Методика обучения алгебре

DjVu

      Печатается по решению Ученого совета Института общего и политехнического образования Академии педагогических наук РСФСР
      Настоящее руководство, посвященное изложению методики обучения алгебре в VI классе восьмилетней школы, имеет следующую структуру: во Введении систематизированы те общие сведения дидактического порядка, которые служат для обоснования методики обучения математике, и в частности алгебре; учитель использует их в процессе своей работы по осушест влению предлагаемой методики; материал книги делится на главы и параграфы; каждый из них состоит из двух частей: первая содержит учебный материал, соответствующий вопросу программы, примерно в том изложении, которое авгор считает наиболее целесообразным предложить учащимся, а вторая — указания к этому материалу, в основном методические, а также те, которые нужны для освещения или углубления вопроса.
      Дидактические соображения, высказанные во Введении в виде обобщающей системы, нашли отражение в руководстве в связи с изложением методики преподавания каждого вопроса программы; но нет сомнений в том, что учитель сам успешно конкретизирует эти соображения на основании своего опыта и творческого размышления над выбором наилучших путей усовершенствования процесса обучения.
     
      ВВЕДЕНИЕ
      ПОСТАНОВКА ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ
      1. Общая характеристика программы. Главным требованием, которое должно быть предъявлено к программам учебных предметов восьмилетней школы, является сообщение этим программам внутренней завершенности и сосредоточение в них всех элементов данного учебного предмета, освещающих его основные понятия и идеи. Выполнение этого требования должно осуществить познавательные цели обучения и заложить фундамент для достижения надлежащего развития учащихся — общего и специального (в области данного учебного предмета).
      Ныне введенная в действие программа курса алгебры для VI — VIII классов находится в соответствии с этим главным требованием. Включенные в курс алгебры восьмилетней школы понятия и идеи составляют ту ее теоретическую основу, без овладения которой невозможно достигнуть достаточно прочного, сознательного и целостного усвоения предмета, повысить уровень развития учащихся и обеспечить их подготовку к продолжению своего образования в области алгебры и вообще математики. Вместе с тем эта забота об идейности и содержательности программы все время сочетается в ней со стремлением всемерно удовлетворить требованиям доступности учебного материала и создать условия для активного усвоения его учащимися и для развития их способности к самостоятельному решению и исследованию теоретических и практических вопросов.
      2. Задачи, которые должны быть решены в процессе обучения алгебре.
      1) Сообщение сведений по алгебре в объеме, установленном программой.
      При этом необходимо: раскрыть все основные понятия и идеи алгебры и сообщить все ее теоретические и практические положения, соблюдая научность и вместе с тем полную доступность изложения; установить связь алгебры с арифметикой; отвести надлежащее место геометрическим представлениям; использовать алгебру для решения и исследования вопросов количественного характера в области смежных дисциплин и практики; выявить средства алгебры для установления и изучения закономерностей явлений и процессов.
      2) Развитие умений и навыков, связанных с изучением алгебры.
      В связи с общими целями, указанными в пункте 1, практические занятия по алгебре (выполнение упражнений по решению примеров и задач, использование таблиц и графиков) приобретают при обучении алгебре столь же большое значение, как и усвоение теоретических сведений, и в очень многих случаях составляют с ним органическое целое. Эти занятия должны служить не только для закрепления приобретенных теоретических сведений, но и для того, чтобы обеспечить вполне сознательное и углубленное усвоение понятий, идей и фактов и развить способность учащихся к самостоятельному нахождению путей решения вопросов.
      3) Содействие овладению учащимися средствами алгебры, служащими для ее приложения к решению практических вопросов.
      Этими средствами в восъмнлетней школе служат: аналитическое и графическое решение уравнений; использование (нередко во взаимном сочетании) таблиц, графиков и логарифмической линейки, а также некоторых несложных номограмм. Уже в пределах восьмилетней школы учащийся (в качестве „начинающего исследователя") может применять метод комплексного использования алгебры, геометрии и тригонометрии, предоставляющий возможность выбрать наиболее экономные и рациональные средства для решения вопроса.
      4) Развитие у учащихся способности к самостоятельному решению теоретических и практических вопросов.
      Эта задача приобретает первостепенную важность в особенности благодаря содержащемуся в „Законе об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР" указанию о необходимости готовить в школе людей, обладающих не только знаниями, но и умением творчески прилагать эти знания в своей практической деятельности. Осуществлению этой задачи должно быть уделено школой исключительное внимание.
      5) Развитие воспитывающих элементов изучения алгебры.
      Алгебра является орудием изучения всей математики и ее применений, и овладение ею поднимает каждого учащегося в его собственных глазах, делает его более сильным при изучении и раскрытии закономерностей природы, пробуждает в нем интерес к науке. Вместе с тем изучение алгебры окажет самое благоприятное воздействие на развитие у учащегося стремления к точному, рациональному и обоснованному выполнению всех видов заданий.
      6) Сообщение всему процессу обучения алгебре в восьмилетней школе такой направленности, которая в достаточной мере обеспечивала бы успешность дальнейшего изучения математики.
      Курс математики восьмилетней школы представляет собой определенный фундамент, на котором будет построен курс математики, изучаемый в IX — XI классах. Это налагает на учителя математики восьмилетней школы следующие обязанности: сообщать основным понятиям и идеям алгебры ту форму и то содержание, которые в старших классах подвергались бы только дальнейшему развитию; использовать всякую возможность для создания преемственности знаний и рассматривать некоторые сведения, содержащиеся в курсе алгебры восьмилетней школы, как некоторый комплекс этих сведений, подлежащий расширению и углублению в старших классах,- стремиться к цельности и гармоничности курса алгебры (и вообще математики) в школе от VI до XI класса включительно.
     
      ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ, КОТОРЫЕ ДОЛЖНЫ БЫТЬ ПРЕДЪЯВЛЕНЫ К МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ
      Совершенно естественно исходить из того положения, что методика обучения алгебре в этой школе должна определяться, так же как и всякая методика преподавания, общими дидактическими принципами, но осуществляемыми с учетом того своеобразия, которое имеет область их приложения. Рассмотрим, какое содержание и какую форму приобретают эти принципы в применении к преподаванию курса алгебры в VI классе.
      1. Активизация процесса обучения и познавательной деятельности учащихся. Для осуществления этого принципа в распоряжении учителя имеется ряд средств, из которых наиболее действенны следующие.
      1,7. Постановка вопроса, составляющего содержание главы или темы.
      Изложение каждого раздела и по возможности темы курса алгебры должно начинаться с постановки вопроса.
