение этой связи и должно быть главным при проведении беседы. Если же будет сохраняться несущественное, то учащиеся могут сделать неверное или узкое обобщение. Например, связь между суммой и слагаемыми в одном из классов была рассмотрена на примерах: 4+1, 7+1, 9+1, учащиеся сформулировали такой вывод: если из суммы вычесть единицу, то получится первое слагаемое. Здесь сохранялось неизменным несущественное — одинаковое второе слагаемое, вследствие чего учащиеся приняли несущественный признак за существенный. Поэтому во многих случаях целесообразно указывать и на несущественные стороны (например, указать, что можно брать любые числа).
      В начальном курсе математики есть сходные вопросы (например, переместительное свойство сложения и переместительное свойство умножения) и есть противоположные (например, сложение и вычитание). При знакомстве с новым материалом, который сходен с уже изученным, надо так подбирать упражнения, чтобы раскрывать новый материал в сопоставлении со сходным, т. е. сравнивать этот новый вопрос со сходным, выделяя существенное сходное. Раскрывая противоположные понятия, надо подбирать упражнения так, чтобы можно было использовать прием противопоставления, т. е. выделить существенное различное. Приемы сопоставления и противопоставления помогают правильному обобщению формируемого знания, предупреждают смешение.
      Таким образом, при ознакомлении учащихся с новым теоретическим материалом (вводя понятия, раскрывая свойства, связи и т. п.) учитель через систему упражнений подводит детей к обобщению. Обобщение выражается в речи: ученики формулируют соответствующий вывод. Важно, чтобы ученики сами сформулировали вывод. Это покажет учителю, что они пришли к обобщению. Не следует бояться не очень гладких формулировок. Постепенно под руководством учителя на следующей ступени в процессе применения знаний формулировки приобретут и соответствующую форму.
      При ознакомлении с вопросами практического характера, которые вводятся на основе теоретических знаний (ознакомление с многими вычислительными приемами, с решением уравнений и т. п.), также используется эвристическая беседа, однако здесь система упражнений должна обеспечить дедуктивный
      путь рассуждения: от общего положения к частному, подведение частного под общее.
      Например, при ознакомлении с решением уравнений вида x·3=51 учащиеся должны опираться на знание связи: если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это и есть общее знание, на которое опираются при решении данного конкретного уравнения. Беседу при этом можно провести так:
      На доске запись: x·3=51.
      Что здесь записано? (Уравнение.) Что известно? (Произведение — 51 и второй множитель—3.) Что неизвестно? (Первый множитель.) Как его можно найти? (Произведение разделить на второй множитель.) Почему так можно? (Мы знаем, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель, значит, чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.)
      Как видим, знакомясь с решением уравнения, учащиеся исходили из известного им вывода о связи между произведением и множителями, т. е. к решению частного вопроса они пришли от общего.
      В применении дедуктивного рассуждения наибольшую трудность для детей представляет само подведение частного факта под общий вывод. Так, решая уравнение x·3=21, некоторые ученики находят неизвестное умножением, т. е. используют действие, указанное в уравнении. Правильному применению дедукции помогают упражнения в конкретизации (ученики приводят свои примеры на определенное правило, или сами используют наглядность), упражнения в классификации понятий (например, выписывают из данных чисел сначала однозначные, а потом двузначные).
      В начальных классах иногда при ознакомлении с новым материалом используется метод самостоятельных работ: учащиеся самостоятельно выполняют упражнения и приходят к выводу, т. е. в приобретении знаний они используют исследовательский метод. Например, составляя неоднократно таблицы умножения (3·3; 3·4; 3·5 и т. д.), они замечают, что каждое новое произведение увеличивается на число, равное первому множителю; в дальнейшем, при составлении таблиц, они используют это знание. Чаще метод самостоятельных работ применяется при ознакомлении с вопросами практического характера, когда учащиеся самостоятельно находят на основе полученных знаний новые вычислительные приемы, новые способы решения задач и т. п.
      Самостоятельная работа как метод обучения дает возможность ученику сознательно и прочно усвоить материал, проявить умственную активность.
      Закрепление знаний, умений и навыков происходит на следующей ступени в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение знаний. Эта система упражнений также должна удовлетворять ряду требований. Упражнения должны постепенно усложняться, обогащать формируемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать установлению связей между новыми и уже имеющимися знаниями.
      Рассмотрим систему упражнений на закрепление знания о связи между произведением и множителями.
      На этапе ознакомления с новыми знаниями учащиеся II класса пришли к обобщению: если произведение двух чисел разделить на первый множитель, то получится второй множитель, а если разделить на второй, то получится первый множитель.
      На этапе закрепления этого знания сначала ставится задача добиться осмысления этого правила. С этой целью предлагаются упражнения на непосредственное применение знания:
      1)...
      Вычислите произведения и, пользуясь ими, покажите, что при делении произведения на один из множителей получается другой множитель.
      2) По каждому примеру на умножение составьте два примера на деление: 3·4, 8·4, 10·7 и т. п.
      Затем ставится цель научить детей использовать знание взаимосвязи для решения простейших уравнений вида: x·3=12. Здесь опосредованное применение знаний: учащиеся должны переосмыслить известный им вывод — чтобы найти неизвестный первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель. Далее учащиеся применяют этот новый вывод при выполнении таких упражнений:
      1) Найдите неизвестное число:
      x·5=10 6·a=6 k·2=12
      2) Произведение равно 8, первый множитель 2. Найдите второй множитель и т. п.
      Чтобы предупредить смешение формируемой связи с ранее усвоенной связью между компонентами и результатом действия сложения, надо предусмотреть специальные упражнения на противопоставление. Например, предлагаются уравнения, в которых неизвестно слагаемое или множитель: а·3=12 и
      а+3=12. После решения сравниваются уравнения, а также способы их решения.
      Далее знание формируемой связи используется для нахождения табличных результатов деления по известным результатам умножения. Вновь предлагаются упражнения:
      1) Если известно, что 7·4=28, то какие примеры на деление можно решить?
      2) Найдите частное, пользуясь примерами на умножение:...
      В дальнейшем, переходя от одной темы к другой, учащиеся вновь и вновь переосмысливают знание установленной связи.
      Каждое новое знание должно быть включено в систему ранее усвоенных знаний. Поэтому на ступени закрепления включаются упражнения в систематизации знаний. Например, после изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся под руководством учителя систематизируют знания о числе, указывая, как образуется число из предыдущего и следующего за ним в натуральном ряду, на сколько оно больше предыдущего и меньше следующего и т. д.
      Наряду с усвоением знаний по математике учащиеся должны овладеть вычислительными, измерительными, графическими умениями и навыками, а также умениями решать задачи. Для формирования умений и навыков также используются упражнения: учащиеся выполняют упражнения на вычисление, измерение, построение, решают задачи.
      Система упражнений в этом случае также должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего она должна обеспечить осознанное овладение умениями и навыками, т. е. ученик должен осознавать, какие теоретические знания он использует, выполняя вычисления, решая задачи и т. д. Например, умножая 14 на 5, ученик должен понимать, что он сначала заменяет число 14 суммой разрядных слагаемых 10 и 4, а затем умножает сумму на число:
      14·5=(10+4)·5= 10·5+4·5=70
      Чтобы сформировать прочные умения и навыки, необходимо включить достаточное число упражнений.
      Система упражнений должна предусмотреть сопоставление и противопоставление сходных вопросов, чтобы предупредить их смешение. Например, чтобы учащиеся не смешивали свойства умножения суммы на число й прибавление числа к сумме, предлагаются для решения пары примеров вида: (10+4)+5 и (10+4)·5. После решения сравниваются сами примеры, а затем способы их решения.
      Через систему упражнений учащиеся усваивают некоторые общие умения: умения вычислять, умения решать задачи и др. (подробнее об этом будет сказано дальше).
      При формировании умений и навыков широко используется метод самостоятельных работ, при этом чрезвычайно полезно предлагать упражнения дифференцированно, учитывая возможности каждого из детей.
     
      § 4. Средства начального обучения математике
     
      Осуществляя учебный процесс, применяя разнообразные методы обучения математике, учитель использует различные средства обучения: учебник, учебные пособия для учащихся (тетради на печатной основе, карточки с математическими заданиями, справочники* и т. п.), инструменты (линейка, угольник, циркуль и др.), специальные наглядные пособия (предметы и их изображения, модели геометрических фигур, счетные палочки, разрезные цифры и т. п.), а также технические средства обучения. Использование средств обучения делает процесс овладения знаниями, умениями и навыками более эффективным.
     
