Обучение счислению и измерению

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Сборник «Обучение счислению и измерению» составлен из докладов, проработанных в секции преподавания математики в школе I ст. при Центральной педагогической лаборатории соцвоса Моно. В работах секции принимали участие тт. Волковский, Балашов, Горьков, Знаменский, Павликовский, Пельпор, Стальков Слудский, Шелапутина, Эменов и др.
      В задачи сборника входит оказание помощи преподавателю в раскрытии содержания программ по математике для школы I ступени и ознакомлении с приемами обучения счислению и измерению. В первой статье «Об обучении детей математике» делается попытка вскрыть содержание программы, отметить в ней важные моменты, указать приемы, применение которых содействует повышению успешности занятий.
      В следующих статьях, которые являются необходимым дополнением к первой, разбираются отдельные вопросы преподавания математики, напр., дроби, устный счет, использование математики в комплексе и т. д.
      Не все вопросы методики математики здесь одинаково полно освещены: некоторые из них лишь затронуты, напр., способы обучения геометрии и т. д.
      Сборник редактировался руководителем математической секции I ст. при Центральной педагогической. Мборатории т. Эменовым и просмотрен главным образом в Целях большего приспособления материала к массовой школе т. Сироткиным, В. М., и зав. ЦПЛ т. Дурикиным, А. Н.
     
      ОБ ОБУЧЕНИИ ДЕТЕЙ МАТЕМАТИКЕ.
      Чтобы передать детям известный запас знаний и навыков в какой бы то ни было области, недостаточно самому обладать этими знаниями: надо еще уметь передать детям требуемые знания и навыки, — надо знать методику преподавания данного предмета. Методика основывается на изучении особенностей детской психики, на опыте преподавания нескольких поколений учителей. Нельзя думать поэтому, что небольшой личный педагогический опыт рядового учителя, или его педагогические способности, или даже некоторый запас общих дидактических сведений (дидактика — наука о преподавании) могут заменить знание методики специального предмета. Математика же выделяется из других школьных предметов как тем, что ее преподавание кажется непосвященному особенно простым, не требующим никаких методических указаний, так и теми печальными последствиями, к каким ведет неумелое обучение математике. Учитель, не знакомый с ее методикой, будет встречать в своей работе ряд неожиданных затруднений и не даст учащимся ни достаточно обоснованных знаний, ни твердых навыков, которые им понадобятся в жизни или для продолжения образования в школе II ступени. Ему не удастся использовать математику и как средство для развития мышления, потому что для этого надо очень хорошо знать, какие именно математические момента, в какой форме и в какое время надо поднести учащимся, чтобы они были надлежащим образом восприняты. Мы очень часто встречаем взрослых людей, которые чувствуют к математике непреодолимое отвращение. Единственная причина этого печального явления заключается в том, что благодаря неумелому преподаванию радостная творческая работа на уроках математики была заменена их учителями сухой, забивающей ум и отучающей мыслить формалистикой. Отсюда ясно, какая громадная ответственность лежит на лице, преподающем математику в школе I ст. Всякая возможность ознакомиться с трудами по методике математики как наших старых методистов (Гольденберг, Беллюстин, Шохор-Троцкий, Егоров), так и новых (Волковский, Воронец, Грацианский, Кавун, Лебединцев, Зенченко и Эменов) должна быть использована преподавателем. Для облегчения этой возможности мы даем ниже список методических сочинений, которые могут быть полезны учителю I ступени. Эту же цель преследует и настоящая методическая записка, содержащая ряд методических указа--ний как по общим вопросам преподавания математики во всех группах, так и по каждой группе в отдельности.
     
      Математика и комплекс.
      Математика изучается в школе, как одно из средств, одно из орудий познания окружающего нас мира. Преподавание математики должно поэтому: 1) хорошо ознакомить учащихся с самим орудием, 2) ознакомить с применением этого орудия для решения практических вопросов. Чтобы достичь последней цели, в недавнее еще время считалось вполне достаточным включение математики в комплекс. Вполне возможным и наиболее соответствующим общей установке современной школы считалось и самое ознакомление с математикой, как орудием, на ходу, на практической работе.
      Опыт нескольких лет показал несостоятельность подобного рода ожиданий. Стало ясно, что одна разработка комплексной темы, без специальной тренировки, не может дать ни необходимых математических навыков, ни достаточного умения приложить их к делу. Для того, чтобы получить навык в сложении, положим, чисел в пределах сотни, надо сделать десятки и сотни примеров на сложение, расположенных притом в определенном методическом порядке. Очередная тема не может дать для этого достаточно материала, и попытки выжать из нее больше, чем она может дать, как показал опыт, не достигая цели, приводят только к чрезмерному разбуханию математической стороны темы, к созданию ряда неестественных задач и вопросов и к большой затрате времени.
      Какова же роль комплекса при изучении математики и роль математики в комплексе? Значение комплексной темы для математики состоит в том, что ее разработка выдвигает различные математические Еопросы, делает для детей понятным, почему им надо уметь делать те или иные действия, знать те пли иные свойства чисел, вообще осмысливает изучение математики.
      Роль математики в комплексе заключается, конечно, в математической обработке общих тем, поскольку такая обработка возможна в целях всестороннего освещения содержания темы. Отсюда вытекает следующий план работы по математике в школе I ступени: а) Комплексная тема ставит перед учениками ряд задач, требующих математического исследования — импульсирует разработку математических вопросов, стоящих на очереди согласно определенному методическому плану, б) Производится разработка упомянутых вопросов, выработка и укрепление соответствующих навыков как на материале, доставляемом данной темой, так и на другом, включая сюда и отвлеченные числа, в) Вырабатывается умение пользоваться известными уже математическими операциями для решения практических задач. Содержание задач черпается как из общей темы, так и вне ее. Занятия по двум последним разделам идут обыкновенно параллельно, так как нельзя целые уроки посвящать упражнениям в механизме действий, но и нельзя эти упражнения надолго оставлять.
     
      Геометрия в школе I ступени.
      Знакомясь с окружающим миром, дети замечают разницу не только в числе предметов, но и в их размерах и форме. Поэтому на ряду с вопросами чисто-арифметического, счетного характера перед ними встают вопросы геометрические — сравнение формы предметов, их линейных размеров, площадей и объемов. Эти геометрические вопросы входят в программу I ступени, поскольку знакомство с ними выдвигается самой жизнью и поскольку оно необходимо в качестве фундамента для дальнейшего изучения геометрии. Отсюда не следует, что геометрия должна составлять в школе отдельный, обособленный от арифметики курс. Не только необходима самая тесная увязка обоих отделов математики, но возможностью такой увязки определяется даже выбор геометрического материала: из геометрических свойств рассматриваются почти исключительно метрические, т.-е. связанные с измерением; при этом, если измерение делается непосредственно, то число, являющееся его результатом, чаще всего входит, как одно из данных арифметической задачи; измерение площадей и объемов, производимое косвенно, уже само по себе требует арифметического вычисления. Чтобы уметь измерять фигуры, надо иметь ясное представление об их форме, а для этого надо знать, какие линии параллельны, какие углы прямые и т. д. — это те сведения не метрического характера, которые составляют остальное содержание программы геометрии.
      Что касается пути, которым добываются детьми геометрические сведения, то единственно правильным будет путь лабораторный, т.-е. когда дети подмечают и проверяют геометрические свойства на моделях, по большей части ими же изготовленных, на чертежах, ими вычерченных. Модели из бумаги или картона для этого складываются, накладываются одна на другую, разрезаются, измеряются и подвергаются всем вообще операциям, необходимым для обнаружения того или другого свойства. Понятно, что лабораторный метод требует соответствующего оборудования школы. Необходимы линейки, угольники, циркули, транспортиры, ножи, ножницы, твердая бумага; желательно иметь клей (синдетикон). Если, школа не располагает всеми нужными инструментами, то часть их можно заменить самодельными. Так, при отсутствии линеек они могут быть заменены свернутыми в несколько раз полосами бумаги. Циркуль для классной доски с успехом заменяется веревочкой. Труднее мириться с отсутствием циркулей для измерения и черчения на бумаге: приходится заменять их бумажными линеечками, причем для отмеривания расстояния, равного данному, на такой линеечке делаются метки, а для описания окружности делаются дырочки, в одну из которых вставляется булавка, а в другую — карандаш.
      От оборудованное школы чертежными принадлежностями зависят размеры чертежных навыков, которые может дать детям учитель. Во всяком случае он не должен забывать, что хотя основной задачей преподавания математики в школе I ступени является обучение счету, однако и чертежным навыкам следует уделить достаточно внимания.
      Желательно начиная со 2-го года приучать детей к вычерчиванию остро очиненным карандашом по линейке всех тех фигур, с какими они будут знакомиться. Черчение по разграфленной в клетку тетради не представит для них большого труда. При этом, помимо приобретения полезных чертежных навыков, учащиеся, имея перед глазами более точное воспроизведение геометрических фигур, легче знакомятся с их свойствами.
      Геометрические сведения в школе I ступени прилагаются к измерению земельных участков, чтению и составлению планов. Необходимо ознакомить учащихся (на практике) с приемом провеишвания прямых линий на земной поверхности. Следует показать им готовые планы и познакомить с главнейшими условными обозначениями. Съемку планов можно производить двояко. Если нет никаких инструментов, снимаемый участок разбивается на треугольники, измеряют стороны этих треугольников и строят затем на плане треугольники по известным сторонам. Но нетрудно сделать и простейший землемерный инструмент — эккер. Этот инструмент представляет из себя горизонтально расположенную крестовину из двух планок, прибитую к вертикальному колу, который втыкается в землю. На каждом из четырех концов крестовины воткнуто вертикально по булавке. Смотря через эти булавки, на земле провешивают перпендикулярно одна к другой прямые и, перенося их на план, заносят постепенно все подробности снимаемой местности. Для ознакомления с порядком производства землемерных работ можно рекомендовать книжку Орлова «Как мерить и делить землю». Гостехиздат. 1925 г.
     
      Навыки ориентировочные и измерительные.
      Все свои математические представления как геометрического, так и арифметического характера ребенок черпает из окружающего его мира. Задача учителя — помочь ему разобраться в наблюдаемых им явлениях, ориентироваться в пространстве, во времени, научиться различать и сравнивать величину и число наблюдаемых им предметов. Приобретение первоначальных ориентировочных навыков играет поэтому видную роль в занятиях математикой на 1-м году обучения, продолжается постепенно в следующие годы и служит основой для изучения геометрических форм, счета и измерения.
      К идее измерения ученик приходит путем сравнения расстояний: один его товарищ, например, живет против школы, через улицу, а другой — по той же стороне улицы, где и школа, через дом от нее; кто из них живет ближе к школе? Чтобы без ошибки ответить на этот вопрос, расстояния меряются шагами. От «натуральных» единиц измерения (шаг, четверть) переходят к искусственным — -метру и сантиметру. Вслед за мерами длины прорабатываются меры жидкостей — -стакан, бутылка, ведро, литр; дальше следуют меры времени и меры веса. В том же порядке изучаются меры и в следующие годы, причем количество единиц постепенно увеличивается (но не за счет неупотребительных единиц вроде декаметра, стера и т. п.), вводятся квадратные и кубические меры. Указанный порядок, при котором более конкретные меры изучаются прежде, чем более отвлеченные, и непосредственное измерение раньше косвенного, надо признать наиболее соответствующим особенностям детского возраста.
      Само собою разумеется, что обучение измерению должно иметь практический характер, т.-е. дети должны сами мерить расстояния, жидкие и сыпучие тела, должны взвешивать на весах. Если в школе нет весов, то более искусный учитель может заменить их самодельными. Остальным же сельским учителям можно рекомендовать для ознакомления детей со взвешиванием экскурсии в кооперативную лавку. Что касается разновеса, то его может легко сделать всякий сам: для мелкого разновеса можно воспользоваться бронзовыми монетами в 1, 2, 3, 5 коп., которые весят 1, 2, 3, 5 г, и серебряными полтинниками и рублями, весящими 10 и 20 г; для крупного разновеса можно подобрать соответствующего веса мешечки с песком.
      Названия метрических мер записываются только сокращенно, причем можно пользоваться лишь узаконенными сокращениями. Для обозначения основных единиц — метра, ара, литра, грамма — употребляются первые буквы их названий. Составные единицы обозначаются двумя буквами — первой буквой приставки и первой буквой названия основной единицы, например, см, кг, га. Ни точек, ни тире в сокращенной записи мер не ставится.
      При производстве измерений неизбежно возникает вопрос о точности измерения. Вначале, особенно на первом году, решение этого вопроса обусловливается имеющимся у детей запасом чисел и запасом единиц измерения. Но в дальнейшем необходимо показать учащимся, что, несмотря на существование мелких единиц, последние не могут быть использованы при измерении больших величин, что обычными приемами нельзя, например, измерить длину класса с точностью до 1 мм, что в числе, выражающем расстояние от Москвы до Ленинграда, не только единицы, но и десятки метров трудно получить правильно. При измерениях же, производимых учащимися, вполне можно довольствоваться двумя — тремя значащими цифрами.
      Получающиеся числа на 3-м и 4-м годах обучения всегда должны быть выражены в единицах одного наименования, например, вместо 7 м 42 см следует писать 742 см или, лучше, 7,42 м. Соединение метрических мер, не более двух разных наименований, в составное именованное число может быть допущено лишь в два первые года, но и то в виде исключения.
      Более уместны составные именованные числа при измерении Бремени, причем, однако, также не следует брать чисел более, чем с двумя наименованиями. Обращение с такими числами не требует никаких особых правил, а потому выделять составные именованные числа в самостоятельный отдел нет смысла. Задачи на вычисление времени решаются теми безыскусственными приемами, которыми их стал бы решать всякий умеющий соображать человек. Пусть, например, надо узнать в годах и целых месяцах возраст на 26 сентября 1927 г. ученика, родившегося 18 мая 1917 г. Считаем, что от его рождения до 18 мая 1927 г. прошло 10 лет (1927 — 1917) и от 18 мая до 18 сентября — 4 месяца, всего 10 лет и 4 месяца.
      Прежние русские меры в настоящее время не подлежат изучению. Но так как они еще не вышли из употребления, то на 4-м году обучения надо дать простейшие соотношения между употребительными русскими мерами и метрическими, показать прием составления таблиц перевода русских мер в метрические и упражнять детей в пользовании такими таблицами.
     
