Методика преподавания арифметики
в начальной школе

PDF

      ОТ АВТОРА

      В начальном курсе арифметики, несмотря на всю его элементарность, раскрываются в доступной детям форме основные арифметические понятия.
      Путь к этим понятиям идет от непосредственных восприятий предметов и явлений окружающей действительности. Отсюда огромное значение наглядности в начальном обучении арифметике.
      Центральное место в работе над арифметическим материалом занимает словесное рассуждение сначала на основе непосредственного восприятия, затем по представлению. Только после этого можно давать определения и правила. Иначе говоря, понимание должно предшествовать запоминанию. Простое запоминание арифметических фактов, в частности, простое запоминание таблиц арифметических действий без предварительной работы над вычислительными приемами лишено образовательного значения.
      Формирование арифметических понятий в начальной школе обеспечивается системой практических упражнений и представляет собою длительный процесс, который получает свое относительное завершение лишь в средней школе.
      Работа над арифметическим материалом предполагает широкое применение получаемых знаний и навыков как на уроках в школе, так и при выполнении практических заданий во внеурочное время.
      Итак, в работе над любым вопросом курса арифметики следует идти, согласно требованиям дидактики, от восприятия и понимания к запоминанию и применению.
      Настоящее пособие отличается от других методических руководств отсутствием некоторых глав, содержание которых устанавливается не столько методическими соображениями, сколько официальными документами и инструкциями. Сюда относятся: «Анализ программы по арифметике в начальной школе», «Планирование и учет» и др. Не выделен в особую главу вопрос о методах преподавания арифметики, так как целесообразнее рассматривать его по частям: «аналитический» и «синтетический» методы решения задач — в главе о задачах; метод изучения чисел и метод изучения действий — в историческом очерке, который служит вступлением к методике изучения целых чисел в советской школе; графический метод — при ознакомлении учащихся с простейшими дробями и элементами геометрии.
      Решение арифметических задач связано со всеми вопросами начального курса. Поэтому главу о задачах можно поставить либо в самом начале, либо в конце, после всех остальных вопросов. По установившейся традиции мы даем ее вначале, тем более, что этим обеспечивается присущая начальному курсу практическая направленность.
      В методике преподавания арифметики существует много разногласий. Разногласия эти касаются таких вопросов, как классификация основных видов простых задач; применение при решении составных задач так называемого «анализа» и «синтеза»; метод и план работы над первым десятком; порядок изучения табличного умножения и деления; форма записи деления по содержанию при решении задач; система расположения внетабличного умножения и деления; порядок изучения нумерации многозначных чисел, письменного умножения и деления; методика работы над делением многозначных чисел и др.
      Желательно, чтобы учителя начальной школы принимали более активное участие в разработке методических проблем, проверяли на опыте различные варианты решения спорных вопросов и содействовали таким образом улучшению преподавания арифметики в начальной школе.
      Автор
      24 июня 1955 года
     
     
      I. ОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
     
      Не только начальный, но и систематический курс арифметики, который изучается в V и VI классах, существенно, отличается от теоретической арифметики, т. е. от арифметики как науки.
      В теоретической арифметике прежде всего излагается та или иная система аксиом, а затем из этой системы выводится чисто дедуктивным путем ряд истин, относящихся ко всем категориям чисел, начиная с натуральных и кончая комплексными.
      Систематический курс арифметики в средней школе также представляет собою систему понятий, однако он далеко не охватывает всех тех вопросов, которые входят в состав теоретической арифметики, и не обеспечивает той строгости определений и доказательств, которая присуща этой науке.
      Еще менее строгим в логическом смысле этого слова является начальный курс. От систематического он отличается прежде всего концентрическим расположением материала и широким применением наглядности. Арифметические действия не определяются, а поясняются на предметах. Относящиеся к этим действиям правила носят преимущественно частный характер. Законы арифметических действий усваиваются практически в процессе вычислений. Обобщения осуществляются постепенно, в несколько приемов. Вообще же, арифметические понятия не достигают в начальной школе и того уровня общности, который доступен учащимся V класса.