      Учебники математики и учебные пособия
      Учебник является основным средством обучения. Все другие средства разрабатываются в соответствии с учебником и используются во взаимосвязи с ним.
      Учебники математики составляются в строгом соответствии с программой по математике для начальных классов, причем для каждого класса издается отдельный учебник.
      Учебники включают теоретический материал (определения некоторых понятий, свойства, правила, математическая терминология и др.), который располагается в определенной системе и является логическим стержнем курса. С ним связываются вопросы практического характера. Это вопросы, которые раскрываются на основе теоретических знаний (обоснование приемов вычислений, приемов решения уравнений, неравенств и т. п.). Кроме того, учебник включает и систему упражнений, с помощью которой учащиеся должны усвоить как теоретические знания, так и приобрести умения и навыки, определяемые программой. Таким образом, учебник является одновременно и сборником упражнений.
      Система изложения в учебнике теоретического материала и вопросов практического характера определяется требованиями программы. В соответствии с этими требованиями при раскрытии в учебнике каждого вопроса предусматривается подготовка к введению нового материала, ознакомление с новым материалом, его закрепление. На каждой из этих ступеней предусматрнпается система специальных упражнений, выполнение которых учащимися должно обеспечить осознанное и прочное усвоение теоретических знаний, выработку умений и навыков.
      Упражнения предлагаются в различных формах, что стимулирует активность детей, возбуждает интерес. Часто задания носят занимательный характер. С помощью упражнений предупреждаются ошибки, допускаемые учащимися в результате смешения сходных вопросов курса; в этом случае предлагаются задания на выявление различного путем сравнения (сравнение задач, приемов вычислений и т. п.). Многие упражнения, предлагаемые в учебниках, носят комплексный характер. Например, учащимся II класса предлагается заполнить таблицу:...
      Затем ставятся вопросы: может ли произведение быть равным первому множителю? второму множителю? первому и второму множителям одновременно?
      Как видим, выполняя это упражнение, ученик применяет целый комплекс знаний: правило умножения единицы и на единицу, правило нахождения неизвестного множителя, знание сути буквенной символики. Дополнительные вопросы требуют от ученика наблюдения и установления определенных закономерностей. Такие упражнения чрезвычайно полезны: они помогают установить связи между различными вопросами курса, стимулируют активность детей, развивают математическую зоркость.
      При подготовке к уроку учителю очень важно увидеть назначение каждого упражнения и правильно использовать их.
      Как уже указывалось, почти все новые вопросы курса вводятся на основе практических операций над множествами, поэтому в учебниках много иллюстративного материала, который должен помочь детям перейти от конкретного к абстрактному. В зависимости от содержания материала и подготовленности детей иллюстрации от класса к классу изменяются: если в I классе даны преимущественно предметные картинки, то во II классе и особенно в III — преимущественно схематические рисунки, таблицы и чертежи. В учебниках даются образцы закисей: решение примеров с объяснением, решение уравнений, нахождение значений выражений при заданных значениях букв,
      входящих в выражение, и др. Ученик в случае надобности всегда может обратиться к образцу, данному в учебнике.
      Материал в учебниках раскрывается по темам, которые определены программой. Темы разделены на небольшие, логически законченные части, каждая из которых предназначается для изучения на одном уроке.
      В учебнике в поурочной разбивке представлен материал для большинства, но не для всех уроков, отводимых на изучение курса. Материал для остальных уроков подбирает сам учитель в соответствии с особенностями его класса. Эти уроки отводятся на закрепление знаний, умений и навыков. Для этих уроков в учебниках также предусмотрен материал, он дан в специальных разделах, которые названы «Упражнения для закрепления». Материал из этих разделов может быть использован и для дифференцированных заданий.
      Как известно, в начальных классах проводятся преимущественно комбинированные уроки, поэтому материал учебника, предназначенный на урок, предусматривает упражнения для подготовительной работы к изучению нового материала, рассматриваемого на этом уроке или же на последующих, для ознакомления с новым материалом и для закрепления знаний только что изученного материала и ранее изученного. Новый материал включается в уроки небольшими частями. Как показал опыт, это способствует лучшему его усвоению. В отдельных случаях материал учебника определяет иную структуру уроков: есть уроки, на которых закрепляются ранее полученные знания, есть уроки, полностью посвященные изучению нового, есть уроки, отведенные проверке знаний. Учитель, готовясь к уроку, должен тщательно отобрать материал, используя не только учебник, но и другие учебные пособия.
      К учебнику для каждого класса издаются в помощь учителю методические пособия, в которых дается: тематическое планирование по каждому разделу курса; требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся по каждой теме и по всему материалу за год; материал для устных упражнений и указания к большинству уроков. Планирование уроков является примерным, т. е. учитель, сообразуясь со своим классом, может вносить изменения в порядок ведения вопросов, изменять время, отводимое на изучение той или иной темы. Однако при этом должен быть изучен материал, предусмотренный программой на каждый учебный год и на соответствующем уровне.
      Кроме учебников, издается ряд дополнительных учебных пособий как для учащихся, так и для учителей. Это тетради на печатной основе, сборники упражнений, которые может использовать учитель, проводя устные упражнения на уроках, предлагая самостоятельные и контрольные работы, а также индивидуальные задания. Издаются также материалы для индивидуальной работы с учащимися, которые оказывают большую
      помощь учителю в осуществлении дифференцированного обучения. Это различные дидактические материалы, представляющие собой систему упражнений по темам программы. Эти упражнения оформляются на отдельных карточках, которые использует учитель для индивидуальной работы с детьми, учитывая различный уровень их подготовленности.
      Издается также литература для проведения внеклассной работы по математике с учащимися начальных классов.
      Начинающему учителю полезно знакомиться с опытом преподавания математики лучшими учителями, который освещается в методическом журнале «Начальная школа».
     
      Наглядные пособия и технические средства обучения
      Осуществляя принцип наглядности на уроках математики, спираются, с одной стороны, на восприятия учащихся, а с другой— на их представления. В первом случае необходимы наглядные пособия, во втором можно обойтись без наглядных пособий, тогда необходимо активизировать прошлый опыт детей, накопленные ими ранее представления. Например, знакомя детей с треугольником, учитель использует модели различных треугольников, подчеркивающие существенные признаки фигур такой формы (3 угла, 3 вершины, 3 стороны). Вместе с тем учитель предлагает детям вспомнить, какие предметы имеют форму треугольника. Таким образом при обучении математике используют в сочетании непосредственные восприятия и представления учащихся.
      Математика изучает не сами предметы и явления окружающей жизни, а «пространственные формы и количественные отношения действительного мира» (Ф. Энгельс), поэтому при обучении математике стремятся вычленить именно эти стороны; качественные же признаки предметов становятся несущественными. Часто для изучения математических отношений и операций используют специально созданные пособия. Такие пособия являются более эффективными, чем сами предметы или ситуации, взятые из окружающей жизни.
      Правильное использование наглядности на уроках математики способствует формированию четких пространственных и количественных представлений, содержательных понятий, развивает логическое мышление и речь, помогает на основе рассмотрения и анализа конкретных явлений прийти к обобщениям, которые затем применяются на практике.
      Виды наглядных пособий. Знание видов наглядных пособий дает возможность учителю правильно их подбирать и эффективно использовать при обучении, а также изготовлять самому или вместе с детьми необходимые наглядные пособия.
      Учебные наглядные пособия принято делить на натуральные и изобразительные.
      К натуральным наглядным пособиям, используемым на уроках математики, относятся предметы окружающей жизни: тетради, карандаши, палочки, кубики и т. п.
      Среди изобразительных наглядных пособий выделяют образные: предметные картинки (рис. 2), изображения предметов и фигур из бумаги и картона (рис. 3), таблицы с изображениями предметов или фигур (рис. 4). Другой разновидностью изобразительных наглядных пособий являются условные (символические) пособия: карточки с изображениями математических символов (цифр, знаков действий, знаков отношений «>», «<», «=»), схематические рисунки (рис. 5), чертежи (рис. 6). К изобразительным наглядным пособиям относятся также экранные наглядные пособия: учебные фильмы, диафильмы, диапозитивы.
      С точки зрения использования наглядные пособия делят на общеклассные и индивидуальные. Общеклассными пользуется сразу весь класс (их иногда называют демонстрационными), индивидуальными пользуется каждый ученик в отдельности. Часто общеклассные и индивидуальные пособия бывают одинаковыми по содержанию и отличаются лишь размерами: модели геометрических фигур, разрезные цифры, чертежные инструменты и др. Важно правильно располагать как общеклассные, так и индивидуальные пособия, чтобы ими было удобно пользоваться на уроках. Например, цифры хранят в общеклассных и индивидуальных кассах, модели фигур в конвертах и т. п.
      С точки зрения изготовления различают наглядные пособия, изготовленные типографским способом или на фабрике, и самодельные, изготовленные учителем или детьми.
      Самодельные пособия дополняют готовые наглядные пособия. Это различные рисунки и чертежи для составления задач, сборные геометрические фигуры, таблицы, в которых можно заменять цифры и отдельные слова, электрифицированные таблицы умножения и сложения и др.
      К изготовлению наглядных пособий полезно привлекать детей. Это имеет большое образовательное и воспитательное значение, содействует сознательному и прочному овладению знаниями и умениями, помогает выработке определенных трудовых навыков. Так, изготовляя модель прямого угла из бумаги и модель подвижного угла из двух палочек, скрепленных кусочком пластилина (см. рис. 57), ученики получают представление об углах; изготовляя модели линейного и квадратного сантиметра, дециметра, метра, учащиеся получают наглядное представление о единицах длины и площади. Работая с пособиями, изготовленными своими руками (например, пособие для иллюстрации двузначных чисел — см. рис. 7), ребенок учится уважительно относиться к труду.
      Самодельные пособия должны быть несложными в изготовлении, должны отвечать требованиям эстетики и нормам школьной гигиены.
     
