Методика преподавания математики

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Работая над этой книгой, автор преследовал две цели. Во-первых, надо было дать изложение основных идеи науки методики преподавания математики, освещая принципиальные её вопросы, указывая различные её течения, по необходимости касаясь и самой математики, и её истории. Предназначая книгу для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, автор предполагал у читателя знание тех математических дисциплин, какие изучаются на I и II курсах, не говоря уже о курсе элементарной математики, изучаемом в средней школе. Во-вторых, в книге, предназначенной для студентов, будущих учителей математики, нельзя было не отвести много места тем вопросам, которые неизбежно встают перед молодым советским учителем средней школы, призванным вести обучение математике в тех конкретных условиях в смысле учебного пдана, программы, учебников, какие мы имеем в настоящее время. Начинающего учителя интересует вопрос о том, как лучше всего провести работу по действующей программе и по принятым в нашей школе учебникам, и автор считал, что учителю надо помочь и в этом отношении, что книга по методике должна быть и практическим руководством, хотя есть опасность, что такое руководство может быстро устареть, так как в стране ведётся интенсивная работа по улучшению программ и обновлению используемых учебников. Имея в виду работу по действующей ныне программе математики для средней школы и по принятым в настоящее время учебникам, автор считал целесообразным указывать на возможность введения некоторых новшеств, уже проверенных на опыте отдельных учителей.
      Ставя перед собой две эти цели, автор сознаёт, что полностью не достиг ни той, ни другой, но надеется, что при всех наличных недочётах книги она всё же облегчит первые шаги начинающего учителя, поможет ему избежать некоторых часто допускаемых ошибок.
      Настоящее, третье, издание является частичной переработкой первых двух. Заново написан § 13 первой части «Школьная математика в свете задач политехнического обучения». Учтено большое количество замечаний, высказанных по поводу отдельных мест книги. Автор приносит глубокую благодарность всем товарищам, поделившимся своими пожеланиями об исправлениях в книге. Особой признательностью он обязан проф. И. Я. Депману и Н. М. Бескину, выступившим с большими и содержательными докладами на организованном издательством обсуждении книги, а также кафедре математики Ростовского-на-Дону государственного педагогического института, С. М. Чуканцову (Калуга) и Н. И. Благовещенскому (Владивосток), приславшим подробные рецензии, одна из которых была опубликована в журнале «Математика в школе» (№ 3 за 1951 г.). Подавляющее большинство пожеланий, не требующих коренной переработки книги, автором выполнено. Коренную переработку книги, особенно в геометрической части, автор считает необходимой, но по ряду причин вынужден отложить её до следующего издания, если в таком окажется надобность.
      16 января 1954 г. В. Брадис
      г. Калинин, Государственный педагогический институт имени М. И. Калинина
     
      Часть первая
      ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
     
      Глава I
      МАТЕМАТИКА КАК НАУКА
     
      § 1. Зарождение математики. Первый основной этап её развития: математика как наука о числах, величинах, геометрических фигурах.
      Содержавший и происхождение математической науки точно и полно характеризуется следующими словами Фридриха Энгельса:
      «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путём мы получаем точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины... Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей; из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и механики» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37).
      Следуя схеме, предложенной академиком А. Н. Колмогоровым в его статье «Математика» [I, 30] , всю историю математики можно разбить на три основных этапа: первый, когда шло образование и разработка понятий действительного числа, величины, геометрической фигуры; второй, главным содержанием которого являлось изучение изменения величин и геометрических преобразований; третий, когда математика стала наукой о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира во всей их общности. Рассмотрим последовательно эти три этапа.
      Ссылки в прямоугольных скобках здесь и в дальнейшем относятся к спискам литературы, приведённым в конце каждой части. Римская цифра означает номер части, арабская — номер работы по списку.
      Первобытный человек, размышляя, например, о том, хватит ли наличного запаса оружия для всех участников намеченной охоты, ещё не умея считать, уже выполнял одну простейшую математическую операцию: он устанавливал соответствие между элементами двух множеств, множества копий и множества охотников. Много раз выполняя подобную операцию в процессе удовлетворения самых различных своих потребностей, человек замечал нечто общее во всех множествах, для которых это соответствие оказывалось взаимно однозначным. Общественный характер жизни людей заставлял давать этому общему некоторое название. Так, все множества, допускающие взаимно-однозначное соответствие элементов с множеством пальцев руки (короче — эквивалентные, или равносильные, этому множеству), характеризовались словом «пять» (от слова «пясть» — кисть руки). Не обращая внимания на свойства элементов, входящих в рассматриваемое множество в каждом отдельном случае, т. е. отвлекаясь от них, человек постепенно выработал понятие о числах 1, 2, 3, 4, 5 ..., о натуральном числе вообще как характеристике того общего, что имеется во всех равносильных конечных множествах. Человек научился считать.
      Аналогично возникли и другие математические понятия1: о действиях над натуральными числами, о дробях, о прямой линий, о длине отрезка, о площади, об объёме и т. д. Первый основной этап развития математики, охватывающий длинный ряд веков от первых шагов человека на этом пути математической абстракции примерно до начала XVII в., можно в самых общих чертах характеризовать тем, что математика овладела понятием натурального, а затем рационального числа; научилась называть и записывать произвольно большие числа; освоила арифметические действия, установила свойства и способы измерения таких величин, как длина, угол, площадь, объём, признав существование иррационального числа; установила свойства простейших геометрических фигур и тел —многоугольников, круга, многогранников, цилиндра, конуса, сферы, некоторых кривых. На протяжении этого первого этапа математика была призвана удовлетворять непосредственные потребности, возникавшие в хозяйственной и военной деятельности человека: простой счёт голов скота, разного рода дележи, сравнение длин различных путей, разбивка земельных участков и измерение их площади, определение объёмов, всевозможные денежные расчёты и т. д. Большие требования к математике уже на весьма ранних ступенях её развития предъявила астрономия, что привело к созданию тригонометрии, в первую очередь сферической. Ещё большие требования к математике со стороны механики и физики сказались значительно позже. Исключением являлись работы Архимеда (III в. до н. э.), которые не укладывались в рамки этих простейших понятий математики и которые, далеко опередив свою эпоху, относятся по существу к следующему этапу развития математики.
      История не сохранила сведений о самых первых шагах развития математики. О них можно только догадываться. Но имеются идущие весьма далеко в глубь веков совершенно достоверные сведения о математическом творчестве в Египте (со второго тысячелетия до н. э.) и в Месопотамии (центр — Вавилон), примерно такой же древности. До нас дошли многочисленные задачи арифметического, геометрического и алгебраического содержания, которые решались египтянами и вавилонянами по определённым правилам, иногда с помощью специальных таблиц; но общих теорий, из которых вытекали бы эти правила, ещё не существовало. Поэтому не удивительно, что среди этих правил были и такие, которые давали при некоторых условиях хорошие результаты, при других — ошибочные. Например, для определения площади равнобедренного треугольника египтяне брали половину произведения основания не на высоту, а- на боковую сторону.
      Существенно иное направление развитие математики получило в Греции, где, начиная с VII в. до н. э., стала разрабатываться математическая теория, сперва рассматривавшая на основе дошедших из Египта и Вавилона сведений отдельные, не связанные друг с другом вопросы, а затем приводившая эти отрывки в систему. Из науки эмпирической, устанавливавшей свои результаты только через опыт и наблюдение, математика трудами Фалеса, Пифагора, Гиппократа, Эвдокса, Евклида, Архимеда, Аполлония и ряда других греческих учёных превратилась в науку дедуктивную, получающую свои результаты как логические выводы из немногих исходных предложений (аксиом), принимаемых — конечно, на основании опыта—за истинные. Вершины своего расцвета греческая математика достигла в работах Евклида и Аполлония по геометрии, Диофанта по арифметике и алгебре, Птолемея по тригонометрии, Архимеда по геометрии и механике. Весьма многие блестящие достижения греческой математики не потеряли своего значения до настоящего времени, но были и недостатки, обусловленные в конечном счёте особенностями рабовладельческого общества, существенно тормозившие дальнейшие успехи. Прежде всего это был отрыв теории от практики, убеждение, что истинная наука не должна интересоваться жизненными потребностями людей, что применять науку на практике — значит унижать её. Господствовала идеалистическая философская школа Платона, установившая в математике ряд запретов и ограничений, из которых некоторые сохранили своё отрицательное значение до настоящего времени (например, искусственное ограничение циркулем и линейкой при геометрических построениях). Лишь немногие учёные, как Демокрит, Архимед и некоторые другие, правильно рассматривали взаимоотношение теории и практики, опыта и логической дедукции. Инженерная деятельность, получившая невиданный до того времени размах в Римской империи, использовала греческую математику далеко не полностью. Так, крупнейший римский архитектор Витрувий, живший в I в. до н. э.,брал отношение длины окружности к диаметру равным 3g, хотя ещё за два столетия до него Архимед дал более точное и не менее удобное значение этого отношения.