      Однако, при всей элементарности начального курса его основой является все же система отвлеченных понятий. Ценность знаний, которые должны быть получены детьми в начальной школе, зависит от усвоения этих отвлеченных понятий. Можно научить детей производить арифметические действия над целыми числами, не раскрывая сущности механизмов действий. Но в результате такого преподавания уровень развития учащихся начнет неизбежно отставать от уровня сообщаемых им знаний. Последствия отставания обнаружатся, быть может, не сразу, но с каждым годом разрыв между требованиями программы и развитием детей будет становиться все глубже. Только работая над определенной системой понятий, добиваясь прежде всего ясных, отчетливых представлений и столь же четких словесных формулировок, можно подвести учащихся начальной школы к некоторым доступным им обобщениям. Это даст возможность обеспечить в дальнейшем, уже в V классе, сознательное отношение к определению действий, к формулировке их законов и к расширению понятий действий при знакомстве с умножением и делением дробей.
      Учащиеся начальной школы имеют дело только с натуральными числами, которые в теоретической арифметике получают название целых в отличие от дробных и целых положительных в отличие от целых отрицательных. Проблемой расширения понятия числа начальная школа не занимается. Впрочем, в порядке чисто пропедевтическом учащиеся получают конкретное представление о целом и его части, об одной и нескольких равных долях круга или квадрата и отсюда — понятие об одной и нескольких равных долях единицы. Этот пункт программы дает основание и в начальной школе называть натуральные числа «целыми числами» в отличие от простейших «дробей». Вообще же, если иметь в виду сколько-нибудь серьезную постановку вопроса о расширении понятия числа, то этот вопрос рассматривается в доступной для учащихся форме в курсе математики средней школы.
      Основой всех арифметических действий над целыми числами является счет. Таким образом в начальной школе приходится в первую очередь иметь дело с понятием числа1 и с операцией счета.
      1 В данном случае, как и в последующем изложении, слово «число» надо понимать, как «натуральное число».
      Остановимся подробнее на вопросе о возникновении первоначальных числовых представлений и на взаимосвязи между этими представлениями и счетом.
     
      Число и счёт
     
      В основе всех математических дисциплин, в частности, и в основе арифметики лежат те или иные первоначальные понятия. Первоначальные понятия, будучи исходными, не поддаются чисто логическим определениям. Они не «определяются», а «вводятся» посредством соответствующей, логически непротиворечивой системы аксиом, т. е. истин, принимаемых без доказательств.
      Математики идеалистического направления рассматривают аксиомы и первоначальные понятия как произвольно выбранные нами символы, знаки, вне какой-либо связи с реальной действительностью.
      В. Н. Комаров в своей теоретической арифметике цитирует слова одного немецкого математика: «Число — это во всяком случае произвольно выбранный нами знак, служащий средством достижения весьма разнообразных целей». За основные понятия в арифметике этот математик рекомендует принять «натуральное число», «предшествует», «следует за» и «непосредственно»... «Когда читатель встретит фразу: натуральное число A предшествует другому натуральному числу B, он может подразумевать под этим все, что ему угодно, лишь бы конкретное содержание, которое будет вкладываться в эту отвлеченную фразу, не оказалось в противоречии с аксиомами».
      Такова точка зрения математиков идеалистического направления. Основоположники марксизма, наоборот, учат нас, что исходные математические понятия, содержание которых раскрывается посредством аксиом, вовсе не являются нашими произвольными измышлениями.
      «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления».
      Аксиомы, которые раскрывают содержание исходных понятий, недоказуемы средствами самой математики. «Спенсер прав в том отношении, что кажущаяся нам самоочевидность этих аксиом унаследована нами. Они доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии».
      Не останавливаясь подробнее на сущности аксиоматического метода обоснования арифметики, подчеркнем только, что понятие числа не возникло из чистого мышления. Являясь исходным, оно не поддается формально-логическому определению. Формальные теории обоснования арифметики посредством той или иной системы аксиом — теория количественного числа Кантора и теория порядкового числа Пеано — отражают каждая лишь одну сторону дела и приводят «к неразрешенным методологическим проблемам общего характера».