      Постановка вопроса служит кратким введением, вступлением в главу или тему, устанавливает связь с предыдущим материалом, выясняет основную цель темы, задачу, которую предстоит решить. Это введение открывает перед классом перспективу, пробуждает интерес к решению вопроса, вовлекает учащихся в общую работу по нахождению путей этого решения.
      Постановку вопроса можно осуществить в двух видах, между которыми нельзя, впрочем, провести резкой границы.
      Первый вид может быть охарактеризован тем, что при его использовании учитель довольно скоро приводит учащихся в соприкосновение с новым понятием или небольшим кругом новых понятий, не предпосылая беседе более общих соображений.
      Второй вид постановки вопроса состоит в таком предварительном раскрытии сущности вопроса, которое, освещая его сперва с некоторых общих позиций, только вводило бы учащихся в круг новых понятий и идей, составляющих содержание нового материала,
      и служило бы подготовкой для наиболее естественного восприятия этого материала. Приведем некоторые примеры, иллюстрирующие эти общие соображения в применении к обучению алгебре в VI классе.
      Пример 1. Введя определение понятий о сумме и произведении рациональных чисел, задают учащимся вопрос о том, имеют ли числа, составленные по установленным правилам сложения и умножения, достаточное право называться суммой н произведением. Приводят учащихся к мысли, что, для того чтобы эти числа приобрели указанное право, необходимо, чтобы сложение и умножение рациональных чисел подчинялись основным законам арифметических действий. После этого учащиеся сообщают формулировки, делают записи этих законов и под руководством учителя приступают к доказательству закона переместительности и проверке законов сочетательности и распределительности сложения и умножения в области рациональных чисел.
      Пример 2. Для установления правила о возведении одночлена в степень учитель может поставить вопрос о том, что представляет собой одночлен, и, получив ответ: „произведение степеней1*, свести задачу о возведении в степень одночлена к задачам о возведении в степень произведения и степени, которые учащиеся и решают под руководством учителя. Однако он тщательно следит за полным и точным использованием законов арифметических действий, необходимым для вывода соответствующих правил.
      Пример 3. Теме „Формулы умножения" предпосылают сообщение о том, что имеется ряд случаев, в которых общее правило составления произведения может быть заменено более кратким, позволяющим написать результат, как говорят учащиеся, „сразу", опуская часть промежуточных вычислений. Это имеет место, если требуется выполнить преобразование следующих выражений:
      После того как учащиеся найдут результаты, учителю придется поработать лишь над составлением точных формулировок этих результатов и приступить к упражнениям.
      Пример 4. Идею фундаментальнейшего понятия алгебры — уравнения следует правильно раскрыть уже в VI классе, рассматривая уравнение как равенство, выражающее вопрос о том, при каком значении неизвестной х два выражения, содержащие эту неизвестную, имеют равные числовые значения. Для этого сначала вводят уравнение как задание, аналогичное тому, которое предлагают на самой начальной стадии обучения грамоте, когда требуют, чтобы учащийся, заменив в написанном с помощью букв i черточек слове все черточки недостающими буквами, получил верно написанное слово (х-лодная в-да). В довольно близкой аналогии с этим заданием будет находиться задание: в равенстве 5х — 1 = 2х + 5 вставить вместо буквы х такое число, которое обратило бы обе его части в равные числа. На первом уроке можно предлагать это задание и в виде 5? — 1 =2?+ 5 или в виде 5jc — 12, 2х + 5. Исходя из этого вступления, приходят к приведенному выше определению понятия об уравнении.
      К необходимости решать таким образом понимаемые уравнения вполне естественно приходят в результате решения нескольких задач с помощью составления уравнений, выражающих содержание их условий.
      Пример 5. Понятие о возведении числа в степень с натуральным показателем учитель устанавливает с помощью краткой беседы, имеющей целью сообщить учащимся, что подобно тому, как сложение равных слагаемых стало рассматриваться как новое действие и получило название умножения, точно так же и умножение равных сомножителей принято рассматривать как новое действие; этому действию дано название „возведение в степень*.
      После этого учащиеся самостоятельно (в чем и состоит активизация их мышления на уроке и дома) должны будут выполнить достаточно большое число упражнений, причем, конечно, на первых порах будут часто ошибаться, находя не степень, а произведение основания на показатель. Как известно, эта ошибка неоднократно будет встречаться и в их последующих работах. Немалую помощь для искоренения этой ошибки окажут учащимся упражнения в устных вычислениях, нередко практикуемые на уроке. Если разница
      между числами 23 и 2-3, З2 и 3-2 не столь уже велика, то можно поразить воображение учащихся, сравнив числа 105 и 10-5 и подобные им пары чисел.
      Пример 6. Очень содержательна тема „Квадраты и кубы чисел", которая дает учителю возможность поставить перед учащимися ряд заданий по исследованию таблиц квадратов и кубов чисел: 1) нахождение закона, по которому изм-еняются приращения квадратов и кубов чисел при равномерном возрастании оснований; 2) нахождение промежуточных значений с помощью решения пропорций (интерполяция); 3) построение графиков степеней х и х3.
      С помощью этих графиков могут быть решены более глубокие вопросы: 4) будут ли квадрат и куб правильной (неправильной) дроби правильной (неправильной) дробью или нет; 5) какое число больше: х2 или х3. Тут есть над чем подумать учащимся, а усвоение найденных результатов окажется весьма полезным в дальнейшем. Кроме того, учащихся впервые осенит мысль о том, что графики — не просто картинки, а „говорящие картинки", без изучения которых факты не столь ясны, не столь наглядны. В подтверждение этого следует предложить учащимся найти ответы на вопросы 4 и 5, не опираясь на чертеж, т. е. обосновать свои выводы теоретически.
      Пример 7. Изучение графиков степеней х2 и х3 облегчит переход к графикам зависимостей (температуры, равномерного движения и др.), по поводу которых могут быть поставлены вопросы, аналогичные указанным в примере 6. Вслед за этим учащиеся примут весьма активное участие: 1) в построении графиков наиболее характерных величин, встречающихся в природе (давления атмосферы, температуры воды в океане на различных глубинах, температуры воздуха на различных высотах и т. п.); 2) в графическом решении задач на движение; 3) в геометрическом истолковании решения уравнений первой степени.
      Пример 8. Введению понятий о положительных и отрицательных числах должна быть предпослана беседа, в процессе которой выяснится, что для записи значений направленных величин арифметические (целые и дробные) числа непригодны; ввиду этого возникает необходимость в расширении запаса чисел, что и выполняется учителем одним из возможных способов.