      Навыки счетные.
      Начавшаяся в 1918 году коренная реформа школы отодвинула на задний план обучение детей счетным навыкам. Результаты этого и хозяйственной разрухи, оставившей школу в те годы без учебных принадлежностей, сказались через несколько лет; еще и в настоящее время оканчивающие школу не только не получают достаточных навыков в счислении, но часто не знают даже основных правил обращения с числами. Многие же вопросы, связанные со счетом, повидимому, неясны и учителям. Поэтому, настоятельно рекомендуя преподавателям ознакомиться с посвященными вопросу об обучении счету трудами Гольденберга, Беллюстина и других методистов, даем ниже лишь наиболее необходимые указания в этой области.
      Обучение счету идет концентрами: сначала в пределах десятка, двух десятков, потом в пределах сотни, тысячи и выше тысячи. В каждом концентре прорабатываются все действия над числами, причем взаимно-обратные действия изучаются вместе, т.-е. сложение вместе с вычитанием, умножение — с делением.
      Однако нумерация чисел идет несколько вперед: на 1-м году обучения изучаются действия в пределах двадцати, а нумерация идет до 100; на 2-м году счет доводится до 1.000, а из действий в пределах 1.000 рассматриваются только сложение и вычитание. Часть детей во всякой группе окажется знакомой с нумерацией выше положенного для этой группы предела. Если эта часть группы значительна, то преподаватель может раздвинуть пределы изучаемых чисел. Во всяком случае нельзя считать границы между концентрами незыблемыми и непроницаемыми: жизнь всегда может натолкнуть учащихся на более крупные числа, и преподаватель, когда это возможно, не должен отказаться от их рассмотрения.
      При первоначальном обучении счету на первом году крупную роль играют наглядные пособия — спички, соломинки, пальцы на руках. От предметов, находящихся перед глазами детей, переходят к другим конкретным предметам, которых в данный момент нет в классе, — яблокам, деревьям и т. п.; эти предметы рисуются в тетрадках в надлежащем числе. Действия над числами предметов не изображенных и над отвлеченными числами идут после. Не один раз, однако, приходится возвращаться к наглядным пособиям и в следующий год, например, для объяснения десятичной системы счисления; для этой цели хорошо могут служить также торговые счеты, которые на 3-м году переходят уже на роль счетной машины.
      Очень важно во всех группах, начиная со 2-й, обращать внимание детей на приближенность большей части встречающихся чисел. Мы уже указывали, что результаты всех измерений всегда приблизительны. При счете большого числа предметов, например, числа жителей города, также редко можно получить вполне точный результат. Но, кроме того, точное число по большей части и н е нужно: число жителей Москвы, например, для всех практических целей достаточно взять округленным до целых тысяч, расстояние от Москвы до Ленинграда — с десятыми долями километра и т. п. Лишние цифры брать не имеет смысла: эта идея должна быть твердо усвоена учащимися.
      Действия над числами производятся, как известно, письменно и устно. В чем разница? Результат письменного действия составляется постепенно из отдельных разрядов, чаще всего начиная с младших; цифры данных чисел служат орудием, при помощи которого получается результат; письменное вычисление производится по большей части по общим постоянным правилам. При устном вычислении результат получается обыкновенно, начиная со старших разрядов; действие производится различными приемами в зависимости от особенностей данных чисел, причем отдельные разряды чисел не играют столь важной роли, как при письменном счете. Так, для устного вычитания 176 из 332 мы вычитаем 200 из 332, к получившейся разности 132 прибавляем 24 (=200 — 176) и говорим 156. Запись данных чисел и результата не превращает устного счета в письменный, если самое вычисление сделано по приведенному образцу.
      Как письменное, так и устное счисление имеют в жизни свое определенное назначение. Также строго определенные воспитательные задачи ставятся изучению того и другого вида счета в школе. Письменные приемы действий механичны и универсальны. Они приложимы поэтому ко всем числам, и пользование ими не требует никакой сообразительности, но как всякий универсальный инструмент, они часто менее удобны, чем специальные: устное вычисление во многих случаях скорее и проще письменного. Кроме того, письменное вычисление требует известных орудий производства в виде пера, карандаша, бумаги и т. п., которыми не всегда, когда надо что-нибудь счесть, можно располагать.
      Очень ценен письменный счет как воспитательное средство. Он прежде всего выдвигает перед детьми важное значение систематизации, наглядно демонстрируя, к каким плодотворным результатам приводит пользование десятичной системой счисления. Также ценны для математического развития детей идея общности, заложенная в основу всех приемов действий, и связанный с нею шеык руководствоваться определенными правилами. Самый механизм действий, при надлежащем руководстве со стороны учителя, приучает детей к порядку и систематичности в записи.
      Однако перечисленные достоинства письменных приемов счисления нельзя рассматривать, как их безусловные преимущества перед устными. Наоборот, если письменное вычисление приобретает в школе доминирующую роль, то те же особенности этого гида счета становятся для учащихся чрезвычайно вредными и начинают действовать как яд, постепенно убивающий все воспитательное значение изучения математики. Механизированные приемы действий приучают детей рабски подчиняться данным правилам, отучают соображать, вырабатывают у них ошибочный, езгляд на математику, как на набор известных правил, и готовят в конце-концов «людей в футляре», неспособных мыслить иначе, Как по навязанным им формам. Только правильное сочетание в школе обоих видов счета, письменного и устного, может дать учащимся такое математическое образование, при котором форма не заслоняла бы собою сущности дела, которое вдумчивость и сообразительность развило бы наравне с умением пользоваться механическими приемами.
      Место и роль письменного и устного счета в первые 2 года обучения достаточно ясно определяются всем известными свойствами детской психики, а также и основным на них подбором математического материала. На 1-м году письменных приемов действий нет, и все вычисления делаются в уме, с записью или без записи данных чисел и результата. На 2-м году все действия также делаются преимущественно устно и только к концу года на трехзначных числах показываются письменные приемы сложения и вычитания. Однако и после ознакомления с этими приемами они не должны вытеснять собою устные. Когда же это удобно, оба вида счисления комбинируются, т.-е. при письменном счете поль зуются приемами, характерными для устного счета — перестановкой слагаемых цифр, округлением и т. п. Навык в устном счете способствует выработке беглости и уверенности в письменном счислении. А так как школа имеет своей задачей дать наиболее жизненные и практически ценные навыки, то она должна не только обратить внимание на развитие навыка в устном счете, но и приучить детей пользоваться счетом в уме во всех случаях, когда это целесообразно. Для достижения последней цели в школе неуклонно проводится следующее правило: всегда, когда можно, считай в уме.
      Остановимся несколько на приемах устного счисления, которыми следует пользоваться в школе.
      Основное правило состоит в том, чтобы первое из данных чисел не разбивать на разряды. Так, чтобы к 27 прибавить 35, мы к 27 прибавляем 30 и затем прибавляем 5. Как сделано и в приведенном примере, чаще всего действие начинается со старших разрядов. Однако индивидуальные особенности чисел в громадном большинстве случаев позволяют скорее и проще получить результат при помощи особых приемов. Таких приемов бесчисленное множество, но те, применение которых обязательно, должны удовлетворять следующим двум основным требованиям: во-первых,
      они не должны быть слишком частыми, т.-е. должны охватывать достаточно большой круг чисел, во-вторых, не должны быть искусственными, требующими особого запоминания. Приемов, удовлетворяющих этим требованиям, не очень много, но надо, чтобы дети хорошо с ними освоились и постоянно ими пользовались, а для этого необходимо упражнять их в устном счете в течение всего курса по 5 — 10 минут ежедневно. Само собою разумеется, что при подборе упражнений надо заботиться, чтобы ни один из изученных приемов не оставался обойденным. Что же касается бесчисленного множества остальных приемов, надо показать учащимся некоторые из них, — не с тем, чтобы они именно эти приемы усвоили, а для того, чтобы они видели, насколько вычисление облегчается использованием индивидуальных особенностей данных чисел, и получили привычку всегда отыскивать такие особенности и изобретать способы ими пользоваться для упрощения действия. В эту сторону прежде всего должна направляться мысль ученика, получившего задание сделать то или иное вычисление.
      При упражнении в устном счете учащиеся практикуются в воспринимании заданных чисел как с записи, остающейся перед их глазами, так и со слуха. Последнее, конечно, труднее, а потому числа надо давать меньше. Чтобы ускорить работу в первом случае, можно или пользоваться таблицами, образцы которых помещены в книжке Мартель1), или написать одно число на доске, другое показывать написанным на карточке.
      1) Мартель. Приемы быстрого счета.
      Очень хорошим и увлекающим учеников средством для упражнения в устном счете служат устные вычисления в несколько действий, которые постепенно задаются учителем. Например, учитель говорит: «число 18 утройте и не говорите, что получится»; прождав столько времени, чтобы большая часть группы успела получить результат, учитель предлагает прибавить к нему 27 и т. д. При такого рода упражнениях можно чрезвычайно разнообразить терминологию, приучая детей к быстрому схватыванию смысла всех употребляемых для обозначения действий выражений: так, для указания деления на 4 можно предложить разделить число на 4 равные части, найти% числа, уменьшить число в 4 раза, узнать, сколько раз в нем содержится 4, во сколько раз оно больше 4 и т. п.
      Понятно, что числовой материал, над которым фоизводятся упражнения в устном счете, постепенно усложняется, причем не надо обходить ни известных детям дробей, ни больших чисел с нулями: сделать, например, в уме умножение 230 на 40 вполне посильно учащимся 3-го года. Также должны постоянно фигурировать в такого рода работе метрические меры, 4 действия над ними, превращение и раздробление из одних единиц в другие.
      Не меньшее значение, чем устное счисление, имеет, как выше было показано, и письменное. Многие преподаватели не придают большого значения способу вычисления и порядку записи его детьми, обращая внимание лишь на правильность результатов. Такой взгляд на письменное вычисление надо признать глубоко ошибочным. Вполне очевидно, что, когда у детей лишь формируются навыки счета, вся забота учителя должна быть устремлена па то, чтобы эти навыки сформировались правильно. Допускаемое многими учителями писание вычислений сначала «начерно», для себя, часто приводит к таким последствиям, о серьезности которых, к сожалению, мало думают. Первое, меньшее изо всех зол — это неряшливость и небрежность в письме, которые неизбежно развиваются у детей при отсутствии контроля учителей над ведением «черновых» вычислений. Второе — дети приучаются к «двойной бухгалтерии», так как ведут подлинную работу для себя и работу напоказ для учителя. Третье — дети не только не прогрессируют в приемах вычисления, но часто начинают пользоваться извращенными приемами, иногда поражающими своей чудовищностью. Четвертое — являющееся обычным следствием предыдущего, — притупляется сообразительность, понижается интерес к математике, а иногда даже возникает отвращение к ней, остающееся затем на всю жизнь.
      Программа I ступени построена так, что круг изучаемых чисел постепенно расширяется. Но над числами каждого концентра производятся все 4 действия не только в том году, когда этот концентр вводится, а и во все следующие годы. Само собой ясно, что техника вычислений над числами второго концентра, в пределах 1.000, не может быть одна и та же на 2-м и на 4-м году. Тем более нельзя допустить, чтобы человек всю жизнь вычислял так, как он вычислял, когда только начал учиться этому искусству. Отсюда следует необходимость постоянного и непрерывного совершенствования техники вычислений на всем протяжении школы: оканчивающий школу I ступени должен не только уметь как-нибудь сделать действие, но должен уметь сделать его более пли менее хорошо в отношении правильности, результата, быстроты действия, целесообразности и экономичности употребленных средств. Приведем примеры.
      Деление числа 768 на 12 во 2-й группе делается помощью «лестницы» в 4 строки; но уже в 3-й группе эта лестница должна укоротиться вдвое, потому что дети должны уметь при делении на 12, 11, 15 не выписывать произведений делителя на цифры частного, а сразу писать остатки; в 4-й же группе записываются только данные и результат. Точно так же деление на 20, для которою во 2-й группе допустима «лестница», в 4-й группе должно делаться делением сначала на 10 (перенесением запятой), потом на 2 (в уме). Наблюдение показывает, что громадное большинство оканчивающих школу I ступени совершенно не знакомо с подобного рода упрощением вычислений, а очень значительная часть строит большие лестницы даже для деления на единицу с нулями.
      Возьмем технику сложения многозначных чисел. Положим, что цифры слагаемых какого-нибудь разряда — 3, 4, 2, 3, 5. Складывая их, дети говорят: «3 да 4 будет 7, да еще 2 — девять, еще 3 — двенадцать и 5 — семнадцать». Вначале это очень хорошо. Но взрослые складывают не так: показывая последовательно на прикладываемые цифры, они произносят только суммы 7, 9, 12, 17. К этому необходимо приучить и детей, и не только к этому, а и к тому, чтобы они группировали слагаемые в десятки и двадцатки: во взятом примере следует сразу усмотреть, что 3, 4 и 3 или 2, 3 и 5 даю г
      десяток, и тогда сумма получается гораздо скорее.
      Обращаем внимание учителя на то, что дети иногда не знают, что можно складывать одновременно несколько чисел, а вместо того складывают сначала два числа, к их сумме прибавляют третье и т. д. Сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел всегда следует записывать в строчку.
      Действия умножения многозначного числа на однозначный множитель и деления на однозначный делитель также всегда записываются в строчку. Если встречаются нули в середине множителя, то на них не множат, а при умножении на следующую значащую цифру множителя пишут результат с отступлением влево на столько лишних цифр, сколько было нулей (см. пример далее). Нули на конце множимого и множителя переносятся сразу в окончательное произведение (см. пример). Из двух данных для перемножения чисел в качестве множителя всегда берут число, содержащее меньше значащих цифр. Для умножения или деления числа на единицу с нулями надо, смотря по обстоятельствам, приписывать или зачеркивать нули или переносить запятую, но никогда не писать многострочных таблиц.
      Далеко не безразлично, что дети говорят при перемножении чисел. Пока они не вполне освоились с таблицей умножения, пусть они говорят «шесть раз восемь» и «два раза семь», и лишь со временем переходят на выражения «шестью восемь» и «дважды семь». Когда умножается многозначное число, то вначале действие будет сопровождаться приблизительно следующими словами: «шестью семь — 42, два пишем, четыре в уме; шестью девять — 54, да 4 в уме, всего 58, — восемь пишем, 5 в уме» и т. д. Но затем надо перейти к более короткой форме фиксирования последовательных этапов вычисления, приблизительно такой: «шестью семь — 42, два; шестью девять — 54, да 4, восемь», и т. д. Пропускаемые слова сначала будут произноситься детьми про себя, но потом они от этого отвыкнут и даже при вычислении про себя не будут произносить лишнего. На приведенной форме можно в I ступени остановиться, хотя желательно, в случае возможности, приучить детей к тому, чтобы они называли произведение двух однозначных чисел, не повторяя этих чисел. Тогда приведенное выше умножение будет сопровождаться лишь следующими словами (вслух или про себя): «сорок два, пятьдесят четыре, восемь»; подчеркнутые слова произносятся с большим ударением, так как они соответствуют тем цифрам, которые пишутся; перемножаемые цифры всякий раз указываются пальцами, пером или другим орудием письма, которое находится в руках.
      Самое трудное действие — деление. В нем две трудности: первая состоит в подборе значащих цифр частного, вторая — в постановке в частном нулей, когда они там должны быть. Чтобы с обеими успешно справиться, очень важно прежде всего достаточ-йо поупражнять детей в делении на однозначное число. Перейдя затем к двузначному делителю, надо приучить детей всякий раз округлять его до одной значащей цифры, усиливая, когда надо, остающуюся цифру. Так, для подбора цифр частного при делении на 37 мы заменяем делитель числом 40 и делим старшие разряды делимого (или остатка) на 4; если при этом окажется, что 4 (т.-е. 40) содержится, положим, почти 7 раз, то очень возможно, что 37 будет содержаться 8 раз. Так же на первых порах надо поступать и при делении на всякий многозначный делитель — округлять его до одной значащей цифры. Если же учащиеся умеют уже быстро множить в уме двузначное число на однозначное, то можно перейти к округлению делителя до двух значащих цифр: цифра частного при этом будет определяться точнее.
      Чтобы уменьшить число ошибок, когда частное содержит нули, полезно, помимо известного правила, приучить учеников следить за разрядами частного: так, деля 12.951 на 63, мы отделяем сначала 129 сотен и получаем потому в частном сотни, вслед за которыми должны быть десятки (0) и единицы (5 — 6).
      Заметим, что практическое значение остатка при делении заключается лишь в том, что в немногих случаях он свидетельствует о невозможности решения задачи, а в громадном большинстве лишь указывает, оставить ли без изменения последнюю цифру частного, или для большей точности усилить ее одной единицей Поэтому всегда, когда это выгодно, можно делить делимое и делитель на единицу с нулями: пока дети незнакомы с десятичными дробями, это будет отбрасывание одинакового числа нулей в делимом и делителе, а с введением десятичных дорбей всегда будут отбрасываться все нули в конце делителя. Остаток во всех случаях отбрасывается.
      При действии с простыми дробями необходимо: 1) сокращать всякую сократимую дробь, 2) для сложения и вычитания смешанных чисел складывать и вычитать отдельно их целые и дробные части, 3) для умножения смешанного числа на целое, а когда удобно, и для деления, производить эти действия отдельно над целой и дробной частями данного смешанного числа.
      Запись письменных вычислений также должна быть предметом неослабного внимания со стороны учителя.
      В 1-й группе он должен показать правильное и простейшее начертание каждой цифры: единицу писать в виде одной палочки, без тонкого штриха перед ней, головки цифр 2 и 9 обводить по направлению движения стрелки часов. В следующих группах необходимо постоянно следить, чтобы начертания всех цифр не сбивались, особенно же цифры 4. Большое значение имеет также соблюдение определенных размеров цифр: по обычной полусантиметровой клетке, на 1-м году обучения цифры.должны быть вышиною в две клетки, на 2-м году — в одну клетку, на 3-м и 4-м немного меньше одной клетки. При подписывании цифр одной под другой на 2-м году между ними оставляют одну свободную клетку, с 3-го года не оставляют. По горизонтальному направлению каждая цифра должна занимать особую клетку (или 2 клетки на 1-м году). Классы отделяются один от другого, но не запятыми и не точками, а пустыми промежутками в одну клетку. Горизонтальные и вертикальные черты всегда должны итти по линейкам тетради. В качестве орудия письма допускается только перо: карандаш употребляется лишь для черчения по линейке.
      Если решается числовой пример в несколько действий, то надо озаботиться правильным, удобным и красивым расположением отдельных действий. При вычислении столбиком можно не переписывать результат одного действия, чтобы сделать над ним следующее действие, а продолжать тот же столбик. Но этого нельзя делать при записи в строчку: запись, например, вроде 3.7=21+4=25 недопустима; вместо нее надо писать: 3.7=21, 21+4=25. Необходимо требовать, чтобы отдельные равенства выписывались одно под другим, а никак не рядом, т.-е. нельзя писать:
      3.7=21; 21+4=25.
      Если равенства коротки, можно допустить запись двумя, но не более столбцами на странице.
      По окончании вычисления отдельно выписывается ответ.
      Если ученик заметит какую-либо неправильность в своем вычислении, то он отнюдь не должен стирать, выскабливать и переправлять цифры, но должен перечеркнуть их без марания или даже зачеркнуть все действие и переписать снова. Это требование вызывается необходимостью приучать детей к предварительному обдумыванию их поступков (сначала подумай, потом напиши), к чистоте и аккуратности в записях. Если оно не предъявляется, некоторые учащиеся работают больше резинкой, чем пером или карандашом, а другие представляют такие работы, где нет возможности определить значение цифр, несколько раз переправленных.
     
