По следам Пифагора

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Эта книга называется «По следам Пифагора» в честь великого математика, творца математической школы древней Греции.
      Пифагор родился на острове Самос приблизительно в 580 году до нашей еры. Большое влияние на развитие Пифагора оказало его пребывание в Египте.
      В период своего наивысшего творческого расцвета Пифагор жил в Кротоне — греческой колонии па юге Италии. Здесь и возникла пифагорейская школа, которая сыграла большую роль в развитии греческой математики.
      Пифагор считал, что в основе всего мироздания лежит число (сейчас мы бы сказали: натуральное число). Интерес Пифагора и его школы к свойствам чисел стал источником позднейшей теории чисел. Память об этом сохранена в названии таблицы Пифагора.
      Пифагор искал числовые отношения в геометрических построениях. Ему был известен так называемый египетский треугольник со сторонами, выраженными числами 3, 4 и 5. Египтппе знали, что это прямоугольный треугольник, и употребляли его для определения прямых углов при восстановлении размываемых ежегодными разливами Нила границ земельных участков.
      Пифагор показал нам зависимость между сторонами египетского треугольника, которая выражается формулой: З2 + 42 = 52. Занимаясь поисками треугольников, стороны которых а, Ь, с удовлетворяли бы условию: а2 + Ь2 = с2, Пифагор нашел формулы, которые в современной символике могут быть выражены так:
      где п означает произвольное целое число. Оказалось, что всякий треугольник с такими сторонами является прямоугольным треугольником.
      Теперь прямоугольные треугольники со сторонами, выраженными натуральными числами, мы называем пифагорейскими треугольниками.
      Пифагору приписывается открытие теоремы, согласно которой квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на его катетах. Это так называемая теорема Пифагора.
      Вначале считали, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить такими натуральными числами а, Ь, с, которые будут удовлетворять формуле а2 + Ь2 = с2. Дальнейшие исследования математиков пифагорейской школы показали, что это не так.
      Например, равнобедренный прямоугольный треугольник (составляющий половину квадрата) не является пифагорейским треугольником, потому что нельзя найти такие три натуральных числа а, Ь, с, которые удовлетворяли бы условию
      Для пифагорейцев это было ужасным открытием: вера в то, что все явления во Вселенной можно объяснить с помощью натуральных чисел, была подорвана.
      Открытие, что мир чисел противоположен мнру геометрических построений, произвело такое большое впечатление, что сторонники пифагорейской школы сохраняли это открытие в тайне и в дальнейших работах геометрические исследования Есячески отделяли от арифметических. Это сильно тормозило развитие греческой арифметики, но в то же время способствовало быстрому развитию геометрии.
      Странными путями шло развитие отдельных отраслей точных наук в древней Греции.
      Геометрия, развитие которой неразрывно связано с великими именами Евклида, Архимеда, Аполлония (IV, III и II века до н. э.), первой достигает большого совершенства. Затем, уже во II веке нашей эры, благодаря великим успехам Птолемея наступил расцвет астрономии. Наконец, в конце III века, Диофант закладывает основы систематизированной арифметики.
      После трех корифеев науки: Евклида, Птолемея, Диофанта остались фундаментальные труды: «Начала», «Альмагест», «Арифметика», каждый из которых делится на тринадцать книг.
      Однако у источника этого великого потока мысли лежат исследования Пифагора. Чтобы воздать должное его заслугам, эту книгу по занимательной математике мы назвали «По следам Пифагора».
      Инж. Щ. Еленьский
      Перевод с польского
      Г. Ф. Боярской, Б. В. Боярского и А. А. Якушева
     
      I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АНЕКДОТЫ И АНЕКДОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
     