      Пример 9. Большие затруднения встретит учитель при ознакомлении учащихся с действиями над атгебраи-ческими выражениями (целыми и дробными), если он не начнет с правильной постановки этого вопроса. Учитель должен указать, что по аналогии с тем, как в арифметике действие над двумя числами состоит в нахождении по двум данным числам третьего числа, так и в алгебре действие над двумя алгебраическими выражениями состоит: 1) в нахождении по двум данным алгебраическим выражениям третьего алгебраического выражения, числовое значение которого было бы равно соответственно сумме, разности, произведению, частному числовых значений данных выражений;
      2) в замене, если это возможно, найденного результата действия более простым, но тождественно равным ему алгебраическим выражением.
      1,2. Эвристическая форма обучения.
      Эвристическая форма обучения состоит в том, что учитель в целях установления новых понятий и фактов последовательно предлагает учащимся систему целесообразно составленных и расположенных вопросов, на которые они по мере сил дают ответы, раскрывающие сущность понятий и фактов. Эффективность применения эвристической формы обучения зависит от того, в какой мере правильно составлена система предлагаемых вопросов и насколько умело учитель направляет весь ход урока.
      В эвристической форме может быть проведен урок почти по каждому из вопросов программы.
      Простое сообщение учебного материала в VI классе может иметь место только в тех редких случаях, когда на активное участие учащихся в раскрытии понятия и в „открытии" фактов и правил рассчитывать невозможно или очень трудно. Значительная же часть теоретического материала, входящего в курс алгебры VI класса, при умелом руководстве может быть освоена учащимися самостоятельно, а в сочетании с ее приложением иа практике будет содействовать их математическому развитию и доставит им удовлетворение и даже радость творчества.
      2. Осуществление принципа доступности. Для достижения доступности излагаемого материала учитель все время обращается к тем приемам, которые
      1) обеспечивают плавность перехода от одних понятий к другим, первоначальное ознакомление с которыми уже состоялось; 2) позволяют использовать достаточно прозрачную аналогию; 3) сопровождаются привлечением наглядности (главным образом геометрических представлений); 4) органически связаны с поясняющими теорию упражнениями.
      Пример 1. Составление общих формул решения текстовых задач, формулировка законов арифметических действий, правила о порядке выполнения действий и употреблении скобок — эти вопросы представляют собой материал, с которым учащиеся уже были ознакомлены в арифметике, и потому при введении его на первых уроках алгебры он будет встречен как знакомый и легко воспринят.
      Пример 2. Изучению понятия об алгебраическом выражении в необходимой мере содействует составление таблиц числовых значений этого выражения, благодаря чему создается представление о нем как о функции. Работа по составлению этих таблиц, активизируя процесс обучения алгебре, в очень доступной форме приближает учащегося к овладению понятием об алгебраическом выражении, которое он начинает осознавать не как простую совокупность букв и чисел, а как запись множества чисел, составленных из данных чисел по одному и тому же закону.
      Пример 3. Весьма трудный для начинающего изучать алгебру раздел о положительных и отрицательных числах можно сделать доступным, если ввести эти числа как значения направленных величин и все учение о них основать именно на таком их понимании. Особенно благоприятные результаты могут быть достигнуты в том случае, если в качестве направленной величины, значениями которой служат положительные и отрицательные числа, выбрать перемещение точки или тела по прямой, превращенной в ось; этот вид движения давно знаком учащимся из повседневной жизни и из арифметики.
      Пример 4. Основное, но также трудное понятие алгебры об абсолютном значении числа а становится вполне доступным учащимся при условии, если его определять как расстояние точки А, изображающей число а, от начальной точки оси О.
      Пример 5. При установлении понятия о неравенстве рациональных чисел целесообразнее всего распространить тот смысл этого понятия, который оно имеет в области натуральных чисел, на рациональные числа; для этого надо либо ограничиться чисто геометрическим истолкованием терминов „больше" и „меньше" (правее, левее на оси), либо также установить, что а>й, если а = b + с, где с — положительное число (в случае натуральных чисел а, Ь, с нет необходимости добавлять, что с — положительное число).
      Пример 6. Усвоение смысла действий над алгебраическими выражениями и сознательное применение этих действий будут достигнуты, если они будут истолковываться как тождественные преобразования, т. е. как преобразования, изменяющие вид алгебраического выражения, но не изменяющие числового значения, получаемого им при данной системе значений входящих в него букв.
      При этом условии учащимся станут вполне ясными не только смысл действий над алгебраическими выражениями, но и причина, по которой для вывода правил действий над алгебраическими выражениями применяются законы арифметических действий.
      Пример 7. Решение уравнений посредством использования зависимостей между данными действий и их результатами полностью основано на твердом знании зависимостей, установленных в курсе арифметики, и, конечно, будет доступным учащимся в той мере, в которой они научены применять эти зависимости. Особенно успешно пройдет работа по решению уравнений, если учащиеся выполнили достаточное число подготовительных упражнений („примеров с иксом") при изучении курса арифметики.
      3. Осуществление принципа наглядности. Весьма большое значение в деле построения правильной методики преподавания алгебры в восьмилетней школе, и в частности в VI классе, имеет осуществление принципа наглядности. Понимая термин „наглядность" в его буквальном смысле, учитель широко привлекает в качестве средства обучения алгебре использование учащимися геометрических представлений, отводя им здесь то же место, которое в геометрии занимают модели. Приучецные уже в арифметике изображать числа с помощью диаграмм, учащиеся считают вполне понятным способ изображения чисел с помощью вертикальных отрезков, и учителю остается сделать лишь один шаг, чтобы внедрить мысль о графике как о линии, изображающей ход изменения некоторой переменной величины. Едва ли следует откладывать первое ознакомление с этой основной идеей до VII класса: уже в VI классе она становится вполне доступной учащимся, а об ее познавательном и методическом значении говорить, конечно, излишне.
      Пример 1. Уже после составления таблицы числовых значений алгебраического выражения, содержащего одну букву, которую рассматривают как переменную, эти числовые значения могут быть изображены вертикальными отрезками, а закономерность изменения выражения — ломаной или плавной кривой линией. Открывается непосредственная возможность установить связь с географией, физикой и, должно быть, с операциями, выполняемыми на уроках труда.
      Пример 2. Начать изучение множества числовых значений выражения можно со степеней х2 и л3, для чего следует построить таблицы числовых значений этих степеней и изобразить их изменение с помощью графика, а затем использовать его для нахождения промежуточных значений степеней х2 и х3, не содержащихся в таблице (т. е. для интерполяции). Эта вполне доступная учащимся VI класса идея увлечет их и может быть положена в основу интересной лабораторной работы.
      Пример 3. Исключительную роль играет элемент наглядности при изложении учения о рациональных числах. Каждое рациональное число рассматривается как значение некоторой направленной величины и изображается сначала направленным отрезком (вектором), расположенным на оси, а затем точкой оси. Благодаря второму способу изображения каждому рациональному числу оказывается соответствующей на числовой оси — при заданной на ней единице измерения — вполне определенная (единственная) точка.