      Использование наглядных пособий. В процессе обучения наглядные пособия используют с различными целями: для ознакомления с новым материалом, для закрепления знаний, умений, навыков, для проверки их усвоения.
      Когда наглядное пособие выступает как источник знаний, оно особенно должно подчеркивать существенное — то, что является основой для обобщения, а также показывать несущественное, его второстепенное значение.
      Так, модели прямоугольников надо взять различных размеров — это дает возможность детям увидеть, что равенство противоположных сторон есть общее свойство любых прямоугольников, оно не зависит от длины его сторон. Слово усиливает восприятие, поэтому нужны точные вопросы учителя, направляющие наблюдения ученика.
      Знакомя с новым материалом, учитель часто использует наглядное пособие с целью конкретизации сообщаемых знаний. В этом случае наглядное пособие выступает как иллюстрация словесных объяснений. Например, помогая детям в поисках решения задачи, учитель делает схематический рисунок или чертеж к задаче; объясняя прием вычисления, сопровождает пояснение действиями с предметами и соответствующими записями и т. д. При этом важно использовать наглядное пособие своевременно, иллюстрируя самую суть объяснения, привлекая к работе с пособием и пояснению самих учащихся. При раскрытии приема вычисления, измерения, решения задачи и т. д. надо особенно четко показывать движение (прибавить — придвинуть, вычесть — убрать, отодвинуть и т. п.). Сопровождая объяснение рисунком (чертежом) и математическими записями на доске, учитель не только облегчает детям восприятие материала, но и одновременно показывает образец выполнения работы в тетрадях, например: как расположить чертеж и запись решения в тетради, как обозначить многоугольник с помощью букв и т. п. Поэтому чертежи и записи на доске необходимо выполнять грамотно, красиво располагать их на доске и следить за тем, чтобы они были хорошо видны всем детям.
      При ознакомлении с новым материалом и особенно при закреплении знаний и умений надо так организовывать работу с наглядными пособиями, чтобы учащиеся сами оперировали ими и сопровождали действия соответствующими пояснениями (объединяли множества предметов при изучении сложения, моделировали замкнутые и незамкнутые ломаные линии, пользуясь палочками и т. п.). Качество усвоения материала в этих случаях значительно повышается, так как в работу включаются различные анализаторы (зрительные, двигательные, речевые, слуховые). При этом дети овладевают не только математическими знаниями, но и приобретают умения самостоятельно использовать наглядные пособия. Учитель должен всячески поощрять детей к использованию наглядных средств при самостоятельной работе.
      На этапе закрепления знаний и умений широко используют для разнообразных упражнений справочные таблицы, таблицы для устного счета, рисунки, схемы, чертежи для составления задач детьми. Для выработки измерительных навыков включают упражнения в черчении и измерении с помощью чертежно-измерительных инструментов. Рекомендуется практиковать воспроизведение наглядно воспринятого путем моделирования, рисования, словесного описания.
      Наглядные пособия иногда используют для проверки знаний и умений учащихся. Например, чтобы проверить, как усвоили дети понятие многоугольника, можно предложить им с помощью палочек сложить многоугольник указанного вида или выписать их номера, рассмотрев соответствующий кадр из диафильма. Используя раздаточный дидактический материал (карточки с отрезками, с многоугольниками и др.), учитель провернет умения измерять длину отрезков, площадь и периметр многоугольников и др.
      Важным условием эффективности использования наглядных пособий является применение на уроке достаточного и необходимого количества наглядного материала (в меру, без излишеств). Если наглядные средства применяются там, где этого совсем не требуется, они играют отрицательную роль, уводя детей в сторону от поставленной задачи. Подобные факты встречаются в практике: например, первоклассник обучается выбору арифметического действия (сложения или вычитания) ври решении арифметических задач. Учитель привлекает для этой цели картинку, на которой нарисованы птички, сидящие во ветке и подлетающие к ним (или, наоборот, улетающие от них). Ученик, глядя на эту картинку, находит ответ задачи простым пересчитыванием, не выполняя никакого арифметического действия над числами. Наглядность, использованная в этом случае, не только не помогает, но, наоборот, задерживает формирование умения решать задачи, т. е. выбирать действие над числами, данными в условии. Другой пример: известно, что необходимо иллюстрировать незнакомые детям предметы, встречающиеся в задаче, показом соответствующей картинки (метро, завод, трамвай и др.— сельским детям; ферма, подвода, стог, скирда и т. п.— городским детям). Однако нет необходимости в показе картинок известных детям предметов.
      В процессе обучения важно своевременно переходить от предметных и образных наглядных пособий к условной (символической) наглядности. Например, если вначале при ознакомлении с решением задач нового вида содержание задачи иллюстрируют действиями с предметами, то позднее достаточно записать задачу кратко. Если при ознакомлении с приемом вычисления дети сначала опираются на соответствующие действия с предметами, то затем достаточно опоры на запись приема вычисления и т. п. Роль символической наглядности возрастает г накоплением у детей математических знаний и развитием мышления учащихся, символическая наглядность (схемы, чертежи, математические записи и т. п.) становится основным средством наглядного обучения математике.
     
      § 5. Урок и другие формы организации обучения математике в I—III классах
     
      Обучение математике н начальных классах осуществляется в школе н форме уроков и внеурочных занятий (индивидуальных и групповых); дома или в группе продленного дня — в форме домашней самостоятельной работы; в природе, музее, на производстве — в форме экскурсий.
     