      Комбинаторные навыки и решение задач.
      Как уже было упомянуто, научить детей технике вычислений еще не значит исполнить всю задачу, возложенную на преподавателя математики: необходимо научить также применять математику к решению конкретных вопросов. Комплексные темы дают некоторое количество таких вопросов. В Методической записке ЦПЛ под заглавием «Счетные и измерительные навыки» приводится (стр. 28—29) пример подобного рода задачи — это задача на определение доходности молочного хозяйства на основанни материала, полученного из наблюдений учащихся. Задач, связанных с комплексом и настолько же жизненных, как только-что упомянутая, можно подобрать довольно много для сельской школы, где интересы громадного большинства или даже всех учащихся группируются вокруг общего центра — сельского хозяйства. Но в городской школе, особенно в школе крупного города, где большинство учащихся может знакомиться с сельским хозяйством только через школу, проработку подобной задачи придется, конечно, значительно сократить, чтобы избегнуть схоластичности, да и число таких задач приходится по тем же соображениям уменьшить. Кроме того, постановка и разработка каждой подобного рода задачи отнимает у учителя и учеников так много времени и труда, что и нельзя успеть проработать их в числе, достаточном для приобретения необходимых комбинаторных навыков, особенно же, когда ^ети еще не тверды и в счислении.
      По этим причинам, как показывают наблюдения, преподаватель избегает давать задачи и большую часть времени посвящает счетным навыкам. В результате же оканчивающие школу и переходящие во II ступень не умеют связать двух действий для решения очень простого вопроса.
      Приходится признать поэтому, что на ряду с задачами, которые ставятся комплексной темой или жизнью самой школы (напр., работой школьного кооператива) и требуют для своего решения длительной исследовательской работы учащихся, необходимы задачи, анализ и решение которых основывается на готовых данных. Такие задачи частью могут быть связаны с комплексом, частью же могут черпать свое содержание из самых разнообразных областей знания, техники, производства, промышленности и хозяйства, под условием, чтобы они были доступны пониманию и интересны для детей, а по мере возможности и поучительны. Само собою разумеется, что эти задачй должны быть свободны и от того недостатка старых задач, за который вместе с виновными и правые были изгнаны из новой школы: они не должны быть искусственны по своей конструкции, должны содержать не только числа, взятые из жизни, но и вопросы, которые ставятся жизнью.
      Самое ценное в задаче — это анализ ее решения, т.-е. установление, исходя из вопроса задачи, цепи необходимых для ее решения сведений, доходящей до данных в условии задачи чисел. Этот процесс, описание которого можно найти в учебниках методики, должен быть хорошо знаком учителю. Сознательного же проведения его учащимися можно требовать только на 4-м году обучения и то лишь для задач, решаемых в 2 — 3 действия. В более младшем возрасте дети способны анализировать лишь одно действие — по образцу, например, данному в упомянутой выше Методической записке ЦПЛ для определения доходности молочного хозяйства. В остальных случаях анализ производится детьми подсознательно, и дело учителя, во-первых, располагать задачи в порядке возрастающей трудности их анализирования, заботясь о том, чтобы на каждую ступеньку было достаточное количество упражнений, во-вторых, направлять подсознательную работу детей своими указаниями так, чтобы надобность в этих указаниях постепенно уменьшалась. Так как анализ тесно связывается с синтезом, а последний для детей проще, чем анализ, то подготовительными упражнениями для решения сложных (решаемых несколькими действиями) задач вляется решение простых (в одно действие) задач, вопрос которых не формулирован: имеются такие-то два данные; что по ним можно узнать? После того переходят к простым задачам, где нехватает тех или других данных, и учащиеся должны сказать, какие данные надо добавить. После этих предварительных упражнений можно перейти к решению сложной задачи в два действия и двигаться дальше по пути усложнения задачи, не ставя, однако, себе целью научить детей распутывать всякую задачу, как бы она ни была сложна.
      Решение задачи в значительной степени облегчается удачной записью ее условия. Надо отказаться от принятого в последнее время, но мало имеющего смысла переписывания учениками полностью текста задачи. Вместо того следует выписывать только данные числа с названиями единиц, в которых они выражены, и очень небольшое число пояснительных слов; запись надо делап, в несколько строк, располагая однородные данные друг под другом.
      Делая подобного рода запись, учащиеся в то же время ориентируются в ее условиях, а очень часто в это же время происходит в их уме и подсознательная работа анализа решения. Если же эта работа не произведена, то по записи условия в виде таблицы скорее и легче добраться до решения задачи, чем перечитывать весь ее текст. Привычка делать такого рода запись условий задачи очень ценна будет тем учащимся, которым во II ступени придется изучать геометрию.
      Решение задачи может записываться разными способами. Общепринятый в прежнее время и упорно держащийся и теперь способ записи — по вопросам. Хорошая сторона этого способа в том, что он дает ясный план решения задачи. Недостаток — излишняя шаблонность (повторение всякий раз слова «сколько») и, пожалуй, некоторая наивность. Когда это можно, надо учить детей работать так, как работают взрослые. А взрослые, делая какой-нибудь расчет, никогда не пишут «вопросов»: они только располагают вычисление в порядке и около всякого получающегося числа делают надпись, поясняющую значение этого числа; эта надпись представляет из себя тот же вопрос, но без слова «сколько» и выраженный в самой краткой форме. К этому надо приучать и детей, сохранив, однако, для начала (в двух младших группах) обычную форму вопросов. Если задача требует вычисления нескольких однородных количеств, то наиболее удобной формой записи ее решения будет форма таблицы. Положим, например, что требуется составить прейс-курант для школьного кооператива, который продает учебные пособия со скидкой в 15% с номинальной цены. Составляем таблицу, в первой графе которой будет название предмета, во второй — его номинальная стоимость, в третьей — 10% ее, в четвертой — 5%, в пятой — 15%, в шестой — цена со скидкой, т.-е. ответ задачи. Заметим, что решение такого рода задач по большей части облегчается помощью составления тех или иных вспомогательных таблиц. Так, если надо множить или делить несколько разных чисел на одно и то же число, то громадную услугу для ускорения вычисления и избежания ошибок окажет составление таблички произведений множителя или делителя на все однозначные числа. Если надо вычислить в годах и месяцах возраст всех учащихся группы, то всего проще сделать это при помощи таблички, в одном столбце которой будут итти по порядку годы и месяцы, начиная с месяца рождения самого старшего ученика и кончая самым младшим, а в другом — соответствующие возрасты в годах и месяцах (которые будут все время убывать на 1).
      На 4-м году решение задач исследовательского характера может быть дано в форме связного изложения, где текст переплетается с вычислениями.
      Независимо от способа записи решения всегда следует требовать от детей: 1) чтобы всякое получающееся число было сопровождаемо наименованием единиц, в каких оно выражено; 2) чтобы все вспомогательные действия, кроме сделанных в уме, были чисто н в порядке выписаны около основного действия; надо особенно преследовать часто наблюдаемое желание учащихся скрывать от учителя так называемые «вспомогательные действия» посредством писания их на клочках бумаги, на крышках парт и т. п.: эта привычка не только приучает детей к неряшливости, но, как показывает опыт, способствует укоренению неправильных и нежелательных приемов вычисления; 3) ответ всякой задачи должен быть дан с полной четкостью и ясностью, чтобы читающему работу не приходилось его разыскивать по всей странице и догадываться, что именно найдено и в каких единицах выражено; 4) чтобы с самого начала дети критически относились к ответу и видели в нем конкретную величину, а не набор цифр, в которых пусть разбирается учитель: при таком отношении учащихся к решению задачи станут невозможны наблюдаемые ныне явления, когда, например, значительная часть группы дает среднюю длину шага учащихся — кто 1,4 м, кто 1,4 дм, а кто 1,4 см.
      Для приучения детей к разборчивой записи можно рекомендовать давать им для проверки работы товарищей.
      При объяснении учащимися решения задач в старших группах (3-й и 4-й) непременно надо требовать от них (устно) и посильного им обоснования выбора действия, т.-е. указания, например, что «надо умножить, потому что 5 кг товара будут стоить в 5 раз больше, чем 1 кг».
      Заметим, что развитию комбинаторных навыков в некоторой мере служат не только задачи, но и те же самые строчки, которыми пользуются для укрепления навыков в счете, — с того момента, когда благодаря введению скобок и условия о порядке действий последовательность действий перестает совпадать с последовательностью записи. Ту же цель преследуют и вводимые с 3-го года уравнения, где неизвестное находится одним или двумя действиями, выбор которых предоставляется учащимся. Очень полезно также время от времени давать детям так называемые математические развлечения: они возбуждают у детей интерес к математике и способствуют развитию сообразительности и находчивости. Образцы математических развлечений можно найти в книгах А. М. Воронца. Очерки по методике математики и Рабочие книги по математике для 1-го, 2-го, 3-го и 4-го годов обучения.
     