      Но даже если бы удалось построить единую непротиворечивую систему аксиом для всестороннего обоснования понятия числа, самое понятие это все же осталось бы за пределами формально-логических построений. Его содержание пришлось бы все равно раскрывать другими средствами, разъяснять «диалектически».
      Диалектика требует, чтобы любое явление, любая вещь, любое понятие рассматривались с точки зрения их движения, их изменения, их развития. То же требование относится к понятию числа и к тесно связанной с ним операции счета. Оно приводит нас, с одной стороны, к истории развития числовых представлений у первобытных народов (т. е. к развитию в филогенезе), а с другой стороны, к развитию первоначальных числовых представлений у ребенка в раннем детстве (т. е. к развитию в онтогенезе). На значение для теории познания умственного развития ребенка прямо указывал В. И. Ленин.
      Необходимо тут же подчеркнуть, что было бы грубой ошибкой отожествлять явления онтогенеза и филогенеза. У ребенка числовые представления развиваются иначе, чем в процессе истории. Оба процесса интересуют нас лишь в том отношении, что оба они дают возможность понять сложную природу числа, двойственный характер этой природы.
      Изучая развитие числовых представлений в онто- и филогенезе, мы приходим к убеждению, что понятие числа и операция счета возникают одновременно при условии взаимодействия категории количества и категории порядка, хотя обе эти категории могут существовать независимо от числа и счета и независимо одна от другой. Поясним последнее положение конкретными примерами.
      Представим себе пачку конвертов и набор почтовых марок. Наклеив на каждый конверт по одной и только по одной марке, мы установим между этими двумя группами предметов (двумя множествами) соотношение либо равномощности, либо неравномощности. В самом деле, в одном случае марок может быть как раз столько же, сколько конвертов; в других случаях марок может быть либо больше, либо меньше, чем конвертов.
      Итак, не прибегая к счету и даже не умея называть числа, мы получаем представление о количественном соотношении двух множеств посредством установления между ними взаимно однозначного соответствия.
      Категория порядка также может существовать в нашем сознании независимо от числа и счета и независимо от количественных отношений. Дни недели, месяцы года мы различаем просто по названиям, что не мешает нам помнить порядок их следования одного за другим. Мы знаем, что за августом следует сентябрь даже в том случае, если забыли, что август восьмой месяц, а сентябрь — девятый.
      Теперь посмотрим, как возникали числовые представления в филогенезе и как они развиваются в онтогенезе.
      Количественные представления первобытного человека связаны с так называемыми стандартными множествами: нос или луна (один), руки или крылья (два), нога страуса (три), нога птицы (четыре), рука (пять) и т. п.
      Первобытный человек устанавливал взаимно однозначное соответствие, например, между «ногой страуса» и числом убитых животных, или между «рукой» и числом членов своей семьи. Пользуясь такими общеизвестными группами, как «нога страуса», «рука» и т. д., люди понимали друг друга, не умея считать и не прибегая к помощи специальных слов — числительных. Количественная оценка множества осуществлялась на основе его сопоставления с другим, общеизвестным множеством, причем сами стандартные множества никак не связывались одно с другим, соответствующие им понятия не располагались в последовательный ряд и поэтому не могли выступать в качестве компонентов арифметических действий.
      Известны и другие формы до-арифметических операций, которые опираются не на стандартные множества, а на определенную пространственную последовательность элементов множества. Так, например, островитяне Торресова пролива устанавливают по отношению к своему собственному телу такую последовательность элементов: начинают с мизинца левой руки, перебирают затем остальные пальцы этой руки; далее следует запястье, локоть, плечо, грудная кость, а затем соответствующие сочленения правой стороны тела от плеча до мизинца правой руки. В деловых сношениях туземец довольствуется указанием той части тела, до которой он дошел, перебирая по одному предметы интересующей его совокупности. Слова, которыми он при этом пользуется, «являются просто названиями частей тела, а отнюдь не числительными». Каждое из этих слов, взятое само по себе, не может служить количественной характеристикой множества.