      Урок математики
      Основной формой организации учебной работы по математике, как и по другим предметам, является урок. Особенности урока математики обусловлены прежде всего особенностями самого учебного предмета. Начальный курс математики построен так, что одновременно с изучением арифметического материала включаются элементы алгебры и геометрии. Следовательно, на одном уроке очень часто рассматривается, кроме арифметического материала, алгебраический и геометрический. Включение материала из разных разделов курса, безусловно, влияет на построение урока математики и методику его проведения.
      Другой особенностью начального курса математики является рассмотрение во взаимосвязи теоретических и практических вопросов. Поэтому на каждом уроке математики работа над усвоением знаний идет одновременно с выработкой умений и навыков.
      На уроке реализуется, как правило, несколько дидактических целей: по отношению к одному материалу ведется заблаговременная подготовительная работа, по отношению к другому — ознакомление с новым и его первичное закрепление, по отношению к третьему — ранее изученному материалу — проводится закрепление с целью обобщения и систематизации знаний, с целью выработки прочных умений и навыков. Одновременно осуществляется контроль и учет знаний, умений, навыков учащихся. В этих условиях чрезвычайно важно по каждому вопросу соблюдать преемственность в работе от урока к уроку, Это возможно только в том случае, когда учитель хорошо знает, какими знаниями, умениями, навыками должны овладеть дети в результате изучения темы, четко видит всю систему уроков по теме.
      Специфика уроков математики обусловливается также особенностями усвоения детьми математического материала: абстрактный характер материала требует тщательного отбора наглядных средств, методов обучения, разнообразия видов деятельности учащихся в течение урока.
      На уроках математики необходим постоянный контроль за ходом усвоения материала, чтобы учитель мог успешнее управлять деятельностью детей и осуществлять дифференцированное обучение. Когда дается несколько вариантов заданий, то, как правило, проверяется выполнение трудных вариантов заданий, с тем чтобы все учащиеся класса уяснили, как выполнять это задание, и чтобы проверка содействовала обогащению знаний учеников всего класса.
      На уроках математики в комплексе решаются образовательные, развивающие и воспитательные задачи. Определить образовательные задачи урока — значит определить, чему учить учащихся: 1) какие знания дать и 2) какие способы и приемы формировать.
      Важно не только учителю, но и учащимся осознать, чему учились на уроке. Для этого учителю необходимо четко ставить перед учащимися задачи, которые нужно освоить по ходу урока, а в конце урока ставить перед детьми вопрос: «Чему учились на уроке?» (Что нового узнали? Что повторили?)
      Осознание детьми процесса учения уже способствует их развитию. Вместе с тем нужно и специально формулировать разминающие задачи урока. Они могут быть направлены на развитие мышления, речи, наблюдательности учащихся и т. д.
      Особое внимание на уроках уделяется развитию у детей интереса к математике и воспитанию у них навыков самостоятельной работы. Интерес к предмету и умственная самостоятельность тесно взаимосвязаны. Когда детям интересно на уроке, тогда они проявляют значительно большую активность и самостоятельность в учебной работе. В свою очередь активность и самостоятельность, проявленные детьми в приобретении знаний, возбуждают у них интерес к предмету.
      Для воспитания у учащихся умственной самостоятельности и развития интереса к математике большое значение имеет правильный отбор методов обучения.
      Одним из эффективных методов обучения является самостоятельная работа учащихся. На уроках математики самостоятельные работы проводятся с целыо подготовки к изучению нового материала, при ознакомлении с несложным новым материалом, при закреплении знаний, умений и навыков, а также для проверки усвоения изученного материала.
      При изучении нового материала важно создать такие условия, чтобы дети стали непосредственными участниками добывании новых знаний. С этой целью можно перед началом изучении нового материала предложить учащимся практическую задачу, для решения которой недостаточно имеющихся у детей знаний, нужны новые знания, которые и становятся затем предметом изучения на данном уроке, т. е. создается «проблемная ситуация», «ситуация затруднения».
      Гак, например, на уроке математики в I классе при изучении темы «Метр» учительница обращается к детям: «Нам нужно купить дорожку для комнаты. Как мы узнаем, какой длины нам нужна дорожка?» «Надо измерить»,— отвечают дети. «Нам дли этого нужно измерить длину комнаты. Как мы измерим расстояние от одной стены до другой?» Кто-то из детей предлагает измерить шагами. Учительница вызывает ученицу и предлагает ей измерить длину классной комнаты шагами. По-юм »ю же задание выполняют еще два ученика. У учащихся получается разное число шагов: 14, 12, 7. Возникает законный вопрос: как же измерить длину комнаты?
      С целью развития интереса к математике на уроках включают дидактические игры и занимательные упражнения. Учащиеся с большой охотой выполняют работу, если задание дается в необычной форме: не просто решить примеры, а найти примеры, решенные неверно, и решить их правильно, заполнить таблицу (см. с. 25)1, хотя ее заполнение сводится к решению ряда примеров, и т. п. Включение игр и занимательных упражнений оживляет работу на уроке, вызывает активность детей.
      Организуя работу по изучению нового материала, необходимо помочь учащимся не только активно и самостоятельно усвоить учебный материал, но и воспринять и осознать приемы и способы работы с этим материалом. Поэтому надо обращать внимание детей на способы выполнения заданий, делать сами способы предметом рассмотрения.
      На уроке математики решаются разнообразные воспитательные задачи: формирование инициативы, ответственности и добросовестности в работе; выработка четкости и аккуратности в вычислениях, измерениях, формулировках и записях; воспитание привычки систематически трудиться и преодолевать трудности.
      Решению воспитательных задач на уроке содействуют не столько отдельные «воспитательные моменты», а весь урок, весь учебный процесс в целом: содержание обучения, которое в нашей школе отличается научностью, идейностью, жизненностью; методы учебной работы, направленные на всемерное развитие активности и самостоятельности учащихся; четкая организация урока. Руководящая роль в достижении воспитывающего характера учебной работы принадлежит учителю, так как и содержание, и методы, и организацию работы на уроке определяет учитель.
     
      Типы уроков. В зависимости от основной дидактической цели урока, которая подчиняет все другие цели, выделяются следующие типы уроков: урок изучения нового материала; урок закрепления знаний, умений, навыков; урок контроля и учета знаний, умений, навыков. Если урок имеет несколько равноправных дидактических целей, то такой урок называют комбинированным.
      1 Все указанные здесь и далее страницы относятся к настоящему пособию.
     
      Комбинированные уроки наиболее распространены в I—III классах, что объясняется возрастными особенностями младших школьников, а также особенностями построения начального курса математики.
      Структура уроков комбинированного типа может быть различной: 1) закрепление и проверка знаний ранее изученного материала; 2) изучение нового материала; 3) закрепление этого материала; 4) задание на дом, или: 1) изучение нового материала; 2) закрепление изученного на данном уроке и ранее Пройденного; 3) задание на дом; 4) подготовительная работа к изучению следующей темы.
      На уроке комбинированного типа тратится примерно одинаковое время на повторение и проверку ранее изученного и на н (учение нового и его закрепление. При этом часто одновременно с закреплением ранее изученного учитель.проверяет, как дети усвоили этот материал; попутно с изучением нового мате-римла ведется закрепление знаний, умений и навыков по новому материалу, закрепление сочетается с подготовкой к изучению следующей темы и т. п. Этим обеспечивается активная работа учащихся на протяжении урока.
     
      Уроки изучения нового материала. В младших классах специальных уроков математики, целиком посвященных изучению ниного материала, нет. Новый материал небольшими частями рассматривается почти на каждом уроке. Но бывают уроки, на которых изучение нового материала является основной дидактической целью. Этой работе отводится большая часть урока, при этом другие части урока также подчинены изучению нового. Для того чтобы установить связь нового материала с изученным, чтобы новые знания включить в систему, повторяют те разделы и вопросы, которые подготавливают учащихся к Носириятию новых знаний, помогают им сделать самостоятельные выводы и заключения. Помимо знакомства с новым материалом на таком уроке происходит первичное закрепление полученных знаний.
      Структура данного типа урока может быть такова: 1) повторение материала, необходимого для сознательного усвоения новых математических знаний; 2) изучение нового материала; 3) первичное закрепление изучаемого материала; 4) задание на дом. Последовательность структурных элементов урока может быть и другой, но в любом случае основная часть урока данного типа посвящается работе над новым материалом.
     
      Уроки закрепления знаний, умений и навыков. Основное место на уроках данного типа занимает выполнение учащимися различных тренировочных упражнений и творческих работ. Предлагаются упражнения в определенной системе. Большое место на этих уроках отводится самостоятельной работе учащими, Структура этих уроков, как правило, следующая: 1) воспроизведение учащимися знаний, умений и навыков, которые mu ребуются для выполнения заданий; 2) самостоятельное выполнение учащимися различных упражнений; 3) проверка выполнения работы и подведение итогов; 4) задание на дом.
      С целью развития знаний, умений и навыков на таких уроки н иногда включаются элементы нового. Кроме того, попутно ими с помощью специальных упражнений проводится подготовительная работа к изучению следующих тем. Но эти дидактические цели подчиняются основной цели урока — закреплению изученного материала. В начале учебного года или четверти проводятся уроки закрепления изученного с целью повторения и систематизации тех знаний, которые необходимы для изучения новых тем. В конце изучения темы или раздела на уроках закрепления включаются упражнения обобщающего и систематизирующего характера.
     