      Графический метод.
      Пользование графическим методом настолько вошло в обиход нашей школы, что излишне говорить об его пользе и значении. Наоборот, приходится предостеречь от увлечений графическим методом, от чрезмерной затраты времени и сил учащихся на вычерчивание массы диаграмм и графиков разных видов.
      Будет вполне достаточно, если школа I ступени научит детей читать и строить прямоугольные и секторные (круговые) диаграммы и графики температуры. Понятно, что все эти диаграммы и графики должны достаточно тщательно, при помощи линейки, выполняться на клетчатой бумаге, но стремиться к совершенству техники, конечно, не следует.
      При построении всякого рода диаграмм преподаватель не должен упускать из вида, что диаграммы вообще имеют назначением лишь облегчить приближенное сравнение чисел. Нельзя увлекаться поэтому фигурными диаграммами, так как составить правильное представление о соотношении объемов или даже площадей нарисованных фигур детям очень трудно, рисовать же фигуры так, чтобы их линейные отношения были равны отношениям данных объемов, весов, площадей и т. п., неправильно. Фигурные диаграммы хороши как очень наглядное средство сравнения только в самом начале обучения, когда детям доступно лишь самое грубое сравнение чисел и пока представление об объеме у них неясно.
      Что касается прямоугольных диаграмм, то на практике они строятся всегда так, чтобы вышина прямоугольников была пропорциональна данным числам, и только при таком построении, требующем одинаковой ширины всех прямоугольников, диаграмма удобна для сравнения чисел. Отсюда следует, что ставить ширину прямоугольников в какую-либо связь с данными числами — значит только затруднять составление и чтение диаграммы. Поэтому за одну единицу вначале и за несколько единиц впоследствии надо принимать не одну клетку, а горизонтальную полоску вышиной в 1 клетку и по длине равную длине основания прямоугольника. Для построения вертикальных сторон прямоугольников надо округлить данные числа, оставив в них по 2 значащие цифры, и принять вышину клетки за одну или несколько единиц последнего сохраненного разряда. Положим, например, что надо построить.
      диаграмму количества скота в СССР по следующим числам голов: лошадей 49.000.000, рогатого скота — 91.600.000, мелкого скота — 135.900.000. Округлив до миллионов, получаем числа 49, 92 и 136 миллионов. Если мы хотим поместить диаграмму в тетрадке, по длине страницы которой помещается 43 клетки, то будем считать вышину каждой клетки соответствующей 4 миллионам голов. Тогда первый прямоугольник будет иметь в вышину 12 1/4 кл., второй — 23 кл., третий — 39 кл. Ширина прямоугольника произвольная.
      Нахождение общего наибольшего делителя нельзя рекомендовать как постоянный метод построения диаграмм, так как пользоваться им во всех случаях в I ступени затруднительно, да и нет надобности, потому что построение диаграмм не требует абсолютной точности, и мелкие доли выбранной единицы всегда можно отбрасывать. Однако при удобных для того числах нахождение их общего наибольшего делителя, в связи с построением диаграмм, надо считать очень полезным упражнением.
      Для построения круговых диаграмм (на 4-м году обучения) надо пользоваться процентным транспортиром. Изготовить такой транспортир могут сами учащиеся. Для этого надо на плотной бумаге начертить окружность радиусом около 5 см, разделить ее сначала на 4 равные части, затем каждую четверть на 5 частей (делается это циркулем — путем ряда проб) и каждую такую часть еще на 5. После того как у точек деления поставлены цифры, обозначающие десятки процентов, круг вырезается, и в центре делается маленькое отверстие для карандаша.
      Если нет процентного транспортира, то пользуются обыкновенным транспортиром. В этом случае надо предварительно перейти от процентов к градусам, считая 1% соответствующим 3,6°.
      Как указано в программе, круговые диаграммы в 1 ступени могут служить только для сравнения чисел по величине центральных углов секторов, а не по их площадям. Поэтому диаграмма всегда состоит из одного круга, радиус которого произволен.
      Остается упомянуть о приложении графического метода к выяснению некоторых арифметических понятий — именно понятия о проценте и понятия об умножении на дробь. Как для этого пользуются графическим методом, разъяснено (далее) при обзоре курса 4-го года обучения.
     
      Методические замечания по годам обучения.
     
      Прежде чем перейти к рассмотрению особенностей каждого года обучения, считаем необходимым еще раз напомнить, что помещенный выше перечень навыков по математике, которые должна дать школа I ступени, дает лишь объем навыков, а не порядок их приобретения учащимися. При преподавании, как было указано, не только разнородные навыки постоянно переплетаются, но и в однородных возможны различные перестановки. Указания относительно порядка деталей разработки содержания каждого года обучения можно найти в упомянутой выше методической записке «Счетные и измерительные навыки».
     
      1-й год.
      Из области чисел на 1-м году всесторонне изучаются два первые десятка, нумерация до 100 и действия с круглыми десятками в пределах 100. Хотя это и не очень много по объему, но необходимо, чтобы этот материал был особенно тщательно проработан, так как сложение и вычитание в пределах двух десятков служит фундаментом, на котором строятся сложение и вычитание каких угодно чисел. Большим числом упражнений должны быть твердо закреплены в сознании детей результаты сложения всяких двух однозначных чисел, а также и соответствующие случаи вычитания. Так же прочно должна быть усвоена таблица умножения в тех же пределах и соответствующие случаи деления без остатка. Терминами действий служат на 1-м году «прибавить», «отнять», «повторить», «разделить». Этими же терминами прочитываются знаки действий; знак равенства читают «будет» или «получится». Названий чисел и результатов действий не вводят.
      Кроме целых чисел, дети знакомятся с долями — половиной и четвертью. Для этого служат сначала палочки, которые можно ломать, или соломинки, а потом — начерченные отрезки прямой линии, части метра, литра, килограмма. Никаких относящихся к дробям терминов, кроме названий «половина», «четверть», не вводится, а также не показывается и записи дроби.
      Задачи решаются преимущественно в одно действие, причем зависимость между данными числами и искомым должна быть выражена так, чтобы это выражение легко переводилось на один из помещенных выше терминов действий. Исключение составляют задачи на вычитание, вопрос которых может выражать требование разностного сравнения данных чисел, и обратные мм задачи на сложение. На задачах удобно знакомить учащихся с мерами.
      Геометрическое содержание курса 1-го года сводится к выработке умения ориентироваться в окружающей обстановке, разбираться в основных геометрических фигурах, изображать эти фигуры приблизительно и чертить по линейке прямую линию.
     
      2-й год.
      На 2-м году у учащихся складываются основные навыки счета. Правильная постановка обучения счету на этом году имеет потому особенно важное значение. Появление трехзначных чисел не должно служить поводом к немедленному введению приемов письменного счисления. Основным видом счета на протяжении всего года остается устный счет, и лишь к концу года можно ознакомить детей с письменным. Необходимо, однако, все время следить,, чтобы письменные приемы действий не вытесняли устных. Употребление письменных приемов должно быть ограничено наиболее трудными случаями действий с трехзначными числами. Устный счет остается единственным средством вычисления во всех остальных случаях и совершенствуется постепенно введением упрощенных приемов. Один из таких приемов — перестановка слагаемых или сомножителей — ведет попутно к укреплению в сознании учащихся очень важного так называемого переместительного свойства суммы и произведения.
      Для развития техники счета учащиеся решают числовые примеры, содержащие по нескольку действий, причем знакомятся и с употреблением скобок. Очень желательно, кроме того, обучить детей сложению на торговых счетах (вычитание будет в следующем году): помимо создания полезного практического навыка, пользование счетами очень хорошо укрепляет идею десятичной системы счисления.
      На 2-м же году дети знакомятся с условными терминами действий, заменяющими примитивные термины 1-го года. Вместе с тем вводится понятие о кратном изменении числа. Усвоение различия между кратным и разностным изменением требует большого числа упражнений в виде решения соответствующих задач. Задачи даются уже не только в одно действие, айв два, и в три. Переход от простой задачи (в 1 действие) к сложной очень труден и должен быть.
      надлежащим образом подготовлен составлением сначала сложной задачи учителем в классе, а затем и учениками.
      Из дробей изучаются на 2-м году восьмые и десятые доли. На палочках и отрезках уясняется зависимость между целой единицей, половиной, четвертью и восьмой долей, также между половиной и десятой частью. Попутно дети приучаются делить отрезки на равные части помощью разделенной линейки и на-глаз. Дроби записываются, и с ними проделываются несложные действия, при которых изменяется лишь числитель.
      Соответственно расширению круга чисел увеличивается и число изучаемых мер. Новые единицы мер вводятся, однако, не для того, чтобы постоянно комбинировать их со старыми в составные именованные числа (см. об этом в главе об измерительных навыках), а для того, чтобы всякое расстояние, всякий вес мерить наиболее удобными единицами. Достаточно внимания надо уделить переводу простых именованных чисел из одних единиц в другие.
      Геометрическое содержание программы 2-го года сводится к некоторому расширению ориентировочных и чертежных навыков.
      Более детально, чем в предыдущем году, изучается прямоугольник. Прямоугольники вычерчиваются по заданным числам клеток в стороне, составляются планы комнат, принимая клетку за ме гр или за полметра. Дети знакомятся с квадратным сантиметром, чертят его по полусантиметровой клетке тетради, делят на квадратные сантиметры начерченные ими прямоугольники. Затем делают модель квадратного метра из 6 палок (4 стороны и две диагонали), связанных или сколоченных по углам. Этот квадратный метр укладывают по полу класса. При этом часть учащихся сама собой приходит к мысли о возможности косвенного измерения площади прямоугольника. Однако формулирование правила и приложение его к решению задач откладывается до следующего года.
     
      3-й год.
      Основная задача 3-го года обучения — ознакомление учащихся с нумерацией больших чисел (до миллиона) и с письменными приемами действий. Одновременно продолжается развитие приемов устного счета и параллельно с их изучением дети глубже знакомятся с основными свойствами действий, с зависимостью между данными числами и результатами действий. Установление такой зависимости приводит к простейшим уравнениям и к поверке действий обратными действиями. При рассмотрении последнего вопроса следует 1) указать, что сложение и умножение удобнее поверяются повторением того же действия над переставленными данными числами, 2) показать, что поверка вообще не гарантирует безошибочности результата. Вместе с тем следует отметить важное практическое значение получения правильных результатов вычислений и начать приучать детей к ответственности за их работу и к необходимости принимать все меры для получения правильных результатов.
      Изучение дробных чисел на 3-м году идет в двух направлениях — по линии простых дробей и по линии дробей десятичных. Ряд простых дробей пополняется третьими, шестыми и пятыми долями. Эти доли изучаются на отрезках прямой линии и сравниваются с известными уже учащимся четвертями, восьмыми и десятыми долями. От отрезков переходят к частям чисел. Нахождение одной части числа не вызывает никаких затруднений. Затем находят в два приема несколько частей от данного числа. Упражнения производятся как на отвлеченных, так и на именованных числах, и решаются соответствующие задачи.
      Десятичные дроби изучаются в связи с метрическими мерами, главным образом мерами длины. Пользуясь дециметром и сантиметрами, убеждаются, что одна десятая содержит 10 сотых. Присоединяя миллиметры, изучают тысячные доли. Из действий над десятичными дробями прорабатываются сложение и вычитание. При всех этих действиях десятичные доли разбиваются по отдельным разрядам, так что о приведении их к общему знаменателю говорить не приходится.
      Само собою разумеется, что задачи, решаемые на 3-м году, сложнее по числу действий и по характеру зависимости между входящими в них величинами, чем задачи 2-го года. Однако недостаточное еще знакомство учащихся с дробями и с приближенными числами заставляет давать задачи преимущественно на целые числа.
      Геометрические навыки на 3-м году пополняются черчением перпендикулярных и параллельных линий в разных положениях (т.-е. не только горизонтальных и вертикальных, но и наклонных). Термин «перпендикулярный», однако, не вводится вследствие его трудности. Работа производится как инструментами (линейкой и угольником), так и на-глаз, причем на 3-м году можно уже требовать некоторой чистоты исполнения. Дети составляют план комнат, здания, прямоугольных участков земли, пользуясь масштабом, и упражняются в чтении готовых планов, переводя размеры на плане в натуральные; необходимо ознакомить их с главнейшими из употребляемых на планах условных обозначений.
      Отыскание площади прямоугольника делается уже не непосредственным измерением квадратной единицей, как на 2-м году, а вычислением по известны]^ длинам сторон прямоугольника. Подходом к выводу правила должно быть не один раз повторенное учениками непосредственное измерение.
      Что касается измерения объемов, то на 3-м году делается лишь первый шаг к решению этой задачи: ученики знакомятся с кубическими единицами — кубическим метром, кубическим сантиметром, и устанавливают возможность непосредственного измерения этими мерами объема комнаты, коробки и т. п.
      Укажем простейший способ изготовления из бумаги кубиков без клея. Из плотной бумаги вырезается 6 прямоугольников с отношением сторон от 1 гА до 1%. Прямоугольники складываются парами в виде крестов, и узкие края каждого загибаются так, чтобы каждая пара сложенных прямоугольников приняла форму квадрата. Затем прямоугольники разнимают и края их оставляют отогнутыми под прямым углом. Один из прямоугольников кладут на стол и под его длинные стороны подводят загибы двух других прямоугольников, стоящих вертикально. К коротким сторонам прямоугольника в основании прикладывают две другие боковые стенки так, чтобы их длинные стороны были горизонтальны и охватывались снизу загибами основания и чтобы загибы коротких сторон охватывали стоящие уже две другие боковые стенки. Остается вплести верхнее основание — и куб готов.
      Изготовленные таким образом кубы можно легко соединять друг с другом загибами стенок и получать из них бруски и слои.
     