      Одновременно с греческой и в основном независимо от неё развивалась индусская математическая наука. В Индии не было характерного для греческой математики отрыва теории от практики, логики от опыта, и хотя индусская математика далеко не достигла того уровня, каким отличалась математика греков, она создала много ценного, прочно вошедшего в мировую науку и сохранившегося до нашего времени. Сюда относится общепринятая десятичная система счисления с основанной на ней техникой арифметических действий, разработка правил над отрицательными числами и радикалами, правила решения общих уравнений 1-й и 2-й степени, введение синуса и т. д.
      Наследниками как греческой, так и индусской математической культуры стали народы, объединённые в VII в. н. э. арабским халифатом. Среди них чрезвычайно важную роль в истории культуры сыграли народы, населяющие Среднюю Азию и Закавказье (хорезмийцы, узбеки, таджики, азербайджанцы и др.) и ныне входящие в СССР. Научные работы писались тогда на арабском языке, который был международным языком стран Ближнего и Среднего Востока. Это и послужило поводом называть «арабами» всех учёных этих стран. Они сохранили и существенно пополнили греческую и индусскую математику в течение средневековья, когда европейская наука после распространения враждебного ей христианства переживала длительный период упадка. Начиная с VIII в. н.э. на арабский язык переводятся сочинения индусских и греческих математиков, и в дальнейшем европейцы ознакомились со многими такими работами только через арабские переводы.
      К важнейшим из оригинальных работ этого времени принадлежат сочинения знаменитого хорезмского математика IX в. Магомета-ибн-Мусы-аль-Ховарезми (по другому начертанию Мухаммед-бен-Муса аль-Хорезми), т. е. Магомета сына Мусы из Хорезма.
      От его работы «Альджебр альмукабала» ведёт начало самое название науки алгебры. Искажённое в латинском переводе прозвище Альховарезми превратилось в слово алгорифм, обозначающее совокупность математических операций, при помощи которых решается данная общая задача.
      Лишь в недавнее время стали известны замечательные достижения таджикского математика XV в. Гияс-эддина, открывшего и систематически применявшего десятичные дроби за 150 лет до того, как к ним пришли в Западной Европе; он первым, задолго до Ньютона, дал формулу бинома для любого натурального показателя [I, 59]. Отметим ещё азербайджанского математика XIII в. Насир-эддина Туси, много сделавшего для геометрии и тригонометрии.
      Время с XII по XV в. является периодом освоения Европой древней математической науки. Этого требовали и развивающиеся торговые операции крупного масштаба, связанные с денежными расчётами, постройкой кораблей, вождением их через моря, а потом и океаны, вообще потребности богатевшей буржуазии, особенно итальянской. Наряду с переводами математических сочинений с арабского и греческого на латинский язык, интернациональный язык науки того времени, появилось, и несколько оригинальных математических сочинений, имевших преимущественно характер учебников. Лучшими из них были книги Леонардо Пизанского (Фибоначчи), опубликованные в начале XIII в., а именно: «Книга об абаке» и «Практика геометрии».
      В конце XV в. было изобретено книгопечатание, существенно ускорившее развитие математики и науки вообще. В XVI в. было сделано несколько крупных математических открытий: найдено решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, установлены методы приближённого вычисления действительных корней уравнений любой степени счисленными коэффициентами, сделаны первые шаги по введению комплексных чисел, достигнуты большие успехи в деле создания алгебраической символики и т. д.
      Древнейшее дошедшее до нас русское математическое сочинение написано в 1134 г. Это «Кирика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение им же ведати человеку числа всех лет». Оно посвящено преимущественно различным расчётам, относящимся к календарю, в частности к определению сроков религиозных праздников. По ряду других источников («Русская Правда» Ярослава Мудрого, летописи, международные договоры, данные археологии) можно заключить, что общий уровень математических познаний русских людей XII — XVI вв. был не ниже, чем в Западной Европе того же времени, несмотря на татарское иго, долго тормозившее дальнейшее развитие русской культуры вообще.
      Первый основной этап развития мировой математической науки имеет для учителя математики в средней школе большой интерес, так как здесь дело идёт преимущественно об элементах математики, о той базе всего дальнейшего развития математики, которая под названием «элементарная математика» является объектом изучения в школе (начальной и средней). Читателю, желающему подробнее ознакомиться с историей математики на этом и следующем этапах, рекомендуется обратиться к упомянутой статье академика А. Н. Колмогорова и к специальной литературе по истории математики, указанной в конце настоящей первой части.
     
      § 2. Второй основной этап развития математики: математика как наука об изменении величин и о геометрических преобразованиях.
      Научное творчество в области элементарной математики продолжалось и после XVI в. Достаточно напомнить открытие логарифмов, доведение до современного вида школьной алгебры и триuонометрии, работу над геометрической системой Евклида. Но господствующую линию развития математики в XVII и XVIII вв., а также в первой половине XIX в. определяют две новые основные идеи: движение и изменение, «...вся природа,— говорит Ф. Энгельс,— начиная от мельчайших частиц её до величайших тел, начиная от песчинки и кончая солнцем, начиная от протиста и кончая человеком, находится в вечном возникновении и уничтожении, в непрерывном течении, в неустанном движении и изменении» (К. Маркс и Ф. Энгельс, т. XIV, стр. 484). Но математика первого этапа, занимавшаяся числами, величинами и фигурами, брала лишь отдельные моменты существования тех или других вещей, лишь несовершенно отображала количественные отношения и пространственные формы действительности, представляла собой нечто вроде моментального фотоснимка с этих текущих, движущихся отношений и форм. В связи с развитием производительных сил и общественных отношений, вызвавшим бурный рост естественных наук, в XVII в. основным объектом изучения стали зависимости между переменными величинами — от изучения чисел наука перешла к изучению функций.
      «Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного,— к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального и интегрального исчислений, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и интегрирование этих уравнений выдвигается в виде одной из важнейших задач математики... Таким образом, рядом с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определении) функции. Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Одно и то же движение и одно и то же преобразование может перемещать или преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе» (академик А. Н. Колмогоров, статья в БСЭ, т. 38, стр. 368—369).
      Принципиальную важность перехода математики от первого ко второму основному её этапу, от изучения отдельных моментов существования вещей к изучению процессов их изменения и развития, хорошр характеризуют следующие слова Ф. Энгельса: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» («Диалектика природы», 1948, стр. 208).
      XVII и XVIII вв.— период величайших завоеваний математической науки на этом новом этапе её развития, связанный с именами Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбница, Эйлера, Лагранжа, Лапласа и ряда других исследователей. Эти завоевания были подготовлены всем предшествующим развитием математики
      и обусловлены теми требованиями со стороны естествознания (астрономии, механики, физики) и техники (применения машин), какие были поставлены перед математикой XVII в. в связи с ростом буржуазного общества и развитием капитализма, имевшим тогда прогрессивный характер. «Авторы XVII в. понимают и любят подчёркивать большое практическое значение математики. XVII век был эпохой, когда рост буржуазного общества позволил ему выдвинуть перед наукой задачи на несколько веков вперёд с полным сознанием их практической ценности. Опираясь на свою тесную связь с математическим естествознанием, математика XVII в. смогла подняться на новый этап диалектического развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логические категории математики, получили своё первое оправдание в соответствующих соотношениях действительного мира. Так, например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике. Поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а в том лишь, как это сделать» (БСЭ, т. 38, стр. 370).
      Понятие функции, являясь основным понятием математики на рассматриваемом этапе, полностью сохранило своё первостепенное значение и до настоящего времени, но за истекшее время оно существенно эволюционировало. Первоначально функцию рассматривали как переменную величину, значения которой определяются в зависимости от выбираемых по произволу значений другой переменной (независимой переменной, или аргумента) по^некоторой формуле, называемой аналитическим выражением этой функции. Так, Л. Эйлер в своём «Введении в анализ» говорит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств» (перевод с латинского Е. Л. Паца-новского, ОНТИ, 1936, стр. 30). Дальнейшее развитие математики привело к значительно более общему пониманию функции, основанному на понятиях множества, элемента множества, соответствия элементов двух множеств: если каждому элементу х множества М поставлен в соответствие некоторый элемент у множества V, то говорят, что на множестве М задана однозначная функция, и пишут …. При этом элементы М называются значениями аргумента, а элементы N — значениями функции. Элементами множеств М и N могут быть объекты любой природы, но наиболее важен тот случай, когда это — числа. Если это не числа, а точки, то мы имеем простейший случай геометрического преобразования (точечное преобразование). Примером последнего может служить изображение на чертеже, т. е. на куске плоскости, какого-нибудь сооружения (здания, машины): каждой точке сооружения соответствует получаемая по определённому закону, различному для различных методов изображения определённая, точка чертежа.