      Контрольные или учетные уроки. Основное место на таких уроках отводится устной и письменной проверке усвоения изученного материала. Проверка, как правило, сочетается с закреплением знаний, умений и навыков. Самостоятельные письменные работы занимают от 15 до 30 мин, остальное время отводится на закрепление ранее изученного. В конце урока, если проверка проводилась в устной форме, учитель, как правило, дает краткую характеристику знаниям, умениям и навыкам учащихся, указывает на достижения, недостатки и пути их преодоления. Если проверка проводилась в письменной форме, то последующий урок посвящается анализу результатов контрольной работы, исправлению типичных ошибок, повторению и закреплению тех разделов, которые оказались хуже усвоенными.
      Каждый урок математики является отдельным звеном в системе уроков по той или иной теме. Систему уроков учитель намечает, составляя тематическое планирование (на отдельную тему или на определенный период — месяц, учебную четверть). Планируя работу по теме, учитель делит материал этой темы на небольшие части (уроки), намечает основные дидактические цели каждого урока. Тематическое планирование, составленное опытными учителями-методистами, систематически публикуется в методической литературе. Опираясь на это планирование и учитывая особенности своего класса, учитель составляет свой календарный тематический план.
      Готовясь к уроку, учитель прежде всего по календарному плану устанавливает тему урока, его содержание и основные дидактические цели. Учитывая результаты работы на предыдущем уроке (как дети усвоили материал, что успели и что не успели сделать на уроке и др.), учитель уточняет содержание и задачи урока. Затем определяется методика работы на уроке, подбираются соответствующие наглядные пособия, намечается система упражнений, наиболее четко и доступно раскрывающая материал урока. При этом учитель стремится включать упражнения информационного (познавательного), развивающего и тренировочного характера, а там, где возможно, сочетать несколько целей, предлагать упражнения комплексного характера. Например: решите задачи и сравните их решения; решите данные пары примеров и составьте сами похожую пару примеров:
      6+3 9-3
      4+4 8-4
      5+4 9-5
      Учитель продумывает, как будут выполняться эти упражнения на уроке — устно или письменно, с пояснением перед тем, кик записать в тетрадь, или с пояснением после выполнения их и тетрадях, с записью на доске или без записи и т. п. При этом учитывается необходимость смены видов работы, чтобы работоспособность детей сохранялась на протяжении всего урока.
      В результате намечается план урока — определяются основные части урока, их последовательность, время на их проведение, намечаются учащиеся, которых нужно спросить, выписываются отдельно те записи, которые будут сделаны на доске (н тетрадях). Все это оформляется в виде развернутого плана урока. В отдельных случаях составляется конспект урока, в котором ход урока излагается более подробно, записываются вопросы учителя и предполагаемые ответы детей. Приведем для примера развернутый план урока математики в I классе.
     
      Тема урока: «Устная нумерация чисел в пределах 20».
      Дидактические цели урока: изучение нового материала и закрепление ранее изученного.
      Задачи урока: 1) ознакомить детей с десятком как новой счетной единицей (раскрыть его образование из единиц, показать, что десятки можно считать так же, как простые единицы); 2) закреплять навыки сложения и вычитания в пределах 10 и умение решать простые задачи изученных видов;
      3) учить делать обобщения и выводы; 4) учить использовать в жизни приобретенное умение считать десятки.
      Оборудование: палочки (по 2 десятка палочек у детей, несколько десятков палочек у учителя), 3 полоски с приклеенными на них кружками (по десять на каждой).
     
      Ход урока.
      1. Устные упражнения, а) Решение примеров детьми усгно с показом ответов разрезными цифрами: найдите сумму чисел 2 и 8; найдите разность чисел 9 и 6; увеличьте 7 на 2 и уменьшите полученный результат на 4. б) Устное решение задач с показом действия соответствующим знаком, а ответа задачи — цифрой: «Девочка принесла в школу 2 кг макулатуры, а мальчик на 3 кг больше. Сколько килограммов макулатуры принес Мальчик?»; «Девочка принесла в школу 2 кг макулатуры, а мильчмк 5 кг. На сколько килограммов макулатуры больше принес мальчик, чем девочка? На сколько килограммов меньше принесла макулатуры девочка, чем мальчик?» в) Составление задач по выражению: 8—5. г) Счет тетрадей — 20 штук (вызвать несколько учеников продолжать счет).
     
      2. Работа над новым материалом. Объяснение цела урока — будем учиться считать предметы, когда их больше десяти.
      а) Подготовительные упражнения. Отложить 10 кружков, разложить их парами. Сколько пар? (Сосчитать хором.) Разложить пятками. Сколько пятков? (Спросить нескольких учеников.) Сложить все вместе — это 10, или 1 десяток. (Выставить на наборное полотно полоску с 10 наклеенными кружками.) Сколько десятков кружков на наборном полотне?
      б) Образование десятка из единиц. Отсчитать 10 палочек и завязать их в пучок-десяток. Обвести 10 клеток и раскрасить их.
      Работа по учебнику.
      в) Счет десятков. Сколько десятков палочек я показываю? (2.) Это больше, чем 2 палочки? Сколько десятков кружков стоит на наборном полотне? (3.) А отдельных кружков здесь больше, чем 3? Сосчитайте, сколько десятков палочек есть у мальчиков, которые сидят в этом ряду. Что считают десятками?
      г) Сравнение чисел, полученных при счете десятков: где больше десятков кружков: в левой или в правой руке? Где больше десятков палочек: у Вити или у Саши?
      д) Сложение и вычитание десятков. Сложите вместе пучки палочек, которые у вас есть на одной парте. Сколько стало десятков палочек? Сложите вместе пучки-десятки, выставленные на наборном полотне. Решите задачу: «Купили 5 десятков яиц. За неделю съели 2 десятка. Сколько десятков яиц осталось?»
      Вывод: когда предметов много, их можно считать десятками.
      е) Самостоятельная работа. Обвести и раскрасить 2 десятка клеток. При проверке сосчитать, сколько отдельных клеток обведено (вызвать того, кто умеет считать).
     
      3. Работа над ранее изученным материалом.
      а) Решение задачи (с. 74). Дать прочитать задачу детям и рассмотреть рисунок в учебнике. Что значит «тяжелее», «легче»? Как узнать, на сколько одно число больше или меньше другого? Решение задачи записать самостоятельно. Проверка решения: какую гирю поставим на ту чашку весов, где лежит кочан капусты, чтобы стало поровну на обеих чашках весов?
      б) Самостоятельная работа: решение по вариантам примеров из учебника.
      На приведенном уроке решались две основные дидактические цели: знакомство с новым материалом и закрепление ранее изученного. Следовательно, это урок комбинированный. Структура урока такова: закрепление ранее изученного, знакомство с новым материалом, закрепление новых знаний. При проведении урока учитель стремится выполнить намеченный план и добиться усвоения материала всеми детьми. По ходу урока можно внести изменения, если в этом будет необходимость. Например, если все намеченные упражнения выполнены, но материал еще не усвоен детьми, выполняются дополнительно новые упражнения. Этой главной задаче — добиться усвоения материала учащимися — подчиняется вся работа на уроке: контроль за ходом усвоения материала детьми, темп роботы на уроке, число упражнений, смена видов деятельности и др.
      Важно создать на уроке обстановку общей заинтересованности в положительных результатах работы каждого ученика: внимательно выслушивать ответы детей, не перебивая замечаниями, привлекать к поискам наилучшего решения задания нсех учащихся, своевременно давать отдых, меняя виды работы или включая небольшие физкультминутки, и т. д.
      Для начинающих учителей большую трудность представляет распределение внимания (не удается следить одновременно за работой всех детей и своей собственной), а также распределение времени в соответствии с планом (много времени уходит па проверку знаний учащихся, остается мало времени на ознакомление и закрепление нового материала, домашнее задание дается после звонка и т. п.). В связи с различным темпом работы детей не удается организованно переключать их с одного вида работы на другой, недооценивается роль отметки как средства активизации работы детей.
      Большую помощь в овладении методикой проведения уроков оказывает посещение уроков опытных учителей с последующим анализом просмотренного урока, а также анализ собственных уроков. При этом прежде всего учитывается тема урока, его дидактические цели, образовательные, развивающие и воспитательные задачи, структура и тип урока. Рассматривается содержание каждой части урока и методика ее проведения: научность и идейная направленность материала, связь с жизнью и опора на личный опыт детей, доступность материала, дифференциация учебной работы, соответствие методов обучения содержанию и целям работы, направленность методов на активизацию и самостоятельность мыслительной деятельности учащихся.
      Если на уроке давались самостоятельные работы, а также домашнее задание, то анализируется их содержание, объем, нмнрукгнж к выполнению и т. д. Оценивается распределение времени им проведение основных частей урока, отбор упражнений, их образовательная, развивающая и воспитательная ценность. Даются оценки знаний детей, их умений и навыков. Важно обсудить возникшие при анализе (своего или чужого) урока предложения по улучшению построения и методики проведения, чтобы в дальнейшем учесть их в работе.
     