      4-й год.
      На 4-м году заканчивается проработка десятичных .дробей, после чего они должны стать в руках учащихся столь же привычным орудием расчета, как и целые числа. Знакомство с десятичными дробями позволяет вместе с тем поставить на надлежащее место вопрос о приблизительных числах. Еще с 1-го года обучения учащиеся замечают, что производимые ими измерения длины в большинстве случаев дают лишь приблизительный результат. Не настаивая на мысли, что измерение всегда только приближенно, надо теперь показать, насколько редки случаи точного (с точки зрения учащихся) измерения, а также обобщить заключение о приближенности измерения на измерения каких бы то ни было величин. Надо указать также, что не только измерение, но и счет очень часто приводит тоже лишь к приближенному результату: трудность получения точного большого числа иллюстрируется опытом пересчитывания пригоршни гороха по очереди несколькими учащимися; бесцельность точного значения большого числа можно показать на примере числа жителей СССР, определенного с точностью до 1 человека: настолько точное число не нужно ни для каких хозяйственных расчетов, а кроме того, число жителей республики меняется на десятки и сотни человек в каждую минуту.
      Затем следуют упражнения в округлении чисел — целых и дробных (выраженных десятичными дробями), а также деление с заданной точностью. Случаи «невозможности» решения задачи из-за того, что одно число «не делится» на другое, теперь не могут иметь места: всякое число «делится» на всякое другое; остаток всегда отбрасывается; если он больше половины делителя, то надо только усилить одной единицей последнюю цифру частного. Этим резко меняется с 4-го года характер решаемых учениками задач: вместо задач с искусственно подобранными числами появляются подлинные задачи из жизни — необходимая последняя фаза подготовки учащихся к реальному использованию в жизни имеющихся у них математических навыков.
      Как известно, число цифр произведения обыкновенно бывает больше числа цифр каждого из сомножителей, а при перемножении десятичных дробей получаются доли более мелкие. Было бы, однако, ошибочно думать, что если мы измерили стороны прямоугольника с точностью до сотых долей метра, то можно вычислить его площадь с точностью до десятитысячных долей квадратного метра. Чтобы в этом убедиться, достаточно прибавить (или отнять) по 1 — 2 тысячных метра к каждой стороне и вычислить площадь снова: окажется, что она отличается от первоначальной не только десятитысячными и тысячными долями, а чаще всего и сотыми. Отсюда следует, что полученные цифры тысячных и десятитысячных никакого доверия не заслуживают, а потому могуть быть опущены без особого ущерба для точности вычисления. То же бывает и при всяком перемножении приближенных чисел: число верных цифр произведения (независимо от места запятой) никогда не больше числа цифр каждого из сомножителей. Так, произведение приближенных чисел 5,27 и 16,2, равное 85,374, содержит лишь три верные цифры 85, 3, причем последняя из них лишь приблизительно верная; в произведении 6,13.4,8=29,424 не стоит сохранять более двух цифр, т.-е. 29 (так как во множителе две цифры), и т. п. Вышеизложенное правило отбрасывания чишних цифр мы не предлагаем давать учащимся I ступени. Но надо, чтобы учитель имел правильный взгляд на размножающиеся при всяком перемножении цифры и останавливал бы их размножение в каждом отдельном случае.
      Проработка умножения и деления десятичных дробей, когда учащиеся еще незнакомы со смыслом умножения и деления на дробь, представляет известные трудности. Рекомендуем вести ее следующим образом.
      Сначала рассматривают умножение десятичной дроби на целое число. Это не представляет затруднений и дает хороший материал для укрепления в сознании детей связи, существующей между целыми числами и десятичными дробями. Само собою разумеется, что множатся не только чистые дроби, но и смешанные числа. Делается наблюдение, что произведение может быть меньше множителя.
      Вслед затем делят десятичную дробь «а целое число и делают поверку деления.
      Для умножения на дробь берут квадрат со стороною 10 клеток и принимают длину его стороны за единицу. Тогда каждая клетка будет иметь длину и ширину в 0,1 единицы, а площадь клетки будет равна 0,01 кв. единицы, так как во всем квадрате — квадратной единице — их 100. Затем берут прямоугольник со сторонами, например, 0,3 и 0,2 единицы и находят, что в нем помещаются 6 клеток, а потому его площадь равна 0,06 кв. единиц, и 0,3X0,2=0,06. После нескольких такого рода примеров устанавливается, что от перемножения десятых долей получаются сотые.
      Вслед затем берется произведение 0,13.0,21. Чтобы его найти, строят часть квадрата со стороною 100 клеток. Хотя квадрат и не весь помещается на чертеже, но при помощи вычисления находят, что в нем 10.000 клеток; поэтому если длину его стороны принять за единицу, то одна клетка имеет площадь в 0,0001 кв. единицы. Окажется, что от перемножения данных дробей, выраженных в сотых долях, получилось 273 десятитысячных.
      Умножение сотых долей на десятые можно сделать сначала, раздробив десятые доли в тысячные и отбросив затем нуль в конце произведения. Вывод: от умножения сотых долей на десятые получаются тысячные.
      Наконец, три получившиеся правила — умножения десятых долей на десятые, сотых на десятые и сотых на сотые, объединя-ются в одно: десятичные дроби перемножаются как целые числа, а в произведении отделяется справа запятой столько цифр, сколько их было после запятой во множимом и во множителе вместе.
      После этого возвращаются к умножению десятичной дроби на целое число и исследуют, какое изменение произошло бы с произведениед!, если бы во множимом отбросить запятую, и как из получившегося в этом случае неправильного произведения сделать правильное. Тот же вопрос ставится затем для случая умножения сотых долей на десятые и т. д. В результате получается подтверждение известного уже правила перемножения десятичных дробей и возможность его распространения и на более мелкие доли.
      Деление на десятичную дробь делается при помощи увеличения делимого и делителя в 10, 100, 1000 раз — так, чтобы делитель (но не делимое) стал целым числом.
      Вместе с изучением десятичных дробей вводится понятие о проценте как сотой доле и решается задача о нахождении данного числа процентов от какого-нибудь числа, причем число процентов берется целое. Другие типы задач на проценты мало доступны учащимся I ступени. Рассматривать проценты, как число единиц со ста, не рекомендуется, потому что такое определение процентов, не облегчая, а скорее усложняя технику вычислений, затемняет в сознании учащихся смысл понятия о проценте. Очень хорошо для иллюстрирования понятия о проценте пользоваться квадратом в 100 клеток.
      Кроме изучения десятичных дробей, на 4-м году систематизируются и расширяются сведения о простых дробях. Рассматриваются дроби с любыми однозначными и наиболее употребительными двузначными знаменателями. На отрезках устанавливается неизменяемость величины дроби при кратном изменении ее числителя и знаменателя. Это свойство используют прежде всего для сокращения дробей: дети должны привыкнуть не оставлять без
      сокращения ни одной сократимой дроби, но сокращать не на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, а на тот делитель, который бросается в глаза, с тем, чтобы в случае надобности сократить еще раз. Так как учение о делимости вообще не входит в программу школы I ступени, то и приведение дробей к общему знаменателю делается только по соображению. Этим исключаются все сколько-нибудь сложные случаи. Однако свойство общего знаменателя делиться без остатка на все данные знаменатели должно быть хорошо усвоено чащимися. Также для них должно быть ясно, что на дополните ьный множитель множатся как числители, так и знаменатели дробей, в результате чего величина дроби не меняется.
      Умножение и деление на простую дробь не входит в программу.
      Затем идет дальнейшее совершенствование в устном счете, в решении строчек со скобками, уравнений, задач с более сложным содержанием и перевод мер. В числовые примеры вводятся двойные скобки и дается известное правило о порядке действий, состоящее в том, что умножение и деление делают прежде, чем сложение и вычитание. Учащиеся упражняются в ведении приходо-расходных записей по школьному кооперативу и проч.
      Большую роль нГ 4-м году играет геометрия. Развитие техники черчения позволит ученикам делать уже без клеток те построения, которые они прежде делали по клеткам. Кроме того, они знакомятся с мерой угла — градусом, измеряют углы, делят на равные части и т. д. Сведения об углах прилагаются к построению круговых (секторных) диаграмм (см. главу о графическом методе).
      От знакомой фигуры — прямоугольника — переходят к па-раллелограму. Для этого из полосок картона приготовляют подвижной прямоугольник: полоски скрепляются толстыми нитками, продетыми в маленькие отверстия в картоне (по одному в вершине каждого угла) и закрепленными узелками с обеих сторон. Можно е тою же целью воспользоваться складным метром. Из такого прямоугольника получаются разнообразные параллелограмы. Эти параллелограмы обводятся на листе бумаги карандашом. Заметив, что их противоположные стороны равны и параллельны, дети чертят затем параллелограмы в тетради по клеткам.
      Для измерения площади параллелограма его вырезают из бумаги и, отрезав с одной стороны треугольник, превращают в пря-
      миугольник. Устанавливают понятие о высоте параллелограма и получают правило для нахождения площади.
      Также опытным путем — разрезанием бумажного параллелограма — - убеждаются, что диагональ делит его на два равных треугольника. Отсюда выводится правило для нахождения площади треугольника и делается ряд упражнений на вычисление площадей начерченных треугольников при помощи измерения их оснований и высот.
      Оканчивающим школу I ступени, особенно в деревне, надо дать умение сделать хотя бы приблизительный набросок плана земельного участка. (Простейший способ для этого, не требующий никаких землемерных инструментов, кроме измерительной веревки, состоит в том, чтобы разбить участок на треугольники, обмерить все стороны каждого треугольника и переносить затем на бумагу один за другим обмеренные треугольники в определенном масштабе. Последнее требует умения строить при помощи циркуля треугольник по трем сторонам, что и включено в объем навыков.) Съемка производится с помощью или эккера, или мензулы. Площадь участка вычисляется как сумма площадей треугольников.
      Наконец, на 4-м году изучается измерение объемов прямоугольных тел. Измерение объемов дается детям значительно труднее, чем измерение площадей, а потому вывод правила можно обосновать только на произведенном самими детьми заполнении какого-нибудь, например, ящика кубическими единицами (см. указания к 3-му году).
     
      ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИИ МАТЕМАТИКИ В КОМПЛЕКСНЫХ ЦЕЛЯХ
     
      Преподавайте математики в школе I ступени имеет две цели: 1) обогатить ученика числовыми, пространственными представлениями, развить у него мышление, выработать твердые навыки счета и измерения; 2) научить его применять полученные навыки для познания окружающей жизни, например: измерить величину, произвести подсчет, составить расчет. Старая школа делала ошибку в том, что она совершенно забывала о второй цели преподавания математики, обращала счет в простую гимнастику ума. Новая же школа часто грешит тем, что оставляет в тени первую цель. Необходимо заботиться о том, чтобы учащиеся имели твердые навыки в области счета и умели бы ими пользоваться при решении задач, выдвигаемых повседневностью. Этого можно достигнуть только в том случае, если выработка счетных навыков будет производиться в известной методической последовательности, каковая достаточно подробно разработана (см. методики Волковского, Гольденберга, Шохор-Троцкого и др.). При обучении счету, измерению учитель использует методы, содействующие пробуждению детской активности, осознанию отдельного приема. Это достигается тогда, когда производится такой отбор и распо-южение материала, что ученики сами делают выводы.
      Ясно для каждого, что соответствующая постановка преподавания математики требует для себя отдельного времени, специальных занятий.
      Вырабатываем же мы у детей навыки и даем им знания для того, чтобы с их помощью они смогли разумно организовать свою жизнь. С элементами организации жизни они знакомятся на работах, когда требуется проанализировать тот или иной кусок быта, труда, напр., как они проводят день, потом подсчитать те моменты, из которых слагается явление, напр., подсчитать, сколько они времени расходуют на работу в школе, по дому, на отдыхе, и, наконец, сделать расчет, напр., когда нужно вставать, когда ложиться спать, сколько времени тратить на труд и т. д. Очевидно, для анализа, подсчета, расчета потребуются некоторые знания из области арифметики, геометрии. Следовательно, при постановке подобных практических задач знания и навыки детей будут находить нужное приложение. Работа же по организации труда и быта будет в свою очередь пробуждать в школьниках интерес к математике.
      Школьный работник просит указать ему жизненные задачи для работ по каждому отделу математики, напр., сложения в пределе 10, деления на 2 в пределе 20, умножения многозначного числа на однозначное, деления десятичных дробей и т. д. На это можно ответить так: чтобы разрешить какой-либо жизненный вопрос, ученики должны уже владеть некоторой суммой математических знаний и навыков. Таким образом работа по приобретению знаний и навыков по математике должна опережать практику решения жизненных задач; напр., ничуть не плохо, если 4-я группа будет решать задачи на целые многозначные числа и т. п. Нужно заботиться о том, чтобы у учеников вырабатывался навык с помощью числа фиксировать явление, производить учет и расчет. Выработав такой навык, школа сделает большое дело: она подготовит крестьянина, рабочего, полагающегося в каждом деле не на «авось», а на расчет.
      Следовательно, заботы преподавателя должны быть направлены на использование математики для решения жизненных задач, выдвинутых темой.
      Для первого года обучения можно признать достаточным, если дети научатся с помощью числа фиксировать явление, напр., количество членов семьи, производить прямое (непосредственное) измерение величин, напр., измерения протяжений с помощью метра.
      На втором году обучения они знакомятся с косвенным (посредственным) измерением величин, напр., температуры, организацией учета, напр., удоя молока, расхода корма; в связи с последней задачей дери учатся производить наблюдения по определенным формам.
      Вот примеры такого учета:
      (...)
      На третьем году обучения продолжается знакомство с косвенным (посредственным) измерением, напр., измерением площадей участков, с проведением расчетов, напр., в какой мере население обеспечено хлебом своих полей, как увеличится урожай от применения лучшей обработки пашни, внесения удобрения и т. п.
      Вот примеры для таких расчетов:
      (...)
      Четвертый год обучения имеем дело с этими же задачами, но решаем их более точно, используя свои знания о дробных числах.
      Приведем пример расчета пользы от мелиоративных работ.
      В данной таблице показано, что имела семья, состоящая из трех взрослых, одного подростка и двух малолеток, до и после мелиорации.
      (...)
      Ясно, что материал этой таблицы используется для многих задач на расчеты.
      При такой постановке вопроса об использовании математики в комплексных темах должны украшать класс не диаграммы, отражающие многие вопросы экономической географии, политической экономии, а тетради, в которых ведется учет труда и явлений, сопутствующих ему, напр., календарь погоды, весны, крестьянских работ, учетная карточка детского труда, приходо-расходные записи, сметы и т. д.
      Очевидно, что некоторые знания и навыки по математике в этих работах не будут использованы. Не беда: они будут использованы в последующей жизни учащегося; сейчас же нам важно научить первоступенника ставить несложный, учет и расчет.
      Чтобы показать, как математика используется в комплексных темах, приведем примеры. Во 2-й группе школы I ступени во вторую неделю занятий было проработано:
      (...)
      Из приведенного примера видно, что в некоторых частях занятия по математике идут самостоятельно, напр., счет парами, пятками и т. п., в других же частях упражнения в счете и измерении являются как бы ответом на вопрос темы.
      Здесь занятия как по счету, так и по измерению сначала могут итти самостоятельно. Дети просто учатся считать и по часам измерять время. По теме же ведутся беседы о том, что нужно проработать, какие у - нас должны быть организации и т. д. Потом, накопив некоторый запас знаний и навыков по математике,
      используем его при разрешении различных вопросов, выдвинутых темой, напр., учитываем количество рабочего времени в полугодии и т. д.
      В данном случае, прежде чем приступить к практической работе, ученики накапливали знания, а потом их начинали применять. Это же правило остается в силе и по отношению к другим комплексам и всему курсу школы 1 ступени.
      Можно думать, что при такой системе занятий, когда мы приобретаемые знания по математике используем в комплексных семах для фиксации, несложного учета и расчета, мы выпустим из школы учеников, владеющих определенным запасом знаний и навыков по математике и умеющих применять последние для решения задач, выдвигаемых повседневностью.
     
      ДРОБИ.
     
      Как показал годичный опыт работы в кружках по методике математики при базовых школах города Москвы, в преподавании дробей в наших массовых школах имеются моменты, неясные для преподавателей, методически не проработанные. Нет единства в методах преподавания дробей, нет единой твердой программы, определенной последовательности в прохождении отдельных частей курса. Преподаватели недоуменные вопросы разрешают на местах самостоятельно по-разному, пользуясь случайно попавшейся под руку старой методикой или на основании воспоминания, как когда-то проходились дроби в старой школе. Есть, напр., школы, которые «проходят» простые дроби изолированно на четвертом году обучения в течение четырех месяцев — февраля, марта, апреля и мая. В этом году на собрании учителей первой ступени одного района гор. Москвы была вынесена резолюция, в которой высказано пожелание о введении на четвертом году обучения курса дробей. В этот курс должно было войти догматическое прохождение умножения и деления на правильную дробь без выяснения смысла этих действий. Некоторые из учителей, проходя умножение, дают такое давно осужденное определение умножения: «умножить на дробь — значит из множимого составить новое число так, как множитель составлен из единицы». Можно было бы еще привести много примеров, как ошибочно подходят к преподаванию дробей отдельные преподаватели и целые школьные коллективы. Первые годы существования трудовой школы методика навыков не стояла в центре внимания. Школа была занята разрешением других вопросов, более общего характера, но и более важных для того момента. Теперь, когда школа оформилась, когда выявилась не только в теории, но и на практике общая система обучения, когда многие вопросы принципиального характера уже разрешены, необходимо пойти навстречу законному требованию школьного работника дать ему в руки четкую, ясную программу по навыкам с указанием методов проработки. В настоящее время имеется уже достаточно богатый опыт работы массовой школы, который позволяет уже ясно себе представить, во что должен вылиться курс дробей в четырехлетке и как его следует прорабатывать. Объем курса дробей и распределение его по годам обучения вполне соответствуют новым программам по математике, изданным Наркомпросом для школ I ступени.
      Настоящая статья имеет в виду исключительно вопросы методики навыков действий с простыми и десятичными дробями в 4-летке, оставляя совсем нерассмотренными вопросы, связанные с использованием полученных навыков для школьной работы, решения задач, связи с комплексной темой и т. п.
      Замечания общего характера по всему курсу дробей для 4-летки.
     
      1. В курсе 4-летки главное внимание должно быть уделено десятичным дробям, которые при современном уровне культуры для каждого являются жизненно необходимыми. 4-летка должна выпускать детей, могущих быстро и уверенно производить действия с десятичными дробями и умеющих использовать их при решении жизненных вопросов. Простые дроби, изучаемые на первых трех годах обучения, являются методически необходимым вступлением в. курс десятичных дробей, без которых прохождение последних было бы затруднено, много потеряло в ясности и конкретности. Десятичные дроби проходятся в течение второй половины третьего года обучения (нумерация, сложение и вычитание) и в течение четвертого года обучения (умножение и деление). Изучение простых дробей распадается на две ступени. Первая ступень — индивидуальное изучение долей: половина,
      четверть (на первом году обучения), 1/8, 1/10 (на втором). Вторая ступень — сокращенный систематический курс простых дробей на четвертом году обучения, в котором выпущены такие вопросы, как, напр., разложение на множители, теория наибольшего делителя, наименьшего кратного, деления на дробь и т. п. Подробный перечень вопросов, подлежащих проработке на каждом году обучения, дается при рассмотрении каждого года отдельно.
     
      2. Простые дроби на первых трех годах обучения изучаются подобно числам первого десятка по методу «индивидуального изучения чисел». С каждой дробью — с половиной, четвертью и т. д. — дети знакомятся отдельно. Общее понятие о дроби дается только на третьем году обучения. Индивидуальное изучение дроби слагается из следующих моментов:
      а) восприятие дроби и воспроизведение ее на чертеже, наглядных пособиях и т. п.
      б) изучение соотношений между нею и более крупными долями, напр., 2/4=1/2;
      в) прохождение действий над изучаемой дробью;
      г) изображение дроби и запись действий;
      д) решение задач.
      Ясно, что порядок проработки может быть и иной, что все пять элементов изучения дроби переплетаются между собой.
     
      3. При изучении дробей следует широко пользоваться геометрическими образами (кругом, квадратом, прямоугольником, шаром, кубом и призмой и их частями) для наглядного представления дробей и соотношений между ними. Выполнение чертежей, иллюстрирующих соотношение между различными долями, делает изучение дробей живым, интересным.
     
      4. На всем протяжении четырехлетки следует выдержать единую точку зрения на дробь. Методически правильнее определить дробь, как часть целого или несколько частей целого. Из этого определения следует исходить при разработке любого вопроса. Определение, что дробь получается в результате деления одного числа на другое, менее доступно детям. Самое слово «дробь» говорит за первое определение. Дробь то, что получилось от раздробления целого предмета.
     
      5. Действия над дробями следует включить в круг ежедневных упражнений в беглом устном счете особенно на третьем н четвертом годах обучения и добиваться такой же беглости в счете с долями, какой мы требуем в счете с целыми числами.
     
      6. Материал при прохождении курса дробей следует расположить концентрически. Каждый год обучения должен строиться на предыдущем и не забывать интересы следующих годов. Всю работу следует вести так, чтобы можно было обеспечить постепенное усвоение навыков на протяжении всего курса четырехлетки. А для этого требуется повторение проделанных упражнений на целесообразно подобранном материале.
     
      Дроби на первом году обучения.
      На первом году обучения дети знакомятся с дробями — 1/2 и 1/4. Лучше всего ввести их в круг упражнений после прохождения умножения в пределах первого десятка перед делением на части.% вводится как одна из частей целого предмета, напр., яблока, листа бумаги, палочки и т. п., разделенного пополам. Дети на наглядных пособиях схватывают и упражнениями закрепляют, что 1/2 да 1/2 будет целое, что целое без половины — половина. После деления пополам групп предметов и чисел до десяти вводится четверть, как одна из частей целого предмета, разделенного на 4 равные части. Ознакомление детей с четвертью должно вестись аналогично ознакомлению с половиной. На наглядных пособиях, напр., круге, разделенном на 4 сектора, квадрате, разбитом на 4 части, яблоке, разрезанном на 4 части, и т. п., дети усваивают, что две четверти — половина, что половина без четверти — четверть, что три четверти да четверть — целое, что целое без четверти — три четверти, целое без трех четвертей — четверть. Соотношение, что половина да четверть — три четверти и т. п., следует отнести на второй год обучения.
      То же можно сказать о письменном изображении дробей и записи действий с ними. Упражнения с дробями следует вести в течение всего года. Деление круга и квадрата пополам, на четыре равные части диаметрами, диагоналями с определением полученных частей (какие, сколько) будет очень хорошим упражнением, способствующим уяснению половины, четверти и геометрических фигур (квадрата, круга).
     
      Дроби на втором году обучения.
      (...)
     
      Десятичные дроби на четвертом году обучения.
      На четвертом году обучения заканчивается курс десятичных дробей (умножение и деление). Умножение и деление десятичных дробей проходится в первые 2 — 3 месяца в первой половине учеб- -ного года одновременно с последним концентром целых чисел (числа любой величины).
     
      А) Изучение умножения десятичных дробей можно разбить на следующие моменты.
      а) Повторение умножения десятичных дробей на 10, 100 и 1000.
      б) Повторение выведенных на 3-м году обучения правил об изменении произведения от увеличения или уменьшения в несколько раз одного или двух сомножителей одновременно.
      в) Умножение десятичной дроби на однозначное целое число, например, 2,47X4. Для устных вычислений этого вида следует предпочесть способ умножения на множителя 4 каждого разряда множимого отдельно. Также на первых порах выполняются эти упражнения и письменно, пока дети не заметят, что для умножения собственно нужно всегда, не обращая внимания на положение запятой, перемножить множимое и множитель, как целые числа, и потом в произведении отделить столько десятичных знаков, считая от правой руки к левой, сколько их было во множимом. Следует объяснить, почему это так, пользуясь правилами пункта «а» и «б».
      г) Умножение десятичной дроби на двузначное число. Здесь возможен только один прием письменного выполнения этого действия. Пусть, например, нужно выполнить умножение 0,25 X 75 Рассуждаем так. Будем множить так, как множили на однозначное число. Во множимом откинем запятую, множимое увеличивается в 100 раз, от этого должно увеличиться в 100 раз и произведение. Выполним умножение как с целыми числами, а потом, чтобы уменьшить произведение в 100 раз, отделим запятой 2 десятичных знака от правой руки к левой. Такое рассуждение дети повторяют при решении каждого примера, пока не заметят, что при умножении десятичной дроби на двузначное число всегда приходится сначала выполнить умножение, как если бы запятой во множимом не было, а потом в произведении отделить столько знаков, сколько знаков было во множимом. Отдельно нужно здесь обратить внимание на умножение на круглые десятки и сотни, перебрав все случаи.
      д) Умножение целого на десятичную дробь.
      Здесь мы имеем тоже только способ письменного выполнения действий. Чтобы умножить 15 на 2,5, откидыванием запятой превращаем множителя в целое число. От этого множитель увеличивается в 10 раз, во столько же раз увеличивается и произведение. Выполняем умножение с целыми числами. Потом, чтобы получить произведение данных сомножителей, полученное произведение уменьшаем в 10 раз, отделив запятой один знак справа. Это рассуждение дети повторяют при решении каждого примера, пока не подметят, что для выполнения умножения на дробь следует, не обращая внимания на положение запятой, выполнить умножение, а потом отделить в произведении столько знаков, сколько их было во множителе. Заметим, что понятие умножение нами не расширено на случай умножения на правильную дробь, и потому задачи вроде: «метр сукна стоит 20 руб., что стоит 0,4 метра», нельзя решать умножением 20 на 0,4. Подобное расширение будет сделано на пятом году обучения. Объем применения действия умножения на десятичную дробь должен быть ограничен задачами, в которых нужно найти площадь (например: длина прямоугольника 3 .метра, ширина 2,5 метра, какова площадь?), или задачами вроде: «метр сукна стоит 3 руб., сколько стоит 2,5 метра?» Строго рассуждая, мы и эти задачи не можем решать умножением, не определив предварительно, что значит умножить на дробь. Умножить 3 X 2,5, значит 3 взять два раза и прибавить половину трех, получится 6 + 1,5 = 7,5. Но учитывая, с одной стороны, что по программным соображениям вопрос об умножении на дробь перенесен на пятый год обучения (как показал опыт, он трудно дается детям в 4-й группе), с другой стороны, что многие дети, кончая 4-летку, тем и заканчивают свое школьное образование и что потому им нужно дать законченный круг действий с десятичными дробями, приходится научить детей приему умножения десятичных дробей, оставив в стороне логические тонкости.
      е) Умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Здесь мы тоже имеем способ письменного выполнения действия. После изложенного в пункте «д» выполнение его не представляет трудностей. Пусть нужно умножить 0,5 X 0,3. Отбрасываем запятые во множимом и во множителе, перемножаем получившиеся целые числа, потом в произведении отделяем столько знаков, сколько было их во множимом и во множителе. После нескольких примеров с подробным объяснением дети приходят к известному правилу умножения десятичных дробей.
     