      Развитие математики в России в XVII и XVIII вв. характеризуется следующими фактами. Появляется много рукописей математического содержания, посвящённых частью арифметике, частью геометрии и её приложениям в землемерии. Учреждаются школы: «Математических и навигацких, т. е. мореходно-хитростных наук школа» в Москве, переведённая в 1715 г. в Петербург и преобразованная в Морскую академию («Академию Морской Гвардии»), «цифирные школы» в разных городах, «гарнизонные» и другие военные школы. Появляется замечательное руководство элементарной математики, составленное Л. Ф. Магницким и вышедшее в 1703 г. под названием «Арифметика»; наряду с арифметикой оно содержало начатки алгебры, геометрии и тригонометрии. В 1724 г. была основана Петербургская академия наук, в которой с первых же лет работали крупнейшие математики того времени: братья Николай и Даниил Бернулли, Христиан Гольдбах, а с 1727 г. знаменитый Леонард Эйлер, проведшей в Петербурге в общей сложности 30 лет своей жизни и опубликовавший большую часть своих работ в изданиях Академии (473 мемуара). В 1755 г. заботами величайшего русского учёного Михаила Васильевича Ломоносова был основан первый русский университет (в Москве). Появились многочисленные русские переводы лучших иностранных учебников математики, появился и ряд оригинальных учебников арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии, анализа, не уступавших по научному уровню лучшим западноевропейским учебникам того времени. Всего за первую половину XVIII в. на русском языке вышло 30 учебников, посвящённых математике целиком или имеющих специальные математические разделы,, а за вторую половину этого века таких книг вышло уже 98 (см. статью А. П. Юшкевича «Математика и её преподавание в России в XVIII— XIX вв.» в журнале «Математика в школе» за 1947—1948 гг.).
      Если содержание математической науки на первом основном этапе её развития модсно кратко, хотя и не совсем точно, охарактеризовать термином «элементарная математика», которым обычно обозначают весь материал, изучаемый в начальной и средней школе, то математику второго основного этапа можно назвать (тоже не вполне точно) «классической высшей математикой». Именно ей посвящены в основных своих частях курсы высшей алгебры, математического анализа, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, изучаемые на 1-ми 2-м годах обучения в пединститутах.
      До сравнительно недавнего времени изучение математики в средней школе не выходило сколько-нибудь существенно за рамки того, что математическая наука установила до начала XVII в., а в высшей школе — за рамки того, что вошло в неё до середины XIX в. В настоящее время всеми передовыми работниками в области преподавания математики общепризнано, что основное понятие математики XVII—XVIII вв., а именно понятие функции, должно прочно войти в круг вопросов, изучаемых в средней школе. Высшая же школа должна знакомить будущих учителей математики и с важнейшими завоеваниями математической науки на третьем, современном нам основном этапе её развития, к рассмотрению которого и переходим.
     
      § 3. Третий основной этап развития математики: математика как наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира во всей их общности.
      С XIX в. до наших дней продолжается интенсивное дальнейшее развитие классической высшей математики.
      В теснейшей связи со многими блестящими достижениями на старых путях развития математики перед математикой открылись новые горизонты: оказалось, что математика переросла прежние рамки, ограничивающие её изучением чисел, величин и процессов их изменения, геометрических фигур и их преобразований, что она является наукой о более общих количественных отношениях, для которых числа и величины оказываются лишь весьма частными случаями, и о более общих пространственных формах, частный случай которых представляют обычные геометрические образы пространства одного, двух, трёх измерений.
      Поясним это обстоятельство, имеющее первостепенное значение для правильного понимания современной математики, двумя примерами.
      Изучая в арифметике и в алгебре разного рода числа (целые, рациональные, действительные,, комплексные, гиперкомплексные), мы имеем дело со множествами, для элементов которых установлены некоторые операции (сложение, умножение и др.), обладающие определёнными свойствами. Оказалось, что во многих вопросах математики, механики и физики мы встречаемся со множествами, элементами которых являются объекты иной природы (например, подстановки в алгебре, движения и преобразования в геометрии и т. п.), для которых существует некоторая операция, позволяющая по любым двум элементам данного множества однозначно определять третий его элемент. Операция эта имеет черты сходства с умножением (или сложением) чисел, а именно: если элементы обозначать буквами Л, £, С,..., а результат операции, применённой к любым двум элементам А и В, через АВ, то основные свойства операции выражаются следующим образом: 1) (АВ)С= А(ВС); 2) существует элемент Е такой, что АЕ = Ау каков бы ни был элемент А; 3) для каждого элемента А существует обратный элемент Л—1 такой, что ЛЛ—1 = Е. Каждое множество элементов, для которых существует подобная операция, называется группой. Теория групп, созданная сначала для нужд алгебры, скоро нашла применение в самых разнообразных отделах математики и естествознания (геометрия, анализ, физика). Таким образом, в теории групп рассматриваются с единой точки зрения количественные и пространственные отношения объектов весьма разнообразной природы (числа, функции, движения, преобразованйя), лишь бы только для них имела смысл операция, удовлетворяющая описанным выше требованиям.
      В качестве другого примера следует указать на переворот в науке, вызванный открытиями гениального русского математика Н. И. Лобачевского, установившего, что наряду с геометрией Евклида существуют ещё и другие геометрии, отличающиеся от евклидовой и вместе с тем изучающие пространственные отношения реального мира в такой же мере, как и евклидова геометрия. В исследованиях Лобачевского, коренится основная для всего дальнейшего развития математики идея о различных «пространствах» как объектах математического исследования. В наиболее общем виде понятие «пространства» изучается теперь в топологии, под именем топологического пространства. Так называется любое множество, для элементов которого установлено понятие окрестности, имеющее черты сходства с окрестностями точек на плоскости или в обычном пространстве (евклидовом), а именно: окрестностями данного элемента должны быть некоторые совокупности элементов данного множества, обладающие следующими свойствами: 1) окрестность данного элемента а содержит элемент а\ 2) в каждой из двух любых окрестностей одного и того же элемента а содержится некоторая третья окрестность того же элемента;-3) если элемент Ь содержится в данной окрестности элемента а, то в той же окрестности содержится и некоторая окрестность Ь.
      Элементы топологического пространства называются точками. Созданное сначала в интересах геометрии понятие «пространства» приобрело чрезвычайно важное значение в других отделах математики и естествознания (анализ, физика и механика).
      Третий основной этап развития математики столь богат крупнейшими открытиями во всех её областях, что мы не можем в рамках этой книги даже пытаться охарактеризовать их хотя бы в самом сжатом виде. Приведём лишь некоторые имена русских дореволюционных и советских математиков.
      Кроме уже упомянутого Н. И. Лобачевского, назовём ещё, ограничиваясь крупнейшими деятелями, П. Л. Чебышева (1821—1894), прославившегося своими исследованиями по анализу (теория наилучшего приближения), теории чисел (закон распределения простых чисел) и теории вероятнрстей; С. В. Ковалевскую (1850—1891), которая, по общему признанию, является крупнейшим математиком среди женщин всего мира; А. М. Ляпунова (1857— 1918), блестяще разработавшего труднейшие проблемы современной механики — теорию устойчивости движения и теорию фигур равновесия вращающихся жидких тел; Н. Е. Жуковского (1847—1921), основоположника современной аэромеханики ичсоздателя школы советских авиаконструкторов; Героя Социалистического Труда академика А. Н. Крылова (1863—1945), с исключительным успехом разработавшего ряд вопросов математики, имеющих первостепенное значение для кораблестроения; С. А. Чаплыгина (1870—1942), продолжавшего и развивавшего дело Н. Е. Жуковского; Н. Н.Лузина (1883—1950),— основателя теоретико-множественной московской школы.
      Недостаток места не позволяет остановиться на крупнейших достижениях ныне здравствующих советских математиков, в первую очередь И. М. Виноградова, С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, П. С. Александрова, И. Г. Петровского, М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева, Н. И. Мусхелишвилиидр.
      Для большинства исследований выдающихся русских математиков характерна глубина и смелость творческой мысли, соединённая с проникновенным пониманием потребностей практики. Роль сближения теории и практики в математическом творчестве прекрасно выражена П. Л. Чебышевым в его знаменитой речи «Черчение географических карт» (1856). «Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием её; она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены математические науки трудами великих геометров трёх последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий её, то она ещё более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике».
     
      § 4. Математика и другие науки. Приложения математики.
      Идеализм в математике.
      Все науки, изучая различные стороны действительности, имеют в большей или меньшей степени дело с количественными отношениями и пространственными формами, и используют в силу этого математику. «Математический метод в применении к изучению того или иного специального круга явлений (будь то физических, биологических или социальных) состоит... в выделении формы изучаемых явлений и исследований этой формы в чистом виде» (А. Н. Колмогоров). Например, изучая колебательное движение в самых различных случаях (колебания груза, подвешенного на пружине, или колебания уровня жидкости, перетекающей из одного сосуда в другой по широкой короткой трубке, или колебания частиц воздуха, воспринимаемые ухом как звук, или колебания электрические, используемые в радио, и т. д.), физика выделяет простейшую их форму, а именно: гармонические колебания движущейся точки, вполне характеризуемые дифференциальным уравнением = 0 и надлежащими начальными условиями. Изу-
      чение функции у9 определяемой таким образом, даёт абстрактную математическую базу всех конкретных случаев колебательного движения (в первом приближении).
      «Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Очень просто выражающийся математический закон всемирного тяготения почти полностью определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но возникающая здесь задача движения материальных точек под действием сил тяготения уже в случае п = 3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, добытый математическим анализом принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности лежат в извлечении математических следствий из раз принятой схемы» (академик А. Н. Колмогоров, [I, 30а]).