      Этот факт, сам по себе весьма значительный, в ряде случаев позволяет сообщать изложению теории алгебры необходимую наглядность, переводя абстрактные элементы теории на ясный геометрический язык.
      Начатое в первом разделе программы первоначальное ознакомление с графиком изменения переменной величины может быть во втором разделе развито и доведено до сообщения сведений о графике зависимости одной переменной величины (температуры, пути точки при ее равномерном движении) от другой (времени).
      Установив опытным путем, что пропорциональная зависимость изображается прямой линией, учитель познакомит учащихся с графическим решением арифметических задач на движение и задач из геометрии и физики, приводящих к использованию пропорциональной зависимости величин.
      Приведенные выше примеры указывают те случаи, в которых возможно и с методической стороны необходимо применение наглядности, состоящей в непосредственном обращении к зрительным образам. Однако такое раскрытие понятия, которое делает восприятие его учащимися возможно более ощутимым, легко и вместе с тем глубоко усваиваемым, осуществляется также посредством внесения в методику преподавания элемента конкретности, во вполне достаточной мере предпосылаемого каждому определению и предложению, которое должно быть в конце концов облечено в абстрактную форму.
      Пример 4. С основными законами арифметических действий можно глубоко познакомить учащихся только при том условии, если их сущность и справедливость будут тщательно установлены на конкретных примерах, относящихся к числам как количественным характеристикам множеств и к отрезкам как геометрическим представлениям непрерывных аддитивных величин.
      Пример 5. С понятием о пропорциональной зависимости учащиеся сначала знакомятся в арифметике иа большом числе конкретных примеров. Без предварительной конкретизации этого понятия определение у = ах, предлагаемое в алгебре, не выявило бы в необходимой мере его сущности. И только доказательство того, что равенство у — ах является компактным выражением пропорциональности величин у их в уже известном учащимся смысле:
      оправдало бы в глазах учащихся алгебраическое определение пропорциональной зависимости.
      Пример 6. Основные свойства уравнений, выражаемые теоремами об их равносильности, обычно только сообщаются учащимся и разъясняются на примерах. Однако на этих же примерах может быть дано вполне строгое доказательство обоих свойств, состоящее в таком проведении необходимых общих рассуждений, которое совсем не опирается на индивидуальные отличия рассматриваемых конкретных алгебраических выражений. В этом случае абстрактность рассуждения как бы снимается, благодаря тому, что внимание учащихся все время сосредоточивается на конкретных объектах, не уводя их на более высокую (следующую) ступень абстракции.
      4. Осуществление принципа научности. Тот факт, что преподавание математики в восьмилетней школе должно отличаться доступностью и наглядностью, вполне совместим с необходимостью требовать, чтобы в должной мере соблюдался принцип научности.
      Для этого надо, чтобы преподавание велось на таком теоретическом уровне, который обеспечил бы правильное, не противоречащее научному выявление сущности каждого понятия и каждого предложения и безошибочное в логическом отношении проведение рассуждений. От этого требования нельзя отказаться, если иметь в виду, что уже в восьмилетней школе обучение математике должно оказать влияние на развитие умственных и творческих способностей учащихся.
      Необходимо принять во внимание, что научное доказательство, безошибочное логическое рассуждение содействуют подлинному пониманию вопроса и что ненаучное, т. е. нестрогое, недостаточно обоснованное, доказательство приучает неглубоко, некритически относиться к рассуждению, принимать за доказанное то, что не обосновано, внешне, формально усваивать материал. Положения, не подтающиеся на данном этапе доказательству, должны быть приняты без доказательства. Однако надо иметь в виду, что всякое рассуждение,
      проведенное на примере, но без апеллирования к индивидуальным свойствам (отличиям) этого примера, имеет полную доказательную силу.
      { Причер 1. Рвспространение законов арифметических действий на область рациональных чисел может быть строго выполнено на примерах для закона переместительности и лишь проверено на примерах для законов сочетательности и распределительности.
      Только после доказательства того, что законы сложения и умножения, установленные в арифметике для целых и дробных чисел, справедливы и для рациональных чисел, мы имеем право назвать числа, получаемые по правилам сложения и умножения рациональных чисел, соответственно их суммой и произведением. В этом состоит научное оправдание введения этих названий.
      Пример 2. Обоснование правил действий над алгебраическими выражениями можно будет считать научным только при том условии, если каждое преобразование, выполняемое по этим правилам, будет представлено как тождественное преобразование.
      Пример 3. Определения тождества и уравнения будут находиться в согласии с научным толкованием этих понятий, если они будут рассматриваться как равенства, выражающие соответственно: 1) утверждение, что два алгебраических выражения f(x) и g(x) имеют равные числовые значения при всех (допустимых) значениях буквы (аргумента) х-, 2) вопрос о том, при каких значениях буквы (аргумента) х алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют равные числовые значения.
      Пример 4. Основное свойство алгебраической дроби и правила действий над алгебраическими дробями не должны быть приняты без доказательства только на том основании, что это свойство и правила имеют аналогичное содержание в применении к арифметическим дробям.
      Пример 5. Рассуждения, проведенные на примере числовых уравнений для доказательства теорем о равносильности двух уравнений, нисколько не теряют в своей научности, если эти рассуждения имеют общий характер, т. е. относятся к любой паре уравнений.
      5. Развитие логического мышления учащихся и их способности к самостоятельному решению вопросов.
      5,1. Ознакомление учащихся в процессе обучения алгебре с элементами формальной логики.
      Эта проблема стоит, конечно, перед всей школой в целом и должна решаться в связи с преподаванием всех учебных предметов. Однако развитие логического мышления может быть осуществляемо с наибольшим успехом именно на уроках математики, так как при ее изучении логические элементы могут быть выявлены с наибольшей четкостью.
      Из них большую образовательную ценность имеют умения: 1) осознать определение понятия как выделение некоторого вида из рода, указать существенные признаки этого понятия; 2) правильно выполнить деле-.--ние класса на подклассы, выделить виды из рода и отличать видовые признаки от родовых; 3) отличать признак от определения; 4) точно установить и сформулировать все условия и заключение подлежащего доказательству предложения; 5) установить для данного предложения обратное предложение; 6) установить, является ли условие (признак) необходимым или достаточным.