      Б) Изучение деления десятичных дробей можно разложить на следующие моменты.
      а) Деление целого числа на целое с последовательным раздроблением остатка в десятые, сотые и т. д.
      Эти упражнения следует связать с делением целых чисел любой величины. Когда при делении целых чисел получается остаток и мы прекращаем деление, мы, собственно говоря, отказываемся от деления до конца. Мы имеем случай неоконченного деления. Теперь выясняется, что невозможность окончить деление объяс-няется тем, что для дальнейшего деления необходимы доли единицы, что, раздробляя постепенно остаток в десятые доли, остаток после деления десятых в сотые и т. д., деление можно довести до конца. Следует первое время предлагать примеры, в которых деление заканчивается десятыми или сотыми долями в частном. От детей нужно требовать сознательного выполнения действия и объ-яснения, почему ставится в частном запятая, в какие доли единицы превращается остаток, сколько долей получится, почему и т. д.
      б) Округление частного.
      После того как дети овладеют рассмотренным случаем, следует научить их находить приближенное частное, «округлять» частное. Сначала на примере нужно показать, что сотые, тысячные доли иногда бывают настолько мелки, что практически с ними можно не считаться и их отбрасывать. На 0,01 коп. ничего не купишь, да и такой монеты нет, 0,01 тт даже не увидишь, 0,01 секунды — настолько маленький промежуток времени, что его нельзя заметить. Тысячные доли будут еще мельче. Вместе с тем 0,01 может быть и заметной величиной, напр., 0,01 рубля — одна копейка. Величина какой-либо доли единицы зависит от величины
      самой единицы. С другой стороны, иногда просто не имеет смысла учитывать мелкие доли. Расстояние школы от дома ученика измеряется в метрах, и несколько миллиметров для этого расстояния не имеют никакого значения. При определении расстояния от одного города до другого нужно знать, сколько между ними км, и, очевидно, не имеет никакого смысла говорить, что расстояние между городами 20 км и 4 ст. Величина 4 см слишком ничтожная в сравнении с величиной 20 кт, и ею можно пренебречь. После такой работы над большим количеством примеров можно решить такую задачу: «Ученик доходит из дома в школу за 8 минут, расстояние от школы до дома 325 т. Какое расстояние проходит ученик в минуту?» Для решения нужно 325 т : 8 = 40,625 м, или 40 т 625 тт. При определении расстояния, проходимого в одну минуту в среднем, несколько тт не имеют никакого значения, и ответ можно округлить, сказав, что в каждую минуту ученик проходит по 40,6 метра. На таких задачах учащиеся учатся оценивать значение различных разрядов результата и его округлять. Заметим, что вопрос об округлении может встретиться и при решении задач не тольАо на деление. Пусть, напр., нужно решить такую задачу: «Один кг сахара стоит 56„5 коп., сколько стоит 1,5 кг?». Для решения задачи нужно 56,5 X 1,5 = 84,75 коп. Очевидно, что придется заплатить 85 коп., округлив произведение. Важно, чтобы дети научились быстро и правильно, когда это нужно, округлять результат. Этот прием имеет большое применение в жизни. Упражнения с округлением следует предлагать в задачах до конца года.
      в) Деление десятичной дроби на однозначное число.
      Для деления десятичной дроби на однозначное число следует предпочесть прием устного выполнения этого действия поразрядного деления делимого на делителя. Можно практиковать и такой способ: делить, не обращая внимания на запятую в делимом, потом в частном отделить столько знаков, сколько их было в делимом (или перенести запятую на столько знаков влево, сколько было в делимом). Надо дать возможность учащимся выбирать тот или другой прием, какой более удобен для данного случая. Напр., 2,5 : 5. Легче, конечно, 25 : 5, получится 5, потом частное уменьшить в десять раз, будет 0,5. А если бы нужно было разделить 24,8 : 4, мы бы делили поразрядно. Деление на однозначное число должно войти в круг устных вычислений.
      г) Деление десятичной дроби на двузначное число.
      Здесь как нормальный прием следует рекомендовать второй из указанных в п. «в». Пусть 6,5 : 13. Увеличиваем делимое в 10 раз, превратив его в целое число, делим 65 на 13, получим 5; чтобы частное исправить, уменьшаем его в 10 раз, будет 0,5. Здесь особо нужно обратить внимание на деление на круглые десятки.
      д) Деление целого числа на десятичную дробь.
      В случае деления целого числа на десятичное число следует поступать так. Пусть, напр., 80 : 0,4. Так как учащиеся уже привыкли к тому, что для того, чтобы выполнить какое-либо действие над десятичными дробями, надо сначала отбрасыванием запятой обратить их в целые числа, то легко навести, что и в данном случае следует поступить также. Откидываем запятую и обращаем делителя 0,4 в целое число 4. Сейчас же выясняется, что частное от этого уменьшилось в 10 раз. После деления 80 на 4 для исправления частного увеличиваем его в 10 раз. Можно рассуждать иначе. После того как дети убедятся, что частное в 10 раз уменьшится от обращения 0,4 в 4 целых, для исправления ошибки сейчас же делимое тоже увеличиваем в 10 раз. Потом выполняем деление. Частное получится верное. Следует предпочесть второй способ, имея в виду деление десятичной дроби на десятичную дробь.
      е) Деление десятичной дроби на десятичную дробь.
      Следует пользоваться таким приемом. Пусть 0,64 : 3,2. Делителя превращаем в целое число, для чего нужно увеличить его в 10 раз. Чтобы исправить ошибку, и делимое увеличим в 10 раз. После делим как на целое число. Следует разобрать все случаи: 1) когда число десятичных знаков в делимом и делителе одинаково, 2) когда в делимом число десятичных знаков больше, чем в делителе, и 3) когда в делимом число десятичных знаков меньше, чем в делителе.
      Заметим, что в виду того, что деление на дробь нами не определено, нельзя решать с детьми посредством деления таких задач, в которых нужно найти по части целое.
     
      В) Задачи на проценты.
      В 4-й группе задачи на проценты ограничиваются только случаем нахождения нескольких процентов данного числа. Понятие о проценте дается как о сотой части какого-либо числа. Найти 4,5 процента 20-ти записывается так:
      4,5% (20) = 0,9.
      Л% (20) = 20: 100 = 0,2.
      4,5% (20) = 0,2 X 4,5 = 0,9
      Напр., 0,4 арш. сукна стоит 12 руб., сколько стоит 1 аршин? Задачу эту на четвертом году обучения нельзя решать таким образом: 12 : 0,4 = 30 руб. Задачу эту следует решать в два действия, предварительно составив уравнения: 0,4.x = 12; решение можно расположить таким образом:
      0,4.х=12
      0,1.х=12:4=3
      х=3.10=30.
     
      Простые дроби на четвертом году обучения.
      Простые дроби в четвертой группе проходятся систематически в следующем объеме: изменение величины дроби от изменения числителя или знаменателя, дробь правильная и неправильная, смешанное число, сокращение дробей, приведение к общему знаменателю, сложение, вычитание. Общий знаменатель находится без теории наименьшего кратного «по соображению». Разложение на множителей, теория общего наибольшего делителя, наименьшего кратного, умножение и деление дробей выпущены. Дроби берутся с «употребительными» знаменателями, не превышающими 100.
      (...)
     
     
      УСТНЫЙ СЧЁТ
     
      В курсе начальной школы должно быть отведено первенствующее значение устным вычислениям.
      Гольденберг.
     
      1. Сказанное Гольденбергом справедливо и сейчас, вернее, особенно сейчас. Ведь ни для кого не секрет, что устному счету (как и решению текстовых задач) в современной школе I ступени уделяется недостаточно внимания.
      Это можно отнести без особой боязни почти ко всем школам. Ко всем потому, что в лучшем случае устный счет употребляется лишь в качестве случайного вида упражнений по преимуществу тогда, когда «нехватило материала» для заполнения определенного времени. А между тем устный счет может дать ожидаемые от него результаты лишь при систематическом пользовании им, начиная с 1-й группы и кончая... ну, кончая смертью человека.
      Да, это так. Еще Гольденберг справедливо стыдил культурного человека, который стесняется ошибок в речи, в письме, ноне стесняется прибегнуть к мелу или карандашу для производства самых несложных вычислений.
      Это ничуть не устарело и для наших Дней. Мы знаем очень хорошо, что наш современный ученик работает карандашом и резинкой куда больше, чем головой.
      А между тем, кто станет отрицать бесспорное значение устного счета для развития учащегося вообще и для развития математического мышления учащегося в частности. При устном счете учащийся имеет дело с «живым числом», а не с «мертвой» цифрой. Искушенный в устном счете ученик реально и живо представляет себе числа, над которыми ему нужно произвести действия, расчленяет, разлагает их по своему усмотрению так, чтобы быстрее, лучше, изящнее получить результат Ученик развивает внимание, сообразительность, находчивость, осмотрительность, самообладание. Наконец, при устном счете ученик проявляет полную самостоятельность, применяя свой собственный подход к вычислению над каждой парой чисел.
      Нечего и говорить, что устный счет подтягивает отсталых, вовлекая их в общую творческую работу. Самый нерадивый ученик, который не может сосредоточить своего внимания на преодолении скучного механизма письменных действий, примет участие в устном счете наравне с остальными учениками. Да просто вы попробуйте и убедитесь, что устный счет — любимейшее занятие детей.
      Вот почему надо умело использовать в руках педагога это ценное орудие для привития детям счетных навыков, использовать так, чтобы ученик на всю жизнь сохранил привычку доверяться своей голове больше, чем мелу и карандашу с бумагой, и во всяком случае не прибегать ни к тому, ни к другому, когда можно скомбинировать числа так, что результат получается изящно и быстро и от самого процесса вычисления чувствуется одно удовольствие.
      Я думаю, что сказанного достаточно, чтобы убедить в необходимости устного счета в современной школе. Если же кто считает необходимыми дальнейшие доказательства на этот счет, тех я отсылаю к книжкам Гольденберга, Ф. Мартеля, Рачинского, где читатели найдут более убедительное и талантливое изложение вопроса о необходимости устного счета в школе I ступени. В своем кратком очерке попытаюсь наметить как методические требования, которые необходимо соблюдать при ведении устного счета, так и примерный материал для этого счета.
     
      2. На ряде собраний школьных работников I ступени приходится слышать вопросы: когда надо начинать занятия устным счетом, сколько времени этому посвящать, каковы правила для устного счета, как технически его проводить, наконец, что надо и можно давать для устного счета в каждой группе. Я попытаюсь кратко ответить на все эти злободневные вопросы.
      Прежде всего начинать считать устно следует с самой младшей группы. В 1 и 2 группах собственно письменных вычислений в строгом смысле слова не должно быть. Тут все вычисления должны быть устными, и лишь в примерах с большими числами можно допускать письменную запись чисел и результат действий, но самые действия должны производиться устно. Конечно, не все решительно числа в пределах 1.000 поддаются легко устному счету. Поэтому в качестве целевой установки можно было бы принять следующее положение: в пределах 100 все действия над любой парой чисел безусловно должны производиться устно. Что же касается чисел в пределах 1.000, то тут должно быть произведено устно вычисление над каждой парой чисел, в отношении которых можно применить тот или иной «способ устного вычисления».
     
      3. Каковы же эти правила или способы устного счета?
      Собственно, общих правил производства устных вычислений нет. Вернее, способов устного вычисления так много, что научить учащихся пользоваться всеми ими — это значит сделать устный счет не средством, а самоцелью. Достаточно заглянуть к Рачин-скому и Ф. Мартелю, чтобы убедиться, что для отдельных чисел применимы такие способы устного счета, изучение которых слишком трудно, а применение их слишком редко.
      Правильней была бы такая постановка вопроса:
      Прежде всего надо учить детей считать устно независимо от специальных правил. Пусть ребята считают по-своему, применяя для каждой пары чисел свой специальный способ устного вычисления. Для I ступени это, собственно говоря, и будет занимать преимущественное место.
      Но, помимо этого, уже в I ступени следует познакомить учащихся с некоторыми типовыми, общепринятыми специальными способами устного счета.
      Не следует лишь увлекаться этими способами, памятуя, что далеко не все, что в этой области может понравиться и поразить педагога, является приемлемым для детей, особенно I ступени.
      Излагая перечень упражнений в устном счете для каждой группы, я укажу лишь наиболее общие специальные способы устного счета, которые облегчат производство вычислений над целым рядом чисел.
     