      Однако чем качественно сложнее изучамые явления, чем больше качественно новых сторон появляется при каждом новом шаге исследования, тем труднее выделить чистые количественные формы и отношения и тем менее существенными они являются, тем ограниченнее применение математического метода. В своём конспекте «Науки логики» Гегеля В. И. Ленин характеризует, как «меткое замечание», следующую мысль Гегеля: «Чем богаче определённостью, а тем самым и отношениями, становятся мысли, тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой, более произвольным и лишённым смысла становится их изображение в таких формах, как числа» (Ленин, Философские тетради, конспект книги Гегеля «Наука логики», 1947, стр. 91). Поэтому, например, в науках биологических математический метод применяется несравненно меньше, чем в механике и физике, и ещё в меньшей степени в науках общественных.
      Вопрос о приложениях математики имеет первостепенное значение для преподавания математики: нельзя плодотворно изучать математику, отрывая теорию от её практических приложений. Важно правильно понимать связь между «чистой» математической наукой и её приложениями. Первые шаги в развитии математики были сделаны, как уже не раз отмечалось выше, под давлением непосредственных требований житейской практики. В дальнейшем, по мере развития астрономии, механики, физики, техники, установилось деятельное и в высшей степени плодотворное сотрудничество между этими науками и математикой. Математика полнее, точнее, глубже разрабатывала свои методы, находившие себе самое широкое применение в других науках, а эти последние, в свою очередь, выдвигали новые математические проблемы, нередко существенно двигавшие вперёд математику.
      Здесь необходимо остановиться на вопросе о том, как сами математики в различные эпохи и с различных идеологических позиций относились к вопросу об отношениях своей науки к познанию действительности.
      Единственно научный взгляд на этот вопрос принадлежит советской науке, исходящей из общих принципов диалектического материализма, разработанных Марксом, Энгельсом, Лениным, Сталиным.
      В его основе лежит фундаментальное положение философского материализма, утверждающее, что «...материя, природа, бытие представляет объективную реальность, существующую вне и независимо от сознания, что материя первична, так как она является источником ощущений, представлений, сознания, а сознание вторично, производно, так как оно являетсяотображением материи, отображением бытия...» («История Всесоюзной Коммунистической партии (большевиков). Краткий курс», 1945, стр. 106—107). Математика, как и всякая наука, имеет предметом изучения объективную реальность. Её отличие от других наук, её специфика, заключается в том, что, как уже говорилось выше, изучая объективную реальность, математика абстрагируется, отвлекается, от всего того, что не относится к наиболее общим сторонам действительного мира: его количественным и пространственным формам и отношениям. Такая крайняя степень абстракции не представляет собой порока математического метода, который следовало бы как-то исправлять. Напротив, именно в этой абстракции заключается основное условие существования и сила математической науки. Но абстрактный характер математической науки создаёт в иных головах иллюзию независимости математики от действительности. Со времён Платона идеалисты всех мастей, ведя борьбу с материализмом, пытались опираться на математику как на своего союзника. Идеалистические взгляды на математику чрезвычайно распространены в современной буржуазной науке. Автор недавнего обзора зарубежных исследований по основаниям математики прямр заявляет, что «в одном отношении они согласны между собой — и это сейчас можно считать почти единодушным мнением всех математиков,— что положения чистой математики ничего не говорят о действительности...» (А. Гейтинг, Обзор исследований по основаниям математики. Перевод с немецкого А. П. Юшкевича, ОНТИ, 1936, стр. 84). Указанный автор ссылается при этом на авторитет известного французского математика и физика А. Пуанкаре, способствовавшего «обоснованию» указанного взгляда. Действительно, А. Пуанкаре, «крупный физик и мелкий философ», по выражению В. И. Ленина, имел в своё время большой успех своими популярно-философскими книгами: «Реакционнейшая идеалистическая философия с определённо фидеистическими выводами сразу ухватилась за его теорию» (В. И. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, 1948, стр. 273—274). Однако В. И. Ленин в своей знаменитой книге неопровержимо доказал, в какой мере мало оригинальными были философские взгляды А. Пуанкаре, повторявшего лишь зады идеалистической философии, плохо увязанные между собой. Следовательно, «философская база», лежащая в основе взглядов, формулированных Гейтингом, весьма и весьма мало почтенна.
      Взглядам современных буржуазных эпигонов идеализма противостоят материалистические взгляды классиков науки. Галилей в следующих образных выражениях утверждал объективную значимость математики: «философия написана в грандиознейшей книге, которая всегда открыта для всех и каждого,—я говорю о вселенной, но не может понять её тот, кто раньше не научится понимать язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке и знаки её суть треугольники, круги и прочие математические фигуры».
      Для Ньютона характерно утверждение об объективном существовании времени и пространства («абсолютное» время и «абсолютное» пространство), изучение которых есть задача математики и механики. Взгляды Эйлера с большой подробностью излагаются в его научно-популярном сочинении «Письма к одной немецкой принцессе о различных вопросах фи шки и философии». Он неоднократно чподчёркивает, что «чувства представляют нам только объекты, действительно существующие вне нас». Правда, оспаривая идеалистов и «эгоистов» (по современной терминологии, солипсистов), Эйлер попутно нападает и на материалистов. Но это не мешает ему самому, в основных вопросах, стоять на почве материализма. Он говорит, что «душа обнаруживает способность, называемую абстракцией, действующую, когда душа фиксирует внимание только на количестве или качестве объекта, которое отделяется ею от объекта и рассматривается, как если бы оно не было связано с объектом». Именно этим путём образуются понятия и, в частности, понятия числа и фигуры. В другом письме, посвящённом пространству, Эйлер пишет: «Известно, что пространство (протяжение) есть подлинный объект герметрии, где тела рассматриваются постольку, поскольку они протяжённы, абстрагируясь от непроницаемости и инерции...» Далёе Эйлер замечает, что «имеются философы и их даже большинство в настоящее время, которые явно отрицают,что свойства, соответствующие пространству, вообще, т. е. в том виде, в котором их рассматривают в геометрии, имеют место в действительно существующих телах. Они говорят, что геометрическое пространство есть сущность, лишённая свойств, от которой ничего нельзя заключать о свойствах действительных вещей...» И далее Эйлер вступает в полемику с этими философами. Мы видим, что то, что современные буржуазные учёные выдают за последнюю новинку (см. выше высказывание Гейтинга), опровергалось ещё в XVIII в. Эйлером.
      Ознакомившись с воззрениями знаменитого швейцарца, избравшего Россию своим вторым отечеством, мы обратимся далее к взглядам двух крупнейших русских математиков XIX в.— Лобачевского и Чебышева. Открытие Лобачевского нанесло смертельный удар кантианской философии, имевшей весьма большое хождение среди математиков. Кант, утверждая, что «пространство не есть что-либо объективное и реальное, ни субстанция, ни акциденция, ни отношение, но оно субъективно и идеально...» («О форме и принципах чувственного и умопостигаемого мира», 1770), добавлял: «Ведь если все свойства пространства только путём опыта заимствованы из внешних отношений, то... можно надеяться, что, как это бывает в эмпирических науках, некогда будет открыто пространство, обладающее другими изначальными свойствами...» Это соображение, приводимое Кантом как неотразимый аргумент, для нас звучит как пророчество гибели кантовской системы от руки Лобачевского. Изучение величественного научного наследства Лобачевского неопровержимо свидетельствует, что этот гениальный мыслитель вполне сознательно шёл на борьбу против кантианства. И в этом отношении, как и во многих других, он стоял неизмеримо выше тех западных учёных, как, например, Гельмгольца, которые, развивая дальше идеи, вызванные открытием неевклидовых геометрий, пытались в то же время подновить, подправить философию Канта.
      Мы приведём несколько высказываний Лобачевского, характеризующих его глубокие материалистические взгляды. «Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времени Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самых понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения» («Новые начала геометрии»), и ещё:
      «... не может быть .никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой геометрии...»
      Вся жизнь и деятельность другого русского гениального математика, П. Л. Чебышева, представляет целостный, чрезвычайно последовательный и глубокий ответ на вопрос об отношении математики к материальной действительности. Сам Чебышев, например, в следующих словах резюмирует свой отчёт о первой заграничной командировке: «Предметы наиболее важные исследованы мною с подробностью, как-то: устройство паровых машин различных систем, ход этих машин под влиянием различных обстоятельств, гидравлические колёса вообще и турбины в особенности, устройство ветряных мельниц по голландской системе, различные органы передачи движения, также различные производства, в особенности писчей бумаги, прядения льна и обработки железа. Кроме того, для меня весьма интересно было общее расположение различных частей фабрик, предмет весьма важный в практическом отношении». Таким образом, П. Л. Чебышев, посвятивший всю свою жизнь математике и только ей одной, и притом весьма абстрактным её частям, совершенно сознательно черпал математическое вдохновение Гельмгольц — один из родоначальников неокантианства — подчёркивал, что он не опровергает взгляды Канта на пространство, как на трансцендентальную форму воззрения.
      в материальной действительности, в передовой практике его времени. Из этого же отчёта видно, как размышления над наивыгоднейшей формой ветряных мельниц, над наименьшим уклонением от прямолинейного движения, превращаемого в круговое движение в передаточных механизмах паровых машин, привели его к основным задачам теории наилучшего приближения, представляющей ныне одну из наиболее замечательных глав математического анализа. Выше мы уже цитировали глубокие мысли П. Л. Чебышева о взаимоотношении теории и практики, высказанные в речи «Черчение географических карт».