      Конечно, развитие логического мышления должно проводиться с определенной постепенностью, усиливаясь по мере приближения к старшим классам, где умственный уровень учащихся, их интересы и естественно возникающая у них потребность в правильных определениях и рассуждениях содействуют этому. Однако учитель, преподающий алгебру, начиная уже с VI класса имеет достаточную возможность привлекать внимание учащихся к логической стороне устанавливаемых определений и проводимых рассуждений и на этом материале развивать у них способность к логическому мышлению. Можно быть уверенным в том, что при умелой работе учителя в этой области учащиеся живо заинтересуются относящимся к ней материалом, охотно и даже с увлечением воспримут его; и недалек будет тот день, когда они будут „ловить" своих товарищей в отступлениях от доступной им строгости изложения учебного материала — в неполноте, недостаточности обоснования, неправильности классификации и даже в более тонких логических недочетах рассуждений.
      1) Составление таблицы числовых значений алгебраического выражения дает возможность заронить понятие о соответствии между элементами двух множеств. Могут быть приведены другие примеры существования или установления соответствия между элементами множеств.
      2) Сумма с и разность d натуральных чисел а и Ъ суть числа, выражающие число элементов соответственно множества С, полученного от сложения множеств А и В, и множества D, полученного от вычитания из множества А множества В. Опираясь на это определение суммы двух натуральных чисел, можно доказать свойства переместительности и сочетательности сложения натуральных чисел.
      3) Законы арифметических действий формулируются в виде предложений, истинность которых либо доказывается, либо принимается. В алгебре появляются первые теоремы (в сущности — арифметические). Доказательство переместительного свойства сложения двух рациональных чисел представляет собою строгое рассуждение, в котором используется ранее установленное предложение (выражающее свойство сложения двух арифметических чисел). Как выразить эти теоремы с помощью условного предложения?
      4) К логическим понятиям следует отнести понятия о выполнимости и однозначности действия над числами в данной области: в области арифметических (целых и дробных положительных) чисел сложение и умножение — действия, всегда (т. е. для двух любых чисел) выполнимые и однозначные (существуют единственная сумма и единственное произведение); в области рациональных чисел теми же свойствами обладают сложение, вычитание п умножение. Свойство выполнимости и однозначности этих действий можно кратко выразить так: для каждой пары данных чисел можно найти одну и только одну сумму, одну и только одну разность, одно н только одно произведение. Термин „единственность" надо предпочесть термину „однозначность", который целесообразно ввести позже — в старших классах. Понятия о выполнимости действия и единственности его результата могут быть впервые введены в VI классе.
      5) Деление множества рациональных чисел может быть выполнено по двум основаниям — признакам (по знакам и по абсолютному значению) в одном или другом порядке. Понятие о делении множества обобщается; дается понятие о системе единственно возможных случаев; рассматриваются примеры: натуральные числа — четные и нечетные; числа, дающие при делении на 3 остатки 0, 1, 2; дроби — правильные н неправильные; рациональные числа — положительные, нуль, отрицательные; треугольники — остроугольные, прямоугольные, тупоугольные; уравнения — имеющие конечное число корней, бесконечное число корней, не имеющие корней; соотношения между числами а и соотношения между отрезками ; точка плоскости лежит внутри окружности, иа окружности, вне окружности; две окружности на плоскости — 5 взаимных положений и т. п.
      6) Понятия об утверждении и отрицании совмещаются в формулировке закона противоречия: из двух утверждений: „А обладает свойством а" и „А не обладает свойством а" — верно (истинно, имеет место) только одно; если первое истинно, то второе ложно, и, наоборот, если первое ложно, то второе истинно. Эта весьма простая мысль используется в рассуждениях многократно, почти всегда. Зная, что „а есть четное число", учащийся уже уверен в том, что противоположное утверждение „а есть нечетное число" само собою отвергается; ему и в голову не приходит, что здесь находит себе применение закон противоречия. Но учитель может попутно, не выделяя вопроса, остановить внимание учащихся на том, что истинность одного из двух противоположных суждений влечет за собой как следствие ложность другого. Упоминание об этом помогает выяснить смысл и сформулировать закон противоречия.
      7) Всякий раз, как будет выявлена и установлена система единственно возможных и исключающих друг друга соотношений, можно будет привести учащихся к пониманию сущности способа доказательства от противного, состоящего в необходимости принять одно из системы единственно возможных и исключающих друг друга соотношений на том основании, что все остальные отвергнуты (см. пункт 5).
     
      5,2. Развитие способности к самостоятельному решению вопросов.
      При условии, если обучение постоянно протекает при активной деятельности учащихся и если состояние активности сделалось для них привычным и необходимым, можно сказать, что создана вполне благоприятная обстановка для работы над развитием у учащихся способности самостоятельно искать пути решения различных теоретических и практических вопросов. Достижение этой цели должно быть одной из главных задач, которые стоят перед учителем математики, и в частности алгебры.
      Если при обучении геометрии в VI классе решение этой задачи может быть выполнено различными средствами, то при обучении алгебре для этого имеются сравнительно ограниченные возможности. Тем не менее и в этой области надо использовать каждый представляющийся случай, каждый подходящий элемент рассуждения.
      1) Выбор и расположение упражнений надо организовать так, чтобы каждое следующее изданной системы упражнений хотя бы незначительно отличалось от предыдущего в принципиальном отношении, т. е. не буквально повторяло его, а требовало некоторого размышления, учета того условия, которым новое упражнение отличается от старого. Затруднение, требующее некоторого усилия мысли, может состоять лишь в весьма небольшом изменении условия (новые коэффициенты, иные знаки, иное расположение членов, чуть более высокие показатели и т. п.), но все же изменение должно быть введено.
      2) Проявить свою самостоятельность и изобретательность учащиеся могут при нахождении различных рационализирующих приемов, с которыми учитель настойчиво знакомит всех (а не только сильных) учащихся. Это может иметь место при выборе ими наиболее целесообразного порядка выполнения действия, наиболее выгодной комбинации слагаемых суммы или членов уравнения, наилучшего способа составления уравнения и т. п.
      3) Более сложными для учащихся являются те задания по алгебре, которые объединяются в сборниках под общим заглавием „задачи на доказательство" (см., например, пособие для учителей И. В. Барановой и С. Е. Ляпина Задачи на доказательство по алгебре, Л., Учпедгиз, 1954). Постепенное включение в задания по алгебре задач на доказательство, без сомнения, повысит содержательность и эффективность упражнений и уровень преподавания алгебры и будет, наряду и во взаимодействии с соответствующими упражнениями по геометрии, содействовать усовершенствованию знаний и развитию творческих способностей учащихся.
      Однако достижение этих результатов возможно только при условии, если учитель будет развивать творческую мысль учащихся прежде всего на примере своего преподавания, не сообщая учащимся готовых формулировок и результатов, а предварительно намечая наиболее естественный, наиболее обосновываемый, оправдываемый путь решения вопроса, и именно по этому пути будет вести учащихся к нахождению доказательств предложений и выполнению упражнений.