      Спрашивается, как же на основе элементарных количественных и порядковых представлений возникают в филогенезе сознательный счет и полноценные числовые представления.
      Простейшая группа из двух элементов (глаза, руки, крылья) играла до поры до времени только роль стандартного множества, с которым сравнивались другие множества. Но наступает, по-видимому, момент, когда внутри этой группы первобытный человек начинает различать «этот» и «тот» элемент, один и другой, первый и второй. Слово, обозначавшее количество «два» (крылья), занимает определенное место после слова «нос». Зарождается счет до двух, и становятся полноценными числовые представления один и два. На этом уровне находились сравнительно недавно некоторые австралийские племена, которые считали так: один, два, много.
      Следующий шаг вперед — продвижение счета до трех и завоевание еще одного числа — три. «Этот и тот», — считает первобытный человек. «Еще раз этот», — продолжает он, узнавая в новой группе знакомое ему стандартное множество — «нога страуса». И название группы (нога страуса) занимает, наконец, свое место в ряду, становится счетным словом, числительным. Оно обозначает теперь не только три, но и третий, не только третий, но и три. «Еще раз тот» позволяет продвинуть счет до четырех и овладеть еще одним числом натурального ряда.
      Процесс расширения числового ряда протекал в филогенезе (в связи с историей развития первобытного человека) крайне медленно. Многие тысячелетия потребовались для того, чтобы создать устную и письменную нумерацию.
      У ребенка, который развивается в условиях современной культуры, понятие числа и операция счета формируются, конечно, неизмеримо быстрее, чем они складывались когда-то в человеческом обществе, но диалектически сложная природа числа и счета обнаруживается и в онтогенезе.
      Еще не умея считать, ребенок различает знакомые группы предметов в количестве двух и даже трех: два чулочка, два башмачка, три куколки и т. п. Такое непосредственное восприятие множества свидетельствует о зарождении у ребенка количественных представлений, однако, в это время он еще далек от овладения понятием числа.
      Такой же до-арифметический характер имеет механическое называние детьми некоторых числительных, даже если эти числительные располагаются в порядке натурального ряда. О неполноценности такого «счета» свидетельствует тот факт, что, сосчитав правильно предметы данной группы, например, собственные пальцы, ребенок не может ответить на вопрос, сколько их всего. В это время у некоторых детей можно наблюдать любопытное явление: каждое числительное закрепляется за определенным предметом, как бы прирастает к нему. Так, Ниночка П. в возрасте около 3 лет умела считать свои пальчики, только начиная с мизинца. Слово «один» она связывала только с мизинцем, слово «пять» всегда относилось к большому пальцу. Пересчитав пальчики на одной руке, она не могла продолжать счет на другой, хотя и знала числительные шесть, семь и т. д. Мизинец второй руки был не «шесть», а «один», большой палец был не «шесть», а «пять». Образовавшаяся связь знаменует тот важный в развитии числовых понятий момент, когда в сознании ребенка начинает создаваться необходимое для счета «упорядоченное множество» — словесный числовой ряд. В этот момент группа как целое временно перестает существовать, зато в языке ребенка появляются порядковые числительные — второй, вторая.
      У той же Ниночки на пороге четвертого года удалось впервые обнаружить соединение счета с распознаванием числа два. Отвечая на вопрос, сколько у куклы ножек, девочка сделала легкое движение рукой, как при счете, и уверенно отвечала «две». Расчленив два на один и один, она сознательно ответила на вопрос «сколько всего?» Слово «два» оказалось включенным в активный словарь ребенка. Рисуя человечка, Ниночка говорит по собственной инициативе: «два глазика».
      «Две ножки», «два глазика» являются наиболее приметными стандартными группами. Не мудрено, что именно по отношению к одной из этих групп могло впервые осуществиться как сознательное применение счета, так и сознательное распознавание числа. Заметим, что обе эти функции выступили одновременно, во взаимосвязи, хотя и ограничивались на первых порах весьма тесными рамками — числом два. За пределами этого числа на вопрос «сколько всего?» ребенок еще не дает ответа. Называние числительных по порядку продолжает сохранять свой до-арифметический характер.