      4. Бесспорным является положение, что всякий навык достигается лишь путем систематических упражнений. Устный счет в I ступени должен быть систематическим. Каждый день ему должно отводиться от 5 до 10 минут, максимум 15 минут. Устный счет — любимое занятие детей. Педагог часто поэтому поддается просьбам детей «посчитать еще» и забывает, что устный счет требует более напряженной умственной деятельности детей, чем механический письменный, а поэтому он сильнее и скорее утомляет детей.
      Вот почему надо помнить о систематичности упражнений в устном счете, но не надо также забывать, что здесь увлекаться ни в коем случае нельзя.
     
      5. Техника проведения устного счета примитивна и не затруднит, конечно, ни одного педагога. Обычным способом считается такой технический прием в проведении устного счета: либо педагог ясно и четко диктует числа, над которыми дети должны в уме произвести действия, ничего решительно не записывая на доске, либо педагог молча четко записывает на доске числа и дети устно вычисляют. Спрашивая ответ у учащихся, следует непременно интересоваться не только результатом, но и выяснять, как этот результат получен. Это обогащает остальных детей новыми способами «подхода» к каждой паре чисел, это поощряет ребят к здоровому соревнованию.
      У Воронца в его «Очерках по методике математики в школах I ст.» описан еще такой метод технического проведения устного счета: ребята получают на руки по 1/8 или 1/10 листа бумаги, на которых они пишут вверху свои фамилии. Слева у края они нумеруют столько строк, сколько задач думает им предложить учитель для устного счета. Затем против каждого номера они пишут полученный ими от устного вычисления ответ на каждую задачу. Это, по мнению Воронца, ведет к тому, что все дети принимают участие в устном счете, и педагог имеет возможность знать успешность каждого отдельного ученика.
     
      6. Переходя к перечислению (примерному) того, что можно предложить для устного счета учащимся I ступени, я должен оговориться в двух — трех словах о роли учителя при производстве устного счета.
      Сам педагог должен быть ярким примером того, как надо пользоваться устным счетом. Всегда и при всех обстоятельствах (даже там, где ученику устное вычисление не по силам) педагог должен стремиться производить вычисление устно.
      Нечего и говорить, что в момент устного счета в руках педагога не должно быть никаких записей, и сам педагог должен участвовать на равных основаниях со всеми детьми группы. Педагог должен воодушевлять, зажигать учащихся, увлекая их за собой, поощряя к изысканию наиболее быстрых и изящных способов производства действий над числами.
      Все это, конечно, не должно иметь своей конечной целью достижение виртуозности в этой области.
      Теперь перейду к краткому перечислению тех видов устного счета, которые можно рекомендовать для школы I ступени. При этом я остановлюсь по преимуществу на специальных способах устного счета, оставляя в полной силе сделанное раньше замечание о том, что "эти специальные виды отнюдь не должны оттеснять, на задний план упражнений в устном счете над любой парой чисел без применения какого-либо специального способа.
     
      1-я группа.
      1. Простой прямой счет.
      2. Простой обратный счет.
      3. Присчитывание и отсчитывание от числа группы единиц.
      4. Прямой счет двойками.
      5. Обратный счет двойками.
      6. Прямой и обратный счет тройками.
      7. Прямой и обратный счет четверками.
      8. Прямой и обратный счет пятерками.
      Все это, конечно, вначале связывается с конкретными предметами и лишь постепенно, по мере укрепления привычки к счету у детей, можно допускать и числа без наименования предмета.
      Примеры для этих упражнений легко придумать самому педагогу. Их можно также взять в достаточном числе из книги Ф. Мартеля, Ланкова, Гольденберга (задачник).
      9. Счет прямой и обратный целыми десятками в пределе 100.
     
      2-я группа.
      1. Прямой и обратный счет в пределах 100.
      2. Прямой и обратный счет двойками, тройками, четверками, пятерками в пределах 100.
      3. Сложение и вычитание любой пары чисел в пределах 100.
      4. Умножение и деление в пределах 100.
      (...)
     
      11. Использование всех приемов устного счета, накопившихся у детей от всех лет, для более сложных чисел.
      Таков в общих чертах тот материал, который можно предложить детям по группам.
      Систематическая работа в этом направлении из года в год даст требуемые результаты, и дети научатся быстро и свободно производить в уме вычисления.
      При всей этой работе надо помнить, что быстрота счета есть тоже одна из задач работы этого вида, но было бы большой ошибкой добиваться виртуозности в этом деле.
      В заключение я коснусь вопроса о необходимости, помимо всех перечисленных приемов устного счета, широко использовать с детьми все виды магических квадратов, арифметических загадок, математических игр.
      Наконец, нужно использовать действия с так называемыми «интересными числами», обладающими действительно интересными особенностями.
      Для более глубокого ознакомления с вопросом постановки устного счета в школе I ступени и главным образом для нахождения достаточного числа упражнений в каждом приеме устного счета я отсылаю интересующихся к следующим книгам:
      1. Ф. Мартель. Быстрый счет. ГИЗ. 1923 г.
      2. Ланков, А. В. Устный счет. Изд. «Раб. проев.». 1925 г.
      3. Рачинский, С. А. 1.001 задача для умственного счета. Изд. 3-е. Петроград. 1899 г.
      4. Гольденберг, А. И. Беседы по счислению. 1 ИЗ. 1923 г.
      5. Воронец. Очерк но методике математики в школах 1 ступени. Изд. «Работн. проев.».
      А. Стальков.
     
      МЕТРИЧЕСКИЕ МЕРЫ
     
      1. Распределение метрических мер по годам обучения.
      Вполне естественно, что ознакомление учащихся с метрическими мерами должно быть начато в первые же дни после поступления ребенка в школу (с 1-й группы) и итти в течение всех лет обучения в школе, будучи расположено вполне систематично в связи с знакомством детей с рядом чисел и понятий. Ясно, что трудно будет усвоить детям соотношение между километром и метром, пока не будет им дано представление о тысяче; или странно было бы знакомить детей с квадратным и кубическим метром в 1-й год обучения, а измерение площадей и объемов проходить с детьми во 2-й, 3-й годы обучения.
      Наиболее целесообразным можно считать такое распределение изучения метрических мер по группам:
     
      В 1-й год обучения. Метр, килограмм (называя его «кило»), полкило, четверть кило, литр, пол-литра; в конце года, когда дети познакомятся с сотней — сантиметр. Ознакомление учащихся с этими мерами должно проводиться не отвлеченно, а на самых мерах — путем измерений. Измерять можно: длину и ширину класса, коридора, школьного здания, школьного двора, площадки и т. п. (конечно, в пределах их умения считать); на весах можно отвешивать (зерна, песок и т. п.) 1 кило, 2, 5, 3, 6 и т. п., определить вес куска дерева и т. п.; литром можно измерять воду. Важно, чтобы все эти упражнения учащиеся проделали сами, только тогда это будет и интересно для них и даст более отчетливое представление о мерах; во 2-й половине учебного года, при ознакомлении учащихся с долями единицы 1/2 и 1/4 необходимо использовать 1/2 кило, 1/4 кило, 1/2 литра, как наглядные пособия для уяснения этих долей единицы; это облегчит детям и понятия о долях и познакомит их практически с названными мерами. При знакомстве детей с сантиметром (в конце года, когда дети хорошо знают, сотню) можно рекомендовать измерение самых разнообразных предметов: книги, крышки столов, окружности головы учащегося, шеи, длины и ширины листа бумаги, тетради и т. п.,. причем предварительно дети считают на самом метре сантиметры, убеждаясь, что их 100; здесь нужно обратить их внимание на то, как нанесены эти деления (через каждые 10 сантиметров черта проходит через всю ширину метра, пятки сантиметров определяются чертой до половины и т. д.). Слово дециметр здесь лучше не вводить. Очень полезно предложить детям по данному образцу изготовить из полоски бумаги метр с делениями на сантиметры.
     
      Во 2-й год обучения. Кроме мер, указанных в 1 году обучения, вводятся километр, грамм и квадратный метр. Здесь можно рекомендовать следующие работы с детьми: а) для знакомства с километром указать на знакомом всем детям месте (улица в городе, расстояние между деревнями, на шоссе и т. п.) расстояние в 1 километр; лучше это сделать на экскурсии. Измерения с детьми целого километра (рулеткой, лентой, цепью, веревкой и т. п.) производить не следует — это слишком будет утомительно для данного возраста; б) определение на-глаз в километрах пройденного пути на экскурсии, знакомого расстояния по памяти и т. п. Знакомя детей с километром, следует объяснить, что слово «кило» значит «тысяча», отсюда слово «километр» значит «тысяча метров». Когда дети путем взвешиваний на весах мелких предметов познакомятся с граммом и гирями в 1 грамм, 2, 5, 10 и т. п. (граммовый разновес), указать им полное название «килограмм» (параллель с километром). Квадратный метр дети усвоят при измерении площади классной комнаты, коридора, участка земли и т. п.
      Здесь же, во 2-й группе, необходимо ввести общепринятую (конечно, русскими буквами) сокращенную запись знакомых уже детям названий метрических мер и строго ее придерживаться во все время обучения, так, чтобы в результате дети имели в этом полный навык. Они должны твердо усвоить эти обозначения. В следующих группах сразу после ознакомления учащихся с какой-либо новой мерой всегда нужно им показывать и ее принятую сокращенную запись русскими буквами.
     
      В 3-й год обучения. Вводятся в 3-й группе следующие метрические меры: дециметр и миллиметр; квадратный сантиметр, ар и гектар.
      Приемы изучения те же, что и в предыдущих группах: дети знакомятся с мерами по возможности путем непосредственных измерений. Измерения в дециметрах и миллиметрах детям очень легко производить в классе на небольших предметах. С аром детей легко познакомить на школьном дворе, для чего отмерять с ними квадрат, сторона которого 10 метров, высчитать с ними, сколько в аре кв. метров, и тут же можно представить площадь в ар и иначе — в виде прямоугольника, стороны которого 20 л и 5 я или 25 л и 4 л. На экскурсии можно познакомить детей таким же способом с гектаром и выяснить, что в гектаре — 100 аров.
      Кроме того, в 3-й группе следует внимательно пройти соотношения метрических мер между собой, так как здесь начинается курс десятичных дробей, изучение которых очень облегчается иллюстрацией метра как целой единицы, дециметра как десятой доли, сантиметра как сотой и миллиметра как тысячной доли. Этим способом десятичные дроби становятся для детей более реальными и легче усваиваются. Хорошо иллюстрировать метрическими мерами объяснение действий с десятичными дробями.
     
      В 4-й год обучения. Знакомство детей с кубическим метром, куб. дециметром и куб. сантиметром; а также вводится здесь мера веса — тонна. Ознакомление детей с метрической системой мер в целом и ее историей.
      Подбор упражнений для ознакомления с кубическими мерами не затруднит учителя. После знакомства и упражнений детей с измерением объемов надо сказать детям, что куб. сантиметр чистой, воды весит один грамм, куб. дециметр воды — -килограмм и куб. метр воды — тонна. Здесь же подчеркнуть детям единство метрических мер и познакомить их со всей системой метрических мер. После этого весьма уместно будет рассказать детям в самой упрощенной форме историю возникновения этих мер.
     
      2. Надо или нет знакомить с русскими мерами?
      На этот вопрос можно бы ответить вполне отрицательно, если бы эти меры были уже совсем изжиты в русской действительности. Но эти меры еще фигурируют в жизни, и практически школа не может не затронуть этих мер: она при изучении окружающего быта столкнется с ними. Вследствие этого школа, поставив «во главу угла» основательное ознакомление детей с метрическими мерами, в то же время должна сопоставлять их с теми из прежних русских мер, без которых еще окружающее население не живет;
      причем здесь школа должна дать детям навык легко переводить русские меры в метрические. Это очень важно для облегчения перехода окружающего населения на метрические меры.
      Во всяком случае школа, не изучая прежних русских мер, должна научить детей пользоваться таблицами перевода. Это уместно сделать в 3-й и 4-й группах. Из прежних русских мер дети должны познакомиться с десятиной (ее соотношение с гектаром), верстой (ее соотношение с километром), фунтом (соотн. с килограммом и граммом), пудом (соотношение с тонной и килограммом) и др. наиболее употребительными теперь мерами.
     
      3. Составные именованные числа в метрических мерах.
      В прежних задачниках нередко можно было встретить в задачах такие составные именованные числа, где имеют место 4 и даже более названия мер, начиная с километров и кончая миллиметрами. Невольно подумаешь: где же производились такие точные измерения расстояний, выражаемых километрами, с точностью до миллиметра? Теперь, когда десятичные дроби вводятся еще в 3-й группе, совершенно нет необходимости производить действия с подобными составными именованными числами, их с успехом можно заменять действиями с десятичными дробями, так как легко можно выразить составное число в каких угодно одних единицах, лишь бы ученики предварительно хорошо и наглядно усвоили соотношение мер, с каковою целью можно рекомендовать детям изготовление мер самими учащимися из бумаги, картона и т. п.
      Но отсюда не следует делать вывода, что составные именованные числа и действия с ними можно совсем изъять из школьной программы, так как метрические меры не обнимают собой все виды измерений. Мер времени метрических нет и они не десятичные, но и здесь, конечно, не следует производить вычисления с числами, имеющими больше двух наименований. Во всех же метрических мерах лучше приучать детей составные именованные числа представлять в виде одного числа и с ним производить требуемые действия или, когда это целесообразно, выражать не более как двумя названиями, напр., в метрах и сантиметрах или в километрах и метрах и т. п.