      Еще большее значение для выработки у учащихся умения самостоятельно решать математические вопросы имеет включение в изложение предмета всех обобщений, общих указаний, которые можно сделать относительно применения используемых методов, приемов, способов доказательств предложений и решения примеров и задач. Именно эти общие указания могут помочь учащемуся начать необходимое рассуждение, подсказать нужное решение вопроса, дать ему в руки некоторую руководящую нить.
      Такого рода общие указания в особенности необходимы и целесообразны там, где учащиеся обычно испытывают затруднения (например, при обучении действиям над рациональными числами, разложению многочленов на множители, выполнению действий над алгебраическими дробями, составлению уравнений по условиям задач).
      Конечно, число этих общих указаний увеличивается и поле их применения расширяется по мере продвижения в дальнейшие разделы курса алгебры восьмилетней школы, но начало этому виду работы учителя и ученика может и должно быть положено уже в VI классе (см., например, главу I, § 1 и 2 в указанном выше пособии).
      4) Непосредственное отношение к сказанному имеет ряд весьма полезных пособий, содержащих системы
      вопросов, которые могут быть предложены учащимся на всех стадиях урока и для домашних заданий. Вдумчивое использование этих вопросов, органически включенное в процесс обучения математике, и в частности алгебре, окажет весьма заметную помощь учителю в его работе по повышению уровня знаний и развитию творческих способностей учащихся.
      6. Идейность и содержательность учебного материала. При всей как будто ограниченности круга понятий и идей, сосредоточенных в курсе математики, и в частности алгебры, восьмилетней школы, образовательное значение этого курса в весьма большой мере зависит от того, с какой глубиной будет раскрыто перед учащимися содержание всех этих понятий и идей. Работа учителя в этом направлении должна быть выполнена не только для решения необходимых образовательных задач, но и для повышения интереса учащихся к предмету и их активности в процессе усвоения ими учебного материала.
      1) Переход от чисел к буквам представляет собой очень важную ступень абстракции, на которой изучаются те свойства некоторой области чисел, которые являются для них общими, не зависящими от их индивидуальных свойств. Благодаря употреблению букв для обозначения чисел можно, например, выразить мысль о том, что законы арифметических действий имеют силу для всех целых и дробных чисел, рассматриваемых в арифметике. Можно довести это рассуждение до вывода: „Алгебра есть язык математики14.
      2) Как оживит в глазах учащихся молчащее, неподвижное алгебраическое выражение процесс составления для него таблицы числовых значений и в соответствующих случаях построенный по этой таблице график Этим путем будет положено начало формированию понятия о функциональной зависимости и идеи о геометрическом представлении этой зависимости.
      3) Введение положительных и отрицательных чисел должно быть освещено как второй этап расширения области (запаса) чисел, которому предшествовал первый этап — введение дробных чисел. Дробные числа вместе с целыми числами выражают результаты измерения (служат значениями) положительных скалярных величин и могут быть изображены точками на числовом луче;
      вновь введенные отрицательные числа вместе с положительными числами выражают результаты измерения (служат значениями) направленных скалярных величин. Понятия об этих видах направленных скалярных величин могут быть положены в основу общего понятия о величине, для чего достаточно сосредоточить внимание учащихся на том, что хотя понятия „равно11, „больше11 и „меньше11 для каждой из этих величин имеют различный смысл (равенство и неравенство отрезков по длине, тел по весу, сосудов по емкости; перемещений, изменений температуры, давления и т. д.), но они обладают рядом общих свойств:
     
      Всякое множество элементов, по отношению к которым установлен смысл понятий „равно", „больше", „меньше", и составляет множество величин.
      4) Введение действий над рациональными числами должно исходить из использования общего понятия о действиях над числами как об операциях, относящих каждой паре данных чисел третьего числа по определенному правилу. Тот же смысл имеют действия, выполняемые над некоторыми другими объектами (отрезками, дугами, углами; направленными отрезками на оси, векторами; силами). Однако правила, по которым выполняются действия, не могут быть произвольными: сложение должно обладать свойствами переместительности и сочетательности, а умножение — свойствами переместительности, сочетательности и распределительности. Сложение и умножение рациональных чисел удовлетворяют этому требованию.
      5) Исключительно важна и плодотворна идея уравнения. Рассматривая тождество и уравнение как равенства вида f(x) — g(x), выражающие соответственно утверждение, что это равенство имеет место (справедливо, выполняется) при всех (допустимых) значениях буквы х, или вопрос о том, при каких значениях буквы лг оно имеет место, — уточняют взгляд на алгебру как на язык математики. Вместе с тем устанавливают, что самую существенную черту алгебры, отличающую ее от арифметики, составляет не то, что алгебра- употребляет буквенную символику, а то, что ее основным содержанием служит задача о решении уравнений.
      6) Уже в VI классе можно впервые заронить важнейшую идею анализа о представлении чисел сначала точками на оси, а затем точками на ориентированной плоскости и о связанном с этой идеей понятии графика зависимости между величинами. Всякому учителю математики вполне понятно, что его работа над сообщением и углублением этой богатой по содержанию идеи окажется исключительно плодотворной в теоретическом и практическом отношении и что поэтому надо использовать каждый представляющийся случай, чтобы придать изложению, как сейчас говорят, функциональный характер.
      К идее функции приходят от идей изменения, зависимости, соответствия. Уже в восьмилетней школе можно сделать вполне доступными понятия о множестве (классе), о соответствии между элементами множеств, об их сумме и произведении, о делении класса на подклассы, о виде и роде.
      7) В основу понятия о действиях над алгебраическими выражениями должно быть положено понятие о тождестве. Нельзя считать, что учащиеся усвоили теорию этих действий, если они не научились относиться к ним как к тождественным преобразованиям, основанным на законах арифметических действий; отсюда будет следовать правильное понимание и сознательное выполнение требования, доказать тождество.
     
      РАЗВИТИЕ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ, СВЯЗАННЫХ С ОБУЧЕНИЕМ АЛГЕБРЕ
      1. Принципы построения и содержание системы упражнений по курсу алгебры. В основу построения системы упражнений по курсу алгебры в восьмилетней школе должны быть положены два принципа, которые на первый взгляд могут показаться противоречащими один другому, но на самом деле органически связаны между собою.
      С одной стороны, все предлагаемые упражнения должны быть расположены с определенной постепенностью и доведены только до той степени сложности (по структуре и содержанию), которая — пусть при руководстве учителя — окажется по силам учашимся. Но, с другой стороны, выбор и расположение упражнений должны всемерно содействовать а ктивной работе учащихся и развитию у них способности к самостоятельному разысканию рациональных путей решения примеров и задач.