      Другие формы организации учебной работы по математике
      Внеурочные занятия по математике проводятся либо с целью углубления и расширения знаний, полученных на уроках, либо с целью ликвидации пробелов в знаниях, умениях и навыках. В первом случае это осуществляется через различные формы внеклассной работы по математике, во втором случае организуются индивидуальные или групповые учебные занятия по мере надобности с теми детьми, у которых обнаружилось отставание по предмету и они не могут далее продвигаться вперед вместе с классом.
      Пробелы в знаниях, умениях и навыках могут появиться у ученика в результате пропуска уроков по болезни, а также в результате систематического отставания ученика на уроке по причине пониженной работоспособности, недостаточного внимания к его работе со стороны учителя, особенностей нервной системы и др. К внеурочным занятиям учитель тщательно подбирает материал, продумывает методику работы. Особенно ценны упражнения с наглядными пособиями, которыми оперирует сам ученик, а также упражнения в пояснении приемов решения примеров и задач с опорой на рисунки, схемы, чертежи. Наметившиеся сдвиги в знаниях и умениях ученика учитель поддерживает и развивает на уроках, предлагая ученику во время самостоятельных работ специально подобранные упражнения.
      Домашняя самостоятельная работа по математике содействует вооружению учащихся умением самостоятельно овладевать знаниями, дает возможность учителю и родителям быть в курсе успехов школьника, помогает организовать свободное время детей дома, содействует воспитанию у них ценных качеств: трудолюбия, организованности, дисциплинированности, аккуратности и др.
      Домашние задания могут иметь разные цели: закрепление знаний и практических умений (решение примеров, задач), систематизация и обобщение приобретенных знаний и умений (составление примеров на изученный прием вычисления, составление задач и т. п.); подготовка учащихся к работе, которая будет проводиться на предстоящем уроке (наблюдения за жизненными явлениями, сбор числового материала, изготовление наглядных пособий и т. д.).
      Домашние задания могут быть общие, индивидуальные и групповые, когда группа учащихся выполняет какое-то задание, являющееся частью общего классного задания. Например, при сборе числового материала одна группа узнает цены учебных принадлежностей, другая — цены продуктов, третья — цены игрушек и т. д. Групповые домашние задания содействуют воспитанию учащихся в духе коллективизма, формированию у детей чувства ответственности за порученное дело.
      Руководство домашней учебной работой учитель осуществляет через инструктирование учащихся и через проверку выполненной работы. Важно, чтобы ученику была ясна цель домашего задания, тогда он может с увлечением проделать неинтересную, но нужную работу. Ученику необходимо знать, что ему задано на дом и как он будет выполнять это задание. Потому, предлагая задание на дом, нужно обязательно говорить, что надо сделать, и разъяснять, как это делать, переходя от подробной инструкции к более краткой.
      Объем домашних заданий не должен быть слишком большим. Установлены примерные нормы времени на выполнение домашних заданий учащимся по всем предметам (русскомуязыку, чтению, математике и др.) во втором полугодии I класса до I ч; во II классе — до 1,5 ч; в III классе — до 2 ч. В первом классе в первое полугодие домашние задания разрешается дают, только по чтению, в субботу домашние задания в начальных классах давать запрещается.
      «Задавание уроков на дом тогда только целесообразно, если организован учет выполнения заданий, качества выполнения них заданий»,— писала Н. К. Крупская.
      Проверка домашних заданий может осуществляться разными путями. Письменные работы проверяются учителем как дома, так и в классе на уроке. Проверка и письменного, и устного домашнего задания может осуществляться на любом этапе урока. Целесообразно использовать проверку для подготовки к изучению нового материала. Очень часто проверка домашний задания служит проверкой и оценкой знаний изученного материала (соединяется с устным опросом или самостоятельной работой учащихся).
      Для правильной организации домашней учебной работы детям необходимо тесное сотрудничество учителя с семьей ученика, а также с воспитателем группы продленного дня. Надо разъяснить родителям и воспитателям, как оказывать учащимся разумную помощь в выполнении домашних заданий.
     
      Экскурсия проводится с целью накопления непосредственных восприятий и наблюдений учащимися объектов и явлений, снизанных е изучением материала но математике. Проводя икскуреии, предусмотренные программой, в природу и на производство (например, в сад, на ферму, фабрику, строительную площадку и т. п.), учитель организует наблюдения за количественными изменениями, сбор числового материала и т. п.
      Экскурсия может явиться началом работы по теме программы. Цель ее — вызвать у учащихся интерес к изучению темы, содействовать накоплению материала, необходимого для последующей работы по теме. Примером такой экскурсии является чвскурсня на шоссе или городскую улицу, во время которой ученики знакомятся с различными видами движения (III класс) перед решением задач на движение.
      Экскурсия может быть организована в процессе работы над темой. Ее назначение — содействовать частичной проверке уже полученных знаний и умений, а также дополнить материал, необходимый для дальнейшей работы по теме. Примером может служить экскурсия в магазин при изучении связей между величинами: цена — количество — стоимость, масса одного предмета— количество — общая масса и др. (2 класс). На экскурсии в магазине дети наблюдают процесс купли-продажи, прослеживают некоторые зависимости (больше купили — больше заплатили и т. п.), узнают цены товаров, правила пользования весами и т. д. Все это используется при составлении задач на последующих уроках.
      Экскурсия может подвести итог работы по теме или нескольким темам. Цель такой экскурсии — закрепить и расширить знания учащихся, обобщить материал, полученный на уроке или ряде уроков. Пример экскурсии такого рода — измерительные работы на местности после изучения темы «Площадь геометрических фигур».
      Для того чтобы экскурсия достигла успехов, она должна быть тщательно подготовлена и методически правильно проведена.
     