      Ограничимся приведёнными цитатами, из которых вытекает, что взгляды современных буржуазных математиков, опирающихся на Пуанкаре (а также на Вейля, Брауэра и др.), представляют несомненный шаг назад по отношению к взглядам таких подлинных корифеев науки, как Эйлер, Лобачевский и Чебышев.
      Математика была и остаётся могущественнейшим средством познания действительного мира, оказывающим величайшую помощь человеку на всех ступенях культуры, начиная от первобытного человека, например кочевника-скотовода, который, подсчитав число голов в своём стаде утром и вечером, убеждается, что столько-то голов исчезло и их надо искать, до современных учёных, предвычисляющих, например, все детали предстоящего солнечного затмения. Математики-идеалисты бессильны объяснить это могущество математики, и в этом одно из самых простых опровержение их измышлений.
     
      § 5. Математические понятия (определяемые и основные).
      Род и вид. Определения и описания. Классификация.
      Первым основным требованием, которое предъявляется к изложению любой науки, является требование определённости (ясности, чёткости) всех тех понятий, с какими данная наука имеет дело: употребляя какой-либо специальный термин, выражающий некоторое новое, ранее не рассмотренное понятие, необходимо обеспечить правильное понимание этого термина, установить точный его смысл, раскрыть, как говорят, содержание соответствующего понятия.
      Содержание подавляющего большинства математических понятий раскрывается через определения: впервые употребляя новый математический термин, мы обязаны определить его, т. е. разъяснить его смысл, пользуясь при этом так называемыми первичными терминами: «каждый», «всё» «существует», «нет», «и», «или», «если..., то», «если и только если» («тогда#и только тогда») и т! д., а также теми математическими понятиями, смысл которых является ранее установленным. Например, определяя составное число как такое натуральное число, которое имеет по крайней мере один собственный делитель, мы устаналиваем понятие составного числа на основе понятий натурального числа и собственного делителя, предполагаемых известными.
      Обычная форма определения — указание рода и видового при знака, т. е. указание более общего понятия, частным случаем которого является определяемое, и какого-нибудь признака, отличающего новое понятие от всех других, объединяемых этим более общим. В приведённом примере с составным числом определение указывает род — натуральное число, и видовой признак — наличность по крайней мере одного собственного делителя. Словесная формулировка определения не всегда содержит явное указание на род и видовой признак, но анализ определения всегда позволяет их установить. Например, определяя ортогональную проекцию точки на ось как основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось, мы можем легко видеть, что здесь род — точка, видовой признак — связь с данной точкой, устанавливаемая указанным построением.
      Вовсе не касаясь важного и интересного вопроса о том, как вырабатываются понятия на основе представлений, рассмотрим те требования, какие предъявляются к определениям.
      Во-первых, определения не должны содержать ссылок на новые, ещё не определённые понятия. Нельзя допускать, чтобы при объяснении смысла непонятного термина употреблялись термины столь же или ещё более непонятные (obscurum per obscurius), т. e. тёмное через ещё более тёмное. Это, однако, отнюдь не исключает ссылок на основные понятия, содержание которых раскрывается иными путями и о которых речь будет ниже. Например, попытка определения угла как меры наклона одной прямой к другой ничего не даёт, так как понятие наклона требует, в свою очередь, определения и раскрывается только с помощью понятия угла: получается порочный круг в определении (circulus vitiosus). Другой пример порочного круга: на вопрос, что представляет собой столь употребительное в анализе число е —2,7182818..., нельзя отвечать указа- нием на то, что это число е является основанием натуральных логарифмов, так как на законный и неизбежный вопрос о том, что же называется натуральными логарифмами, приходится отвечать, что это логарифмы, взятые по основанию е. Правильное определение
      Чтобы сделать определение числа е как основания натуральных логарифмов законным, надо дать натуральному логарифму какое-либо другое определение, независящее от числа е, например,
      Во-вторых, определение должно быть соразмерным определяемому понятию, «адекватным» ему, не должно быть ни чрезмерно широким, ни слишком узким. Например, грубой ошибкой является определение иррационального числа как корня из рационального числа, прй условии, что этот корень точно не извлекается:…
      существует бесконечное множество иррациональных чисел, которые не допускают представления в виде корней из рациональных чисел, как числа к, е, 2 и т. д. Это определение недопустимо узко, оно не охватывает всех иррациональных чисел. Но неправильно и определение иррационального, числа как бесконечной десятичной дроби.: оно слишком широко, так как все периодические десятичные дроби бесконечны, но выражают рациональные числа. Из нескольких известных правильных определений иррационального числа в средней школе применяется его определение как бесконечной непериодической десятичной дроби.
      В-третьих, определение не должно содержать указаний на такие свойства определяемых понятий, какие вытекают из определений. Хотя подобные указания могут и не нарушать адекватности определения, они излишни. Например, определяя парал-лелограм как плоский четырёхугольник с двумя парами соответственно равных и параллельных сторон, мы смешиваем здесь определение параллелограма с одной теоремой о нём: если четырёхугольник имеет две пары соответственно параллельных сторон, то эти стороны попарно равны, в чём легко убедиться, проводя диагональ и сравнивая два полученных треугольника. Следовательно, указание на равенство сторон надо исключить. Исключить надо и термин «плоский», так как любой четырёхугольник даже с одной парой параллельных сторон (трапеция) всегда плоский.
      Одно и то же понятие часто допускает разные определения, так как любое характеристическое для рассматриваемых- объектов свойство, т. е. свойство, имеющееся у них всех и только у них, может хшужить основой для определения. Так, возможно второе, тоже совершенно правильное определение параллелограма как плоского четырёхугольника с двумя парами соответственно равных и не пересекающихся сторон. Легко видеть, что пропуск указания на расположение в одной плоскости и на отсутствие пересечения здесь недопустим. Пользование различными определениями одного и того же понятия обязывает нас проверять их равносильность (эквивалентность): надо доказать, что всякий объект, удовлетворяющий первому определению, удовлетворяет и второму, и обратно. Например, если бы мы пожелали определить параллельные прямые как равноотстоящие, т. е. такие, что каждая точка одной имеет одно и то же расстояние до другой, что возможно, если предварительно доказать, что множество точек плоскости, .отстоящих на одно и то же расстояние от данной прямой и расположенных по одну её сторону, есть прямая, то мы обязаны были бы доказать, что всякие две равноотстоящие прямые находятся в одной плоскости и не пересекаются, и обратно, что прямые, параллельные в смысле обычного определения, т. е.. находящиеся в одной плоскости и не пересекающиеся, являются равноотстоящими. Без такого доказательства мы не имеем права, основываясь на одном определении, использовать выводы, полученные с помощью другого. Отметим, что два только что указанных определения параллельных равносильны лишь в геометрии Евклида. Как устанавливается в курсе «Оснований геометрии», в геометрии Лобачевского множество точек плоскости, равноотстоящих от данной прямой и расположенных по одну её сторону, образует не прямую, а кривую («гиперцикл»).
      Установив точный смысл какого-нибудь термина, мы должны и в дальнейшем толковать его всегда в этом смысле. Этому отнюдь не противоречит то, что, поднимаясь на более высокую ступень, для которой предыдущая является лишь частным случаем, часто приходйтся обобщать многие прежние понятия и в связи с этим давать им новые определения, нередко сохраняя прежнее наименование понятия. Например, умножение натуральных чисел определяется как сложение равных слагаемых, но когда от изучения натуральных чисел мы переходим к изучению чисел рациональных, необходимо дать новое определение произведения, которое заключает в себе старое как частный случай.
      Высказав какое-либо определение, надо установить, что объекты, ему удовлетворяющие, действительно существуют, что это определение не является пустым, бессодержательным. Так, определяя иррациональное число как бесконечную непериодическую десятичную дробь, мы обязаны показать, что такие дроби существуют. Устанавливая определение того или другого геометрического образа, надо оправдать это определение, доказывая реальность этого образа, что делается обычно через указание построения, к нему приводящего. Например, определяя известным образом правильный многоугольник и правильный многогранник, сейчас же рассматривают способы их построения, очень простые для многоугольника (через деление окружности на п равных частей) и значительно более сложные для многогранника.
      Разумеется, предпочтительнее по ряду соображений обратный порядок: сперва обнаружить существование объектов, имеющих некоторые определённые свойства, показать важность их изучения, а затем дать этим объектам название и точное определение.