      Содержание системы упражнений определяется в основном изучаемым материалом, но параллельно с изучением нового — в связи с ним или независимо от него, т. е. в порядке повторения, — следует возвращаться к ранее изученному материалу и практиковавшимся уже способам и приемам выполнения упражнений.
      Упражнения по алгебре, выполняемые в VI и дальнейших классах, приобретут необходимое образовательное и развивающее значение и вызовут у учащихся интерес и стремление к самостоятельной деятельности, если учитель сообщит этим упражнениям ряд важных свойств.
      1) Хорошие результаты в указанных отношениях достигаются, если в упражнения вносится элемент вариативности их формы или содержания: вслед за данным упражнением предлагается упражнение, представляющее собою как будто вариант предыдущего, но на самом деле имеющее хотя бы незначительное принципиальное отличие от него.
      2) Весьма большое значение при обучении алгебре имеет работа учителя над развитием у учащихся способности к нахождению и применению наиболее рациональных приемов решения вопросов. В этой области многое должно быть добыто учащимися путем выполнения ряда существенных указаний учителя, которые он систематически делает в процессе преподавания им алгебры, но немало может быть найдено и изобретено учащимися, приученными к этим поискам, имеющими в них потребность и находящими в них удовлетворение.
      К числу рационализирующих приемов (уже в пределах курса алгебры VI класса) могут быть отнесены: выбор порядка выполнения действий; умножение многочлена на многочлен по способу „собирания" членов произведения, содержащих одну и ту же степень главной буквы; преобразование дроби посредством умножения ее числителя и знаменателя на надлежаще выбранный множитель; комбинирование слагаемых алгебраической суммы или членов уравнения в группы для предварительного выполнения действий в каждой группе; выделение из дроби ее целой части; доказательство тождества многочленов посредством расположения их по степеням одной и той же буквы и т. п.
      3) С упражнениями на нахождение числовых значений алгебраических выражений могут быть связаны интересные упражнения на доказательство справедливости сначала равенств при данной системе значений входящих в них букв, а затем тождеств, что составляет весьма полезную пропедевтику для изучения понятия о тождестве.
      4) Углубить понимание учащимися значения буквенных обозначений для теоретических исследований очень помогает ознакомление их с нахождением общего вида чисел, обладающих заданными свойствами, и выполнение упражнений, подводящих к несложным, но весьма занимательным вопросам теоретической арифметики (например, к вопросам о делимости натуральных чисел, о свойствах взаимно простых чисел), вполне доступным учащимся VI класса.
      5) Сведения об однородных и симметричных многочленах не только оживляют.изучение действий над ними, но могут служить основанием для контроля, для проверки результата по его виду, а также для легко запоминаемых обобщений (например, для усвоения признаков делимости суммы или разности одинаковых степеней на сумму или разность оснований).
      6) Выполнение учащимися лабораторных работ также может служить широким полем для их самостоятельной деятельности, в особенности если эти работы имеют математическое содержание и требуют для их выполнения некоторых размышлений (например, о возможности применить для решения вопроса или задачи графический метод, о наиболее рациональном выборе осей и масштабов на них, об употреблении таблиц для вычислений, о виде зависимости величин, о правомерности изображения этой зависимости прямой, о степени точности результата и т. п.).
      7) Хотя бы в ограниченной мере и в VI классе имеется возможность применять неодинаковые способы выбора неизвестной при составлении уравнения по условию задачи и Зтим путем более рационально выполнять ее решение.
      2. Виды систем упражнений, выполняемых в классе и в домашних заданиях. Очевидно, что в классе деятельность учителя должна быть использована всемерно, с наибольшей продуктивностью. Поэтому выбор и расположение отбираемых им для работы в классе упражнений должны удовлетворять тому требованию, чтобы каждое упражнение было достаточно эффективным, обучало, не только закрепляло, но и углубляло знания, заставляло учащихся думать, размышлять. Самый большой враг успешности обучения — скука, равнодушие. Наоборот, вполне обеспечивают успешность обучения интерес, желание и даже жажда „дойти до всего своим умом", проявить (и показать другим — и это хорошо) свое умение самостоятельно решать вопрос. Может ли это умение прийти в действие, проявиться при „топтании на месте", при затверживании, близком к зубрежке? Конечно, не может. Живой ветер искания, исследования, стремления к достижению должен непрестанно веять в классе. Уже в VI классе при обучении алгебре это настроение принесет неоценимую пользу для развития учащихся и для подготовки их к дальнейшему изучению математики.
      Иначе следует осуществлять выбор и расположение упражнений для домашних заданий. Не оставляя заботы о развитии у учащихся способности к самостоятельному нахождению путей решения примеров и задач, учитель предложит им упражнения для закрепления теории и приобретения прочных умений и навыков в области изучаемой темы.
      В обоих случаях, т. е. в классе и дома, учащийся должен работать над достаточно содержательными упражнениями, вызывающими у него желание выполнить их, проверить свои знания и умения, приобрести уверенность в своих силах, получить удовлетворение. Это может быть достигнуто различными средствами.
      1) Упражнения в нахождении числовых значений алгебраических выражений представят больший интерес для учащихся, если они будут облечены в форму требований доказать справедливость равенства при данных или (в случае тождества) при любых значениях входящих в него букв.
      2) Выполнению действий над рациональными числами можно сообщить конкретное содержание, если приме-
      нить его к нахождению средних значений (температур, приращений переменной величины, результатов измерений) и отклонений от этих средних значений (являющихся в случае измерения случайными ошибками).
      3) Вообще может и должна быть установлена связь со смежными дисциплинами (физикой, географией) и производственным обучением (техникой), которые могут доставить для применения алгебры разнообразный и содержательный материал.
      4) К упражнениям по алгебре, имеющим заинтересовывающее учащихся содержание и рассчитанным на их самостоятельную деятельность, относятся лабораторные работы, к которым могут быть отнесены: составление таблиц значений данного алгебраического выражения и посильное исследование по ним характера изменения этого выражения (в отношении равномерности, возрастания или убывания, ограниченности, границ изменения); нахождение промежуточных значений алгебраического выражения (интерполяция); построение графика изменения алгебраического выражения (зависимости); чтение графика зависимости, т. е. указание ее свойств по графику; построение графика зависимости по эмпирическим формулам, по результатам выполненных учащимися наблюдений и измерений; приближенное нахождение площадей фигур (например, по формуле Симпсона) и т. п.
      5) Значительно большее место, чем это сделано в программе, должно быть уделено в курсе VI класса решению уравнений и составлению их по условиям задач, в особенности по условиям задач, относящихся к смежным дисциплинам.