      Решительный сдвиг наступил позднее, когда Ниночке было 3,5 года. Надо отметить, что девочке не приходилось иметь дела с числовыми фигурами. Не потому ли произошла некоторая задержка в развитии ее числовых представлений, что, наряду с называнием числительных по порядку, чем она уже владела, ей не хватало второго фактора — пространственного образа?
      Роль числовых фигур в опыте Ниночки сыграли цифры, с которыми она познакомилась случайно, играя листками отрывного календаря. Она уже хорошо умела узнавать и называть первые пять цифр, когда ей было предложено на листок с цифрой четыре положить соответствующее число карамелек. Сначала операция не удавалась: девочка накладывала карамельки одну за другой, считая их, но не обращая внимания на цифру. Так дело дошло до шести карамелек. Вопрос «разве это четыре?» заставил девочку остановиться и задуматься. Сняв три карамельки, она еще раз пересчитала оставшиеся три. Ей было снова предложено посмотреть на цифру. Тогда она быстро добавила одну карамельку и сказала уверенно: «вот четыре».
      Операция счета, однажды удавшаяся по отношению к числу «четыре» была без труда перенесена на остальные числа первого пятка. Теперь последнее произнесенное числительное выражало не только порядковый номер последнего элемента множества, но и количество всех перенумерованных элементов.
      Напомним, что развитие числовых представлений в онтогенезе не является повторением их развития в филогенезе. Однако, все приведенные факты вскрывают двойственную природу как понятия числа, так и операции счета. Эти факты показывают, что понятие числа и операция счета возникают и развиваются параллельно в постоянной и тесной взаимосвязи.
      Двигаясь по этому пути вперед, человечество создает так называемые «узловые числа», которые для своего времени были предельными, которые далее привели к счету парами, пятками, дюжинами, десятками и пр. и обусловили возникновение различных систем счисления, что, в свою очередь, позволило неограниченно расширить числовой ряд.
      В то же время и, по-видимому, с такой же постепенностью, как числовой ряд, возникали и развивались арифметические действия, без которых не могла бы сложиться никакая система счисления. Вот почему мы сделаем сначала краткий обзор арифметических действий и только после этого вернемся к счету, а именно, рассмотрим вопрос о системах счисления, а также об устной и письменной нумерации.
      Что касается собственно методических выводов из всего сказанного о числе и счете, то подробнее этот вопрос раскрывается в специальной главе, посвященной работе над I десятком. Здесь мы отметим только некоторые основные положения.
      Счет требует, как мы видели, установления взаимно однозначного соответствия между элементами множества и последовательными числами натурального ряда, начиная с единицы. На основании этого надо прежде всего научить детей правильно устанавливать взаимно однозначное соответствие при счете: произнося числительное, ученик должен в то же время прикасаться карандашом или указкой к соответствующему предмету. Ребенок еще не способен мысленно расчленить группу предметов на отдельные подгруппы и заменить счет сложением, как это делает взрослый, когда приходится считать «глазами». Впрочем, и взрослый не может пересчитать «глазами» сколько-нибудь значительную группу однородных предметов, особенно, если они расположены в один ряд.
      Далее, поскольку счет связан с предметами, следует взять под сомнение такие выражения, как «отвлеченный счет» и «обратный счет». Можно называть отвлеченные числа в порядке натурального ряда и в обратном порядке, но это не счет.
      Учитывая двойственную природу числа и счета, необходимо пользоваться при изучении первого десятка пособиями двоякого рода: предметами, расположенными в один ряд, и предметами, расположенными в виде числовой фигуры. В первом случае при счете яснее выступает порядковое значение числа, во втором случае — его количественное значение. При этом дети должны уметь пользоваться не только количественными, но и порядковыми числительными.
      Наконец, необходимо задавать детям вопросы двоякого рода: 1) что больше — 3 или 4? что меньше — 2 или 3? 2) какое число следует за числом 3? за каким числом следует число 5? Такими вопросами мы уточняем количественные и порядковые отношения между числами первого десятка.