      § 6. Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся по математике
     
      Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся — неотъемлемая составная часть учебного процесса в начальных классах.
      На уроках математики, так же как и на других уроках, проверка выступает в основном в трех видах в зависимости от того, на каком этапе учебного процесса она используется.
      Предварительная проверка имеет место в начале учебного года или перед началом изучения новой темы. Ее задача — выяснить, готовы ли учащиеся к изучению нового материала.
      Текущая проверка организуется по ходу учебного процесса. Она дает возможность учителю проверить, как идет усвоение нового материала: все ли учащиеся включились в работу, какие затруднения они встречают. При этом учитель проверяет и себя: насколько он успешно работает, насколько правильны и эффективны методические приемы, которые он использует при обучении математике. В соответствии с результатами текущей проверки учитель может внести в учебный процесс необходимые изменения и исправления.
      Итоговая проверка проводится или в конце изучения темы, раздела, или в конце четверти, учебного года. Ее задача — выявить результаты обучения, проверить качество приобретенных учащимися знаний, умений, навыков.
      Основными методами проверки усвоения учащимися программного материала являются устный опрос и письменные работы учащихся.
      6/Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся по математике
      Устный опрос. При проведении устного опроса учитель прсмится проверить, насколько учащиеся овладели учебным материалом, и, кроме того, вовлечь по возможности всех учащихся в активную работу.
      Для решения этих задач большое значение имеет характер шдапий и вопросов учителя. Следует чаще предлагать вопросы, требующие объяснения: объясни, как ты решил эту задачу, это уравнение и т. п. Полезно включать задания на сравнение: сравни решение примеров: 92—50 и 90—52; сравни решение этих тадач, сравни эти четырехугольники и т. д. Сознательно ли усвоен материал — помогают выявить нетрафаретные задания, особенно задания, требующие применения знаний к решению жизненных задач (подсчитать затраты на покупку учебных принадлежностей к началу учебного года, сравнить площадь пола и классе и в коридоре и т. п.).
      Устный опрос позволяет обстоятельно выяснить знания учащихся, однако он требует много времени, что ограничивает возможность проверить большое количество учащихся. Кроме того, н устном опросе вопросы учителя и ответы учащихся нигде не фиксируются. Это лишает учителя возможности сравнивать отпеты разных учащихся на один и тот же вопрос, ответы одного и того же ученика, данные им в разное время учебного года.
      Эти недостатки устного опроса в значительной степени устраняются при проверке усвоения материала путем письменных работ. Самостоятельные письменные работы проводятся г целью текущей и итоговой проверки знаний, умений, навыков. При текущей проверке самостоятельные работы невелики но объему, содержат задания в основном по той теме, которая изучается в это время. Проверка в этом случае тесно связана г процессом обучения на уроке, подчинена ему. Поэтому самомнительная работа может быть проведена по частям, которые включаются по ходу урока 2—3 раза (по 3—10 мин). Например, н I классе на уроке по закреплению приема прибавления и вы-чнгания числа 3 можно сначала включить для самостоятельной роботы 4—6 примеров на эти и ранее рассмотренные случаи сложения и вычитания, а затем после коллективного решения Яйдичп предложить самостоятельно решить аналогичную задачу или задачу ранее рассмотренного вида, при решении которой нужно прибавлять или вычитать число 3.
      При итоговой проверке самостоятельная письменная работа Включает обычно больше заданий и на ее выполнение отводят н I классе 20—25 мин, а во II—III классах — 30—40 мин. При чгом стремятся проверить знания, умения, навыки по всем основным разделам, изученным за определенное время (за месяц, или учебную четверть). В этом случае контрольная работа может содержать различные задания: решение примеров в одно или несколько действий, решение задач, уравнений, неравенств, задании, снизанные с измерением и построением геометрических фигур и др. Для каждой такой работы надо отбирать задания так, чтобы они были четкими и доступными для всех учащихся, чтобы количество заданий позволяло их выполнить без спешки в отведенное время. Если же требуется проверить усвоение большого материала (например, за полугодие или за год) и количество заданий велико, то контрольную работу рекомендуется проводить в два приема: часть заданий дать в один день, а другую часть на следующий день. В противном случае, если проводить такую работу на одном уроке или даже на двух уроках в один день, трудно судить о качестве знаний, умений и навыков учащихся, так как дети допустят ошибки по причине сильного утомления.
      Итоговые контрольные работы могут проводиться по отдельным темам, когда ставится задача проверить знания, умения и навыки по какому-то одному разделу программы. В этом случае включают также различные задания, но по однородному материалу. Например, итоговая контрольная работа по умножению многозначных чисел должна выявить усвоение детьми различных случаев умножения (умножение многозначного на однозначное, на двузначное, на трехзначное число, умножение чисел, в записи которых в середине и на конце имеются нули, умножение величины на натуральное число). Задания могут быть такими:
      (...)
      Содержание и форма заданий контрольной работы определяются особенностями проверяемого материала. Если, например, проверяются навыки устных вычислений, то включают 10—12 примеров и проводят проверочную работу в виде математического диктанта: учитель диктует задания, дети записывают только ответ. Если проверяются измерительные навыки учащихся, то каждый учащийся получает карточку с соответствующими чертежами или модели геометрических фигур, используя которые он производит необходимые измерения и вычисления.
      Каждая письменная самостоятельная работа проверяется учителем. Учителю необходимо при этом учесть ошибки, допускаемые каждым учеником в каждой работе.
      На практике оправдало себя ведение учителем специальной учетной тетради. Она может быть оформлена наподобие классного журнала: к первой странице приклеивается слева список учащихся класса, чтобы его не переписывать на каждой странице, а на странице справа записывается дата работы, задания н ошибки, допущенные каждым учеником. Так, в I классе на уроке по закреплению знаний приема прибавления и вычитания числа 3 были, например, включены для самостоятельной работы следующие задания:
      1) Решите примеры: 5+3, 7—2, 8+2, 10—3.
      2) Решите задачу: «На лугу гуляли 6 серых гусей, а белых нн 3 меньше, чем серых. Сколько белых гусей гуляло на лугу?»
      Одновременно с проверкой детских работ учитель так оформляет страницу тетради: (...)
      Такая фиксация ошибок дает возможность учителю сразу , увидеть, какие вопросы усвоены всеми учащимися, какие требуют доработки, какие ошибки являются типичными, а какие допускаются отдельными учениками, кому из детей необходимо оказать помощь и какую именно, помогает проследить продвижение каждого ученика.
      Учет основных пробелов в знаниях и умениях учащихся дает возможность учителю проводить специальную работу над типичными ошибками со всем классом, а также наладить индивидуальную работу с. детьми по исправлению ошибок, что будет способствовать предупреждению неуспеваемости.
      Проверка знаний, умений и навыков всегда сопровождается оценкой, которая может быть выражена в форме эмоционального отношения к работе ученика (слово, жест, мимика), в форме оценочного суждения (качественная характеристика ответа ученика), в форме отметки (по пятибалльной системе).
      Оценка достигает наибольшего эффекта тогда, когда она совпадает с самооценкой, которую дает себе ученик. Задача учителя — содействовать формированию объективной самооценки учащихся. В этих целях очень важно систематически оценивать работу учащихся, характеризовать достижения и недочеты учащихся, что поможет им разобраться в своих успехах и недостатках, будет стимулировать ученика к лучшей работе. Формированию объективной самооценки учащихся содействует также привлечение их к анализу ответов и работ своих товарищей. Так, учителя начиная с I класса предлагают учащимся внимательно слушать товарища и делать замечания по его ответу или предлагают детям поменяться тетрадями, посмотреть работы друг у друга и дать отзывы (в устной форме) о выполненной работе, указав ее достоинства и недостатки.
      Документом, обязательным для руководства в работе каждого учителя, являются «Нормы оценок», систематически публикуемые в нормативных документах и в журнале «Начальная школа».
      При выставлении отметок на уроках математики за устные ответы учитель соблюдает те же требования, что и на других уроках, а именно: объективность отметок, дифференцированный характер их, сопровождение цифровой отметки оценочным суждением.
      Отметка может ставиться не за отдельный вид работы, а за ряд работ, выполненных на протяжении всего урока (устные вычисления, формулировка правила, самостоятельная работа на уроке, объяснение решений примера или задачи и др.). В этом случае отметка объявляется учителем в конце урока: такой прием проверки и оценки знаний, умений, и навыков получил название поурочного балла. Для проверки знаний с помощью поурочного балла рекомендуется намечать на урок не более 2— 3 учеников, иначе учителю трудно осуществить проверку и дать объективную оценку их знаний. Поурочный балл позволяет учителю всесторонне проверить знания, умения и навыки учащихся, активизирует работу детей в течение всего урока, но поурочный балл не исключает другие виды проверки и оценки знаний и должен применяться в сочетании с ними.
      На основании текущих отметок с учетом фактических знаний, умений и навыков учащихся к концу четверти или учебного года учитель выставляет четвертную (годовую) отметку по математике. При этом следует учитывать различные виды работ ученика: итоговые контрольные работы, самостоятельные работы, проверочные работы по устным вычислениям и др.
      В I классе знания учащихся за I четверть не оцениваются цифровой отметкой. Впервые это делается в конце первого полугодия, т. е. в конце второй четверти, когда можно уже судить о качестве знаний, умений, навыков, приобретенных при обучении в школе.
     