      Общие замечания
      Математических анекдотов существует очень много, а анекдотическим задачам просто нет конца. Чем же следует руководствоваться при их выборе? Главным образом принципом наибольшего разнообразия.
      Среди приведенных здесь задач и математических анекдотов читатель найдет самые разнотипные: задачи на деление, задачи, в которых говорится о расстановке, разливании чего-либо, о переправах, маневрах и т. д.; задачи из самых различных эпох: возникшие тысячи, сотни и десятки лет назад; задачи китайские, индийские, греческие, арабские, русские, французские и т. д.; задачи великих математиков: Леонардо Фибоначчи, Исаака Ньютона, и др., а также задачи неизвестных авторов, дошедшие до нас по традиции. А по тематике почти каждая задача своеобразна.
      Все задачи легкие, доступные каждому, кто хоть немного знаком с элементарной арифметикой, алгеброй и геометрией. А те читатели, память которых не сохранила этих знаний, смогут воспользоваться большинством приведенных здесь задач, освежая в памяти в форме развлечения давно усвоенные математические истины.
      Для многих задач полностью приведены решения, для некоторых даны только ответы, а для других не даны и ответы: это задачи, самостоятельное решение которых (по аналогии с предыдущими) может принести читателю не только пользу, но и доставить истинное удовольствие.
     
      1. Имущество араба
      Это одна из старейших, вероятно арабских, задач неизвестного автора. Некий араб оставил в наследство трем своим сыновьям стадо верблюдов, причем старшему сыну завещал половину стада, среднему — третью часть, а самому младшему — девятую часть наследства. Однако в стаде оказалось 17 верблюдов.
      Разделить наследство было трудно, поэтому наследники обратились за советом к судье, известному своей мудростью во всей округе. Судья решил так: нужно одолжить одного верблюда и приступить к разделу, имея 18 верблюдов. Братья сделали, как советовал судья. Тогда старшему досталось 9 верблюдов, среднему 6, а младшему 2, взятого верблюда вернули хозяину. Братья остались очень довольны мудрым решением кадия, так как каждый из них получил больше, чем завещал отец, а именно: один на 2 больше, другой на а третий на 1 верблюда.
      Этот любопытный результат кажется парадоксальным. Однако по сумме трех частей, на которые отец велел сыновьям разделить наследство мы убеждаемся, что если бы раздел имущества был выполнен точно по завещанию, то наследства не была бы разделена.
      Вот в чем источник тех «излишков», которые неожиданно, к своей радости, получили наследники.
     
      2. Как поставить точное время
      У меня временно нет карманных часов, они сданы в починку часовому мастеру, а стенные остановились. Я отправляюсь к своему знакомому, часы которого, как мне известно, всегда идут безукоризненно. Побыв у знакомого некоторое время, я возвращаюсь домой и точно ставлю на часах время. Каким же образом я мог это сделать, если предварительно не знал, сколько времени занимает дорога от моего дома до дома знакомого?
      Задача сводится к тому, что необходимо установить точное время, вернувшись домой. Уходя из дому, я пускаю в ход свои часы, ставлю какое-нибудь время; обозначим его буквой а (рис. 1). Придя к знакомому, сразу же записываю время, которое показывают его часы; обозначим это время буквой Ъ (рис. 2).
      Поговорив со знакомым, я отправляюсь домой, но перед самым уходом замечаю время на его часах и записываю его; пусть это будет время с (рис. 3). Вернувшись домой, я проверяю, какое время показывают мои часы, поставленные наудачу; обозначим это время через d (рис. 4). Когда я шел домой, я продумал план действий, поэтому через минуту после моего возвращения стенные часы уже показывали правильное время; это было время е (рис. 5).
      А вот вычисления:
      Разность d — а показывает, сколько времени я отсутствовал: d — а — 3 час. 50 мин. — 3 час. 00 мин. = 50 мин.
      Разность с — 6 показывает, сколько времени я провел у знакомого: с — 6 = 5 час. 46 мин. — 5 час. 12 мин. = 34 мин.
      Разность (d — а) — (с — 6) показывает, сколько времени затрачено на дорогу туда и обратно: (d — а) — (с — 6) = 50 мин. — 34 мин. = 16 мин.
      В обе стороны я старался идти равномерным шагом, следовательно, могу предположить, что на обратную дорогу затрачена половина этого времени:
      мин.
      Прибавив это время ко времени с, в сумме я получу правильное время в момент моего возвращения домой: 5 час. 46 мин. + 8 мин. = 5 час. 54 мин.
      Добавляю еще минуту, ушедшую на вычисления, и получаю точное время.
     