      Всякое определение раскрывает содержание нового понятия, устанавливая его связь с понятиями, определёнными ранее. Но с чего-то надо начинать: дать определения всем понятиям какой бы то ни было науки невозможно. Отсюда необходимость выделения основных или первоначальных понятий данной науки, понятий, содержание которых раскрывается не через определения, сводящиеся к указанию рода и вида, а иными способами, из которых укажем три важнейших, а именно: описание, косвенное определение через аксиомы, косвенное определение через абстракцию. Так все попытки дать определение через указание рода и видового признака таким понятиям геометрии, как точка, прямая, плоскость и некоторые другие, являются несостоятельными. Оставаясь в рамках первого основного этапа развития математики, т. е. занимаясь в геометрии изучением фигур, мы устанавливаем точный общепринятый в науке смысл щтцх терминов, указывая объекты, более или менее близкие к этим (полученным в результате абстракции) точным геометрическим образам (остриё иглы, туго натянутая тонкая нить, спокойная поверхность жидкости в небольшом сосуде т. д.), и выясняя, что нужно делать с этими более или менее грубыми моделями, чтобы они всё лучше и лучше соответствовали этим образам (предельный переход). Для школьного курса математики описания такого рода имеют первостепенное значение. Лучше, если они являются конструктивными, т. е. если в них устанавливается способ получения соответствующих объектов. Ещё лучше, если учащиеся не только знакомятся с такими конструктивными описаниями, но и сами создают, руководствуясь ими, более или менее совершенные модели. Например, понятие плоскости может быть раскрыто через описание способа её получения посредством движения одной прямой (рейки) по двум другим неподвижным пересекающимся прямым (рейкам).
      Несравненно меньшее значение для школы, но большее для науки, имеет косвенное определение основных понятий через аксиомы. Все теоремы геометрии выводятся здесь при этом логически из аксиом, а в аксиомах говорится лишь о немногих свойствах основных геометрических образов. Например, изучая точки и прямые, мы исходим из таких фактов, как возможность двух и только двух случаев взаимного расположения точки и прямой (точка либо лежит на прямой, «инцидентна» ей, либо не лежит на ней, ей «не инцидентна»), как существование одной и только одной прямой, инцидентной любдом двум данным точкам, и т. д. Все эти факты формулированы в виде аксиом, которые в совокупности дают все нужные для построения геометрии свойства точек и прямых, не прибегая к прямому определению этих понятий. В аксиомах ничего не говорится о таких, казалось бы, весьма существенных вещах, как толщина прямой, свойство прямолинейного отрезка быть кратчайшим путём, соединяющим его концы, и о многих других свойствах, имеющих первостепенное значение для нашего наглядного представления о геометрических образах. Отсюда неизбежен вывод, что основные понятия, с которыми имеет дело данная математическая дисциплина, относятся к любым объектам, удовлетворяющим данным аксиомам, независимо от конкретных особенностей этих объектов. Указанный способ раскрытия содержания основных понятий, чрезвычайно расширяющий поле применения каждой математической дисциплины, не применим в средней школе в сколько-нибудь последовательном и полном виде.
      Так же велико для науки значение определений через абстракцию, устанавливающих содержание нового понятия как того общего, что имеют объекты самой разнообразной природы, объединяемые в один класс по какому-либо признаку. Отвлекаясь (абстрагируясь) от всех свойств этих объектов, отличающих их друг от друга, мы приходим в конце концов к свойству, общему им всем (это свойство есть принадлежность к данному классу), что и является содержанием соответствующего понятия. Так, любое натуральное число можно рассматривать как выражение того общего, что имеют все эквивалентные (т. е. допускающие хотя бы одним способом взаимно-однозначное соответствие элементов), конечные множества. Но следует заметить, что понятие натурального числа формируется у всякого нормального ребёнка ещё в дошкольном возрасте, и средняя школа может считать, что каждый учащийся уже владеет этим понятием. Достаточно сказать чтобы внести ясность в употребление термина, что натуральными числами называются числа 1, 2, 3, 4,..., ряд которых можно продолжать неограниченно. Вообще, определения через абстракцию служат для раскрытия содержания самых общих основных понятий, связанных с углублённым их изучением, и в средней школе к ним не приходится прибегать.
      Вопрос об определяемых и основных понятиях решается по-разному в зависимости от условий и целей цауччогр иди учрбцогр изложения. Например, при научном изложении элементарной геометрии понятия «внутри», «вне» определяются, но в средней школе эти определения не даются; считается, что каждый имеет ясное представление о смысле этих терминов, в случае необходимости обращаются к показу на примерах. Дать эти определения нетрудно,« по крайней мере в таких простейших случаях, как для окружности, треугольника, выпуклого многоугольника, но надобности в них в средней школе нет. Всё значение этих и подобных определений заключается в уменьшении числа основных понятий, определяемых косвенно через аксиомы, и для начинающих изучать математику их рассмотрение непосильно; здесь совершенно достаточно соответствующих описаний.
      Переходим к вопросу о классификации. Как при изложений математической науки, так и во многих случаях практического её применения приходится производить деление понятия: всю совокупность (всё множество) вещей, охватываемых данным понятием, приходится подразделять (классифицировать) на два или более классов. Классификация, или, как её ещё называют, «дизъюнкция», должна быть полной, исчерпывающей: каждый рассматриваемый объект должен попасть в один и только один из классов. Например, совокупность всех натуральных чисел можно подразделить на множество чисел простых, каждое из которых имеет два и только два делителя, и на множество чисел составных, каждое из которых имеет по крайней мере три делителя. Эта классификация будет, однако, неполной, не охватывающей всего множества натуральных чисел, если мы забудем про число 1, имеющее лишь одного делителя и не являющееся поэтому ни простым, ни составным. Полным будет подразделение натуральных чисел по числу делителей на три класса: числа простые, числа составные, единица.
      Разумеется, наряду с этой классификацией натуральных чисел возможны и многие другие логически правильные их классификации. Так, в теории чисел часто применяется классификация натуральных чисел по остаткам от деления на некоторое определённое число — модуль. Например, по модулю 5 все натуральные числа распадаются на 5 классов, выражаемых формулами 5а, 5а 4- 1 5а + 2, 5а + 3, 5а + 4, где а — любое целое неотрицательное число.
      Требование полноты будет также нарушено, если будем классифицировать треугольники на прямоугольные и равнобедренные, так как при этом косоугольные разносторонние треугольники не попадут ни в один из классов, а каждый треугольник со сторонами … попадёт в оба эти класса. Нельзя классифицировать действительные числа на целые и рациональные, так как всякое целое число является в то же время рациональным, а кроме того, существуют действительные иррациональные числа. Очень часто производится неправильное противопоставление действительных чисел комплексным. Множество комплексных чисел, т. е. чисел вида а 4-4-Ы9 где а и Ь — любые действительные числа, а — мнимая единица, распадается на два класса, а именно: на числа действительные, или вещественные (при Ь 0), и числа мнвмые (при Ь ф 0).
      Поэтому надо говорить не о действительных и комплексных числах, а о комплексных действительных и о комплексных мнимых числах.
      Решение многих математических задач требует умения классифицировать все случаи, какие могут представиться. Например, занимаясь построением треугольника ABC по данному его основанию АВ, высоте ha и углу при вершине С, равному а (0а180°), мы должны различать три следущих возможных и единственно возможных случая: круговой сегмент, построенный на отрезке А В и вмещающий вписанный угол а, может иметь стрелку, меньшую ha, равную ha, большую ha. В первом случае решений нет; во втором имеется одно решение; в третьем — два решения, симметричные относительно срединного перпендикуляра отрезка АВ.
      Классификация должна проводиться по существенному для данного вопроса признаку. Например, в приведённом примере было бы бесполезно проводить классификацию по величине угла а. Но если бы, однако, угол я предполагался в этом примере заданным произвольно, нам пришлось бы различать два случая: первый, когда 0 180° и когда, следовательно, треугольники с углом а существуют, и второй, когда оКО или а 180° и когда таких треугольников вообще нет; в первом случае мы имеем три указанных выше «подслучая».
      Трудности классификации растут при увеличении числа признаков, по которым она проводится. Так, если по признаку I мы имеем а классов, а по признаку II то же множество объектов распадается на b классов, то, принимая во внимание оба признака одновременно, мы получим всего, вообще говоря, ab классов (возможно снижение этого числа в отдельных случаях). Так, классифицируя треугольники по величине углов на остроугольные (у которых все три угла острые), прямоугольные (у которых один из углов прямой) и тупоугольные (один из углов тупой), а по сравнительной величине сторон на равносторонние, равнобедренные и разносторонние (считая равнобедренным треугольник со сторонами а, а, Ь, если а Ф Ь), мы получим, принимая во внимание оба признака, всего 33 = 9 классов, но два из них оказываются пустыми, так как равносторонних прямоугольных и равносторонних тупоугольных треугольников не существует.
      В случае такой более сложной классификации очень удобна «дихотомия», т. е. последовательное подразделение всего рассматриваемого множества на два класса, когда в один класс относят все объекты, имеющие некоторый признак, а во второй все остальные, и этот второй класс в дальнейшем снова подразделяют на два класса. Например, при исследовании всех возможных случаев, какие могут представиться при решении системы ах + by = с, ахх -f- Ьху = Су, когда приходится принимать во внимание различные значения определителей D = abx — bax, Dx = cbx — bclt Dz = = асх—са1, коэффициентов а, Ь, ах, Ьх и, наконец, значения свободных членов с и с1( выгодно сперва взя1ъ случай, когда D Ф 0, И случай, когда D = 0. Констатируя, что при D ф 0 система всегда
      имеет единственное решение, для случая 0=0, проводим новую дихотомию: если при 0=0 имеем Ох ф 0, или если 0=0, Ох=О, 62фО, то система несовместна. Если же О = 0, Ох = О, Ь2 = О, проводим следующую дихотомию: различаем, во-первых, случай» когда хотя бы один из коэффициентов а, Ь, ах, Ьх отличен от нуля и когда система сводится к одному уравнению и является неопределённой с одним свободным неизвестным (одно из неизвестных можно взять по произволу), и, во-вторых, случай, когда а = Ъ = =а1—Ь1—0. Этот последний случай подвергается новой дихотомии: если с Ф 0 или с = 0, сг ф О, то система несовместна, а если с — сх = 0, то система неопределённа, имея два свободных неизвестных.