      3. Обучение устному счету при выполнении упражнений по алгебре. Необходимо признать, что применение устного счета при выполнении упражнений по алгебре еще не нашло себе в школе удовлетворительного осуществления — ни по широте, ни по существу. Между тем при обучении алгебре этот прием заслуживает не меньшего внимания и принесет не меньше пользы, чем при обучении арифметике, где устный счет, по-видимому, занял прочное место.
      Умение не все записывать, а выполнять часть вычислений и преобразований устно требует предварительного осознания структуры выражения, подлежащего
      преобразованию, быстрого проявления сообразительности, вообще некоторого усилия ума вместо несколько гасящего мысль почти механического записывания. Устный счет, экономя время и, пожалуй, силы, позволяет больше заметить, увидеть и глубже понять операцию; он доставляет и большее удовлетворение выполняющему упражнение, так как непрерывно поддерживает в нем состояние размышляющего человека.
      Может быть, именно поэтому учащиеся, употребляющие параллельно с письменным и устный счет, тверже, сознательнее и безошибочнее выполняют и письменные упражнения.
      Упражнения в устном счете по алгебре хорошо развивают способность учащихся к большему сосредоточению внимания при выполнении письменных упражнений, к самоконтролю и проверке результата по его соответствию или несоответствию ожидаемому, предварительно намеченному результату.
      Устному счету сродни и арифметическая „прикидка* результата, и устное выполнение упражнений на доказательство по геометрии (в том числе без чертежа).
      4. Самостоятельная работа учащихся. Этот вид работы: 1) ставит учащегося именно в то положение, в котором он должен был бы находиться на протяжении всего периода изучения им математики, т. е. в положение ищущего, прилагающего некоторое усилие мысли; 2) укрепляет уверенность учащегося в усвоении им знаний и умении применить их, поднимает его моральное состояние; 3) позволяет узнать, приобрели ли учащиеся на данном этапе достаточно сознательные и прочные знания и умения.
      В зависимости от объема задания, предложенного учащимся для самостоятельной работы, оно может быть рассчитано на весь урок или на часть его: и в том и в другом случае учитель может рассматривать эту работу как контрольную.
      Надо добиться того, чтобы учащийся пристрастился к самостоятельной работе, выполнял ее с удовольствием, зная, что безошибочное и удачное ее выполнение еще раз докажет наличие у него твердых знаний и способности ответить на те вопросы и преодолеть те трудности, которые содержатся в задании. Это будет достигнуто, если в задание будут включены вопросы, требую-
      щие от учащегося не простого привлечения правила или формулы, а некоторых несложных размышлений, исканий и допускающие различные пути решения. Кроме того, по крайней мере один из вопросов должен принадлежать к тем, которые рассчитаны на наличие у учащегося элементарных творческих способностей, так называемого математического мышления.
      Постановка самостоятельной работы учащихся, основанная на пробуждении у них живого интереса к науке, на здоровом соревновании, на их стремлении во что бы то ни стало самостоятельно найти решение вопроса, создаст атмосферу, при которой эта работа перестанет быть для учащихся „несчастьем", а будет доставлять им удовлетворение и радость.
     
      СРЕДСТВА ВОСПИТАТЕЛЬНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ
      Основным средством воспитательного воздействия на учащихся является, конечно, твердо проводимое привлечение их к активному участию в процессе овладения учебным материалом и в выполнении заданий всех видов. Выработка у учащихся такого стремления к активной умственной деятельности, которое должно постепенно сделаться для них вполне привычным, постоянно свойственным их уму, обеспечит повышение их интереса к данной ветви науки и воспитает в них любовь к научным знаниям и даже преклонение перед наукой. В особенности этого легко достигнуть в нашей стране, где наука поднялась на небывалую высоту и имеет грандиозные завоевания. Из различных областей науки, содействовавших этому ее расцвету, в настоящее время можно без преувеличения на первое место поставить математику.
      Глубоко и широко понимаемая идея активности охватывает и любознательность, и инициативу, и самостоятельную деятельность, и проявление творческих способностей. Все обучение в советской школе предполагает создание такой атмосферы, которая содействовала бы возникновению и развитию всех важнейших сторон умственной деятельности человека, готовящегося на высоком теоретическом и практическом уровне выполнять порученный ему общественно полезный труд.
      Этой основной задаче должны быть подчинены все виды и этапы обучения — сообщение нового материала, занятия по выполнению упражнений и лабораторных работ, повторение, углубление и проверка знаний учащихся. Всюду и всегда, как только представляется возможность, должны быть призваны к действию мышление учащегося, его активное участие в общей и индивидуальной работе. Это направление должно быть основным при проведении урока и отборе материала для урока, домашних заданий, лабораторной работы, углубления и проверки знаний. Вопрос о том, будет ли предложенный материал учить думать, размышлять, соображать, заинтересовывать и даже увлекать — никогда не должен оставаться вне поля зрения учителя, а, наоборот, всегда должен волновать и беспокоить его.
      Приведенные общие соображения относятся к преподаванию всей математики (и, конечно, не только математики). Однако и в процессе обучения алгебре в VI классе они могут быть осуществлены в немалой степени.
      Вместе с тем на этой начальной стадии должны найти себе надлежащее, совсем не второстепенное место еще некоторые элементы воспитательной работы учителя.
      Именно серьезным средством воспитания при обучении алгебре может служить выбор таких задач, условия которых имели бы как образовательное значение, устанавливая связь между алгеброй и смежными дисциплинами, так и, в особенности, воспитательное значение в направлении выработки у учащихся верных представлений о размерах, формах и содержании осуществляемого государством грандиозного строительства.
      Сообщение всему процессу обучения математике, и в частности алгебре, определяющего его элемента созидания, исканий и достижений, даже „открытий" весьма благотворно повлияет на выработку у учащихся наиболее ценных качеств: у них воспитывается воля, настойчивость в достижении цели, усидчивость и выдержка в преодолении трудностей и препятствий; непрерывно учащиеся все в большей степени приобретают элементарные творческие навыки, умение самостоятельно облечь вопрос в математическую форму, решить и исследовать его.
      Наконец, приобретение учащимися сведений по истории отечественной математики, ее исключительных достижений наполняет их сердца любовью к Родине.
      Б настоящее время, когда производительный и общественно полезный труд составляет органическую часть деятельности учащихся в период их пребывания в школе, воспитание у них высокоидейного отношения к труду произойдет в результате их нового образа жизни в обстановке производства.
      В частности, убеждение в практической применимости математики укрепится у учащихся благодаря их ознакомлению с использованием сведений из алгебры и геометрии при решении возникающих технических вопросов; откроется новое поле для приложения творческой мысли учащихся, для развития их инициативы и изобретательности.