      3. Как разделить циферблат часов
      А. Разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в обеих частях были одинаковые. Чему будет равна эта сумма?
      Б. Разделить циферблат часов на три части двумя прямыми линиями так, чтобы суммы чисел в этих частях были равны между собой.
      В. Разделить циферблат часов на шесть таких частей. На рисунке 6 приводим решение двух первых задач. Третью задачу предлагаем читателю решить самостоятельно.
     
      4. Древний парадокс Зенона в новом виде
      Ровно в полночь или в полдень обе стрелки часов стоят под цифрой 12. Часом позже часовая стрелка будет указывать на цифру 1, а минутная — на 12. Когда минутная стрелка дойдет до цифры 1, часовая продвинется вперед на минутного деления; когда же минутная стрелка дойдет до этой точки, где находилась часовая (через 5 минуты после начала часа), часовая стрелка снова передвинется дальше — и так до бесконечности. Итак, минутная стрелка «в принципе» и «теоретически» не должна не только опережать, но даже догонять часовую стрелку.
      Как объяснить этот парадокс?
      В этом соревновании стрелок, как и в соревновании Ахиллеса с черепахой, весь секрет заключается в том, что последовательное перемещение минутной стрелки дает бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а именно
      Первый член этой прогрессии а — 5, частное q — . Так как для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии известна следующая формула:, а следовательно, в 1 час 5мин. стрелки встретятся впервые в этот день, считая от полудня пли от полуночи.
      А вот еще одно небольшое подтверждение этого рассуждения.
      Предположим, что минутная стрелка догонит часовую через х минут после 1 часа. Путь, который пройдет за это время часовая стрелка, конечно, равен Угол, который опишет минутная стрелка, будет на 5 мин. больше угла, пройденного часовой стрелкой. Отсюда, следовательно,
     
      5. Как определить страны света, пользуясь карманными часами
      В солнечный день при помощи карманных часов можно паметить на горизонте с точностью, достаточной для практических целей, четыре страны света: север, юг, восток и запад. Этот способ так прост и доступен, что следует удивляться, почему он до сих пор еще не нашел широкого применения.
      Определение направления основано на следующем.
      Положив на ладонь карманные часы, поворачиваем их так, чтобы часовая стрелка была направлена в сторону солнца; тогда точка, лежащая на окружности циферблата, точно посередине между часовой стрелкой и числом XII, укажет нам направление на юг. Если, например, часовая стрелка показывает IV часа (рис. 7), мы, направив ее в сторону солнца, удостоверяемся, что точка, лежащая посередине между цифрами IV и XII, то есть точка, обозначающая II часа, указывает на юг. В противоположной стороне будет север, налево — восток, направо — запад.
      Этот способ можно видоизменить следующим образом. На окружности циферблата следует найти точку, расположенную посередине между цифрой, на которую указывает часовая стрелка, и точкой над цифрой XII и напрапить эту центральную точку в сторону солнца; тогда число XII укажет направление на юг.
      Например, если часы показывают IV часа, то к солнцу нужно направить часы делением, находящимся над цифрой И. Тогда линия, проведенная от центра часов к числу XII, укажет направление на юг.
      В подтверждение вышесказанного достаточно напомнить, что в XII часов, в полдень, солнце, часовая стрелка и деление на окружности циферблата, находящееся над цифрой XII, лежат на одной линии, направленной на юг.
      Потом и солнце и часовая стрелка передвигаются в одном направлении, только часовая стрелка сделает полный оборот ва 12 часов, а солнце за 24 часа, то есть за промежуток времени вдвое больший. Именно на этом и основаны приведенные выше правила. Следует добавить, что до полудня центральную точку между стрелкой и цифрой XII нужно искать по направлению вращения стрелок, а после полудня — в обратном направлении.
      Замечание. Определенное таким образом направление, конечно, не будет точным. Неточность вызвана тем, что мы помещаем часы в горизонтальной плоскости, вместо того чтобы поместить их в плоскости небесного экватора. При этом не учитывается разница между истинным солнечным временем и временем условным, которое показывают часы (у нас восточноевропейское время). Но для практических целей указанный выше способ будет вполне удовлетворительным.
      Для жителя стран Южного полушария этот способ нужно изменить следующим образом.
      Точку, лежащую на циферблате часов над часовой стрелкой, следует направить в сторону солнца, тогда линия, делящая пополам угол между часовой стрелкой и точкой над цифрой XII, обозначит направление на север.