      Искусство проводить классификацию весьма существенно и для усвоения теоретической стороны курса математики, и для успешного решения задач, когда приходится заниматься исследованием решения.

      § 6. Математические предложения (теоремы и аксиомы).
      Предложения обратные, противоположные, обратные противоположным. Условия необходимые и достаточные.
      Располагая рядом понятий, .наука устанавливает относительно них различные суждения, составляющие основное её содержание.
      «Суждением называется мысль, которая утверждает или отрицает что-либо относительно предметов и их признаков. Так, например, в суждении «СССР есть Советское социалистическое государство рабочих и крестьян» мы утверждаем, что Советский Союз есть Советское социалистачекое государство рабочих и крестьян. В суждении «советские люди не хотят войны» мы отрицаем то, что советские люди стремятся к войне» (С. Н. Виноградов)
      А. Ф. Кузьмин, Логика. Учебник для средней школы, Учпедгиз, 1949, стр. 51).
      Математические суждения обычно называются предложениями. Если истинность предложения допускается, но не доказывается на основании других предложений, его называют аксиомой (от греческого сестра — признание, почёт, общепризнанное положение), или постулатом (от латинского «постуляре» — требовать; постулат — предложение, признание истинности которого требуется для проведения данного рассуждения). Если истинность данного предложения доказывается, т. е. устанавливается как логическое следствие других математических предложений, принимаемых за истинные, то его называют теоремой (греческое созерцать, рассматривать). Теорему, легко доказываемую с помощью другой теоремы, называют её «следствием»; нередко следствие отмечает просто какой-либо частный случай соответствующей теоремы (например, из теоремы о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна двум прямым углам, вытекает следствие, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу). Теорему, представляющую интерес только как ступени к доказательству какой-либо другой теоремы, называют «леммой» (буквально греческое слово Хгцлра обозначает взятку, прибыль).
      Несмотря на самую разнообразную словесную форму математических предложений, их можно всегда привести к следующему стандартному виду: «Если некоторый элемент определённого множества имеет свойство Л, то он имеет также свойсто 5», или короче: «Если есть А, то есть и 5». Здесь мы имеем две явно выраженные части: первую («если есть Л»), называемую условием, и вторую («то есть и 5») — заключение. Например, теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника представляется в этой стандартной форме так: «Если два угла треугольника лежат против равных его сторон, то эти два угла равны». Нередко предложение содержит не одно, а два или более условий. Возьмём, например, теорему: «Если радиус окружности перпендикулярен к данной её хорде, то он делит эту хорду пополам». Здесь речь идёт о прямой, которая, во-первых, лежит в одной плоскости с данной окружностью, во-вторых, проходит через её центр, в-третьих, перпендикулярна к данной хорде. Налицо три условия, из которых первое на занятиях планиметрией можно только подразумевать, не формулируя его явно. Если предложение содержит не одно, а два или более заключений, его лучше рассматривать как сооветствующее число отдельных предложений, соединённых в одно. Так, теорема «Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине третьей стороны и параллелен ей» является соединением двух теорем с одним и тем же условием.
      Для всякого предложения можно указать так называемое «обратное», получаемое в результате перестановки местами условия и заключения. Для предложения «Если есть А, то есть и В» обратным является предложение «Если есть В, то есть и А». Ясно, что обращение последнего предложения опять возвращает нас к первому: эти два предложения взаимно-обратны. Истинность какого-либо предложения ещё ничего не говорит об истинности или ложности обратного предложения. Для теоремы «Если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны тоже равны» имеет место обратная теорема, а именно: «Если две стороны треугольника равны, то противолежащие им углы тоже равны». Но для предложения «Если человек живёт в городе Калинине, то он живёт в Калининской области» обратное: («Если человек живёт в Калининской области, то он живёт в городе Калинине»), очевидно, неверно. Ввиду этого в каждом отдельном случае приходится выяснять, истинно ли обратное предложение или нет.
      Всякое предложение, данное в утвердительной форме, можно представить в форме отрицательной: предложение «Если есть А, то есть и В» совершенно равносильно предложению «Если нет В, То нет и Л». Действительно, если истинно первое, то истинно и второе: если нет В, то не может быть и А, так как существование A, согласно первому предложению, влечёт за собой существование B. С другой стороны, если истинно второе, то истинно и первое: раз есть А, то должно быть и В, так как отсутствие В, согласно второму предложению, влечёт за собой отсутствие А. Следовательно, эти два предложения или одновременно истинны, или одновременно ложны: это по существу не два разных предложения, а одно и то же предложение в двух разных формах. Для получения отрицательной формы любого предложения надо поставить отрицание как перед- условием, так и перед заключением и поменять их местами. Возьмём, например, предложение: сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. В стандартной форме оно читается так: если три угла являются внутренними углами треугольника, то их сумма равна двум прямым. Переводя его в отрицательную форму, получаем предложение: если сумма трёх углов не равна двум прямым, то эти три угла не являются внутренними углами треугольника.
      Отрицая условие и заключение данного предложения, но не переставляя их, мы получаем новое предложение, называемое «противоположным» данному. Это противоположное предложение в некоторых случаях оказывается истинным, в некоторых — ложным. Так, для предложения «Если человек живёт в городе Калинине, он живёт в Калининской области» противоположное ложно («Если человек не живёт в городе Калинине, он не живёт в Калининской области»), а для предложения «Если сумма цифр натурального числа кратна 9, то и само число кратно 9» противоположное истинно («Если сумма цифр натурального числа не кратна 9, то и само число не кратно 9»).
      Легко видеть, что предложение, противоположное данному, является не чем иным, как отрицательной формой предложения, обратного этому данному. Действительно, для предложения «Если есть А, то есть и В» обратным является предложение «Если есть В, то есть и Л». Переводя его в отрицательную форму, т. е. отрицая условие и заключение и меняя их местами, приходим к предложению «Если нет А, то нет и В», т. е. к предложению, противоположному данному. Отсюда заключаем, что предложения противоположное и обратное либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Замечаем также, что данное предложение в отрицательной форме («Если нет В, то нет и 4») можно рассматривать как предложение, противоположное обратному, так как оно получается в результате отрицания условия и заключения предложения «Если есть В, то есть и А, и с таким же правом как предложение, обратное противоположному, так как его можно получить, меняя местами условие и заключение в предложении «Если нет А, то нет и В». Таким образом, всего мы имеем четыре предложения: I. Если есть А, то есть и В.
      II. Если есть В, то есть и А (обратное для I).
      III. Если нет А, то нет И В (противоположное для I).
      IV. Если нет В, то нет и А (противоположное обратному для I или обратное противоположному для I).
      По существу здесь не 4, а только 2 предложения, а именно: I и II. Предложение IV есть не что иное, как предложение I, приведённое в отрицательную форму, а предложение III не что иное, как предложение II в отрицательной форме.
      В теснейшей связи с вопросом об истинности или ложности обратного предложения стоит вопрос об условиях необходимых и достаточных. Допустим, что мы выясняем, при каком условии U имеет место факт V. Если выполнение условия U обеспечивает наличие факта V, то говорят, что условие U достаточно для V. Если отсутствие условия U влечёт за собой отсутствие тo говорят что это условие U необходимо для V. Таким образом, истинность предложения «Если есть 7, то есть и V» указывает на достаточность условия U для факта V, а истинность предложения «Если нет 7, то нет и V», противоположного первому,— на необходимость этого условия. Но предложение, противоположное данному, равносильно, как мы видели, предложению, ему обратному (это то же обратное, представленное в отрицательной форме), а потому всякое достаточное условие совпадает с необходимым тогда и только тогда, когда для предложения, выражающего достаточность этого условия, истинно обратное. Подобным же образом убеждаемся, что всякое необходимое условие является вместе с тем и достаточным тогда и только тогда, когда для предложения, выражающего необходимость этого условия, истинно обратное.
      Итак, приходится различать условия трёх видов: 1) условие достаточное, но не необходимое, когда предложение «Если есть U, то есть и У» истинно, а предложение «Если нет U, то нет и V» ложно; 2) условие необходимое, но не достаточное, когда предложение «Если нет 7, то нет и V» истинно, а предложение «Если есть Ut то есть и У» ложно; 3) условие достаточное и необходимое, когда оба эти предложения истинны. Так, например, достаточным условием равно-великости фигур является их равенство, но это условие не необходимо, так как две фигуры могут иметь одинаковую площадь и не будучи равными. Необходимым условием равенства двух треугольников является равенство одной из сторон первого и одной из сторон второго, но это условие ещё недостаточно. Условием делимости натурального числа, записанного по десятичной системе счисления, на 9 является кратность 9 суммы его цифр; это условие и необходимо и достаточно. Другой пример: для того чтобы корни уравнения х2+ рх+ q = О, где р и q—действительные числа, были оба положительными, необходимы три условия, а именно: р 0, q 0, р2— q ! 0; каждое из них необходимо, так как если нарушено хотя бы одно из них, оба корня положительными быть не могут, но ни одно из них, взятое в отдельности, ещё не достаточно; совокупность же этих трёх условий представляет собой условие достаточное.