      § 7. Особенности организации обучения математике в малокомплектной школе
     
      В малокомплектной школе учитель ведет занятия одновременно с двумя или тремя классами. В течение урока работа с учителем и самостоятельная работа детей чередуются несколько раз: в то время, когда учащиеся одного класса работают под непосредственным руководством учителя, учащиеся других классом работают самостоятельно.
      Большое значение для эффективной работы с несколькими классами имеет правильно составленное расписание учебных занятий. Как показывает опыт работы, лучше составлять расписание так, чтобы одновременно во всех классах шли уроки математики. Это не исключает и других сочетаний (например, математика и чтение, математика и природоведение), по сочетание уроков математики во всех классах наиболее продуктивно. В этом случае учителю легче переключать свое внимание при переходе от одного класса к другому, однородный материал меньше отвлекает детей во время их самостоятельной работы. Кроме того, создаются условия для организации о б -шей работы детей всех классов. Например, при проведении устных упражнений можно предложить записанные на доске числа увеличить на несколько единиц (I класс), увеличить в несколько раз (II класс), умножить на 10, 100, 1000 (III класс). При проведении измерений общим может быть задание измерить длину и ширину прямоугольника, имеющегося у каждого ученика (рис. 8), после чего учащиеся I класса составят и решит задачу на разностное сравнение (на сколько сантиметров длина прямоугольника больше его ширины), учащиеся II класса найдут сумму длин сторон его, а учащиеся III класса — площадь прямоугольника. Используя один и тот же чертеж (рис. 9) на доске, можно дать посильные задания каждому классу: первоклассникам - сосчитать треугольники внутри четырехугольника и показать их; второклассникам — обозначить вершины фигyp буквами н выписать треугольники; третьеклассникам — продолжить стороны данного четырехугольника так, чтобы получился треугольник (два решения). Иногда можно проводить во всех классах однотемные уроки: решение задач, практические работы по измерению, по взвешиванию, экскурсии в природу и на производство. Такая работа возможна только в том случае, когда по расписанию уроки математики идут одновременно во всех классах.
      Большое значение для эффективности обучения математике имеет планирование работы. Очень поможет учителю в повседневной работе подробное тематическое планирование (на четверть или полугодие), которое составляется не в отдельности для каждого класса, а для всех классов с указанием темы каждого урока, материала для повторения и для подготовки к изучению следующих тем, содержания проверочных и контрольных работ. При этом рекомендуется составлять план так, чтобы изучение нового в одном классе сочеталось с закреплением пройденного в других классах. Учитель намечает, сколько времени на какой материал и на каком этапе урока будет отведено для непосредственных занятий с учениками каждого класса. Устанавливает для каждого класса содержание и характер заданий самостоятельной работы и форму ее проверки. Планирует порядок чередования самостоятельной работы и занятий с учителем на весь урок так, чтобы все классы были, в поле зрения учителя. Чтобы целесообразно распределить время, надо учитывать уровень подготовки детей и их умение самостоятельно работать, степень трудности изучаемого материала, а также дидактическую цель урока в каждом классе (где изучается новый материал, где закрепляется изученное, где проверяются и учитываются знания).
      Больше времени учитель отводит на работу с тем классом, в котором изучается новый материал, постоянной помощи требует младший класс, где навыки самостоятельной работы слабее. Но во всех случаях работа должна быть спланирована так, чтобы все классы в течение урока поработали с учителем, поэтому переходы учителя из одного класса в другой должны быть намечены четко.
      Работа с учителем проводится при объяснении нового материала, первичном его закреплении, обобщении изученных знаний (по теме, разделу), когда проверяют и учитывают знания учащихся, когда дается инструктаж к выполнению самостоятельной работы. Самостоятельная работа предлагается при проверке домашнего задания, при подготовке к изучению нового материала, при изучении несложного нового материала, при закреплении ранее изученного и нового материала.
      Уроки математики, как и другие уроки, расчленяются на несколько организационных этапов, каждый из которых должен быть логически завершенной частью. Особенно важно правильно организовать начало урока так, чтобы все классы сразу включились в продуктивную работу. Приведем один из вариантов организации урока в I—III классах
      (...)
      Занятия с учителем должны отличаться особой четкостью, продуманностью всех деталей, целенаправленностью, так как от этого зависит результат работы не только на данном, но и на следующем этапе — при самостоятельном выполнении заданий. Хорошее знание материала, точные вопросы к учащимся, тщательный отбор упражнений и наглядных пособий, заблаговременное оформление необходимых записей на доске, наборном полотне, плакатах и т. п.— все это помогает учителю проводить занятия при активной работе детей.
      Часть времени занятий под руководством учителя необходимо выделять на обучение детей приемам самостоятельной работы, на формирование у них общих методов работы над математическим материалом. Работая самостоятельно значительную часть всех уроков, ученик должен постепенно овладеть такими общими приемами самостоятельной работы, как ясное представление цели работы, выполнение ее, проверка и исправление ошибок.
      Чтобы сформировать у детей общие приемы работы над математическим материалом, учитель во время занятий с классом намечает вместе с детьми последовательность операций, которая поможет самостоятельно решать аналогичные примеры, уравнения, неравенства, задачи. Эти «опорные пункты» либо записываются на доске (иногда кратко, условно), либо называются устно. Например, обобщая наблюдения учащихся III класса, которые ознакомились по учебнику с умножением величин на натуральные числа, учитель не только предлагает им объяснить решение двух-трех примеров, но и подводит детей к формулировке операций, выполняемых при этом: выразить величину в мелких мерах, умножить, выразить результат в крупных мерах; для этого на доске делается запись, которой дети пользуются при выполнении самостоятельной работы.
      Для лучшего усвоения разработанной последовательности операций можно каждому ученику дать готовую карточку с заданиями, например: «Как решать задачу», «Как решать пример на деление многозначного числа» и т. д. Задания могут быть оформлены в виде настенной таблицы. Чтобы дети успели вовремя закончить самостоятельную работу и чтобы хватило заданий на то время, пока учитель работает с другим классом, предусматривается, кроме основной части, дополнительная: основная часть обязательна для выполнения всеми учащимися, дополнительная выполняется только теми учениками, которые быстро справляются с основной частью.
      Предлагая задания для самостоятельной работы, необходимо дать краткие, четкие указания не только по ее содержанию, но и по оформлению. Устные пояснения лучше всего подкрепить образцом записи на доске решения одного примера (задачи,
      уравнения, неравенства и т. д.). Чтобы проверить, правильно ли дети поняли задание, можно предложить одному-двум ученикам рассказать, как они будут выполнять задание, или выполнить ученику одно задание для образца на доске. В том случае, когда задание предлагается устно, надо записать его на доске хо-iti бы условно, кратко, указать номер задания и страницы из учебника; при составлении примеров с одинаковым ответом этот и гнет обозначить разрезной цифрой или сделать условную ааипсь вида:... и т. п.
      Для самостоятельной работы наряду с учебником следует систематически использовать тетради на печатной основе.
      Задания для самостоятельной работы иногда даются каждому учащемуся индивидуально. В этом случае можно дифференцировать задания с учетом возможностей каждого ученика, чем обеспечивается более высокая степень самостоятельной работы. Задания оформляются на небольших карточках. Есть готовые карточки, которые выпущены большими тиражами (авторы Н. С. Попова, Г. Б. Поляк, М. И. Моро, И. Д. Павлов, Н. Ф. Вапняр и др.). Аналогичные карточки составляет учитель или может привлекать к изготовлению карточек учащихся, причем выполняется эта работа попутно, когда ученики по заданию учителя на уроке самостоятельно составляют примеры, делают краткие записи к задачам, записывают решение задачи, заполняют таблицу, магический квадрат и т п. и всю работу оформляют на листочке. На следующих уроках эти карточки используются с обратными заданиями: решить данные примеры, составить задачу по краткой записи и решить ее; проверить, правильно ли заполнена таблица, является ли данный квадрат магическим и т. д.
      Надо стремиться к тому, чтобы работа, выполненная на уроке детьми самостоятельно, была бы в какой-либо форме проверена в классе; учитель должен выделить время хотя бы на просмотр выполнения и высказать свою оценку, отметить лучшие работы, помочь найти ошибку. В малокомплектной школе особенно большое значение приобретает обучение детей различным приемам самоконтроля. С этой целью, предлагая задания для самостоятельной работы, следует постоянно выяснять, как проверить правильность выполнения заданий, и чаще предлагать выполнять задания с проверкой.
      Несмотря на определенные трудности работы учителя в мнлокомплектной школе (отсутствие постоянного общения с коллективом учителей, сложность подготовки и проведения уроков) имеется ряд положительных моментов в этой работе. Многие учителя малокомплектных школ работают без второгодников и дают своим ученикам глубокие и прочные знания по математике, навыки самостоятельной работы. Учителя малокомплектных школ имеют богатый опыт организации внеклассной работы, в частности внеклассной работы по математике.