      § 7. Индукция и дедукция. Интуиция. Аналогия. Анализ и синтез. Доказательство от противного. Доказательство по методу совершенной индукции.
      На первых ступенях математического развития, как в жизни каждого отдельного человека, так и в жизни всего человечества, единственным источником познания математических истин являются наблюдение и опыт, объединяемые в одном общем понятии индукции (латинское «индукцио» — наведение); только путём наблюдения человек убеждается, например, в том, что два да три составляют пять, только на опыте узнаёт, что прямолинейный путь, ведущий из одной точки в другую, короче всякого другого, соединяющего эти две точки. Опыт, повторённый миллионы раз, выработал у людей особую способность мысленного наблюдения — так называемую интуицию; во многих простых случаях человек бывает в состоянии устанавливать математические истины, не обращаясь непосредственно к показаниям своих внешних чувств, а только на основании своих представлений о действительном положении вещей. Так, имея в одной плоскости прямую а и три точки А, В, С, из которых две первые лежат по одну сторону, а третья по другую сторону этой прямой, человек не нуждается ни в каких наблюдениях, основанных на использовании внешних чувств, чтобы с полной уверенностью утверждать, что отрезок АВ прямой а не пересекает, а отрезки АС и ВС её пересекают. Это заключение делается на основе интуиции, но никогда не следует упускать из виду, что все такие интуитивно постигаемые истины имеют в конечном счёте своим источником индукцию — наблюдение и опыт.
      Необходимо различать индукцию полную, когда вывод делается на основании рассмотрения всех без исключения частных случаев и когда никакого сомнения в его истинности быть не может, и неполную, когда такого полного охвата нет и когда истинность вывода остаётся под вопросом. Например, установив, что …, мы утверждаем с полнейшей уверенностью, что всякое чётное число, большее 2 и не превосходящее 20, можно представить в виде суммы двух простых чисел по крайней мере одним способом. Здесь мы имеем полную индукцию. Но заключение, что любое чётное число, большее 2, обладает таким свойством, является, если ограничиваться указанными наблюдениями, лишь более или менее вероятной гипотезой. Здесь лишь неполная индукция, которая позволяет высказывать лишь догадки. Отметим, что вопрос о возможности представления любого чётного числа хотя бы одним способом в виде суммы двух простых чисел составляет содержание известной «проблемы Гольдбаха», поставленной свыше 200 лет назад, но не разрешённой до сегодня. Ближе других к её разрешению подошёл академик И. М. Виноградов, доказавший в 1937 г., что любое нечётное число, превосходящее некоторое определённое очень большое число, допускает представление в виде суммы трёх простых чисел. Отсюда следует, что любое чётное число, начиная с некоторого места, можно представить в виде суммы четырёх простых.
      Метод индукции является первичным. Он наиболее доступен и понятен для начинающих изучать математику, какую бы её отрасль мы ни взяли. Этим методом можно подойти ко всем предложениям, изучаемым в средней школе, получая их как более или менее ве-
      роятные догадки, гипотезы, как истины, общность которых остаётся под вопросом. Так, проводя в треугольнике три медианы, ученик убеждается, что они пересекаются в одной или почти в одной точке, причём в последнем случае три точки пересечения тем ближе одна к другой, чем аккуратнее выполнен чертёж. Замечая, что это имеет место во всех треугольниках, какие он брал по произволу, ученик склонен «по аналогии» заключить, что так будет всегда, во всяком треугольнике. Но полной уверенности никакой индивидуальный опыт дать не может: догадка, гипотеза о том, что при идеально точном чертеже три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, ещё нуждается в дальнейшей проверок. Надо либо убедиться, что так будет не всегда, либо доказать, основываясь на ранее установленных истинах, что это обстоятельство при идеально точном чертеже всегда имеет место.
      По мере накопления устанавливаемых индуктивным путём математических истин постепенно уясняются различные существующие между ними связи: если верны некоторые предложения, то не могут быть ложными некоторые другие, являющиеся выводами из них. Так, опираясь на то, что через каждые две точки проходит одна и только одна прямая, приходится признать, что не может существовать двух прямых, обладающих двумя точками пересечения. Если сумма внутренних углов любого треугольника равна двум прямым углам, то сумма внутренних углов любого выпуклого п-угольника равна 2с1(п — 2). Изучение подобных связей между различными предложениями даёт, не только уверенность в истинности одних при условии истинности других, но и приводит к новым истинам, не требуя обращения к индукции. Так, зная, что сумма двух смежных углов равна двум прямым и что тому же равна сумма внутренних углов любого треугольника, мы легко заключаем, что сумма внешних его углов, получаемых при продолжении каждой его стороны в одном направлении, равна 2х ХЗ — 2й — 4й. Наряду с индукцией, появляется, таким образом, новый источник познания математических истин, называемый «дедукцией» (от латинского слова «дедукцио»— выведение). Рассужение, показывающее истинность какого-либо предложения при условии истинности некоторых других предложений, используемых в этом рассуждении, носит в математике название дедуктивного доказательства, или просто доказательства, а эти используемые предложения — его предпосылками.
      Дедуктивное доказательство представляет большие трудности для понимания, чем опытная проверка, но обладает двумя такими крупными достоинствами сравнительно с ней, что именно к нему сводится основное содержание каждой математической дисциплины: во-первых, дедукция позволяет делать точные заключения (в предположении, что таковы и предпосылки); во-вторых, её выводы являются общими, охватывающими всё множество возможных случаев, в то время как индукция говорит лишь о тех частных случаях, какие были рассмотрены.
      Открытие новых математических истин идёт обычно смешанным индуктивнодедуктивным путём с большим участием интуиции, позволяющей высказывать догадки (гипотезы), которые в дальнейшем проверяются либо на опыте, либо через рассуждение, и в зависимости .от результатов проверки или отбрасываются как неверные, или сохраняются, получая уже более высокую, но далеко не всегда сразу полную меру достоверности. Так, желая выяснить, какие числа вида 2х— 1 являются простыми и какие составными, дают показателю х ряд последовательных натуральных значений и рассматривают получаемые в результате вычисления числа:…
      Легко замечаем, что все значения 2х— 1, соответствующие простым значениям (2, 3, 5, 7)у оказались — в пределах проделанного опыта — простыми, а составным (4, 6, 8, 9, 10) — составными. Дальнейшая проверка показывает, что первая естественно возникающая гипотеза, а именно, что всякое число вида 2х— 1 при простом показателе является простым, неверна, так как уже при х= = 11 получается составное число 211 — 1 = 2047 = 23-89; вторая же гипотеза, а именно, что всякое число этого вида при составном значении показателя является составным, при показателях 12 и 14 оправдывается. Чтобы. довести дело до конца, надо найти дедуктивное (логическое) доказательство истинности этой второй гипотезы, что нетрудно сделать, используя одно известное из курса алгебры X класса следствие из теоремы Безу: разность двух одинаковых степеней всегда делится на разность первых степеней тех же чисел. Действительно, если показатель есть натуральное составное число, то можно положить х = му, где и и V — натуральные числа, отличные от единицы, а потому 2х— 1 = = 2и1?—1 = (2м)” — 1 делится нацело на разность 2м — 1, которая является натуральным числом, не меньшим 22 — 1=3, так как наименьшее возможное значение и есть 2. Теперь мы имеем уже теорему: «Всякое число вида 2х— 1, где показатель — число составное, само является составным».
      Вопрос же о том, какие числа вида 2х — 1 при простом являются простыми и какие составными, до сих пор в общем виде не решён. Неизвестно даже, существует ли конечное или бесконечное число простых чисел этого вида («чисел Мерсенна»).
      Строя гипотезы, человек руководствуется прежде всего аналогией, т. е. заключением по сходству: вполне естественно предположение, что при сходных условиях получаются одни и те же результаты. Но всякий результат порождается целой совокупностью условий, и при суждении по аналогии обращают внимание только на некоторые из них, поэтому суждения по аналогии никогда не бывают доказательными. На основании того, что пять дней подряд была хорошая погода, можно высказать догадку, что она будет хорошей и на шестой день, но, как известно, такая догадка часто оказывается неверной.
      Дедуктивное доказательство любого предложения заключается в том, что устанавливаются связи между этим новым предложением и одним или несколькими ранее рассмотренными, истинность которых была или логически доказана (теоремы), или постулирована, т. е. принята без доказательства (аксиомы). Различают два метода логического доказательства: анализ и синтез. При анализе мы идём от неизвестного к известному, от искомого к данным, при синтезе — обратным путём, т. е. от известного к неизвестному, от данных к искомым.